TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

Transkript

1 2 Plastisk momentkapasitet og flyteledd Innhold: Elastisk kontra perfekt plastisk materiale Plastifisering av tverrsnitt utsatt for bøyning Plastisitetsmoment Plastisk motstandsmoment Flyteledd Kollaps av bjelker og rammer Beregning av bruddlast med virtuelt arbeid Litteratur: Irgens, Fasthetslære, kap og Hibbeler, Mechanics of Materials, kap Cook & Young, dvanced Mechanics of Materials, kap Barber, Intermediate mechanics of materials, kap. 5 Larsen, Stålkonstruksjoner, kap og TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

2 Elastisk og plastisk materialoppførsel Typisk materialoppførsel for duktile metaller: Høyfast stål Konstruksjonsstål (S355) Y (S355) Y (l) luminium Elastisk område: Kun for små tøyninger, dvs <~ Rettlinjet kurve, dvs lineær sammenheng mellom og. Hookes lov gir matematisk beskrivelse: = E. lle elastiske deformasjoner er reversible. Fysisk mekanisme: Øker/reduserer avstand mellom atomer. Flytespenningen Y definerer slutt på elastisk område. (Flerdimensjonal spenningstilstand: Tresca eller Mises estimerer når flytning inntreffer.) Plastisk område: Starter når spenningen overskrider flytespenningen Y. Ikke lenger lineær kurve, og gradient avtar betydelig Kan få store tøyninger uten noe særlig økning i. Plastiske deformasjoner er irreversible, dvs permanente. vlastning fra plastisk område er elastisk (følger E-modul). Fysisk mekanisme (metaller): Glidning mellom atomplan i krystallgitter, initiert av dislokasjoner. TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

3 Idealisert plastisk materialoppførsel To vanlige idealiseringer av spennings-tøyningskurven (nyttig for enkle håndberegninger) er: Elastisk perfekt plastisk Stiv perfekt plastisk Konstruksjonsstål (S355) Y Idealisering: Elastisk perfekt plastisk Idealisering: Stiv perfekt plastisk En elastisk perfekt plastisk idealisering inkluderer elastiske deformasjoner. En stiv perfekt plastisk idealisering innebærer at: 1. Elastiske deformasjoner neglisjeres. I duktile materialer er de små sammenlignet med de plastiske deformasjonene. 2. Ser bort fra fastning, dvs økning i spenning i plastisk område. ntar konstant = Y. Kommentarer: 1. Begge idealiseringene er normalt konservative. 2. Den stiv perfekt plastiske idealiseringen benyttes i enkle kapasitetsberegninger for hånd Flyteledd (TKT4124 Mekanikk 3) Plastisk tverrsnittskapasitet (TKT4170 Stål 1) 3. TKT4135 Materialmekanikk tar for seg plastisitetsteori Plastisitet for flerdimensjonal spenningstilstand Utvikling av deformasjoner Fastning TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

4 Dimensjonering etter elastisitetsteori Elastisitetsteori (betrakter ren bøyning; M er vanligvis kritisk): Bjelkens elastiske kapasitet er nådd når = Y i ett eller annet punkt i bjelken. Hvis bjelken har konstant 2. arealmoment I, vil første flytning inntreffe i ekstremt fiber (dvs lengst mulig unna nøytralaksen) i snittet med maksimalt bøyemoment M. Det maksimale momentet i bjelken i det flytning inntreffer kalles tverrsnittets elastiske momentkapasitet M Y. M Y er tverrsnittsavhengig: M Y = Y W y. { W y er elastisk motstandsmoment: W y = I y / z maks } F ø rste flytning inntreffer Definerer elas - tisk kapasitet F M h b z y Den elastiske momentkapasiteten M Y definerer det maksimale momentet som kan påføres uten at det oppstår permanente deformasjoner. Bjelkens elastiske momentkapasitet innebærer ikke at bjelken er i ferd med å bryte sammen. Tvert i mot for duktile materialer er det en betydelig kapasitetsreserve i form av plastiske deformasjoner. Bjelken tåler ytterligere pålastning! Hvis man ønsker å bestemme den lasten som gir fysisk sammenbrudd, vil den elastiske momentkapasiteten gi en veldig konservativ dimensjonering. TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

5 Elastisk momentkapasitet Betrakter spennings- og tøyningstilstanden i en bjelke ved initiell flytning. Maksimal spenning i tverrsnittet er dermed Y, og denne opptrer i ytterste fiber. Tilhørende tøyning er Y. Tøyninger (lineære pga Naviers hypotese): Spenninger (lineære pga lineære og Hookes lov): z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 -z 1 z 2 -z 1 Indre likevekt: 2 h 2 h MY T C arm arm 1 h 2 h Y b h C T y,z d Y b 2 2 MY bh Y W z Y TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

6 Gradvis plastifisering Tverrsnittet belastes nå videre slik at M > M Y. Naviers hypotese antas stadig å være gyldig, dvs lineære over tverrsnittshøyden, og maks > Y. Vi beveger vi oss nå ut på det horisontale platået med = Y på - kurven. Spenningen Y brer seg dermed innover i tverrsnittet. Tøyninger (lineære pga Naviers hypotese): Spenninger (gjenkjenner form på - kurven): z 2 z 1 z Y -z z 1 2 -z Y Tverrsnittet er nå plastifisert ytterst ( = Y ). Innenfor er en elastisk kjerne med høyde 2 z Y. Kan finne momentet M som funksjon av z Y ved å multiplisere de indre kraftresultantene T i og C i med sine respektive momentarmer. z Y -z Y TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

7 Plastisk momentkapasitet Ved ytterligere pålastning beveger vi oss lenger og lenger ut på - kurven, og det plastifiserte området med = Y brer seg stadig lenger inn slik at utstrekningen z Y til den elastiske kjernen avtar. z Y -z Y Til slutt er hele tverrsnittet plastifisert med flytespenning Y i trykk og strekk i hver sin halvdel. Utstrekningen til den elastiske kjernen er nå neglisjerbar. Bøyemomentet M p som samsvarer med denne spenningsfordelingen kalles plastisk moment-kapasitet eller plastisitetsmoment. h C T y, zd Y b 2 Indre likevekt: 1 h 1 h h 1 h Mp T C Yb arm arm 1 2 M bh W 4 p Y py Y W py kalles plastisk motstandsmoment (= bh 2 /4 for rekt. tv.sn.) TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

8 Plastisk motstandsmoment z = Y y M ELSTISK N PLSTISK N = Y = Y Elastisk tilstand Plastisk tilstand ELSTISK TILSTND: Nøytralaksen ligger i flatesenteret Bøyespenningsformelen gir fordeling av bøyespenning M I z over tverrsnittshøyden: / y Spenning overskrider ikke flytespenningen Y i noe punkt Likevekt: M zd og N d 0 PLSTISK TILSTND: Nøytralaksen halverer tverrsnittsarealet. Mao.: Nytt origo! Dermed oppnås aksialkraftlikevekt: N T C d Y d trykk = strekk 0 Momentet beregnes prinsipielt fra: M zd zd p Y For sammensatte, enkle tverrsnittsdeler: Mp Y ( i ai ) Plastisk motstandsmoment (plastisk tverrsnittsmodul): Wpy zd eventuelt Wpy ( i a i ) Mp W Formfaktor: f M W Y py y TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

9 Eksempel 2.1: T-tverrsnitt h t h t Et enkeltsymmetrisk T-tverrsnitt har mål som vist i figuren ovenfor. Tverrsnittet er påkjent av et bøyemoment som virker om y-aksen (den horisontale aksen). nta at materialet har flytespenning Y. Sett t = h/3. a. Bestem beliggenheten til den elastiske nøytralaksen b. Bestem den elastiske momentkapasiteten. c. Bestem beliggenheten til den plastiske nøytralaksen d. Bestem den plastiske momentkapasiteten. e. Finn formfaktoren f. Fasit: 5h a) zc b) M 6 30 e) f 1,76 17 el yh c) zc h d) M P 2 yh 9 3 TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

10 Flyteledd statisk bestemt konstruksjon I en statisk bestemt konstruksjon vil full plastifisering kun oppstå i snittet der det er maksimalt bøyemoment M maks. Videre blir det delvis plastifisering i et område rundt snittet med M maks. F p Y Y Y I et statisk bestemt system er det ikke mulig å påføre mer last enn bruddlasten F p, som gir full plastifisering i snittet med M maks. Årsaken ligger i antagelsen om perfekt plastisk materialkurve: Tøyningene kan økes ytterligere uten at spenningene øker (pga horisontal - kurve). Innspenningssnittet i figuren ovenfor vil derfor oppføre seg som et ledd: Det kan rotere (dreie) uten å yte noen indre motstand. Dette kalles et flyteledd. Dannelse av ett flyteledd i et statisk bestemt system gir kollaps. F p FLYTELEDD M F p L = M p TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

11 Eksempel 2.2: Fritt opplagt bjelke med T-tverrsnitt h F L t h t En fritt opplagt bjelke har et T-tverrsnitt som vist på figuren. Materialet idealiseres som elastisk perfekt plastisk, og har flytespenning Y. Sett t = h/3. a. Bestem den elastiske kapasiteten F Y til bjelken (uttrykt ved h, L og Y ). b. Bestem den plastiske kapasiteten, dvs bruddlasten, F p til bjelken (uttrykt ved h, L og Y ). Fasit: a) F el 3 68 yh b) 135 L F pl 8 9 y L h 3 TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

12 Flyteledd statisk ubestemt konstruksjon I en statisk ubestemt konstruksjon oppstår full plastifisering og det første flyteleddet i snittet med maksimalt bøyemoment. Dette flyteleddet fører til at graden av statisk ubestemthet avtar med én, siden det har blitt et ekstra ledd. Så lenge systemet er minimum statisk bestemt, vil dannelse av flyteledd i en statisk ubestemt konstruksjon ikke gi kollaps. Bjelken i figuren til høyre er 1 gang statisk ubestemt. M maks opptrer i innspenningen. Det første flyteleddet pga full plastifisering oppstår derfor her. Når det første flyteleddet er dannet, er det statiske systemet endret: Innspenningen er erstattet av et (flyte)ledd. Statisk sett har vi nå en fritt opplagt bjelke. Bjelken tåler derfor ytterligere pålastning. Men M- diagrammet vil endre seg. I innspenningen kan ikke momentet bli større enn M p. Men i midtsnitt øker M med økende last F inntil tverrsnittet er plastifisert her også. Med M p i midtsnitt blir det et nytt flyteledd Kollaps. Nå gjenstår å bestemme den tilhørende bruddlasten F p. F L/2 L/2 5/32 FL M p 6/32 FL M elastisk FØRSTE FLYTELEDD NDRE FLYTELEDD KOLLPS M p M kollaps TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

13 Bruddlast fra virtuelt arbeid Ved kollaps oppstår det en mekanisme i konstruksjonen: ntallet flyteledd er så stort at systemet blir statisk under-bestemt. Det kan derfor ikke bære den påførte lasten, og det blir sammenbrudd. TOMMELFINGERREGEL: ntallet flyteledd ved kollaps er ofte lik graden av statisk ubestemthet pluss én. Siden det er etablert en mekanisme ved kollaps, kan prinsippet om F p virtuelt arbeid benyttes til å beregne bruddlasten F p : Mekanismen velges som M p M p M p virtuelt forskyvningsfelt. ntar stive komponenter M p mellom (flyte)leddene. I leddene gjør plastisitetsmomentene M p et negativt virtuelt arbeid. M p Prinsippet om virtuelt arbeid gir nå bruddlasten F p som funksjon av M p og L (ytre geometrisk mål). Plastisitetsmomentet M p er stadig en funksjon av flytespenning Y og tverrsnittsdimensjonene, se side 2-7 og 2-8. M kollaps I mange konstruksjoner, spesielt rammer, vil det være flere aktuelle mekanismer som kan gi kollaps. Den korrekte mekanismen er den som resulterer i den laveste bruddlasten. En sentral sjekk er å tegne M-diagram i bruddtilstanden. Hvis momentet overskrider plastisk momentkapasitet noe sted i konstruksjonen, er den antatte mekanismen feil. TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

14 Eksempel 2.3: Delvis innspent bjelke med T-tverrsnitt F h t L/2 L/2 h t En bjelke er innspent i den ene enden, mens den andre enden er fritt opplagt. Bjelken har et T-tverrsnitt som vist på figuren. Materialet idealiseres som elastisk perfekt plastisk, og har flytespenning Y. Sett t = h/3. a. Bestem den elastiske kapasiteten F Y til bjelken (uttrykt ved h, L og Y ). b. Bestem den plastiske kapasiteten, dvs bruddlasten, F p til bjelken (uttrykt ved h, L og Y ). Fasit: a) F el 3 yh 0,672 b) L F pl yh 1,33 L 3 TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

15 Eksempel 2.4: Bjelke med ulike kapasiteter (Cook & Young, oppgave d og d) Bjelken på figuren ovenfor har plastisk momentkapasitet M p til venstre for punktlasten P, og plastisk momentkapasitet 2M p til høyre for lasten. Bestem rammens bruddlast P p. Vis at bruddlasten er den korrekte ved å kontrollere at momentkapasiteten ikke overskrides noe sted langs bjelken. Fasit: P pl M 0,714 L P TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

16 Eksempel 2.5: Ramme med vindlast q B C L D L En ramme BCD er påkjent av en jevnt, fordelt horisontal vindlast langs søyle B. lle komponentene i rammen har plastisk momentkapasitet M p. Bestem rammens bruddlast q p. Fasit: q pl M 5,236 L P 2 TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

17 Elastisk kontra plastisk lastvirkningsanalyse og dimensjonering Lastvirkningsanalyse: Bestemmelse av lastvirkning (snittkrefter) i konstruksjonen, dvs N-, V-, M- og eventuelt T-diagram Elastisk lastvirkningsanalyse og dimensjonering: ll lastvirkning bestemmes ved bruk av elastisitetsteori. For statisk bestemte systemer vil dette si likevektsligningene alene. For statisk ubestemte systemer kreves i tillegg en elastisk deformasjonsbetraktning. Kapasiteten til konstruksjonen er nådd i det første flytning inntreffer i kritisk punkt. Må regne ut spenninger ( og ) i punktet og sjekke med et flytekriterium (f.eks Tresca eller Mises). Ofte må flere punkter undersøkes. Superposisjonsprinsippet er gyldig: Kan generere lastkombinasjoner ved å summere bidrag fra ulike belastninger. Plastisk lastvirkningsanalyse og dimensjonering: Lastvirkningen (diagrammene) etableres i bruddtilstanden, dvs etter at det er etablert ett eller flere flyteledd slik at det oppstår en mekanisme. I flyteleddene er tverrsnittet fullstendig plastifisert. Plastisk lastvirkningsanalyse gir høyere kapasitet og bedre utnyttelse av konstruksjonen enn en elastisk lastvirkningsanalyse. Ulempe med plastisk lastvirkningsanalyse: Superposisjonsprinsippet kan ikke benyttes. Plastisk lastvirkningsanalyse setter krav til minimum duktilitet av materialet og maksimum slankhet av tverr-snittet, se side TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd

18 Forutsetninger for plastisk lastvirkningsanalyse Kollaps av konstruksjoner pga plastifisering av tverrsnitt:. Det dannes først et flyteledd i snittet med maksimalt moment. I flyteleddet er tverrsnittet fullstendig plastifisert. B. Hvis konstruksjonen er statisk ubestemt, må det i tillegg dannes et tilstrekkelig antall ledd slik at det dannes en mekanisme. I leddene som dannes først, dvs alle leddene unntatt det siste, forutsettes det nå i den statiske analysen at man faktisk har et ledd, dvs mulighet for betydelige rotasjoner av tverrsnittet. Betydelige rotasjoner av tverrsnittet i flyteleddet forutsetter: 1. Materialet er tilstrekkelig duktilt. Det må tåle store plastiske tøyninger uten at det blir materialbrudd. 2. Hvis tverrsnittet er veldig slankt i trykkområdet (trykkflens, trykk-delen av steget), er det en reell fare for at det oppstår lokal knekning som igjen innebærer lokal avlastning. Tverrsnittet må derfor være relativt kompakt (dvs ikke for slankt) hvis det skal etableres flyteledd. Dette håndteres med tverrsnittsklasser (TKT4230 Stål og aluminium) Foto: Lokal knekking av trykkflensen og stegets trykksone i en slank stålbjelke (tynt steg og tynn trykkflens). Dette er ikke forenlig med etablering av et flyteledd! TKT4124 Mekanikk 3, høst Plastisk momentkapasitet og flyteledd