MASTEROPPGAVE 2011 DATO:

Transkript

1 Institutt for konstruksjonsteknikk Fakultet for ingeniørvitenskap og teknologi NTNU- Norges teknisk- naturvitenskapelige universitet TILGJENGELIGHET Åpen MASTEROPPGAVE 2011 FAGOMRÅDE: Stålkonstruksjoner DATO: ANTALL SIDER: TITTEL: Knutepunkter for staver med hulprofiltverrsnitt Joints for elements of hollow sections UTFØRT AV: Fredrik Torp Karlsen SAMMENDRAG: Knutepunktstandarden NS-EN (Eurokode 3 del 1-8) gir regler for å beregne stivhet og kapasitet til et knutepunkt basert på en komponentmetode. Det vil si at knutepunktet blir delt inn i basiskomponenter med kjent oppførsel som kombineres for å beskrive den totale responsen. Det er i denne oppgaven sett spesielt på strekkbelastede endeplateskjøter med hulprofilstaver. Dette er et område som ikke dekkes direkte av reglene i knutepunktstandarden. Derfor er det sett på hvor godt basiskomponentene fra Eurokoden, som kan identifiseres i en slik skjøt, beskriver oppførselen med tanke på kapasitet og stivhet. Annen litteratur som omhandler kapasiteten er også gjennomgått, men det er ikke funnet litteratur som beskriver stivheten. I laboratoriet ble det gjennomført strekkforsøk av endeplateskjøter med bolter langs to sider av hulprofilet og med bolter langs alle fire sider av hulprofilet. Totalt seks forsøk med tre ulike geometrier ble gjennomført. Det er også utført numeriske analyser i elementmetodeprogrammet Abaqus av de samme geometriene. Disse er sammen med håndberegninger etter Eurokoden og annen litteratur sammenlignet med laboratorieforsøket. Det viser seg at tilnærmingen fra Eurokoden identifiserer den observerte bruddmekanismen for prøvene med bolter langs to sider av hulprofilet, men ikke for prøvene med bolter langs alle sider. Den initielle elastiske stivheten overestimeres noe. De numeriske analysene beskriver den observerte oppførselen fra laboratorieforsøkene på en god måte. FAGLÆRER: Førsteamanuensis Arne Aalberg VEILEDER(E): Førsteamanuensis Arne Aalberg UTFØRT VED: Institutt for konstruksjonsteknikk, NTNU

2

3 Institutt for konstruksjonsteknikk FAKULTET FOR INGENIØRVITENSKAP OG TEKNOLOGI NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet MASTEROPPGAVE 2011 for Fredrik Torp Karlsen Knutepunkter for staver med hulprofiltverrsnitt Joints for elements of hollow sections I knutepunktsstandarden NS-EN 1993 del 1.8, Dimensjonering av knutepunkter, er det gitt omfattende beregningsanvisninger for sammenføyninger i stålrammer og fagverk. Reglene dekker grunnleggende forbindelseselementer som skruer, sveiser og plater, og komplette knutepunktsgeometrier for stålelementer med I-tverrsnittsform og hulprofilform. Anvisninger er gitt for både kapasitetsberegning og stivhetsberegning. Standarden benytter en komponentmetode, hvor knutepunkter modelleres som en samling enkle basiskomponenter med kjent oppførsel. I beregning av knutepunkter i bygninger har det fram til i dag vært fokusert hovedsakelig på kapasitet, og det har i stor grad blitt brukt standardløsninger for sammenføyningene. Det har enten blitt antatt leddet knutepunktsoppførsel (momentfri, fri til å rotere), eller helt stiv oppførsel (momentoverførende, dvs kontinuerlig). Knutepunktene har fått en detaljutforming som skulle sikre dette, uten at det har blitt regnet nærmere på knutepunktets reelle stivhet. Semi-kontinuerlige knutepunkter, som er knutepunkter med delvis momentstivhet og kapasitet, har ikke vært utnyttet i særlig grad i norske bygningskonstruksjoner. Grunnen til dette har til dels vært at det ikke har foreligget praktisk anvendbare beregningsmetoder for knutepunktsstivhet, og dels at man ikke har sett behovet for å modellere reell knutepunktsstivhet i konstruksjonsanalysen. For norske bygningsrammer har praksisen i stor grad vært å sikre sideveis stivhet og stabilitet ved bruk av avstivingssystemer som veggfagverk, stive kjerner av betong, platevegger og lignende, og man har derfor ikke behøvd å utnytte momentstivhet i bygningsrammenes bjelke-søyle-forbindelser, hjørner og innfestinger til fundamenter (søyleføtter). I mange utførte knutepunkter er det trolig betydelig avvik mellom antatt og reell oppførsel. Spesielt gjelder dette de antatte momentledd, hvor forbindelseselementene (plater, skruer, sveiser, stivere) ofte gir knutepunktet en ikke ubetydelig momentstivhet. For bygninger og konstruksjoner som dimensjoneres etter reglene skal det nå etter innføring av Eurokodene (april 2010) som et minimum påvises at momentstivheten tilfredsstiller de modellene som benyttes i konstruksjonsanalysen. Stivhet og kapasitet til bjelke-søyle-forbindelser og søyleføtter er behandlet i en rekke studentarbeider ved Institutt for konstruksjonsteknikk i de senere årene. Bakgrunnen for reglene i standarden er gjennomgått, og det er foretatt laboratorieforsøk og numeriske simuleringer for flere knutepunktsgeometrier, med sikte på å undersøke og verifisere bestemmelsene i standarden. I en fortsettelse av disse arbeidene ønsker vi nå å se på flere varianter av knutepunkter, gjerne hentet fra utførte konstruksjoner i Norge i de senere år. Her skal det sees på beregningsmodellene for kapasitet og oppførsel, og betydningen av oppførselen til knutepunktene for oppførsel til bygningsrammen eller konstruksjonen som

4 helhet. Forbindelser for konstruksjonselementer av hulprofiler er spesielt interessant å få belyst i denne oppgaven, i og med anvisningene for dette er mangelfulle i standarden. Oppgaven består av følgende aktiviteter: 1. Det skal gis en kortfattet presentasjon av beregningsreglene for forbindelser og knutepunkter generelt (NS EN ), og hvordan modelleringen av knutepunkter henger sammen med selve konstruksjonsanalysen. 2. Det skal gjøres rede for beregningsmetoder for knutepunkter av firkantprofil brukt i bygningsrammer (søylefot, bjelke-søyle-forbindelser, rammehjørner), og det sees spesielt på skjøter i strekkbelastede staver med endeplateforbindelser. Her inngår en presentasjon og diskusjon av litteratur (artikler) på området. 3. Det skal utføres numerisk simulering for aktuelle geometrier av endeplateskjøter, og sammenligninger med håndberegninger. Det skal sees både på kapasitet og stivhet i forbindelsene. 4. Det kan være aktuelt å utføre laboratorieforsøk for å etablere data for endeplateskjøter for valgte geometrier, for verifisering av numeriske modeller og etterprøving av beregningsanvisninger. 5. Kandidaten kan ta for seg knutepunkter og konstruksjonsdetaljer benyttet i norske stålrammer og konstruksjoner, og beregne og diskutere oppførselen av disse. Kandidatene kan i samråd med faglærer velge å konsentrere seg om enkelte punkter i oppgaven, eller juster disse. Besvarelsen organiseres i henhold til gjeldende retningslinjer. Besvarelsen skal leveres til Institutt for konstruksjonsteknikk innen 14. juni Faglærer og veileder er Arne Aalberg (NTNU) NTNU, 17. januar 2011 Faglærer Arne Aalberg

5 Forord Denne rapporten er en masteroppgave skrevet i siste semester av sivilingeniørstudiet ved Institutt for konstruksjonsteknikk ved Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet (NTNU) våren Masteroppgaven utgjør 20 ukers arbeid og tilsvarer 30 studiepoeng. Hensikten med oppgaven er å undersøke knutepunkt med rektangulære hulprofiler, og det er lagt størst vekt på kapasitet og stivhet for strekkskjøter. Regelverket på området er gjennomgått sammen med annen eksisterende teori. Det er også utført laboratorieforsøk og numeriske analyser i elementmetodeprogrammet Abaqus. Jeg ønsker å rette en takk til min veileder førsteamanuensis Arne Aalberg ved Institutt for konstruksjonsteknikk for god faglig støtte gjennom arbeidet. Jeg vil også takke avdelingsingeniør Terje Petersen og overingeniør Trond Auestad for deres hjelp med laboratorieforsøkene. Trondheim, juni 2011 Fredrik Torp Karlsen i

6 ii

7 Innhold 1 Innledning Konstruksjonsanalyse og klassifisering Elastisk global analyse Stiv-plastisk global analyse Elastisk-plastisk global analyse T-stykke T-stykkets effektivlengde Bruddmoder Bruddmode Bruddmode Bruddmode Uten hevarmskrefter Stivhet Stivhetskoeffisienter fra Eurokoden Alternativ tilnærming Strekkskjøt med rektangulære hulprofiler HUP-strekk-skjøt med bolter langs fire sider HUP-strekk-skjøt med bolter langs fire sider HUP-strekk-skjøt med bolter langs to sider Bruddmekanismer Laboratorieforsøk Strekkforsøk Oppsett og gjennomføring i laboratoriet Resultater Om kameramåling Prøvetype A Prøvetype B Prøvetype C Håndberegninger Prøvetype A T-stykke Kapasitet etter kapittel Stivhet - Eurokoden iii

8 7.1.4 Stivhet Alternativ Prøvetype B T-stykke Kapasitet etter kapittel Stivhet-Eurokoden Stivhet-Alternativ Prøve C T-stykke Kapasitet etter kapittel Kapasitet etter kapittel Stivhet-Eurokoden Stivhet-Alternativ Oppsummering håndberegning Numeriske analyser Materialegenskaper Endeplater Profil S Bolter Sveis Generelt om modellen Utnyttelse av symmetri Randbetingelser Interaksjoner Lastpåføring Elementer Elementinndeling Resultater Prøvetype A Prøvetype B Prøvetype C Sammenligning av resultater Kapasitet Stivhet Konklusjon iv

9 11 Referanser VEDLEGG v

10 Figurliste Figur 2.1: Moment-rotasjon karakteristikk [2]... 3 Figur 2.2: Klassifisering av knutepunkt etter stivhet [1]... 4 Figur 2.3: Rotasjonsstivhet for lineær elastisk global analyse [1]... 5 Figur 2.4: Klassifiseringsgrenser for styrke [2]... 5 Figur 2.5: Forenklet bilineær dimensjonerende moment-rotasjon-relasjon [1]... 6 Figur 3.1: Ekvivalent T-stykke [1]... 7 Figur 3.2: Effektivlengden til et T-stykke [2]... 7 Figur 3.3: Sirkulære og ikke-sirkulære bruddmønster [5]... 8 Figur 3.4: Modell for utstikkende endeplate i form av separate T-stykker [1]... 9 Figur 3.5: Bruddmode 1, 2 og 3 [2]... 9 Figur 3.6: Beregningsmodell for bruddmode Figur 3.7: Beregningsmodell for bruddmode Figur 4.1: Elastisk deformasjon av T-stykke [6] Figur 4.2: Krefter med tilhørende momentdiagram for den ene siden av T-stykket Figur 4.3: Påsatt enhetslast med tilhørende momentdiagram Figur 4.4: Beregningsmodell for stivhet Figur 4.5: Fjerning av opplager Figur 4.6: Påsatt ukjent kraft X Figur 4.7: Beregningsmodell med tilhørende momentdiagram Figur 4.8: Fordeling av krefter og tilhørende momentdiagram for påsatt enhetslast Figur 5.1: Originalt flytelinjemønster [8] Figur 5.2: Modifisert flytelinjemønster Figur 5.3: Beregningsmodell for flytelinje 1 og Figur 5.4: Geometri for halve plan Figur 5.5: Beregningsmodell for flytelinje Figur 5.6: Geometri for beregning av plastisk arbeid for flytelinje Figur 5.7: Beregningsmodell for flytelinje Figur 5.8: Flytelinjer for fire bolter [9] Figur 5.9: Flytelinjer for åtte bolter [9] Figur 5.10: Forbindelse med bolter langs to sider av RHS [10] Figur 5.11: Last-forskyvning sammenheng fra bjelketester Figur 5.12: Antatt spenningsfordeling ved maksimal momentkapasitet Figur 5.13: Mekanisme Figur 5.14: Mekanisme Figur 5.15: Mekanisme Figur 5.16: Mekanisme Figur 5.17: Mekanisme Figur 5.18: Mekanisme Figur 6.1: Prøve C1 og B Figur 6.2: Geometri prøvetype A/B Figur 6.3: Geometri prøvetype C Figur 6.4: Strekkprøvenes geometri Figur 6.5: Strekkprøvene etter forsøk vi

11 Figur 6.6: Spenning-tøyningskurver for 8 mm plate Figur 6.7: Spenning-tøyningskurver for 10 mm plate Figur 6.8: Festemekanisme for nedre ende Figur 6.9: Den nedre enden holdes fast og den øvre dras oppover under forsøk Figur 6.10: Spraylakkert prøve Figur 6.11: Laboratorieoppsett som viser prøvestykke med sprayet overflate montert i testmaskin, lys og kamera som tar foto og datamaskiner for logging av kraft, forskyvning og bilder Figur 6.12: Markering av områder i 7D Figur 6.13: Markerte områder senere i forsøket Figur 6.14: Referansepunkt i øvre endeplate for prøve A Figur 6.15: Referansepunkt i nedre endeplate for prøve A Figur 6.16: Referansepunkter for prøve C Figur 6.17: Kraft-forskyvningskurver for prøvetype A Figur 6.18: Prøve A2 før og etter test Figur 6.19: Kraft-forskyvningskurver for prøvetype B Figur 6.20: Prøve B2 (venstre) og B1 (høyre) før forsøk Figur 6.21: Prøve B2 og B1 etter forsøk Figur 6.22: Kraft-forskyvningskurver for prøvetype C Figur 6.23: Prøve C1 før og etter forsøk Figur 6.24: Prøve C2 før og etter forsøk Figur 6.25: Ene halvdelen av prøve C2 etter forsøk Figur 6.26: Flytemønster i endeplate for prøve C Figur 8.1: Sann plastisk tøyning mot sann spenning Figur 8.2: Sann spenning mot sann plastisk tøyning for 10 mm plate Figur 8.3: Materialmodell S Figur 8.4: Plastisk materialmodell bolt Figur 8.5: Plastisk materialmodell sveis Figur 8.6: Utnyttelse av symmetri Figur 8.7: Randbetingelser for en sidekant Figur 8.8: Fastlåste områder Figur 8.9: Lastpåføring Figur 8.10: Volumelementet C3D8R [12] Figur 8.11: Elementinndeling for endeplate for prøvetype A, B og C Figur 8.12: Elementinndeling profil, bolt og sveis for prøvetype A Figur 8.13: Referansepunkt for forskyvning for prøvetype A (øverst), prøvetype B (midten) og prøvetype C (nederst) Figur 8.14: Kraft-forskyvningskurve fra Abaqus for prøvetype A Figur 8.15: Originalmodell (venstre) speilet om XY, XZ og YZ planet (høyre) Figur 8.16: Prøvetype A ved belastning 266 kn Figur 8.17: Spenningsfordeling nederst på hulprofilet for prøvetype A Figur 8.18: Spenningsfordeling i endeplate for prøvetype A Figur 8.19: Spenningsfordeling i sveis for prøvetype A Figur 8.20: Spenningsfordeling i bolt for prøvetype A Figur 8.21: Kraft-forskyvningskurve fra Abaqus for prøvetype B Figur 8.22: Deformasjon prøvetype B vii

12 Figur 8.23: Spenningsfordeling i endeplate for prøvetype B Figur 8.24: Spenningsfordeling nederst på hulprofil for prøvetype B Figur 8.25: Spenningsfordeling i sveis for prøvetype B Figur 8.26: Spenningsfordeling i bolt for prøvetype B Figur 8.27: Kraft-forskyvningskurver for prøvetype C Figur Deformasjon for prøvetype C Figur 8.29: Spenningsfordeling i nedre del av hulprofil for prøvetype C Figur 8.30: Spenningsfordeling i endeplate for prøvetype C Figur 8.31: Spenningsfordeling i sveis for prøvetype C Figur 8.32: Spenningsfordeling i bolt for prøvetype C Figur 9.1: Sammenligning av kapasitet for prøvetype A Figur 9.2: Sammenligning av deformasjon for prøve A Figur 9.3: Sammenligning av kapasitet for prøvetype B Figur 9.4: Sammenligning av kapasitet for prøvetype C Figur 9.5: Sammenligning av stivhet for prøvetype A Figur 9.6: Prøve A2 ved 0 kn, 50kN og 175 kn last Figur 9.7: Sammenligning av stivhet for prøvetype B Figur 9.8: Sammenligning av stivhet for prøvetype C Tabeller Tabell 2.1: Klassifisering av knutepunkt [1]... 4 Tabell 3.1: Effektive lengder for T-stykket [1]... 9 Tabell 6.1: Prøveprogram Tabell 7.1: Kapasitet håndberegning Tabell 7.2: Stivhet håndberegning Tabell 8.1: Elastisk materialdata Tabell 8.2: Materialdata S Tabell 8.3: Materialdata bolt Tabell 8.4: Plastisk materialdata sveis Tabell 9.1: Håndberegning av kapasitet for prøvetype C viii

13 Masteroppgave 2011 NTNU 1 Innledning I beregninger av knutepunkter har det frem til nylig hovedsakelig vært fokusert på kapasitet, og det har ofte blitt benyttet standardløsninger hvor knutepunktetene enten har vært antatt å være leddede eller momentstive. Knutepunktstandarden NS-EN , som ble gjeldene i 2010, angir at det nå også skal gjøres vurderinger for knutepunktstivheten, og det skal påvises at momentstivheten tilfredsstiller de modellene som benyttes i konstruksjonsanalysen, altså i statikk-modellen for konstruksjonen. Derfor blir knutepunktene klassifisert som leddet, delvis stivt eller stivt. Reglene for dette blir gjennomgått i kapittel 2. Det blir i NS-EN benyttet en komponentmodell for å beregne kapasitet og stivhet til knutepunkter. Dette gjøres ved at knutepunktet blir delt inn i basiskomponenter med kjent oppførsel som igjen kombineres for å beskrive den totale responsen. I denne oppgaven er det valgt å fokusere på strekkbelastede endeplateskjøter med hulprofilstaver. Reglene for denne typen knutepunkt er mangelfulle i Eurokoden. Det er derfor ønskelig å finne ut hvordan komponentmetoden kan beskrive oppførselen når det er brukt bolter langs to og fire sider av hulprofilet, både med tanke på kapasitet og stivhet. I kapittel 3 gjennomgås komponentmetoden med fokus på kapasitetsberegninger fra basiskomponenter som kan finnes igjen i denne typen knutepunkt. Kapittel 4 omhandler stivhetsberegninger på samme måte. Det er også sett nærmere på en alternativ variant av fremgangsmåten benyttet av standarden for stivheten. Sidene henvisningene i standarden er mangelfulle når det gjelder denne typen knutepunkt er det i kapittel 5 sett nærmere på andre metoder for å beregne kapasiteten. Det er imidlertid ikke funnet litteratur som omhandler stivheten på dette området. Det er gjennomført strekkforsøk i laboratoriet av endeplateskjøter med hulprofilstaver. Med en geometri hvor det er plassert bolter langs to sider av hulprofilet er det laget to versjoner hvor tykkelsen på endeplaten er det eneste som endres. Disse kalles prøvetype A og B. Det er også gjennomført forsøk med bolter langs alle sider av hulprofilet, som kalles prøvetype C. Til forsøkene ble det laget to prøvestykker av hver prøvetype, slik at totalt seks prøver ble testet. Kapittel 6 tar for seg oppsettet og resultatene av laboratorieforsøkene. Siden det er sett på flere ulike måter å beregne kapasitet og stivhet til de ulike prøvetypene er alle håndberegningene for prøvetype A,B og C samlet i kapittel 7. Hovedlinjene i beregningene vil bli vist her mens alle detaljene er lagt til vedlegget for å lette lesingen. Det er også utført numeriske analyser i Abaqus av prøvetype A, B og C. Fremgangsmåten, modellen og resultatene vises i kapittel 8. Det er valgt å legge hoveddelen av sammenligningene mellom håndberegninger, laboratorieforsøk og numeriske analyser i kapittel 9. Side 1

14 Side2

15 Masteroppgave 2011 NTNU 2 Konstruksjonsanalyse og klassifisering I den globale konstruksjonsanalysen blir de indre kreftene som virker på de ulike konstruksjonsdelene funnet (vanligvis moment M, normalkraft N og skjærkraft V). Ofte blir knutepunktene satt til å være bøyningsstivt eller leddet, selv om det i realiteten nesten alltid befinner seg et sted i mellom disse ytterpunktene. Når det er tilfellet vil deformasjoner og krefter opptre annerledes enn antatt i statikkmodellen. For at et knutepunkt eksempelvis kan settes til å være leddet må dette verifiseres etter de nye reglene. Knutepunktstandarden NS-EN [1] sier at for å avgjøre om det er nødvendig å ta hensyn til virkningene av knutepunktenes momentrotasjon-relasjon i den globale analysen, kan det skilles mellom følgende tre forenklede modeller for knutepunkters oppførsel [1]: Bøyningsstivt/kontinuerlig: Det antas at knutepunktets moment-rotasjon-relasjon ikke har betydning for analysen. Det vil si at alle momenter overføres uten vinkelendring mellom komponentene i knutepunktet Leddet: Det forutsettes at knutepunktet ikke overfører bøyningsmomenter Delvis bøyningsstivt/delvis kontinuerlig: Det er nødvendig å ta hensyn til knutepunktets moment-rotasjon-relasjon i analysen Sammenhengen mellom moment (M) og rotasjon (φ) for de tre ulike tilfellene (bøyningsstivt, leddet og delvis bøyningsstivt) er illustrert i Figur 2.1. Figur 2.1: Moment-rotasjon karakteristikk [2] Punkt i NS-EN [3] sier at kreftene i den globale konstruksjonsanalysen kan beregnes etter elastisitetsteori, som er vanlig statikk med utregning av kraftfordeling (N, M og V) etter stivhet, eller plastisitetsteori som forutsetter dannelse av plastiske momentledd. Det gis Side 3

16 retningslinjer om man skal benytte 1. ordens eller 2. ordens teori. Det vil si om man skal gjøre beregningene etter konstruksjonens initelle udeformerte geometri eller den deformerte. Avhengig av hvilken global analysemetode man bruker klassifiseres knutepunktene etter stivhet, styrke eller begge deler. Tabell 2.1 angir hva man klassifiserer etter og når man skal benytte leddet, kontinuerlig eller delvis kontinuerlig knutepunktsmodell i de forskjellige globale analysemetodene. De neste delkapitlene går nærmere inn på klassifiseringene. Tabell 2.1: Klassifisering av knutepunkt[1] 2.1 Elastisk global analyse Ved en lineær elastisk analyse klassifiseres knutepunktene etter sin rotasjonsstivhet. Figur 2.2 viser de tilhørende klassifiseringsgrensene. Figur 2.2: Klassifisering av knutepunkt etter stivhet [1] Som et minstekrav skal det påvises at klassifiseringen benyttet i globalanalysen er innenfor grensene vist i Figur 2.2. Dersom knutepunktet befinner seg i sone 2 skal den virkelige stivhet benyttes i den globale analysen. Punkt i NS-EN påpeker at ved delvis bøyningsstive knutepunkter bør rotasjonsstivheten S j, som tilhører bøyningsmomentet M j,ed, brukes i analysen. Hvis M j,ed ikke Side4

17 Masteroppgave 2011 NTNU overskrider 2/3 M j,rd, kan initialrotasjonsstivheten S j,ini brukes. Som en forenkling kan rotasjonsstivheten settes lik S j,ini /η for alle verdier av M j,ed, hvor η er en modifikasjonskoeffisient for stivhet, og er avhengig av type forbindelse og knutepunkt. Dette er illustrert i Figur 2.3. Figur 2.3: Rotasjonsstivhet for lineær elastisk global analyse [1] 2.2 Stiv-plastisk global analyse I en stiv-plastisk analyse blir elastiske deformasjoner neglisjert, og beregningen gjøres typisk med flyteleddmetoden. Det klassifiseres etter styrke, og det forutsettes leddet, delvis styrke eller full styrke i knutepunktene. Grensene tar utgangspunkt i den plastiske momentkapasiteten til det svakeste elementet i knutepunktet, her betegnet M full-styrke, og grensene er vist i Figur 2.4 Figur 2.4: Klassifiseringsgrenser for styrke [2] I henhold til Tabell 2.1 skal moment-rotasjon-relasjonen tas hensyn til om knutepunktet blir klassifisert med delvis styrke. Side 5

18 2.3 Elastisk-plastisk global analyse I en elastisk-plastisk analyse klassifiseres det både etter stivhet og styrke, og lastvirkningen skal bestemmes på grunnlag av knutepunktets moment-rotasjon-relasjon. Slike beregninger er vanligvis ikke håndarbeid. I henhold til NS-EN kan den bilineære moment-rotasjon-relasjonen i Figur 2.5 benyttes som en forenkling. Dette medfører som figuren viser en lineær stivhet i knutepunktet opp til det momentet hvor kapasiteten til knutepunktet nås og så null stivhet for fortsettende rotasjoner. Figur 2.5: Forenklet bilineær dimensjonerende moment-rotasjon-relasjon [1] Side6

19 Masteroppgave 2011 NTNU 3 T-stykke Et T-stykke er en idealisert modell som brukes til å beregne kapasiteten til en komponent i et knutepunkt. Det benyttes for eksempel for søyleflens, endeplate i bøyning, vinkelbein i bøyning og fotplate i strekk. T-stykket består av en plate (steg) med strekk vinkelrett på en annen plate (flens) som er festet med skruer. Det idealiserte T-stykket eksisterer sjelden i et knutepunkt, men vi finner ofte strekkbelastede plater som har feste i plater vinkelrett på kraftretningen. T-stykket kan vi kjenne igjen i for eksempel H-profiler, bjelker med påsveiste endeplater og lignende. Figur 3.1 viser T-stykket slik det er definert i Eurokode 3 del 1-8. Figur 3.1: Ekvivalent T-stykke [1] 3.1 T-stykkets effektivlengde Figur 3.2: Effektivlengden til et T-stykke [2] Figur 3.2 illustrerer den fiktive effektivlengden leff som tilsvarer utstrekningen til T-stykket. For at Tstykke-modellen skal kunne representere de aktuelle delene i et knutepunkt trengs det en beregningsmessig effektivlengde. Denne vil påvirke den plastiske momentkapasiteten til flensen i Tstykket: (3.1) Side 7

20 Dette gjøres ved at den indre energien i det reelle bruddmønsteret skal være lik den i den ekvivalente T-stykket. For en tverrbelastet plate antas det at alle plastiske deformasjoner er lokalisert i flytelinjer, mens platen forøvrig forblir elastisk og plan. Platens kapasitet er bestemt av det lastnivå som resulterer i et mønster av flytelinjer som gjør det mulig å danne en kinematisk mekanisme. Flytelinjemetoden er basert på plastisitetsteoriens øvre-grense teorem og gir en ikke-konservativ løsning med mindre man har antatt den virkelige (korrekte) kinematiske mekanismen, som vil gi den korrekte løsningen [4]. På grunn av dette er det nødvendig å kontrollere alle mulige flytelinjemønstere, og det som gir den minste bruddlasten er den riktige og dimensjonerende. Det er denne bruddlasten som gjøres om til en effektiv lengde for T-stykket. I Eurokoden er det tatt utgangspunkt i sirkulære og ikke-sirkulære bruddmønster, og det skilles mellom mekanismer rundt enkeltskruer og mekanismer rundt grupper av skruer. Disse er generelt illustrert i Figur 3.3. Figur 3.3: Sirkulære og ikke-sirkulære bruddmønster [5] I NS-EN er det tabeller med effektive lengder for uavstivet og avstivet søyleflens samt endeplater. Ved bruk av rektangulære hulprofiler vil endeplater være det mest aktuelle, og da naturlig nok med bolter i den utstikkende delen. Figur 3.4 viser en T-stykke idealiseringen for en utstikkende endeplate og Tabell 3.1 de tilhørende effektivlengdene. Utledningen av effektivlengdene er lagt til vedlegg A. Side8

21 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 3.4: Modell for utstikkende endeplate i form av separate T-stykker [1] Tabell 3.1: Effektive lengder for T-stykket [1] 3.2 Bruddmoder For T-stykket kan det typisk oppstå tre forskjellige bruddmoder, og disse er illustrert i Figur 3.5. Figur 3.5: Bruddmode 1, 2 og 3 [2] Modene består av fullstendig flytning i flensen, skruebrudd sammenfallende med flytning i flensen og skruebrudd alene. Side 9

22 3.2.1 Bruddmode 1 Bruddmode 1 oppstår når boltenes kapasitet er stor i forhold til flensens, og det dannes flyteledd i flensen på hver side av steget og ved skruene. Strekkraften som forbindelsen kan ta, Ft, er gitt av en enkel likevekt, og en beregningsmodell er vist i Figur 3.6. Figur 3.6: Beregningsmodell for bruddmode 1 Figur 3.6 viser et snitt av flensen mellom flyteleddene, og dette kan enkelt løses med en momentlikevekt om bolten (høyre ende): (3.2) Kapasitet: (3.3) Bruddmode 2 Dersom skruebrudd er sammenfallende med flytning i flensen (ved steget) vil bruddmode 2 opptre. Den maksimale strekkraften kan finnes ved å se på den ene halvdelen av flensen, som vist i Figur 3.7. Figur 3.7: Beregningsmodell for bruddmode 2 Momentlikevekt om høyre ende: Side10 ( ) (3.4)

23 Masteroppgave 2011 NTNU (3.5) Generell kapasitet: (3.6) Bruddmode 3 Hvis boltene går til brudd før det oppstår flyteledd i flensen vil kapasiteten bestemmes av boltenes strekkapasitet. Dette vil være tilfellet for svært stive flenser i forhold til bolt. Kapasitet: (3.7) Uten hevarmskrefter Dersom det ikke oppstår hevarmskrefter vil bruddmode 1 og 2 ha samme kapasitet fordi flyteleddet ved bolten i bruddmode 1 ikke vil oppstå. Kapasiteten kan finnes ved å momentlikevekt om bolt i Figur 3.7, og hevarmskraften Q neglisjeres: (3.8) Kapasitet: (3.9) Side 11

24 Side12

25 Masteroppgave 2011 NTNU 4 Stivhet Rotasjonsstivheten for et knutepunkt bestemmes på grunnlag av fleksibiliteten i basiskomponentene, som hver for seg er kjennetegnet med sin elastiske stivhetskoeffisient [1]. Siden det i denne oppgaven er gjennomført laboratorietester av strekkskjøter vil det ikke gås i dybden på hvordan basiskomponentene kombineres for å beregne rotasjonsstivhet. Rotasjonsstivheten er gitt som [1]: (4.1) Hvor ki er stivhetskoeffisienten for basiskomponent nr i i knutepunktet, z er momentarmen og μ er stivhetsforholdet. Hvis momentet er mindre eller lik 2/3 av momentkapasiteten settes μ lik 1. I en strekkskjøt med rektangulære hulprofiler er det to basiskomponenter fra Eurokoden som kan antas å bidra til stivheten, endeplate påkjent av bøyning og skruer påkjent av strekk. Disse er imidlertid til en viss grad tilpasset knutepunkt med H eller I profiler, som skiller seg fra hulprofiler på flere måter. Derfor er det i tillegg til metoden fra Eurokoden sett på en alternativ metode. 4.1 Stivhetskoeffisienter fra Eurokoden Stivhetskoeffiesientene for basiskomponentene endeplate i bøyning og skruer påkjent av strekk kan finnes ved å studere oppførselen til et T-stykke. Figur 4.1 viser elastisk deformasjon av T-stykke slik Wynand, Jaspart og Steenhuis [6] antar. For å forenkle beregningene er avstanden n satt lik 1,25m, som er maksimalverdien man kan benytte i beregninger i henhold til Eurokoden. Dette gir en kraft i bolten på 0,63F og en hevarmskraft på 0,13F. Figur 4.1: Elastisk deformasjon av T-stykke [6] Side 13

26 Siden den effektive lengden i en T-stykke modell stammer fra plastisk kapasitet er det innført en initiell effektivlengde l eff,ini for å beskrive stivheten i det elastiske området. Wynand, Jaspart og Steenhuis [6] tar utgangspunkt i momentkapasiteten ved den ene flyteleddet markert med A i Figur 4.1 b). Momentlikevekt for den ene siden av T-stykket gir maksimalmoment: Deretter sies det at maksimal elastisk last er det som vil gi plastisk ledd i flensen ved punkt A: (4.2) (4.3) Løser for maksimal elastisk last: (4.4) Det antas lineær elastisk deformasjon opp til 2/3 av dimensjonerende kapasitet: (4.5) Bruddlast for T-stykke tilsvarende bruddmode 1: (4.6) Ved å kombinere de tre sistnevnte uttrykkene fås et uttrykk for den initielle effektive lengden: (4.7) For å finne stivhetskoeffisienten til endeplate i bøyning er det sett på den ene siden av T-stykket, og med kreftene vist i Figur 4.1 b). Enhetslastmetoden benyttes for å finne stivheten. Først finnes momentdiagrammet for denne situasjonen, som vist i Figur 4.2 Side14

27 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 4.2: Krefter med tilhørende momentdiagram for den ene siden av T-stykket Videre settes det på en virtuell enhetslast ved innspenningen, og momentdiagrammet beregnes for denne situasjonen. Dette er vist i Figur 4.3. Hurtigintegrasjon [7] gir: Figur 4.3: Påsatt enhetslast med tilhørende momentdiagram (4.8) Side 15

28 Løser for kraften: (4.9) I Eurokoden er stivhetskoeffisienten gitt med benevningen mm fordi E-modulen utelates. (4.10) (4.11) For å finne stivhetskoeffisienten for boltene kan det tas utgangspunkt i sammenhengen: (4.12) Løser for kraften: (4.13) Setter inn for kraften i bolten fra Figur 4.1 c): (4.14) Stivhetskoeffisient for bolt: (4.15) Side16

29 Masteroppgave 2011 NTNU Stivhetskoeffisientene for bolt og plate kan ikke summeres direkte for å finne det totale stivhetstallet fordi de vil oppføre seg som forskyvningsfjærer i serie. Det vil si at følgende gjelder: (4.16) 4.2 Alternativ tilnærming Komponentstivhetene i kapittel 4.1 er i knutepunktstandarden spesifisert for å brukes i knutepunkt med I eller H profiler. En strekkskjøt med hulprofiler er ikke så direkte lik en strekkskjøt med andre profiler når det representeres med et endimensjonalt T-stykke. Det vil være krefter i to retninger og endeplaten har mulighet til å bøye seg opp inne i hulprofilet, noe som gjør problemet mer komplisert. Det kan derfor være slik at stivhetskomponenten for platen gir en for stiv løsning for et knutepunkt med hulprofilstaver. Derfor er det sett på et alternativ hvor delen av endeplaten som er inne i hulprofilet også er representert. Dette er vist i Figur 4.4, hvor lengden a vil være halve bredden (eller lengden) til HUP-profilet. Det er også valgt å representere denne delen av modellen med muligheten til å ha en annen teoretisk stivhet enn delen av modellen utenfor hulprofilet. Grunnen til det er at det kan tenkes at hulprofilet vil bidra til at stivheten her er noe annerledes. Dette er gjort med variabelen X. Hvis X settes lik 1 medfører dette at stivheten er den samme i hele beregningsmodellen. Beregningsmodellen vil være en-dimensjonal. Figur 4.4: Beregningsmodell for stivhet Dette er et statisk ubestemt system. For å finne den nye fordelingen av krefter (hevarmskraft og kraft i bolten) fjernes opplageret ved bolten, og momentdiagrammet bestemmes, som vist i Figur 4.5. Side 17

30 Figur 4.5: Fjerning av opplager Deretter settes den ukjente kraften X1 (kraften i bolten) tilbake på systemet, som vist i Figur 4.6. Figur 4.6: Påsatt ukjent kraft X1 Hurtigintegrasjon gir forskyvning når X1 settes på systemet med fjernet opplager: (4.17) ( ) (4.18) Hurtigintegrasjon gir forskyvning når X1 settes på systemet og lasten 0,5F ikke er med: (4.19) (4.20) Side18

31 Masteroppgave 2011 NTNU Siden forskyvningen skal være null når opplageret er der, kan man finne den ukjente boltkraften X1 ved likevekt: (4.21) ( ) (4.22) Likevekt gir hevarmskraften X2: (4.23) Nå som de ukjente kreftene X1 og X2 er beskrevet kan man bruke enhetslastmetoden, som tidligere, for å finne komponentstivheten. Beregningsmodell med tilhørende momentdiagram er vist i Figur 4.7 Figur 4.7: Beregningsmodell med tilhørende momentdiagram Momentlikevekt for venstre opplager i Figur 4.7 gir: (4.24) En lineær fordeling av momentet over avstanden m i Figur 4.7 gir: (4.25) (4.26) Side 19

32 Videre settes det på en enhetslast. Fordeling av krefter med tilhørende momentdiagram vises i Figur 4.8. Figur 4.8: Fordeling av krefter og tilhørende momentdiagram for påsatt enhetslast Momentlikevekt for venstre opplager i Figur 4.8 gir: (4.27) L1 og L2 vil være like som i Figur 4.7 fordi momentdiagrammet har samme form. Hurtigintegrasjon gir: (4.28) (4.29) Utrykket over er rimelig stort da flere av faktorene er beskrevet ved hjelp av hverandre, samt at utrykket for de ukjente kreftene X1 og X2 ikke er pene. Utregningen over er derfor utført med programmet Maple, og detaljene finnes i vedlegg B. Resultat: (4.30) Side20

33 Masteroppgave 2011 NTNU Stivhetskoeffisient for platen: (4.31) Hvor: (4.32) Dette gir: (4.33) Den initielle effektive lengden som inngår i uttrykket over vil i utgangspunktet ikke være den samme som utledet i kapittel 4.1, men den er antatt å være det videre i oppgaven. Stivhetskoeffisient for bolt: (4.34) (4.35) Denne beregningen er også gjort med Maple: (4.36) Deto stivhetskoeffisientene kombineres på samme måte som i kapittel 4.1: Side 21

34 Side22

35 Masteroppgave 2011 NTNU 5 Strekkskjøt med rektangulære hulprofiler Det er i oppgaven gjennomført laboratorieforsøk av denne typen forbindelse med bolter langs to sider og langs alle fire sider. I den sammenhengen er det gjennomgått litteratur som omhandler kapasiteten til denne typen forbindelse. Det er ikke funnet annen litteratur som beskriver stivheten. De fleste notasjoner vil være i henhold til litteraturen som gjennomgås. 5.1 HUP-strekk-skjøt med bolter langs fire sider 1 Her er det tatt utgangspunkt i et flytelinjemønster hentet fra artikkelen Design model for bolted moment end plate connections joining rectangular hollow sections using eight bolts av A. Wheeler, M. Clarke og G.J. Hancock [8]. Dette er et flytelinjemønster som ikke strekker seg til fri platekant, men kontinuerlig går rundt platen. Mønsteret er en modifisert versjon av et mønster antatt for en momentforbindelse. Det antas at delen av flytelinjemønsteret som representerer delen av platen påkjent av strekk fra momentet i hulprofilet kan benyttes for hele platen for en strekk-skjøt. Det originale flytelinjemønsteret er vist i Figur 5.1 for halve knutepunktet, mens det modifiserte er vist i Figur 5.2 for en fjerdedel av knutepunktet. Figur 5.1: Originalt flytelinjemønster [8] Side 23

36 Figur 5.2: Modifisert flytelinjemønster I Figur 5.2 er flytelinjene nummerert fra 1 til 7 og det er definert 5 plan fra flytelinjene. De plastiske deformasjonene er lokalisert i flytelinjene mens platen forblir plan i de 5 planene. Det antas altså her at den plastiske kollapsmekanismen oppstår etter flytning i platen, og det brukes prinsippet om virtuelt arbeid hvor det virtuelle indre arbeidet skal være lik det virtuelle ytre arbeidet. Det indre virtuelle arbeidet beregnes ved at det settes på en virtuell forskyvning δ for plan 1, som er plassert ved flensene til hulprofilet i forbindelsen. Videre beregnes det indre virtuelle arbeidet for de syv flytelinjene, hvor bolthullene er neglisjert. Figur 5.3 viser en beregningsmodell for flytelinjene 1 og 7. Side24

37 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 5.3: Beregningsmodell for flytelinje 1 og 7 Indre plastisk arbeid: (5.1) (5.2) På grunn av symmetri vil det indre plastiske arbeidet for flytelinje 2 og 3 være lik som for henholdsvis flytelinje 1 og 7: (5.3) (5.4) For å beregne det indre arbeidet forårsaket av flytelinje 4 tas det utgangspunkt i Figur 5.4 som viser geometrien for halve plan 3 og Figur 5.5 som viser beregningsmodellen for flytelinje 4. Figur 5.4: Geometri for halve plan 3 Side 25

38 Figur 5.5: Beregningsmodell for flytelinje 4 Indre arbeid for flytelinje 4: (5.5) Skriver om: (5.6) Figur 5.6 viser geometri for beregning av indre plastisk arbeid forårsaket av flytelinje 6. Figur 5.6: Geometri for beregning av plastisk arbeid for flytelinje 6 Figur 5.7 viser beregningsmodellen for flytelinje 6. Side26

39 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 5.7: Beregningsmodell for flytelinje 6 Indre arbeid for flytelinje 5 og 6: (5.7) ( ) (5.8) (5.9) Det totale indre arbeidet finnes ved å summere bidragene fra alle flytelinjene: (5.10) Det ytre virtuelle arbeidet er: (5.11) Kapasiteten finnes ved likevekt mellom indre og ytre virtuelt arbeid: (5.12) Dette gir kapasitet F for en fjerdedel av flytelinjemønsteret: (5.13) Side 27

40 For hele beregningsmodellen gjelder dermed: (5.14) Hvor: (5.15) 5.2 HUP-strekk-skjøt med bolter langs fire sider 2 Dette delkapittelet er basert på artikkelen Bolted Tension Flanges Joining Square Hollow Sections Members av B. Kato og A. Mukai [9]. Den teoretiske modellen for kapasiteten som presenteres i artikkelen er rimelig stor i den forstand at den krever en detaljert utregning av hvilken påført strekkraft (på hulprofilet) som fører til at forspenningen av boltene avløses. Hvordan hevarmskreftene oppfører seg i en slik skjøt er komplisert, og det er tatt for seg ulike antatte fordelinger av hevarmskreftene basert på om seperasjonslasten (ytre kraften på bolten når seperasjon av endeplatene oppstår) er nådd før eller etter flytning i endeplaten. Dersom dette skulle skje etter flytning i endeplaten fører dette til en endring av det antatte flytelinjemønsteret i beregningsmodellen. Dette ender i en omfattende kontroll av størrelsesforholdet av en rekke parametere for å finne den endelige kapasiteten til knutepunktet. Imidlertid er det foreslått en forenklet metode, men under antagelsen om at deler av geometrien i knutepunktet utføres på en gitt måte. På grunn av dette er det valgt å fokusere direkte på kapasiteten ut fra det antatte flytelinjemønsteret i endeplaten, og med antagelsene om at seperasjonslasten nås før flytning og at det er endeplaten som styrer kapasiteten. På den måten kan teoretisk kapasiteten til flytemønsteret sammenlignes med kapasiteten fra en T-stykke tilnærming og kapasiteten fra flytelinjemønsteret i kapittel 5.1. Det antatte flytemønsteret for de teoretiske beregningene er vist i Figur 5.8 for en variant med fire bolter og Figur 5.9 for en variant med åtte bolter. Dette er ikke et flytelinjemønster som dekkes av T- stykke modellen. Det er valgt å presentere kun kapasiteten fra flytelinjemønsterene slik det er vist i artikkelen og ikke forsøke å utlede den. Dette skyldes at geometrien til mønsteret er komplisert i forhold til fremgangsmåten vist i kapittel 5.1, spesielt når det inneholder den ukjente variabelen x. Side28

41 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 5.8: Flytelinjer for fire bolter [9] Figur 5.9: Flytelinjer for åtte bolter [9] I disse mekanismene er bolthullene og avrundingen i hjørnene på profilet neglisjert. Det plastiske arbeidet til platen er beregnet med x som en variabel parameter, hvor x er illustrert i Figur 5.8 for varianten med fire bolter og i Figur 5.9 for varianten med åtte bolter. Lengden x som benyttes i beregningene vil være den som generer det minste plastiske arbeidet, og er funnet til å være: * ( ) + (5.16) Når x er bestemt er geometrien fastsatt, og kapasiteten til flytelinjemønsteret kan skrives: (5.17) Side 29

42 Hvor: * ( ) + (5.18) Og: (5.19) For varianten med fire bolter vil s 2 være lik 0. Flytelinjeteorien er egentlig kun anvendelig til å evaluere den fulle plastiske styrken (flytestyrken) til platen, men i følge Kato og Mukai kan det antas at den lastbærende kapasiteten til systemet vil øke tilnærmet lineært med den antatte flytemekanismen helt til momentet i platen langs flytelinjenene når sin ultimate styrke: Det vil si at kapasiteten til knutepunktet kan uttrykkes om man benytter f u i stedet for f y : (5.20) (5.21) Dette er en tilnærming som skiller seg fra T-stykke modellen i Eurokoden. 5.3 HUP-strekk-skjøt med bolter langs to sider Dette delkapittelet er basert på artikkelen Limit analysis of bolted RHS flange plate joints av Packer, Bruno og Birkemoe [10]. Artikkelen tar for seg laboratorieforsøk av 16 prøver med både rektangulære og kvadratiske hulprofiler med varierende parametere som plassering av bolter og platetykkelse, i tillegg til å foreslå teoretiske modeller basert på seks bruddmekanismer. Det er her å fokusere på de teoretiske modellene. Figur 5.10 viser geometri og notasjoner som brukes videre i dette delkapitlet. Side30

43 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 5.10: Forbindelse med bolter langs to sider av RHS [10] I vurderingen av testresultatene er det kommet fram til at de eksisterende teoretiske modellene tendenser mot å overestimere den ultimate kapasiteten. Hovedårsaken menes å være at fleksibiliteten til veggene i tverrsnittet, når de påvirkes av bøyningen til platen, strekker seg og flyter. Når lasten på staven øker vil flytningen i profilet utvikle seg fra sveiselinjen mot senterlinjen av tverrsnittet. Dette kom frem under inspeksjon av prøvene etter forsøkene som viste av flyteleddene ofte var innenfor RHS-profilet. En annen faktor for avvikene kan ligge i det faktum av at momentrotasjon sammenhengen for et rektangulært massivt ståltversnitt (som en plate) ikke inneholder et platå når det når et moment korresponderende med det plastiske momentet M p. Kato og Mukai (se kapittel 5.2) innså at de flate platene var kapable til å motstå momenter større en det tradisjonelle plastiske momentet M p og foreslo en isotropisk utvidelse av flyteflaten i von Mises kriteriet: (5.22) Hvor F u er den bruddspenningen for platematerialet, t p er tykkelsen på endeplaten og W p er bredden til endeplaten som vist i Figur Siden RHS knutepunktet som ble undersøkt av Kato og Mukai hadde bolter rundt hele tverrsnittet er det mulig at momenter opp mot denne verdien kunne oppstå. Men når det kun er bolter på to av sidene som denne artikkelen tar for seg er det usannsynlig at boltene og tverrsnittet tilbyr de randbetingelsene som er nødvendig for å utvikle slike momenter. På grunn av dette gjorde forfatterne er rekke tester for å oppnå realistiske moment-kurvatur sammenhenger for platematerialet, og dermed foreslå en maksimumsverdi for momentkapasiteten til platen, som kunne brukes i denne sammenhengen. Plater ble testet som fritt opplagte bjelker med korte spenn og med punktlast på midten. Last-forskyvningskurver som Figur 5.11 ble produsert, hvor Side 31

44 P y tilsvarer lasten som trengs for å oppnå flytemomentet M y, P p lasten som trengs for å oppnå det plastiske momentet M p, og P u lasten som trengs for å oppnå det ultimate momentet M u. Figur 5.11: Last-forskyvning sammenheng fra bjelketester I sammenligning med testresultatene viste det seg for forfatterne at sette momentkapasiteten til M p var for konservativt i alle tilfeller, mens å sette momentkapasiteten til M u var ikke-konservativt i mange av testene. En momentkapasitet tilsvarende M u er teoretisk umulig siden den ultimate materialtøyningen ikke kan opprettholdes langs hele tverrsnittet. Derfor er det videre valgt å benytte en spenningsfordeling som vist i Figur 5.12, hvor spenningen ved nøytralaksen er ved flytenivå og som økes lineært til den ultimate spenningen ved ytterkantene. Figur 5.12: Antatt spenningsfordeling ved maksimal momentkapasitet Selv om det er en idealisert spenningsfordeling gjennom tverrsnittet er bidraget fra fastning inkorporert, og den resulterende bøyekapasiteten er nærmere den faktiske ultimate bøyestyrken til platen. Side32

45 Masteroppgave 2011 NTNU Dette gir følgende uttrykk for den maksimale bøyemomentkapasiteten: ( ) (5.23) Den korrespondere lasten til dette momentet er vist som Pup i Figur Siden en RHS stav har runde hjørner som ofte modelleres som vinkelrette benyttes det her en fiktiv tykkelse th i stedet for den faktiske th på tverrsnittet for å kompensere. Ytre dimensjoner og arealet er det samme. [( ) [( ) ] ] (5.24) Effekten av bøyning i RHS veggen er neglisjert, samt effekten av endringer i materialet ved sveisen Bruddmekanismer Etter vurdering av foregående teori og tester har forfatterne foreslått seks mulige bruddmekanismer. Mekanisme 1 Mekanisme 1 representerer kun boltbrudd, mens platen og profilet forblir stive. (5.25) Figur 5.13: Mekanisme 1 Mekanisme 2 Den andre mekanismen er strekkapasiteten til profilet. (5.26) Side 33

46 Figur 5.14: Mekanisme 2 Mekanisme 3 Mekanisme 3 er en mekanisme som kombinerer boltbrudd og flyteledd i platen ved sveiselinjen. Profilet forblir stivt og platen bøyes i en enkel kurvatur. Denne kan også sammenlignes med bruddmode 2 i et T-stykke representasjon, men da er M p benyttet i stedet for M up, noe som er en mer konservativ tilnærming. (5.27) Bruddmode 2 for T-stykke for å sammenligne: Side34

47 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 5.15: Mekanisme 3 Mekanisme 4 Dette er en mer generell versjon av mekanisme 3 hvor flyteleddet i platen kan oppstå innenfor profildimensjonen h 1. Denne mekanismen er mulig siden bøyestivheten til platen kan være større enn aksialstivheten til profilveggene. Angir plasseringen av flyteleddet med dimensjonen x (se Figur 5.16). Hvis flytelinjen er plassert under hulprofilveggen: * + (5.28) Gir dette kapasitet: (5.29) Eller hvis flytelinjen er plassert mellom profilveggene: * + (5.30) Gir dette kapasitet: Side 35

48 [ ] (5.31) Figur 5.16: Mekanisme 4 Mekanisme 5 Mekanisme 5 representerer full utvikling av platens kapasitet hvor platen er bøyd i dobbel kurvatur. Ved brudd er kraften i bolten B mindre enn boltens kapasitet B u. Dette kan man kjenne igjen i hovedprinsippet fra bruddmode 1 i T-stykket. (5.32) Hvor (5.33) Figur 5.17: Mekanisme 5 Side36

49 Masteroppgave 2011 NTNU Mekanisme 6 Denne tilsvarer mekanisme 5, men hvor flyteleddet ved profilet kan oppstå innenfor profildimensjonen h1. Hvis flytelinjen er plassert under hulprofilveggen: * (5.34) + Gir dette kapasitet: (5.35) Eller hvis flytelinjen er plassert mellom profilveggene: * ( )( (5.36) )+ Gir dette kapasitet: ( ) (5.37) Figur 5.18: Mekanisme 6 Det bør nevnes at mekanisme 5 og 6 strengt tatt ikke ble validert gjennom forsøkene da prøvene som viste bøyning som dobbel kurvatur i forsøkene eventuelt nådde sin kapasitet gjennom boltbrudd. Side 37

50 Side38

51 Masteroppgave 2011 NTNU 6 Laboratorieforsøk Det ble i laboratoriet gjennomført forsøk av strekkbelastede endeplateskjøter med hulprofilstaver. Prøveprogrammet er vist i Tabell 6.1. Prøvestykkene ble valgt ut fra geometrier som ble antatt å være aktuelle for virkelige anvendelser, og tilpasset prøvemaskinens størrelse og kapasitet. Det er benyttet HUP 80x80x4 mm og M bolter for alle prøvene. Det ble ikke benyttet skiver for boltene, og de ble skrudd fast med en momentnøkkel innstilt på 110Nm. Tabell 6.1: Prøveprogram Prøvestykke Endeplate [mm] Antall bolter A1 og A2 8 4 (fordelt på to sider av HUP) B1 og B (fordelt på to sider av HUP) C1og C2 8 8 (fordelt på fire sider av HUP) Som det kommer frem av Tabell 6.1 er det gjort forsøk på seks prøvestykker av tre ulike geometrier. Figur 6.1 viser de ferdige prøvestykkene C1 og B1 før forsøk. Geometrien til prøvetype A og B er vist i Figur 6.2, og geometrien til prøvetype C i Figur 6.3. Disse figurene viser også hvordan det er slisset inn og sveist fast en plate i hver ende av prøvene, som ble festet i klembakkene til prøvemaskinen under forsøkene. Figur 6.1: Prøve C1 og B1 Side 39

52 Side40 Figur 6.2: Geometri prøvetype A/B

53 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 6.3: Geometri prøvetype C Side 41

54 6.1 Strekkforsøk Det ble gjennomført strekkforsøk for materialet fra platene (8mm og 10mm) for å anskaffe materialdata til de numeriske analysene i Abaqus og andre beregninger. Fra strekkforsøket får man en kraft-forskyvningskurve. Fra disse kan man beregne ingeniørspenning og ingeniørtøyning. I en numerisk analyse må man gjøre om disse til sann spenning og sann tøyning, det vil si at man tar hensyn til at arealet endrer seg ved ulike spenninger i stedet for å bruke det initielle arealet. Forutsetningen er konstant volum. Disse dataene kan benyttes frem til diffus innsnevring oppstår, det vil si når arealet i et område i prøven endrer seg raskere enn materialet fastner. Ingeniørspenning: Ingeniørtøyning: Sann spenning: Sann tøyning: Sann plastisk tøyning: ( ( ) ) Figur 6.4 viser geometrien for en standard strekkprøve og Figur 6.5 viser strekkprøvene fra endeplatene etter strekkforsøket. Figur 6.4: Strekkprøvenes geometri Figur 6.5: Strekkprøvene etter forsøk Side42

55 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 6.6 viser spenning-tøyningskurver (sann og ingeniør) for strekkprøven av endeplaten med tykkelse 8 mm. Som figuren viser har platen en flytespenning f y på 464 Mpa noe som er høyere enn den tiltenkte 355 Mpa. Bruddspenningen f u er funnet til å være på 688 MPa. Figur 6.6: Spenning-tøyningskurver for 8 mm plate Figur 6.7 viser spenning-tøyningskurver (sann og ingeniør) for strekkprøven av endeplaten med tykkelse 10 mm. Flytespenningen ble funnet til å være 360Mpa, og bruddspenningen 651 MPa. Figur 6.7: Spenning-tøyningskurver for 10 mm plate 6.2 Oppsett og gjennomføring i laboratoriet Forsøkene ble gjort i en universal prøvemaskin (Dartec) med kapasitet 500 kn. Maskinen har hydrauliske gripebakker for prøvestykkene, slik at plater kan klemmes fast. Figur 6.8 viser hvordan den nedre enden er festet til maskinen. Tilsvarende gjelder den øvre enden. Side 43

56 Figur 6.8: Festemekanisme for nedre ende Under forsøket ble den nedre enden holdt fast mens den øvre ble dratt oppover med konstant hastighet, som vist i Figur 6.9. Figur 6.9: Den nedre enden holdes fast og den øvre dras oppover under forsøk. Det første forsøket (prøve A1) ble kjørt med en hastighet på 4 mm/min. For de resterende forsøkene var hastigheten lavere i starten for å skaffe mer data i det elastiske området. Disse ble kjørt med en hastighet på 1 mm/min til det elastiske området var antatt ferdig, og deretter ble hastigheten økt til 4 mm/min. Side44

57 Masteroppgave 2011 NTNU Fra maskinen registreres kraft og forskyvningen av stempelet i jekken i maskinens øvre del. Denne målte forskyvningen inneholder derfor deformasjonene til hele prøvestykket samt maskinens egen deformasjon. Det interessante i dette forsøket er å få målt forskyvningen mellom hulprofilene rett ved knutepunktet. For å få til dette ble det brukt kameramåling. Knutepunktene ble spraylakkert med hvit lakk, og deretter med svarte prikker oppå der igjen, som vist i Figur Dette skaper et tilfeldig mønster på overflaten til knutepunktet. Et digitalt kamera tok bilder av knutepunktet annet hvert sekund samtidig som kraftnivået ble logget for hvert bilde. I tillegg ble kraften og forskyvningen målt av prøvemaskinen registrert ved hvert bilde. Figur 6.11 viser hele laboratorieoppsettet. Figur 6.10: Spraylakkert prøve Side 45

58 Figur 6.11: Laboratorieoppsett som viser prøvestykke med sprayet overflate montert i testmaskin, lys og kamera som tar foto og datamaskiner for logging av kraft, forskyvning og bilder 6.3 Resultater Resultatene vil bli vist som kraft-forskyvningskurver. Både kurver basert på forskyvning målt av prøvemaskinen og forskyvning hentet fra kameramålingen vil bli presentert. Forskyvningen fra maskinmålingen tilsvarer forskyvningen av stempelet i jekken i maskinens øvre del. Notasjonen kamera er benyttet for kameramålingen, og notasjonen maskin er benyttet for maskinmålingen. Kraften er naturligvis kun hentet fra maskinen, og for en gitt kraft vil forskjellen i kraftforskyvningskurvene henspeile forskjellen i forskyvningen målt fra maskinen og forskyvningen hentet fra kameramålingen. Alle forsøk utenom prøve C2 ble stoppet etter at maksimal kraft ble oppnådd Om kameramåling Programmet 7D ble benyttet til å hente resultatene fra kameramålingen. Bruken av programmet i denne sammenhengen er å følge forskyvningen av visse områder av knutepunktet gjennom forsøket. I korte trekk så markeres det først et eller flere områder på det første bildet tatt i forsøket, som illustrert i Figur Side46

59 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 6.12: Markering av områder i 7D De to områdene i Figur 6.12 er delt inn i rutenett. Programmet kjenner igjen malingsmønsteret i hver av disse rutene og forsøker å finne igjen det samme mønsteret i neste bilde. Dette gjentas gjennom hele bildeserien fra forsøket. Figur 6.13 viser hvordan de markerte områdene har fulgt deformasjonen til knutepunktet til et senere stadium av forsøket. Figur 6.13: Markerte områder senere i forsøket Etter at dette er gjennomført for hele bildeserien kan man markere en eller flere av rutene som programmet har klart å følge gjennom hele bildeserien. Videre hentes det ut forskyvningsdata for ruten(e). Forskyvningen er i piksler og det må markeres en avstand med kjent lengde for å gjøre om dette til mm. Her er det benyttet lengden (bredden) til hulprofilet (80 mm) som referanse for omgjøringen fra piksler til mm. Siden kraften i forsøket registreres for hvert bilde kan man lage en kraft-forskyvningskurve for forsøket. For prøvetype A og B er det valgt å bruke et referansepunkt midt på den øvre endeplaten og et referansepunkt midt på den nedre endeplaten. Kraftforskyvningskurvene fra kameramålingen for prøvetype A og prøvetype B viser dermed forskyvning som den relative forskyvningen mellom disse punktene. Figur 6.14 viser referansepunktet til den Side 47

60 øvre endeplaten og Figur 6.15 viser referansepunktet til den nedre endeplaten for prøve A1. Tilsvarende punkter gjelder også for prøve A2, B1 og B2. Figurene for disse er vist i vedlegg C. Figur 6.14: Referansepunkt i øvre endeplate for prøve A1 Figur 6.15: Referansepunkt i nedre endeplate for prøve A1 Den initielle avstanden mellom referansepunktene er på omtrent 8 mm. Siden platen ikke vil få store deformasjoner i tykkelsesretningen har det lite å si hvor i tykkelsesretningen punktene er plassert. Tilsvarende er den initielle avstanden mellom referansepunktene i prøve A2 omtrent 8 mm. For prøve B1 og B2 er tykkelsen på endeplaten 10 mm, og den initielle avstanden mellom referansepunktene er da omtrent 10 mm. På grunn av at det er bolter langs alle sidene for prøvetype C har det ingen hensikt å bruke midtpunktet på endeplatene som referansepunkt for forskyvningen. Derfor er det benyttet referansepunkter på hulprofilet i stedet, som vist i Figur Dette er punktene benyttet for prøve C1. For prøve C2 er punktene plassert tilsvarende og figuren for dette er vist i vedlegg C. Side48

61 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 6.16: Referansepunkter for prøve C1 Som Figur 6.16 viser er den initielle avstanden mellom forskyvningspunktene omtrent 32 mm, og dette kan sees fra figuren fordi endeplatetykkelsen er på 8 mm. Det vil si at begge forskyvningspunktene befinner seg omtrent 8 mm opp fra endeplaten på hvert sitt hulprofil. Det er valgt og ikke trekke fra deformasjonen som oppstår (kontinuerlig gjennom forsøket) i denne delen av hulprofilet fra den resulterende kraft-forskyvningskurven av to grunner. Den ene er at den er svært liten i den totale sammenhengen (et hulprofil har en lengde på 450 mm), og den andre er at i sammenligningen med de numeriske analysene i kapittel 8 vil referansepunktene fra Abaqus hentes fra omtrent samme sted Prøvetype A Figur 6.17 viser kraft-forskyvningskurver for prøvetype A. Som forventet er forskyvningen større for maskinmålingene enn for kameramålingen. Maksimalkraften oppnådd under forsøkene ble målt til 267 kn for både prøve A1 og A2. Denne kraften ble nådd ved en relativ forskyvning mellom midtpunktet på endeplatene på 23,5 mm for prøve A1 og 22,5 mm for prøve A2. Side 49

62 Figur 6.17: Kraft-forskyvningskurver for prøvetype A Figur 6.18 viser prøve A2 før og etter forsøket. Som det fremkommer av figuren har de to endeplatene fått store deformasjoner. Avstanden mellom endeplatene etter forsøket er målt til 21 mm, som er noe lavere enn det var under siste del av forsøket på grunn av avlasting. Endeplatene er tydelig bøyd ved boltene og ved sveisen, og de er i kontakt ved endekantene. Boltene er også deformerte. Figur 6.18: Prøve A2 før og etter test Prøvetype B Kraft-forskyvningskurvene for prøvetype B er vist i Figur Den største oppnådde kraften for prøve B1 var på 300 kn ved en relativ forskyvning mellom midtpunktet på endeplatene på 19,9 mm. Tilsvarende ble den maksimale kraften for prøve B2 målt til 290 kn ved en forskyvning på 18,8 mm. Side50

63 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 6.19: Kraft-forskyvningskurver for prøvetype B Figur 6.20 viser prøve B1 og B2 før forsøk, mens Figur 6.21 viser prøve B1 og B2 etter forsøk. De målte forskyvningene etter forsøket i Figur 6.21 er på 18 mm for B1 og 17,5 mm for B2, noe som også her er noe lavere enn det var i deler av forsøket på grunn av avlasting. Man kan se igjen de samme tendensene i deformasjonen som for prøvetype A. Figur 6.20: Prøve B2 (venstre) og B1 (høyre) før forsøk Figur 6.21: Prøve B2 og B1 etter forsøk Side 51

64 6.3.4 Prøvetype C Kraft-forskyvningskurvene fra forsøkene av prøvetype C er vist i Figur For prøvetype C var det ikke som tiltenkt at endeplaten, eller endeplaten i kombinasjon med boltene, som styrte kapasiteten. Fastheten til den innkjøpte endeplaten viste seg å være høyere enn tiltenkt. Flytespenningen ble funnet til å være på 464 N/mm 2 i stedet for ned mot den tiltenkte 355 N/mm 2. Det ble for prøve C1 etterhvert brudd i sveisen, tilsvarende det brå fallet i kurven i Figur Dette vises også ved at kurvene fra prøve C1 slutter ved en mindre forskyvning og lavere kraft enn kurvene fra prøve C2. Sveisens a-mål ble for prøve C1 målt til en minsteverdi på 3 mm som er lavere enn det tiltenkte a- målet på 4 mm. For begge prøvene begynte hulprofilet å flyte, noe som kan sees i Figur 6.22 ved at kurvene fra kameramålingen ender ved en vesentlig lavere forskyvning enn kurvene fra maskinmålingen. En HUP 80x80x4 mm av S355 stål vil teoretisk begynne å flyte ved en kraft på 430 kn. Dette stemmer rimelig godt overens med Figur 6.22 hvor forskyvningen øker mer for kurvene fra maskinmålingen enn for kurvene fra kameramålingen for området hvor kraften er større enn 430 kn. Prøve C2 ble manuelt stoppet da kraften nærmet seg prøvemaskinens kapasitet på 500 kn. Figur 6.22: Kraft-forskyvningskurver for prøvetype C Figur 6.23 viser prøve C1 før og etter forsøk. Her kommer bruddet i sveisen tydelig frem. Man kan til en viss grad også se at endeplaten er bøyd ved siden av og under hulprofilet. Side52

65 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 6.23: Prøve C1 før og etter forsøk Figur 6.24 viser prøve C2 før og etter forsøket. På grunn av at det er bolter rundt hele hulprofilet er det vanskelig å se noen forskjell. Derfor ble boltene fjernet for denne prøven, og den ene delen av prøve C2 etter forsøk er vist i Figur Figur 6.24: Prøve C2 før og etter forsøk Figur 6.25: Ene halvdelen av prøve C2 etter forsøk Side 53

66 Fra komponenten i Figur 6.25 ble det etter forsøk målt en forskyvning på omtrent 6 mm av senter av endeplaten mot kanten av endeplaten. Siden en del av malingen som ble påført prøve C2 havnet på endeplaten bidro dette til at man kan fra Figur 6.26 lettere kan se tydelige tegn på flyting i endeplaten. Figur 6.26: Flytemønster i endeplate for prøve C2 Som Figur 6.26 viser kan man se at det har oppstått flyting i endeplaten mellom boltene plassert på samme side av hulprofilet. Det vises også tegn til flyting fra boltene og ut til kanten av endeplaten samt flyting rundt hjørnene til hulprofilet fra en bolt på en sidekant til en annen bolt på den andre siden av hjørnet til hulprofilet. Det siste kan være en viktig observasjon fordi det indikerer et flytelinjemønster som ikke dekkes av T-stykke modellen. Side54

67 Masteroppgave 2011 NTNU 7 Håndberegninger Det er gjennomført håndberegninger av kapasiteten etter T-stykke tilnærmingen i NS-EN og teoriene gjennomgått i kapittel 5. Alle detaljene i beregningene er lagt til vedlegg E for å lette lesingen, mens hovedlinjene vises i de neste delkapitlene. Det utføres også stivhetsberegninger etter teorien i kapittel 4. Materialfaktorer/sikkerhetsfaktorer for beregninger etter Eurokoden er satt til 1,0 for å ha et best mulig sammenligningsgrunnlag mot laboratorieforsøkene og de numeriske beregningene i kapittel 8. Det benyttes materialdata etter resultatene fra strekkforsøkene i kapittel 6.1 for endeplatene, mens det er antatt en flytespenning for hulprofilet på 355 MPa. Det er benyttet en strekkapasitet per M bolt på 113 kn, som er funnet fra [7] om man ser bort fra sikkerhetsfaktoren på 1,25. For stivhetsberegningene etter kapittel 4.2 settes X=1 slik at den antatte beregningsmodellen har samme stivhet i hele modellen. Det er også brukt en initiell effektiv lengde på 85% av den effektive lengden funnet fra T-stykket, slik det er gjort for stivhetsberegningene etter Eurokoden. 7.1 Prøvetype A T-stykke Dimensjonerende effektiv lengde per T-stykke: Sum effektiv lengde: Plastisk momentkapasitet: Bruddmode 1 blir dimensjonerende og gir kapasitet: Kapasitet etter kapittel 5.3 Plastisk momentkapasitet: ( ) Beregningsmessig fiktiv tykkelse av hulprofilet: [( ) [( ) ] ] Side 55

68 Bruddmekanisme 6 blir dimensjonerende og gir plassering av flytelinje (x) og kapasitet: * Stivhet - Eurokoden Stivhetskoeffisient for en endeplate: Stivhetskoeffisient for bolt: Den totale stivhetskoeffisienten for halve knutepunktet: Multipliserer med E-modulen for å finne den elastiske initielle stivheten for halve knutepunktet: Siden forskyvning i forsøket er tatt som den relative forskyvningen mellom endeplatene blir stivheten til knutepunktet relatert til dette totalt sett: Stivhet Alternativ Stivhetskoeffisient for en endeplate: ( ( Side56 ) )

69 Masteroppgave 2011 NTNU Stivhetskoeffisient for bolt: ( ) ( ) Den totale stivhetskoeffisienten for halve knutepunktet: Multipliserer med E-modulen for å finne den elastiske initielle stivheten for halve knutepunktet: Siden forskyvning i forsøket er tatt som den relative forskyvningen mellom endeplatene blir stivheten til knutepunktet relatert til dette totalt sett: 7.2 Prøvetype B T-stykke Dimensjonerende effektiv lengde per T-stykke: Sum effektiv lengde: Plastisk momentkapasitet: Bruddmode 1 blir dimensjonerende og gir kapasitet: Kapasitet etter kapittel 5.3 Plastisk momentkapasitet: ( ) Side 57

70 Beregningsmessig fiktiv tykkelse av hulprofilet: [ [ ] ] Bruddmekanisme 6 blir dimensjonerende og gir plassering av flytelinje og kapasitet: * Stivhet-Eurokoden Stivhetskoeffisient for en endeplate: Stivhetskoeffisient for bolt: Den totale stivhetskoeffisienten for halve knutepunktet: Multipliserer med E-modulen for å finne den elastiske initielle stivheten for halve knutepunktet: Siden forskyvning i forsøket er tatt som den relative forskyvningen mellom endeplatene blir stivheten til knutepunktet relatert til dette totalt sett: Stivhet-Alternativ Stivhetskoeffisient for en endeplate: Side58

71 Masteroppgave 2011 NTNU Stivhetskoeffisient for bolt: ( ) ( ) Den totale stivhetskoeffisienten for halve knutepunktet: Multipliserer med E-modulen for å finne den elastiske initielle stivheten for halve knutepunktet: Siden forskyvning i forsøket er tatt som den relative forskyvningen mellom endeplatene blir stivheten til knutepunktet relatert til dette totalt sett: 7.3 Prøve C T-stykke Dimensjonerende effektiv lengde per T-stykke: Sum effektiv lengde: Plastisk momentkapasitet: Bruddmode 1 blir dimensjonerende og gir kapasitet: Kapasitet etter kapittel 5.1 Det ble ikke i teorien spesifisert hvor den ene flytelinjen startet utenom ved kontakten mellom profilet og platen. Det er derfor regnet ut kapasiteten ved å se på om den starter på innsiden eller utsiden av profilet. Kapasiteten er gitt ved: ( ) ( ) Side 59

72 Innsiden: ( ) ( ) Utsiden: ( ) ( ) Kapasitet etter kapittel 5.2 Kapasitet: * ( ) ( ) ( ) + Kapasitete med antagelsen om at den bruddspenningen i materialet kan nås i flytelinjene: Stivhet-Eurokoden Stivhetskoeffisient for en endeplate: Stivhetskoeffisient for bolt: Den totale stivhetskoeffisienten for halve knutepunktet: Side60

73 Masteroppgave 2011 NTNU Multipliserer med E-modulen for å finne den elastiske initielle stivheten for halve knutepunktet: Siden forskyvning i forsøket er tatt som avstanden mellom hulprofilene blir stivheten til knutepunktet relatert til dette totalt sett: Stivhet-Alternativ Komponentstivhet for en endeplate: Komponentstivhet for bolt: Den totale stivhetskoeffisienten for halve knutepunktet : Multipliserer med E-modulen for å finne den elastiske initielle stivheten for halve knutepunktet: Siden forskyvning i forsøket er tatt som avstanden mellom hulprofilene blir stivheten til knutepunktet relatert til dette totalt sett: Side 61

74 7.4 Oppsummering håndberegning Tabell 7.1 viser oppsummeringen av kapasitetene beregnet i de foregående delkapitlene. Disse sammenlignes med laboratorieforsøkene og de numeriske analysene i kapittel 9. Om det ikke er oppgitt en kapasitet indikerer det at teorien ikke gjelder for denne prøvetypen. Tabell 7.1: Kapasitet håndberegning T-stykke Kapittel 5.3 Kapittel 5.2 Kapittel 5.1 Prøvetype A 116 kn 105 kn - - Prøvetype B 141 kn 147 kn - - Prøvetype C 415 kn (525) kn 320 til 455 kn Som tabellen over viser er kapasiteten fra T-stykke og kapittel 5.3 ganske lik. Dette er imidlertid ikke så uventet fordi begge de dimensjonerende bruddmekanismene fra de to teoriene i dette tilfellet baserer seg på en flytelinje ved hulprofilet og en flytelinje ved bolten. Hovedforskjellen mellom disse ligger i at T-stykket tilnærmingen sier at flytelinjen ved profilet oppstår under sveisen mens kapittel 5.3 sier at denne oppstår under hulprofilveggen. Dette betyr at momentarmen mellom flytelinjen ved bolten og flytelinjen ved hulprofilet er mindre ved T-stykke tilnærmingen, noe som i teorien gir en høyere kapasitet. Uttrykket for denne bruddmekanismen i kapittel 5.3 er ikke så direkte og intuitiv, men det skyldes i hovedsak at hulprofilet bidrar i bruddmekanismen når flytelinjen er antatt å være under profilveggen. På den andre siden er det i kapittel 5.3 antatt at platen kan ha et moment større en det antatte vanlige plastiske momentet i flytelinjen som diskutert i kapittelet. Isolert sett gir dette en større teoretisk kapasitet enn T-stykket. For prøvetype A ser det ut som om disse forskjellene i teorien utligner hverandre og gir to kapasiteter nokså nærme hverandre. Det samme kan sies om de to kapasitetene beregnet for prøvetype B fordi de er basert på de samme teoriene, men her er kapasiteten fra kapittel 5.3 noe høyere enn kapasiteten for T-stykket. For prøvetype C gir T-stykke tilnærmingen en kapasitet på 415 kn. I Tabell 7.1 er det oppgitt to kapasiteter for kapasiteten fra kapittel 5.2. Den første tilsvarer kapasiteten fra det antatte flytemønsteret basert på det vanlige plastiske momentet m p og kapasiteten i parentes er basert på antagelsen i teorien i kapitlet om at man kan benytte den ultimate strekkspenningen for materialet f u i beregningen av det ultimate momentet m up i flytelinjene. Det siste er det vanskelig å si noe om ut i fra laboratorieforsøket fordi det var henholdsvis brudd i sveis og flytning i hulprofilet som styrte kapasiteten. I en direkte sammenligning mellom den teoretiske kapasiteten fra flytelinjemønsteret i T-stykket og flytelinjemønsteret fra kapittel 5.2 gir det sistnevnte lavest kapasitet. Dette er imidlertid ikke overaskende da T-stykket ikke dekker et helt flytemønster som strekker seg rundt hjørner slik som Figur 6.26 viser. De to kapasitetene gitt fra kapittel 5.1 er tatt for antagelsen om at flytelinjene ved hulprofilet enten starter på innsiden av hulprofilet (inntil hulprofilet) (den laveste kapasiteten) eller på utsiden av hulprofilet (fortsatt inntil, men på utsiden). Dersom man antar at flytelinjen er på innsidene av hulprofilet gir dette den laveste kapasiteten av alle teoriene om man benytter m p i sammenligningene. Dersom man antar at den starter på utsiden gir den imidlertid den høyeste teoretiske kapasiteten. Side62

75 Masteroppgave 2011 NTNU Tabell 7.2 oppsummerer stivhetsberegningene. Disse sammenlignes med laboratorieforsøkene og de numeriske analysene i kapittel 9. Tabellen viser at stivheten beregnet etter Eurokoden er 2,4-2,5 ganger større enn stivheten beregnet etter den alternative metoden. Tabell 7.2: Stivhet håndberegning Eurokoden Alternativ Prøve A N/mm N/mm Prøve B N/mm N/mm Prøve C N/mm N/mm Side 63

76 Side64

77 Masteroppgave 2011 NTNU 8 Numeriske analyser Det er gjennomført numeriske analyser av de tre prøvetypene i Abaqus v under samme belastningssituasjon som i laboratorieforsøket. 8.1 Materialegenskaper For å gjennomføre en mest mulig korrekt analyse i Abaqus i forhold til laboratorieforsøket og håndberegninger er det nødvendig at materialene beskrives korrekt. For endeplatene (8 mm og 10 mm) er det utført strekkforsøk i laboratoriet, mens for hulprofil, sveis og bolt er materialegenskapene basert på nominelle verdier. De elastiske materialdataene for alle komponentene er hentet fra NS-EN og er vist i Tabell 8.1. Plastisk materialdata for de ulike komponentene gjennomgås i de neste delkapitlene. Det er valgt å benytte tilnærmingen fra studentarbeidet til Dalen og Wåsjø [11] for profil, bolt og sveis, siden de samme materialene ble benyttet der. Tabell 8.1: Elastisk materialdata Elastisitetsmodul (E) MPa Tverrkontraksjon (ν) 0, Endeplater Figur 8.1 viser sann plastisk tøyning mot sann spenning hvor punktene i rødt er benyttet i materialmodellen for endeplaten i Abaqus. Årsaken til at det er benyttet så mange punkter i starten av kurven er at alle registrerte tøyninger fra strekkforsøket var i konsekvent stigende rekkefølge (som er meningen, men som ikke alltid er tilfellet), noe som lett kopieres til Abaqus. Det ville imidlertid ikke ha noe særlig betydningen for resultatet om man i stedet benytter færre punkter. Figur 8.1: Sann plastisk tøyning mot sann spenning Figur 8.2 viser sann plastisk tøyning mot sann spenning hvor punktene i rødt er benyttet i materialmodellen for endeplaten i Abaqus. Også her er det benyttet mange punkter i starten av kurven som tidligere forklart. Side 65

78 Figur 8.2: Sann spenning mot sann plastisk tøyning for 10 mm plate Profil S355 Dette materialet er benyttet for hulprofilet, og er beskrevet med tre punkter som vist i Tabell 8.2. Materialet flyter ved punkt A, flyteplatået ligger mellom punkt A og B og bruddspenningen ved punkt C. Figur 8.3 viser et plot av sann plastisk tøyning mot sann spenning, som tilsvarer materialmodellen i Abaqus. Tabell 8.2: Materialdata S355 Punkt Ingeniørspenning s [MPa] Ingeniørtøyning e Sann spenning [MPa] Sann plastisk tøyning A B C , ,02 0, ,3 622,2 0 0, ,1959 Figur 8.3: Materialmodell S355 Side66

79 Masteroppgave 2011 NTNU Bolter Materialet til boltene (boltklasse 8.8)representeres med to punkter som vist i Tabell 8.3. Materialet forutsettes lineært elastisk frem til flytespenningen på 640 MPa, og vil frem til bruddspenningen på 896 MPa oppføre seg plastisk. Figur 8.4 viser den plastiske materialmodellen for boltene (sann plastisk tøyning mot sann spenning) samt ingeniørtøyning mot ingeniørspenning. Tabell 8.3: Materialdata bolt Ingeniørspenning s [MPa] Ingeniørtøyning e 0, ,12 Sann spenning [MPa] Sann plastisk tøyning 0 0,1091 Figur 8.4: Plastisk materialmodell bolt Sveis Materialet til sveisen er antatt til å ha større kapasitet enn materialet i hulprofilet og endeplaten, og til ha en mindre duktil oppførsel. Den plastiske oppførselen til sveisen er representert med tre punkter som vist i Tabell 8.4. Den grafiske fremstillingen av den plastiske materialmodellen er vist i Figur 8.5. Tabell 8.4: Plastisk materialdata sveis Sann spenning [MPa] Sann plastisk tøyning 0 0,02 0,06 Side 67

80 Figur 8.5: Plastisk materialmodell sveis 8.2 Generelt om modellen Som en forenkling er det valgt å modellere hjørnet på hulprofilet som vinkelrett og ikke avrundet som det egentlig er. Lengden på hulprofilet er valgt til å være 200 mm i stedet for 450 mm for å redusere analysetiden. Diameteren på bolten er satt til 14,14 mm, som er den reelle diameteren om man ser bort fra gjengene. Bolthodet er sirkulært i modellen og har en diameter på 23,2mm. Forspenningen i boltene er imidlertid ikke tatt høyde for i Abaqusmodellen. Det er brukt en statisk generell analysemetode, og ikke-lineær geometri er inkludert. 8.3 Utnyttelse av symmetri Siden dette er et rent strekkforsøk er det mulig å utnytte symmetrien i problemet (med hensikt å ha en mindre modell i Abaqus), noe som vil gjøre at tiden det tar å kjøre analysen vil være lavere. For dette problemet vil det være symmetri om tre plan, og en åttendedel er derfor modellert. Dette er vist i Figur 8.6, som representerer modellen for prøvetype A. Figur 8.6: Utnyttelse av symmetri Side68

81 Masteroppgave 2011 NTNU 8.4 Randbetingelser Randbetingelsene til sidekantene er at de ikke kan bevege seg normalt på snittet, og rotasjon er kun tillatt om aksen normalt på snittet. Dette er illustrert for den ene sidekanten markert med rødt i Figur 8.7. Figur 8.7: Randbetingelser for en sidekant De to store platene er helt stive. Platen til høyre i figuren over har randbetingelser slik at den verken kan bevege seg eller rotere. På den måten utnyttes symmetrien siden knutepunktsplatene vil bevege seg likt og den stive platen vil gi den samme hevarmskraften som platen på den andre siden ville ha gitt. Underkanten av bolten (som i modellen er en halv bolt) er satt til å ikke kunne bevege seg i lengderetningen, og vil da fungere som fastholdningen av modellen. 8.5 Interaksjoner I denne modellen er det to typer av interaksjoner, kontakt og fastlåsning. For kontakt er det bukt General contact (standard) med All* with self. Ifølge Abaqus-manualen [12] er dette den enkleste måten å definere kontakten for modellen, og den dekker alle ytre elementoverflater. I modellen er det tre områder som låses fast med TIE-funksjonen, den ene stive platen mot profilet og sveisen mot henholdsvis profilet og bunnplaten. Disse vises i Figur 8.8. Det er valgt en Surface to Surface tilnærming da dette minimerer numerisk støy når de ulike områdene som låses samme ikke har samsvarende elementinndeling [12]. Side 69

82 Figur 8.8: Fastlåste områder 8.6 Lastpåføring Lasten påføres ved å gi referansepunktet til den stive platen i Figur 8.9 en forskyvning i lengderetningen. De resterende frihetsgradene (translasjon og rotasjon) settes lik null. Grunnen til at det er benyttet en stiv plate i stedet for å gi alle nodene i enden av profilet en forskyvning er at det går raskere å håndtere resultatene. Med denne løsningen vil de ønskede data, for denne analysen kraft og til en viss grad forskyvning, komme fra et referansepunkt og ikke ett sett med noder. Figur 8.9: Lastpåføring Side70

83 Masteroppgave 2011 NTNU 8.7 Elementer Det er i denne modellen brukt volumelementer med åtte noder fordelt på hvert sitt hjørne, og hvor hver node har tre translasjonsfrihetsgrader. Det er benyttet redusert integrasjon for å redusere analysetiden. Det vil si at det kun vil være et integrasjonspunkt i senter av elementet. Redusert integrasjon vil også gjøre at elementene ikke blir for stive og man unngår skjærlåsing. Det benyttede volumelementet C3D8R er vist i Figur Figur 8.10: Volumelementet C3D8R [12] 8.8 Elementinndeling For endeplatene er det valgt fire elementer over tykkelsen som vist i Figur Hullene i endeplaten fører til at formen på elementene varierer. Figur 8.11: Elementinndeling for endeplate for prøvetype A, B og C Elementinndelingen til hulprofil, sveis og bolt er nesten den samme for alle prøvetypene og er vist i Figur Det er valgt å bruke to elementer over tykkelsen for hulprofilet. Side 71

84 Figur 8.12: Elementinndeling profil, bolt og sveis for prøvetype A 8.9 Resultater For å få en mest mulig lik sammenligning med laboratorieforsøkene og kraft-forskyvningskurvene fra kameramålingen er forskyvningene hentet fra punktene (nodene) markert med rødt i Figur På grunn av symmetrimodelleringen er forskyvningen gitt som det dobbelte av forskyvningene til punktene i figuren. Dette tilsvarer den relative forskyvningen mellom referansepunktene som ligger til grunn for kraft-forskyvningspunktene til kameramålingen fra laboratoriet. Side72

85 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 8.13: Referansepunkt for forskyvning for prøvetype A (øverst), prøvetype B (midten) og prøvetype C (nederst) Prøvetype A Det er valgt å kjøre analysen fra Abaqus noe lenger enn det som ble gjort i laboratoriet. Den stive platen ble foreskrevet en forskyvning på 14 mm, som tilsvarer 28 mm i sammenligning med laboratorieforsøket på grunn av symmetrien. Kraft-forskyvningskurven som er basert på referansepunktet i Figur 8.13 er gitt i Figur Kraften er multiplisert med fire siden en fjerdedel av hulprofilet er modellert. Figur 8.14: Kraft-forskyvningskurve fra Abaqus for prøvetype A Side 73

86 Figur 8.15 illustrerer bruken av symmetri i modellen for prøvetype A, og viser deformasjonen i avslutningen av analysen. Figur 8.15: Originalmodell (venstre) speilet om XY, XZ og YZ planet (høyre) Figur 8.16 viser knutepunktet ved en belastning på 266 kn. Man kan kjenne igjen de samme mekanismene som i laboratoriet. Endeplaten er bøyd ved boltene og ved hulprofilet, og det er kontakt mellom endeplatene i kanten. Boltene er også bøyd på en tilsvarende måte som observert i laboratoriet. Figur 8.16: Prøvetype A ved belastning 266 kn Spenningstilstanden i komponentene vil bli vist slik den er i avslutningen av analysen, det vil si for en kraft på 266 kn. Fargeindikatoren på de følgende figurer gir spenninger som MPa, og det er valgt å ikke bruke desimaler. Figur 8.17 til Figur 8.20 viser spenningstilstanden for hulprofil, plate sveis og bolt. Side74

87 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 8.17: Spenningsfordeling nederst på hulprofilet for prøvetype A Figur 8.18: Spenningsfordeling i endeplate for prøvetype A Figur 8.19: Spenningsfordeling i sveis for prøvetype A Side 75

88 Figur 8.20: Spenningsfordeling i bolt for prøvetype A Prøvetype B Figur 8.21 viser kraft-forskyvningskurven for prøvetype B. Forskyvningen er gitt som det dobbelte av forskyvningen til punktet definert i Figur Den maksimale kraften er 284 kn ved 23,2 mm forskyvning. Figur 8.21: Kraft-forskyvningskurve fra Abaqus for prøvetype B Figur 8.22 viser deformasjonen til knutepunktet slik det er i avslutningen av analysen. Dette ligner også på det som ble observert i laboratoriet. Figur 8.22: Deformasjon prøvetype B Side76

89 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 8.23 til Figur 8.26 viser spenningsfordeling i de ulike komponentene slik den er i avslutningen av analysen. Figur 8.23: Spenningsfordeling i endeplate for prøvetype B Figur 8.24: Spenningsfordeling nederst på hulprofil for prøvetype B Figur 8.25: Spenningsfordeling i sveis for prøvetype B Side 77

90 Figur 8.26: Spenningsfordeling i bolt for prøvetype B Slik spenningene er i bolten i Figur 8.26 er det trolig kapasiteten til bolten som ble dimensjonerende og sørget for kraftreduksjon i Figur 8.21 mot slutten av analysen Prøvetype C Siden det i laboratorieforsøket for prøvetype C ikke var endeplaten som styrte kapasiteten, er det i Figur 8.27 vist kraft-forskyvningspunkter for forskyvning målt for punktet i Figur 8.13 og for referansepunktet for den stive platen. Fra cirka 12 mm forskyvning øker avstanden mellom de to kurvene vesentlig, noe som skyldes at hulprofilet flyter. Kraften fortsetter likevel å øke på grunn av fastning i materialet til hulprofilet. Figur 8.27: Kraft-forskyvningskurver for prøvetype C Figur 8.28 viser deformasjonen av knutepunktet til prøvetype C slik det er i avslutningen av analysen. Man kan se at endeplatene er bøyd ved boltene. Side78

91 Masteroppgave 2011 NTNU Figur Deformasjon for prøvetype C Figur 8.29 til Figur 8.32 viser spenningsfordelingen i komponentene slik den er i avslutningen av analysen. Figur 8.29: Spenningsfordeling i nedre del av hulprofil for prøvetype C Side 79

92 Figur 8.30: Spenningsfordeling i endeplate for prøvetype C Figur 8.31: Spenningsfordeling i sveis for prøvetype C Figur 8.32: Spenningsfordeling i bolt for prøvetype C Side80

93 Masteroppgave 2011 NTNU 9 Sammenligning av resultater 9.1 Kapasitet Figur 9.1 viser kraft-forskyvningskurvene for prøvetype A fra laboratorieforsøket og Abaqusanalysen samt kapasiteten fra håndberegninger. Kurven fra den numeriske analysen ligger noe under de fra laboratoriet, men ender på samme kraft. Analysen ble imidlertid ikke spesifisert til å stoppe ved denne forskyvningen, og det er derfor mulig at kraften ville blitt større om analysen hadde fortsatt lenger. Kapasiteten fra håndberegningene ligger på konservativ side i forhold til forsøkene. Figur 9.1: Sammenligning av kapasitet for prøvetype A Figur 9.2 viser en sammenligning av prøve A2 etter forsøk mot analysen fra Abaqus. Avstanden mellom endeplatene fra Abaqus er her omtrent 21 mm, som tilsvarer det som ble målt av prøve A2 etter forsøk. Som figuren viser ser det ut til at den numeriske analysen klarer å gjenskape mekanismene som ble observert i forsøket. Figur 9.2: Sammenligning av deformasjon for prøve A2 Side 81

94 De ulike resultatene for prøvetype B er vist i Figur 9.3. De samme tendensene som er observert for prøvetype A gjelder også for prøvetype B. Kurven fra analysen i Abaqus ligger noe under kurvene fra laboratoriet, og de håndberegnede kapasitetene ligger på konservativ side. Figur 9.3: Sammenligning av kapasitet for prøvetype B Figur 9.4 viser kraft-forskyvningskurvene fra laboratoriet og Abaqus for prøvetype C, og Tabell 9.1 viser kapasiteten fra de ulike håndberegningene. Ser man på kurvene basert på forskyvning nesten nederst på hulprofilet ( kamera ) er tendensen mellom den numeriske analysen og forsøkene den samme som for prøvetype A og B, med at kurven fra Abaqus ligger noe under. Det at den respektive forskjellen mellom de to kurvene fra Abaqus er mindre enn de fra laboratoriet skyldes i stor grad at det er modellert med kortere hulprofiler. Flytningen i hulprofilet fremkommer også i analysen som det gjorde i forsøkene, men ikke brudd i sveisen som styrte kapasiteten i prøve C1. Side82

95 Masteroppgave 2011 NTNU Figur 9.4: Sammenligning av kapasitet for prøvetype C Tabell 9.1: Håndberegning av kapasitet for prøvetype C Kapittel 5.2 T-stykke Kapittel 5.1 Kapittel 5.1 Kapittel 5.2 Innsiden Utsiden Med f y Med f u 415 kn 320 kn 455kN 354 kn 455 kn Sammenligningen mellom håndberegninger og laboratoriet av kapasiteten for prøvetype C er noe problematisk på grunn av flytningen i hulprofilet og bruddet i sveisen for prøve C1. T-stykkeberegningen gir imidlertid en høyere relativ kapasitet mot forsøkene for prøvetype C enn for prøvetype A og B. Samtidig viser Tabell 9.1 at andre flytemønster, under de gitte antagelser, gir en lavere teoretisk kapasitet. Figur 6.26 viste også at det var flytning i endeplaten rundt hjørnene på hulprofilet, noe som ikke samsvarer med det som representeres med et T-stykke. Tabellen viser også en stor spredning av den beregnede kapasiteten for de ulike teoriene. Side 83

96 9.2 Stivhet Figur 9.5 viser de første 5 mm av kraft-forskyvningskurvene fra laboratoriet og Abaqus for prøvetype A. Det er også lagt inn de beregnede initielle elastiske stivhetene fra Tabell 7.2. Figur 9.5: Sammenligning av stivhet for prøvetype A Kurvene for prøve A1 og A2 i Figur 9.5 stiger veldig mye i løpet av de første 0,15 mm av forsøket. Helningen til kurven her er antatt å ikke beskrive den initielle elastiske stivheten som håndberegningene skal representere. Dette kommer trolig av forspenningen til boltene, og /eller av andre årsaker tilknyttet forsøket. Figur 9.6 viser prøve A2 ved en last på 0 kn, 50 kn og 175 kn. Som det fremkommer av denne figuren er det lite trolig at det elastiske området er over etter en belastning på 50 kn. Etter 175 kn kan man se at de to endeplatene har beveget seg fra hverandre, og muligens begynt å få plastiske deformasjoner som kraft-forskyvningskurven til prøve A2 indikerer. Figur 9.6: Prøve A2 ved 0 kn, 50kN og 175 kn last Derfor antas det, i sammenligningen med håndberegningene og Abaqus, at den initielle elastiske stivheten fra laboratoriet kan beskrives med en lineær kurve fra 0 kn til omtrent 125 kn i Figur 9.5. Dette plasserer stivheten fra laboratoriet for prøvetype A omtrent midt mellom resultatet fra Eurokoden og den alternative tilnærmingen. Side84