Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor 2. Grunnbok
|
|
- Sunniva Paulsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor 2 Grunnbok Bokmål
2 # J.W. Cappelens Forlag AS, Oslo 2006 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med J.W. Cappelens Forlag AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Faktor 1 3 følger læreplanene for Kunnskapsløftet i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens ungdomstrinn. Illustratør: Line Jerner Omslagsdesign: Line Jerner Omslagsillustrasjon: Line Jerner Grafisk formgiving: Jakob Thyness Ombrekking: PrePress AS Forlagsredaktør: Espen Skovdahl Trykking/innbinding: Livonia Print SIA, Latvia 2010 Utgave 1 Opplag 4 ISBN Fotografier GVPress: #TCG s. 12, #Index Stock Imagery s. 13, Science Photo Library #Detlev van Ravenswaay s. 14, #Science Photo Library s. 61, 118, 177, #Greg Geria s. 62, #Super Stock s. 103, #Photo Researchers s. 111 (Pentagon), #Russell Kightley/SPL s. 178, #Bruno Morandi s. 214, #Dirscherl s. 227, #GoodShoot s. 233, #Gonzalo Azumendi s. 257 Samfoto: #Svein Grønvold/NN s. 19, #Øystein Søbye/NN s. 102 (bier), #Bjørn-Owe Holmberg s. 102 (blad), 111 (blad), #Tore Wuttudal/NN s. 103 (votter), #Jann Lipka/Mira s. 115, #Fredrik Naumann s. 116, #Tom Schandy/NN s.127, #Jens Sølvberg s. 133, #Helge Sunde s. 137, #Bård Løken/NN s. 139, #Johannes Haugan/NN s. 184, #Ove Bergersen/NN s. 184, 197 Scanpix: AP s. 15, #Royalty-Free/Corbis s. 31, Ørn E. Borgen/Aftenposten s. 32, Morten Holm s. 74, s. 87, #Bettmann/Corbis s. 88, #Historical Picture Archive/Corbis s. 95, #Alinari Archives/Corbis s. 101, #Bo Zaunders/Corbis s. 102 (kirkespir), #Christine Osborne/Corbis s. 102 (mosaikk), #Jean Guichard/ Corbis s. 102 (spriral), #Lester Lefkowitz/Corbis s. 102 (skjell), #Roger Ressmeyer/Corbis s. 103 (heksagon), #Visuals Unlimited/Corbis s. 103 (snøkrystall), #David Samuel Robbins/Corbis s. 103 (postkasse), #Royalty-Free s. 111 (fotball), #Jim Winkley/Ecoscene s. 111 (ruiner), #Knut Falch s. 179, #Maurizio Gambarini/dpa/Corbis s. 180, #NRKP2 s. 228
3 Innledning Velkommen til Faktor 2. Dette er den andre av i alt tre grunnbøker du skal bruke på ungdomstrinnet. Til hver grunnbok hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene. Fra venstre rundt bordet: Martin, Lotte, Herman, Hanna, Simen og Sara Kapitlene i grunnboka er delt inn i fire deler: Lærestoff og oppgaver Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Noen av oppgavene er merket med disse symbolene: Kalkulator Regneark Finn ut Utfordrende oppgave I oppgaveboka finner du oppgaver i tre vanskelighetsgrader og repetisjonsoppgaver til hvert kapittel. Kategori 1 Kategori 2 Kategori 3 Litt av hvert Bakerst i boka finner du Digital manual for arbeid med kalkulator og regneark. Vi håper du får glede av arbeidet med Faktor! Hilsen Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen Innledning 3
4 Innhold Innhold 1 Tall og tallforståelse...7 Potenser...8 Kvadrattall...16 Regning med fortegnstall...20 Forhold...23 Figurtall og tallrekker...27 Prøv deg selv...30 Noe å lure på...32 Oppsummering Algebra...37 Bokstavuttrykk...38 Likninger...47 Ulikheter...57 Prøv deg selv...59 Noe å lure på...61 Oppsummering Geometri...67 Mangekanter...68 Omkrets og areal av mangekanter...72 Omkrets og areal av en sirkel...84 Pytagoras-setningen...88 Konstruksjon og beregninger...96 Geometri i natur og kunst Det gylne snitt og det gylne rektangel Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Statistikk og sannsynlighetsregning Relativ frekvens Sektordiagram Andre diagrammer Kritisk bruk av diagrammer Sentralmål og variasjonsbredde Antall mulige utfall Å finne sannsynligheten Å finne sannsynligheten ved flere hendelser Like stor sannsynlighet hver gang? Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Måling og beregninger Målenøyaktighet Målestokk Volum, og areal av en overflate Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Funksjoner Koordinatsystemet Formler og funksjoner Grafen til en funksjon Mer om funksjoner Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering
5 7 Økonomi Prosent og promille Merverdiavgift Rabatt Tilbud Renteregning Avbetaling Prøv deg selv Noe å lure på Oppsummering Digital manual Kalkulatoren Regneark Fasit Stikkord Innhold 5
6 Alpha Kentauri er km unna jorda. Det er km til månen. Er det eller stjerner i vår galakse, Melkeveien? Et romskip flyr med ca km/h. Hvor lang tid ville det tatt å reise dit?
7 0,0 1 Tall og tallforståelse Noen ganger har vi bruk for å skrive svært store tall, for eksempel i forbindelse med avstander i verdensrommet. For å få bedre oversikt kan vi skrive tallene som produkter av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens: = 3, Mål I dette kapitlet vil du få lære om. tall på standardform. faktorer, potenser, kvadratrot og forhold mellom størrelser i beregninger. fortegnstall. tallmønstre Mange nuller å holde orden på! 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2
8 Potenser? To i femte er en potens. 2 5 Hva betyr to i femte? 2 5 er en potens med 2 som grunntall og 5 som eksponent. 2 5 uttales to i femte. Tall og tallforståelse 2 5 = =32 Regel Et produkt der alle faktorene er like, kan vi skrive på potensform. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Oppgaver 1.1 Skriv som potens. a) b) c) d) Regn ut potensen. a) 2 3 b) 3 5 c) 5 3 d) 10 5 e) 5 5 f) 2 10 e) f)
9 1.3 Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler. Grunntall Eksponent Potens , Regn ut. a) b) c) Multiplikasjon og divisjon av potenser Når vi skal multiplisere to potenser som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og summerer eksponentene = = =2 7 Når vi skal dividere en potens med en potens som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og subtraherer eksponentene =56 : 5 2 = =5 4 Husk! 2 = 2 1, 3=3 1 osv. Regel Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og summerer eksponentene. Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og subtraherer eksponentene. Hvis vi dividerer to like potenser med hverandre, blir svaret lik 1 fordi telleren og nevneren er like store. Tall og tallforståelse 9
10 Hvis vi bruker regelen for divisjon av potenser, får vi = =5 0 Det betyr altså at 5 0 = 1. Regel For alle tall a er a 0 = 1. Når vi skal multiplisere eller dividere to potenser som ikke har samme grunntall, må vi regne ut potensene hver for seg. Eksempel Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det mulig. a) c) b) 4 6 : 4 2 d) 4 4 : 2 3 Løsning a) = = 2 7 b) 4 6 : 4 2 = = 4 4 c) =9 64 ¼ 576 d) 4 4 : 2 3 = 256 : 8=32 Tall og tallforståelse Oppgaver 1.5 Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) b) c) d) e) f) Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) b) c) d) e) f) Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) b) c) d) e) f)
11 1.8 Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) b) c) d) e) f) Regn ut. Skriv svaret som én potens. a) 5 5 : 5 2 b) 10 5 : 10 3 c) 3 5 : 3 4 d) 7 4 : 7 3 e) 15 5 : 15 3 f) 10 9 : Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. a) 9 5 : 9 2 b) c) d) e) 12 4 : 12 3 f) Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. a) b) c) d) e) f) Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. a) 13 6 : 13 4 b) c) d) Potenser med 10 som grunntall Nedenfor ser du noen eksempler på potenser med 10 som grunntall = = = = = = = Vi bruker tallene 1, 10, 100 osv. når vi skriver naturlige tall på utvidet form: 3456 = Ettersom 10, 100, 1000 osv. kan skrives som potenser med 10 som grunntall, får vi: 3456 = Tall og tallforståelse 11
12 Eksempel Skriv på utvidet form ved å bruke potenser av 10. Løsning = = Oppgaver 1.13 Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall. a) 100 b) 1000 c) d) e) Ti millioner f) En milliard 1.14 Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 6543 b) 3409 c) d) e) f) Tall og tallforståelse 1.15 Skriv tallene på vanlig måte. a) b) c) d) e) f) Skriv 6 milliarder på vanlig måte og deretter ved å bruke tierpotens. Det er over 6 milliarder mennesker på jorda! Menneskemengde 12
13 Tall på standardform For å få bedre oversikt over et stort tall kan vi skrive tallet som et produkt av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens. Avstanden fra jorda til sola er ca km! Sola, vår egen stjerne km kan vi skrive slik: 1, km Tierpotens Desimaltall mellom 1 og 10 Når vi skriver om store tall på denne måten, flytter vi desimaltegnet og setter det mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Ovenfor har vi flyttet desimaltegnet åtte plasser. Derfor blir tierpotensen Skrivemåten 1, kaller vi standardform. Tall og tallforståelse 13
14 Regel Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet. Eksempel Skriv tallet på standardform. Løsning = 3, Oppgaver 1.17 Skriv tallene på standardform. a) b) c) d) e) f) Tall og tallforståelse 1.18 Skriv avstandene fra sola til planetene på standardform. a) Sola Venus km b) Sola Jorda km c) Sola Jupiter km d) Sola Pluto km 14
15 1.19 Skriv tallene på vanlig måte. a) 4, b) 2, c) 9, d) 4, e) 1, f) 4, Massen til månen har blitt beregnet til ca tonn. Skriv tallet ved å bruke tierpotens. Apollo 11 var det første romfartøyet som landet på månen, 20. juli Finn ut hvor mye jorda veier. Skriv tallet både på vanlig måte og ved å bruke tierpotens. Massen til månen er ca. 0,0123 av massen til jorda! Tall og tallforståelse 15
16 Kvadrattall? Alle tallene er kvadrattall! Hva mener vi med kvadrattall? Vi kan legge ut fire brikker på denne måten: && && Tall og tallforståelse Vi får et kvadratformet mønster. Vi kan legge ut ni brikker på tilsvarende måte: &&& &&& &&& Se på regnestykkene nedenfor. 1 1=1 2 =1 2 2=2 2 =4 3 3=3 2 =9 4 4=4 2 = =5 2 = 25 Tallene 1, 4, 9, 16, 25 osv. kaller vi kvadrattall. 16
17 Regel Hvis x er et helt tall, er x x = x 2 et kvadrattall. Oppgaver 1.22 Hvilke av tallene er kvadrattall? Lag en tegning som illustrerer kvadrattallene. a) 4 b) 9 c) 16 d) Hvilke kvadrattall illustrerer figurene? a) c) b) 1.25 Regn ut kvadrattallet x 2 når x er a) 5 b) 8 c) 10 d) 15 e) 20 f) brikker blir lagt ut som et kvadrat. Hvor mange brikker er det langs siden av kvadratet? 1.27 Stolene i en kinosal er plassert som et kvadrat. Det er 625 plasser i salen. Hvor mange stoler er det i hver rad? Tall og tallforståelse 17
18 Kvadratrot Når vi multipliserer to like tall med hverandre, får vi et kvadrattall. 3 3=9 Det vil si at 9 er et kvadrattall. Motsatt sier vi at 3 er kvadratroten av 9. p ffiffiffi Tegnet for kvadratrot er. Vi kan skrive kvadratroten av 9 slik: p ffiffiffi 9 =3 På samme måte er pffiffiffi 2 5 = 5 fordi 5 5 = 25: Regel Vi finner kvadratroten av et bestemt tall ved å finne det positive tallet som multiplisert med seg selv gir det bestemte tallet. Eksempel Tall og tallforståelse Finn kvadratroten av 36. Løsning p ffiffiffiffiffi Ettersom 6 6 = 36, er 36 = 6. Oppgaver 1.28 Finn kvadratroten av a) 9 b) 25 c) 16 d) 36 e) 81 f) 100 Vi må bruke kalkulator for å regne ut kvadratroten av tall som ikke er kvadrattall. 18
19 1.29 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) Regn ut. p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi b) pffiffiffiffiffiffiffi c) 144 pffiffiffiffiffiffiffi d) 400 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c) p ffiffiffi pffiffiffiffiffi d) pffiffiffiffiffi e) 85 pffiffiffiffiffiffiffi f) a) Sidene i et kvadrat er 6,5 cm. Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 23,04 cm 2. Hvor lang er siden? 1.32 En håndballbane har form som et rektangel som er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av håndballbanen er 800 m 2. Regn ut lengden og bredden av håndballbanen. Håndballcup i Ski Tall og tallforståelse 19
20 Regning med fortegnstall? 5 3=2 5 2=3 5 1=4 5 0=5 5 ( 1)=? 5 ( 2)=? 1 3= 3 1 2= 2 1 1= 1 1 0=0 1 ( 1)=? 1 ( 2)=? Hm... Hva blir svaret på oppgavene? Vi kan legge til og trekke fra negative tall. Jo mindre tall vi legger til, desto mindre tall får vi til svar. Jo mindre tall vi trekker fra, desto større tall får vi til svar. Tall og tallforståelse 5+1=6 5--1=4 5+0=5 5--0=5 5+ð--1Þ = ð--1þ =6 5+ð--2Þ = ð--2þ =7 5+ð--3Þ = ð--3þ =8 Regel Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. Hvis vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall: --6 ð--3þ = : ð--3þ =2 --3 ð--3þ = : ð--3þ =1 20
21 Regel Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall. Minus minus = pluss! Minus pluss = minus Eksempel Regn ut. a) 10 + ð--12þ b) ð--12þ c) 5 ð--4þ Løsning a) 10 + ð--12þ =10--12=--2 b) ð--12þ = = 22 c) 5 ð--4þ = --20 d) --5 ð--4þ e) --20 : 4 f) --20 : ð--4þ d) --5 ð--4þ = 20 e) --20 : 4=--5 f) --20 : ð--4þ = 5 Oppgaver 1.33 Regn ut. a) 5 -- ð--4þ b) 9 -- ð--9þ c) ð--5þ d) ð--100þ 1.34 Regn ut. a) 5 + ð--2þ b) 20 + ð--12þ c) 13 + ð--12þ d) 25 + ð--20þ Tall og tallforståelse 21
22 1.35 Regn ut. a) 12 + ð--3þ b) ð--3þ c) ð+3þ d) 12 + ð+3þ 1.36 Hvilket av svarene er riktig? A) 5 -- ð--5þ -- ð+1þ =1 B) 5 -- ð--5þ -- ð+1þ =9 C) 5 -- ð--5þ -- ð+1þ = 11 D) 5 -- ð--5þ -- ð+1þ = Regn ut. a) 5 ð--6þ b) c) --3 ð--7þ d) 5 ð--10þ 1.38 Regn ut. a) 25 : ð--5þ b) --25 : 5 c) --30 : ð--6þ d) --42 : Regn ut. a) 2,5 ð--6þ b) 4 ð--2,5þ c) --3 1,5 d) --10 ð--3,7þ 1.40 Regn ut. a) 4 + ð--3þ -- ð--4þ b) 5 -- ð--3þ + ð--4þ 1.41 Regn ut. a) ð+17þ b) ð+2þ c) 10 + ð--4þ -- ð--15þ d) 50 + ð+50þ -- ð--100þ c) ð--50þ + ð--25þ d) ð+100þ -- ð--100þ + ð--100þ Tall og tallforståelse 1.42 Skriv av og sett de riktige tallene inn i rutene. a) 5 ð--7þ = & b) --3 & = 21 c) & ð--8þ = --80 d) --10 ð--10þ = & 22
23 Forhold? Barna blander saft og vann i forholdet én til fem, det vil si én del saft og fem deler vann. Hvordan kan vi skrive forholdet med tall? Når vi blander saft og vann i forholdet én til fem, blander vi én del saft med fem deler vann. Det kan for eksempel være 1 dl saft og 5 dl vann. Ettersom 10 dl er fem ganger så mye som 2 dl, kan vi også blande 2 dl saft og 10 dl vann. Forholdet mellom mengden av saft og mengden av vann blir også da én til fem. Forholdet én til fem kan vi skrive slik: 1 : 5 eller 1 5 Brøkstreken er her det samme som et divisjonstegn. Når vi skal finne forholdet mellom to størrelser, forkorter vi brøken så mye som mulig. Regel Vi finner forholdet mellom to tall ved å dividere tallene med hverandre. Tall og tallforståelse 23
24 Eksempel Hanna bor 12 km fra skolen, mens Simen bor 3 km fra skolen. Hva er forholdet mellom 12 km og 3 km? Løsning 12 km 3 km = 12 3 = 4 1 Forholdet er 4 : 1 Husk! I noen av oppgavene må du gjøre om til samme benevning. Oppgaver 1.43 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 2 km og 10 km b) 3 bøtter og 12 bøtter c) 500 kr og 250 kr e) 2 cm og 20 cm d) 15 kg og 45 kg f) 4 cm og cm 1.44 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 500 kr og 125 kr d) 12 km og 3 cm b) 4 cm og 1 m e) 50 øre og 50 kr c) 3 g og 12 kg f) 500 km og 5 cm Tall og tallforståelse 1.45 Simen blander 2 dl iste med 16 dl vann. Sara blander 3 dl iste med 27 dl vann. Hvem lager den sterkeste blandingen? 1.46 Martin tjener 240 kr på 4 timer. Hanna arbeider i 5 timer. Hvor mye må Hanna få i lønn hvis hun skal tjene like mye per time som Martin? 1.47 Elevene i 9A solgte vafler for 375 kr. Det er 25 elever i gruppa. I 9B er det 28 elever. Hvor mye må elevene i 9B selge vafler for hvis de skal selge like mye i forhold til elevtallet? 24
25 Regning med forhold Vi regner med forhold i mange sammenhenger, for eksempel når vi blander saft og vann når vi blander sement og sand når vi får lønn i forhold til den tiden vi arbeider Martin og Lotte hjalp naboen med å male huset. Martin arbeidet i 10 timer og Lotte i 8 timer. For dette fikk Martin 750 kr og Lotte 600 kr. Vi regner ut timelønnen: Martin: 750 kr : 10 = 75 kr Lotte: 600 kr : 8 = 75 kr Det betyr at forholdet mellom 750 og 10 er det samme som forholdet mellom 600 og 8. Martin og Lotte har derfor fått like mye betalt i forhold til de timene de har arbeidet, selv om de har fått forskjellige kronebeløp. Eksempel Herman arbeider i 3 timer, og Sara arbeider i 4 timer. De får 560 kr til sammen for dette arbeidet. Hvor mye får hver av dem? Løsning Herman arbeider: Sara arbeider: Til sammen: 3 timer 4 timer 7 timer Lønnen for én time blir: 560 kr : 7 = 80 kr Herman får: 3 80 kr = 240 kr Sara får: 4 80 kr = 320 kr Vi kontrollerer svaret: 240 kr kr = 560 kr Tall og tallforståelse 25
26 Oppgaver 1.48 Martin og Lotte skal dele 450 kr i forholdet 4 : 5. Hvor mye får hver av dem? 1.49 Sara og Herman skal dele et overskudd fra et loddsalg. Sara solgte 50 lodd, og Herman solgte 75 lodd. Overskuddet var 150 kr. a) Regn ut forholdet mellom antallet lodd Sara og Herman solgte. b) Hvor stor del av overskuddet fikk hver av dem? 1.50 Simen skal fylle 2 dl olje og 48 dl bensin på mopeden. Hanna skal fylle olje og bensin i samme forhold. Tall og tallforståelse a) Regn ut forholdet mellom mengden av olje og mengden av bensin. b) Hvor mange desiliter bensin må Hanna fylle hvis hun bruker 1 dl olje? 1.51 Sara skal blande iste og vann i forholdet 1 : 9. Hun vil bruke 2 dl iste i blandingen. Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får hun? 1.52 I en oppskrift på hasselnøttbrød står det blant annet at vi skal bruke 7 dl grovt rugmel 6 dl hvetemel Herman skal lage en brøddeig med 9 dl hvetemel. Hvor mye rugmel må Herman bruke hvis forholdet mellom mengden av hvetemel og mengden av rugmel fortsatt skal være det samme? 26
27 Figurtall og tallrekker? Hvilke tall får vi videre etter dette mønsteret? Hvis vi fortsetter å legge ut brikker etter det samme mønsteret, får vi følgende figurer og tall: & & && & && &&& & && &&& &&&& & && &&& &&&& &&&&& osv. Antall brikker er: 1 brikke 3 brikker ð1 +2Þ 6 brikker ð1 +2+3Þ 10 brikker ð Þ 15 brikker ð Þ Osv. Husk! 1, 4, 9, 16 osv. kaller vi kvadrattall. Tallene 1, 3, 6, 10, 15 osv. kaller vi trekanttall fordi vi kan illustrere disse tallene i et geometrisk trekantet mønster. Tallene 1, 3, 6, 10 og 15 er de fem første trekanttallene. Tall og tallforståelse 27
28 Vi kan lage andre tallrekker ved å bruke et bestemt system eller mønster. Det er vanlig å se etter mønsteret i tallrekkene ved å undersøke differansen mellom leddene eller forholdet mellom leddene. En tallrekke begynner slik: Her ser vi at differansen mellom ett ledd og leddet foran øker med 2 hver gang vi går fra ett ledd til det neste: 3 1=2 7 3=4 13 7= = 8 De sju første tallene i tallrekken blir da: En annen tallrekke begynner slik: Tall og tallforståelse Her ser vi at: 3:1=3 9:3=3 27:9=3 De sju første tallene i tallrekken blir da: Oppgaver 1.53 Hvilke av tallene er kvadrattall? A 9 B 36 C 50 D Hvilke av tallene er trekanttall? A 10 B 15 C 20 D 25 E 20 F 144 E 21 F 100 G1 H 169 G 28 H 50 28
29 1.55 Hvilke av tallene er ikke kvadrattall? A 16 B 8 C 14 D 18 E 20 F 24 G 36 H Se på regnestykkene nedenfor. Fortsett fire linjer til etter det samme systemet. Skriv en regel ut fra den sammenhengen du ser. 1=1= =4= =9= De seks første trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15 og 21. Legg sammen a) det første og det andre trekanttallet b) det andre og det tredje trekanttallet. c) det tredje og det fjerde trekanttallet d) Hva slags tall får du i oppgave a, b og c? 1.58 Skriv de tre neste tallene i tallrekkene. a) & & & b) & & & c) & & & d) & & & 1.59 Skriv av og sett inn tallene som mangler i tallrekkene. a) & & & 128 b) & & 34 c) & & & Se på regnestykkene nedenfor: 1 1=1 2 = = 11 2 = = = Ser du et system som gjør at du raskt kan finne ut hvilket tall er? Tall og tallforståelse 29
30 Prøv deg selv 1 Skriv som potens. a) 3 3 b) c) d) Regn ut potensen. a) 10 3 b) 3 3 c) 5 4 d) Skriv svaret som én potens. a) b) c) d) Skriv svaret som én potens. a) 5 5 : 5 2 b) 10 6 : 10 2 c) 7 4 : 7 2 d) 2 5 : Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 3563 b) c) d) Skriv tallene på standardform. a) b) c) d) Regn ut arealet av et kvadrat når sidene i kvadratet er a) 4 cm b) 9 cm c) 7 cm d) 3,6 cm Tall og tallforståelse 8 Regn ut x 2. a) x = 2 b) x = 7 c) x = 1 d) x = 0,5 9 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 64 pffiffiffiffiffi b) a) Sidene i et kvadrat er 4,5 cm Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 12,96 m 2. Hvor lange er sidene? 11 Regn ut. a) 4 -- ð--2þ +3 b) 15 + ð--5þ c) ð--30þ -- 2 c) pffiffiffiffiffiffiffi 121 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi d) d) ð Þ e) ð Þ -- ð Þ f) ð Þ ð6 --3Þ 30
31 12 Regn ut. a) b) 5 ð--10þ c) --4 ð--8þ d) --32 : ð--8þ e) 45 : ð--9þ f) --45 : 9 13 Lotte blander 2 dl iste med 10 dl vann. a) Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får Lotte? b) Regn ut forholdet mellom volumet av iste og volumet av vann. 14 Murer Sand blander sement og sand i forholdet 1 : 5. Han har 6 skuffer sement i blandemaskinen. a) Hvor mange skuffer sand har mureren i blandemaskinen? b) En annen gang har mureren 20 skuffer sand i blandemaskinen. Hvor mange skuffer sement og sand har han da til sammen i blandemaskinen? Pantheon i Roma ( e.kr.) har en selvbærende kuppel av betong. 15 Hvilke tall mangler i tallrekkene? a) & & 36 b) & & 13 c) & & Hvilke av tallene er kvadrattall, og hvilke av tallene er trekanttall? Tall og tallforståelse 31
32 Noe å lure på 1 En flaske inneholder 6 dl saft. Simen skal blande saft og vann ved å bruke 1 del saft og 9 deler vann. På flasken står det at det kan bli 6 liter ferdigblandet saft. Forklar hvorfor det er riktig. 2 Se på utregningene nedenfor. 1= = =3 3 Hvordan fortsetter dette mønsteret? 3 Avstanden fra jorda til månen er ca km, og avstanden fra jorda til sola er ca km. Månens diameter er ca km, og solas diameter er ca km. Regn ut forholdet mellom a) avstanden fra jorda til sola og avstanden fra jorda til månen b) diameteren til månen og diameteren til sola Tall og tallforståelse c) Hva har svarene i a) og b) å si for en solformørkelse? Solformørkelse fotografert fra Oslo
33 pffiffiffi 4 Sidene i et kvadrat er 5 cm. Regn ut arealet av kvadratet. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p pffiffiffiffiffiffiffi 5 Regn ut Vi vet at 2, = : Men hva er 2, ? 7 a) Hvordan fortsetter dette mønsteret? b) Hva kjennetegner tallene du finner? 8 Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2 3Þ inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller i en boks Sudoku Tall og tallforståelse 33
34 Oppsummering Potenser Når vi multipliserer tall som er like store, kan vi skrive dem som en potens =5 6 x x x = x 3 Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer = =2 7 x 3 x 2 = x = x 5 Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren = =5 4 x 6 : x 2 = x = x 4 Tall og tallforståelse Tall på standardform Tall kan skrives på vanlig form eller på standardform. Vanlig form: Standardform: 4, Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5 5=5 2 = er et kvadrattall. Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. p ffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25 34
35 Regning med fortegnstall Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet ð--7þ =10--7=3 Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet ð--7þ =10+7=17 Når vi multipliserer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5þ = Når vi dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 : ð--5þ¼--5 Når vi multipliserer to negative tall, blir svaret et positivt tall ð--5þ = 125 Når vi dividerer et negativt tall med et negativt tall, blir svaret et positivt tall : ð--5þ =5 Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5:25=1:5 Trekanttall Vi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover = 3 3 er et trekanttall = 6 6 er et trekanttall Tall og tallforståelse 35
36 2xei + xei + 5 = 3xei + 5 2x + x + 5 = 3x+ 5
37 2 Algebra Det var araberne som først begynte å regne med bokstaver. De brukte ordet «sai» når de regnet med ukjente tall. I middelalderen ble mange bøker oversatt fra arabisk til spansk av spanske munker. De oversatte ordet «sai» med «xei», og etter hver gikk man over til å bruke bare den første bokstaven i ordet «xei», nemlig x, når man regnet med ukjente tall. Derfor er det vanlig å bruke bokstaven x når vi regner med ukjente tall i dag. Mål I dette kapitlet vil du få lære om. enkle algebraiske uttrykk. regning med parenteser. likninger med en ukjent. løsning av ulikheter. praktiske problemer med tall og regnemetoder Han bruker x i stedet for den ukjente!
38 Bokstavuttrykk? Jeg vil gjerne ha to x-er og sju y-er. Hm, det blir 2x +7y. Hva kaller vi et regneuttrykk som inneholder bokstaver? Talluttrykk inneholder bare tall. Uttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstavene står da i stedet for tall. Hver bokstav kaller vi en variabel. En variabel er noe som varierer, det betyr at den kan ha forskjellig verdi er et talluttrykk. Algebra 2x + 7y er et bokstavuttrykk. 38
39 Eksempel Familien til Hanna skal på bilferie. De skal kjøre y kilometer. Lag et bokstavuttrykk som viser kilometerutgiftene dersom de må beregne 4 kr per kilometer. Løsning Kilometerutgiftene i kroner blir: 4y Oppgaver 2.1 Forklar forskjellen på talluttrykk og bokstavuttrykk. 2.2 Hvilke av regneuttrykkene er talluttrykk og hvilke er bokstavuttrykk? A B 3x 5 C y D2ð5 +4Þ 2.3 I en kiosk koster en brus 15 kr og et skolebrød 9 kr. Sara handler 3 flasker brus og 2 skolebrød. Hvilket talluttrykk viser hvor mye Sara må betale? A B Skriv et bokstavuttrykk som viser a) x multiplisert med 3 b) summen av 2x og 3y c) differansen mellom 2x og Lotte kjøper smågodt til 99 kr per kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Lotte må betale for x kg. 2.6 Sara leser n blader hver uke. Hvilket av disse regneuttrykkene står for hvor mange blader Sara leser på 6 uker? A 6 n B 6+n C n -- 6 D n + n 6 C D Algebra 39
40 2.7 Herman sykler 2 km hver vei til skolen. Han sykler i x dager. Hva står bokstavuttrykket 4x for? 2.8 Lag et bokstavuttrykk som viser hva som finnes i sirkelen. z z x x x x y z y y x x z z 2.9 Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figurene. a) b b) 2b c) a a b a a b a b 2.10 Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Simen må betale for x liter melk, y liter jus og z liter brus. Algebra 2.11 Martin svømmer to ganger i uka. Prisen for buss tur retur svømmehallen er 42 kr, og det koster 25 kr i inngangspenger. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Martin må betale for n uker med svømming. 40
41 Sette tall inn i bokstavuttrykk Vi regner ut verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn verdien til variablene. 2x + 7y =? Hva blir svaret når x = 4 og y = 2? Hvis x =4ogy = 2 i bokstavuttrykket 2x +7y, setter vi inn verdien til variablene og regner ut. 2x +7y = =8+14=22 Eksempel Regn ut 3a +2b når a = 5 og b =6 Løsning 3a +2b = =15+12=27 Oppgaver 2.12 Sett inn x =8ogy = 7. Regn ut. a) x + y b) 2x +6y c) 4y 4x d) 4x +3y Algebra 41
42 2.13 a) Lag et bokstavuttrykk for omkretsen av figuren. b) Regn ut omkretsen av figuren når 1 a = 2, b = 3 og c =1 2 a = 4, b = 6 og c =2 a 3 a = 8, b = 12 og c =4 c 2.14 Sara er x år eldre enn Aurora, som er 13 år. a) Skriv et bokstavuttrykk som viser hvor gammel Sara er. b) Hvor gammel er Sara hvis x = 4? 2.15 Regn ut omkretsen (O) av figurene når a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 4 cm, g = 4 cm og h =3cm. a) O =2a +2b b) O = d c) O = g + h + c b a d h c b 2.16 Sett inn x = 3, y =4ogz = 2. Regn ut. a) 4x b) y c) 2x + y y z z g 2x +2y d) x z Regning med bokstavuttrykk Vi kan regne med variabler på samme måte som vi regner med tall. Vi vet at 2+2+2= =3 6 Husk! Vi sløyfer gangetegnet mellom tall og bokstaver (variabler). Algebra På samme måte er x + x + x =3 x a + a + a =3 a 3 a =3a 42
43 Når vi har bokstavuttrykk med flere variabler, trekker vi sammen ledd med for eksempel x og y hver for seg. Vi ordner bokstavleddene i svaret etter alfabetet. 4x +2y -- 2x +3y = 4x -- 2x + 2y +3y =2x +5y Regel Når vi skal trekke sammen et bokstavuttrykk, adderer eller subtraherer vi ledd med like variabler. Eksempel Regn ut. a) 7y +3y y b) 4a +6b 2a +3b Løsning a) 7y +3y y = 9y b) 4a +6b 2a +3b =4a 2a +6b +3b = 2a +9b Oppgaver 2.17 Regn ut. a) x + x + x + x b) b + b + b 2.18 Regn ut. a) 2b +2b b) 4x +7x 2.19 Regn ut. a) x + y +3x +5y b) 5b +2a +4a 2b c) a + a + a + a d) xy + xy + xy c) 11a 7a d) 4y +2y +3y c) 3ab 2ab +3ab + 3ab d) 3a +4b +4a 6b Algebra 43
44 Potenser og bokstavuttrykk På samme måte som vi kan skrive tall som potens, kan vi også gjøre det med variabler =4 3 x x x = x 3 Vi multipliserer og dividerer potenser med samme variabel på samme måte som med tall = =5 7 a 3 a 4 = a = a : 7 4 = =7 2 y 6 : y 4 = y = y 2 Eksempel Regn ut. a) a 6 a 2 b) 2y 3 3y 2 c) x 7 : x 5 Løsning a) a 6 a 2 = a = a 8 b) 2y 3 3y 2 =2 3 y = 6y 5 c) x 7 : x 5 = x = x 2 d) ab ab e) 2x 3 + x + x d) ab ab = ðabþ 2 e) 2x 3 + x + x = 2x 3 +2x (ab)²=a²b² Oppgaver Algebra 2.20 Regn ut og skriv svaret som potens. a) y y b) a a a a c) x x x x x x d) ab ab ab 2.21 Regn ut og skriv svaret som potens. a) y 4 y 3 b) a 2 a 8 c) b 4 b 3 b 2 d) x x 6 x Regn ut og skriv svaret som potens. a) a 4 : a 2 b) x 8 : x 4 c) y 5 : y 5 d) ð2aþ 9 : ð2aþ 5 44
45 2.23 Regn ut. a) 3b 5b b) 3x 2 5x 3 c) 7ðabÞ 2 8ab d) 3x 2x 2 4x 3 x¹ = x¹ˉ¹ = x =1 x¹ 2.24 Trekk sammen. a) y 4 + y 2 + y 2 b) 3x -- 2x 2 + x þ 2x 2 c) 3a +3a 2 + a -- 2a 2 d) 3x +2x 2 +4x Regn ut. a) 2ab 6ab b) 4b : 4b c) 5z 2 4yz 3 d) 3y x 4 3y 3 2x 5 Parenteser og bokstavuttrykk Når vi skal trekke sammen bokstavuttrykk som inneholder parenteser, løser vi opp parentesene på denne måten: +ð4x +3xÞ =4x +3x =7x +ð4x -- 3xÞ =4x -- 3x = x --ð4x +3xÞ = --4x -- 3x = --7x --ð4x -- 3xÞ = --4x +3x = --x Legg merke til at vi bytter fortegn i parentesen når det står et minustegn foran. Regel Når vi løser opp parenteser med plusstegn foran, forandrer vi ikke fortegnene i parentesen. Når vi løser opp parenteser med minustegn foran, forandrer vi fortegnet foran alle leddene inne i parentesen. Hvis det står et tall eller bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi dette med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Algebra 45
46 5ð2a +4aÞ =5 2a +5 4a = 10a + 20a = 30a --5ð2a +4aÞ = --5 2a a = --10a -- 20a = --30a Regel Vi multipliserer et tall eller bokstavuttrykk med en parentes ved å multiplisere med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Eksempel Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig. a) -- ð3a -- aþ b) 4xð2x--3Þ c) --2að2a--3aÞ Løsning a) --ð3a -- aþ = --3a + a = --2a b) 4xð2x -- 3Þ =4x 2x -- 4x 3=8x x c) --2að2a -- 3aÞ = --2a 2a -- 2a ð--3aþ = --4a 2 +6a 2 = 2a 2 Oppgaver 2.26 Løs opp parentesene og regn ut. a) +ð3x +4xÞ b) +ð5a -- 3aÞ c) --ð4y +4yÞ d) --ð--4b -- 2bÞ Vi skriver bokstavuttrykk før talluttrykk i svaret. 2+a =a Løs opp parentesene og regn ut. a) 2ða + bþ b) 4ð2x -- yþ c) --3ð2 +xþ d) --4ða + bþ 2.28 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3að2a + aþ b) 2xð3x -- 2xÞ c) --xðx +2Þ d) --3aða -- 3aÞ Algebra 2.29 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ð5 +6Þ +4ð2 --5Þ b) 2að3 --5Þ -- 3að2 +3Þ c) 3xð2x +4xÞ +2xðx +3xÞ d) --að aÞ -- 3að2 +aþ 46
47 Likninger? Lurer på hva x kan være... Hvordan løser vi likningen 2x = 9? Vi kan løse likninger ved å legge til eller trekke fra like mye på hver side av likhetstegnet. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet. Når vi løser en likning vil vi vanligvis at den ukjente skal stå alene på venstre side av likhetstegnet, men den ukjente kan også stå alene på høyre side. Vi bruker ofte x for den ukjente i en likning, men vi kan også bruke andre bokstaver, som for eksempel a, t eller y. Regel Vi kan løse en likning ved å legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet. Vi kan også løse en likning ved å multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet. Algebra 47
48 Eksempel Løs likningene. a) 7 + x = 12 b) 15 = a -- 6 Løsning a) 7+x = 12 7+x -- 7 = x =5 c) 3x = 18 d) z 12 =8 Trekker fra 7 på begge sider b) 15 = a =a Legger til 6 på begge sider 21 = a a = 21 Ettersom 21 = a, er også a = 21 c) 3x = 18 3x 3 = 18 3 x =6 Dividerer alle ledd med 3 d) z 12 =8 z 12 = z = 96 Multipliserer alle ledd med 12 Oppgaver Algebra 2.30 Løs likningene. a) x +3=13 b)x 5=17 c)56=x 22 d) 11 = x Løs likningene. a) 2x = 42 b) 7x = 28 c) 3a = 15 d) 100 = 5x 2.32 Løs likningene a) x 7 = 6 b) x 5 = 3 c) 12 = x 2 d) a 12 = 10 48
49 2.33 Løs likningene. a)9=3--x b) 2x + x = 12 c) 3x 2 = 6 d) 3x = 3 2 Husk! Likningen må alltid balansere! Addere og subtrahere med x Vi kan legge til og trekke fra samme tall eller bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi løser likningen 2x = 9 + x slik: 2x =9+x 2x -- x =9+x -- x x =9 Trekker fra x på begge sider Eksempel Løs likningene. a) 4x =3x +9 b) x =10--4x Løsning a) 4x =3x +9 4x -- 3x =3x +9--3x 1x =9 x =9 Trekker fra 3x på begge sider Algebra 49
50 b) x =10--4x x + 4x =10--4x + 4x 5x = 10 5x 5 = 10 5 x =2 Legger til 4x på begge sider Dividerer alle leddene med 5 Oppgaver 2.34 Løs likningene. a) 2x =9+x b) 5x =15+2x c) 3x =12 x d) x 8= 3x 2.35 Løs likningene. a) 2x 4=11 3x b) 7x +6=12+3x 2.36 Løs likningene. a) 4ðx -- 3Þ =8 b) xð2 +3Þ = 10 c)8+6x =3x + 20 d) 7x 6= 6x 5 c) 3ð2 +xþ =4ðx -- 3Þ d) 2ðx +5Þ -- 3ðx -- 2Þ =4x -- 4 Multiplisere med x På samme måte som vi kan multiplisere alle leddene i en likning med tall, kan vi også multiplisere alle leddene med en variabel (bokstav). For å løse likningen 2 = 4 x må vi «fjerne» x i nevneren i brøken 4. Det gjør vi ved x å multiplisere alle leddene med x. Algebra 2= 4 x 2 x = 4 x x 2x 2 = 4 2 x =2 Multipliserer alle leddene med x Dividerer alle leddene med 2 50
51 Hvis likningen består av flere ledd, må vi huske på åmultiplisere eller dividere alle leddene med samme tall eller samme bokstavuttrykk. Husk! Vi skiller leddene fra hverandre med + tegn og tegn. 3+ x 3 =9 x Regel Vi kan løse en likning ved å addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med det samme tallet eller bokstavuttrykket på begge sider av likhetstegnet. Eksempel Løs likningene. a) 9 4x =3 b) x 3 =8+x Løsning a) 9 x =3 9 x x =3 x 9 3 = 3x 3 Multipliserer alle ledd med x Dividerer alle ledd med 3 3=x x =3 b) 4x 3 4x 3 =8+x 3=8 3+x 3 4x =24+3x 4x -- 3x =24+3x -- 3x 1x = 24 x = 24 Multipliserer alle ledd med 3 Trekker fra 3x på begge sider Algebra 51
52 Oppgaver 2.37 Løs likningene. a) 2 x =4 b) x 2 =4 c) 6 = 3 x 2.38 Løs likningene. a) 15 x =3 b) x 5 = 100 c) 4 = 24 2x d) 4x 2 =8 d) 5x 2 = Løs likningene. a) x =9 b) 4 x +4=2 c) 3 + x 3 =9--x d) x 4 + x = x 2 +3 Kvadratiske likninger Hm, denne likningen har to løsninger... x ² = 16 Likninger av typen x 2 = 16 kaller vi kvadratiske likninger. Ettersom både 4 2 og ð--4þ 2 er lik 16, så vil både x =4ogx = 4 være løsningen på likningen x 2 = 16: Algebra Det vil altså si at x =4ogx = 4 er løsningen på likningen x 2 = 16: Regel Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. 52
53 Eksempel Løs likningene. a) x 2 = 25 b) x 2 +5=55 Løsning a) x 2 = 25 p x = ffiffiffiffiffi 25 b) pffiffiffiffiffi og x = x = 5 og x = --5 x 2 +5=55 x =55--5 x 2 = 50 p x = ffiffiffiffiffi 50 pffiffiffiffiffi og x = x 7,07 og x --7,07 Trekker fra 5 på begge sider Oppgaver 2.40 Løs likningene. a) x 2 = 16 b) x 2 = Løs likningene. a) x 2 = 62 b) x 2 = 9, Løs likningene. a) x 2 +4=40 b) x = Løs likningene. a) 2x 2 = 50 b) 3x = 28 c) x 2 = 36 d) x 2 = 64 c) x 2 = 121 d) x 2 = 30,25 c) x 2 +17=66 d) 78 = x For å finne kvadratroten av et tall bruker jeg som regel kalkulatoren! c) 4x 2 +3=9 d) 5x = 3x Algebra 53
54 Å sette prøve på likninger Vi kan sette prøve på en likning ved å undersøke om venstre og høyre side av likningen har samme verdi. Vi setter da inn verdien for x og regner ut venstre og høyre side av likningen hver for seg. Jeg tror svaret blir 6! Er du helt sikker? 5x 3 = 4 + x Venstre side: 5x Høyre side: 4+x Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 6 er derfor en riktig løsning. Algebra Oppgaver 2.44 Hvilken av likningene gir x = 6 til svar? A 45 = 2x B 3x = 18 C 21 = 4x 2.45 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 7x = 42 b) 5x = 50 c) 64 = 4x 2 d) x =
55 2.46 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 2x 3=x c) x 6 =7 b) x = x d) 2x = x Løs likningene og sett prøve på svaret. a) x 7x +5=9--3x b) x = 30 c) 3x2 +8=2x Problemløsing og likninger Vi kan løse mange ulike problemer ved hjelp av likninger. Noen ganger kan det være lurt å lage en hjelpefigur. Omkretsen av den likebeinte trekanten er 30 cm. Hvor lange er sidene? 2x 2x x I en likebeint trekant er de lengste sidene dobbelt så lange som den korte. Vi kaller den korte siden for x. De lange sidene blir da 2x. Vi får likningen 2x +2x + x = 30, der x er den korte siden. 2x +2x + x = 30 5x = 30 5x 5 = 30 5 x =6 Algebra 55
56 De lange sidene finner vi slik: 2x =2 6=12 De lange sidene er 12 cm, og den korte siden er 6 cm. Vi kan kontrollere svaret slik: Omkretsen er 12 cm + 12 cm + 6 cm = 30 cm Oppgaver 2.48 I et rektangel er lengden dobbelt så stor som bredden. Omkretsen av rektangelet er 42 cm. a) Kall bredden for x cm og still opp en likning. b) Hvor lange er sidene i rektangelet? 2.49 Du trekker 23 fra et ukjent tall og får 71 til svar. a) Kall det ukjente tallet for x, og still opp likningen. b) Løs likningen Hanna kjøper 5 pizzaer og 10 brus til en klassefest. Det koster til sammen 650 kr. Hvor mye koster en pizza dersom brusen koster 18 kr per flaske? Løs oppgaven ved hjelp av likning Hanna og Herman vil dele en pose med 47 karameller slik at Hanna får 11 karameller mer enn Herman. Hvor mange karameller får de hver? Løs oppgaven ved hjelp av likning. Algebra 2.52 Simen har to søsken som heter Tone og Espen. Espen er to år eldre enn Simen, mens Tone er dobbelt så gammel som Simen. Til sammen er de 54 år. Hvor gamle er hver av dem? 56
57 Ulikheter? Jeg er 13 år og større enn deg. Ja, jeg er bare 8 år og mindre enn deg. Hvordan kan vi lage et uttrykk som viser aldersforskjellen? Vi bruker symbolene < (mindre enn) og > (større enn) for å vise ulikheter. Vi skriver 13 > 8 13 er større enn 8 8 < 13 8 er mindre enn 13 Vi kan legge til eller trekke fra like mye på hver side i en ulikhet, som for eksempel: 13 > > > 11 Legger til 3 på begge sider 16 > > > 8 Trekker fra 3 på begge sider Algebra 57
58 Eksempel Løs ulikheten. x +4< 8 Løsning x +4< 8 x < x < 4 Trekker fra 4 på begge sider Oppgaver 2.53 Løs ulikhetene. a) x +3< 9 b) x +7< 12 c) x -- 5 < 5 d) x +3> Løs ulikhetene. a) x + 1,5 < 6,5 b) x + 3,5 > 6 c) --2,5 + x < 4 d) x + 11 > Løs ulikhetene. a) 2x +2< x +8 b) 3x + 5,5 > 2x + 6,5 c) --2,5 -- 5x < 3,5 -- 6x Vi kaller uttrykket for en ulikhet. 6 > 3 Algebra 58
59 Prøv deg selv 1 Hva er forskjellen på et talluttrykk og et bokstavuttrykk? 2 a) Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figuren. b a a c b b) Hanna kjøper kjøttdeig til 69 kr/kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Hanna må betale for x kg. 3 Skriv så enkelt som mulig. a) z + z + z + z b) 6a +5a c) 2r +4r r d) 7y +2x 3x + y 4 Sett inn x =3ogy = 5 og regn ut. a) 2x +3y b) x + y c) 3x + 2y d) x 2y 5 Skriv som potens. a) a a a b) x x x x x c) z z d) 2b 2b 2b 2b 6 Regn ut. a) x 3 + x 3 c) 2x 5 +2x 5 b) a 4 + a 4 d) 2y 2 + y 3 c 7 Regn ut. a) a 4 a 3 b) x 3 x 3 c) x 7 : x 2 d) 3a 3 2a 4 8 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ðx -- 5Þ b) 3ð4a +3aÞ c) --ð4x +3xÞ d) --ð2x -- 5xÞ 9 Løs likningene. a) 42 = 13 + x b) a 9=0 c)x 12 = 12 d) = 14 + x Algebra 59
60 10 Løs likningene. a) 2x = 16 b) 35 = 5x 11 Løs likningene. a) 1 = 3 x b) 4x -- 2 = 3x Løs likningene. a) x 2 = 49 b) x 2 = 64 c) x 4 =4 d) 3x 2 = 15 c) --x +2=3x -- 8 d) 3x = x c) 2x = 8 x d) 3x 2 +3=x Sett prøve og vis hvilke av likningene som har løsningen x = 4. A 6x = 24 B x 2 +2=18 C 4 x =2 14 Fra vannkranen på badekaret kommer det 20 liter vann på ett minutt. Hvor lang tid vil du bruke på åfylle hele badekaret hvis det rommer 200 liter? Still opp en likning og finn svaret. Algebra 15 Løs ulikhetene. a) 9 + x > 10 b) x < 145 c) x -- 8 > 2 d) x + 60 >
61 Noe å lure på 1 Matematikkgeniet Carl Friedrich Gauss ( ) fant i ung alder en formel for å summere de hundre første naturlige tallene. Summen blir 5050, men hva er formelen? Hva blir summen av de ti første naturlige tallene? Carl Friedrich Gauss 2 Sara har like mange 10-kronestykker som Martin har 5-kronestykker. 10-kronestykkene til Sara er verdt 75 kr mer enn 5-kronestykkene til Martin. Hvor mange kroner har de til sammen? 3 En blomst med potte koster 260 kr. Blomsten koster 190 kr mer enn potta. Hvor mye koster blomsten, og hvor mye koster potta? Sett opp en likning og finn svaret. Algebra 61
62 Gullbarre 4 En gullbarre veier 4,5 kg mer enn en sølvbarre. Seks gullbarrer og to sølvbarrer veier like mye som tre gullbarrer og seks sølvbarrer. Hvor mye veier én gullbarre, og hvor mye veier én sølvbarre? 5 Her ser du en vekt som er i balanse. Hvilke tall skal stå i stedet for x og y? Algebra x y 2 kg 62
63 Oppsummering Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven står da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel. A = g h O =2a +2b Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a =4ogb = 6 inn i bokstavuttrykket 2a +2b får vi: 2a +2b = =8+12=20 Regning med bokstavuttrykk Når vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd. 5a +3b +2a -- 2b =7a + b 3x 5y = 15xy 3a 2 2a 3 =6a 5 x 7 : x 3 = x 4 Bokstavuttrykk og parenteser Når vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved å endre alle fortegnene på alle leddene inne i parentesen. 4x + ð2x +3Þ =4x +2x +3=6x +3 6x -- ð3x -- yþ =6x -- 3x + y =3x + y Algebra 63
64 Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi bytte fortegn på alle leddene inne i parentesen. 2xð5 +7Þ =2x 5+2x 7=10x + 14x = 24x --2xð5 --7Þ = --2x 5--2x ð--7þ = --10x + 14x =4x Likninger Vi kan legge til eller trekke fra samme tall eller samme bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene i en likning med det samme tallet eller det samme bokstavuttrykket. 6= 4 x +4 6 x = 4 x x +4 x 6x =4+4x 6x -- 4x =4+4x -- 4x 2x 2 = 4 2 x =2 Likninger av typen x 2 = 25 kaller vi kvadratiske likninger. Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. x 2 = 25 p x = ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 25 og x = x =5 og x = --5 Algebra 64
65 Å sette prøve på likninger Vi setter prøve på en likning ved å sette inn verdien for den ukjente og undersøke om venstre og høyre side av likhetstegnet får samme verdi. 3x +4=8+2x 3x -- 2x =8--4 x =4 Prøve: Venstre side: 3x Høyre side: 8+2x Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 4 er derfor riktig løsning. Ulikheter Vi løser ulikheter ved å legge til eller trekke fra samme tall på begge sider av ulikhetstegnet. Symbolet < betyr mindre enn, og symbolet > betyr større enn. x +4< 12 x +4--4< x < 8 x er mindre enn 8 Algebra 65
66 Kongen skal ha betaling for kvadratene dine! Slapp av, jeg måler så fort jeg kan...
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner. Faktor. Grunnbok. Bokmål
Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner Faktor 9 Grunnbok Bokmål Hei til deg som skal bruke Faktor! Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene
DetaljerRegning med tall og bokstaver
Regning med tall og bokstaver M L N r du har lest dette kapitlet, skal du kunne ^ bruke reglene for br kregning ^ trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk ^ regne med potenser ^ l se likninger
DetaljerÅrsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret Haumyrheia skole
Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret 2016-2017 Tids rom 3 Kompetansemål Hva skal vi lære? (Læringsmål) Hvordan jobber vi? (Metoder) sammenligne og regne tall på standardform og uttrykke slike tall på
DetaljerTall og enheter. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Tall og enheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene 1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerAnne-Lise Gjerdrum Elisabet W. Kristiansen. Illustrasjoner: John Thoresen. Tusen millioner. Bokmål
Anne-Lise Gjerdrum Elisabet W. Kristiansen Illustrasjoner: John Thoresen Tusen millioner 4 Oppgavebok Bokmål Oppgaveboka inneholder øvings- og repetisjonsoppgaver til alle kapitlene i grunnbøkene. Øvingsoppgavene
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2015/ 2016
Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Frosta skole, 20.08.2015 Faglærere:
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2017/ 2018
Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Faglærere: Heidi Kvamvold, Bodil
DetaljerÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2014/ 2015
Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Frosta skole, 18.08.2014 Faglærere:
DetaljerSandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9
Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tema: Statistikk gjennomføre undersøkelser og bruke databaser
DetaljerTerminprøve i matematikk for 9. trinn
Terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2006 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks. poengsum:
DetaljerTema. Beskrivelse. Husk!
Dette er ment som en hjelpeoversikt når du bruker boka til å repetisjon. Bruk Sammendrag etter hvert kapittel som hjelp. Verktøykassen fra side 272 i boka er og til stor hjelp for repetisjon til terminprøve.
DetaljerTerminprøve i matematikk for 8. trinn
Terminprøve i matematikk for 8. trinn Våren 2006 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks. poengsum:
DetaljerStudentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform
1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller
DetaljerSandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015
Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Periode 1: UKE 34-38 Tema: Kap.1 «Tall og tallforståelse» sammenligne og omregne hele tall ( ) og tall på standardform,
DetaljerKapittel 2. Tall på standardform
Kapittel 2. Tall på standardform Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive tall som er mye større enn 1 eller mye mindre enn 1. Du må kunne potensregning for å forstå regning med
DetaljerSandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR Side 1 av 9
Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2016-2017 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 33-UKE 39 Tema: Tall og tallforståelse sammenligne og omregne hele tall,
DetaljerMatematikk årsplan 9. trinn
UKE 33-41(- 40) TALL OG TALLFORSTÅELSE Periode Matematikk årsplan 9. trinn 2017-2018 Hovedemne Metoder og læringsressurser Læringsmål Innhold Grunnleggende ferdigheter Vurdering Grunnbok kap. 1 Oppgavebok
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerHvor mye er 1341 kr delt på 2?
Hvor mye er 1341 kr delt på 2? 10 1 4 = 1 : 4 Divisjon 2 MÅL I dette kapitlet skal du lære om divisjon som gir rest divisjon der svaret er et desimaltall avrunding av desimaler divisjon av desimaltall
DetaljerPrøveinformasjon. Høsten 2014 Bokmål
Høsten 2014 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen
DetaljerALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL
Anne Rasch-Halvorsen Oddvar Aasen Illustratører: Bjørn Eidsvik Gunnar Bøen 7A NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 00 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.
DetaljerKapittel 8. Potensregning og tall på standardform
Kapittel 8. Potensregning og tall på standardform I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive
DetaljerTall og formler MÅL. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Tall og formler MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne anslå svar, regne med og uten tekniske hjelpemidler i praktiske oppgaver og vurdere rimeligheten av resultatene tolke, bearbeide, vurdere
DetaljerBrøker med samme verdi
Kapittel 7 Brøk Mål for det du skal lære: regne om mellom blandet tall og uekte brøk forkorte og utvide brøker, finne fellesnevner regne om mellom brøk og desimaltall ordne brøker etter størrelse og plassere
DetaljerKAPITTELPRØVE 1. KAPITTEL 1 God start. Hvor stor del av figuren er a) grå b) hvit. Hva er størst av. a) og 2 10. b) og. c) og 3 1.
KAPITTELPRØVE 1 KAPITTEL 1 God start 1 Hvor stor del av figuren er a) grå b) hvit 2 Hva er størst av 1 6 a) og 2 10 1 5 b) og 2 10 2 4 c) og 3 10 3 1 d) og 4 3 3 a) Hvordan deler vi inn området mellom
Detaljer99 matematikkspørsma l
99 matematikkspørsma l TALL 1. Hva er et tall? Et tall er symbol for en mengde. Et tall forteller om antallet i en mengde. 5 sauer eller 5 epler eller 5.. 2. Hvilket siffer står på eneplassen i tallet
DetaljerEksamen MAT1011 1P, Våren 2012
Eksamen MAT1011 1P, Våren 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) 14,90 kroner per flaske 48,20 kroner
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER
SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen
DetaljerTerminprøve i matematikk for 10. trinn
Terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 2006 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks. poengsum:
DetaljerKapittel 2. Algebra. Kapittel 2. Algebra Side 29
Kapittel. Algebra Algebra kalles populært for bokstavregning. Det er ikke mye algebra i Matematikk P-Y. Det viktigste er å kunne løse enkle likninger og regne med formler. Kapittel. Algebra Side 9 1. Forenkling
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerAnne-Lise Gjerdrum Espen Skovdahl. I llus t ras joner : Anne Holt og J ohn Thor esen. Tusen millioner. n nb. u r 2B. Bokmål.
Anne-Lise Gjerdrum Espen Skovdahl I llus t ras joner : Anne Holt og J ohn Thor esen n nb u r 2B ok G Tusen millioner Bokmål Tusen millioner snøfnugg daler, lever tusen millioner virvler rundt og svever
DetaljerEksamen 2P, Høsten 2011
Eksamen P, Høsten 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) Skriv på standardform 1) 533 milliarder 9 11
DetaljerØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn. Oppgave 1 (2 poeng) Regn ut. a) 34, ,3 = c) 1,1 2,9 = b) 3,06 1,28 = d) 33 : 2,2 =
ØVINGSPRØVE TIL ÅRSPRØVEN 10. trinn Del 1: 2 timer. Maks 30,5 poeng. Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Bruk sort eller blå penn når du fører inn svar eller
DetaljerPrimtall og sammensatte tall Primtall er naturlige tall som bare er delelige med 1 og seg selv.
Oppsummering Faktor 8 10 Oppsummering Faktor 8 10 Tall og algebra Naturlige tall Naturlige tall er hele tall som er større enn 0. 1 2 3 4 5 6... Vi kan skrive naturlige tall på utvidet form. 1234 = 1 1000
DetaljerHefte med problemløsningsoppgaver. Ukas nøtt 2009/2010
Hefte med problemløsningsoppgaver Ukas nøtt 2009/2010 1 Tallev Omtveit Nordre Modum ungdomsskole 1 Bilde: http://images2.fanpop.com/images/photos/2900000/illusions-puzzles-and-brain-teasers-2936387-305-
DetaljerSandefjordskolen LOKAL LÆREPLAN I MATEMATIKK BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE
Sandefjordskolen LOKAL LÆREPLAN I MATEMATIKK BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE. -. Trinn KOMPETANSEMÅL FRA LÆREPLANEN Eleven skal kunne TALL OG ALGEBRA sammenligne og omregne hele tall, desimaltall, brøker, prosent,
DetaljerSandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016
Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 7 Periode 1: UKE 34 - UKE 37 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,
DetaljerGeometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen
Detaljer1P Tall og algebra. Tall og algebra Vg1P (utdrag)
1P Tall og algebra Modul 1: Regnerekkefølgen... 2 Modul 3: Brøkregning... 4 Modul 10: Prosentregning... 9 Bildeliste... 28 1 Modul 1: Regnerekkefølgen Du går i butikken og handler ett brød og to liter
DetaljerExcel. Excel. Legge inn tall eller tekst i en celle. Merke enkeltceller
Excel Hva er et regneark? Vi bruker regneark til å sortere data, gjøre beregninger og lage diagrammer. I denne manualen finner du veiledning til hvordan du kan bruke regneark. Et regneark består av celler
DetaljerPlassere positive og negative tall på tallinjen KOPIERINGSORIGINAL 2.1. Navn: KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse. Oppgave 4a. Oppgave 4b.
KOPIERINGSORIGINAL 2.1 KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse Plassere positive og negative tall på tallinjen Navn: Oppgave 4a 0 1 Oppgave 4b 40 0 40 Oppgave 4c 20 0 20 Oppgave 5a 6 3 0 1 4 Oppgave 5b 2 1 0
DetaljerKapittel 2. Tall på standardform
Kapittel. Tall på standardform Standardform er en metode som er nyttig for raskt å kunne skrive tall som er mye større enn eller mye mindre enn. Du må kunne potensregning for å forstå regning med standardform.
DetaljerEksempelsett 2P, Høsten 2010
Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Grete og Per fyller etanol i et beger.
DetaljerMen han kan også først finne ut hvor mange kasser han har solgt og deretter regne ut hvor mange epler det blir.
3.0 Variabler Peder har en stor eplehage og selger epler i hele kasser. En dag selger han 3 kasser og den neste 5 kasser. Han vil finne ut hvor mange epler han har solgt til sammen når det er 50 epler
DetaljerMatematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold
1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter
DetaljerTusen millioner. Grunnbok A Grunnbok B Oppgavebok. B ok m ål
An n e R as ch-h alv o rs e n O d d v ar Aa s e n Tusen millioner Fasit Grunnbok A Grunnbok B Oppgavebok B ok m ål CAPPELEN DAMM AS, 0 ISBN 98-8-0--. utgave,. opplag 0 Materialet i denne publikasjonen
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Skriv som prosent a) 0,451 b) 5 25 Oppgave 2 (2 poeng) a) Forklar at de to trekantene ovenfor er formlike. b) Bestem lengden av siden BC ved regning. Eksamen
DetaljerMATEMATIKK - PLAN FOR TREÅRIG LØP
MATEMATIKK - PLAN FOR TREÅRIG LØP Læremidler: Matematikkofferten Konkretiseringsmateriell Uteskolemetodikk, hefter fra Lamis etc Digitale ressurser: regneark, graftegningsprogram, Kikora etc Læreverk,
DetaljerEnkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
DetaljerVet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til?
Vet du hva vi kan bruke et regneark på pc-en til? 14 Vi starter med blanke regneark! Regneark MÅL I dette kapitlet skal du lære om hva et regneark er budsjett og regnskap hvordan du kan gjøre enkle utregninger
DetaljerNASJONALE PRØVER. Matematikk 10. trinn delprøve 2. Skolenr. Elevnr. Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tid: 90 minutter.
Bokmål Skolenr. Elevnr. NASJONALE PRØVER Matematikk 10. trinn delprøve 2 Tid: 90 minutter 15. april 2004 Gutt Jente Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tillatte hjelpemidler: lommeregner,
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 9. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Høst 2007 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks.
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 9. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Høsten 2008 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir utdelt samtidig, men del
DetaljerFAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn
FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Vurderingskriterier vedleggsnummer Samanlikne
DetaljerOppgaver i matematikk, 9-åringer
Oppgaver i matematikk, 9-åringer Her er gjengitt de frigitte oppgavene fra TIMSS 95. Oppgavene fra TIMSS 2003 ventes frigitt i løpet av sommeren 2004 og vil bli lagt ut kort tid etter dette. Oppgavene
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 9. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men del
DetaljerÅrsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret Haumyrheia skole
Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret 2017-2018 Bjørn Atle Hjortland, Mass Berg Johansen og Stine Skram Tidsrom 3 Kompetansemål Kjennetegn på måloppnåelse Arbeidsform/metode Vurderingsform Tall og algebra:
DetaljerKapittel 4. Algebra. Mål for kapittel 4: Kompetansemål. Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
Kapittel 4. Algebra Mål for kapittel 4: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene
DetaljerHøsten 2015 Bokmål. Prøveinformasjon. Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: Del 1 (32,5 poeng) Del 2 (29 poeng)
Høsten 2015 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen
DetaljerLøsning del 1 utrinn Høst 13
//06 Løsning del utrinn Høst - matematikk.net Løsning del utrinn Høst Contents DEL EN Oppgave + 679 = 0 89 78 = 8 c) 7,, 6 = 6, 6 d) : 0, = 0 : = 80 Oppgave 78 dl = 7,8 L, mil = kilometer = 000 m c), t
DetaljerEksamen 23.11.2011. MAT1015 Matematikk 2P. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 3.11.011 MAT1015 Matematikk P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del
DetaljerEksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013
Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500
DetaljerAnne-Lise Gjerdrum Elisabet W. Kristiansen. Illustrasjoner: Anne Holt og John Thoresen. Tusen millioner. Bokmål
Anne-Lise Gjerdrum Elisabet W Kristiansen Illustrasjoner: Anne Holt og John Thoresen Tusen millioner B Grunnbok Bokmål Tusen millioner barn kan være venner tusen millioner fra nær og fjerne strender venn
DetaljerVerktøyopplæring i kalkulator for elever
Verktøyopplæring i kalkulator for elever Innholdsfortegnelse Enkel kalkulator... 2 Kalkulator med brøk og parenteser... 7 GeoGebra som kalkulator... 11 H. Aschehoug & Co. www.lokus.no Side 1 Enkel kalkulator
DetaljerLæreplan i matematikk. Kompetansemål etter 10. årstrinn
Læreplan i matematikk Kompetansemål etter 10. årstrinn Tall og algebra Eleven skal kunne: 1. Sammenlikne og regne om hele tal, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform 2. Regne med
DetaljerSandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8
Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET 2016-2017 Side 1 av 8 Periode 1: UKE 33 - UKE 39 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,
Detaljer1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at
Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8
DetaljerEtter en lang ferie er det en del regneferdigheter vi må friske opp:
Repetisjonshefte matematikk høsten 7. trinn Navn: Etter en lang ferie er det en del regneferdigheter vi må friske opp: Ganging med store tall s. 2 Deling med store tall s. 2 Brøkregning s. 3 Finne brøkdeler
DetaljerVI G VOLL SK OLE ÅRSPLAN
V VOLL SK OL ÅSPL 2015-16 Uke 33 34 35 36 37 38 39 40 ema all og tallforståelse lgebra Kompetansemål levene skal lære om tall på standard form faktorer, potenser, kvadratrot og forhold mellom størrelser
DetaljerPosisjonsystemet FRA A TIL Å
Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet
DetaljerHvor mye må jeg betale for 2 kg appelsiner?
Hvor mye må jeg betale for 2 kg appelsiner? 5 Jeg har omtrent 380 kr 400 kr! Avrunding og overslag MÅL I dette kapitlet skal du lære om avrunding av hele tall avrunding av desimaltall overslag i addisjon
DetaljerPENSUMLISTE TIL MATEMATIKKTENTAMEN 2. juni
PNSUMS MAMAKKNAMN 2. juni Del 1: Prøver deg i det regnetekniske. Føres direkte på arket. ngen hjelpemidler er tillatt. kke kladd på oppgavearket, det får du eget ark til. De oppgavene med regnerute, fører
DetaljerMagisk Matematikk. 75 minutter. Passer for: Varighet:
Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som enkelt avsløres med algebra,
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse 2013 2014. Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 0 04. Løsninger Første runde 7. november 0 Oppgave. Siden er et primtall, vil bare potenser av gå opp i 0. Altså,,,,..., 0 i alt tall........................................
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 9. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Høsten 2011 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir utdelt samtidig, men del
DetaljerOppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000
GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.
DetaljerANDEBU KOMMUNE ANDEBU UNGDOMSSKOLE
ANDEBU KOMMUNE ANDEBU UNGDOMSSKOLE FORSLAG TIL FAGPLAN I MATEMATIKK 8. KLASSE- Justert 27.09.2011 Periode Tema Kompetansemål Aktiviteter/innhold Kilder Vurdering August og September (ca. 6 uker) Tall og
DetaljerKapittel 1. Tallregning
Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 10. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høst 007 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks.
DetaljerOmråder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra
FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matte TRINN: 9.trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra Eleven skal kunne -
DetaljerAlgebra Vi på vindusrekka
Algebra Vi på vindusrekka Utsagn... 2 Åpne utsagn... 3 Den ukjente... 4 Likhetstegnet... 5 Likninger... 6 Løs likninger... 7 Matematiske uttrykk... 8 Formel... 9 Tilordning... 10 Funksjon... 11 Koordinatsystem...
DetaljerÅRSPLAN. Grunnleggende ferdigheter
ÅRSPLAN Skoleåret: 2015/16 Trinn: 5 Fag: Matematikk Utarbeidet av: Trine og Ulf Mnd. Kompetansemål Læringsmål (delmål) kriterier for måloppnåelse Aug Sep Okt Nov Beskrive og bruke plassverdisystemet for
Detaljer1 p 1.1 Kryss av for hvilket av sifrene i tallet som står på tierplassen.
Faktor Terminprøve i matematikk for 8. trinn Våren 2008 bokmål Navn: Oppgavesettet består av tre deler som alle skal besvares. Bruk blyant på figurer og konstruksjoner - ellers bruker du sort eller blå
DetaljerDu skal svare på alle oppgavene i Del 1 og 2. Skriv med sort eller blå penn når du krysser av eller fører inn svar.
Høsten 2014 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen
DetaljerEn konstant er et symbol med en fast verdi. 2 og er eksempler pô konstanter.
Algebra Variabel Konstant trekke sammen Algebra er bokstavregning. Det er et verktöy som forenkler regneoperasjonene i forskjellige omrôder av matematikken. Bokstavene er symboler for tall og skal behandles
Detaljer3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det?
Likninger av første grad med en ukjent 1. Løs følgende likninger x 3 + 4x a. + = 16 2x 7 2 x 1 x + 3 b. + 2 = 0 x x 2 1 1 1 c. (2x + 3) (3 4x) = (4x 7) 3 2 6 d. 2 x + 3( 2 x) = 3 2. Lag en likning som
DetaljerTallinjen FRA A TIL Å
Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T - 2 2 Grunnleggende om tallinjen T - 2 3 Hvordan vi kan bruke en tallinje T - 4 3.1 Tallinjen
DetaljerFasit til øvingshefte
Fasit til øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Velge regneart Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk Mellomtrinn Velge regneart 1 Velge regneart Seksjon 1 Oppgave 1.1
DetaljerBrøk Vi på vindusrekka
Brøk Vi på vindusrekka Brøken... 2 Teller og nevner... 3 Uekte brøk... 5 Blanda tall... 6 Desimalbrøk... 8 Pluss/minus... 9 Multiplikasjon... 11 Likeverdige brøker... 12 Utviding... 13 Forkorting... 14
DetaljerMATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017
UKE MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017 TEMA KAPITTEL 1 «TALL» 33 Arbeidsrutiner Tall 34 Titallsystemet / Desimaltall/Tekstoppgaver 35 Addisjon og subtraksjon / BLÅ: LÆRINGSSTØTTENDE PRØVE 36 Negative
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 9. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Høsten 2013 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen 2 timer. Del 2 skal
DetaljerEksamen 25.05.2011. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 25.05.2011 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.
DetaljerOppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn
Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn Løsningsord for kalenderen er RAKETTBASE PRESIS KLOKKA TO A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P Q R S T U
Detaljer