Optimalregulering av lineært-kvadratisk-gaussisk system (LQG-regulering/H 2 -regulering) Oddvar Hallingstad

Transkript

1 Optimalregulering av lineært-kvadratisk-gaussisk system (LQG-regulering/H 2 -regulering) Oddvar Hallingstad 22. april 2001

2 Kapittel 4 Kapittel 4: Kommentar: 4.1 : Dette notatet bygger på : Ching-Fang Lin : Advanced Control Systems Design, Printice Hall 1994 og er en del av faget SIE 38KB Robust multivariabel regulering ved UniK. Jeg har brukt samme kapittel-, tabell-, Þgur- og likningsnummerering som i boka. De referansene det er henvist til Þnnes i referanselista til Lin. Lin bruker en litt annen notasjon enn Rolf Henriksen så vær oppmerksom ved bruk av formlene i dette notatet! I dette notatet sies det hvor det blir tatt tavlebevis, men det gjelder SIE 38KB kurset og ikke SIE Lineære, kvadratiske, gaussiske (LQG) optimaliseringsproblem er en fundamental del av det generelle optimalreguleringsproblemet. Vi får for dette problemet en elegant løsning på slutta form. I dette kapittelet ser vi på basisproblema ved optimalisering av LQG-system. Figur 4-1 viser sammenhengen mellom H 2 - optimaliseringsproblema som blir behandlet i boka. LQ optimalreguleringsproblem (4.1) Singulære LQ optimaliseringsproblem (5) Null-sum LQ spill (6) Variasjoner på LQ problemet: : LQ regulator (4.2.1) Banefølging (4.2.2) Optimal støyundertrykking (4.2.3) Eksplisitt modellfølging (4.2.4) Implisitt modellfølging (4.2.5) LQ regulatordesign (4.3) LQG problem (4.4) Gjenoppretting av sløyfetransferfunksjonen for LQG regulatorer (4.5) Anvendelser : Missile autopilot (4.6) Store romstrukturer (4.7) Våpen styring (4.8) Integrert fly/flymotor reguleringssystem (4.9) Figur 4-1 Lineære kvadratiske optimalreguleringsproblem På neste side vises de nødvendige betingelsene som må oppfylles for et generelt ulineært optimalreguleringsproblem. Tabellen er hentet fra boka til O. A. Solheim : Optimalregulering. Legg merke til at tabellen viser de nødvendige betingelsene og gir en åpen-sløyve løsning. 2

3 Ole Andreas Solheim : Optimalregulering PROBLEM NØDVENDIGE BETINGELSER Avs Prosess Kriterium t2 Grenseb. Hamilton Kanonisk Minimums H o (t) Grenseb. x(t2) funksjon system prinsipp p o (t2) 3.2 úx = f(x,u) J = R t2 H = L(x,u) t1 +p T f (x,u) úx o = H p úp o = H x o o H o = H x o,u o,p o =min H x o,u,p o H o (t) =H o (t2) fri u U 3.3 fri H o (t) =H o (t o 2 )=0 3.4 gitt G(x 2 ) H o (t) =H o (t2) G(x o (t2)) fri úx = f(x,u,t) J = R t2 H = L(x,u,t) t1 +p T f (x,u,t) 3.6 J = S (x(t2)) + R t2 t1 L (x,u,t) dt gitt fri H o = H x o,u o,p o,t =min H x o,u,p o,t R t Ho 2 H (t) = t t dt o u U H o (t o 2 )=0 fri H o (t) =H o (t2) R t2 dt o t H t S x xo (t 2) G (x) = {x gi(x) =0,i=1, 2...n k} p G (x) p = n k X i=1 αi gi x k : dimensjonen på mangfoldigheten

4 Kapittel 4 Oppgave: 4.1 Finn det optimale pådraget for systemet úx 1 = u úx 2 = x 1 med grensebetingelser x(0) = 0,x(T )= og kriterium J = Z T 0 0 a u(t) dt hvor u U 4.1 Basis LQ-regulator problemet Problem: 4.1 LQ optimaliseringsproblem Bestem et tillatt pådrag u(t) U som minimaliserer kriteriet Z tf J = 1 2 xt (t f )S f x(t f )+ 1 2 t 0 x T Qx +2u T Cx + u T Ru dt (4-1) x og u tilfredsstiller prosesslikninga (bibetingelsen) úx = Ax + B 0 u, (A, B 0 ) antas styrbar (4-2) med grensebetingelser t 0 og t f er gitte, x (t 0 )=x 0, Dx(t f )=0 (4-3) Vi antar i dette kapittelet at S f = Sf T 0, Q = QT 0, R = R T > 0 U betegner mengden av tillatte pådrag (her antas mengden av stykkevis kontinuerlige funksjoner). Siden R er ikke-singulær kan vi alltid få systemet over på en form hvor C =0. Vi sløyfer derfor leddet med C senere. Tilfellet med R singulær (singulært LQ optimaliserings problem) behandles i kapittel Sluttstyringsregulator Problem: 4.2 Sluttstyringsproblemet Finn pådraget u(t) U som minimaliserer kriteriet J = 1 2 xt (t f )S f x(t f )+ 1 2 t 0 x T Qx + u T Ru dt (4-4) x og u tilfredsstiller prosesslikninga (bibetingelsen) úx = Ax + B 0 u, (A, B 0 ) antas styrbar med grensebetingelser t 0 og t f er gitte, x (t 0 )=x 0 Z tf Teorem: 4.1 Det optimale pådrag som løser sluttstyringsproblemet (åpen-sløyfe løsning) ovenfor er gitt ved u(t) = R 1 B0 T λ(t) (4-10) hvor λ(t) Þnnes ved å løse følgende to-punkts grenseverdiproblem (det kanoniske system) : úx(t) A B0 R = 1 B T ¾ 0 x(t) x(t úλ(t) Q A T, 0 ) = x 0 (4-12) λ(t) λ(t f ) = S f x(t f ) 4

5 4.2 Variasjoner av LQ-problemet Legg merke til at vi her får en åpen-sløyfe løsning. Vi skal nedenfor se at u kan uttrykkes ved x, dvs. en lukka-sløyfe løsning. Proof. Beviset tas på tavla. Teorem: 4.2 Det optimale pådrag som løser sluttstyringsproblemet (lukka-sløyfe løsning) ovenfor er gitt ved (transisjonsmatrise metoden) u(t) = R 1 B0 T S(t)x(t) (4-20) hvor S(t) =[Φ λx (t, t f )+Φ λλ (t, t f )S f ][Φ xx (t, t f )+Φ xλ (t, t f )S f ] 1 (4-21) Her er Φ(t, τ); t, τ [t 0,t f ] transisjonsmatrisa tilhørende likning (4-12),dvs. : A B0 R úφ(t, t f )= 1 B0 T Q A T Φ(t, t f ), Φ(t f,t f )=I Φxx (t, t Φ(t, t f )= f ) Φ xλ (t, t f ) Φ λx (t, t f ) Φ λλ (t, t f ) Proof. Beviset tas på tavla. Teorem: 4.3 Matrisa S(t) deþnert i likning (4-20) er løsning av følgende Riccatilikning : ús(t)+s(t)a + A T S(t)+Q S(t)B 0 R 1 B T 0 S(t) =0, S(t f )=S f (4-19) Riccatimatrisa kan enten Þnnes fra transisjonsmatrisa Φ(t, t f ) i (4-21) eller vi kan integrere (4-19) bakover itid.dersomq =0og systemet er tidsinvariant er løsningen av Riccatilikninga spesielt enkel. Proof. Beviset tas på tavla. 4.2 Variasjoner av LQ-problemet Vi skal i dette avsnittet se på noen spesialtilfeller av LQ-problemet Uendelig-horisont, tidsinvariant LQ-problem Dette er kanskje det viktigste optimalreguleringsproblemet. Problem: 4.3 Det lineære kvadratiske regulatorproblem (LQR) : Finn det pådraget u(t), t (0, ) idet tidsinvariante system úx = Ax + B 0 u, (A, B 0 ) antas styrbar (4-2) som minimaliserer kriteriet J = 1 Z (z T 1 z u T Ru)dt = 1 Z (x T Qx + u T Ru)dt Q = C1 T C 1 Hovedformålet med pådraget er her å regulere utgangen z 1 til 0 og samtidig stabilisere lukka-sløyfe systemet. Vektmatrisa R må balansere de motstridende krava om god regulering med lite forbruk av energi. Løsningen på problemet fås i grensetilfellet t forsystemetiavsnitt Teorem: 4.4 Løsningen på LQR problemet er u(t) = R 1 B T 0 Sx(t) 5

6 Kapittel 4 hvor den symmetriske matrisa S er konstant, positiv semideþnit og tilfredsstiller den algebraiske Riccatilikninga SA + A T S + Q SB 0 R 1 B T 0 S =0 Dersom (A, B 0 ) er styrbar og (C 1,A) er observerbar har denne likninga en entydig løsning. Og lukkasløyfe systemet úx =(A B 0 R 1 B T o S)x, x(0) = x 0 er asymptotisk stabilt. Proof. Beviset tas på tavla Trajektorfølging I et optimalt trajektorfølgingssystem skal utgangen z 1 (t) følge en ønska tidsvarierende trajektor z r (t) så nøyaktig som mulig under hensyntagen til hva det koster å bruke pådraget. I tillegg designer vi her systemet slik at det undertrykker en deterministisk forstyrrelse r(t). Teorem: 4.5 Det optimale pådrag u(t) som minimaliserer kriteriet J = 1 Z tf h i (z 2 1 z r ) T Q (z 1 z r )+u T Ru dt (4-23) t 0 med bibetingelse úx = Ax + B 0 u + B r r ; z 1 = C 1 x (4-24) hvor z r (t) og r(t) er kjente tidsfunksjoner, er gitt ved : u(t) = R 1 B0 T [S(t)x(t)+g(t)] = F (t)x(t) R 1 B0 T g(t) (4-30) hvor Riccatimatrisa S(t) og vektoren g(t) tilfredsstiller likningene : ús(t)+s(t)a + A T S(t)+C1 T QC 1 S(t)B 0 R 1 B0 T S(t) =0, S(t f )=0 (4-28) úg(t) = (A + B 0 F ) T T g(t) SB {z } r r(t)+c1 Qz r (t), g(t f )=0 (4-29) ÃT úx(t) =(A + B 0 F ) x(t) B {z } 0 R 1 B0 T g(t)+b r r (t) Ã Kommentar : Den optimale regulatoren består av en optimal tilbakekobling (samme som vi har uten kommando/forstyrrelse) og en foroverkobling fra ønska trajektor z r (t) og forstyrrelse r(t). Legg merke til at systemmatrisa for det tilbakekobla system og for g(t) er adjungerte. Vi ser at dersom lukka-sløyfe systemet er stabilt vil differensiallikninga for g(t) være ustabil. Både Riccatilikninga og differensiallikninga for g(t) løses bakover i tid. Proof. Bevises på tavla. Lineær kvadratisk regulator med konstant forstyrrelse. Dersomvårtsystemertidsinvariant,z r (t) =0 (dvs. vi ønsker å drive utgangen z 1 til 0) og forstyrrelsen er konstant, r(t) =r 0, vil (4-28) og (4-29) ha stasjonære løsninger, S og r, når t f.vifår: g = A T SB r r 0 = [A T + F T B0 T ] 1 SB r r 0 u(t) =Fx(t)+K FF r 0 F = R 1 B T 0 S K FF = R 1 B T 0 [A T + F T B T 0 ] 1 SB r (4-34a) (4-34b) (4-34c) Tips: 4.1 Tegn blokkskjema her 6

7 4.2.3 Optimal støyundertrykking 4.2 Variasjoner av LQ-problemet Effektspekteret for turbulens og andre stokastiske forstyrrelser som vi ønsker å ta hensyn til ved regulatordesign, er ofte ikke konstant i det aktuelle frekvensområdet. Vi må da modellere disse forstyrrelsene som farga støyprosesser. F.eks. modellerer vi ofte vindkast som en førsteordens prosess drevet av hvit støy, og vibrasjoner som et sett av oscillatoriske 2. ordens system. Ved å estimere tilstandene i støymodellene kan vi lage en tilbakekobling som motvirker disse forstyrrelsene. I utledninga som følger tilbakekobler vi direkte fra tilstandene i støyprosessene. Disse tilstandene er normalt ikke tilgjengelige slik at vi i praksis må tilbakekoble fra en estimator. Problem: 4.4 Vi antar at forstyrrelsen kan beskrives av følgende lineære tilstandsrommodell úx D = A D x D + B D w 1,y D = C D x D + D D w 1 (4-35) hvor x D er tilstanden til forstyrrelsen og y D selve forstyrrelsen, w 1 er en hvit støyprosess. Forstyrrelsen påvirker systemet på følgende måte : úx = Ax + B 0 u + A y y D = Ax + B 0 u + A 12 x D + B 12 w 1 (4-36) Matrisene A 12 og B 12 bestemmes av hvor forstyrrelsen påvirker systemet (dersom forstyrrelsen påvirker pådraget er A 12 = B 0 C D og B 12 = B 0 D D ). Bestem det optimale pådrag for å drive utgangen z 1 = C 1 x til 0. Dette problemet kan løses ved å lage en optimal regulator for den deterministiske delen av det utvidete system nedenfor. Ved å inkludere modellen av forstyrrelsen i systemlikningen (internal model prinsiple) får vi : úx A A12 x B0 B12 = + u + w úx D 0 A D x D 0 B 1 (4-37) D {z } {z } {z } {z } {z } x à x B 0 B 1 her er w 1 hvit støy. Vi ønsker så å bestemme den tilbakekoblinga u som minimaliserer J = 1 Z (z T 1 z u T Ru)dt hvor z 1 = C 1 x.systemet ernå 0. x = A x + B 0 u Dette optimal reguleringsproblemet ble løst i avsnitt : u = R 1 B 0 T S x = F x = x F 1 F 2 x D hvor S er løsningen av den algebraiske Riccatilikning for det utvidete system. Innsatt i (4-37) får vi nå følgende tilbakekobla system : úx A + B0 F = 1 A 12 + B 0 F 2 x B12 + w úx D 0 A D x D B 1 (4-39) D Egenverdiene til det lukka-system består av egenverdiene for A + B 0 F 1 og A D. Ved å sette opp Riccatilikninga vil vi se at F 1 er uavhengig av forstyrrelsesmodellen. Leddet F 2 x D virker som en foroverkobling og påvirker ikke stabiliteten til systemet, men reduserer system responsen på forstyrrelsen y D. F 2 x D blir en del av tilbakekoblingssløyfa dersom x D estimeres fra system responsen Design av et system for eksplisitt modellfølging (EMF) Problem: 4.5 Gitt systemet úx = Ax + B 0 u, z 1 = C 1 x Finn pådraget u som gjør at utgangen z 1 (t) fra systemet følger utgangen z d (t) fra et ideelt system úx d = A d x d + B d r, z d = C d x d (4-40a) (4-40b) 7

8 Kapittel 4 på en optimal måte. Her er r kommandoen vi påtrykker det ideelle systemet. I designen lar vi r være et sprang av ukjent størrelse. Likningene (4-40a) og (4-40b) kan slås sammen i ei utvidet systemlikning : úx A 0 x B0 0 = + u + r (4-41a) úxd 0 Ad x d 0 B d {z } {z } {z } {z } {z } x à x B 0 B r z 1 z d = x C 1 C d (4-41b) x d Problemet ovenfor kan nå formuleres som et optimaliseringsproblem hvor vi ønsker å bestemme den u som minimaliserer J = 1 Z tf ( z T 1 Q z u T Ru)dt (4-43) 0 og samtidig tilfredsstiller bibetingelsen (4-41a). Vi søker løsningen for tilfellet t f og r er en konstant. Dette problemet ble løst i avsnitt Dersom vi setter inn de matrisene vi har her får vi : u = F x + K FF r = F 1 x + F 2 x d + K FF r F = R 1 B 0 T S, K FF = R 1 B 0 T ( A T S B 0 R 1 B 0 T ) 1 S B r S er løsningen av Riccatilikninga S A + A T S + C T 1 Q C 1 S B 0 R 1 B T 0 S =0 Kommentarer : Formålet med eksplisitt modellfølging er å gi systemet samme responsen som et ideelt system. Metoden kan gi høye forsterkninger dersom vi ikke tuner forsterkningene skikkelig. Noen problemer som kan formuleres som eksplisitt modellfølging følging av longitudinal akselerasjonskommando følging av normal akselerasjonskommando følging av lateral akselerasjonskommando sideslipp kommandofølging rull kommandofølging rullhastighet kommandofølging Tilstrekkelige betingelser for perfekt modell matching (eksistens av forsterkningsmatrisene F 1,F 2 og K FF )er: rang B 0 =rang B 0 B d =rang B0 A d A Tilbakekoblinga F 1 gir stabilitetsforbedring, mens foroverkoblinga F 2 x d + K FF r gir følgeegenskapene Design av et system for implisitt modellfølging (IMF) Modellen som beskriver den ønska responsen kan også legges inn i kriteriet uten å utvide tilstandsvektoren. Den implisitte modellfølginga (IMF) gir lavere forsterkninger og er mer praktisk enn EMF. Metoden kalles også modell-i-kriteriet-teknikken. Problem: 4.6 Gitt systemet úx = Ax + B 0 u (4-46a) Finn et optimalt pådrag u slik at responsen til dette systemet ligger nærmest mulig repsonsen fra det ideelle systemet úx d = A d x d (4-46b) Feilen deþneres ved e =úx úx d (A A d )x + B 0 u (4-47) 8

9 4.3 Egenskaper til LQ-optimalregulering Vi ønsker her å lage en tilbakekobling bare fra x : u = Fx (4-48) Vi kan nå sette opp følgende tilnærma uttrykk for feilen : e =(A + B 0 F A d )x (4-49) En prosedyre som reduserer feilen e må derfor endre F slik at A + B 0 F nærmer seg A d. Dette oppnås ved å Þnne den optimale u som minimaliserer Z tf J = 1 (e T Qe + u T Ru)dt (4-50) 2 t 0 med bibetingelse (4-46a) og hvor e er gitt i (4-47). Vi setter så (4-47) inn i (4-50), fjerner kryssleddet mellom x og u (innfører u = M 1 N T x + u 1 )og bruker løsningen på standard problemet. Etter en del mellomregning får vi : u = M 1 (N T + B0 T S)x = Fx (4-53a) M = B0 T QB 0 + R N =(A A d ) T QB 0 L =(A A d ) T Q(A A d ) T ús + SA + A T S + L (SB 0 + N)M 1 (SB 0 + N) T =0, S(t f )=0 (4-53b) (4-53c) (4-53d) (4-53e) 4.3 Egenskaper til LQ-optimalregulering Kalmans identitet Vi skal her bevise Kalmans identitet som kan brukes til å vise viktige egenskaper for optimalt tilbakekoblede systemer. Siden stabiliteten og robustheten for et system bare påvirkes av tilbakekoblinga, ser vi her bort fra foroverkoblinga. Vi har tidligere vist at løsningen av LQR problemet for et lineært, tidsinvariant system úx = Ax + B 0 u, z 1 = C 1 x (4-54a) medkvadratiskkriterium J = 1 Z (z T 1 Qz u T Ru)dt (4-54b) 0 er u = Fx, F = R 1 B0 T S ¾ SA + A T S + C1 T QC 1 SB 0 R 1 B0 T S =0 (4-54c) Teorem: 4.6 Kalmans identitet Matrisene i den lineære kvadratiske regulatoren gitt i (4-54) tilfredsstiller følgende likhet i T i i T i hi F ( si A) 1 B 0 R hi F (si A) 1 B 0 = R+ hc 1 ( si A) 1 B 0 Q hc 1 (si A) 1 B 0 (4-59) Proof. Kalmans identitet Den algebraiske Riccatilikning i (4-54c) kan også skrives S( si + A)+(sI + A T )S + C1 T QC 1 SB 0 R 1 B0 T S =0 (4-57) Multiplikasjon av (4-57) med B0 T ( si AT ) 1 fra venstre, (si A) 1 B 0 fra høgre og innsetting av F = R 1 B0 T S gir (4-59) 9

10 Kapittel 4 Dersom vi har et SISO system og velger R =1iKalmanslikhet,fårvisidenQ 0 : i T i h1 F ( si A) 1 B 0 h1 F (si A) 1 B 0 1 (4-60) Dette betyr at Nyquist kurven ikke skjærer enhetssirkelen om ( 1, 0) i det komplekse plan, se Þgur 4-3. Dette betyr at den lineære kvadratiske regulatoren har følgende robusthetsegenskaper : Fasemarginen er minst ±60 og forsterkningsmarginen er. Im -1 Figur 4-3 Nyquist kurven for LQR Valg av Q-ogR-matrisene At et system er optimalt betyr bare at pådraget minimaliserer et gitt kriterium. Systemets oppførsel avhenger av vektmatrisene Q og R. Det kan være vanskelig å velge disse matrisene slik at systemet får de ønska egenskaper. Den generelle form på kriteriet er gitt i likning (4-54b) hvor z 1 representerer utgangen som skal styres eller feilen som skal minimaliseres. For ßy vilz 1 typisk uttrykke sideslipp, avvik fra banen, høydefeil, stillingsfeil, osv. Vanligvis vil både Q og R være forskjellige fra 0. For gitte vekter vil kriteriet J få en verdi som kan brukes som et mål for effektiviteten av regulatoren. Tuning av Q og R. Ved design av LQR må en gjøre en avveining av pådragets aktivitet og ytelsen til utgangen z 1. Dette gjøres ved en iterativ prosess hvor en systematisk endrer vektene i kriteriet. Følgende to metoderkanværenyttigevedvalgavdeførstevektmatrisene: 1. Den midlere kvadratiske verdi til hvert ledd i kriteriet bør i utgangspunktet gi omtrent samme bidrag til kriteriet. Dette kan oppnås på følgende måte : Q =diag(q 1,...,q n ), R =diag(r 1,...,r p1 ) > 0 (4-61) hvor en som første gjetning setter q i =[(z i ) max ] 2 og r i =[(u i ) max ] 2 (4-62) hvor subskriptet max angir den maksimale tillatte verdi. 2. Siden den veiede integrerte kost av utgangen z 1 blir tilnærmet lik den veiede integrerte kost for pådraget u, kan en starte med diagonalelementer i matrisene ovenfor som hhv. den inverse integrerte kvadratiske feil for de ønska tilstandene og pådragene. 3. Dersom systemet er stokastisk kan en bruke variansene som startverdier i vektmatrisene. Kommentarer : Når R eller Q 0 vil S 0 og F 0 i stabile åpen-sløyfe systemer. I ustabile åpen-sløyfe systemer vil F 6= 0og egenverdiene for det lukka system går mot de stabile 10

11 4.4 Lineært-kvadratisk-gaussisk (LQG) problem egenverdiene som er vhp. reßeksjonene av de ustabile hhp. polene. Dette kalles for minimum energi reguleringslova. Når R 0 eller Q vil tilbakekoblingsforsterkninga F og båndbredden øke. Valg av Q og R kan gjøres på basis av : ønska lukka-sløyfe egenverdier, egenvektorer og båndbredde R diagonal for å sikre robusthet størrelsen på nøkkelvariable inngangsdekobling innsikt vha. rotlokus integrert kvadratisk feil LQR med forming av frekvensgangen Det er ßere måter å oppnå forming av frekvensgangen for en LQR : Vi kan utvide systemet med et frekvensformet Þlter. Utgangen fra Þlteret kan så tas med i kriteriet sammen med de andre kostledda. F.eks. kan vi, dersom spekteret til ytelsesvektoren viser for mye energi i et visst frekvensområde for pådraget, utvide systemet med et Þlter (drevet av pådraget) som bare har respons i dette frekvensområdet. Vi tar så med utgangen fra Þlteret i kriteriet. I boka er det vist hvordan en kan oppnå frekvensforming av det lukka system ved å bruke Kalmans identitet. 4.4 Lineært-kvadratisk-gaussisk (LQG) problem LQR design antar at alle tilstandene er tilgjengelige for tilbakekobling. Det er ikke alltid tilfelle i praksis. Et mer realistisk problem enn LQR problemet i avsnitt er derfor det følgende. Problem: 4.7 Det lineære kvadratiske gaussiske (LQG) reguleringsproblem. Anta følgende system er gitt úx = Ax + B 0 u + B 1 w 1 prosesslikning (4-66a) y = C 0 x + v målelikning (4-66b) x(t 0 ) N(öx 0,P 0 ) w 1 (t) hvit med 0 middelverdi og spektraltetthhet lik W 0 v(t) hvit med 0 middelverdi og spektraltetthet lik V>0 x(t 0 ),w 1 (t) og v(t) er ukorrelerte støybeskrivelse Gitt målinga y(σ), σ [t 0,t], Þnn det pådraget u(τ), τ [t, t f ] som minimaliserer J = 1 Z tf ½x 2 E T (t f ) S f x(t f )+ x T Qx + u T Ru ¾ dt y(σ), σ [t 0,t] t (4-66c) (4-66d) Dette problemet kan løses ved å bruke separasjonsprinsippet. Teorem: 4.7Løsningen av LQG problemet Þnnes ved først å lage den optimale regulator for den deterministiske del av (4-66a) til (4-66d), deretter lages en optimal estimator (KalmanÞlter) for det stokastiske system (4-66a) til (4-66c). Siden tilstanden x ikke er tilgjengelig brukes öx istedet for x som inngang til regulatoren designet i trinn en. 11

12 Kapittel KalmanÞlter KalmanÞlteret for systemet gitt i likningene (4-66a) til (4-66c) er :. öx = Aöx + B 0 u + K KF (y C 0 öx), öx(t 0 )=öx 0 (4-67a) ú P = AP + PA T + B 1 WB T 1 PC T 0 V 1 C 0 P, P(t 0 )=P 0 (4-67b) K KF = PC0 T V 1 (4-67c) KalmanÞlteret vil avveie estimeringshastighet og støydempning. Filteret vil være stabilt når systemet er observerbart. Spektraltetthets matrisene W ogv kanses på somdesignmatriserfor ågiønskabåndbredde og respons til KalmanÞlteret. Den resulterende optimale LQG regulator vil bestå av KalmanÞlteret og den deterministiske regulatoren som vist i Þgur 4-4. LQG regulatoren gir generelt u = u FB + u FF hvor u FF er foroverkoblinga (i vårt LQG problem får vi bare en tilbakekobling). Tilbakekoblinga er her gitt ved u FB (t) =K FB öx(t), K FB = R 1 B0 T S (4-68) Optimal LQG regulator Prosess støy Optimal estimator (Kalman filter) Optimal regulator (som for deterministisk system) Prosess som skal reguleres Målestøy Sensor Figur 4-4 LQG regulator struktur Stasjonærløsningene av de to Riccatilikningene for LQG regulatoren Þnnes fra A T S + SA + C1 T QC 1 SB 0 R 1 B0 T S =0 ¾ AP + PA T + B 1 WB1 T PCT 0 V 1 (4-69) C 0 P =0 Design av KalmanÞlteret er det duale problem tillqrdesign.nårvibrukeretkalmanþlter for å estimere tilstandene, er forsterkningsmarginene til regulatoren ikke lenger sikret. En har sett at bruk av KalmanÞlteret kan redusere stabilitetsmarginene drastisk (se avsnitt 4.5) Egenskaper til en LQG basert regulator VeddesignavKalmanÞlteret har vi to matriser vi kan spille på. For å beholde robustheten og egenskapene til en LQR bør KalmanÞlteret lages slik at sløyfeforsterkninga blir tilnærmet lik den vi har ved full tilstandstilbakekobling. Figur 4-5 viser LQG regulatorstrukturen i detalj. 12

13 4.4 Lineært-kvadratisk-gaussisk (LQG) problem System G(s) w 1 B 1 r B r C 1 z 1 z r B 0 1 s 3 x y 0 C 0 v K FF Nominelt system A u FF 1 w 2 z 2 B 2 2 C 2 y u 2 - u FB - B r K KF K FB B 0 1 s ^x C 0 A Kalmanfilter Figur 4-5 Detaljert LQG regulatorstruktur 13

14 Kapittel 4 Kommentarer til Þgur 4-5 : 1. Transferfunksjonen fra kommandoen r til tilstanden x (pil 3) er den samme for den KF baserte regulatoren i Þgur 4-5 som for full tilstandstilbakekobling i Þgur Dersom vi bryter sløyfa ved pil 2 i Þgur 4-5 blir sløyfeforsterkningene omtrent de samme som for full tilstandstilbakekobling. 3. Dersom vi derimot bryter sløyfa ved pil 1 i Þgur 4-5 blir sløyfeforsterkningene forskjellige. Dette indikerer forskjeller i robustheten til de to systemene. Det viser seg at LQG-regulatoren kan ha vesentlig dårligere robusthet enn LQR. 4. Transientresponsen til LQG-regulatoren er forskjellig fra den til LQR. Som en måtte vente innfører KalmanÞlteret med sine n differensiallikninger en forsinkelse. 5. For å gi LQG-regulatoren tilsvarende sløyfeforsterkninger som LQR (for å sikre den samme robusthet og transientrespons) må en bruke LQG sløyfetransfergjenvinningsmetoden i avsnitt 4.5. Generelle kommentarer til regulatorer for stokastiske systemer En regulator for et stokastisk system vil ha to oppgaver (duale funksjoner) : a. estimere tilstandene basert på målingene b. realisere reguleringslova basert på informasjon fra estimatoren Generelt kan en få en interaksjon mellom de duale funksjonene til regulatoren a. usikkerhet om tilstanden kan føre til at regulatoren regulerer forsiktig (cautious control) sålenge det er stor usikkerhet om tilstanden b. regulatoren kan innføre ekstra eksitasjoner (probing action) som vil bedre estimerbarheten og dermed redusere framtidig tilstandsusikkerhet. Interaksjonen mellom de duale funksjonene til regulatoren kan karakteriseres ved følgende tre begrep : a. Separabilitet : Et stokastisk reguleringsproblem har separabilitetsegenskapen dersom den eneste informasjon reguleringslova trenger er estimatet av nåværende tilstand u = u(öx) b. Nøytralitet : Et stokastisk reguleringsproblem sies å være nøytralt dersom usikkerheten om tilstanden ikke avhenger av pådraget. c. Certainty equivalence : Et separabelt stokastisk reguleringsproblem sies å være certainty equivalent dersom formen på reguleringslova er den samme som for det ekvivalente deterministiske system. Et LQG problem tilfredsstiller kravet om certainty equivalence. Dette er det strengeste kravet og LQG problemet er derfor også både separabelt og nøytralt. Eksempel: 4.1 Cautious control Forskjellen mellom det optimale pådrag u o og certainty equivalence pådraget u c kalles ofte tilsiktet feil (intentional error). I dette eksempelet får vi en slik forskjell som skyldes at regulatoren blir forsiktig pga. støy. Vi har derimot ikke ekstra eksitasjoner (probing action) fordi det ikke er noen usikkerhet om tilstandene. Problemet er ikke separabelt, nøytralt og ikke certainty equivalent. Gitt x k+1 = ax k +(b + w k ) u k y k = x k hvor a og b er ukjente konstanter, w k er en sekvens av uavhengige, stokastiske variable med null middelverdi og varians lik σ 2. Dersom kriteriet som skal minimaliseres er ( X ) J = E 14 k=1 x 2 i

15 4.4 Lineært-kvadratisk-gaussisk (LQG) problem kan en vise at det optimale pådrag er gitt ved u o k = ab b 2 + σ 2 x k mens certainty equivalence pådraget er gitt ved u c k = a b x k Frekvenstolkning av en LQG-basert regulator Et forenkla blokkdiagram for Þgur 2-2, med B r og B 2 lik 0, y = C 0 x er utgangen for systemet og v og w = B 1 w 1 hvit støy med null middelverdi og spektraltetthets matriser V og W, ervistiþgur 4-6 w r=0 - K u G y v Figur 4-6 Blokkskjema for et tilbakekoblet system Vi kan sette opp følgende transferfunksjoner y(s) =(I + GK) 1 Gw(s) (I + GK) 1 GKv(s) (4-72) u(s) = (I + KG) 1 KGw(s) (I + KG) 1 Kv(s) (4-73) Vi deþnerer så sensitivitetsfunksjonen på inngangen og utgangen S i og S o, og de tilsvarende komplementære sensitivitets funksjonene T i og T 0 (merk : S i + T i = I, S o + T o = I): S o =(I + GK) 1, S i =(I + KG) 1 (4-74) T o = GK (I + GK) 1, T i =(I + KG) 1 KG (4-75) Ved å bruke Parsevals teorem får vi : J = 1 2 E R 0 z T Qz + u T Ru dt ª ¾ [z (jω)qz(jω)+u (4-76) (jω)ru(jω)] dω = 1 2π R 0 vedåsetteinnforz og u fra (4-72) til (4-76) Þnner en at LQG regulatoren minimaliserer en veiet sum som inneholder sensitivitets- og den komplementære sensitivitets funksjon. Kost- og støymatrisene (Q, R, V, W ) gir oss mulighet for å avveie sensitivitet og stabilitetsmarginer Reduksjon av dimensjonen på LQG-regulatoren Design av regulatorer for stokastiske MIMO systemer foregår vanligvis ved at en først lager et KalmanÞlter med full orden, for deretter å foreta en modellreduksjon uten vanligvis å tape noe særlig i ytelse og robusthet. Figur 4-7 illustrerer design prosessen fra en lineær regulator av høy orden til et mer praktisk design. 15

16 Kapittel 4 Forsterkningsmargin 60 grader fase margin 1. Design en deterministisk regulator med full tilstandstilbakekobling og forover-kobling (avsn ) Garantert Ikke garantert Tilfreds? 2. Design et Kalman filter av full orden (avsn. 4.4) Tilfreds? 3. Kombiner den deterministiske regulatoren av full orden med Kalman filteret av full orden Tilfreds? 4. Lag en lav-ordens og reoptimalisert regulator (avsn. 4.4) Tilfreds? Kandidat NGC system Figur 4-7 LQG designprosess Det Þns mange prinsipp for eliminering av tilstander i et KalmanÞlter. I boka er det omtalt 5 metoder hvorav bare to blir omtalt i noen detalj. 1. Modal metoden Her diagonaliseres først systemet. De modene som ikke blir eksitert blir eliminert. Raske moder med vesentlige eksitasjoner antar en svinger så raskt inn at de når stasjonærverdiene før resten av systemet. Stasjonærverdiene Þnnes ved å løse en algebraisk likning (setter úx raske =0) og løsningene settes så inn i det gjenværende system. Det reduserte KalmanÞlter må så tunes for å få den beste egenverdiplassering og dermed robusthet. 2. Modell reduksjon ved bruk av balansert realisering Dette er ifølge Lin en av de beste metodene. Denne metoden skiller subsystemer med dårlig observerbarhet/styrbarhet (disse tilstandene elimineres) fra de med god observerbarhet/styrbarhet. Metoden sikrer stabilitet dersom det opprinnelige system er stabilt. I Matlabs Control System Toolboks Þnns det funksjoner for balansert modellreduksjon. 16

17 4.5 LQG-loop transfer recovery methodology 4.5 LQG-loop transfer recovery methodology Hver for seg er den optimale tilstandsregulator og KalmanÞlteret svært robuste. Men det viser seg at satt sammen kan den totale regulatoren få vilkårlig liten stabilitetsmargin. Det vanlige råd en gir ved tilstandstilbakekobling - KalmanÞlterdesign er å gjøre KF mye raskere enn dynamikken til det tilbakekoblede systemet. En skulle derfor kanskje forvente at ved å ßytte egenverdiene til estimatoren, A K KF C 0, tilstrekkelig til venstre i det komplekse plan ville en få beholde robustheten på systeminngangen (pil 1 i Þgur 4-5). Dette viser seg ikke å være tilfellet. I visse tilfeller blir stabilitetsmarginene tvertimot dårligere. Eksempel: 4.2 Stabiliteten av en LQG-regulator (systemet er åpent-ustabilt). Gitt følgende system úx1 1 1 x1 0 1 = + u + w úx x 2 m 1 {z } {z } {z } {z } A x B 0 B 1 y = 1 0 x + v {z } C 0 ρ ρ Q =,R=1,W= σ, V=1 ρ ρ Under design av deterministisk regulator og KF setter vi m =1, B0 0 =. Riccati likninga for deterministisk 1 regulator : A T S + SA + Q S B 0 R 1 B 0 T S =0 Vi plukker ut den løsningen som gir S>0 : p p 4+2 (4 + ρ) 2+ (4 + ρ) S = 2+ p (4 + ρ) 2+ p (4 + ρ) p K FB = R 1 B0 T 2+ (4 + ρ) S = 2+ p (4 + ρ) {z } {z } = α 1 1 α α Vi kan så gjøre tilsvarende for KalmanÞlteret. AP + PA T + B 1 WB1 T PC0 T V 1 C 0 P =0 1 K KF = β, β =2+ 4+σ 1 Systemmatrisa for det tilbakekoblede system med estimator blir : A B A = 0 K FB K KF C 0 A K KF C 0 + B 0 K FB A = 0 1 mα mα β 0 1 β 1 β 0 β α 1 α det s s s s A Det karakteristiske polynom blir : s 4 + s 3 ( 4+α + β)+s 2 (6 + βα 2α 2β)+s (α + β 4+2(m 1)αβ)+1+(1 m)βα =0 Ifølge Rouths teorem er en tilstrekkelig betingelse for ustabilitet at en av koefþsientene i det karakteristiske polynom er negativ. Vi ser at for tilstrekkelig store α og β (ρ og σ) vil vi få ustabilitet dersom inngangsforsterkninga m får en vilkårlig liten endring fra designverdien 1. Dvs. LQG -regulatoren har vilkårlig liten forsterkningsmargin. Det Þns ßere metoder for å gjenvinne robustheten som en optimal deterministisk regulator har (loop transfer recovery - LTR). For et minimumfase system kan en argumentere som følger : Vi starter med en basis LQG regulator som ikke har den ønska robusthet på inngangen til prosessen. Ved å øke prosesstøyen på Þltermodellen (dvs. vi øker W) vil KalmanÞlteret tro at vi har mer prosessstøy enn vi i virkeligheten har. 17

18 Kapittel 4 KalmanÞlteret vil derfor behandle det som kommer inn på prosessen på en mer forsiktig måte. Og det kan vises av vi får en gjenvinning av robustheten når W [Anderson and Moore, 1989]. Systemet blir mer ufølsom overfor fase- og forsterkningsendringer på inngangen til systemet. Ettersom den prosesstøyen vi nå bruker ikke er den riktige vil naturlig nok systemet ikke lenger behandle prosesstøy og målestøy optimalt. Så vi må avveie robusthet og støyundertrykking. DetÞns en dual teknikk som gjenvinner utgangs robustheten. Metoden som blir presentert i Lin er mer en frekvensformingsmetode. LTR teknikker kan også anvendes på ikke-minimumfase systemer, men med forsiktighet. For fra syntese av regulatorer for SISO systemer vet vi at det kan være vanskelig eller umulig å lage en robust regulator for ikke-minimumfase systemer. 18