MA-132 Geometri. Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen. Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag.

Transkript

1 Fakultet for teknologi og realfag. Institutt for matematiske fag. MA-132 Geometri Byrge Birkeland Trygve Breiteig Hans Erik Borgersen.. Kristiansand 2008 MA-132 Geometri 1 Byrge Birkeland

2 MA-132 Geometri 2 Byrge Birkeland

3 Forord Dette kompendiet er skrevet for å kunne brukes i kurset MA-132 Geometri, slik dette er definert i fagbeskrivelsen vedtatt våren Jeg har skrevet kompendiet i sin helhet, men har bygd videre på tidligere versjoner av kurset. Mye av stoffet i kapittel 1 bygger på Hans Erik Borgersens og Trygve Breiteigs kompendium Notater i Geometri [1], og mye av stoffet i kapittel 5 bygger på Hans Erik Borgersens kompendium Geometriemner [2], og jeg har brukt noe stoff fra Trygve Breiteigs kompendium Projektiv geometri [3] i kapittel 6. Den viktigste forandringen i forhold til tidligere versjoner av kurset er at det er tatt med et kapittel om vektorregning. Nytt er også kapitlet om GeoGebra, og jeg har tatt med små kapitler om matriser og grupper. Øvingsoppgavene er for en stor del hentet fra kompendiene til Breiteig og Borgersen, og også fra Alfsen og Hansens kompendium i Fo4 Vektorregning [4]. Dessuten er det gjengitt en rekke eksamensoppgaver fra de tidligere versjoner av geometri-kurset. Kompendiet vil bli foreligge både i papirversjon og i elektronisk versjon på internett. Den elektroniske versjonen vil inneholde lenker til løsningsforslag til de fleste av oppgavene, og innholdsfortegnelsen vil også fungere som lenker til de forskjellige avsnittene. Kristiansand, 13. august 2008 Byrge Birkeland MA-132 Geometri 3 Byrge Birkeland

4 MA-132 Geometri 4 Byrge Birkeland

5 Innhold 1 Euklidsk geometri Grunnbegreper og notasjoner Punkt Linje Parallelle linjer, parallellaksiomet Stråle Lengder og avstander Linjestykke Vektor Trekant Vinkel Sum og differens av vinkler. Vinkler med fortegn Firkant Polygoner Geometriske steder, sirkler og ellipser Isometrier og kongruens Isometrier og rette linjer Isometrier og parallellitet Isometrier og trekanter Elementære konstruksjoner Midtnormalen til et linjestykke Normalen til en linje i et punkt på linja Normalen til en linje fra et punkt utenfor linja Halveringslinja for en vinkel Likesidet trekant Alternativ konstruksjon for å oppreise normalen i et punkt på en linje Andre vinkler Likebeinte trekanter Oppgaver Elementære teoremer Toppvinkler Ytre vinkel i trekant Setningen om samsvarende vinkler Summen av vinklene i en trekant Vinklene i likebeinte trekanter Setningen om vinkler med parvis parallelle eller normale vinkelbein Similariteter og formlikhet Setninger om similariteter Transversalsetningen Hvordan man deler et linjestykke i et gitt forhold Areal Arealet av en trekant...32 MA-132 Geometri 5 Byrge Birkeland

6 1.7.2 Arealet av et parallellogram Arealet av et trapes Arealet av et polygon Pythagoras setning Thabit ibn Qurras bevis Euklids bevis for Pythagoras setning Det omvendte av Pythagoras setning Oppgaver (Eksamen i grunnskolen 1993) Egenskaper ved sirkler Thales setning om periferivinkler Tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen Trekant med gitt side og motstående vinkel Sirkelens omkrets og areal. Arealet av sirkelsektorer og -segmenter Et punkts potens med hensyn på. en sirkel Mellomproporsjonalen Delingsforhold for halveringslinja for en vinkel i en trekant Trigonometriske funksjoner Areal av sirkelsektor og sirkelsegment Noen egenskaper ved trekanter Omsirkelen til en trekant Sinussetningen Cosinussetningen eller den utvidede Pythagoras setning Herons formel for arealet av en trekant Innsirkelen til en trekant Høydene i en trekant Medianene i en trekant Egenskaper ved firkanter Varignons setning Sykliske firkanter Det gylne snitt Regulær tikant og femkant Papirformat Firkant og trekant med samme areal Oppgaver MA-132 Geometri 6 Byrge Birkeland

7 (Eksamen i grunnskolen 1991) Tangentkonstruksjoner Lenker til løsningsforslag Eksamensoppgaver i euklidsk geometri August 2003, oppgave Mai 2002, oppgave Mai 2001, oppgave Mai 2005, oppgave Mai 2000, oppgave Mai 2000, oppgave Mai 1996, oppgave Mai 1999, oppgave Mai 2003, oppgave Mai 2007, oppgave MA-132 Geometri 7 Byrge Birkeland

8 Mai 2007, oppgave Mai 1994, oppgave Mai 1997, oppgave Mai 1999, oppgave Mai 2001, oppgave August 2003, oppgave Mai 2005, Oppgave Mai 2006, oppgave Mai 2006, oppgave September 2006, oppgave September 2006, oppgave September 2006, oppgave Lenker til løsningsforslag: Vektorer Algebraiske operasjoner på vektorer Eksempel Vektorprojeksjon og skalarprojeksjon Eksempel Oppgaver Lenker til løsningsforslag: Koordinatsystem Vektoroperasjoner og koordinater Oppgaver Lenker til løsningsforslag: Skalarproduktet av to vektorer Eksempel Eksempel Eksempel Koordinatformler for skalarproduktet Oppgaver MA-132 Geometri 8 Byrge Birkeland

9 Lenker til løsningsforslag: Vektorproduktet Eksempel Trippelproduktet Eksempel Eksempel Oppgaver Lenker til løsningsforslag Ligningen for rette linjer og plan Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Oppgaver MA-132 Geometri 9 Byrge Birkeland

10 Lenker til løsningsforslag Matriser og geometri Matriseregning Kolonnevektorer Lineære avbildninger og matriser Matriser til noen kjente avbildninger Polarkoordinater Rotasjoner Speiling om en linje Homotetier Translasjoner og homogene koordinater Gliderefleksjoner Oppgaver Lenker til løsningsforslag Grupper i geometri Definisjoner Eksempel: Eksempel: n Eksempel: Symmetrigrupper Eksempel: Rotasjoner Oppgaver Lenker til løsningsforslag Permutasjoner...89 MA-132 Geometri 10 Byrge Birkeland

11 4.3.1 Eksempel Eksempel Den n-te dihedrale gruppen Eksempel: D Undergrupper Homomorfier og isomorfier Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Eksempel Oppgaver Lenker til løsningsforslag Isometrier og similariteter Fikspunkt og fikslinjer Fire typer av isometrier Speilinger om en rett linje Rotasjon om et punkt Translasjon Gliderefleksjon Klassifikasjon av isometrier Isometrier med fikspunkt Isometrier uten fikspunkt Oppgaver Fra Eksamen mai 2000, oppgave 3b Fra eksamen mai 1995, oppgave 2 b,c,d Eksamen i MA mai Eksamensoppgave mai 1998, oppgave Lenker til løsningsforslag: Symmetrigruppen til en plan begrenset figurer Oppgaver Eksamensoppgave mai 1997, oppgave Eksamen mai 1998, oppgave Eksamen mai 1999, oppgave MA-132 Geometri 11 Byrge Birkeland

12 5.7.4 Eksamen mai 2001, oppgave Eksamen august 2003, oppgave Mai 2005, oppgave Mai 2007, Oppgave Lenker til løsningsforslag Klassifikasjon av similariteter Eksempel: Von Kochs snøflakkurve Oppgaver Lenker til løsningsforslag: Bandmønstre Symmetrigruppen r Symmetrigruppen r11m Symmetrigruppen r11g Symmetrigruppen r1m Symmetrigruppen r Symmetrigruppen r2mm Symmetrigruppen r2mg Oppgaver Dobbeltperiodiske mønstre, fliselegging Generelt parallellogramnett Rektangulært nett Sentrert rektangulært nett Kvadratisk nett Heksagonalt nett Andre emner om flislegging Oppgaver Tegning av tredimensjonale figurer Parallell-projeksjoner Sentralprojeksjon og perspektivtegning Perspektivtegning med ett fluktpunkt Perspektivtegning med to fikspunkt Perspektivtegning med tre fluktpunkt Oppgaver Eksamen mai 2007, oppgave Mai 2006, oppgave September 2006, oppgave Mai 2005, oppgave Innføring i GeoGebra Flytt - menyen Punktmenyen MA-132 Geometri 12 Byrge Birkeland

13 7.3 Linjemenyen Konstruksjonsmenyen Sirkelmenyen Meny for mål, vinkel, glider, geometrisk sted Tranformasjonsmenyen Menyen for tekst og bilde, forholdet mellom to objekt Menyen for flytting av tegneflaten, visning eller skjuling av objekt og navn, sletting av objekter Øvingsoppgaver Trekant med medianer. Løsningsforslag her Omsirkel med makro Innsirkel med makro Rektangel Speilinger og translasjoner. Løsningsforslag her Rotasjoner. Løsningsforslag her Parallellforskyvninger. Løsningsforslag her Flislegging med regulære sekskanter. Løsningsforslag her Flislegging med regulære sekskanter, kvadrater og likesidede trekanter. Løsningsforslag her Det gylne snitt Ellipse Parabel. Løsningsforslag her Hyperbel. Løsningsforslag her Sykloide. Løsningsforslag her Episykloide. Løsningsforslag her Hyposykloide. Løsningsforslag her GeoGebra-kommandoer Akser Areal Asymptote Avstand Brennpunkt Bue Buelengde Delingsforhold Derivert Dersom Diameter Div Eksentrisitet Ekstremalpunkt Element MA-132 Geometri 13 Byrge Birkeland

14 Ellipse EnhetsNormalvektor Enhetsvektor Flytt Forhold Funksjon GeometriskSted Halvsirkel Hjørne Hyperbel Integral Iterasjon IterasjonListe Kjeglesnitt Krumning Krumningssirkel Krumningsvektor Kryssforholdet Kurve Lengde LengdeLitenHalvakse LengdeStorHalvakse Linje Linjestykke LitenHalvakse Maks Mangekant Midtnormal Midtpunkt Min Mod Navn Normal Normalvektor Nullpunkt Omkrets Parabel Parameter PolarLinje Polynom Punkt Radius Retningsvektor Roter Sektor Sentrum Sirkel Sirkelsektor SirkelsektorBue Skjæring MA-132 Geometri 14 Byrge Birkeland

15 Slett Speil Stigning StorHalvakse Stråle Styrelinje gir styrelinja til en parabel SumOver SumUnder Tallfølge Tangent TaylorPolynom Toppunkt gir toppunktet eller toppunktene i et kjeglesnitt Tyngdepunkt Utvid gir en homoteti fra et gitt punkt med en gitt faktor Vektor Vendepunkt gir vendepunkt for polynomet Vinkel VinkelHalveringslinje gir halveringslinja for en vinkel. Tilsvarer MA-132 Geometri 15 Byrge Birkeland

16 MA-132 Geometri 16 Byrge Birkeland

17 1 Euklidsk geometri Geometri er et gammelt fag med røtter tilbake til den egyptiske og mesopotamiske oldtida. Euklid forsøkte å bygge opp geometri som en aksiomatisk teori i sitt verk Elementer, dvs. han gikk ut fra noen får grunnbegreper og aksiomer, og beviste alle setninger ved hjelp av disse. I denne fremstillingen skal vi ikke forsøke å bygge opp geometri på denne måten. Vi velger en mer intuitiv tilnærming, og trekker også inn begreper som Euklid ikke hadde med. En artikkel om geometriens historie finner du for eksempel i Wikipedia: Du kan lese om Euklid i det norske nettleksikonet Wikipedia på følgende adresse: En liten artikkel på norsk om Euklids elementer finner du her: En større artikkel med hele Euklids elementer finner du her: Grunnbegreper og notasjoner Punkt Et punkt har posisjon, men ingen utstrekning. Vi bruker vanligvis store bokstaver A, B, C, som navn på punkter og markerer dem med en prikk, et kryss eller lignende. Hvor et punkt ligger i planet angis ofte ved hjelp av punktets koordinater i forhold et kartesisk koordinatsystem, et begrep som bygger på begrepene lengde, vinkel og parallellitet, som blir gjennomgått nedenfor. Se figuren til høyre Linje En (rett) linje har posisjon, retning og uendelig utstrekning i begge retninger i én dimensjon. Linjer gis vanligvis navn med små bokstaver l, m, n.. Gitt to punkter A og B, da finnes det nøyaktig én linje som går gjennom A og B. l AB, eller skrives bare linja gjennom A og B eller Denne noteres av og til ( ) linja AB. Tre eller flere punkter som ligger på samme linje, sies å være kollineære. Tre eller flere linjer som går gjennom samme punkt, sies å være konkurrente. MA-132 Geometri 17 Byrge Birkeland

18 1.1.3 Parallelle linjer, parallellaksiomet To linjer som ikke skjærer hverandre, sies å være parallelle. Vi skriver dette l m. I euklidsk geometri gjelder parallellaksiomet. Dette finnes i flere ekvivalente versjoner; her er én: Parallellaksiomet: Gitt en rett linje l og et punkt P utenfor som ikke ligger på l. Da finnes det nøyaktig én linje m som går gjennom P og som er parallell med l. En annen versjon er at vinkelsummen i en trekant er 180 ; mer om dette nedenfor. Parallellaksiomet virker kanskje opplagt, men det er i en særstilling blant Euklids aksiomer. På 1800-tallet ble det bygd opp geometrier der parallellaksiomet ikke gjelder, de ikke-euklidske geometriene, og disse har vist seg meget nyttige, for eksempel i forbindelse med relativitetsteorien. Det finnes utallige artikler om ikke-euklidsk geometri på internett, for eksempel: Stråle En stråle er del av linje som er bestemt ved et startpunkt og ved at den er ubegrenset i én av de to mulige retningene. Den har uendelig utstrekning. Hvis A er et endepunkt på en stråle og B er et punkt på strålen, snakker vi om strålen fra A gjennom B Lengder og avstander Alle har en intuitiv forståelse av hva avstander og lengder er for noe. I matematikken kan vi definere en avstandsfunksjon i planet som en funksjon d : 0, der 0 betyr mengden av reelle tall 0, altså en funksjon som tilordner et ikke-negativt reelt tall d(p,q) avstanden mellom P og Q - til hvert par (P,Q) av punkter i planet. Funksjonen må ha følgende egenskaper: i. d ( PQ, ) 0 ii. d ( PQ, ) = 0 hvis og bare hvis P = Q. iii. d ( PQ, ) = d ( QP, ) iv. d ( PQ, ) d ( PR, ) d ( RQ, ) mellom P og Q. + med likhet hvis og bare hvis R ligger på linjestykket PQ Tenk over hva disse kravene betyr: (i) sier at ingen avstander er negative. (ii) sier at to forskjellige punkter ikke kan ha avstanden 0, men ethvert punkt har avstanden 0 til seg selv. (iii) sier at avstanden fra P til Q er den samme som avstanden fra Q til P. (iv) sier stort sett at den korteste vei mellom to punkter P og Q er linjestykket PQ. Den kalles trekantulikheten, og sier mer presist at lengden av en side i en trekant er lik eller mindre enn summen av lengdene av de to andre sidene, med likhet bare hvis trekanten er degenerert, slik at det tredje hjørne ligger på den motstående sida Linjestykke Et linjestykke er en del av en linje som er begrenset av to endepunkter A og B, nemlig den delen av linja gjennom A og B som ligger mellom A og B. Vi lar AB både betegne linjestykket fra A til B (eller fra B til A) og lengden av dette linjestykket, som kan defineres som avstanden mellom dets endepunkter. Det vil MA-132 Geometri 18 Byrge Birkeland

19 da framgå av sammenhengen hva som menes Vektor En vektor kan vi i vårt geometrikurs oppfatte som et orientert linjestykke. Det betyr at av de to endepunktene på linjestykket, for eksempel A og B, er det ene utpekt som startpunkt og det andre som endepunkt. Vektoren fra A til B uuur uuur uuur noteres AB. Vi identifiserer to vektorer AB og CD hvis de er parallelle og like lange og har samme retning. Det betyr at hvis vi flytter CD uuur slik at C faller sammen med A, så vil D falle sammen med B. Vektorbegrepet er imidlertid mye mer omfattende enn dette, og er et av de nyttigste begreper i matematikken og fysikken. Vi skal komme tilbake til vektorregning i et seinere kapittel. uuur uuur uuur Du kan definere summen av to vektorer ved at AB+ BC = AC, og uuur uuur uuur differensen mellom to vektorer ved at AB AC = CB. Se figuren. Når du har en avstandsfunksjon, kan du definere produktet av et uuur uuur tall og en vektor: t AB= AC, der C er et punkt på linja AB som er slik at AC AB = t, og slik at C ligger på samme eller motsatt side av A i forhold til B etter som t>0 eller t<0. t=0 tilsvarer A, og t=1 tilsvarer B. 0<t<1 for punkter på linjestykket AB mellom A og B. Hvis vi har tre punkter A, B og C som ikke ligger på linje, og P er et vilkårlig punkt, kan vi trekke en parallell med AB gjennom P og en parallell AC gjennom P, jfr. figuren. Vi får da punkter B uuur uuuur uuuur og C slik at AP= AB" + AC ", der B ligger på AB og C ligger uuur uuur uuur på AC. Det finnes da reelle tall x og y slik at AP= x AB+ y AC. uuuur uuuur AB" og AC" kalles da for vektorkomponentene av vektoren uuur uuur uuur uuur AP langs uuur AB og AC, mens tallene x og y kalles for skalarkomponentene av vektoren AP uuur langs AB og AC. Vektorer angis også ofte i forhold til et kartesisk koordinatsystem, og koordinatene er differensen mellom koordinatene til endepunktet og startpunktet. Vektorsum og vektordifferens tilsvarer da sum og differens av koordinatene. Vi kommer tilbake til dette i kapitlet om vektorregning Trekant En trekant er bestemt ved tre punkter i planet, for eksempel A, B og C, som kalles hjørnene i trekanten. Vi skriver ABC eller trekanten ABC. Linjestykkene AB, AC, og BC kalles sidene i trekanten. Sida BC kalles den motstående sida til A, og noteres gjerne med samme bokstav a som hjørnet A, men altså med liten bokstav. Sidene AB og AC kalles de hosliggende sidene til hjørnet A Vinkel En vinkel er en del av planet som er begrenset av to stråler med felles startpunkt. Dette startpunktet kalles vinkelens toppunkt. Hvis vinkelen er definert ved hjelp av strålen fra O gjennom A og strålen fra O gjennom B, skriver vi vinkelen AOB eller AOB. Strålene OA og OB kalles vinkelens vinkelbein. Hvis det bare er én vinkel med 33toppunkt i O, kan MA-132 Geometri 19 Byrge Birkeland

20 vi skrive O uten å bli misforstått. Eller vi kan gi vinkelen navn som u,v, w, αβθk.,,, Vi markerer ofte vinkler med små sirkelbuer i ulike format, gjerne slik at vinkler som er like store, får samme format. At to vinkler AOB og CPD er like store, betyr at den ene vinkelen kan legges oppå den andre. Med andre ord: Hvis CPD flyttes slik at P faller i O og PC dekker strålen OA, så vil strålen PD dekke strålen OB. Det forutsetter at de to vinklene er orientert på samme måte, i motsatt fall må vi la strålen PD dekke OB. Størrelsen av en vinkel måles på flere ulike måter. For et gitt punkt O i planet tenker man seg at planet deles i 360 like store vinkler, alle med O som felles toppunkt. Størrelsen av en slik vinkel defineres som 1 grad, eller 1. En rett vinkel er en vinkel på 90, som dekker et kvart omløp. Hvis A, O og B ligger på en rett linje, er AOB = 180, og AOB kalles en like vinkel, og er altså et halvt omløp. Alternativt kan du definere størrelsen av AOB ved hjelp av begrepet lengde på følgende måte: Slå en sirkel med sentrum i O og radius r. Finn lengden b av den delen av sirkelbuen som ligger innenfor AOB. Forholdet b vil da være uavhengig av r, og bare avhengig av r vinkelen, og kan derfor tas som et mål for vinkelens størrelse. En vinkel som gir forholdet 1, kalles en radian. Siden lengden av en hel sirkel er 2π ganger radius, vil en hel omdreining tilsvare en vinkel på 2π, mens en rett vinkel er π og en like vinkel er π. Vinkler målt i 2 radianer kalles også absolutt vinkelmåling, fordi det ikke avhenger av det tilfeldige valget av 360 som antall grader i en hel omdreining. Dette henger for øvrig historisk sammen med at babylonerne antok at et år var 360 dager. Til gjengjeld bygger absolutt vinkelmåling på begrepet buelengde, som er relativt avanserte i forhold til elementær geometri. I elementær geometri brukes mest grader, men i matematikken for øvrig er det mest vanlig å måle vinkler i radianer. Vi har en rekke definisjoner som involverer vinkler: En spiss vinkel er en vinkel som er mindre enn 90. En stump vinkel er en som ligger mellom 90 og 180. To vinkler som til sammen utgjør en like vinkel, kalles nabovinkler. To vinkler hvis bein er forlengelser av hverandre, kalles toppvinkler. I en trekant ABC kalles vinklene BAC, ABC og BCA for indre vinkler, og noteres som regel bare A, B og C. De indre vinklene i en trekant omtales ofte bare som vinklene i trekanten. Nabovinkelen til en vinkel i en trekant, kalles en ytre vinkel i trekanten. Når to linjer overskjæres av en tredje linje, oppstår 8 vinkler. Disse kan grupperes i fire sett av samsvarende vinkler. På figuren nedenfor er samsvarende vinkler markert med samme format på vinkelmerket. Når vinkelen mellom to rette linjer l og m er 90, sies l å være en normal til m, eller m er en normal til l. To vinkler som til sammen utgjør en rett vinkel sies å være komplementvinkler til hverandre. To vinkler MA-132 Geometri 20 Byrge Birkeland

21 som til sammen utgjør en like vinkel, sies å være supplementvinkler til hverandre Man inndeler også trekanter i flere typer etter egenskaper ved vinklene i trekanten: En spiss eller spissvinklet trekant er en trekant der alle vinklene er mindre enn 90. En stump eller stumpvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er større enn 90. Ett rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er 90. De hosliggende sidene til den rette vinkelen kalles kateter, mens den motstående sida kalles hypotenusen. En likesidet trekant er en trekant der alle sidene er like. Også alle vinklene blir da like, nemlig 60, jfr. setning En likebeint trekant er en trekant der to av sidene er like. To av vinklene blir da også like Sum og differens av vinkler. Vinkler med fortegn. Du kan definere summen av to vinkler med samme toppunkt: Hvis AOB og COD er to vinkler med samme toppunkt, flytter vi (jfr. avsnittet om isometrier nedenfor) den siste slik at vinkelbeinet OC faller sammen med OB. Punktet D vil da flyttes til et punkt E, og vi kan forutsette at dette ligger EOD ikke dekker AOB Vi definerer da AOB+ COD = AOE. Du kan også definere differansen mellom en vinkel og en mindre vinkel: Hvis AOB > COD, flytter vi den siste vinkelen slik at linja OC dekker linja OA og slik at OD flyttes til en stråle OF som ligger innenfor AOB. Differansen AOB COD er da definert som BOF. Se figuren nedenfor. For vinkler som ikke har felles toppunkt, må vi først flytte den ene vinkelen slik at de to vinklene får felles toppunkt før vi kan bruke definisjonen fra det tilfellet at de har felles toppunkt. Når vi har definert differensen mellom to vinkler, melder spørsmålet seg om hvordan vi skal forstå et mulig negativt fortegn på en vinkel eller hva det vil si at en vinkel er 0. Svaret er at vi setter AOA = 0, mens vi regner en vinkel AOB for å være positiv hvis strålen OA må dreies i retning motsatt urviserne for å dekke OB, negativ hvis den må dreies i samme retning som urviserne. Vi har da at AOB = BOA. Etter den definisjonen vil to stråler OA og OB 0,180 og en negativ i intervallet kunne definere to vinkler, en positiv i intervallet [ ] [ 0, 180 ], eller egentlig en hel rekke vinkler som skiller seg fra hverandre ved et helt multiplum av 360. I geometri underforstås det som regel at en vinkel ligger i intervallet [ 0,180 ] Firkant En firkant er bestemt av fire punkter, hjørnene i firkanten. Vi skriver for eksempel firkanten ABCD eller ABCD. Vanligvis forutsettes det at hjørnene i firkanter nummereres i positiv omløpsretning, altså mot urvisernes omløpsretning. Sidene i firkanten ABCD er linjestykkene AB, BC, CD og DA. Vi forutsetter vanligvis at disse sidene ikke har andre felles punkter enn MA-132 Geometri 21 Byrge Birkeland

22 hjørnene. To sider kan altså ikke skjære hverandre. Linjestykkene AC og BD kalles diagonalene i firkanten. Hvis to av sidene i en firkant er parallelle, kalles firkanten for et trapes. Hvis to og to av sidene er parallelle, kalles firkanten for et parallellogram. Hvis alle sidene i et parallellogram er like, har vi en rombe. Hvis alle de indre vinklene i et parallellogram er rette, har vi et rektangel. Et rektangel der alle sidene er like, kalles et kvadrat Polygoner Figurer med tre hjørner er trekanter, med fire hjørner er det firkanter. Dette kan selvsagt fortsettes: Figurer med fem hjørner er femkanter, figurer med seks hjørner er sekskanter osv. Generelt er en figur som definert ved hjelp av n hjørner en n-kant eller et polygon (av gresk poly=mange, gon=hjørne) eller en mangekant med n hjørner. Spesielt ser vi på regulære n- kanter. Det er en n-kant der alle sider er like lange og alle vinkler er like store: Regulære polygoner kan innskrives i en sirkel. Vi får en rekke med n kongruente likebeinte trekanter. Vinkelen ved sirkelens sentrum må være 360 n, og dermed blir de to andre vinklene 1 ( 360 ) n = 90 n. De indre vinklene i n-kanten blir dermed 180 n og de ytre vinklene 360 n. Det siste kan du også innse ved å tolke de ytre vinklene som retningsendringer fra å kommer fra en side til den neste: Etter n retningsendringer må du ha endret retning Geometriske steder, sirkler og ellipser Ved hjelp av begrepene avstand og lengde kan vi nå definere en rekke nye begreper, som bygger på begrepet åpent utsagn fra logikken. Et utsagn i logikken er en språklig eller matematisk formulert setning som enten er sann eller gal. Sannhetsverdien av et utsagn kan altså ikke være gjenstand for diskusjon: Det er fint vær i dag er derfor ikke et utsagn i denne forstand, mens 2>3 eller 2<3 eller 2 er mindre enn 3 er utsagn. La oss så si at vi har en mengde M i matematikken, og en språklig eller matematisk formulert setning S(x) som inneholder en størrelse x som i utgangspunktet ikke er et bestemt tall eller objekt, men som kan erstattes av et element fra mengden M. Hvis S(x) blir et utsagn hver gang vi erstatter x med et element fra M, kalles S(x) for et åpent utsagn om elementene i mengden M. Vi kan da danne oss delmengder av M ved å se mengden av de x fra mengden M som er slik at S(x) er et sant utsagn eller mengden av de x fra mengden x som er slik at S(x) er et usant utsagn. Disse ( ) x Sx ( ). mengdene skrives hhv. { x Sx } og { } MA-132 Geometri 22 Byrge Birkeland

23 I geometri er som regel mengden M lik planet, og S(x) er en eller annen geometrisk egenskap, x Sx ( ) kalles ofte det geometriske ofte uttrykt ved hjelp av avstandsbegrepet. Mengden { } sted for de punkter som har egenskapen S. Ved hjelp av avstandsbegrepet kan vi nå definere det mest kjente geometriske stedet i geometrien, en sirkel: En sirkel med sentrum i punktet C og med radius r er det geometriske stedet for de punktene som har avstanden r til C eller d Cr, = P 2 dcp (, ) = r. Sirkler tegnes som kjent med passer, der spissen settes i ( ) { } punktet C og avstanden r utspennes av beina på passeren. Linjal og passer er de eneste to redskapene som er tillatt i klassisk euklidsk geometri. Det tilsvarer at punkter, rette linjer og sirkler er de fundamentale objektene. Vi tar med et annet kjent eksempel på geometrisk sted, en ellipse. En ellipse er det geometriske stedet for de punkter hvis avstander til to oppgitte punkter har en bestemt sum. Se figuren. Ellipser kan ikke konstrueres med passer og linjal 1.2 Isometrier og kongruens En isometri eller kongruensavbildning er en 2 2 avbildning (funksjon) ϕ : som bevarer avstander. Det ( P Q ) ( PQ) betyr at ( ) ( ) d ϕ, ϕ = d, for alle punkter P,Q i planet. Du kan tenke på en isometri på følgende måte: Tenk på planet som et papirark som er ubegrenset i alle retninger (eller på et endelig papirark som er stort nok til å inneholde de figurene du er interessert i). Å bruke en isometri tilsvarer å flytte arket uten å strekke eller på annen måte deformere det. Men du kan snu arket. En plan figur er rett og slett en delmengde av planet. Hvis ϕ F = F, sies F 1 og F 2 å være ϕ er en isometri, og F 1 og F 2 er plane figurer slik at ( ) 1 2 kongruente, og vi skriver F1 F2. Etter modellen ovenfor kan du tenke deg at F 1 og F 2 ligger i hver sin kopi av planet. Så kan du flytte og eventuelt snu den ene kopien og legge den oppå den andre slik at figurene nøyaktig dekker hverandre. Sagt på en annen måte: Du kan klippe den ene figuren ut, og om nødvendig snu den, da vil den nøyaktig kunne dekke den andre figuren. Hvis du må snu den, kalles isometrien motsatt, ellers kalles den direkte. Hvis hjørnene i et polygon er regnet opp i rekkefølge mot urviserne, vil de tilsvarende hjørnene i et kongruent polygon bli regnet opp i samme rekkefølge hvis isometrien er direkte, ellers vil de bli regnet opp i rekkefølge med urviserne. Kongruens er et sentralt begrep i elementær geometri. Vi har følgende fire setninger om kongruenser, som vi her skal godta uten noen form for bevis, dvs. vi skal se på dem som aksiomer i teorien. a. (SSS side-side-side) Hvis to trekanter har parvis like lange sider, er de kongruente. b. (SVS side-vinkel-side) Hvis to sider og vinkelen mellom dem er like i to trekanter, så er trekantene kongruente. MA-132 Geometri 23 Byrge Birkeland

24 c. (VSV vinkel-side-vinkel) Hvis to vinkler og den mellomliggende sida i to trekanter er like, så er trekantene kongruente. d. (SSV side side vinkel) Hvis to sider og den motstående vinkelen til den lengste av sidene er like, så er trekantene kongruente Isometrier og rette linjer. Setning En isometri avbilder en rett linje på en rett linje og bevarer delingsforhold Bevis. La A og B være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket AB mellom A og B. Da d AB, = d( AP, ) + d PB,. La ϕ være en isometri, og la A, B og P være bildene av A, er ( ) ( ) B og P ved denne isometrien. Da er d( A', P' ) + d( P', B' ) = d( ϕ( A), ϕ( P) ) + d( ϕ( P), ϕ( B) ) =. d AP, + d PB, = d AB, = d A', B' ( ) ( ) ( ) ( ) Ifølge trekantulikheten må da P ligge på linjestykket A B mellom A og B. Tilfellene at A ligger mellom P og B eller B ligger mellom A og P behandles på tilsvarende måte. uuuuur uuuuur Vi har også at hvis AP= t AB ϕ A = A', ϕ B = B', ϕ P = P', vil AP ' ' = t AB ' '. Det uuur uuur, og ( ) ( ) ( ) følger ved et bevis som ligner på det ovenstående Isometrier og parallellitet Setning En isometri avbilder parallelle linjer på parallelle linjer Bevis: La l og m være parallelle linjer, og la l og m være bildene av l og m ved en isometri ϕ. Hvis l og m ikke er parallelle, finnes det et punkt C som er felles for l og m. Men C må ( ) ( ) være bildet av et punkt A på l og B på m, og ( ) ϕ( ) ϕ( ) A=B. Det strider mot at l og m er parallelle Isometrier og trekanter d AB, = d A, B = d CC, = 0. Da må Setning En isometri er entydig bestemt ved virkningen på en trekant. Bevis. La ABC være en trekant som avbildes på en trekant A B C ved en isometri ϕ. La P være et punkt. Da kan vi trekke en parallell med AC gjennom P som skjærer AB i B og en parallell med AB gjennom P som skjærer AC i C. Da er uuur uuuur uuuur AP = AB" + AC ". Da finnes det reelle tall x og y slik at uuuur uuur uuuur uuur AB" = x AB og AC" = y AC. Men da må uuuuur uuuuur uuuuur AB ' ' = x AB ' ' + y AC ' ', siden isometrier bevarer parallellitet og delingsforhold. Jeg minner om begrepet bijeksjon. En bijeksjon er en funksjon A B som er slik at alle elementer i B er bildet av nøyaktig ett element i A. Et annet ord for en bijeksjoner er en 1-1- korrespondanse, eller en avbildning som er både injektiv (1-1) og surjektiv (på). Setning En isometri er en bijeksjon Bevis. Anta at isometrien ϕ er gitt ved at trekanten ABC avbildes på trekantene A B C. Da kan vi definere den inverse til ϕ ved at trekanten A B C avbildes på ABC. Da må ϕ være en bijeksjon. MA-132 Geometri 24 Byrge Birkeland

25 1.3 Elementære konstruksjoner Midtnormalen til et linjestykke Konstruksjonen går slik: Linjestykket AB er gitt. Du velger en passende radius i passeren litt mindre enn lengden AB og slår sirkler eller sirkelbuer fra A og B med denne radien. Da er AD=BD og AC=CB. P.g.a. SSS-kongruenssetningen ovenfor er da ABD ABC. Da er ACD = BCD og dermed ACE BCE etter kongruenssetningen SVS. Da må AE=BE, og AEC = BEC. Siden summen av disse vinklene er 180, må hver av dem være 90. Vi har dermed både at AE=BE og at AEC = 90. Men da er DC midtnormalen på AB. Midtnormalen på AB er det geometriske sted for de punkter som har samme avstand fra A og B Normalen til en linje i et punkt på linja Her har vi gitt en linje l og et punkt A på linja. Vi starter med å velge en passende radius i passeren, og slår en sirkel eller to sirkelbuer med denne radien, slik at vi får to punkter B og C slik at AB=AC. Så velger vi en annen større radius og slår sirkler eller sirkelbuer med denne radien fra B og C. Disse har to skjæringspunkt, og vi kaller det ene av dem D. Da er BD=CD. Kongruenssetningen SSS gir da at BAD ACD. Siden BAD = CAD, og summen av dem er en like vinkel, må BAD være en rett vinkel Normalen til en linje fra et punkt utenfor linja Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel med sentrum i P som har stor nok radius til å skjære linja l i to punkter A og B. Velg så en ny radius, og slå sirkler eller sirkelbuer fra A og B med denne radien. La skjæringspunktet på motsatt side av l i forhold til P være C. Da er PC normalen til l gjennom P. Dette kan begrunnes slik: Siden AP=BP og CA=CB, følger det av kongruenssetningen SSS at ACP PCB og dermed APC = CPB. La D være skjæringspunktet mellom PC og l. Kongruenssetningen SVS gir da at ADP BDP og derfor at ADP = PDB, Siden disse vinklene også er supplementvinkler, må de begge være rette vinkler. Avstanden PD er for øvrig definert som avstanden fra punktet P til linja l. Avstanden mellom to parallelle linjer er definert som avstanden fra et punkt på den ene linja til den andre linje Halveringslinja for en vinkel Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller sirkelbue med sentrum i vinkelens toppunkt O og med passende radius. La skjæringspunktene med vinkelbeina være A og B. Velg en radius som er større enn halve avstanden mellom A og B, og slå sirkler fra A og B med denne radien. La skjæringspunktet være C. Da er OC halveringslinja for vinkelen. Dette kan begrunnes slik: Siden OA=OB og AC = BC, følger av kongruenssetningen SSS at OAC OBC. Da må AOC = BOC, og dette betyr at OC er halveringslinja for vinkelen AOB. MA-132 Geometri 25 Byrge Birkeland

26 Halveringslinja for en vinkel er det geometriske stedet for de punkter som har samme avstand fra vinkelbeina Likesidet trekant Gitt et linjestykke AB. Du skal konstruere en likesidet trekant der dette linjestykket er en av sidene. Da bruker du lengden AB som radius og slår sirkler eller sirkelbuer med radius r og sentrum i A og deretter i B. Du får to skjæringspunkter C og C, og altså to mulige løsninger. Vinklene i en likesidet trekant må være 60, så du har altså samtidig en metode til å konstruere en vinkel på Alternativ konstruksjon for å oppreise normalen i et punkt på en linje Konstruksjonen går slik: Slå en sirkel eller en sirkelbue med sentrum i det gitte punktet A. La B være et av skjæringspunktene med linja m. Slå en sirkel eller sirkelbue med samme radius AB og sentrum i B. Skjæringspunktet med den første sirkelen er C. Slå en sirkel med sentrum i C og samme radius. Skjæringspunktet med den første sirkelen er D. Halver vinkelen CAD ved hjelp av metoden som er gitt ovenfor, jfr. figuren til høyre. Da blir ABC og ACD likesidet, og dermed blir ABC = 60 og CAD = 60, AE blir halveringslinje for 1 DAC. Da må BAE = = 90, så AE blir en normal til linja m Andre vinkler Ved hjelp av vinkelhalveringskonstruksjonen og konstruksjonen av en seksti graders vinkel kan du i prinsippet konstruere enhver vinkel som kan skrives som en endelig sum på formen a1 a2 a3 an 60 a n L, der { a } i er en følge av ikke-negative hele tall. Nedenfor ser du eksempler. MA-132 Geometri 26 Byrge Birkeland

27 1.3.8 Likebeinte trekanter Du får som regel oppgitt den sida som ikke er lik noen av de andre, og deretter høyden, eller lengden av de to like sidene eller de to like vinklene eller toppvinkelen: 1.4 Oppgaver Tegn et linjestykke AB, og oppreis midtnormalen på linjestykket Tegn en rett linje og merk av et punkt utenfor linja. Konstruer normalen fra punktet på linja Tegn en rett linje, og merk av et punkt på linja. Konstruer normalen på linja i punktet. Halver den rette vinkelen, så du får en vinkel på 45. Konstruer en vinkel på Konstruer en vinkel på 60 grader. Konstruer så vinkler på 30 grader, 15 grader, 75 grader Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja har lengde 3 cm, og de to like lange sidene er 5 cm. Konstruer så en likebeint trekant der grunnlinja er lengde 3 cm, og høyden er 4 cm Konstruer en likebeint trekant der grunnlinja er 4 cm, og vinkelen ved grunnlinja er Konstruer så en likebeint trekant der toppvinkelen er 30 og de like lange sidene er 4 cm Ta for deg kongruenssetning SSV. Finn på et eksempel som viser at ordene til den lengste sida er nødvendige å ha med. 1.5 Elementære teoremer Nedenfor gjengir vi en del elementære setninger i euklidsk geometri. Bevisene gjør ikke krav på å være strenge i aksiomatisk forstand, så de kalles begrunnelser snarere enn bevis Toppvinkler Setning Toppvinkler er like Bevis. På tegningen er u+ v = 180 og v+ w= 180. Vi trekker fra, og får u w= 0 eller u = w. MA-132 Geometri 27 Byrge Birkeland

28 1.5.2 Ytre vinkel i trekant Setning En ytre vinkel i en trekant er større enn de to indre vinklene som ikke er dens supplementvinkel. Bevis. Vi ser på trekanten ABC med den ytre vinkelen CBD. Vi finner midtpunktet E på BC, trekker linja AE, og avsetter AE=EF. AEC = BEF som toppvinkler og dermed AEC BEF etter kongruenssetningen SVS. Men da er ACE = EBF. Siden CBD = CBF + FBG, må CBD > CBF = C. På tilsvarende måte vises at CBD > A. Denne setningen har som konsekvens setningen om samsvarende vinkler: Setningen om samsvarende vinkler Setning La l og m være to linjer som overskjæres av en tredje linje n. Da er samsvarende vinkler like store hvis og bare hvis linjene l og m er parallelle. Bevis. Hvis l og m skjærer hverandre i punktet C, er u en ytre vinkel i trekanten ABC og derfor større enn v = CBA ifølge forrige setning. Hvis u og v er like store, må derfor l og m være parallelle. Anta så at de er parallelle, men u v. Vi kan da trekke en linje k gjennom B slik at vinkelen mellom k og n er u. Da har vi i så fall to ulike paralleller med u gjennom B. Det er umulig etter parallellaksiomet. Denne setningen kan brukes til å konstruere en parallell med en oppgitt linje gjennom et oppgitt punkt. Se figuren til høyre. Du starter med å trekke en linje m fra et vilkårlig punkt B på den oppgitte linja og slår sirkler eller sirkelbuer med samme radius og sentrum i B og P. Korden CD i sirkelen omkring B bruker vi så som radius i en sirkel med sentrum i skjæringspunktet F mellom m og sirkelen gjennom P. Skjæringspunktet mellom disse to sirklene er E. Vi trekker så linja PE, som blir parallell med l. MA-132 Geometri 28 Byrge Birkeland

29 1.5.4 Summen av vinklene i en trekant Setning Summen av vinklene i en trekant er 180 Bevis. Vi trekker en parallell BE med AC gjennom B, jfr. figuren. A= u og EBD er samsvarende vinkler når linja AD skjærer de to parallelle linjene AC og BE og dermed like. CBE er toppvinkel til en vinkel som er samsvarende med C = v når linja BC skjærer de to parallelle linjene AC og BE. Dermed er CBE = C = v. Da er A+ B+ C = ABC + CBE+ EBD = 180. Av dette beviset følger også: Setning En ytre vinkel i en trekant er summen av de to andre vinklene Vinklene i likebeinte trekanter Setning Gitt et linjestykke AB. AB er grunnlinje (dvs. den sida som ikke er en av de to like lange sidene) i en likbeint trekant ABC hvis og bare hvis CAB = CBA. Bevis. Anta at AB er grunnlinja i den likebeinte trekanten ABC, der AC=BC. La M være midtpunktet på AB Da er AMC CMB ifølge kongruenssetningen SSS. Men da må MAC = MBC. Omvendt, anta at BAC = ABC. Vi konstruerer normalen fra C på AB, og antar at skjæringspunktet er M. Da er AMC = BMC = 90. Etter kongruenssetningen VSV er da AMC CMB, og da må AC=BC Setningen om vinkler med parvis parallelle eller normale vinkelbein Setning Hvis to vinkler har bein som er parvis parallelle eller står parvis normalt på hverandre, er de like. Bevis. De parallelle vinkelbeina peker enten i samme retning eller i motsatt retning. Setningen for parvis parallelle vinkelbein følger enkelt av setningen om samsvarende vinkler ved parallelle linjer i tilfellet da vinkelbeina har samme retning. I tilfelle de har motsatt retning må du i tillegg bruke at toppvinkler er like store. Se figuren ovenfor. I det tilfellet at vinkelbeina står parvis normalt på hverandre, kan vi først bruke setning for parvis parallelle vinkelbein til om nødvendig å flytte den ene vinkelen slik at de to vinklene har felles toppunkt. Etter det ser situasjonen ut som på figuren til høyre. Her er AOB+ BOC = 90 og BOC+ COD = 90. Subtraksjon gir AOB COD = 0 eller AOB= COD. MA-132 Geometri 29 Byrge Birkeland

30 1.6 Similariteter og formlikhet 2 2 En similaritet eller formlikhetsavbildning er en avbildning ϕ : slik at det finnes et tall k>0 slik at ( ) ( ) (, ) (, ) d ϕ P ϕ Q = k d PQ, der d er avstandsfunksjonen. M.a.o. blir alle avstander multiplisert med et det samme positive tallet. To plane figurer sies å være formlike eller similære hvis den er bildet av den andre ved en similaritet. Den ene er da en forminsket eller forstørret utgave av den andre. Eller du kan oppfatte dem som samme figur i to ulike målestokker.eller: Alle vinkler er like, og alle lengder er multiplisert med en konstant faktor. Prototypen på en similaritet er en homoteti (eller dilatasjon). En homoteti er bestemt et homotetisentrum O og en homotetifaktor k 0 slik at et punkt P avbildes på et punkt Q uuur uuur som ligger på strålen OP og slik at OQ= k OP. Se figuren til høyre, der homotetisenteret er O. Den originale figuren er lengst til høyre, deretter har vi en kopi med homotetifaktor 0,5 og deretter en kopi med homotetifaktor -0,7. Similariteter har mange av de samme egenskapene som isometrier, og bevisene for disse egenskapene er også svært like. Vi tar ikke med alle bevisene Setninger om similariteter Setning i. En similaritet avbilder en linje på en linje. ii. En similaritet avbilder parallelle linjer på parallelle linjer iii. En similaritet er entydig bestemt ved virkningen på en trekant iv. Enhver similaritet er en bijeksjon v. En similaritet bevarer vinkler Bevis for i.:la A og B være to punkter i planet og P et punkt på linjestykket AB mellom A og d AB, = d( AP, ) + d PB,. La ϕ være en similaritet med faktor k>0, og la A, B B. Da er ( ) ( ) og P være bildene av A, B og P ved denne similariteten. Da er d( A', P' ) + d( P', B' ) = d( ϕ( A), ϕ( P) ) + d( ϕ( P), ϕ( B) ) =. k d AP, + k d PB, = k d AB, = d A', B' ( ) ( ) ( ) ( ) Ifølge trekantulikheten må da P ligge på linjestykket A B mellom A og B. Tilfellene at A ligger mellom P og B eller B ligger mellom A og P behandles på tilsvarende måte. uuuuur uuuuur Vi har også at hvis AP= t AB ϕ A = A', ϕ B = B', ϕ P = P', vil AP ' ' = t AB ' '. Det uuur uuur, og ( ) ( ) ( ) følger ved et bevis som ligner på det ovenstående Transversalsetningen Setning 1.5.2: Transversalsetningen. To linjer l og m skjærer over en vinkel A. Det ene vinkelbeinet skjærer l i B og m i B, det andre vinkelbeinet skjærer l i C og m i C Da gjelder AB AC følgende: l m AB' = AC '. Bevis. Hvis l og m er parallelle, har BCB' og BCC ' samme grunnlinje BC og samme høyde, avstanden mellom l og m. De må da ha samme areal. Derfor må også AB' Cog ABC ' ha samme MA-132 Geometri 30 Byrge Birkeland

31 areal. ABC og AB' Char samme høyde, nemlig avstanden fra C til AB. Forholdet mellom AB deres arealer må da være det samme som forholdet mellom deres grunnlinjer, altså AB '. Pa samme måte har ABC og ABC ' samme høyde, og forholdet mellom deres arealer må være AC det samme som forholdet mellom deres grunnlinjer altså. Men da må AC ' AB ( ABC) ( ABC) AC = = =. AB' AB' C ABC' AC ' ( ) Anta omvendt at ( AB' C) ( ABC ') ( BB' C) ( BC' C) ( ) AB AB' AC =. Da har vi ( ABC ) AC ' ( ) ( ABC) ( ) AB AC = = =. Da må AB' C AB' AC' ABC ' =. Men ABC er felles for disse to trekantene, så vi må også ha at =. Men disse to trekantene har felles grunnlinje BC, så for å få samme areal må disse to trekantene også ha samme høyde. Det betyr at avstandene fra B og C til l er de samme. Linjene l og m må da være parallelle. Transversalsetningen er fundamental i studiet av formlikhet. Her er et par konsekvenser: Setning To trekanter som har de samme vinkler, er formlike. Bevis. Vi kan flytte ABC rundt på ABC ' ' ' slik at A faller sammen med A eller B faller sammen med B eller C faller sammen med C. I hvert av tilfellene blir BC BC, ' ' hhv. AC AC ' ', hhv. AB AB ' ' AB AC AB BC Transversalsetning gir i hvert tilfelle: =, = AB ' ' AC ' ' AB ' ' BC ' ' AC BC AB AC BC og =. Vi har da = =, og det betyr at V ABC og AC ' ' BC ' ' AB ' ' AC ' ' BC ' ' V ABC ' ' ' er formlike. Legg merke til at dette er spesielt for trekanter, det gjelder ikke for polygoner med mer enn tre hjørner. For eksempel har ethvert rektangel de samme vinklene som et kvadrat, men de er ikke formlike Hvordan man deler et linjestykke i et gitt forhold La oss si at du har et linjestykke AB som skal deles i et bestemt forhold, for eksempel 5:3. Da trekker du først en stråle gjennom A eller B og avsette 5+3=8 like deler langs dette stykket. Fra det siste punktet trekker du en linje til B. Så trekker du en parallell med denne gjennom det femte delingspunktet. Skjæringspunktet med AB blir da det søkte punktet. Dette følger nå av transversalsetningen. MA-132 Geometri 31 Byrge Birkeland

32 1.7 Areal Når vi har definert en avstand, lengde og vinkel, kan vi definere arealet av et rektangel med sider b og h som bh. Arealet av andre plane figurer begrenset av rette linjestykker kan så beregnes ved hjelp av denne definisjonen. Arealet av en polygon ABC skrives ofte (ABC ) Arealet av en trekant Gitt en rettvinklet trekant ABC. Vi trekker en linje gjennom A parallell med BC, og en linje gjennom C parallell med AB. Linjene skjæres i D. Trekantene ABC og ACD blir kongruente etter setningen om samsvarende vinkler, og kongruenssetning VSV. De to trekantene har da samme areal, som må være halvdelen av arealet av rektanglet ABCD, altså 1 bh. 2 Vi kan nå finne arealet av en vilkårlig trekant ved å dele den opp i to rettvinklede trekanter, se figuren nedenfor til høyre. I alle tilfelle blir arealet 1 g h 2, der g er lengden av en av sidene, mens h er høyden fra det motstående hjørnet Arealet av et parallellogram Arealet av et parallellogram er lengden av en av sidene ganger avstanden mellom denne og den siden som er parallell med denne. Det kan du se ved å nedfelle et par normaler og flytte en rettvinklet trekant slik at du kan sammenligne med arealet av et rektangel, jfr. figuren til høyre Arealet av et trapes Arealet av et trapes finnes også ved å rekke to normaler, slik at vi får fram et rektangel med side a og h, der a er den lengste av de parallelle sidene, og h er avstanden mellom disse. Da har vi et areal som er så mye større enn arealet av trapeset som arealet av de to skraverte trekantene på trekanten til høyre. Disse har til sammen et areal på 1 ( b a) h ah a b h= a+ b h., så arealet av trapeset er ( ) ( ) Arealet av et polygon Ethvert polygon kan trianguleres, dvs. det kan deles opp i trekanter. Dermed kan man i prinsippet beregne ethvert areal som er begrenset av rette linjer. 1.8 Pythagoras setning Setning 1.8.1: Pythagoras setning. I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på katetene. Denne setningen er eldre enn Pythagoras, og har røtter tilbake til det gamle Egypt og Babylon, og det finnes utallige bevis for den. Det hører med til allmenndannelsen å kjenne til noen av bevisene. MA-132 Geometri 32 Byrge Birkeland

33 Det første beviset for setningen framgår av følgende figur: Ideen i beviset er at det samme arealet kan dekkes av fire ganger den aktuelle trekanten, samt enten kvadratene på de to katetene eller kvadratet på hypotenusen. Pythagoras setning er kanskje den mest kjente av alle setninger i elementær geometri, og er også kanskje den mest brukte setningen i elementære geometrioppgaver. En eksamensoppgave i elementær euklidsk geometri uten bruk av Pythagoras setning er nærmest utenkelig Thabit ibn Qurras bevis Les om Thabit ibn Qurras her. Ideen er her at man dreier ABE 90 om E, og BDG 90 om G i negativ retning, og ser at det samme arealet som i figuren til venstre dekkes av kvadratene på de to katetene, dekkes av kvadratet på hypotenusen i figuren til høyre Euklids bevis for Pythagoras setning La (AB ) bety arealet av polygonet (AB ). W MLNC og ANC har samme grunnlinje NC og samme høyde NL, og derfor er MLNC 2 ANC ACKH = 2 KBC ; disse har også ( ) = ( ). Men ( ) ( ) felles grunnlinje KC og samme høyde KH. Videre er ANC og KBC kongruente, fordi den ene framkommer av den andre ved rotasjon 90 om punktet C. Det følger at MLNC = 2 ANC = 2 KBC = ACKH. På tilsvarende måte ( ) ( ) ( ) ( ) vises at ( AGFB) ( MBDL) ( ACKH) + ( GFBA) = ( BDNC) =. Til sammen gir dette Det motsatte av Pythagoras setning gjelder også: Det omvendte av Pythagoras setning Setning 1.8.2: Dersom summen av kvadratene på to av sidene i en trekant er lik kvadratet på den tredje sida, så er vinkelen mellom de to første sidene rett Bevis. Anta at trekanten ABC er slik at AC + BC = AB. Vi konstruerer da en trekant DBC der BCD er rett, mens DC = AC, jfr. figuren. Ifølge Pythagoras setning har de to trekantene de samme sidelengdene og må derfor være kongruente ifølge kongruenssetningen SSS. Men da må ABC være rettvinklet og C = 90. MA-132 Geometri 33 Byrge Birkeland

34 1.9 Oppgaver (Eksamen i grunnskolen 1993) I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm. Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45. Konstruer normalen fra D på AB, og kall det punktet hvor normalen treffer AB, for E. Trekk diagonalen AC. Kall skjæringspunktet med DE for F. Forklar hvordan du konstruerte parallellogrammet ABCD. Konstruksjonen og forklaring skal føres på et ark uten ruter. a. Hvor stor er B? Begrunn svaret. b. Hvor lang er AE? Forklar hvordan du kom fram til svaret. c. Regn ut AD. d. Vis at AEF : CDF. e. Regn ut arealet av firkanten EBCF Tenk deg at du skal legge fliser på et areal som bare skal bestå av regulære mangekanter. Hvilke kan det bli tale om? I en femkant er alle vinklene 108. Må femkanten være regulær? I en trekant er alle vinklene 60. Er trekanten regulær? Kan du komme med et setning om hva som skal til for at en mangekant der alle vinklene er like, nødvendigvis er regulær? En utvendig vinkel i en mangekant er den vinkelen som framkommer hvis en side forlenges forbi hjørnet. Forklar hvorfor summen av de utvendige vinklene i en mangekant er 360. n Bruk det til å vise at vinkelsummen i en n-kant er ( ) La ABC være en trekant, der C 60, og la E være skjæringspunktet mellom linja AB og halveringslinja for den ytre vinkelen i C. Denne halveringslinja deler linjestykket AB utvendig i samme forhold som de hosliggende sidene til C, dvs. AE = AC. Bevis det. BE BC Et parallellogram er gitt som på figuren. P er et punkt på diagonalen AC. EG og FH er parallelle med sidene i parallellogrammet og går gjennom P. a. Finn par av trekanter med like stort areal på figuren. b. Vis at arealene av de to parallellogrammene EBFP og HPGD er like store. MA-132 Geometri 34 Byrge Birkeland

35 1.9.7 To kvadrater er hengslet sammen i det ene hjørnet. Det er trukket linjestykker mellom hjørner i de to kvadratene, slik figuren viser. Vis at arealene av de to trekantene som framkommer, er like store. Konstruer en regulær trekant, firkant, sekskant, åttekant og 12-kant Del ved konstruksjon linjestykket AB = 13 cm i 7 like store stykker a. Avsett et nytt linjestykke PS = 16 cm. Punkt Q ligger på PS slik at PQ : QS = 3 : 2, og punkt R ligger på QS slik at QR : QS = 2 : 3. b. Konstruer punktene Q og R på PS. c. Regn ut PR Gitt et linjestykke a: a. Konstruer 2 a og 5 a. b. Konstruer en trekant ABC slik at AC = 8 a, BC = 3 a og C = 90. c. Finn AB uttrykt ved a. Kontrollmål! Lenker til løsningsforslag: Egenskaper ved sirkler En sirkel med sentrum i O og radius r er altså det geometriske sted for de punktene som har avstanden r fra punktet O. Selve sirkelen omtales også som sirkelperiferien. En bue er en sammenhengende del av sirkelperiferien. En korde i en sirkel er et linjestykke med endepunkter på sirkelen. En diameter i en sirkel er en korde som går gjennom sirkelens sentrum. En radius i en sirkel er et linjestykke fra sentrum til et punkt på sirkelen. En sekant er en rett linje som skjærer sirkelen. En tangent til sirkelen er en rett linje som har ett punkt berøringspunktet eller tangeringspunktet - felles med sirkelen. Du kan tenke på en tangent som grensestillingen for en sekant når de to skjæringspunktene nærmer seg hverandre. Vi gjengir en del setninger om sirkler uten bevis: MA-132 Geometri 35 Byrge Birkeland

36 Setning i. Midtnormalen på en korde går gjennom sirkelens sentrum ii. En radius som står normalt på en korde, halverer korden. iii. To like buer svarer til like lange korder. iv. En tangent står normalt på radien til tangeringspunktet Thales setning om periferivinkler La C være en sirkel med sentrum i O. En vinkel med toppunkt i O kalles en sentralvinkel i sirkelen C, mens en vinkel med toppunkt på C og bein som skjærer C, kalles en periferivinkel i C. Setning : Thales setning: Hvis en periferivinkel og en sentralvinkel skjærer av samme bue, er periferivinkelen halvdelen så stor som sentralvinkelen. Spesielt legger vi merke til at alle periferivinkler over samme bue er like store. Bevis. Jfr. figuren. Trekanten AOB er likebeint, og derfor er OAB = OBA. AOC er ytre vinkel i AOB og derfor lik OAB+ OBA= 2 ABC. Sentralvinkelen AOC er derfor det dobbelte av periferivinkelen ABC. Et viktig spesialtilfelle er følgende: Korollar En periferivinkel som spenner over en diameter i sirkelen, er rett Tangentene til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen. Korollaret etter Thales setning og setningen om at en tangent står normalt på en radius kan vi bruke til å konstruere tangenten til en sirkel C med sentrum i O fra et punkt P utenfor sirkelen, se figuren til høyre. Vi konstruerer først midtpunktet M på linjestykket O. Så slår vi en sirkel C2 med sentrum i M og radius OM=MP. De to sirklene har skjæringspunkter A og B. P.g.a. korollaret til Thales setning er vinklene OAP og OBP rette. Men OA og OB er radier i C, så da må AP og BP være tangenter. MA-132 Geometri 36 Byrge Birkeland

37 Trekant med gitt side og motstående vinkel Thales setning er en av de mest brukte setningene i elementære geometrioppgaver. La oss se på en annen anvendelse. Du skal konstruere en trekant, og får oppgitt en side AB i trekanten og dessuten den motstående vinkelens størrelse v. Spørsmålet er hvor det tredje hjørnet kan ligge. Svaret er at det må ligge på en sirkel der AB er en korde som spenner over en bue som tilsvarer en sentralvinkel på 2 v. Denne kan forholdsvis lett konstrueres slik som på figuren til høyre. Tenk igjennom konstruksjonen! Sirkelens omkrets og areal. Arealet av sirkelsektorer og -segmenter. Å beregne sirkelens areal hører egentlig hjemme i en helt annen matematisk disiplin enn elementær geometri, nemlig matematisk analyse. Her skal vi derfor bare minne om at omkretsen av en sirkel er proporsjonal med diameteren: Omkrets = 2 π r, og at proporsjonalitetsfaktoren er et irrasjonalt tall som kalles π (pi). De første sifrene i π er Areal av en sirkel med radius r er π r. Opp igjennom historien har man beregnet størrelsen på π stadig mer nøyaktig, og i våre dager er det ingen grenser hvor nøyaktig den kan beregnes Et punkts potens med hensyn på. en sirkel Potensen til et punkt P med hensyn på en sirkel er definert slik: Trekk en sekant gjennom P, og finn avstandene d 1 og d 2 fra punktet P til hvert av skjæringspunktene med sirkelen. Da er potensen til punktet med hensyn på sirkelen definert som d1 d2. For at dette skal ha mening, må vi vise at potensen er uavhengig av hvilken korde vi trekker. Setning La P være et punkt som ikke ligger på en sirkel med radius r og sentrum i O, og la d være avstanden fra P til O. Hvis P ligger utenfor sirkelen, vil produktet av avstandene fra P til de to skjæringspunktene mellom sirkelen og en sekant gjennom P som skjærer sirkelen punktets potens med hensyn på sirkelen -, være uavhengig av hvilken korde som 2 2 brukes. Hvis P ligger innenfor sirkelen, er potensen r d. Hvis P ligger utenfor sirkelen, er 2 2 potensen d r, og potensen er lik kvadratet av lengden av tangentstykket mellom P og sirkelen. Bevis. Vi ser først på det tilfellet at P ligger innenfor sirkelen, jfr. figuren til høyre. Vi trekker to korder AB og CD gjennom P. Da er ACD og ABD periferivinkler over samme bue AD og dermed like, mens CAB og CDB er periferivinkler over samme bue CB og dermed like. Derfor er CAP : BDP, og dermed er AP DP = og derfor AP PB= PC PD. Det viser at potensen er PC PB uavhengig av hvilken korde som brukes. Spesielt kan vi se på en diameter, altså en korde gjennom sentrum O. Hvis d er avstanden r d r+ d = r d fra P til O er potensen definert ved hjelp av denne korden ( ) ( ) 2 2 MA-132 Geometri 37 Byrge Birkeland

38 La oss så se på det tilfellet at punktet P ligger utenfor sirkelen. Vi finner at PBD= PCA som periferivinkler over samme bue AP DP AD, og dermed at PBD: PAC. Da må = og dermed PC PB PA PB= PD PC. Spesielt kan vi se på sekanten gjennom 2 2 d r d + r = d r. La sentrum i sirkelen. Da blir potensen ( ) ( ) oss så trekke en tangent til sirkelen fra P til tangeringspunktet T. Da blir PTO rettvinklet, og Pythagoras setning gir PT = d r = d r d + r. Potensen er altså lik kvadratet av tangentstykket PT.. ( ) ( ) Mellomproporsjonalen Et gammelt problem er rektanglets kvadratur: Gitt et rektangel med sider a og b, finn et kvadrat med samme areal, altså et kvadrat med side x slik at spørsmålet kan besvares ved en av to mulige konstruksjoner: I figuren til høyre avsetter vi de to lengdene a og b etter hverandre: AC=a og CB=b på en linje og finner midtpunktet på linjestykket AB. Vi trekker så en sirkel med denne som diameter.og oppreiser en normal i punktet C. Denne skjærer sirkelen i D. Nå er ADB = DCB = 90 og CAD = CDB fordi vinkelbeina står parvis normalt på hverandre. Da er ACD og DCB formlike, og derfor er AC a CD x = = = CD x CB b På figuren til høyre avsetter vi først a=a B og deretter i motsatt retning b=b C.Så konstruerer vi en sirkel med A B som diameter. Vi oppreiser en normal i C ; denne skjærer sirkelen i D. Vi har da to formlike trekanter ABD ' ' ' og DBC ' ' ', og da er AB ' ' a BD ' ' x = = =. BD ' ' x BC ' ' b 2 x = a b eller x = a b. Dette Konstruksjonen som løser problemet med rektanglets kvadratur ser da slik ut: MA-132 Geometri 38 Byrge Birkeland

39 Delingsforhold for halveringslinja for en vinkel i en trekant Setning Halveringslinja for en vinkel i en trekant skjærer den motstående sida i samme forhold som de hosliggende sidene i trekanten Bevis. CD er halveringslinja for BCA. BE trekkes parallell med AC. Da er ACE = CEB som samsvarende vinkler. Da er CEB likebeint, og EB=BC. Trekantene EBD og ADC er formlike, og BD EB BC = =. AD CA CA Denne setningen er ofte brukt i elementære geometrioppgaver. A u D E C u B 1.11 Trigonometriske funksjoner La ABC være en rettvinklet trekant, der B er den rette vinkelen. Hvis AB C er annen rettvinklet trekant der B C er parallell med BC og dermed ABC : AB' C', følger det av BC BC ' ' transversalsetningen at =. Det betyr at når vinkelen AC AC ' A er den ene vinkelen i en rettvinklet trekant, så er forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen uavhengig av trekantens størrelse, og derfor bare avhengig av vinkelen. Dette forholdet defineres som sinus til vinkelen, og sin A er et eksempel på en trigonometrisk funksjon. Det finnes flere av dem, nemlig cosinus, tangens, og mer sjeldent brukt, cotangens, secans og cosecans. De er definert slik: BC motstående katet AB hosliggende katet sin A = =, cos A = =, AC hypotenus AC hypotenus BC motstående katet 1 tan A = =, cot A AB hosliggende katet = tan A, 1 sec A = cos A, 1 cosec A = sin A Disse definisjonene av de trigonometriske funksjonene gir bare mening når vinkel ligger mellom 0 og 90. For andre vinkler defineres funksjonene slik: Tegn en sirkel med radius 1. For en gitt vinkel v, la den positive x-aksen være det ene vinkelbeinet. Roter den positive x-aksen vinkelen v for å få det andre vinkelbeinet. La skjæringspunktet P med enhetssirkelen ha koordinater x og y. Da er de trigonometriske funksjonene definert slik y x sin v = y, cos v = x, tan v =, cot v =, x y 1 1 sec v =, cosec v = x y De trigonometriske funksjonene er et viktig verktøy for å finne vinkler i geometrioppgaver. Grunnen er at verdiene av dem er beregnet i detalj, og er tatt med på de fleste kalkulatorer. Kalkulatorene inneholder også de inverse til de trigonometriske funksjonene. Det vil si: Gitt for eksempel at sinv = 0.5, hvor stor er v? De inverse trigonometriske funksjonene skrives tradisjonelt Arcsin, Arccos, Arctan osv. i matematikken, men på kalkulatorer skrives de som MA-132 Geometri 39 Byrge Birkeland

40 1 1 1 regel som sin,cos,tan osv. Nå fins det mange vinkler som har samme verdi av sinus, eller cosinus eller tangens. For eksempel er sin30 = sin150 og cos30 = cos330 = cos( 30 ). Det har derfor vært nødvendig å velge hvilke intervaller de inverse trigonometriske funksjonene skal ligge i. Resultatet er Arcsinv [ 90,90 ], Arccosv [ 0,180 ], Arctanv 90,90. Studiet av de trigonometriske funksjonene er et ganske omfattende emne, og vi skal ikke gå inn i alle detaljer. Det er pensum i 2. klasse i videregående skole, og de vanligste formlene står i matematiske tabeller for videregående skole. I vår sammenheng er det stort sett nok å kunne definisjonene, forstå de to trigonometriske setningene sinussetningen og cosinussetningen, og å kunne bruke de trigonometriske funksjonene på kalkulatoren Areal av sirkelsektor og sirkelsegment En sirkelsektor er begrenset av to radier i sirkelen og buen som begrenses av dem. Et sirkelsegment er begrenset av en korde og den buen som begrenses av korden. Arealet av en sirkelsektor kan beregnes når du kjenner vinkelen som buen utspennes. Arealet vil da forholdet seg til arealet av hele sirkelen som denne vinkelen forholder seg til v : A= π r. Arealet av et sirkelsegment kan da beregnes 360 som differensen mellom arealet av en sirkelsektor og en trekant: u cos u sin u u A= πr r r = π sin u r Her har vi brukt formelen sin2v = 2sinvcosv, som er en av de elementære trigonometriske formlene som du kan finne i matematiske formelsamlinger Noen egenskaper ved trekanter Omsirkelen til en trekant Setning Midtnormalene på sidene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, trekantens omsenter. Bevis.. Sentrum i en sirkel som skal gå gjennom A og B, må ligge like langt fra A og B og derfor på midtnormalen på AB. Det må også like langt fra B og C og derfor på midtnormalen på BC. Skjæringspunktet mellom disse normalene ligger da like langt fra A, B og C og derfor spesielt like langt fra A og C, dvs. på midtnormalen på AC. MA-132 Geometri 40 Byrge Birkeland

41 Sinussetningen Setning : Sinussetningen. I en vilkårlig trekant ABC er lengdene av sidene a=bc, a b c b=ac, c=ab og radius i den omskrevne sirkelen R. Da er = = = 2R sin A sinb sin C Bevis. Vi trekker en diameter gjennom B og O som skjærer c omsirkelen i D. Da er DAB rettvinklet, så sin ADB =. 2R Men ADB og C er periferivinkler over samme bue AB og c c derfor like. Det betyr at sin C = eller 2R 2R sin C =. Vi kan gjøre akkurat det samme med hjørnene A og B, slik at a b c = = = 2 R.. sina sinb sin C Cosinussetningen eller den utvidede Pythagoras setning Setning : Cosinussetningen. La ABC være en trekant med sider a, b og c motstående til vinklene A, B og C. Da gjelder c = a + b 2 a b cosc Bevis. På figuren ser vi at BD = BC + CD = a+ b cos 180 v = a b cos v og ( ) ( ) AD = b sin 180 v = b sinv. Pythagoras setning gir da: ( ) 2 = cos + sin = 2 cos + cos + sin = c 2 a b v b 2 2 v a 2 a b v b 2 2 v b 2 2 v a + b a b v c = a + b a b v 2 cos Altså er: 2 cos Herons formel for arealet av en trekant Hvis ABC er en trekant med sider a, b og c, og s 1 2 ( a b c) er gitt ved formelen A= s( s a)( s b)( s c). Dette er bevist i en oppgave nedenfor. = + + er halve omkretsen, er arealet MA-132 Geometri 41 Byrge Birkeland

42 Innsirkelen til en trekant Setning Halveringslinjene for vinklene i en trekant går gjennom ett punkt, innsenteret, og dette punktet er sentrum i trekantens innskrevne sirkel eller innsirkel. Bevis. Halveringslinja for vinkel A består av alle punkter som har samme avstand til linjene AB og AC. Halveringslinja for vinkelen B består av alle punkter som har samme avstand til linjene BA og BC. Skjæringspunktet har da samme avstand til AB, AC og BC. Spesielt har det samme avstand til CA og CB, og ligger derfor på halveringslinja for vinkel C. Legg merke til at radius i innsirkelen må konstrueres særskilt. Du må nedfelle normalen fra innsenteret på en av sidene. Du kan finne radien i innsirkelen ved å sette opp to uttrykk for arealet av trekanten. Det ene kan være beregnet ved hjelp av formelen 1 g h 2 eller på annen måte, avhengig av hvilke opplysninger som er gitt. Det andre uttrykket er summen av arealene av trekanter, alle med 1 2A radien i innsirkelen som høyde: A= 2 ( a+ b+ c) r. Vi får da r =. a + b + c Høydene i en trekant Setning Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Bevis. Se figuren til høyre. Vi trekker en linje gjennom C parallelt med AB, en linje gjennom B parallelt med AC og en linje gjennom A parallelt med BC. Da får vi fire kongruente trekanter og en trekant A B C dere disse parallellene er sidene. Omsirkelen til ABC ' ' ' har som sentrum skjæringspunktet mellom høydene i ABC. Høydenes skjæringspunkt kalles trekantens ortosenter Medianene i en trekant En median i en trekant er et linjestykke som forbinder et hjørne med midtpunktet på den motstående sida. Setning Medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, og deler hverandre i forholdet 2:1. Bevis. La R, S og T være midtpunktene på hhv. AB, BC og CA. Skjæringspunktet mellom CR og TB er G. Trekantene ABC og ART må være formlike p.g.a. transversalsetningen. Da må RT:BC=1:2. Videre må trekantene RGT og CGB være formlike, så RT:BC=RG:GC=1:2. Da er RG=RC/3. MA-132 Geometri 42 Byrge Birkeland

43 La så H være skjæringspunktet mellom CR og AS, jfr. den øverste trekanten på figuren. Vi finner på nøyaktig samme måte som ovenfor at RH=RC/3. H og G må da være det samme punktet. Medianenes skjæringspunkt kalles også for trekantens tyngdepunkt eller gravitasjonssenter. Hvis trekanten er laget av et homogent materiale, vil den balansere hvis den understøttes i tyngdepunktet Egenskaper ved firkanter Varignons setning Setning Midtpunktene på sidene i en firkant danner hjørnene i et parallellogram. Bevis. La firkanten være ABCD og midtpunktene være PQRS, jfr. figuren. Av transversalsetningen følger at SP BD RQ, og PQ AC SR Sykliske firkanter En firkant som kan innskrives i en sirkel, kalles en syklisk firkant. Setning En firkant er syklisk hvis og bare hvis summen av motstående vinkler i firkanten er 180. Bevis. Anta at firkanten ABCD er syklisk, og at den deler sirkelen i buene x=da, y=ab, u=bc og v=cd. Thales setning 1 A u v C = 1 x+ y og dermed = 2 ( + ) og 2 ( ) A C ( u v x y ) + = = 2 = 180. Da må også B+ D = Det gylne snitt Du kan lese en artikkel om det gylne snitt i det norske Wikipedia her Når et rektangel med sider h og b har en slik form at h = b, sies rektanglet å være et b h b gyllent rektangel. Da er det altså slik at bredden er mellomproporsjonalen mellom høyden og differensen mellom høyden og bredden. Denne formen på et rektangel har tradisjonelt av mange vært ansett som den optimale formen på et lerret som brukes til et maleri. Du vil finne formen igjen på mange klassiske malerier. Den dukket også opp i romanen Da Vinci-koden. Vi snur brøkene på hodet b h b b h = eller = 1, setter h b = x og får 1 x 1 h b h b x = og 2 1 x x 1= 0. Dette er en annengradsligning med løsningen x = 2 ( 1 ± 5 ). Vi må ha et MA-132 Geometri 43 Byrge Birkeland

44 1 positivt tall som løsning, så ( ) 2 ( 5 1) ( 5 + 1) ( 5 1) x = , og vi finner ( ) 1 1 = = Den siste verdien går x 2 under navnet ψ - psi. La oss nå se på konstruksjonen av det gylne snitt: Vi starter med å konstruere et rettvinklet trekant ABC, der AB er det gitte sida s og AC er halvdelen av denne. Etter Pythagoras s setning er da ( ) ( ) 1 Siden AC s BC = + s = s + 4s = s = 2, må BE BF ( s ) betyr at ABFD er et gyllent rektangel. = = Det Regulær tikant og femkant Konstruksjonen av en regulær tikant henger sammen med det gylne snitt. Vi ser på en regulær tikant med side s og tar ut en trekant ABC, der A og B er hjørner i tikanten og C er sentrum i den omskrevne sirkelen, som har radius r. ABC er da en likebeint trekant med toppvinkel = 72. Vi konstruerer så en ny =. Vinklene ved grunnlinja blir da ( ) likebeint trekant ABD der AB=AD. Da blir CAD = = 36, slik at også CAD er AB s BD r s likebeint og AB = AD = CD = s. Da blir BDA: ABC, og vi får = = =. AC r AB s rs er forhold som det gylne snitt. Konstruksjonen av en regulær tikant Det betyr at paret (, ) og dermed også femkant går derfor som på figuren til høyre nedenfor Papirformat Vanlige A4-ark er ikke et gyllent rektangel. Prinsippet for A-formatene er slik: I utgangspunktet er et A0-ark på 1 m 2. For å komme fra et papirformat til det neste skal arket bare deles på midten. Det betyr at kortsida x må være mellomproporsjonalen mellom langsida a og halve 2 a 1 2 langsida 2a. Da må x = a = a og a a x= = eller a= 2 x. Den lengste sida s i MA-132 Geometri 44 Byrge Birkeland

45 et A0-ark må da være gitt ved at ark blir da ( 2 ) 4 4 s s 2 = 1m og m= m 297 mm, mens kortsida blir Ta for deg et A4-ark og kontroller at dette stemmer Firkant og trekant med samme areal Gitt en firkant ABCD. Du får i oppgave å konstruere en trekant med samme areal. Løsningen ser du på figuren til høyre. Vi konstruerer en parallell med diagonalen DB gjennom C. Enhver trekant med grunnlinje DB og det tredje hjørnet på denne parallellen må da ha samme areal som trekanten DBC. Spesielt kan vi se på trekanten DBE, der E er skjæringspunktet mellom parallellen og AD. s = m m. Den lengste sida i et A4-4 2 ADB er felles for ABCD og ABDE, og vi må ha ( ABE) = ( ABD) + ( DBE) = ( ABD) + ( DBC) = ( ABCD) 1.14 Oppgaver Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen. 210mm A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel på 45 og hvis bein går gjennom A og B A og B er to punkter i planet med avstand 6 cm. Du skal konstruere en trekant ABC der C = 30. a. Arealet av ABC skal være 21 cm 2. Konstruer trekanten. b. Arealet av ABC skal være maksimalt. Konstruer ABC Av alle trekanter ABC der størrelsen av A og BC er gitt, vil den likebeinte trekanten med A som toppunkt være den som har størst areal. Hvorfor? De to linjestykkene a og b er lik 4 og 7 cm. Konstruer mellomproporsjonalen mellom a og b Et rektangel har sider 5 og 9 cm. Konstruer et kvadrat med like stort areal Du har gitt to kvadrater, Konstruer et nytt kvadrat med areal lik summen av de to. MA-132 Geometri 45 Byrge Birkeland

46 Gitt en vinkel, der beina skjærer en sirkel og skjærer over buer på henholdsvis x og y (grader). Uttrykk størrelsen av vinkelen v, i de to tilfellene at vinkelens toppunkt er utenfor eller inni sirkelen En korde-tangent-vinkel har størrelse v. Vis at den skjærer av en bue på 2v (Eksamen i grunnskolen 1991) a. Slå en sirkel med radius 4,0 cm, og kall sentrum i sirkelen S. Sett av to punkter A og B på sirkelperiferien slik at AB blir 120. b. Konstruer en tangent til sirkelen i punkt A og en tangent i punkt B. Forleng tangentene til de skjærer hverandre. Kall skjæringspunktet for T. c. Regn ut AT Forleng linjestykket TS slik at det skjærer sirkelen. Kall dette skjæringspunktet for R. d. Tangenten i R skjærer forlengelsen av TA i punktet D og TB i punktet C. Vis at trekanten TSB er formlik med trekant TDR. e. Regn ut CD Tangentkonstruksjoner a. Slå en sirkel med radius 3,5 cm om et punkt O. Avsett AO=7,0 cm, og konstruer tangenten til sirkelen gjennom A b. Trekk ei linje m gjennom A og O. Punktet B ligger på m utenfor sirkelen slik at AB>AO og 1 slik at linja m og tangenten gjennom B danner en vinkel på Konstruer denne tangenten. c. Tangenten gjennom A og tangenten gjennom B skjærer hverandre i punkt C slik at vinkel C er spiss. Regn ut ACB Sidene i en trekant ABC har lengder a, b og c., der a er motstående til A osv. Radius i den omskrevne sirkelen er R. Vis at følgende er uttrykk for arealet T av trekantene ABC: 1 a. T = 2 absin C b. abc T = 4R MA-132 Geometri 46 Byrge Birkeland

47 I en trekant ABC er følgende oppgitt. Du skal regne ut alle de tre sidene og de tre vinklene. a. a=4,7 cm, c=6,9 cm og C = 56. b. c=7,2 cm, A = 51 og C = 72 c. B = 48, a=8,0 cm og c= 6,3 cm Gitt trekanten til høyre: Vis at a= b cosc+ c cos B a. Bruk så sinusproporsjonen til å vise at sina= sinb cosc+ sinc cos B Gitt en trekant ABC. a. Konstruer en sirkel S 1 som går gjennom A og som tangerer linja BC i B b. Konstruer en sirkel S 2 som går gjennom A og tangerer BC i C. c. Vis følgende: Dersom S1 har radien s og S2 har radien t, så er st=r2, der R er omradius til ABC I en trekant ligger omsenteret på en av sidene i trekanten. Hva kan vi si om denne trekanten? Forklar at omsenteret og ortosenteret til en stumpvinklet trekant ligger utenfor trekanten Gitt en trekant ABC. Konstruer en ny trekant DEF med sider lik medianene i ABC. Undersøk forholdet mellom arealene av de to trekantene Er en trekant med to like lange medianer en likebeint trekant? Begrunn svaret Er en trekant med to like lange høyder en likebeint trekant? Begrunn svaret Vis at omradien i en trekant kan beregnes som R = abc 4 A er arealet av trekanten. Vink: Bruk sinussetningen En rettvinklet trekant har sider 3, 4 og 5. Regn ut innradien og omradien A, der a, b og c er sidene i trekanten og MA-132 Geometri 47 Byrge Birkeland

48 Vis Herons formel for arealet av en trekant. Du kan gå fram slik: 1 a. Arealet er T = 2 bc sin A b. Cosinussetningen gir et uttrykk for cos A. c. Av a. og b. får du uttrykk for sin A og cos A. Disse settes inn i relasjonen 2 2 sin A+ cos A= 1. d. Vis av dette at 16T 2 = 4bc 2 2 ( b 2 + c 2 a 2 ) 2 e. Bruk konjugatsetningen x 2 y 2 = ( x y ) ( x + y ) Tegn en vilkårlig trekant ABC, og trekk medianen AM. Halver nabovinklene AMB og AMC, og kall halveringslinjenes skjæringspunkter med AB og AC for henholdsvis P og Q. Bevis at PQ er parallell med BC a. Konstruer trekanten ABC, der AB=7 cm, BC=4 cm og AC= 6 cm. b. Halveringslinjen for vinkel C deler AB i stykkene x og y. Beregn disse stykkene. c. Gjenta utregningen når AB=c, BC=a og AC=b Konstruer en trekant der du har gitt to sider a og b og lengden av den mellomliggende vinkelens halveringslinje innefor trekanten. Hva er betingelsen for løsningen? I trekanten ABC er C = 90, A = 30 og AB=s. Halveringslinja for C deler AB i to stykker. Beregn disse stykkene uten å bruke tilnærmingsverdier Konstruer en trekant der forholdet mellom to sider er 3:4., den mellomliggende vinkelen er 75, og lengden av denne vinkelens halveringslinje innenfor trekanten er 5 cm Gitt et trapes ABCD med parallellsidene AB og CD. Diagonalene skjærer hverandre i E, og sidene AD og BC skjærer hverandre i F. Bevis at den rette linja EF halverer AB og CD I en sirkel med radius 5 cm er innskrevet en likebeint trekant ABC. AC og BC er de like lange sidene, og C = 45. a. Konstruer trekanten, og regn ut sidene, Høyden fra C på AB forlenges til den skjærer sirkelen i E. b. Finn arealet av firkanten AEBC. MA-132 Geometri 48 Byrge Birkeland

49 I en trekant ABC er AB=10 cm, BC=6 cm, høyden fra C på AB er 3 3 cm, og a. Konstruer trekanten og den innskrevne sirkelen i trekanten. b. Hvor lang er siden AC? c. Hvor lang er radius i den innskrevne sirkelen? B er spiss a. Konstruer et trapes ABCD der avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD er lik et gitt linjestykke a: , BAD = 90 og BAC = 30. Diagonalene skjærer hverandre i punktet E slik at AE:EC=2:1. b. Finn diagonalene AC og BD uttrykt ved a Konstruer en firkant ABCD der AB=6 cm, BC=4 cm, AD=7,5 cm, CD=5 cm og diagonalen AC er 8 cm. Halver vinklene B og D, og bevis at halveringslinjene må slkjære hverandre på AC. Hvor langt ligger dette skjæringspunktet fra A? Undersøk tilsvarende halveringslinjene for vinklene A og C På en linje l er merket av to punkter A og B. En annen linje m skjærer l utenfor AB. Finn det punktet P på m som gjør vinkelen APB så stor som mulig Gitt et kvadrat ABCD med side 4 cm. Finn midtpunktet M på BC, og bestem ved konstruksjon et punkt P på siden CD slik at vinkelen APM blir så stort som mulig. Regn så ut avstanden CP både i eksakt form og i cm med to desimaler På en 54 m høy holme står et 42 m høyt fyrtårn. Hvor langt fra tårnets fotpunkt i vannflatens nivå må en ro ut for å se tårnet under størst mulig vinkel, forutsatt at en kunne ha øyet i vannflaten? a. Gitt en sirkel med radius r og et punkt P i en avstand 2 r fra sentrum. Konstruer gjennom P en korde som blir delt av P i forholdet 1:2. Regn ut den minste delen av korden. b. Gjenta konstruksjonen og beregningen når P har avstanden d fra sentrum. Hva er betingelsen for at oppgaven kan løses? a. Gjør ved konstruksjon et gitt rektangel om til et like stort kvadrat. b. Gjør det samme med en gitt trekant Gitt en vilkårlig femkant. Konstruer et like stort kvadrat. MA-132 Geometri 49 Byrge Birkeland

50 Gitt en vilkårlig trekant. Konstruer en linje som er parallell med en av sidene og halverer trekantens areal Hva er den minste mulige verdien et punkts potens kan ha? For hvilke punkter har punktets potens denne verdien Hva er det geometriske sted for alle punkter hvis potens er konstant? En sirkel med radius 3 cm er gitt. I oppgaven skal du bruke eksakte verdier i svarene der du får kvadratrøtter, ikke tilnærmingsverdier. a. Konstruer en sekant som skjærer av buen AB = 90 av sirkelen. Regn ut lengden av korden AB. b. Sett av et punkt C på sekanten utenfor B slik at BC = 2 AB. Regn ut punktet C s potens med hensyn på sirkelen, og regn ut lengden av tangentstykket fra C til sirkelen. c. Konstruer så en trekant ACD slik at hjørnet D ligger på sirkelen og DB blir halveringslinje for ADC. Regn ut sidene i trekanten, og finn C Lenker til løsningsforslag MA-132 Geometri 50 Byrge Birkeland

51 1.15 Eksamensoppgaver i euklidsk geometri August 2003, oppgave 3 Linjestykket a er gitt a Gitt et kvadrat ABCD der AB=a. Punktet E på BC og punktet F på CD ligger slik at 2 3 AE = BF = a. AE og BF skjærer hverandre i M 3 a. Konstruer kvadratet ABCD. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved a. b. Finn lengden av AM, BE og CE. c. Vis at firkant MECF er syklisk og konstruer omsirkelen d. Punktet Q ligger på AD slik at BQ halverer ABD. Finn lengden av AQ, DQ og BQ. e. AC skjærer omsirkelen til firkant MECF i punktet P. Finne lengden av AP. f. Finn lengden av CM Mai 2002, oppgave 2 Gitt sirkelen S 1 og korden AB på S 1. La C være et vilkårlig punkt på S 1 forskjellig fra A og B og slik at lengden AC er større enn lengden BC. La M være midtpunktet på sirkelbuen ACB. La E ligge på linja gjennom AC slik at C ligger mellom A og E og CE=BC. La BEC = θ og S2 omsirkelen til ABE. a. Uttrykk BCA og BMA ved θ. Grunngi svaret. b. Grunngi at sentrum til S 2 er M. c. Vis at D er fotpunktet for normalen fra M hvis og bare hvis AD = DC + CB. Anta nå at D er fotpunktet for normalen fra M, og la F være midtpunktet på AB. d. Vis at DF er parallell med halveringslinja til BCA Mai 2001, oppgave 2 a. Linjestykket a er gitt: a I kvadratet ABCD er sida lik a. 1 Punktene P og Q ligger på henholdsvis AB og BC slik at AP = BQ = 3 a. Konstruer kvadratet ABCD og vis hvordan du finner P og Q ved konstruksjon. Trekk linjene AC, AQ og DQ. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved a. b. Regn ut AC, DP og DQ c. DP og AQ skjærer hverandre i punktet R. Vis at trekant ARP og trekant ABQ er formlike. Regn ut AR. d. Diagonalen AC skjærer DQ i punktet S. Regn ut DS og SQ. e. Konstruer omsirkelen til trekant CDQ. Omsirkelen skjærer AC i punktet T. Begrunn hvorfor sirkelen også går gjennom R. Regn ut AT. MA-132 Geometri 51 Byrge Birkeland

52 Mai 2005, oppgave 3 Et linjestykke a er gitt. a. I et trapes ABCD er AB og CD de parallelle sidene, og AB=3a, BC=2a, ABC = 60 o. Diagonalen BD deler diagonalen AC i forholdet 3:2. a. Konstruer trapeset. I resten av oppgaven skal svarene uttrykkes eksakt ved hjelp av a, ikke ved tilnærmingsverdier. b. Beregn avstanden fra hjørnet C til sida AB. c. Beregn lengden av diagonalen AC. d. Finn lengden av CD. e. Finne lengden av diagonalen DB. f. Kall diagonalenes skjæringspunkt for E. Finn lengdene av DE og EB. g. Finn til slutt AED og lengden av AD Mai 2000, oppgave 2 a. Linjestykket a er gitt: a I trekanten ABC er AC=BC, og D er midtpunktet på AB. CD er 2a, og radien i innsirkelen er 2a. Kall sentrum i innsirkelen for O. Konstruer trekanten. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved a. b. Innsirkelen tangerer AC i punktet E. Regn ut CE. c. Vis at trekanten EOC og trekantene DBC er formlike. Regn ut sidene i trekanten ABC. d. Den rette linjen gjennom A og O skjærer BC i punktet F. Regn ut BF og FC. e. Høyden CD skjærer sirkelen i et punkt K. Regn ut AK. f. L er det andre skjæringspunktet mellom AK og sirkelen. Regn ut korden KL Mai 2000, oppgave 4 Trekant ABC er gitt. Normalen fra punktet C på sida AB skjærer punktet AB i punktet D. Omsirkelen til trekant ABC har sentrum O og diameter CE, slik figuren viser. a. Vis at ADC og EBC er formlike b. Anta at i ABC er A større enn B. Vis at da gjelder DCE = A B Mai 1996, oppgave 4 Gitt en trekant ABC og en sirkel S gjennom C, som har sentrum O. CO skjærer AB i F. Sirkelen S skjærer BC i D, AC i E og CF i G. a. La CF være normal på AB. Vis at da er FAC = EGC og at ABC og DEC er formlike. Vis at firkant ABDE har en omsirkel. b. Omvendt, la firkant ABDE ha omsirkel. Vis at da er ABC formlig med DEC. Undersøk om CF i dette tilfellet er normal på AB. MA-132 Geometri 52 Byrge Birkeland

53 c. Formuler en setning på grunnlag av punkt a) og b), som gir en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at firkant ABDE har en omsirkel. Knytt formuleringen til retningen til tangenten til S i C Mai 1999, oppgave 4 En sirkel er omskrevet en firkant ABCD, og diagonalene AC og BD står normalt på hverandre i punktet P. Ei linje gjennom P står samtidig normalt på ei av sidene i firkanten. For eksempel står ei linje gjennom P normalt på side BC i punktet F. Denne normalen PF skjærer AD i punktet G. Se figuren. a. Vis at DPG = GDP. b. Vis at AG=GD Mai 2003, oppgave 3 Linjestykket a er gitt: a Gitt et trapes ABCD der AB CD. AB=2a, og avstanden mellom de parallelle linjene er a. BAD = 60. Normalen til AB i B skjærer CD i E, og BC skjærer AE i forholdet 2:1 målt fra A. Normalen til AB i A skjærer CD i F. a. Konstruer trapeset ABCD. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte (uten tilnærmingsverdier) og uttrykkes ved a. b. Finn lengden av AD, BC og CD. c. AE og BC skjærer hverandre i punktet H. Finn lengdene av AH og HE. d. Konstruer omsirkelen til trekant ADF, og finn lengden av radius i omsirkelen. Konstruer innsirkelen til trekant ABE, og finn lengden av radius i innsirkelen. e. Punktet T ligger på omsirkelen til trekanten ADF, på buen AD, slik at CT er tangent til omsirkelen. Finn lengden av CT. f. AD og BC skjærer hverandre i punktet G. Finn lengden av CG Mai 2007, oppgave 1 Et kvadrat ABCD har side lik s, som du velger selv. E er midtpunktet på AB og F er midtpunktet på BC. Diagonalen BD skjærer AF i H. DE skjærer AF i G. I oppgaven skal du bruke eksakte verdier og ikke erstatte røtter med tilnærmingsverdier. De ulike lengdene skal uttrykkes ved s. a. Tegn kvadratet. Regn ut AF. b. Hvorfor er trekantene AEG og AFB formlike? Regn ut lengden av AG, GF og DG. c. Hvor store er vinklene ABD og DBC? Regn ut AH og HF. d. Hvorfor vil CE gå gjennom H? MA-132 Geometri 53 Byrge Birkeland

54 Mai 2007, oppgave 2 Gitt en sirkel med radius r og sentrum i S.: I denne sirkelen skal det innskrives en firkant ABCD, der disse kravene skal være oppfylt: AB skjærer av en bue på 90. Diagonalen AC er diameter i sirkelen. Diagonalen BD skjærer diagonalen AC i E, slik at AE : EC = 2 : 1. I alle utregninger nedenfor skal du bruke eksakte verdier, ikke tilnærmingsverdier, alle uttrykt ved r. a. Konstruer sirkelen og firkanten. b. Hvorfor er DB halveringslinje for D? Regn ut lengden av sidene i firkanten. c. Hva blir sidene i SBE? d. Regn ut DE. La høyden fra B på AD skjære AD i T, og høyden fra B på DC skjære DC (forlenget) i R. e. Hvorfor vil RT gå gjennom S? Mai 1994, oppgave 3 Gitt et punkt P på en sirkel C og en linje L som ikke skjærer sirkelen C. Konstruer sirkler gjennom P som tangerer L og C. Anta at to slike sirkler tangerer L i T 1 og T 2. Vis at tangenten til C i P går gjennom midtpunktet på T 1 T Mai 1997, oppgave 2 Gitt et punkt S i planet og en linje l som ikke går gjennom S. Normalen fra S på l skjærer l i G. R er rotasjon om S en vinkel v. Anta at R v ( l) = l'. v S a. Hvorfor er vinkelen mellom l og l lik v: ( ll, ') S = v? Utenpå de tre sidene i den spissvinklede trekanten ABC er det tegnet tre likesidede trekanter AC' B, BA' C og CB' A. b. Vis, for eksempel ved å se på en rotasjon om A med rotasjonsvinkel v = 60, at CC' BB' CCBB ', ' = 60. Kall skjæringspunktet mellom C C og BB for F. = og at ( ) Vis at omsirkelen til F kalles trekantens Fermatpunkt. AC' Bgår gjennom F. c. Vis at AFC = 120, og at firkanten AFCB er syklisk (dvs. at den har en omsirkel). Hvorfor er også CFB = 120, og firkanten BA CF også syklisk? Anta at symmetrisentrene i de tre likesidede trekantene AC' B, BA' C og CB' Aer P, Q og R henholdsvis. d. Hvorfor er PQ normalt på BF? Hvorfor er PQR likesidet? MA-132 Geometri 54 Byrge Birkeland

55 Mai 1999, oppgave 3 Gitt et linjestykke med lengde a: a I en sirkel med sentrum O og radius a 2 er det innskrevet en likebeint trekant ABC. AC og BC er de like lange sidene, og C = 45. a. Konstruer et linjestykke med lengde a 2. Konstruer trekanten ABC (Har du ikke konstruert linjestykket med lengden a 2, kan du måle lengden av a og i selve konstruksjonen av trekanten ABC bruke tilnærmingsverdien for radius). Kall fotpunktet for høyden fra C på AB for D b. Finn sidene i trekantene ABC uttrykt ved a. Forlengelsen av CD skjærer sirkelen i E. Punktet F ligger på sirkelen slik at AF er diameter. c. Vis at firkanten AEFC er et rektangel og at dette har like stort areal som firkanten AEBC. Forlengelsen av AE og forlengelsen av BC skjærer hverandre i G. Halveringslinja til vinkel AGC skjærer AC i H. d. Finn forholdet mellom AH og HC Mai 2001, oppgave 4 Gitt en sirkel med kordene PR og QR, der PR er den korteste, slik figuren viser. S er midtpunktet på buen fra P til Q via R, og normalen fra S på QR skjærer QR i T. Punktet V ligger på forlengelsen av QR slik at VT=TQ og slik at R er mellom V og T. a. Fullfør konstruksjonen ut fra opplysningene ovenfor. Trekk PS, PQ, QS, SV og PV. Vis at trekantene VTS og QTS er kongruente. b. Vis at RPS = RVS og at SPQ = SQP. c. Vis at trekant PSV er likebeint og at PR+ RT = TQ August 2003, oppgave 3 Linjestykket a er gitt a Gitt et kvadrat ABCD der AB=a. Punktet E på BC og punktet F på CD ligger slik at 2 3 AE = BF = a. AE og BF skjærer hverandre i M 3 a. Konstruer kvadratet ABCD. Beregningene i resten av oppgaven skal være eksakte og uttrykkes ved a. b. Finn lengden av AM, BE og CE. c. Vis at firkant MECF er syklisk og konstruer omsirkelen d. Punktet Q ligger på AD slik at BQ halverer ABD. Finn lengden av AQ, DQ og BQ. e. AC skjærer omsirkelen til firkant MECF i punktet P. Finne lengden av AP. f. Finn lengden av CM. MA-132 Geometri 55 Byrge Birkeland

56 Mai 2005, Oppgave 3. Et linjestykke a er gitt. a. I et trapes ABCD er AB og CD de parallelle sidene, og AB=3a, BC=2a, ABC = 60 o. Diagonalen BD deler diagonalen AC i forholdet 3:2. a. Konstruer trapeset. I resten av oppgaven skal svarene uttrykkes eksakt ved hjelp av a, ikke ved tilnærmingsverdier. b. Beregn avstanden fra hjørnet C til sida AB. c. Beregn lengden av diagonalen AC. d. Finn lengden av CD. e. Finne lengden av diagonalen DB. f. Kall diagonalenes skjæringspunkt for E. Finn lengdene av DE og EB. g. Finn til slutt AED og lengden av AD Mai 2006, oppgave 3 Gitt en sirkel med radius r. På en diameter AB 3 ligger et punkt C slik at BC = r 2 a. Konstruer figuren nedenfor og tangentene fra C til sirkelen. b. Tangeringspunktene er D og E. Beregn avstanden CD uttrykt ved r. c. Finn lengden av korden DE. d. Korden DE skjærer AB i F. Finn lengden av FB Mai 2006, oppgave 4 I en trekant ABC er AB=4a, BC=2a og AC=3a der a er linjestykket a. Alle lengder i oppgaven skal uttrykkes ved hjelp av a. a. Konstruer trekanten. b. Finn arealet av ABC og A. c. Halveringslinja for B skjærer AC i D, og normalen på denne halveringslinja gjennom B skjærer forlengelsen av AC i E. Finn lengdene av AD, DC og CE. d. Konstruer innsirkelen til ABC, og finn radien i denne. e. Konstruer omsirkelen til ABC, og finn radius i denne. f. La midtpunktet på BC være F, og trekk AF. La skjæringspunktet mellom BD og AF være G, og trekk CG til skjæring med AB i punktet H. Vis så hvordan Cevas setning kan brukes til å finne lengdene av AH og HB. g. Beregn avstanden mellom innsenteret og omsenteret ved hjelp av Eulers setning. MA-132 Geometri 56 Byrge Birkeland

57 September 2006, oppgave 2 a. Bruk svararket til oppgave 2. Ta utgangspunkt i den øverste trekanten ABC, der B er rett. Konstruer en parallell med AB gjennom C, og avsett et punkt E på denne parallellen slik at CB=CE, og slik at A og E ligger på hver sin side av BC. Trekk linja AE, og kall skjæringspunktet med BC for F. Konstruer en parallell med AB gjennom F, og kall skjæringspunktet med AC for G. Konstruer til slutt en parallell med BC gjennom G, og kall skjæringspunktet med AB for H. (Du skal ikke skrive forklaring til konstruksjonen.) b. Hvorfor er ABF og ECF formlike? c. Hvorfor er ABC og GFC formlike? d. Bruk b) og c) til å bevise at FB=GF, slik at W HBFG er et kvadrat. Vi skal nå generalisere konklusjonen i oppgave d) til å gjelde trekanter ABC som ikke nødvendigvis er rettvinklede. Ta utgangspunkt i den nederste figuren på svararket til oppgave 2, der det er tegnet en vilkårlig spissvinklet trekant ABC. Konstruer normalen fra C på AB. La fotpunktet for normalen være D. Konstruer en parallell med AB gjennom C, og avsett et punkt E på denne slik at CE=CD, og slik at E og A ligger på hver sin side av CD. Trekk AE, og kall skjæringspunktet med BC for F. Trekk en parallell med AB gjennom F, og kall skjæringspunktet med AC for G. Trekk en parallell med CD gjennom G, og kall skjæringspunktet med AB for H. Trekk endelig en parallell med CD gjennom F, og kall skjæringspunktet med AB for I. e. Vis at W HIFG er et kvadrat. (Vink: Se på AFG og AEC samt på AIF og AJE, der J er fotpunktet for normalen fra E på AB.) September 2006, oppgave 3 Gitt to sirkler, C 1 med radius r 1 og sentrum O, og C 2 med radius r 2 og sentrum Q, som berører hverandre utvendig, og slik at r 1 > r 2. I tillegg til den felles tangenten gjennom berøringspunktet har de to sirklene en annen fellestangent som har tangeringspunkter P på C 1 og T på C 2. Bruk svarark nr. 1 til oppgave a. Trekk opp QR PT slik at R ligger på OP, og bevis at PT = 4rr 1 2 (Vink: Bruk Pythagoras). Forklar hvordan dette kan brukes til å konstruere et linjestykke med lengden PT, gitt r 1 og r 2. QS QS + r1+ r2 b. La S være skjæringspunktet mellom tangenten PT og linja OQ. Vis at =. r r 2 1 c. Vis hvordan resultatene ovenfor kan brukes til å konstruere fellestangenten til to sirkler som berører hverandre utvendig. Bruk svarark nr. 2 til oppgave 3. d. Konstruer fellestangentene til to vilkårlige sirkler med forskjellige radier som ikke skjærer eller berører hverandre. Jfr. svarark nr. 3 til oppgave 3. (Vink: Bevis en likhet som tilsvarer den i oppgave b.) MA-132 Geometri 57 Byrge Birkeland

58 September 2006, oppgave 4 Gitt et kvadrat ABCD. La E, F, G og H være punkter på hhv, CD, AB, DA og BC. Vis at hvis GH står normalt på EF, så er GH og EF like lange Lenker til løsningsforslag: MA-132 Geometri 58 Byrge Birkeland

59 2 Vektorer Begrepet vektor dukker opp i mange sammenhenger både i matematikk og i fysikk, og står generelt for et objekt som er bestemt ved en størrelse og en retning. Eksempler fra fysikk er forflytning, hastighet, akselerasjon, kraft osv. I geometri skal vi bruke ordet vektor om orienterte rette linjestykker, og vi illustrerer en vektor ved å tegne en pil, der pilhodet viser orienteringen til linjestykket, og vi identifiserer to slike orienterte rette linjestykker som er like lange parallelle og ensrettede. På figuren til uuur uuur uuur uuur høyre, som er tegnet med Cabri, er AB = a = DC og BC = b = AD. Legg merke til notasjonene for vektorer: Du bruker enten vektorenes endepunkter med en pil over eller et navn, som regel en enkel bokstav, enten i fet skrift eller med en pil over. 2.1 Algebraiske operasjoner på vektorer Summen av to vektorer uuur defineres slik: Hvis vektor a er representert ved AB, og vektor b er representert ved uuur BC (altså slik at a slutter der b begynner), så er uuur a+b representert ved AC. Vi har altså uuur uuur uuur AB+ BC = AC. En vektor som begynner og slutter i uuur uuur samme punkt, 0= AA= BB, vil da uuur virke uuur som uuur nullelement ved denne addisjonen: AB+ BB = AB. Den kalles derfor for nullvektoren. Vi ser videre at uuur uuur uuur AB uuur + BA uuur = AA = 0, og vi definerer derfor AB = BA. Videre ser vi at uuur uuur uuur uuur uuur AD+ uuur DB = uuur b+ DB = AB = a, så differensen mellom to vektorer er definert ved at AB AD = DB. Husk at a-b er den vektoren du må legge til b for å få a. Se figuren ovenfor. Hvis a er en vektor, definerer vi lengden av a som lengden av et av de orienterte rette linjestykkene som representerer a, og noterer den a. Hvis t, altså et reelt tall, og a er en vektor, definerer vi vektoren t a eller t a ved at dens lengde er t a, og dens retning er parallell med og ensrettet med eller motsatt rettet med retningen til a etter som t er positiv eller negativ. Omvendt, hvis vektoren a og b er parallelle, vil det alltid finnes et reelt tall t slik at b = t a. Hvis a og b har samme retning, er t>0, ellers er t<0. Følgende regneregler gjelder for disse operasjonene: a+b=b+a Kommutativitet av + ( a+b ) +c=a+ ( b+c) a+0=a-0=a a-a=a+(-a)=a+ (-1) a=0 t = 0 0 = 1 = Assosiativitet av + Nøytralt element ved addisjon Inverst element ved addisjon t u a = t u a = u t a 0 a 0 a a ( ) ( ) ( ) ( a+b) a b t = t + t ( ) t + u a = t a+ u a Distributivitet av g og + Distributivitet av + og g MA-132 Geometri 59 Byrge Birkeland

60 a 1 Vi kan også definere en vektor a dividert på et tall t 0 ved at = a. En enhetsvektor er t t en vektor med lengde 1. Hvis a er en vilkårlig vektor 0, kan definere enhetsvektoren i retning av a som vektoren 1 a, som vi også skriver a a a. En mengde der det er definert to operasjoner som tilfredsstiller regnereglene ovenfor, kalles et vektorrom, og dette er det sentrale begrepet i lineær algebra Eksempel Summen av medianvektorene i en trekant er 0. Med medianvektor menes her en vektor fra et hjørne til midtpunktet av den motstående sida. Med betegnelser som på figuren har vi: a'=b+ (a-b)= a+b b'=-a+ b c'=-b+ a og dermed ( ) ( ) a'+b'+c'= a+b -a+ b-b+ a= Vektorprojeksjon og skalarprojeksjon Hvis vi har to vektorer a og b i rommet, kan vi alltid sørge for at de har felles startpunkt ved om nødvendig å flytte den ene vektoren. De kan dermed legges i ett plan, slik som på figuren til høyre. Vi nedfeller normalen fra C på linja gjennom a. Fotpunktet for denne normalen er D. Vektoren uuur uuur AD er da parallell med a = AB, og det uuur uuur finnes da et reelt tall t slik at AD = t AB Vektoren uuur AD kalles da for vektorprojeksjonen av b på a, og t kalles for b cos a,b. skalarprojeksjonen av b på a. Skalarprojeksjonen av b på a er ( ) Eksempel Gitt en terning med hjørner A, B, C, D, A, B, C og D. Da er uuuruuuur uuuruuuuur uuuruuuur uuur AB, CC' = 90, AB, BD ' ' = 135, AB, DC ' = 45. Vektorprojeksjonen av AC ( ) ( ) ( ) MA-132 Geometri 60 Byrge Birkeland

61 uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur på uuur AB er AB uuuur, av BD ' uuur på AB er BA, av CC ' på AB er 0. Skalarprojeksjonen av AC på uuuur uuur AB er 1, av BD ' på AB er -1, av CC ' på AB er Oppgaver I trekanten i eksemplet ovenfor lar vi M betegne det punktet på medianen AA som er bestemt uuuur uuuur 2 ved at AM = AA' 3. Vis at de to andre medianene går gjennom punktet M. Formuler den plangeometriske setningen som dermed er bevist uuur uuur uuur uuur La ABCDEF være en regulær sekskant. Uttrykk vektorene CD, DE, EF og FA ved hjelp av uuur uuur AB og BC Vis at diagonalene i parallellogram halverer hverandre I en trekant OPQ er R et punkt på sida PQ som deler PQ slik at PR k PQ =, der k [ 0,1]. Vis at uuur uuur uuur OR = 1 k OP+ k OQ. Forklar hvordan punktet R beveger seg langs PQ når k varierer fra 0 til1. ( ) I trekanten ABC trekker vi halveringslinjene for vinklene. Skjæringspunktene uuur uuur med de uuuur motstående sidene er hhv. A, B og C. Uttrykk vektorene AA', BB' og CC ' ved hjelp av uuur uuur AB = a og AC = b Gitt et tetraeder med hjørner i A, B, C og D. La vektorene langs sidekantene være uuur uuur uuur AB = p, AC = q, AD = r. Midtpunktet på sida AB kalles M AB, midtpunktet på BC kalles M BC osv. Tyngdepunktet (medianenes skjæringspunkt) i sideflata ABC kalles M D, tyngdepunktet i sideflata ABD kalles M C osv. uuuuur uuuuur a. Uttrykk alle medianvektorene AM A, BM B osv. ved hjelp av p, q og r. b. Vis at alle medianene uuur går gjennom det punktet P som 1 AP = p+q+r er bestemt ved at ( ) 4 c. Bestem delingsforholdene AP: PM A osv. og M ABP: PM CD osv. MA-132 Geometri 61 Byrge Birkeland

62 2.3.7 La ABCD være en vilkårlig firkant. Merk av midtpunktene E, F, G og H på hver av sidene, og trekk linjene som forbinder to og to nabopunkter blant disse. Vis at firkanten EFGH alltid er et parallellogram La ABC være en trekant, M midtpunktet på AC og P midtpunktet på BC. Vis at MP er parallell med AB La ABC være en trekant, og trekk medianene i trekanten. Vis at medianene etter en passende parallellforskyvning danner en trekant. Lenker til løsningsforslag: Koordinatsystem Koordinatsystem i planet. Den franske matematikeren René Descartes oppfant det kartesiske koordinatsystem i planet. Det består i at man legger inn to akser i planet, x-aksen og y-aksen. De er begge kopier av den reelle tallinja, og står normalt på hverandre. Koordinatene til en bestemmes ved at man finner normalprojeksjonene av punktet på hver av aksene, jfr. figuren til høyre. I rommet bruker man også kartesiske koordinatsystem, men vi må ha tre akser, jfr. figuren til høyre. I rommet er det viktig hvordan aksene er orientert. Vanligvis er aksene orientert slik at vi får et høyre-system. Det betyr at hvis du legger høyre hånd på xy-planet slik at håndrota er over et punkt på den positive x-aksen og fingerspissene over et punkt på den positive y-aksen, så vil tommelfingeren peker i retning av den positive z-aksen. Når vi har et kartesisk koordinatsystem i rommet, kan et ethvert punkt i rommet beskrives og identifiseres ved hjelp av det koordinater i forhold til dette koordinatsystemet. Rommet kan identifiseres med 3 = xy, xyz,, av reelle talltripler. { } mengden ( ) 2 På samme måte kan planet kan identifiseres med mengden ( xy) {, xy, } = av reelle tallpar. Vi kan også definere koordinatene til en vektor som koordinatene til endepunktet P: xyz,, for vektoren, når den starter i origo. Vektoren fra origo til et punkt P kalles for ( ) øvrig for punktets stedvektor. Ekvivalent kan vi si at vektorens koordinater er differensen A a, a, a B = b, b, b mellom koordinatene til endepunktet og startpunktet: Hvis = ( 1 2 3) og ( 1 2 3) uuur er to punkter i rommet, så er AB vektoren med koordinater ( b a, b a, b a ) MA-132 Geometri 62 Byrge Birkeland

63 rr r Enhetsvektorene langs koordinataksen kalles gjerne i,jog k eller i, j og k. Disse kalles koordinatsystemets basisvektorer eller grunnvektorer. Hvis koordinatene til en vektor a er ( a1, a2, a 3), vil a = a1 i+ a2 j+ a3 k. Koordinatene ( a1, a2, a 3) kalles også vektorens skalarprojeksjoner, og a1 i, a2 j, a3 k kalles for vektorens vektorprojeksjoner eller vektorkomponenter. I planet har vi følgene sammenheng mellom P xy, og cosinus til koordinatene til et punkt ( ) vinklene mellom strålen fra O til P og koordinataksene: cosu = x, 2 2 x + y cosv = sin u = y. 2 2 x + y Hvis spesielt P ligger på enhetssirkelen, der x + y = 1, er cosu = x og cosv = sin u = y. 2 2 I rommet kan vi på tilsvarende måte se på vinklene u, v, og w mellom strålen fra origo O til punktet Pxyz (,, ).og koordinataksene og få de tilsvarende sammenhengene cosu = x, x + y + z cosv = y, cos w = z. De tre x + y + z x + y + z cosinusverdiene kalles også for retningscosinene uuur til retningen bestemt ved vektoren OP. 2.5 Vektoroperasjoner og koordinater Vektoraddisjon a+b og multiplikasjon av vektor med skalar t a tilsvarer komponentvise operasjoner på koordinatene: Hvis = a, a, a b = b, b, b, er a ( 1 2 3) og ( 1 2 3) = ( a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) a-b= ( a1 b1, a2 b2, a3 b3) t a = ( t a, t a, t a ) a+b, og MA-132 Geometri 63 Byrge Birkeland

64 2.6 Oppgaver Vis at koordinatene til en vektor ikke forandres ved en parallellforskyvning av koordinatsystemet Gitt punktene A( 5,2, 3, ) B( 1, 9,8 ), C( 3,3,4, ) D( 7,15,0) vektorene AB, CD. Skriv opp koordinatene for uuur uuur uuur uuur uuur uuur og AC, og vis at AB+ CD = AC. Hvordan ligger punktene B, C og D? a. Hjørnene i et tetraeder har koordinater uuur A:(3,0,4), B:(-2,5,1), C:(3,-3,0) og D:(1,3,-6) uuur uuur b. Beregn koordinatene til vektorene AB, AC og AD. c. Beregn koordinatene til medianvektorene. En median i et tetraeder er et linjestykke fra et hjørne til tyngdepunktet i den motstående sideflata. d. Finn koordinatene til medianenes skjæringspunkt. e. Hva blir koordinatene i tetraederet i forhold til et koordinatsystem der aksene har samme retning som det opprinnelige, mens origo er lagt i punktet A? Komponentene til en vektor langs en rett linje kalles et retningstallsett for linja. Skriv opp et retningstallsett for linja L gjennom punktene A(3,0,-2) og B(-5,4,-1) Skriv opp et retningstallsett for linja L gjennom punktene A:(3,-2,6) og B:(5,-1,4). Hva er betingelsen for at tallsettet skal være et sett av retningscosiner? Finn retningscosinene for L uuur dersom positiv retning på L velges ensrettet med AB? Undersøk om linja gjennom punktet A(5,2,-3) med retningstall (3:-1:5) innholder punktene P:(-3,2,0), Q:(-1,4,-13) Lenker til løsningsforslag: Skalarproduktet av to vektorer Skalarproduktet av to vektorer a og b er et tall definert slik Skalarproduktet av vektorer: a b = a b cos ab, ( ) Men b cos (, ) ab er lengden av b s vektorprojeksjon på a, eller b s skalarprojeksjon på a, så a ber lengden av a multiplisert med b s skalarprojeksjon på a. Omvendt: Hvis vi kjenner skalarproduktet a b, har vi: MA-132 Geometri 64 Byrge Birkeland

65 Skalarprojeksjonen av b på a er a b a og a b a a b Vektorprojeksjonen av b på a er = 2 a. a a a Vi merker oss at skalarproduktet er et tall, ikke en vektor. Vi ser også at hvis vinkelen mellom to vektorer er rett, så er skalarproduktet av dem lik 0. Vinkelen ( a,b ) mellom to vektorer er pr. definisjon alltid en vinkel mellom 0 og π, så derfor er ( ) = ( ) cos( b,a ) cos( a,b ). Det følger da at a b = b a. Skalarproduktet er en kommutativ operasjon. Derimot er skalarproduktet ikke a b c er et tall ganger vektoren c og er derfor selv en vektor parallell med c, assosiativt: ( ) mens ( ) a b c er vektoren a multiplisert med tallet b cog derfor en vektor parallell med a. Derfor er generelt a ( b c) ( a b) c. Men skalarproduktet er distributivt: a ( b+ c) = a b+ a c. Det kan du se av følgende figur: Vektorprojeksjonen av b+c på a er vektorsummen av vektorprojeksjonene av b og c på a. Vi kan da sette opp følgende regneregler for skalarproduktet: a b = b a ( t a) b = t ( a b) ( ) a b+c = a b+ a c Av definisjonen følger også a b = 0 a = 0eller b = 0eller a b Spesielt kan vi se på tilfellet a=b: cos (, ) 2 a a = a a aa = a, så vi har altså a = a a, slik a a a at en enhetsvektor i retning av vektoren a er e = = = a a a a 2, der 2 a er a a Eksempel I mekanikk er både krefter og veilengder vektorstørrelser. Dersom en konstant kraft representert ved en vektor K virker langs en vei representert ved en vektor s, er det arbeidet som kraften utfører, gitt som skalarproduktet K s Eksempel b a Vektorprojeksjonen av vektor b på vektor a er 2 a. a Bevis. ( ) b a b a cos a,b a a = a = b cos 2 ( a,b) a a a a. Her er cos( ) b a,b lengden av projeksjonen av b på a, mens a a er en enhetsvektor i samme retning som a. MA-132 Geometri 65 Byrge Birkeland

66 2.7.3 Eksempel Finn lengden av en diagonal AC i en terning ABCDA B C D. Fin også lengden av projeksjonen AB 1 av AB på AC. Løsning. Vi har uuuur 2 uuur uuur uuur uuur uuuur AC' = AC AC = ( AB+ BC + CC ') 2 = uuur2 uuur2 uuuur2 uuur uuur AB + BC + CC' + 2 AB BC + uuur uuuur uuur uuuur 2 AB CC' + 2 BC CC ' = uuur2 uuur2 uuuur 2 AB + BC + CC ' = = 3 uuuur Det gir AC ' = 3. Projeksjonen AB 1 av AB på AC er uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuruuur uuur uuuur uuur AB AC' AB AB BC CC AB + AB BC+ AB CC' AB AB1 = uuuur AC' = AC' = AC' = AC ' 2 uuur uuur uuuur 2 AC' AB BC CC 3 3 ( + + ') ( + + ') 2 2 uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur 1uuuur uuuur 1 uur 1 = AC'og AB1 = AC' = Koordinatformler for skalarproduktet La oss nå uttrykke vektoren a og b på koordinatform: a = a1 i+ a2 j+ a3 k og b = b1 i+ b2 j+ b3 k. Siden basisvektorene i, j og k står normalt på hverandre og har lengde 1, og skalarproduktet er distributivt og kommutativt, har vi a b = ( a1 i+ a2 j+ a3 k) ( b1 i+ b2 j+ b3 k) = ab 1 1i i+ ab 1 2i j+ ab 1 3i k. Derfor er + ab j i+ ab j j+ ab jk + abk i+ ab k j+ abk k = ab + ab + ab a b = ab ab ab 3 3 Spesielt er a = a a = a + a + a Koordinatformlene gjør det enkelt å beregne skalarproduktet av to vektorer som er gitt ved sine koordinater. Vi kan da bruke definisjonen av skalarproduktet og en kalkulator til å finne vinkelen mellom vektorene ved å uttrykke cos( a,b) ved hjelp av skalarproduktet av a og b: ( ab) = = cos, a b a b + ab + ab a b a + a + a b + b + b Hvis spesielt = ( e1, e2, e3) cos ( i,e), cos ( j,e), cos( k,e ) e er en enhetsvektor, er = e = e = e MA-132 Geometri 66 Byrge Birkeland

67 2.9 Oppgaver Regn ut (a) k ( i+j ), (b) ( i 2k) ( j+ 3k ), (c) ( ) ( ) i j k i j k Hvis a = i+ 3j 2k og b = 4i 2j+ 4k, finn (a) a b, (b) a, (c) b, (d) a b, (e) ( 2a+ b) ( a 2b ) Finn vinkelen mellom a. a = 3i+ 2j 6kog b = 4i 3j+ k b. c = 4i 2j+ 4k og d = 3i 6j 2k For hvilke verdier av t står vektorene a = t i 2j+ k og b = 2t i+ t j 4k normalt på hverandre? Finn retningscosinene til linja som forbinder (3,2,-4) og (1,-1,2) Finn skalarprojeksjonen av vektoren 2i 3j+ 6k på i+ 2j+ 2k Finn en enhetsvektor som står normalt på både a = 4i j+ 3k og b = 2i+ j 2k Vis at hvis punktet C ligger på en halvsirkel der AB er diameter, så er C en rett vinkel La = a1 a2 a3 a (,, ) være stedvektoren til et gitt punkt i rommet og r = ( xyz,, ) stedvektoren til et punkt i rommet. Beskriv de mengdene som er beskrevet ved følgende vilkår: (a) r-a = 3, (b) ( r-a) a = 0, (c) ( ) = 0 r-a r. MA-132 Geometri 67 Byrge Birkeland

68 La A, B, C og D være fire punkter i rommet. uuur uuur uuur uuur uuur uuur a. Bevis at AB CD+ AC DB+ AD BC = 0 b. Vis at vi av formelen ovenfor kan utlede følgende to geometriske setninger: c. Når to motstående sider i et tetraeder står parvis normalt på hverandre, gjør også det tredje paret det. d. Høydene i en trekant møtes i ett punkt. uuur ur uuur r uuur r Vink: Uttrykk alle vektorene ved AB = p, AC = q og AD = r uuur r uuur r uuur r r I en trekant OAB settes OA= a, OB = b. Uttrykk høyden OP fra O på AB ved a og b Gi et bevis for cosinussetningen ved å benytte skalproduktet av vektorer Bevis følgende setning: Et parallellogram er en rombe hvis og bare hvis diagonalene står normalt på hverandre La, a, b og c være egentlige vektorer (dvs. 0). Hva er den nødvendige og tilstrekkelige a b c = a b c? betingelsen for at ( ) ( ) Hjørnene i en trekant har koordinater P(-3,2,1), Q(2,2,-1) og R(3,0,6) i forhold til et kartesisk koordinatsystem. a. Finn lengden av sidene. b. Finn cosinus til vinklene Hjørnene i et tetraeder har koordinater A(0,0,0), B(5,0,0), C(3,4,2) og D(2,2,7) i forhold til et kartesisk koordinatsystem. La AE betegne høyden fra A på BC og DF høyden fra D på AE. Beregn: uuur a. Koordinatene til AE b. Koordinatene uuur til en enhetsvektor med samme retning som AE uuur c. Koordinatene til AF d. Delingsforholdet AF:FE uuuruuur cos AD, AE (Oppgaven fortsetter på neste side.) e. ( ) MA-132 Geometri 68 Byrge Birkeland

69 uuur uuur f. Kontroller til slutt regningen ved å regne ut DF AE. Løsning her. Vink: AF er projeksjonen av uuur uuur AD på AE Linjene L 1 og L 2 har retningstall hhv. (3:-5:1) og (1:3:-2) Finn retningstall for en linje som står normalt på både L 1 og L Finn ligningen for et plan som står normalt på vektoren a=2i+3j+6k og går gjennom punktet B(1,5,3) Finn avstanden fra origo til planet i forrige oppgave Finn skalarprojeksjonen av a=i-2j+k på b= 4i-4j+ 7k Finn vektorprojeksjonen av a på b, der a og b er som i oppgave Lenker til løsningsforslag: Vektorproduktet Ovenfor har vi sett at skalarproduktet av to vektorer ikke er en vektor, men en skalar, altså et tall. Det finnes også et produkt a b som gir en ny vektor. Det er definert slik Vi tenker oss et plan gjennom vektorene a og b, eventuelt etter at a eller b er blitt parallellforskjøvet slik at de starter i samme punkt. I det felles startpunktet oppreiser vi så en normal. Langs normalen avsetter vi så en vektor c. c skal ha størrelse lik arealet a b sin ab, av det parallellogrammet som utspennes ( ) av a og b. Retningen skal være slik at a, b og c danner et høyre-system. Det betyr at hvis du legger høyre hånds håndrot over spissen av vektor a slik at fingertuppene på pekefingeren, langfingeren, ringfingeren og lillefingeren ligger over spissen av vektor b, så skal tommelfingeren peke i retning av vektor c. Vektoren c kalles vektorproduktet eller kryssproduktet av a og b. a bstår normalt på a og b slik at a, b og a bdanner et høyre-system, og a b = a b a,b sin ( ) Definisjonen ovenfor gir at a b skifter fortegn når vi bytter om på rekkefølgen av a og b (hvorfor?), slik at MA-132 Geometri 69 Byrge Birkeland

70 b a=-a b Spesielt kan vi se på kryssproduktet av basisvektorene i, j og k. Vi finner i j=k j k=i k i=j j i=-k k j=-i i k=-j i i=j j=k k=0 Ved hjelp av disse kan vi nå finne en koordinatformel for kryssproduktet: a b ( a1 i a2 j a3 k) ( b1 i b2 j b3 k) ( ab ab ) i+ ( ab ab ) j+ ( ab ab) k = = For å huske denne formelen er det vanlig å sette opp et skjema: Ledd som svarer til helopptrukken strek nedover til høyre, skal ha positivt fortegn. Ledd som svarer til stiplet strek oppover til høyre, skal ha negativt fortegn Eksempel ( 3, 3,2, ) ( 4,1, 3) a = b = Vi får følgende skjema: Dermed blir ( ) ( ) ( ) ( ( )) a b = 9 2 i+ 8 9 j k = 7 i+ 17 j+ 15 k, og a b har koordinatene (7,17,15) Trippelproduktet Gitt tre vektorer a, b og c. Da kan vi ta kryssproduktet a bog skalarmultiplisere det med vektoren c. a b c, som kalles Da får vi et tall ( ) trippelproduktet eller trevektorproduktet av a, b og c. Noen skriver det også [ a,b,c ]. MA-132 Geometri 70 Byrge Birkeland

71 [ a,b,c ] =a (b c)=(a b) c Trippelproduktet har en interessant geometrisk betydning: Det er volumet av det parallellepipedet som utspennes av vektorene a, b og c hvis disse utgjør et høyre-system; ellers er det minus dette volumet. Se figuren til høyre. Det følger av dette at hvis vi permuterer vektorene a, b og c syklisk, så får vi samme trippelprodukt. Hvis vi bytter om på to vektorer, får vi minus det samme trippelproduktet: [ a,b,c ] = [ c,a,b ] = [ b,c,a] [ b,a,c ] = [ a,c,b ] = [ c,b,a ] =-a,b,c [ ] Trippelproduktet tilfredsstiller også de distributive regnereglene, og skalarer kan settes utenfor: [ a 1 +a,b,c 2 ] = [ a,b,c 1 ] +a,b,c [ 2 ] [ a,b 1 +b,c 2 ] = [ a,b,c 1 ] +a,b [ 2,c] [ a,b,c 1 +c 2] = [ a,b,c 1] +a,b,c [ 2] [ a,b, t c] = [ a, t b,c] = [ t a,b,c] = t [ a,b,c] Vi kan finne koordinatuttrykk for trippelproduktet: [ abc,, ] (( a1 i a2 j a3 k) ( b1 i b2 j b3 k) ) ( c1 i c2 j c3 k) (( ab 2 3 ab 3 2) i+ ( ab 3 1 ab 1 3) j+ ( ab 1 2 ab 2 1) k) ( c1 i+ c2 j+ c3 k) = ( ab ab ) c + ( ab ab ) c + ( ab ab ) c = = = abc + abc + abc abc abc abc [ a,b,c] = abc abc abc abc abc abc Denne formelen kan også huskes ved hjelp av et skjema, akkurat som for kryssproduktet, og regelen er den samme som for vektorproduktet: Ledd som svarer til helopptrukken strek nedover til høyre, skal ha positivt fortegn. Ledd som svarer til stiplet strek oppover til høyre, skal ha negativt fortegn. Vi merker oss at [ a,b,c ] = 0 hvis og bare hvis a, b og c kan legges i samme plan. MA-132 Geometri 71 Byrge Birkeland

72 Eksempel La = ( 5, 2,3, ) = ( 2,1,4, ) = ( 1,1, 3) a b c. Vi setter opp skjemaet: og får [ abc,, ] = 51 ( 3) + ( 2) ( ( 3) 2 ( 2) = Eksempel Gitt punktene A:1, ( 2,2, ) B: ( 3, 2,5 ), C: ( 2,0,3). Punktet D med koordinater uuur uuur uuur ( 6, 8,11) ligger i plan med ABC, fordi AB = ( 2,0,3, ) AC = ( 1,2,1 ), AD = ( 5, 6,9) uuuruuuruuur får AB, AC, AD = = 0 ifølge følgende skjema: og vi 2.12 Oppgaver Regn ut (a) i j=k, (b) j k=i, (c) k ì=j, (d) k j=-j k=-i, (e) i i=0, (f) j j= La a = 2i 3j k og = b i j k. Finn (a) a b, (b) b a, (c) ( ) ( ) a+b a-b La a = 3i j+ 2k, b = 2i+ j k og = c i i k. Finn (a) ( a b ) c, (b) ( ) a b c Finn arealet av trekanten med hjørner P(1,3,2), Q(2,-1,1), R(-1,2,3) Forklar hvorfor ( a b ) ( a c ) er parallell med a. MA-132 Geometri 72 Byrge Birkeland

73 Bevis at ( ) ( ) 2 2 a b + a b = a b uuur uuur uuur uuur uuur uuur Vis at hvis A, B og C er hjørner i en trekant, så er AB BC = BC CA= CA AB. Vis sin sin sin hvordan sinusproporsjonen A = B = C følger av dette. a b c Vis uuur at uuur om A, uuur B, C uuur og D uuur er fire uuur punkter uuur i rommet, uuur uuur så uuur er AB CD = DA DB+ CB CA= AC AD+ BD BC Regn ut ( 2 3 ) ( ) ( 3 ) Vis at a a c = a.. ( ) 0 i j i+j-k i k. b.. a ( b c) = b( a c) ca ( b ) c. ( a b) c = b( a c) ab ( c ) d.. ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c ) e.. a ( b c) + b ( c a) + c ( a b) = 0 f.. [ abc,, + t a+ u b] = [ abc,, ] g.. [ a+ bb, + cc, + a] = 2 [ abc,, ] Forklar at volumet av et tetraeder med hjørner A, B, C og D er V = uuuruuuruuur AB, AC, AD Beregn volumet av tetraederet med hjørner A(-2,3,0), B(1,7,-2), C(-2,7,-5) og D(1,5,-3) A(1,3,-1), B(5,2,1), C(2,4,3), A (2,-1,6), B (6,-2,8) og C (3,0,10) er seks punkter i rommet. Vis at de er hjørner i et trekantet prisme, og beregn volumet av dette prismet Punktene A(4,0,1), B(3,-1,5) og C(2,3,6) bestemmer et plan. a. Hva må til for at et punkt P(x,y,z) skal ligge i dette planet? b. Påvis at punktet Q(3,2,1) ikke ligger i planet. MA-132 Geometri 73 Byrge Birkeland

74 c. Bestem punktene A(a,0,0), B(0,b,0) og C(0,0,c) slik at QA, QB og QC alle parallelle med planet ABC. d. Undersøk om noen av punktene D(1,4,-3), E(-5,3,0) eller F(3,3,3) ligger på samme side som Q av dette planet uuuruuuruuur Vis ved å bruke regnereglene for trippelproduktet at hvis AB, AC, AD = 0, så er også uuuruuuruuur uuuruuuruuur AD, BD, CD = 0. Hva uttrykker ligningen AB, AC, AD = 0 geometrisk? Vis at [ ] [ ] 2 a bb, cc, a = abc,, La a, b og c være tre vilkårlige vektorer, og la a. Vis at hvis [,, ] 0 b. Hvis [ abc,, ] = V, så er [ a b c ] a' = b c,, b ' = c a,, c' = a b abc,,. [ abc ], [ abc] og [ ] abc, så er (a) a' a = b' b = c' c = 1 og a' b = a' c = 0, b' a = b ' c = 0 ', ', ' = 1V c. Vis at hvis a, b og c ikke ligger i ett plan, så ligger heller ikke a, b og c i ett plan. Ligningene for rette linjer og plan Lenker til løsningsforslag Ligningen for rette linjer og plan En rett linje er bestemt uuur ved et punkt A på linja og en vektor u langs linja. Hvis P er et vilkårlig punkt uuur på linja, må AP være uuur parallell uuur med u, og da må det finnes et reelt tall t slik at AP = t u eller ekvivalent OP = OA+ t u. En parameterfremstilling for en rett linje gjennom A med retningsvektor u er uuur uuur OP = OA+ t u Eksempel Den rette linja gjennom A(1,2,3) med retningsvektor = ( 2,1,2) uuur OP = xyz = + t (,, ) ( 1,2,3) ( 2,1,1) eller ekvivalent u har parameterfremstillingen x = 1+ 2t y = 2 + t z = 3 + t Spesielt kan u være gitt ved at vi har to punkter A og B på linja. uuur uuur uuur En parameterfremstilling for en rett linje gjennom punktene A og B er OP = OA+ t AB MA-132 Geometri 74 Byrge Birkeland

75 x a1 R1 eller på koordinatform: y = a + t R eller 2 2 z a 3 R 3 x a1 b1 a1 y = a + t b a, t z a 3 b3 a 3 x a1 y a2 z a3 Du kan også eliminere t mellom koordinatligningene og få = =. b a b a b a Eksempel Den rette linja gjennom A(-1,1,2) og B(3,2,4) har parameterfremstilling ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xyz,, = 1,1,2 + t 3 1,2 1,4 2 = 1,1,2 + t 4,1,2 eller Vi kan eliminere t og få x + 1 y 1 z 2 = = Et plan kan også være definert på flere forskjellige måter: x = 1+ 4t y = 1+ t z = 2+ 2t Du kan ha gitt et punkt A i planet og en vektor n som uuur står normalt på planet. Et punkt P(x,y,z) ligger da i planet hvis og bare hvis n står normalt på AP. Uttrykt ved hjelp av skalarproduktet: Ligningen for et plan gjennom A med n som normalvektor er: n uuur uuur = n eller ( x a ) + n ( x a ) + n ( x a ) = ( OP OA) Ligningen for et plan gjennom et punkt P0( x0, y0, z 0) med normalvektor = ( n1, n2, n3) altså n uuur PP 0 = 0. Avstanden fra et punkt (,, ) n er P xyz, som ikke nødvendigvis ligger i planet, til uuur planet er skalarprojeksjonen av vektoren PP 0 på normalen n, altså uuur n PP n 0 1( x x0) + n2 ( y y0) + n3( z z0) eller på koordinatform. n n + n + n Hvis ligningen for et plan er A x+ B y+ C z+ D = 0, er avstanden med fortegn fra et vilkårlig punkt Pxyz (,, ) til planet A x+ B y+ C z + D. Hvis fortegnet er +, ligger P på A + B + C samme side av planet som normalen ( ABC,, ) peker mot, ellers ligger det på motsatt side. Vi kan også sette opp en parameterfremstilling av planet: Parameterfremstillingen for et plan gjennom punktet A med vektorer u og v i planet er x a1 u1 v1 uuur uuur OP = OA+ t u+ s v eller koordinatvis y a 2 t u 2 s v = for ts,.. z a 3 u 3 v 3 MA-132 Geometri 75 Byrge Birkeland

76 Eksempel La = ( 2,-1,3) ( ) ( x y z ) ( x ) ( y ) ( z ) n og A=(2,3,1). Ligningen for planet gjennom A normalt på n er da 2, 1,3 2, + 1, 3 = = 0 2x y+ 3z = 14 Avstanden fra origo til dette planet er = = ( ) 2 Du kan også ha gitt planet ved tre punkter A, B og C i planet. Dette tilfellet kan vi føre tilbake til det forrige: Ett uuur av punktene uuur spiller rollen som A, og n beregnes for eksempel som kryssproduktet AB AC. Ligningen for planet kan da skrives ved hjelp av trippelproduktet: uuuruuuruuur uuur Ligningen for et plan gjennom tre oppgitte punkter A, B og C: AB, AC, OP OA = Eksempel Ligningen for planet gjennom A(1,2,-1), B(3,1,-2) og C(4,-2,5) er ( ) ( ) = = x 1 y 2 z+ 1 x 1 y 2 z+ 1 ( x ) ( ) ( y )( ) ( z ) ( ) = 0 eller 10 x 1 15 y 2 5 z+ 1 = 10x 15y 5z = 0 ( ) ( ) ( ) 10x+ 15y+ 5z = 35 2x+ 3y+ z = Eksempel En parameterfremstilling av planet fra forrige eksempel er x x = 1+ 2t + 3u y = 2 + t 1 + u 4 eller på komponentform: y = 2 t 4u. z z = 1 t + 6u Her svarer A til t=u=0, B til t=1, u=0 og C til t=0, u= Oppgaver Skriv opp en ligning for planet gjennom origo med normalretning (1:3:-2) Skriv opp en ligning for planet gjennom punktet (2,-11,4) normalt på y-aksen Finn en ligning for planet gjennom A(3,0,-2), B(6,3,1) og C(3,-2,3). MA-132 Geometri 76 Byrge Birkeland

77 La fem plan αβγδε,,,, være gitt ved ligningene: α :3x 2y+ z 5= 0 β :5x y z+ 2= 0 γ :4x+ 5y+ 2z 1= 0 δ : x 3y+ 3z 12 = 0 ε :2x 6y+ 6z+ 5= 0 Vis at: a. α, β og γ skjærer hverandre i ett punkt. b. α, β og δ skjærer hverandre langs en linje. c. α, β og ε har intet punkt felles, men skjærer hverandre to og to langs tre parallelle linjer Finn den enhetsvektoren langs normalen til planet 3x+ 4y 2z+ 8= 0 som peker til samme side av planet som punktet A(-5,-1,2) ligger Finn cosinus til vinkelen mellom planene α og β i oppgave 62. Vink: Vinkelen mellom planene er lik vinkelen mellom normalene Gjør rede for at skjæringslinja mellom to plan er parallell med vektoren a b, når a og b er normaler til hver sitt av de to planene. Bruk dette til å finne et retningstallsett for linja som er skjæringslinja mellom planene med ligninger 2x 5y+ 4z 3= 0 3x y+ 2z+ 4 = Finn skjæringspunktet mellom planet med ligningen 2y 4z + 5= 0 og linja i forrige oppgave La punktene A(2,0,0), B(0,4,3), C(2,3,1) og P(-3,5,1) være gitt. Finn avstanden fra P til planet gjennom A, B og C Lenker til løsningsforslag MA-132 Geometri 77 Byrge Birkeland

78 MA-132 Geometri 78 Byrge Birkeland

79 3 Matriser og geometri 3.1 Matriseregning Kolonnevektorer Et punkt i planet, hhv. i rommet, kan identifiseres med et par P(x,y) av koordinater, hhv. et uuur trippel P(x,y,z), eller med stedvektoren OP.. Ofte skrives koordinatparet i en kolonne x x y.(eller y i rommet). Mengden av slike kolonner kan organiseres til et vektorrom ved å z definere addisjon og multiplikasjon med et reelt tall slik: x z x+ z x t x i) ii) t y + u = = y+ u y t y Disse operasjonene tilfredsstiller regnereglene for de tilsvarende vektoroperasjonene, jfr. avsnittet 2.1 om vektorer Lineære avbildninger og matriser En avbildning A : 2 2 av planet eller 3 3 av rommet kan oppfattes som en x x ' x funksjon som til hver kolonne y (eller y x ' ) tilordner en ny kolonne z y ' (eller y ' ). En z ' viktig klasse av slike avbildninger er de lineære avbildningene, som er de som bevarer vektorromsstrukturen: Lineære avbildninger A er definert ved at (i) A( x+y) = A( x) + A( y) og ( ii) At ( x) = t A( x ), der x og y er kolonnevektorer og t er et reelt tall. Vi må da ha at x A = A x + y = x A + y A y Hvis vi setter 1 a11 0 a12 A =, A = 0 a 21 1 a, kan vi skrive: 22 x a11 a12 a11x+ a12 y A = x y y a + = 21 a 22 a21x+ a22 y a11 a12 Et rektangulært tallskjema A = a21 a kalles for en matrise, og vi kan definere: 22 MA-132 Geometri 79 Byrge Birkeland

80 a11 a12 Produktet av en matrise A = a21 a og en koordinatvektor X 22 a11 a12 x1 a11x1 + a12x2 A X = a21 a 22 x = 2 a21x1 a22x + 2 x er definert ved at 1 = x 2 Legg merke til at det som står i rad nr. n (for n=1,2) i A X er skalarproduktet av radvektor nr. n i A og kolonnevektoren X. På figuren nedenfor kan du se effekten av å forandre på elementene i matrisen A og vektoren X: Her er en lenke til en Cabri-fil der du kan variere elementene i en matrise og i vektoren X og se hvilken effekt det har på vektoren A X. La oss nå se hva som skjer hvis vi setter sammen avbildningen A ovenfor med en annen b11 b12 lineær avbildning B som har matrisen b21 b. Vi finner 22 ( ( )) a x+ a y b b a x+ a y = = = B A X B a 21 x + a 22 y b 21 b 22 a 21 x + a 22 y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b11 a11x+ a12y + b12 a21x+ a22y ba b12a21 x+ b11a12 + b12a22 y = = b a x+ a y + b a x+ a y b a + b a x+ b a + b a y ba b12a21 ba b12a22 x b21a11 + b22a21 b21a12 + b22a 22 y Basert på denne utregningen er det nærliggende å definere; Produktet av matrisene til B og A er definert ved at:: b11 b12 a11 a12 ba b12a21 ba b12a22 B A= b21 b 22 a21 a = 22 b21a11 b22a21 b21a12 b22a Legg merke til at det som står i rad nr. r og kolonne nr. k i B A er skalarproduktet av den r-te radvektoren i B og den k-te kolonnevektoren i A. Matrisemultiplikasjon har mange av de samme egenskapene som vanlig multiplikasjon av reelle tall, men ikke alle: 1. Identitetsmatrisen I2 1 0 = virker som nøytralt element ved matrisemultiplikasjon Matrisemultiplikasjon er en assosiativ operasjon (dvs. ( A B) C = A ( B C) ), men 3. Matrisemultiplikasjon er ikke kommutativ (dvs. generelt er A B B A). 4. Du kan ikke finne en multiplikativ invers til enhver matrise. For at den inverse til en det A = a a a a være 0.det(A) eller A kalles for matrise A skal eksistere, må ( ) determinanten til A. Den inverse er i så fall 1 1 a22 a12 1 a22 a12 A = det( A) a21 a = 11 a11a22 a21a12 a21 a. 11 MA-132 Geometri 80 Byrge Birkeland

81 3.2 Matriser til noen kjente avbildninger Før vi går gjennom matrisene til noen kjente avbildninger trenger vi å minne om begrepet polarkoordinater, som vi trenger i forbindelse med rotasjonsmatriser: Polarkoordinater Vanligvis gir vi koordinatene (x,y) til et punkt P i planet eller rommet i forhold til et rektangulært eller kartesisk koordinatsystem. I mange sammenhenger er det imidlertid vel så praktisk å oppgi punktets, r, θ, der r er avstanden polarkoordinater ( rv ) eller ( ) fra origo (0,0) til punktet og v er den vinkelen som den positive x-aksen må roteres for å få den til å falle sammen med strålen fra origo til P. Sammenhengen mellom rektangulære og polare koordinater er r = x + y x = r cosθ og y x y y r sin tan θ,cos θ,sinθ = θ = = = x x + y x + y Mange kurver kan uttrykkes enklere i polarkoordinater enn i kartesiske koordinater. F. eks. blir ligningen for en sirkel med radius R og sentrum i origo rett og slett r=r, mens den i kartesiske koordinater som kjent er x + y = R. Et annet eksempel er Archimedes spiral, som i polarkoordinater har ligningen r = k θ, der k er en konstant. ser ligningen slik ut: 2 2 x + y = k Arctan y, og man kan vise at dette kan omformes til en sjettegradsligning i x x og y. Polarkoordinater er derfor det beste til å beskrive denne kurven på en enkel måte Rotasjoner Et punkt P(x,y) kan altså uttrykkes ved hjelp av polarkoordinater ( r, θ ), der x rcos ( θ), y r sin ( θ) rotasjonene ( r, θ α) = =. Hvis punktet roteres en vinkel α, blir polarkoordinatene etter +. Følgende formler er pensum i videregående skoles matematikkpensum, og du kan finne dem matematiske formelsamlinger: cos( θ + α) = cosθ cosα sinθ sinα sin( θ + α) = sinθ cosα + cosθ sinα Derfor er: ( cosθ cosα sinθ sinα) ( sinθ cosα cosθ sinα) r cos( θ + α) r r sin( θ α) = = + r + og dermed: cosα sinα r cosθ cosα sinα x = sinα cosα r sinθ sinα cosα y MA-132 Geometri 81 Byrge Birkeland

82 Matrisen til en rotasjon vinkelen α om origo er cosα sinα Rot ( α ) = sinα cosα Speiling om en linje Speiling om x-aksen avbilder punktet ( xy, ) på punktet ( x, y) x 1 0 x = y 0 1 y, og det betyr: Speiling om x-aksen er en lineær avbildning med matrise. Men Speiling om en annen linje L enn x-aksen gjennom origo kan vi få til slik: Hvis vinkelen mellom x-aksen og linja er v, roterer vi først punktet vinkelen -v om origo, deretter speiler vi om x-aksen, og så roterer vi tilbake igjen vinkelen v. Matrisen til denne sammensatte avbildningen er cosα sinα 1 0 cosα sinα cosα sinα cosα sinα sinα cosα = = 0 1 sinα cosα sinα cosα sinα cosα 2 2 cos α sin α cosα sinα + sinα cosα cos2α sin2α 2 2 = sinα cosα + cosα sinα sin α cos α sin2α cos2α Matrisen til en speiling om en linje som danner vinkelen α med x-aksen, er cos2α sin2α S( α ) = sin2α cos2α Homotetier Similariteter og homotetier er definert i avsnitt 1.5. En homoteti er prototypen på en similaritet. Det er en avbildning som multipliserer alle avstander fra ett bestemt punkt, homotetisenteret, med et bestemt tall r, homotetifaktoren. t Matrisen til en homoteti med homotetifaktor t og origo som homotetisenter er Translasjoner og homogene koordinater Vi har nå sett at rotasjoner om origo og speilinger om en linje som går gjennom origo, kan uttrykkes ved hjelp av matriser med 2 rader og 2 kolonner. Rotasjoner og speilinger er begge isometrier eller kongruensavbildninger. Vi mangler imidlertid en viktig klasse av kongruens- 0 t MA-132 Geometri 82 Byrge Birkeland

83 avbildninger, nemlig translasjoner eller parallellforskyninger. En parallellforskyvning virker x x+ a x a som et konstant tillegg til hver av koordinatene: y = + y+ b y b a. Translasjoner kan ikke uten videre uttrykkes som produktet av en 2 2 matrise med x koordinatvektoren y. Det finnes en løsning på dette problemet: homogene koordinater. Det går ut på at man bruker en ekstra koordinat, 1, slik at koordinatvektoren til et punkt er x y x istedenfor 1 y. x De homogene koordinatene til punktet P(x,y) er y 1 Matriser til lineære avbildninger må da ha 3 rader og 3 kolonner istedenfor 2 rader og 2 kolonner. Vi utvider bare de tilsvarende matrisene for kartesiske koordinater med en ekstra rad og en ekstra kolonne av 0-er, bortsett fra elementet nederst til høyre, som er 1: Matrisen til en rotasjon vinkelen θ i homogene koordinater er cosθ sinθ 0 sinθ cosθ Matrisen til en speiling om x-aksen i homogene koordinater er Matrisen til en speiling om en linje gjennom origo som danner vinkelen α med x-aksen, er i cos2α sin2α 0 homogene koordinater sin2α cos2α La oss så se på translasjon: Multiplikasjon av en matrise med en kolonnevektor og av en matrise med en annen matrise defineres som for matriser med 2 rader og 2 kolonner. Da blir: 1 0 a x 1 x+ 0 y+ a 1 x+ a 0 1 b y 0 x 1 y b y b = + + = x+ 0 y Vi kan da konkludere: 1 0 a a Matrisen til en translasjon vektoren b er i homogene koordinater 0 1 b Alle isometrier, dvs. rotasjoner, speilinger, translasjoner og sammensetninger av disse, kan nå beskrives ved hjelp av 3 3 matriser, og vi får en enkel måte å sette sammen alle typer av MA-132 Geometri 83 Byrge Birkeland

84 isometrier på ved hjelp av matrisemultiplikasjon. Vi kan også finne matrisen til en homoteti med et vilkårlig homotetisentrum som sammensetning av to translasjoner og en homoteti med origo som homotetisentrum Gliderefleksjoner En gliderefleksjon er en sammen setning av en translasjon og en speiling. En gliderefleksjon er bestemt ved et punkt på speilaksen og en vektor langs speilaksen, som da også brukes som translasjonsvektor. Alternativt kan vi oppgi et punkt på speilaksen, vinkelen mellom speilaksen og x-aksen og lengden av translasjonsvektoren. Matrisen til en gliderefleksjon kan nå beregnes ved hjelp av homogene koordinater. Se oppgavene nedenfor. 3.3 Oppgaver La A =,,,,, 3 4 = 2 1 = = = = B C a b c Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C B A, (f) ( A B) C, (g) ( ) Kontroll at A I = I A= A, der A er en vilkårlig 2 `2 matrise, og identitetsmatrisen. I 1 0 = 0 1 er Kontroller at A 1 a11 a a22 a12 1 a22 a 12 = a a = = det( A) a a a a a a a a La A, B og C være som i oppgave 1. a. Finn A, B og C b. Finn ( A B) 1 og verifiser at ( ) A B B A =. Gjelder dette generelt? a. Hva er matrisen til en rotasjon 90 om origo? b. Hva blir bildet av et punkt P(x,y) ved en slik rotasjon? c. Kontroller ved matrisemultiplikasjon at punktet P blir avbildet på seg selv, når rotasjonen anvendes 4 ganger etter hverandre. MA-132 Geometri 84 Byrge Birkeland

85 3.3.6 Kontroller at matrisen til en rotasjon vinkelen α etterfulgt av en rotasjon vinkelen β er det samme som matrisen til en rotasjon vinkelen α + β Kontroller at den inverse av matrisen til en rotasjon vinkelen α er det samme som matrisen til en rotasjon vinkelen α Finn matrisene til speiling om (a) y-aksen, (b) linja y=x, (c) linja som danner 30 graders vinkel med x-aksen Finn matrisen i homogene koordinater til en rotasjon vinkelen θ om et vilkårlig punkt A(a,b) Finn matrisen i homogene koordinater til en speiling om en linje gjennom (a,b) som danner vinkelen θ med den positive x-aksen a. Linjene l og m går gjennom origo. Linja l danner vinkelen θ med x-aksen, og linja m danner vinkelen θ + α med x-aksen, slik at linjene danner vinkelen α hverandre. Sett opp matrisene til speilingene S l og S m om de to linjene. Finn så matrisen til sammensetningen av de to speilingene. Hva slags avbildning blir dette? b. Finn matrisen i homogene koordinater til en speiling om en linje som går gjennom et punkt A(a,b) og danner vinkelen θ med den positive x-aksen. c. To parallelle linjer l og m danner vinkelen θ med den positive x-aksen. u er en vektor som står normalt på begge linjene og har startpunkt på l og endepunkt på m. Finn matrisen til sammensetningen av speiling om l med speiling om m. Hva slags avbildning blir dette? Finn matrisen i homogene koordinater til en homoteti med homotetifaktor t og homotetisenter i et vilkårlig punkt A(a,b) a. Finn matrisen i homogene koordinater til en gliderefleksjon langs den positive x-aksen en distanse d. Kontroller resultatet på et punkt, for eksempel (1,1) med d=2. b. Finn matrisen i homogene koordinater til en gliderefleksjon langs en rett linje gjennom origo som danner vinkelen θ med x-aksen og med translasjonsdistanse d. c. Finn matrisen i homogene koordinater til en gliderefleksjon med speilakse bestemt ved en linje gjennom et punkt A(a,b) som danner vinkelen θ med x-aksen og med translasjonsdistanse d. MA-132 Geometri 85 Byrge Birkeland

86 Lenker til løsningsforslag MA-132 Geometri 86 Byrge Birkeland

87 4 Grupper i geometri 4.1 Definisjoner La G være en mengde. En binær operasjon på mengden G er en funksjon o : G G G, gh, tilordner et nytt element go h. altså en funksjon som til hvert par av elementer ( ) Funksjonsnavnet skrives altså mellom argumentene; dette kalles infix notasjon. Vi bruker i utgangspunktet tegnet o for en binær operasjon for at man ikke skal tenke på en bestemt kjent operasjon, som addisjon, multiplikasjon osv., selv om disse er eksempler på binære operasjoner. Begrepet gruppe er sentralt i mange deler av matematikken og dens anvendelser. En gruppe er en mengde G sammen med en binær operasjon o som tilfredsstiller følgende aksiomer: 1. o er assosiativ: ( ) = ( ) ao boc aob ocfor alle abc,, G 2. Det finnes et (multiplikativt) nøytralt element e G slik at eoa= ao e= a for alle a G. 3. For hvert element g G finnes det et element g kalles den (multiplikativt) inverse til g. 1 G slik at 1 1 g g = g g = e o o. Gruppeoperasjonen tilfredsstiller ikke nødvendigvis den kommutative lov aob = bo a for alle a G. Hvis den gjør det, sies gruppen å være kommutativ eller abelsk. Akkurat som for reelle tall kan vi definere potenser av et element rekursivt: 0 g = e og g g g element g, som i så fall kalles for en generator for gruppen. En slik gruppe sies å være 2 3 egg,,, g,.... En gruppe G kan ha et endelig n n 1 = o for n>0. Noen grupper består bare av det nøytrale elementet e og potenser av et syklisk. En syklisk gruppe er altså på formen { } antall elementer, og dette antallet kalles i så fall ordenen til gruppen og skrives G eller n ord G. En endelig syklisk gruppe av orden n er da på formen { eg,, K, g 1 } Sykliske grupper er nødvendigvis kommutative:, der m n m+ n n+ m n m g og = g = g = g o g. n g g 1 = e Eksempel: Mengden av hele tall danner en gruppe med operasjonen +. Det nøytrale elementet er 0, og det inverse til n er n. er en uendelig syklisk, abelsk gruppe. Mengden av reelle tall er også en gruppe ved operasjonen +. Mengden av reelle tall modulo 2π danner også en gruppe ved gruppeoperasjonen xy, a Mod( x+ y,2 π ). 2π Eksempel: n Mengden = { 0,1, K, n 1} danner en gruppe under operasjonen ( ) n xy, a Mod( x+ yn, ) (eller resten ved divisjonen ( x+ y): n). Det nøytrale elementet er 0, og det inverse elementet til a er n-a. n er en endelig abelsk syklisk gruppe av orden n generert av 1. For endelige grupper kan vi sette opp en multiplikasjonstabell, for eksempel: MA-132 Geometri 87 Byrge Birkeland

88 Du kan da bruke denne tabellen til å finne ethvert produkt ved å ta første faktor fra første kolonne, andre faktor fra første rad og produktet ved krysspeiling i tabellen. Du kan også finne den inverse til ethvert element g ved å lete etter det nøytrale element i den raden (eller kolonnen) der g er. Det inverse elementet finner du da i øverst i den tilsvarende kolonnen (evt. til venstre i den tilsvarende raden) Eksempel: Symmetrigrupper I vårt geometrikurs er det symmetrigrupper som er den viktigste anvendelsen av gruppebegrepet: La F være en plan figur, en delmengde av planet ( F) 2. En bijeksjon ϕ : 2 2 som er slik at ϕ = F kalles en symmetri av F. Mengden av symmetrier av F danner en gruppe ved funksjonssammensetning, symmetrigruppen til F Eksempel: Rotasjoner 1 Mengden av rotasjoner omkring et fast punkt danner en gruppe S ved funksjons- Rot α står for rotasjon vinkelen α om origo, og vi har sammensetning. Hvis ( ) α ( β) = α + β Rot( ) o Rot Rot( ). Gruppeoperasjonen tilsvarer da addisjonen i gruppen 2π av reelle tall modulo 2π, eventuelt 360 av reelle tall modulo 360, hvis vinkler måles i radianer. 4.2 Oppgaver Vis at hvis g 1 og g er to elementer i en gruppe, så er ( ) g og = g o g Undersøk om følgende er grupper. a. Mengden + av naturlige tall ved addisjon b. Mengden av rasjonale ved addisjon c. Mengden av 2 2-matriser ved addisjon. d. Mengden av 2 2-matriser ved matrisemultiplikasjon. e. Mengden av 2 2 matriser slik at a11a22 a21a12 0 ved matrise- multiplikasjon. a a a a MA-132 Geometri 88 Byrge Birkeland

89 a b I mengden av rasjonale tall >0 er det definert en binær operasjon o ved at ao b =. 2 + Vis at blir en gruppe ved denne operasjonen. Hva blir det nøytrale element? Hva blir det inverse av g ? Vis at hvis (, ) boa = co a b = c Vis hvis (, ) G o er en gruppe, så gjelder forkortingslovene: aob = ao c b = c og G o er en gruppe, så har ligningene ao x = b og xo a = b entydige løsninger i G Vis at det bare kan være ett nøytralt element i en gruppe, og at det inverse til et gitt element er entydig bestemt a 0 La G være mengden av 2 2-matriser på formen 0 b, der a og b er 1 eller -1. Vis at G er en gruppe ved matrisemultiplikasjon, og sett opp en multiplikasjonstabell Lenker til løsningsforslag Permutasjoner La An = {1,2, K, n}. En permutasjon av An er en avbildning σ : An An som er 1-1 og på. Det betyr at til hvert element x An i A n tilordnes ett og bare element σ ( x) An., og omvendt: Til hvert element y An fins det ett og bare ett element x An slik at y σ ( x) =. Det betyr å arrangere de n tallene i en eller annen rekkefølge. Det er et kjent resultat fra n! = n n 1 n 2 L 321 måter. elementær kombinatorikk at dette kan gjøres på nøyaktig ( )( ) Mengden av slike permutasjoner kalles den symmetriske gruppen S n på n bokstaver. En permutasjon oppgis ofte ved at man setter opp en matrise med 2 rader. I første rad står tallene 1,2, K,n i den naturlige rekkefølgen. I andre rad står bildene av tallene ved permutasjonen. { } Elementene i den symmetriske gruppen Sn er altså permutasjoner, som er bijektive avbildninger av A n på seg selv. Gruppeoperasjonen i Sn er funksjonssammensetning. MA-132 Geometri 89 Byrge Birkeland

90 4.3.1 Eksempel er den permutasjonen som avbilder 1 på 3, 2 på 1 og 3 på 2. Vi kan spesielt se på K n permutasjonen , som kalles en syklisk permutasjon, og ofte noteres K K n. ( ) Eksempel ρ1 = , ρ2 = Da er ρ1 o ρ2 = , som vi kan ρ2 ρ1 ρ2 ρ1 ρ2 ρ1 ρ2 ρ1 beregne slik: 1 4 1, 2 3 4, 3 2 3, Det nøytrale elementet er identitetsavbildningen, som for S4 kan skrives , og vi kan finne den inverse til en permutasjon ved å lese matrisen nedenfra og opp : Hvis P er matrisen til en permutasjon som vi skal invertere, setter vi opp en ny matrise Q med 2 rader og med tallene 1,2,,n i første rad. Så finner vi 1 i andre rad av P, og ser hvilket tall som står over dette i første rad. Dette tallet setter vi så under 1 i Q. Vi gjør så tilsvarende med 2 osv. F. eks. er =, = Den n-te dihedrale gruppen En regulær n-kant har n rotasjonssymmetrier, nemlig rotasjonene vinklene 2 π n i for i = 0,1,..., n 1. I tillegg har den n speilsymmetrier om diagonalene gjennom origo hvis n er et partall og midtnormalene på sidene. Symmetrigruppen for den regulære n-kanten kalles den dihedrale gruppen D n. Vi kan identifisere disse symmetriene med de tilsvarende permutasjonene av hjørnene. Symmetrigruppen til den regulære n-kanten kalles for den dihedrale gruppen Dn og består av n rotasjoner og n speilinger om linjer gjennom origo som danner vinkelen π / n (180 n )med hverandre. MA-132 Geometri 90 Byrge Birkeland

91 4.4.1 Eksempel: D 4 For en regulær firkant, altså et kvadrat, har vi følgende symmetrier: R0 = , identitetsavbildningen, R1 = , rotasjon R2 = , rotasjon 180, R3 = , rotasjon 270, S1 = , speiling om x-aksen, S2 = , speiling om linja y=x, S3 = , speiling om y-aksen, S4 = , speiling om linja y=-x. Vi kan nå sette opp en multiplikasjonstabell for gruppen D 4 : D 4 I R 1 R 2 R 3 S 1 S 2 S 3 S 4 I I R 1 R 2 R 3 S 1 S 2 S 3 S 4 R 1 R 1 R 2 R 3 I S 2 S 3 S 4 S 1 R 2 R 2 R 3 I R 1 S 3 S 4 S 1 S 2 R 3 R 3 I R 1 R 2 S 4 S 1 S 2 S 3 S 1 S 1 S 4 S 3 S 2 I R 3 R 2 R 1 S 2 S 2 S 1 S 4 S 3 R 1 I R 3 R 2 S 3 S 3 S 2 S 1 S 4 R 2 R 1 I R 3 S 4 S 4 S 3 S 2 S 1 R 3 R 2 R 1 I 4.5 Undergrupper I tabellen ovenfor legger vi merke at hvis vi multipliserer sammen to rotasjoner, blir resultatet alltid selv en rotasjons. En slik mengde galles en undergruppe. La { G, o } være en gruppe. En delmengde H G kalles en undergruppe av G hvis den er lukket under gruppeoperasjonen og inversjon, dvs. vi har alltid go h H og g g H og h H. 1 H hvis Vi har da at mengden av rotasjoner S n av den regulære n-kanten er en undergruppe av den dihedrale gruppen D n. Den er en syklisk gruppe, og derfor en syklisk undergruppe av D n. Vi har også andre undergrupper med bare to elementer, én for hver av speilingene: I, S, IS,, I, S, IS,. { } { } { } { } MA-132 Geometri 91 Byrge Birkeland

92 4.6 Homomorfier og isomorfier En homomorfi er en avbildning mellom grupper ϕ :( G, o ) ( H,* ) slik at ϕ( g1o g2) = ϕ( g1) * ϕ( g2) i H er bildet av nøyaktig ett element i G), kalles en isomorfi. ( G, o) og (,*) isomorfe..en homomorfi som er bijektiv (dvs. som er slik at hvert element H sies da å være En homomorfi bevarer altså gruppeoperasjonene i de to gruppene. Det er vanlig å identifisere to grupper som er isomorfe, siden de har like mange elementer, og oppfører seg nøyaktig likt ved gruppeoperasjonen Eksempel Avbildningen ϕ : S 1 definert ved at t a Rot ( t) er slik at ϕ( x y) ϕ( x) ϕ( y) 1 ( x+ 2 ) = ( x). Det betyr at ϕ kan betraktes som en homomorfi 2π S. Enhver 1 S kan skrives som ϕ ( t) for en t [ 0,2π ), så ϕ er en isomorfi. ϕ π ϕ rotasjon i + = o og Eksempel Mengden av reelle tall er en gruppe ved addisjon. Mengden + av reelle tall >0 er en gruppe ved multiplikasjon. Vi kan definere en isomorfi + ved hjelp av x eksponentialfunksjonen x a e. At dette er en homomorfi følger av regneregelen x+ y x y e = e e. Den er også en bijeksjon med invers funksjon den naturlige logaritmefunksjonen x a ln x Eksempel Mengden av rotasjoner om et fast punkt er sekskanten er en syklisk undergruppe av med 6. 1 S. Rotasjonssymmetriene av den regulære 1 π S som er generert av Rot ( 3 ), og den er isomorf Eksempel La oss se på en syklisk permutasjon σ = og så danne alle mulige potenser av denne: σ = , σ = , σ = = I, eller identitetsavbildningen. Disse vil danne en syklisk undergruppe av S m n Mod( m+ n,4) 4, og vi har σ o σ = σ, n ( ) 1 4 σ σ n =. Men det betyr at denne gruppen er isomorf med 4. Generelt er undergruppen 1 2 L n av potenser av den sykliske permutasjonen en undergruppe av S n som er L isomorf med n. Men denne er også isomorf med en symmetrigruppe generert av en rotasjon vinkel 2 π /n. MA-132 Geometri 92 Byrge Birkeland

93 4.6.5 Eksempel Permutasjonen S = tilsvarer en speiling av et kvadrat. Siden en syklisk undergruppe av den symmetriske gruppen S 4. 2 S = I, er { IS, } 4.7 Oppgaver Gitt følgende permutasjoner: σ =,, τ = µ = Finn (a) τ o σ, (b) τ o σ, (c) µ o σ, (d) σ 1 o τ, (e) σ oτ o σ La ρ være permutasjonen Beregn ρ, ρ, ρ, ρ og 6 ρ Skriv opp permutasjonene i den dihedrale symmetrigruppen D 3 for den regulære trekanten, og sett opp en multiplikasjonstabell for den Hva er symmetrigruppen for et rektangel? Sett opp en multiplikasjonstabell Hva er symmetrigruppen for en rombe (en firkant der alle sidene er like lange)? Hva er symmetrigruppen for et generelt parallellogram? Lenker til løsningsforslag MA-132 Geometri 93 Byrge Birkeland

94 MA-132 Geometri 94 Byrge Birkeland

95 5 Isometrier og similariteter Vi har gjennomgått definisjonen og de grunnleggende egenskapene til isometrier i avsnitt 1.3. I dette avsnittet skal vi studere isometrier nærmere, og spesielt se på symmetrier av en plan figur. 5.1 Fikspunkt og fikslinjer La 2 2 U: er en avbildning av planet på seg selv. Definisjon A kalles et fikspunkt hvis U( A) = A 2 En linje l kalles en fikslinje hvis ( l) En linje U ( ) = l l l og U( P) U = l 2 kalles en fikspunktlinje hvis l er en fikslinje bestående av fikspunkter: = P for alle P l En isometri kalles direkte hvis den bevarer omløpsretningen på en trekant. En isometri kalles motsatt hvis den snur omløpsretningen på en trekant 5.2 Fire typer av isometrier Speilinger om en rett linje La m være en linje i planet, P et punkt. Speilbildet av P om m konstrueres slik: Du konstruerer normalen n fra P på m. Skjæringspunktet mellom m og n er F. På motsatt side av m avsettes avstanden PF, slik at vi får et punkt P slik at PF=FP. Altså: P er bestemt ved at PP' m og d( PF, ) = d( FP, '). Avbildningen P a P' noteres S m fra nå av. En speiling er en motsatt isometri med speilaksen m som fikspunktlinje. I forrige kapittel så vi at matrisen til en speiling om en linje gjennom origo som danner vinkelen u med den positive x-aksen, er cos2u sin2u sin2u cos2u Rotasjon om et punkt Gitt en vinkel θ, rotasjonsvinkelen, og et punkt O, rotasjonssenteret. Hvis P er et punkt i planet, konstrueres bildet av P ved rotasjon vinkelen θ om O ved at man avsetter vinkelen θ fra linjestykket OP og deretter slår en sirkel om O med radius OP, slik at altså POP ' = θ og OP = OP '. Avbildningen P a P' noteres R θ eller om nødvendig R θ O. En rotasjon er en direkte isometri med rotasjonssenteret som fikspunkt. Det er ingen fikslinjer eller fikspunktlinjer. En rotasjon vinkel v kan settes sammen av to speilinger som danner vinkelen v/2 med hverandre. Se figuren til høyre nedenfor. Fra forrige kapittel vet vi at matrisen til en cosv sin v rotasjon vinkelen v er Rv = sinv cosv. MA-132 Geometri 95 Byrge Birkeland

96 5.2.3 Translasjon Gitt en vektor a. Det translaterte bildet P av et punkt P vektoren a er uuur da definert ved at PP ' = a. Avbildningen P a P' noteres T a fra nå av. Vektoren a kalles translasjonsvektoren, En translasjon er en direkte isomorfi uten fikspunkt. Enhver linje parallell med translasjonsvektoren er en fikslinje, men ikke fikspunktlinje. I forrige underavsnitt så vi at sammensetningen av to speilinger om to linjer gjennom samme punkt O er en rotasjon omkring dette punktet. Translasjoner kan også skrives som produktet av to speilinger, men nå omkring to parallelle speilakser. De to speilaksene står normalt på translasjonsvektoren og har avstand lik halve lengden av translasjonsvektoren. En translasjon kan ikke uttrykkes ved hjelp av 2 2-matrise, men vi så i avsnitt hvordan den kan uttrykkes ved hjelp 1 0 a av 3 3 matrisen 0 1 b i homogene koordinater, der (a,b) er translasjonsvektoren Gliderefleksjon En gliderefleksjon er sammensetningen av en speiling og en translasjon langs en vektor a som er parallell med symmetriaksen m for speilingen. En gliderefleksjon er en motsatt isometri uten fikspunkt, men med speilaksen som fikslinje, men ikke fikspunktlinje. Gliderefleksjoner kan ikke uttrykkes som en 2 `2 matrise, siden den inneholder en translasjon, men vi kan uttrykke den ved hjelp av homogene koordinater og 3 3-matriser. MA-132 Geometri 96 Byrge Birkeland

97 5.3 Klassifikasjon av isometrier Isometrier med fikspunkt Vi skal nå klassifisere isometrier ved hjelp av opplysninger om isometrien har fikspunkt, fikslinje, fikspunktlinje, og om de er direkte eller motsatte. Teorem Hvis U er en isometri med minst to fikspunkter A og B, gjelder: 1. U er identitetsavbildningen, hvis U er direkte. 2. U er en speiling om linja l ( AB, ), hvis U er motsatt. Bevis. Velg en trekant ABC. Når A og B er fikspunkt, avbildes ABC på en trekant ABC ', slik at d( AC, ') d( AC, ) d BC, ' = d BC,. Det gir to = og ( ) ( ) muligheter for C : C eller D, jfr. figuren. Hvis C er C, har vi identitetsavbildningen. Hvis C er D, har vi en l AB,. speiling om ( ) Teorem Hvis en isometri U har minst ett fikspunkt A, er 1. U en rotasjon om U, hvis U er direkte 2. U en speiling om en linje gjennom A, hvis U er motsatt Bevis. Velg en trekant ABC, der A er fikspunktet. 1 Anta først at U er direkte, og la θ = BAB'. La R være rotasjonen om A vinkelen θ. R er -1 da rotasjon vinkelen θ, og dette er en direkte isometri. R U er da en direkte isometri som har A og B som fikspunkt. Etter teorem er da -1 R U=I, og U=R. Anta så at U er motsatt. La m være halveringslinja for BAB', og la S være speiling om m. S er da en motsatt isometri, og SU blir en direkte isometri med to fikspunkt A og B. Etter teorem 4 er da SU=I, -1 og U=S =S. Isometriene med minst ett fikspunkt er altså enten en rotasjon om dette fikspunktet eller en speiling om en linje gjennom dette punktet. Vi kan anta at fikspunktet er origo O:(0,0). I kapittel 3 om matriser så vi at cos sin matrisen til et en slik isometri enten på formen R θ θ = θ sinθ cosθ for en rotasjon vinkelen cos sin θ eller S α α α = α sinα cosα for speiling om en linje som danner vinkelen med x-aksen.. 2 MA-132 Geometri 97 Byrge Birkeland

98 5.4 Isometrier uten fikspunkt En isometri uten fikspunkt er enten en translasjon eller en gliderefleksjon: Teorem 5.4.1: En isometri U uten fikspunkt er (i) (ii) en translasjon hvis den er direkte og en gliderefleksjon hvis den er motsatt. Bevis. Velg en trekant ABC, som U avbilder på en kongruent trekant ABC ' ' '. i. Anta at U er direkte. La L være midtnormalen på linjestykket AA, og la S være speiling om L. SU er da en motsatt isometri med A som fikspunkt. Den er dermed en speiling S : 1 SU = S. Dermed er U = S S' = SS'. Siden U ikke har fikspunkt, må da U være en translasjon. ii. Anta at U er motsatt., og la T være translasjon vektoren uuur AA'. T 1 1 U er da en motsatt isometri med A som fikspunkt. T U er derfor en 1 speiling S om en linje L: T U = S. Da er U uuur = TS. La L 2 være midtparallellen uuur mellom L og U(L). uuur La T uuur være uuur translasjonen vektoren AF og T translasjonen vektoren FA'. Siden AA' = AF + FA', er U = TS = ( T" T') S = T" ( T' S ) = T" (( S" S ) S ) = T" S" Det er uuur en gliderefleksjon om L 2 vektoren AF. Korollar Enhver plan isometri kan skrives som et produkt av høyst tre speilinger. Eller ekvivalent: Gruppen av plane isometrier er generert av speilingene. Vi kan nå oppsummere resultatene om isometrier i følgende tabell: De plane isometriene Direkte Med fikspunkt Rotasjon= Produktet av to speilinger Uten fikspunkt Translasjon= Produktet av to speilinger Motsatt Speiling Gliderefleksjon= Produktet av tre speilinger Denne tabellen er nøkkelen til å løse mange av oppgavene i dette stoffet: Som regel er det enkelt å avgjøre om en isometri er direkte eller motsatt, f. eks. ved å telle antallet speilinger i en sammensetning. Når det er gjort, må du se etter fikspunkt for å avgjøre hvilken kolonne vedkommende isometri skal plasseres i. Så må du finne eventuelle rotasjonssentre, rotasjonsvinkel, translasjonsvektor, speilsymmetriakse, alt etter hva slags isometri du er kommet til at du har fått oppgitt. MA-132 Geometri 98 Byrge Birkeland

99 5.5 Oppgaver Bruk matriseregning til å vise at en rotasjon er produktet av to speilinger Bruk matriseregning med homogene koordinater til å vise at en translasjon er sammensetning av to speilinger Bruk matriseregning med homogene koordinater til å finne matrisen til en gliderefleksjon La R α være rotasjon om origo vinkel α, og S β speiling om en linje gjennom origo som danner vinkelen β med den positive x-aksen. Bestem avbildningene (a) R α o R, β 2 R α, 1 R α, (b) Sα o S, β 2 S α, 1 S α, (c) Rα o S, S o R β β α Hvis a b A = c d a. Vis at hvis A A S cos α sin α = α sinα cosα. b. Vis at ( ) T T T A B B A er en 2 2-matrise, er den transponerte T = I, så er A enten på formen T = og ( A ) T = A c. Vis at alle de reelle 2 2-matrisene som er slik at A A matrisemultiplikasjon T A definert ved at T a c A = b d R cos θ sin θ = θ sinθ cosθ eller på formen T = I, danner en gruppe ved d. Vis at gruppen i c. er isomorf med gruppen av plane isometrier med fast fikspunkt Vi bruker følgende betegnelser for kongruens-avbildninger eller isometrier: La l være en gitt linje. Da lar vi S l eller enklere L bety speiling i linja l. v La O være et gitt punkt og v en gitt vinkel. Da lar vi R O betegne rotasjon om punktet O en vinkel lik v i positiv dreieretning (mot urviserne). La α være en geometrisk vektor, et linjestykke med retning. Da lar vi T α betegne parallellforskyvningen bestemt ved vektoren α. Hvis X og Y er to isometrier, lar vi XY bety den sammensatte isometrien ved at Y brukes først, og så X. MA-132 Geometri 99 Byrge Birkeland

100 Vis følgende: a. Er S en speiling, så er S 2 = I b. Er l og m to linjer som skjæres i et punkt P, og der (l, m) = v så er produktet av de to speilingene ML = R P 2v c. Er R P u og R Q v to rotasjoner så er produktet en rotasjon med rotasjonsvinkel (u + v). Altså: R Q u R P v = R K w Vis dette, og vis at w = u + v. Bestem sentrum K Fra Eksamen mai 2000, oppgave 3b Gitt to linjer l og m som skjærer hverandre i et punkt A. Vinkelen lm,, er 60. Et annet punkt B ligger også på l, og i den rettvinklede trekanten mellom, ( ) ABC er ABC = 60, slik figuren viser. S l er speiling om linja l, S m er speiling om linja m, og 60 R er rotasjon 60 om punktet A. Bestem følgende tre isometrier: A (1) SmS l ( S l anvendt først) (2) 60 SmSR l A (3) R SS 60 A l m Fra eksamen mai 1995, oppgave 2 b,c,d Gitt en linje l og et punkt P. La S være speiling om l, og la R være rotasjon om P 180. a. Bestem RS (S anvendes først), SRS og RSR når P ligger på l. b. Bestem RS, SRS og RSR når P ikke ligger på l. c. Gitt en likebeint, rettvinkla trekant ABC med A 90 =, og la = ( AC, ) l l. Tegn den figuren som framkommer ved gjentatt bruk av R og S eller en kombinasjon av disse, når (i) P=A og når (ii) P=B Vis at produktet av to rotasjoner om to punkter A og B med A B begge en vinkel π /2 er det samme som rotasjon en vinkel π om midtpunktet av et kvadrat med AB som side Gitt tre punkter O, P og P på ei linje l i planet. La T være en translasjon uuur PO, og la S være speiling om midtnormalen på linjestykket OP. Vis at ST (T anvendes først) er speiling om midtnormalen på linjestykket PP. Bestem avbildningen STS I planet er gitt to punkter A= ( a,0) og B ( 0, b) =, der a > 0, b > 0, La G 1 være uuur gliderefleksjonen uuur definert ved OA og x-aksen, og la G2 være gliderefleksjonen definert ved OB og y-aksen. a. Finn bildet av et vilkårlig punkt P(x,y) ved G 1, G 2 og sammensetningen G 2 G 1, der G 1 anvendes først. b. Vis at G 2 G 1 er en rotasjon 180, og bestem rotasjonssenteret. MA-132 Geometri 100 Byrge Birkeland

101 La A og B være to forskjellige punkter i planet. La R være rotasjon en vinkel v om punktet A som ikke er identitetsavbildningen og T en translasjon gitt ved at A avbildes på B. a. Vis at TR (der R anvendes først) er en rotasjon. b. Konstruer fikspunktet til TR, og vis at rotasjonsvinkelen er v. c. Vis at det fins en translasjon T slik at RT =TR Eksamen i MA mai 2005 a. Tegn en trekant ABC der C = 90 o. Konstruer innsirkelen til trekanten, og kall sentrum i denne for I. Nedfell normalene fra I på hver av de tre sidene. Kall fotpunktene for normalene for hhv. A (på BC), B (på AC) og C (på AB). b. Vis at AIB = 135. Vi skal se på følgende isometrier: SA, SB, S C er speilinger om linjene hhv. AI, BI og CI SAB, SBC, S AC er speilinger om sidene AB, BC og AC i trekanten RA, RB, R C er rotasjoner hhv. A om A, B om B og C om C. Bruk positiv omløpsretning på alle rotasjonene. c. Hvordan kan rotasjonen R A kan skrives som et produkt av to speilinger, der S A er den ene av dem? d. Se på symmetrien SS B A ( S A anvendes først). Har denne symmetrien fikspunkt, og i så fall hvilket? Hva slags symmetri er det? Uttrykk symmetrien på en enkel måte. e. Uttrykk SCR C som en enkel isometri. f. Vis at RR A B = SS A B. Uttrykk også denne isometrien på en enkel måte. g. La T være isomorfien RRR A B C. Vis at B er et fikspunkt for T. Hvordan virker T? Eksamensoppgave mai 1998, oppgave 2 Gitt et punkt S i planet og en linje l som ikke går gjennom S. Normalen fra S på l skjærer l i G. R er rotasjon om S en vinkel v. Anta at R v ( l) = l'. v S a. Hvorfor er vinkelen mellom l og l lik v: ( ll, ') S = v? Utenpå de tre sidene i den spissvinklede trekanten ABC er det tegnet tre likesidede trekanter AC' B, BA' C og CB' A. b. Vis, for eksempel ved å se på en rotasjon om A med rotasjonsvinkel v = 60, at CC' BB' CCBB ', ' = 60. Kall skjæringspunktet mellom C C og BB for F. = og at ( ) Vis at omsirkelen til F kalles trekantens Fermatpunkt. AC' Bgår gjennom F. c. Vis at AFC = 120, og at firkanten AFCB er syklisk (dvs. at den har en omsirkel). Hvorfor er også CFB = 120, og firkanten BA CF også syklisk? MA-132 Geometri 101 Byrge Birkeland

102 Anta at symmetrisentrene i de tre likesidede trekantene AC' B, BA' C og CB' Aer P, Q og R henholdsvis. d. Hvorfor er PQ normalt på BF? Hvorfor er PQR likesidet? Lenker til løsningsforslag: Symmetrigruppen til en plan begrenset figurer I det følgende skal vi benytte oss av følgende teorem, som vi her må godta uten bevis. Setning La F være en plan begrenset figur. Da finnes det en minste sirkel C(F) slik at F C En følge av denne setningen er: Setning C(F) er invariant under symmetriene på F: Hvis F er en plan begrenset figur, og U er en symmetri av F, vil U(C(F))=C(F). Bevis. Anta at det fins en isometri U slik at U(F)=F og UCF ( ( )) CF ( ). Men siden U er en isometri, må U(C(F)) være en sirkel, fordi avstandene til sentrum i sirklene C(F) hhv. U(C(F)) må være de samme. Vi må da ha et bilde som ser ut som på figuren til høyre. Både C(F) og U(C(F)) må omfatte figuren F. F må derfor være inneholdt i snittet mellom de to sirklene, og dette snittet vil være inneholdt i en sirkel D, som må ha mindre diameter enn C(F), dersom de to sirklene C(F) og U(C(F)) ikke er identiske. Det er umulig, siden C(F) er den minste sirkelen som inneholder F. Derfor må U(C(F))=C(F), og sirkelens sentrum må være et fikspunkt for U. Sentrum i C(F) er altså felles fikspunkt for alle symmetriene på F. Av teorem følger da: Setning De mulige symmetrioperasjonene på en plan begrenset figur er rotasjoner om et fast punkt og speilinger om linjer gjennom dette punktet. Anta nå at F er en plan, begrenset og lukket figur. Lukket betyr at den innholder alle sine randpunkter: Hvis enhver sirkel med sentrum i et punkt P i planet inneholder et punkt fra F, ligger punktet P selv i F. Vi skiller da mellom to tilfeller: F er speilsymmetrisk eller F er ikke speilsymmetrisk. Tilfelle 1: F har ikke speilsymmetrier. Hvis F ikke har speilsymmetrier, må alle symmetrier være rotasjoner. F kan da ikke bestå av bare konsentriske sirkler eller områder begrenset av konsentriske sirkler, fordi F da ville være speilsymmetrisk om enhver akse gjennom sirklenes sentrum. Da vil enhver rotasjon være en symmetri, og symmetrigruppen vil være isomorf med gruppen, som er gruppen av reelle tall med gruppeoperasjon ( xy, ) a Mod( x+ y,360), resten 360 ved divisjonen (x+y)/360. Hvis vinkelen er målt i radianer, blir symmetrigruppen 2π. MA-132 Geometri 102 Byrge Birkeland

103 Da må det finnes en minste vinkel α slik at rotasjonen R α er en rotasjonssymmetri for F. Hvis β [ 0,2π) Euklids divisjonsalgoritme på paret (, ) r er en annen vinkel slik at R β er en rotasjonssymmetri for F, kan vi bruke ( ) k 1 k β ka β α β α αβ og skrive β = k α + r, der 0 r < α. Da er R = RR = RR = R R, og dette må også være en symmetri av F, siden symmetriene danner en gruppe. Men siden α er den minste vinkelen som gir rotasjonssymmetri, er dette bare mulig hvis r = 0. Derfor må β = k α, alle rotasjonssymmetrier må være på formen Rk α. Spesielt må R2 π være blant disse, så α må være på formen 360 n (eller 2 π n hvis vinkelen er målt i radianer). Symmetrigruppen består da av R 360 k { 0,1,2,..., n 1} k n isomorfien R 360 a k. k n Tilfelle 2: F har speilsymmetrier., og denne er isomorf med n av hele tall modulo n ved Det enkeleste tilfellet er når F har bare en speilsymmetri. Da består symmetrigruppen bare av denne speilsymmetrien i tillegg til identitetsavbildningen. Anta så at F har minst to speilsymmetrier S 1 og S 2, og anta at speilaksene skjærer hverandre i fikspunktet under en vinkel α. Vi har da at SS 2 1 = R2 α, slik at F også må ha rotasjonssymmetrier. Det må da være en minste positiv vinkel som gir rotasjonssymmetri, og vi kan 360 anta at 2α = er denne minste positive vinkelen. α er da den minst mulige positive n vinkelen mellom to speilakser. Symmetrigruppen består da av de n rotasjonene {,,,, 180 I R2 α R4 α K R2( 1) } samt de n speilingene n α { S1, S2, K, Sn} som danner vinkelen α = n med hverandre. Denne gruppen kalles som kjent den n-te dihedrale gruppen D n. Endelig kan det tenkes at F består av bare konsentriske sirkler og områder begrenset av slike. Da er enhver rotasjon om senteret og enhver speiling om en linje gjennom senteret en symmetri, og symmetrigruppen er gruppen av alle isometrier med fast fikspunkt, som er T isomorf med gruppen O 2 av alle 2 2 matriser slik at A A = I, jfr. oppgave V i resymerer resultatene fra dette avsnittet i følgende setning: Setning La F være en plan, begrenset og lukket figur. 1. Hvis F ikke bare består av konsentriske sirkler eller sirkelbånd, så er F s symmetrigruppe gitt ved eller isomorf de endelige gruppene {I} hvis F ikke har noen symmetrier n hvis F bare har rotasjonssymmetrier og 360 er den minste positive vinkelen som n gir rotasjonssymmetri. D, den n-te dihedrale gruppen hvis F speilsymmetrier og rotasjonssymmetrier, og n 360 n er den minste positive vinkelen som gir rotasjonessymmetri. D n består av n MA-132 Geometri 103 Byrge Birkeland

104 rotasjonssymmetrier og n speilsymmetrier om akser som danner vinkelen 180 med n hverandre. 2. Hvis F består av konsentriske sirkler eller sirkelbånd, er symmetrigruppen hele O 2, gruppen av isometrier med fast fikspunkt. 5.7 Oppgaver Oppgaver som består i å finne symmetrigrupper til plane figurer, er blitt gitt regelmessig til eksamen i geometri. De er som regel enkle å løse. Her er et utvalg: Eksamensoppgave mai 1997, oppgave 3 a. Hvilken symmetrigruppe har hver av disse skissene (tilnærmet)? Skissene er hentet fra arkitekturen. b. Betrakt følgende figur: Figuren har en rotasjonssymmetri R, med minste positiv vinkel. Hvor stor er denne vinkelen? Anta at symmetrien L er en speiling om linja l. Hvilke symmetrier er da RL og LR? c. Anta nå at R er en rotasjon en gitt vinkel v om et gitt punkt P. Anta også at T er en parallellforskyvning bestemt ved en gitt vektor a r. Bestem da 1 avbildningene TR (R anvendes først), RT og T RT. MA-132 Geometri 104 Byrge Birkeland

105 5.7.2 Eksamen mai 1998, oppgave 2 Bestem symmetrigruppene til hver av disse figurene: Eksamen mai 1999, oppgave 2 a. Skriv ned symmetrigruppene til følgende figurer: b. Tegn inn det felles fikspunkt for isometriene i symmetrigruppa til figur G 1 nedenfor. Gjør det tilsvarende for figur G 2. G 1 G 2 MA-132 Geometri 105 Byrge Birkeland

106 5.7.4 Eksamen mai 2001, oppgave 3 Skriv ned symmetrigruppene til hver av følgende seks figurer: Eksamen august 2003, oppgave 2 a. Bestem symmetrigruppene til de seks figurene under: Gitt en trekant en trekant ABC = α, der hjørnet A har koordinater (1,1), B=(5,1) og C=(3,3). I x, x = x, x I x, x = x, x I x, x = x, x 4 Gitt også isometriene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b. Klassifiser isometriene ved å se på I ( α), I ( α ) og ( ) 1 2 c. Klassifiser homotetien S hvor S( x, x ) ( 3 x,3x 6) forstørrelsesfaktoren og sentrum til homotetien. I α. 3 =. Det vil sis å finne MA-132 Geometri 106 Byrge Birkeland

107 5.7.6 Mai 2005, oppgave 1 Gitt en firkant ABCD med hjørner A:(4,0), B:(7,2), C:(5,4) og D:(2,1). Denne firkanten er motivet i en symmetrisk figur. a. Tegn figuren, når den skal være symmetrisk om origo og ha symmetrigruppe Z 4. b. Tegn figuren, når den skal ha symmetrigruppe D 4. c. Konstruer figuren, når den skal være symmetrisk om origo og ha symmetrigruppe Z 6. d. Gitt symbolet. Skriv ned symmetrigruppen for symbolet, og oppgi koordinatene til et polygon som genererer symbolet ved denne symmetrigruppen Mai 2007, Oppgave 4 a. På svarark 3 er det gitt 12 figurer. Skriv ned symmetrigruppen for hver av figurene på svararket. Skriv korte begrunnelser for svarene. Marker på svararket eventuelle rotasjonssenter og speilsymmetriakser. S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S11 S12 S Lenker til løsningsforslag MA-132 Geometri 107 Byrge Birkeland

108 5.8 Klassifikasjon av similariteter I avsnitt 1.5 gjennomgikk vi definisjoner og elementære egenskaper ved similariteter. Vi skal nå klassifisere similaritetene på tilsvarende måte som vi gjorde med isometrier. En similaritet som har tre fikspunkter som ikke ligger på linje, må være identitetsavbildningen, siden en similaritet er bestemt ved virkningen på en trekant. En similaritet som har to fikspunkt, bevarer avstanden mellom disse, og må derfor være en isometri. En ekte similaritet (dvs. med faktor 1) kan derfor ha høyst ett fikspunkt. Men den har også alltid minst ett fikspunkt: Setning En similaritet som ikke er en isometri, har et fikspunkt. n Bevis. La U være en similaritet med faktor k<1, se på følgen { U P n = 1,2,... } n+ 1 n n vilkårlig punkt. Denne følgen må være konvergent, siden ( ), der P er et d U PU, P = kdup (, P). Punktet som følgen konvergerer mot, må være et fikspunkt for A. Hvis k>1, ser vi på følgen n A P n = 1,2,.... { } Klassifikasjon av similariteter foregår nå ved hjelp av følgende setning: Setning Anta at L er en similaritet med faktor k 1 med fikspunkt E. Da er L i. produktet av en rotasjon og en homoteti med felles fikspunkt E hvis L er direkte. ii. produktet av en speiling og en homoteti med felles fikspunkt E hvis L er motsatt Bevis. Vi velger en trekant ABC, som avbildes ved L på AB' C'. Avsett AB =AB langs AB og AC =AC langs AC. C" Trekantene ABC og AB" C" definerer entydig en isometri U med A som fikspunkt. Hvis nå A k er homotetien med sentrum i A og faktor k, vil L og A k U ha samme virkning på trekanten C' ABC og derfor være like: L=A k U. Siden A k er direkte, vil L B' være L være direkte eller motsatt etter som U er direkte eller motsatt. A Vi kan derfor stille opp et skjema som kan brukes til å klassifisere similariteter på samme måte som skjemaet for isometrier i avsnitt 5.4: De plane similaritetene Med fikspunkt Uten fikspunkt Direkte Motsatt Produktet av rotasjon og homoteti med felles fikspunkt Produktet av speiling og homoteti med felles fikspunkt Translasjon Gliderefleksjon Eksempel: Von Kochs snøflakkurve Fraktaler er et populært emne innenfor datagrafikk, og en klasse av fraktaler kan definerer ved hjelp av similariteter. Her er et eksempel. Vi starter med et linjestykke L med lengde 1 fra origo til punktet (1,0). Vi lar H være homotetien med sentrum i origo og faktor 1 3. Så definerer vi fire isometrier: I 1 =Identiteten, I 2 = Rotasjon 60 etterfulgt av translasjon vektor B" C B MA-132 Geometri 108 Byrge Birkeland

109 1 (,0 3 ), I 3 = Rotasjon 60 2 vektor (,0 3 ). 1 1 etterfulgt av translasjon vektor ( 2 6 ) Vi ser deretter på similaritetene T1 H, T2 H, T3 H og T4 H. Hvis vi nå bruker alle disse similaritetene etter tur på linjestykket L. Resultatet blir en figur som ser slik ut: I neste omgang anvender vi de samme similaritetene på den nye figuren:, 3, og I 4 =Translasjon Slik fortsetter vi inntil vi ikke ser noen endring. I praksis betyr det at du kommer ned under oppløsningen som skjermen eller skriveren kan håndtere. Denne figuren heter von Kochs snøflakkurve (etter oppfinneren Helga von Koch), og er altså et eksempel på en fraktal. DE første seks av dem ser slik ut: Hvis vi lager tre kopier av den siste og avsetter dem langs sidene i en likesidet trekant, får vi en figur som ser slik ut, og som rettferdiggjør betegnelsen snøflakkurve: MA-132 Geometri 109 Byrge Birkeland

110 5.9 Oppgaver a. Hva er matrisen til en homoteti med origo som sentrum og homotetifaktor k? b. Hva er matrisen til en homoteti med sentrum i (a,b) og faktor k? c. Undersøk fikspunkt og fikslinjer for en homoteti. Er en homoteti direkte eller motsatt? Vis at mengden av homotetier med fast fikspunkt O danner en gruppe ved funksjonssammensetning, Begrunn at denne gruppen er isomorf med gruppen av reelle tall 0 ved multiplikasjon Vis at de plane similaritetene utgjør en gruppe ved funksjonssammensetning, og at isometriene er en undergruppe av denne a. Gitt parabelen parabelen ved homotetien H y 2 = x og homotetien H ved at ( xy, ) a ( 2,2 x y) b. Vis at det fins en homoteti med sentrum i oriogo som avbilder parabelen på parabelen y 2 = b x (b>0).. Bestem bildet av y 2 = a x (a>0) c. Vis at hvis P1 og P2 er to vilkårlige parabler i planet, så fins det en similaritet f slik at f( P) = P La P t være homotetien med sentrum i P og faktor t og Q u homotetien med sentrum i Q og faktor u. P og Q er to forskjellige punkter. a. Sett t=u=2. Angi på en tegning bildene av P og Q ved den sammensatte avbildningen QP, u t der P t anvendes først. Tegn også bildet av et punkt R som ikke ligger på linja PQ. b. Vis at QP u t er en homoteti, og bestemt sentrum og homotetifaktor for denne. 1 c. Hva blir QP u t hvis t = 2, u = 2 d. Bestem den minste transformasjonsgruppe som er slik at den inneholder alle P t og tu,. Er denne gruppa abelsk? Lenker til løsningsforslag: Q u for MA-132 Geometri 110 Byrge Birkeland

111 5.10 Bandmønstre I dette avsnittet skal vi se på enkeltperiodiske mønstre eller band-mønstre. Vi ser på figurer eller delmengder av planet som er ubegrenset i x-retningen, men begrenset av et intervall aa, aa, ; la oss kalle [ ] i y-retningen. Figuren er altså en delmengde av mengden [ ] dette et bånd. x-aksen kalles i denne forbindelsen for lengdeaksen, og enhver linje parallell med y-aksen kalles en tverrakse. Hvis figuren bare består av vannrette linjer (dvs. linjer som er parallelle med x-aksen) vil enhver translasjon parallell med x-aksen være en symmetri av, +. Vi skal anta at båndet har et motiv båndet. Symmetrigruppen vil da være isomorf med { } som gjentas periodisk. Da finnes en minste lengde v slik at vektoren v = {,0} v er en translasjonssymmetri for båndet. Enhver annen translasjonssymmetri av båndet kan da skrives som k v. Dette kan bevises ved hjelp av Euklids divisjonsalgoritme på samme måte som i, +. Men i tillegg kan vi kombinere med avsnitt 5.6. Symmetrigruppen er da isomorf med { } en eller flere av følgende isometrier, som alle har lengdeaksen som fikslinje: Speiling om lengdeaksen Gliderefleksjon om lengdeaksen Speiling om tverrakser Rotasjon 180 om et punkt på lengdeaksen. Eksempel Symmetrigruppe med generatorer r1: bare translasjoner:. I de andre har vi translasjoner og i tillegg I de andre båndmønstrene har vi translasjonssymmetriene fra gruppen r1, men i tillegg andre symmetrier, som er beskrevet nedenfor: r11 - speiling om lengdeaksen, isomorf med D 1 r11g gliderefleksjon a/2 langs lengdeaksen. Isomorf med r1m og speilinger om to tverrakser i avstanden a/2. Isomorf med D. r2 og halvrotasjon om cellens midtpunkt. Isomorf med D. A B m n Følgende teorem (som vi her godtar uten bevis) gjelder: r2mg halvrotasjoner om A og speiling om tverrakse. Isomorf med D 2 r2mm speiling om tverrakser i avstanden a/2 og om lengdeaksen, isomorf med D D 1 MA-132 Geometri 111 Byrge Birkeland

112 Setning Det finnes nøyaktig 7 ulike båndmønstre, som er gitt i tabellen ovenfor: Når vi skal tegne et bånd, bestemmer vi først symmetritypen etter tabellen ovenfor og ett eller flere motiver. Disse motivene utgjør det som kalles et fundamentalområde. For et gitt bånd kan fundamentalområde kan fundamentalområdet velges på mange måter. Vi må bare sørge for at det genererer alle figurene i båndet uten at noen del av det blir tegnet flere ganger. Så bruker vi symmetriene til å tegne båndet.,+. La oss tilsvarende gå Det er klart at symmetrigruppen r1 er isomorf med gruppen { } gjennom de sju tilfellene i tabellen ovenfor og vise eksempler. De to første eksemplene er laget med programmet Tess, resten med Cabri 2 Plus Symmetrigruppen r1 Som nevnt er symmetrigruppen isomorf med {,+}. Skal vi tegne et bånd med denne symmetrigruppen, må vi velge et motiv som ikke har noen symmetrier Symmetrigruppen r11m Her er et eksempel: Fundamentalområde Et fundamentalområdet for båndet tegnet til høyre. Symmetriene for dette båndet består altså av translasjonsgruppen, som er isomorf med, og dessuten speilingene om lengdeaksen, som utgjør den dihedrale gruppen D 1. Gruppen r11m er derfor isomorf med det kartesiske produktet D Symmetrigruppen r11g Fundamentalområde MA-132 Geometri 112 Byrge Birkeland

113 Siden sammensetningen av to gliderefleksjoner er en translasjon, vil alle isometriene i dette båndet genereres av én gliderefleksjon med translasjonsvektor 1 2 a. Symmetrigruppen r11g er derfor isomorf med Symmetrigruppen r1m Fundamentalområde Her vil sammensetning av to speilinger om to vertikale akser i i avstanden 1 2 a være det samme som translasjonen med translasjonsvektor a. Det betyr at alle isometrien kan genereres av speilingene om slike vertikale linjer. Symmetrigruppen er da D, den uendelige dihedrale gruppen av speilinger om akser med avstand 2a Symmetrigruppen r2 Fundamentalområde Her ser vi at sammensetningen av to halvrotasjoner om punkter på lengdeaksen som ligger med en avstand på 2a, blir translasjon vektor a. Vi får derfor nøyaktig den samme gruppestrukturen som i forrige eksempel, selv om den geometriske betydningen ikke er den samme Symmetrigruppen r2mm Fundamentalområde Her er isometriene halvrotasjoner om midtpunktet av en halvcelle og speilinger om tverraksene. Det blir en gruppe som er isomorf med D Symmetrigruppen r2mg Fundamentalområde Her er isometriene speiling om tverraksene og om lengdeaksene. Symmetrigruppen blir isomorf med D D1. MA-132 Geometri 113 Byrge Birkeland

114 5.11 Oppgaver Skriv opp symmetrigruppene til følgende båndmønstre: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. MA-132 Geometri 114 Byrge Birkeland

115 l. m. n. o. p. q. r. s. t. Prøv å tegne noen av båndmønstrene ovenfor med GeoGebra, Cabri eller Tess MA-132 Geometri 115 Byrge Birkeland

116 5.12 Dobbeltperiodiske mønstre, fliselegging I dette avsnittet skal vi se på overdekninger av planet. Vi tenker oss at planet er ubegrenset i alle retninger og at det skal dekkes av fliser. Spesielt skal vi se på overdekninger som er periodiske i to retninger, dobbeltperiodiske mønstre eller tapetmønstre. Da fins det to vektorer a og b som er slik at translasjonene med translasjonsvektor a eller b blir symmetrioperasjoner for overdekningen. Vi kan anta at disse to er minimale i den forstand at ikke noen vektorer parallelle med a eller b, men kortere, kan brukes som translasjonsvektorer for en symmetri. Det betyr at den figuren som er begrenset av et parallellogram utspent av a og b, vil bli gjentatt i begge retninger. Et slikt område kalles en celle for flislegningen, og vi snakker om flisleggingens nett av celler. De to translasjonene langs a og b genererer en symmetrigruppe som er isomorf med. Spørsmålet er hvilke andre isometrier som kan opptre. Svaret avhenger av hva slags celle vi har i nettet - et generelt parallellogram, et rektangel, et kvadrat eller en rombe som er to ganger en likesidet trekant, som kalles et heksagonalt nett. Man kan vise at det finnes 17 forskjellige symmetrigrupper for tapetmønstre, og vi gjennomgår dem kort nedenfor. Dette emnet er meget omfattende og det faller utenfor rammen av dette kurset å gå inn i alle detaljer Generelt parallellogramnett Et generelt parallellogram har bare én ikke-triviell symmetri, halvrotasjon om midtpunktet i cellen: Symmetrigruppen p1 omfatter bare translasjonssymmetrier. p1 Symmetrigruppen p2 omfatter, i tillegg til translasjoner, rotasjonen omkring midtpunktet i cellen. p Rektangulært nett For rektangulære nett får vi en rekke mulige speilinger og gliderefleksjoner. Symmetrigruppen pm omfatter, i tillegg til translasjonene, speilsymmetri om den horisontale midtlinja i cellen. MA-132 Geometri 116 Byrge Birkeland

117 pm Symmetrigruppen pg omfatter, i tillegg til translasjonene, gliderefleksjon om den horisontale midtlinja i cellen med halve lengden av cellen pg Symmetrigruppen pmm omfatter, i tillegg til translasjoner, speilinger om den horisontale og den vertikale midtlinja. pmm Symmetrigruppen pmg omfatter, i tillegg til translasjoner, en gliderefleksjon halvveis langs den horisontale midtlinja. pmg Symmetrigruppen pgg omfatter, i tillegg til translasjoner, gliderefleksjoner halvveis gjennom cellen i horisontal og vertikalretning. Kopi nr. 2 fra venstre av motivet er bildet av den siste kopien i neste celle til høyre ved den horisontale gliderefleksjonen translatert et trinn mot venstre. MA-132 Geometri 117 Byrge Birkeland

118 pgg Sentrert rektangulært nett Her er cellen en rombe som du får ved å sette to like rektangler ved siden av hverandre og 1 w= u+v, jfr. trekke diagonalene. Translasjonsvektorene er u og w eller v og w, der ( ) figuren: v 2 u w Her har vi to mulige symmetrigrupper. Symmetrigruppen cm består av translasjoner generert av u og w eller v og w, og i tillegg speiling om lengdeaksen. u w v cm Symmetrigruppen cmm består av translasjoner generert av u og w eller v og w, og i tillegg speiling om lengdeaksen og om tverrakser med avstand halve cellelengden. w v u cmm Kvadratisk nett I kvadratiske nett kan vi få speilsymmetri omkring diagonalene i cellene og 90 s rotasjoner om sentrum i cellene. MA-132 Geometri 118 Byrge Birkeland

119 Symmetrigruppen p4 består av de tre rotasjonene 90,180,270 om cellens midtpunkt, i tillegg til translasjonene. p4 Symmetrigruppen p4m består av de tre rotasjonene 90,180,270 om cellens midtpunkt og speilinger om diagonalene, i tillegg til translasjonene. p4m Symmetrigruppen p4g består av de tre rotasjonene 90,180,270 om cellens midtpunkt og speilinger om diagonalene i kvartcellene, i tillegg til translasjonene. p4g Heksagonalt nett Cellene er her parallellogrammer satt sammen av to likesidete trekanter: MA-132 Geometri 119 Byrge Birkeland

120 Symmetrigruppen p3 består av tre rotasjon om den ene trekantens midtpunkt, i tillegg til translasjonene. p3 Symmetrigruppen p3m1 består av de tre rotasjonene om en av trekantenes midtpunkt, speilingene om høydene i denne trekanten i tillegg til translasjonene. p3m1 Symmetrigruppen p31m består av de tre rotasjonene om en av trekantenes midtpunkt, speiling om en av trekantenes sider, i tillegg til translasjonene. p31m Symmetrigruppen p6 består av de tre rotasjonene omkring en av trekantenes midtpunkt, en halvrotasjon om cellens sentrum, i tillegg til translasjonene. p6 Symmetrigruppen p6m består av består av de tre rotasjonene omkring en av trekantenes midtpunkt, speilinger om høydene i trekanten, speiling om en av trekantens sider, i tillegg til translasjonene: MA-132 Geometri 120 Byrge Birkeland

121 p6m Eksemplene ovenfor er laget ved hjelp av matematikkprogrammet Mathematica 5.2, og er tatt fra en artikkel om tessellasjoner som jeg har skrevet i tidsskriftet Mathematica in Education and Research. Du kan også bruke Cabri eller Tess. Her er lenker til Cabrifiler som inneholder noen av de samme tapetmønstrene som ovenfor: p1 p2 pm pg pmm pmg pgg cm cmm p4 p4m p4g p3 p3m1 p31m p6 p6m Andre emner om flislegging Emnet fliselegging er imidlertid langt fra uttømt med dette. Du kan for eksempel hvilke mønstre det er mulig å få til med bare én type av regulære mangekanter. Svaret på dette er at flisene må være enten likesidede trekanter, kvadrater eller sekskanter. Du kan også stille spørsmålet om det er mulig å bruke bare kvadrater og åttekanter, eller i det hele tatt en kombinasjon av regulære polygoner med ulike antall kanter. Eller du kan blande sammen stjerneformede fliser med regulære mangekanter. Her er lenker til noen Cabri-filer der du ser eksempler på slike, som alle dobbeltperiodiske tapetmønstre. Flislegging med regulære mangekanter: MedTrekanter.fig MedKvadrater.fig MedSekskanter.fig Fliselegging med regulære mangekanter med ulike antall kanter: MedKvadraterOgTrekanter.fig Semi12_6_4_3.fig Semi4_3_3_4_3.fig FliserSemi6_3_3_3_3.fig Semi6_4_3_4.fig Fliselegging med regulære mangekanter og stjerner: Stjerne3_6 6 Stjerne4_4 4 Stjerne12_3_12_3 Stjerne3_12_3_3_12 Stjerne3_3 3_3 Stjerne3_3_8_4_8 Stjerne3_4_6_3_12 Stjerne4_6_4_6 Stjerne4_6_4_6_4_6 Stjerne4_6_6_6 Stjerne6_3_3 Stjerne8_3_4 Alle fliseleggingene vi har sette på hittil, har vært dobbeltperiodiske, altså med translasjonssymmetrier i to retninger. Andre typer av fliselegginger har også vært studert. Vi avslutter med en som skyldes Johannes Kepler: MA-132 Geometri 121 Byrge Birkeland

122 5.13 Oppgaver Avgjør hvilken av de 17 symmetritypene for tapetmønstre som følgende mønstre hører til: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. MA-132 Geometri 122 Byrge Birkeland

123 m. n. o. p. q. r. MA-132 Geometri 123 Byrge Birkeland

124 MA-132 Geometri 124 Byrge Birkeland

125 6 Tegning av tredimensjonale figurer Å tegne en tredimensjonal figur på et papirark byr på fundamentale prinsipielle problemer: Papiret er todimensjonalt, mens gjenstandene som skal avbildes, er tredimensjonal. Vi må nøye oss med et todimensjonalt bilde. Hvilken metode som brukes, vil være avhengig av hva som er formålet med figuren. Hvis figuren skal gi grunnlag for å måle avstander, er det best å bruke en eller flere parallellprojeksjoner. Hvis vi skal etterligne det som øyet vårt vil se, er det best med en sentralprojeksjon eller perspektivprojeksjon. 6.1 Parallell-projeksjoner Den enkleste måten å tegne et tredimensjonalt objekt, er å tegne det sett ovenfra og langs en eller flere horisontale retninger. Vi velger en grunnlinje. Nedenfor grunnlinja tegner vi objektet i horisontalprojeksjon (dvs. sett ovenfra), og ovenfor grunnlinja tegner vi en vertikalprojeksjon. Se figuren til venstre nedenfor. Du kan også velge å tegne objektet fra sett fra flere horisontale retninger. Du trekker da grunnlinja i et profilplan der du kan se objektet sett fra sida fra en passende valgt synsvinkel. Utenfor denne tegner vi profilprojeksjonen av objektet i et plan som går gjennom denne profilplangrunnlinja og stå normalt på horisontalplanet. Se figuren til høyre nedenfor. 6.2 Sentralprojeksjon og perspektivtegning. Når du tegner et objekt ved hjelp av to eller flere parallellprojeksjoner, får du en tegning som gir et godt bilde av dimensjonene i objektet, og av hvordan det ser ut på lang avstand. Tegningen gir imidlertid ikke et godt inntrykk av hvordan objektet vil se ut når du ser det eller fotograferer fra kort avstand. Til det trengs en metode som tilsvarer det som foregår ved fotografering, nemlig sentralprojeksjon eller perspektivprojeksjon. Prinsippet for perspektivtegning er vist i figuren nedenfor, som er tegnet ved hjelp av programmet Cabri3d.. I det horisontale planet ligger et kvadrat, som skal fotograferes eller betraktes ved hjelp av et kamera der filmen tenkes plassert i et punkt øyepunktet - over det vannrette planet og filmen ligger i det mørkere planet billedplanet eller projeksjonsplanet. Bildet av et punkt i MA-132 Geometri 125 Byrge Birkeland

126 kvadratet finner vi nå ved å trekke en rett linje fra øyepunktet til punktet i kvadratet. Skjæringspunktet med projeksjonsplanet er da bildet av punktet. Øyepunkt Billedplan Grunnplan La oss nå spesialisere billedplanet til å stå normalt på grunnplanet. Da ser Cabri 3d-tegningen ut slik: MA-132 Geometri 126 Byrge Birkeland

127 Legg merke til hvordan projeksjonen i grunnplanet av projeksjonsstrålen kan brukes til å finne sentralprojeksjonen i grunnplanet: Vi trekker disse projeksjonene til skjæring med grunnlinja og oppreiser en normal. Skjæringspunktet mellom denne normalen og projeksjonsstrålen blir projeksjonen av linja ved sentralprojeksjonen. Vi skal nå imitere denne prosessen i en todimensjonal tegning. Vi tenker oss objektet og øyepunktet tegnet i horisontalprojeksjon og profilprojeksjon. Billedplanet blir sett rett ovenfra og rett fra sida. For å unngå å legge perspektivprojeksjonen oppå horisontalprojeksjonen tenker vi oss at billedplanet blir parallellforskjøvet og deretter lagt ned ved å dreie det 90 om skjæringslinja med horisontalplanet. Resultatet ser slik ut: Tegning ovenfor kan du i prinsippet konstruere ved hjelp av bare passer og linjal. Men konstruksjon av normal forekommer gjentatte ganger, og til dette bør du bruke en vinkelhake eller en linjal der du kan bruke centimetermerkene til å trekke normaler. La oss se hvordan man gjøre det med GeoGebra. Her er et forslag: Start med å tegne en loddrett linje l på midten av arket. Velg tre punkter A, B og C på l, og oppreis normaler på l gjennom A, B og C. Marker linja l og de to normalene gjennom B og C som tykkere streker. På normalen gjennom B merker du av fire punkter D, E, F, G i tillegg til B. Normalen gjennom B skal du tenke på som billedplanet, sett ovenfra til venstre for l og sett fra sida til høyre for l. Punktene D, A og E bestemmer sammen øyepunktet: D gir y-koordinaten, A gir x-koordinaten, og E gir z-koordinaten. Du nedfeller normalene fra D og E på normalen gjennom A for å finne hhv. horisontal- og profilprojeksjonen av øyepunktet. MA-132 Geometri 127 Byrge Birkeland

128 Cabri har en funksjon for å trekke en normal på en linje gjennom et oppgitt punkt Denne trekker imidlertid en hel rett linje, ikke et linjestykke. Men ofte vil du bare ha linjestykket, ikke linja. Det kan du få til ved å bruke makroen NormalPåLinje, som du kan laste ned herfra. Hjelpelinje, avgrensing av billedflaten Horisont Perspektiv-projeksjon av P G z Kopi av billedplan Horisontalprojeksjon av P Bildeplan sett ovenfra Hjelpelinje, avgrensing av billedflaten y Horisontalplan Horisontalprojeksjon av øyepunkt x C Profilplan B A z Profilprojeksjon av P Billedplan sett fra sida E Profilprojeksjon av øyepunkt Velg punktet G til venstre for B på normalen gjennom B, og oppreis en normal i G. Denne skal brukes til å avgrense billedflaten og som hjelpelinje når vi seinere skal trekke normaler. Velg et punkt F til høyre for E på normalen gjennom B. Nedfell en normal fra F på normalen til l i C., slå en kvartsirkel og trekk en normal på l gjennom kvartsirkelens endepunkt normalt på normalen gjennom G. Denne skal også avgrense billedflaten og brukes som hjelpelinje for å nedfelle normaler. Nå er oppsettet ferdig. Jeg har lagret det i en egen fil, som du kan hente her. Nå kan du begynne å projisere punkter. Du starter med horisontalprojeksjonen av et punkt P, som du plasserer til venstre for l mellom normalene gjennom B og C. Du må bruke Punkt eller Punkt på objekt eller Skjæringspunkt, avhengig av kravene som følger av det objektet du skal tegne. Så trekker du en normal fra punktet til normalen gjennom F. Bruk Cabris innebygde normal eller makroen NormalPåLinje som nevnt ovenfor. På denne normalen merker du av eller konstruerer et punkt som gir profilprojeksjonen av punktet P. F MA-132 Geometri 128 Byrge Birkeland

129 Trekk nå linjestykker mellom horisontalprojeksjonen av øyepunktet og horisontalprojeksjonen av P, og mellom profilprojeksjonen av øyepunktet og profilprojeksjonen av P. De to skjæringspunktene med grunnlinja (normalen gjennom B) gir da hhv. horisontalprojeksjonen og profilprojeksjonen av sentralprojeksjonen av P. Nå skal du tenke deg at bildeplanet parallellforskyves slik at det står normalt på grunnplanet og skjærer dette langs normalen gjennom C. Da må projeksjonen av P bevege seg på en vannrett linje langs l. Vi trekker da en normal fra horisontalprojeksjon på linja/buen/linja gjennom F og en normal fra profilprojeksjonen normalt på normalen gjennom C. Kopien av billedplanet gjennom C tenker du nå blir dreid 90 om normalen gjennom C. Da vil kopien av det projiserte bildet av P bevege seg langs en rett linje parallelt med l i horisontalprojeksjon, og langs en sirkel i profilprojeksjon. Vi må da trekke en kvartsirkel fra profilprojeksjonen til skjæring med l. Dette kan du gjøre ved hjelp av makroen KvartSirkel, som du kan hente her. Deretter trekker du en normal fra dette skjæringspunktet ned på hjelpelinja gjennom G. Vi finner da bildepunktet som skjæringspunktet mellom to rette linjestykker, jfr. figuren. Denne prosedyren må nå gjentas for hvert hjørne i figuren, og det kan bli ganske komplisert å holde rede på skjæringspunktene, dersom figuren inneholder mange punkter. La oss vise fremgangsmåten på et mer komplisert eksempel, nemlig et monopolhus: MA-132 Geometri 129 Byrge Birkeland

130 Horisont Som du ser, er det en ganske komplisert oppgave å lage en perspektivtegning på denne måten. Men den kan forenkles, og den forenklede metoden vil gi mulighet for å gi øvingsoppgaver som er mer realistiske enn den ovenfor når det gjelder vanskelighetsgrad. Metoden bygger på følgende to regler: 1. En linje l som er parallell med billedplanet, er parallell med sin projeksjon 2. Parallelle linjer som ikke er parallelle med billedplanet, har projeksjoner som møtes i ett punkt. Dette punktet kalles fluktpunktet eller forsvinningspunktet for retningen til de parallelle linjene. 3. Hvis linjene er vannrette, vil fluktpunktet alltid ligge på horisonten. Horisonten er linja som utgjør projeksjonene av de punktene som ligger i høyde med øyepunktet. Disse prinsippene fører til at det i mange tilfeller er nok å oppgi fluktpunktene for en eller to retninger, hvis alle linjene i de objektene som skal tegnes, går i noen få retninger. MA-132 Geometri 130 Byrge Birkeland

131 6.3 Perspektivtegning med ett fluktpunkt Aller enklest blir det, hvis vi tenker oss at billedplanet er parallelt med to av hovedretningene, en vannrett og en loddrett. Da trenger vi bare ett fluktpunkt. Her er huset ovenfor tegnet med bare ett fluktpunkt: Horisont Fluktpunkt Her er det nok å kjenne fem punkter i perspektivbildet i tillegg til horisonten for å være i stand til å fylle ut de konturene som mangler. Du skal tegne et monopolhus i perspektiv. Billedplanet er parallelt med en av gavlene i huset. På tegningen nedenfor har du gitt: MA-132 Geometri 131 Byrge Birkeland

132 D C Horisont E A B En vannrett kant AB og en loddrett kant AC og toppunktet D i den nærmeste gavlen. D ligger på midtnormalen mellom A og B. Horisonten. En vannrett kant AE som går innover i bildet Løsningen ser slik ut: Horisont Nå er oppgaven mye enklere. Vi finner fluktpunktet for alle vannrette linjer som peker innover i bildet som skjæringspunktet mellom linja AE og horisonten, Så trekker vi linjer fra dette fluktpunktet til punktene B, C og D for å finne de vannrette kantene gjennom disse punktene. Videre bruker vi at parallelle linjer parallelle med billedplanet forblir parallelle i perspektivprojeksjon, og vi finner midtpunktet i grunnflata ved å trekke diagonalene. Oppgaver av denne typen er egnet til eksamensoppgaver, kanskje i motsetning til de eksemplene som er vist tidligere. De svarer også ganske godt til en praktisk situasjon: Man tegner noen få streker i landskapet man ser foran seg, og konstruerer resten av tegningen ved hjelp av disse. MA-132 Geometri 132 Byrge Birkeland

133 6.4 Perspektivtegning med to fikspunkt Hvis vi skal avbilde et rektangulært objekt, som for eksempel en bygning, og ingen av hovedretningene i bygningene er parallelle med projeksjonsplanet, vil det være behov for to fluktpunkter. Her er huset igjen: Horisont For å tegne dette huset vil det være nok å gi de samme opplysningene som oppgaven med ett fluktpunkt. Oppgaven kan da formuleres slik: Du skal tegne et monopolhus i perspektiv. Billedplanet skal være loddrett. På tegningen er AB og AC to kanter i husets grunnflate. Husets møne er parallelt med kanten AB og vertikalprojeksjonen av det deler grunnflata i to like rektangler. Du skal selv velge høyden på mønet. AD er den nærmeste loddrette kanten, og du har gitt horisonten. Tegn huset. MA-132 Geometri 133 Byrge Birkeland

134 Horisont C D B A Løsningen ser du nedenfor. Legg merke til at denne oppgaven kan gis som en papir og blyant -oppgave, siden det ikke er et uoverkommelig antall streker å holde greie på, og det holder at man bruker centimeterinndelingen på linjalen for å nedfelle normaler på horisonten. Legg spesielt merke til hvordan man finner midtpunktet på sida AC: Du trekker diagonalene i grunnflata og deretter en linje til fluktpunktet for retningen. Horisont C D B A 6.5 Perspektivtegning med tre fluktpunkt Hittil har vi krevd at billedplanet skal være vertikalt. Dette er imidlertid et krav som ikke er særlig realistisk i forhold en praktisk situasjon. I praksis fokuserer vi på et punkt i landskapet, og sørger dermed for at projeksjonsplanet kommer til å stå normalt på synsretningen. Ovenfor har vi tatt med et eksempel der du kan velge fokus hvor du vil i landskapet, dog med den begrensingen at synsretningen står normalt på grunnlinja. Projeksjonsplanet lar vi så stå normal på synsretningen, som er linja som forbinder øyepunkt med fokus. Utgangspunktet for denne tegningen er fila StandardOppsett2.fig: MA-132 Geometri 134 Byrge Birkeland

135 P' P P Fokus Fokus Ramme Ramme Øye På neste side ser du fila StandardOppset2.fig, som du kan åpne i Cabri her. Øye MA-132 Geometri 135 Byrge Birkeland

136 Slike oppgaver kan også gis i en forenklet versjon ved at man oppgir noen få kanter og eventuelt horisonten, nok til å få bestemt fluktpunkt for hovedretningene i figuren. Slik kan oppgaven formuleres: Du skal tegne et monopolhus sett på skrå ovenfor På tegningen nedenfor ser du hva som er oppgitt: A er det nærmeste hjørne i grunnplanet. AB og AC er horisontale kanter i grunnplanet. BC er en loddrett kant. Gjennom A går dessuten en stråle som viser retningen av den loddrette kanten i A. Mønet skal gå parallelt med kanten AC, og projeksjonen på AB skal dele AB på midten. Velg selv høyden på mønet. Se figuren på neste side. Løsningen ser du på neste side. Vi forlenger BD og strålen til skjæring. Dette blir fluktpunktet for loddrette kanter. For forlenger vi AB og AC til skjæring med horisonten. Det blir fluktpunktene for to horisontale retninger. Vi bruker så disse punktene til å trekke resten av MA-132 Geometri 136 Byrge Birkeland

137 kantene. Mønet finnes ved trekke diagonalene i grunnflata. Skjæringspunktet blir midtpunktet i grunnflata. Oppgave: Horisont D C B A Løsningsforslag: MA-132 Geometri 137 Byrge Birkeland

138 D C B A 6.6 Oppgaver Eksamen mai 2007, oppgave 3 Du skal tegne et firkantet prisme P i perspektiv. Du får oppgitt: To vannrette kanter AB og BC som ligger i horisontalplanet En loddrett kant BD Horisonten På svarark 1 skal du gjøre følgende: a. Fullfør konstruksjonen av prismet P. b. Dette prismet skal utvides med et trinn, et nytt prisme til høyre for og bak P, like bredt og dypt som P, men halvparten så høyt. Tegn figuren på svarark 1. På svarark 2 er det gitt de samme opplysningene som på svarark 1, men i tillegg er det gitt en punktformet lyskilde L, som står på en loddrett stang KL, der K ligger i horisontalplanet. På svarark 2 skal du gjøre følgende: c. Fullfør perspektivtegningen av prismet, som i oppgave a. Tegn og skraver skyggen av prismet i horisontalplanet. Vink: Projeksjonen i horisontalplanet av en lysstråle LP gjennom et punkt P som har projeksjon Q i horisontalplanet, er linja KQ. For eksempel er projeksjonen av LD lik KB. MA-132 Geometri 138 Byrge Birkeland

139 Eksamen i MA-104 Geometri 14.mai 2007 Svarark nr. 1 Kandidat nr. horisont D A C B Eksamen i MA-104 Geometri 14.mai 2007 Svarark nr. 2 Kandidat nr. horisont D A C B MA-132 Geometri 139 Byrge Birkeland

140 6.6.2 Mai 2006, oppgave 1 På svarark 1 er tegnet en figur sett ovenfra og fra siden. Figuren består av en trekant ABC som ligger i grunnplanet, samt et rett linjestykke DE ( flaggstang ) som står normalt på trekanten i punktet D. Videre er det gitt et øyepunkt O og en lyskilde plassert i et punkt L. a. Konstruer perspektivprojeksjonen av trekanten ABC med O som øyepunkt. Merk de projiserte punktene med A, B og C. b. Konstruer perspektivprojeksjonen av linjestykket DE med O som øyepunkt. Merk de projiserte punktene med D og E. c. Konstruer det punktet der en lysstråle sendt ut fra L gjennom E treffer horisontalplanet. Her skal du finne ut hvor punktet ligger sett ovenfra og fra sida. Sett navnet F på dette punktet. d. Konstruer perspektivprojeksjonen av skyggen av linjestykket DE. MA-104 Geometri 22. mai 2006 Svarark nr. 1 Kandidat nr. C C A D,E D A E B B L L O September 2006, oppgave 1 En bygård (et kvartal) med flatt tak har i grove trekk form som et rett prisme med en prismeformet åpning (plass) i midten. Sett ovenfra ser det omtrent slik ut (den lysegrå delen): MA-132 Geometri 140 Byrge Birkeland

141 Plassen i midten er halvdelen så lang og brei som gården, og den er sentrert i forhold til kvartalet. Tegn en perspektivtegning av gården basert på følgende opplysninger. Bruk svararket til oppgave 1. Den nærmeste vertikale kanten er gitt som linjestykket AB. D og C er nederste endepunkt på hver sin av to vertikale kanter. Horisonten er tegnet inn på svararket. Billedplanet er vertikalt. horisont D C Ma-104 Geometri Svarark til oppgave 1 B Kandidat nr. A Mai 2005, oppgave 2 Et legeme er framkommet ved at en rett firkantet pyramide er satt oppå et rett firkantet prisme, slik at pyramidens grunnflate akkurat dekker prismets toppflate. a. Tegn et perspektivbilde av legemet ved hjelp av følgende opplysninger, jfr. svararket. Projeksjonsplanet er loddrett. Horisonten er vannrett. De perspektiviske bildene av to av de loddrette kantene på prismet er gitt som linjestykkene AB og CD. Det laveste punktet på en tredje loddrett kant er gitt som punktet E. Pyramidens topp er rett over midtpunktet i grunnflata. Velg selv toppunktet i pyramiden. b. Tegn en dør på den ene veggen som er sentrert i horisontal retning. Bredde og høyde skal være halvdelen av veggens bredde og høyde. c. Tegn et vindu på den andre veggen som er sentrert både horisontalt og vertikalt, og som er halvdelen så høyt og breit som veggen. MA-132 Geometri 141 Byrge Birkeland

142 A D E C B MA-132 Geometri 142 Byrge Birkeland

143 7 Innføring i GeoGebra I dette kapitlet skal vi se på dataprogrammet GeoGebra. Det er et gratis geometri som kan lastes ned fra internettet. Vi tar først for oss verktøylinja: Alle ikonene i menyene er tegnet slik at blå objekter er inngangsverdier, mens røde objekter er resultater av programmets innebygde konstruksjoner og beregninger. Mange av ikonene er derfor selvforklarende, og du får 7.1 Flytt - menyen Flytt. Denne brukes til å peke på et objekt på tegneflaten, og eventuelt flytte det eller forandre Eksempel 1. Tegn en trekant. Dra så trekanten rundt på tegneflaten Roter om et punkt. Med dette verktøyet kan du rotere et punkt, om et gitt punkt ved å trekke i objektet. Eksempel 2. Fortsett fra eksempel 1. Merk av et punkt utenfor trekanten. Klikk på det nye punktet, og trekk i et av trekantens hjørner. Legg merke til at du ikke kan rotere hele trekanten, siden den ikke er et uavhengig objekt. 7.2 Punktmenyen Nytt punkt. Denne brukes til å merke av nye punkter, og vi har allerede brukt den i eksempel 2. Skjæring mellom to objekt. Denne brukes til å merke av skjæringspunktet mellom to endimensjonale objekter, to linjer, en sirkel og en linje, to sirkler osv. Eksempel 3. Tegn to rette linjer. Merk av skjæringspunktet. Gjør tilsvarende med to linjestykker, to sirkler, en sirkel og en linje osv. Midtpunkt eller sentrum. Denne brukes til å finne midtpunktet på et linjestykke, eller midtpunktet mellom to punkt. Den kan også brukes til å finne sentrum i et kjeglesnitt eller en sirkel. Eksempel 4. Merk av to punkter. Pek på de to punktene. MA-132 Geometri 143 Byrge Birkeland

144 7.3 Linjemenyen Linje gjennom to punkt. Denne brukes til å trekke en linje ved å merke av to punkt. Linja er da ubegrenset i begge retninger. Eksempel 5. Trekk to rette linjer. Finn skjæringspunktet mellom dem. Linjestykke mellom to punkt. Denne brukes til å trekke et linjestykke mellom to punkt. Det kan være to eksisterende punkt, eller du oppretter punktene. Eksempel 6. Merk av to punkt. Trekk et linjestykke mellom punktene. Tegn et linjestykke mellom to nye punkt. Sørg for at de to linjestykkene skjærer hverandre, og merk av skjæringspunktet. Linjestykke med fast lengde. Denne tegner et vannrett linjestykke i retning mot høyre med oppgitt lengde fra et oppgitt punkt. Eksempel 7. Klikk på et eksisterende punkt eller på et nytt punkt. Du får en dialogboks der du blir bedt om å skrive inn en lengde. Skriv inn for eksempel 2 og trykk Enter. Du får et linjestykke vannrett linjestykke med riktig lengde. Du kan forandre retningen på linjestykket ved å trekke i endepunktet. Hvis du vil ha punktet til å ligge på en eksisterende linje, må du slå en sirkel med gitte radien og deretter finne skjæringspunktet med linja. Stråle. Denne tegner en stråle gjennom to eksisterende eller nye punkter. Det først punktet gir et endepunkt, mens strålen er ubegrenset i retning av det andre punktet. Eksempel 8. I noen sammenhenger har du bruk for å ha en stråle med et punkt på strålen som du kan dra i. Det er nærliggende å bruke det andre punktet på strålen til dette, men det er ikke praktisk, fordi det er best å beholde retningen på strålen. Det er bedre å skjule det andre punktet og så velge et tredje punkt. Tegn en vannrett stråle gjennom punkter A og B. Skjul det andre punktet på strålen. Merk av et punkt på C. Mål avstanden mellom A og C Klikk på et punkt på skjermen, og skriv inn Avstanden fra A til C: +avstandac Dra i punkt C og observer. Vektor mellom to punkt. Denne brukes til å trekke en vektor mellom to nye eller to eksisterende punkt (eller ett nytt og ett eksisterende punkt). Dette er særlig aktuelt i forbindelse med, som du kan bruke til å lage en kopi av et objekt, for eksempel i forbindelse med flislegging. Se for eksempel oppgave 19 nedenfor. MA-132 Geometri 144 Byrge Birkeland

145 Vektor fra punkt. Denne brukes til å lage en kopi av en eksisterende vektor fra et gitt punkt. Dette kan for eksempel være praktisk i forbindelse med flislegging, der du i utgangspunktet definerer translasjonsvektorene i i figuren, men der det er praktisk å peke på en kopi av vektoren utenfor figuren når det skal opprettes translaterte kopier. Mangekant. Denne brukes til å tegne mangekanter ved hjelp av eksisterende eller nye punkt. Polygonet må lukkes ved at du klikker på det første hjørnet igjen til slutt. Regulær mangekant. Denne tegner en regulær mangekant med utgangspunkt i to gitte punkter, som definerer den første sidekanten. Mangekanten blir tegnet mot venstre sett i retning fra første til andre punkt. Eksempel 9. Tegn en trekant. Tegn et kvadrat på hver av sidene i trekanten. 7.4 Konstruksjonsmenyen Vinkelrett linje. Denne brukes til å oppreise en normal til en linje gjennom et gitt punkt. Punktet kan ligge på eller utenfor linja Eksempel 10. Ortosentret i en trekant Tegn en trekant. Nedfell normaler fra to av hjørnene på de motstående hjørnene. Merk av skjæringspunktet mellom de to normalen Trekk den siste høyden i trekanten. Klikk på skjæringspunktet og på den siste høyden, og se hva som skjer. Hvilken plangeometrisk setning svarer dette til? Parallell linje. Denne trekker en linje gjennom et oppgitt punkt parallell med en oppgitt linje. Midtnormal. Denne konstruerer midtnormalen på et oppgitt linjestykke eller mellom to oppgitte punkt. Eksempel 11. Omsenteret i en trekant. Tegn en trekant. Oppreis midtnormalen på to av sidene. Marker skjæringspunktet mellom de to midtnormalene. Trekk den siste midtnormalen. Klikk på skjæringspunktet og deretter på den siste midtnormalen, og se hva som skjer. Hvilken plangeometrisk setning tilsvarer dette? Halveringslinje for vinkel. Eksempel 12. Innsenteret i en trekant. Innsenteret i en trekant er skjæringspunktet mellom halveringslinjene for vinklene i trekant. Gjennomfør eksempel 11 med istedenfor. Tangenter. Denne utfører konstruksjonen av tangentene til en sirkel fra et punkt MA-132 Geometri 145 Byrge Birkeland

146 utenfor sirkelen. Eksempel 13. Slå en sirkel. Merk av et punkt utenfor sirkelen. Konstruer tangentene fra punktete til korden. Linje gjennom sekant eller diameter. Denne konstruerer en linje gjennom de to tangeringspunktene Eksempel 14 Fortsett på eksempel 13, og konstruer korden gjennom tangeringspunktene. 7.5 Sirkelmenyen Sirkel definert ved sentrum og punkt. Eksempel 15. Ta for deg trekanten med omsenteret i eksempel 10. Trekk omsirkelen. Ta også for deg trekanten med innsenteret fra eksempel 11. Nedfell normalen fra innsenteret på en av sidene. Marker skjæringspunktet mellom normalen og sidekanten. Trekk innsirkelen. Sirkel definert ved sentrum og radius. Sirkel gjennom tre punkt. Halvsirkel mellom to punkt. Sirkelen blir trukket mot venstre sett i retning fra første mot andre punkt. Sirkelbue definert ved sentrum, radius og punkt. Eksempel 16. Du skal imitere konstruksjonen av midtnormalen på et linjestykke slik det ser ut ved en standardkonstruksjon med passer og linjal. Tegn et linjestykke. Tegn to sirkler med dette linjestykket som radius. Merk av skjæringspunktene mellom de to sirklene. Trekk en linje gjennom de to skjæringspunktene. Trekk sirkler med radius vesentlig mindre en linjestykket, for eksempel 0.5, omkring de to skjæringspunktene. Merk av de 8 skjæringspunktene mellom de to store sirklene og de to små. Trekk opp de delene av de store sirklene som ligger innenfor de små sirklene. Skjul sirklene og skjæringspunktene. Sirkelbue gjennom tre punkt. Eksempel 17 Gjenta konstruksjonen fra forrige eksempel, men med istedenfor. MA-132 Geometri 146 Byrge Birkeland

147 Sirkelsektor definert ved sentrum, radius og punkt. Eksempel 18. Kakediagram. Tegn en sirkel med radius AB. Klikk på B og så på A. Skriv inn f. eks. 30. Du får et nytt punkt C. Klikk på C og på A, og skriv inn 60. Du får et nytt punkt D. Klikk på D og A, og skriv inn 45, så du får et nytt punkt E. Klikk på E og A, og skriv 120 Trekk opp sirkelsektorene ABC, ACD, ADE, AEF og AFB. Høyreklikk på hver av sektorene og tildel dem hver sin farge: Sirkelsektor ved tre punkt. Kjeglesnitt gjennom fem punkt. Eksempel 19. Tegn et kjeglesnitt ved å merke av fem punkter. Finn sentrum i kjeglesnittet. Flytt punktene, og se hva som skjer med senteret. Merk av et punkt utenfor kjeglesnittet., Tegn tangentene fra punktet til kjeglesnittet og trekk korden gjennom tangeringspunktene. Trekk i punktene som definerer kjeglesnittet og se hva som skjer. 7.6 Meny for mål, vinkel, glider, geometrisk sted Vinkel. Denne brukes til å markere og måle en vinkel som er definert ved hjelp av tre punkter. Det midterste av dem må være toppunktet i vinkelen. Du må sørge for at rotasjonsvinkelen fra det første punktet dreies med urviserne for å komme til det tredje punktet. Den kan også brukes på et polygon, og da måles og markeres alle de indre vinklene i polygonet. Eksempel 20. Merk av tre punkter A, B og C. Klikk på A, B og C, slik at du får markert vinkelen ABC. Klikk deretter på punktene i rekkefølgen C. B og A. Nå har du fått markert to vinkler som til sammen er 360. Tegn to linjestykker DE og FG som ikke skjærer hverandre.. Klikk på de to linjestykkene. Du får markert vinkelen mellom linjestykkene, selv om skjæringspunktet ikke ligger innenfor linjestykkene. Tegn en trekant HIJ. Klikk i det indre av trekanten HIJ. Du får markert alle vinklene i trekanten.., Prøv det samme med andre polygoner. Vinkel med fast størrelse. Denne markerer en vinkel ut fra et gitt vinkelbein med en gitt størrelse. Hvis tar utgangspunkt i et linjestykke, blir det først definerte punktet brukt som toppunkt i vinkelen. Hvis du bruker to punkter, blir det siste av dem brukt som toppunkt. I tillegg til en markering av vinkelen får du et punkt på det nye MA-132 Geometri 147 Byrge Birkeland

148 vinkelbeinet. Eksempel 21. Tegn et linjestykke AB. Klikk på linjestykket AB, og godta forslaget 45. Du får markert en vinkel med A som toppunkt, og dessuten et punkt på det nye vinkelbeinet som har samme avstand fra A som B. Klikk så på A og deretter på B, og godta 45. Nå blir B vinkelens toppunkt. Legg merke til at du kan velge om vinkelen skal gå i positiv retning mot urviserne eller i negativ retning med urviserne. Istedenfor å skrive inn et tall i dialogboksen kan du skrive navnet på en eksisterende vinkel. Start en ny Geogebra-fil (Fil-Ny eller Velg alt - Delete). Merk av tre punkter A, B og C. Klikk på B, A og C, slik at du får markert Trekk et linjestykke DE. BAC. Vinkelen får navnet α. Klikk på linjestykket DE, og skriv inn α i dialogboksen. Du får merket av en vinkel β med samme størrelse som α, og et punkt F på β s andre vinkelbein. Dra i A, B eller C og se hvordan β følger α. Avstand eller lengde. Denne måler avstanden mellom to punkt, lengden av et linjestykke, avstanden fra et punkt til en linje eller omkretsen av et polygon. Eksempel 22. Merk av to punkt A og B. Klikk på A og B, og du får avstanden mellom A og B. Trekk linjestykket AB, som får navnet a. Klikk på linjestykket AB, og du får lengden av linjestykket a, som er det samme som avstanden mellom A og B. Merk av et punkt C utenfor AB. Klikk på C og deretter på linjestykket AB. Tegn et vilkårlig polygon. Klikk i det indre av polygonet. Du får omkretsen av polygonet.,,, osv. Tegn objekter av ulike typer. Mål lengdene av objektene. Areal. Denne gir arealet som omsluttes av en mangekant, en sirkel, en ellipse, en sirkelsektor. Eksempel 23. Fortsett på eksempel 22. Finn arealene av de av i eksempel 22 som omslutter et begrenset areal. Stigning. Denne tegner en rettvinklet trekant med en katet med lengde 1, og den andre kateten med lengde lik stigningen til objektet. Eksempel 24.,, eller Tegn et eller flere linje-objekt. Finn stigningen til objektet. Glider. Denne gir en mulighet for å velge en verdi ved å trekke i en glider. Eksempel 25. MA-132 Geometri 148 Byrge Birkeland

149 Du får opp en dialogboks. Spørsmålet Hvor mange sider? er misvisende; det er bare en måte å be om en numerisk verdi. Det burde ha stått Verdi. Du kan altså velge at variabelen skal stå for en vinkel, og intervallet blir da begrenset til 0,360. Det er ikke alltid at dette er nyttig, for eksempel hvis du vil tegne [ ] Archimedes spiral. La nå intervallet være [0,10] med stegverdi 0.1. Tegn en sirkel med radius a, der a er verdien av glideren. Trekk i glideren, og se hvordan sirkelen endrer seg. Avkryssingsboks for å vise og skjule objekt. Denne kan du bruke til f. eks. å vise eller skjule hjelplinjene i en konstruksjon ved å klikke i ruta. Eksempel 26. Konstruksjon av midtnormal. Tegn et linjestykke AB. Trekk en sirkel med sentrum i A og radius AB og en sirkel med sentrum i B og radius AB. Merk av skjæringspunktene mellom de to sirklene. Trekk en linje gjennom de to skjæringspunktene. Klikk et sted og skriv inn teksten Vis konstruksjon:, og velg de to sirklene og de to skjæringspunktene som de objektene som skal vises/skjules. Klikk i - boksen for å se hva som skjer. Geometrisk sted. Denne tegner et geometrisk sted. Du må konstruere et punkt på det geometriske stedet ved hjelp av en lengde som er definert som avstanden mellom to punkter på en fast linje eller linjestykke eller stråle. Så klikker du først på det konstruerte punktet, deretter på punktet på linja. Eksempel 27. Midtnormal som geometrisk sted. Trekk en vannrett stråle AB. Skjul punktet B. Merk av et punkt C på strålen. Mål avstanden AC. I algebravinduet ser du da en variabel med navnet avstandac. Tegn et linjestykke DE. Slå to sirkler med radius avstandac, én med sentrum i D og én med sentrum i E. Merk av skjæringspunktene F og G mellom de to sirklene. Klikk på F og deretter på C og så på G og deretter på C. Du får tegnet de to halvdelene av midtnormalen. Flere, mer interessante eksempler: Se oppgave nedenfor. 7.7 Tranformasjonsmenyen Speil objekt om punkt. Eksempel 28. Tegn et polygon. MA-132 Geometri 149 Byrge Birkeland

150 Merk av et punkt utenfor polygonet. Klikk på polygonet, deretter på punktet. Dra i punktet og observer. Speil objekt om linje. Eksempel 29. Tegn et polygon eller et vilkårlig objekt.,,, Tegn et linjeobjekt. Klikk på polygonet og deretter på linjeobjektet. Dra i punktene og linja og observer. Roter objekt om punkt med fast vinkel. Eksempel 30. Opprett en glider, der du merker av for Vinkel. Tegn et polygon eller et annet objekt. Merk av et punkt utenfor objektet. Klikk på objektet, og deretter på punktet. I dialogboksen skriver du navnet på variabelen i glideren α. Trekk i glideren og observer. Flytt objekt med vektor. Eksempel 31. Tegn et polygon eller et vilkårlig objekt. Tegn en vektor. Klikk på polygonet og deretter på vektoren. Trekk i endepunktet på vektoren og observer. Utvid objekt fra punkt med faktor. Dette blir en homoteti: Alle avstander fra et fast punkt til et punkt på objektet blir multiplisert med det samme tallet. Eksempel 32. Opprett en glider for variabelen a med verdier mellom 0 og 5. Tegn et polygon eller et vilkårlig objekt. Merk av et punkt utenfor objektet. Klikk på polygonet og deretter på punktet. Skriv a i dialogboksen som navn på faktoren. Dra i glideren, og i punktene, og observer. 7.8 Menyen for tekst og bilde, forholdet mellom to objekt. Sett inn tekst. Ved hjelp av denne kan du skrive inn tekst, og du kan også skrive inn matematiske formler ved hjelp av Latex. Her er en lenke til en artikkel som dreier seg om det: Eksempel 33. MA-132 Geometri 150 Byrge Birkeland

151 f(x)=sin(x) Opprett en glider med variabelnavn a og verdier mellom 0 og 10. Integral[f,0,a]. I algebravinduet får du en variabel b. Kryss av LaTex formel, og skriv inn "\int_{0}^{a} \sin(x) \, dx = " + b. Trekk i a-glideren og observer. Sett inn bilde. Her kan du sette inn et bilde som du har i et grafikkformat, gif,.jpg,.tif,.eller.png Eksempel 34., Tegn først en regulær trekant, og roter denne så denne 60 grader om tyngdepunktet, som du kan finne som Tyngdepunkt[poly1], der poly1 er navnet på trekanten Velg farger på de to trekantene (høyre-klikk og Egenskaper), slik at du får en figur som kan se slik ut: Lag en ramme som så vidt inneholder hele stjerna. Velg så Fil Eksporter Tegneflate som bilde, aksepter.png-format, og gi fila for eksempel navnet Davidsstjerne.png. Start en ny fil. Hent inn fila Davidsstjerne.png. Det kan være du få en versjon av stjerna som er for stor eller for liten. Det kan rette på det ved å høyre-klikke på den og velge Egenskaper. Velg fanen Posisjon. Hjørne 1 gir nedre venstre hjørne i den ramme som omslutter figuren, hjørne 2 gir nedre høyre hjørne, og hjørne 4 gir øvre venstre hjørne. Programmet vil da tilpasse størrelse og fasong på stjerna slik at den passer innenfor den nye ramma. Forhold mellom to objekter. Denne kan brukes til å avgjøre om et punkt ligger på en linje Eksempel 35 Tegn en trekant. Midt punktet på en av sidene. Trekk medianen fra midtpunktet til det motstående hjørnet. Merk av tyngdepunktet i trekanten ved å skrive Tyngdepunkt[poly1] i inntastingsfeltet. Klikk på tyngdepunktet og på medianen. Du får en dialogboks som sier at tyngdepunktet ligger på medianen. Se for øvrig oppgave 1, 2 og 3 nedenfor. 7.9 Menyen for flytting av tegneflaten, visning eller skjuling av objekt og navn, sletting av objekter. Flytt tegneflaten. Forstørr. Denne kan du brukes til å endre målestokken på en tegning, slik at den ser ut til å forstørres. Hvis du har en mus med hjul, kan du oppnå det samme ved å trekke hjulet til deg. Forminsk. Denne kan du brukes til å endre målestokken på en tegning, slik at den ser ut til å forminskes. Hvis du har en mus med hjul, kan du oppnå det samme ved å skyve hjulet fra deg. MA-132 Geometri 151 Byrge Birkeland

152 Vis eller skjul objekt. Objektene som opprettes får automatisk tilordnet navn, og vises på skjermen. Du kan imidlertid skjule dem ved å velge og så klikke på det objektet eller de objektene som skal skjules. Samme fremgangsmåte brukes for å vise et objekt som er blitt skjult. Vis eller skjul navn på objekt. Du kan bestemme om navnene på objektene skal vises eller skjules med menyvalget Innstillinger Navn på objekt. Du kan imidlertid også velge om navnet på et objekt skal vises ved å bruke og så klikke på objektet. Alternativt kan høyreklikke på objektet og slå av eller på Vis navn. Kopier format eller stil. Denne er meget nyttig når du skal mange objekter med samme utseende, for eksempel i forbindelse med flislegging. Se for eksempel oppgave 9 nedenfor. Slett objekt. Alternativt til å bruke denne knappen og klikke på objektet kan du høyreklikke på det og merke av Slett Øvingsoppgaver Trekant med medianer. Løsningsforslag her. a. Tegn en trekant ABC. b., Finn midtpunktene A' på BC, B' på AC og C' på AB. Sett navn på dem (høyreklikk på punktene og bruk ). c. Trekk to av medianene (forbindelseslinja mellom et hjørne og midtpunktet på den motstående sida) AA' og BB'. d. Merk av skjæringspunktet D mellom AA og BB. e. Trekk den siste medianen CC' som linjestykke. f. Klikk på punktet D og medianen f = CC. Alternativt: Skriv i inntastingsfeltet Forhold[D,f]. Du får opp en melding som ser slik ut (se nedenfor).hvilken plangeometrisk setning svarer dette til? g. Klikk et sted under trekanten, og skriv følgende tekst : "AD/DA'=" + (Avstand[D, A]) + "/" + (Avstand[D, A']) + " = " + (Avstand[D, A] / Avstand[D, A']). Sett inn teksten på to steder til, og gå så inn og rediger teksten (høyreklikk rediger): Den ene gangen erstatter du A med B, og den andre gangen erstatter du A med C. Resultatet kan se slik ut: AD/DA =2.16/1.08=2 BD/DB =2.18/1.09=2 CD/DC =2.62/1.31=2 Hvilken plangeometrisk setning svarer denne oppgaven til? h. Tegn en ny trekant EFG. Den får navnet poly2 i lista i algebravinduet. Skriv inn: Tyngdepunkt[poly2]. MA-132 Geometri 152 Byrge Birkeland

153 Omsirkel med makro. a. Tegn en trekant ABC. b. Oppreis midtnormaler på sidene AB og AC c. Merk av og sett navn på skjæringspunktet D mellom disse midtnormalene d. Oppreis en midtnormal på sida BC. e. Vis at D ligger på midtnormalen på BC. f. Slå en sirkel med sentrum i D som går gjennom A (og B og C). Kommentér. g. La oss si at du gjentatte ganger har bruk for å finne omsirkelen til en trekant. Du vil lage et nytt verktøy for å ta seg av dette og velger Verktøy Lag nytt verktøy. Du får en dialogboks som ser slik ut: h. Velg ved å klikke følgende elementer i boksen for Sluttobjekt: i. Klikk på Startobjekt og velg trekanten poly1. som startobjekt. j. Velg så Navn og ikon, og fyll ut dialogboksen. Gi makroen navnet Omsirkel. Tegn eventuelt et passende ikon. k. Test makroen på noen nye trekanter Innsirkel med makro. Innsirkelen til en trekant er en sirkel som berører alle sidene innenfra. a. Tegn en trekant ABC. b. Trekk vinkelhalveringslinjene for vinklene A og B. c. Merk av skjæringspunktet D for de to vinkelhalveringslinjene. d. Trekk vinkelhalveringslinja for vinkel C, og sett navnet c på den. e. Vis at D ligger på c. f. Nedfell en normal fra D på AB, og merk av skjæringspunktet E. g. Trekk en sirkel med sentrum i D som går gjennom E. h. Nå har du konstruert innsirkelen til trekantene ABC. Lag og test et nytt verktøy på samme måte som i oppgave 2 der du konstruerer innsirkelen med sentrum og tangeringspunkter i en gitt trekant. MA-132 Geometri 153 Byrge Birkeland

154 Rektangel Du skal tegne et rektangel basert på to hjørner A og B og lengden av de kantene som står normalt på AB. Løsningsforslag her. a. Tegn et linjestykke AB. b. eller. I inntastingsfeltet, skriv inn 2, slik at du ser b=2 i algebravinduet. Alternativt, opprett en glider. Du kan også bruke en vilkårlig av de numeriske variablene i algebravinduet. c. Tegn en sirkel med sentrum i B og radius b. d. Oppreis en normal på AB i A og en i B e. Merk av det skjæringspunktet D mellom sirkelen og normalen gjennom B som ligger til venstre sett i retningen fra A mot B. f. Trekk en parallell med AB gjennom D. g. Merk av skjæringspunktet C mellom normalen på AB gjennom A og parallellen med AB gjennom D. h. Trekk opp firkanten ABDC. i. eller høyreklikk og fjern merket foran Vis objekt. Skjul parallellen og normalene. j. Klikk på og trekk i hvert av punktene A, B for å se effekten. Hvis du hartatt verdien av den andre sida i rektanglet fra en glider, trekk i verdien i glideren for å se effekten k. Klikk på C eller D og prøv å trekke i dem. Hele rektanglet flyttes. l. Lag et nytt verktøy som konstruerer rektanglet med sidekanter og alle hjørner, gitt hjørnene A og B og lengden av sidene normalt på AB Speilinger og translasjoner. Løsningsforslag her. a. Merk av to punkter A og B. b. Trekk linja AB. c. Tegn en trekant DEF. d. Merk av et punkt f. e. Klikk i det indre av trekanten DEC og deretter på linja AB. Se hva som skjer. f. Klikk på trekanten CDE og deretter på punktet F. Se hva som skjer. g. Trekk en vektor GH uuur. h. Klikk på trekanten DCE, deretter på vektoren GH uuur. i. Dra i de forskjellige punktene og observer hva som skjer. MA-132 Geometri 154 Byrge Birkeland

155 Rotasjoner. Løsningsforslag her. a. Tegn to stråler med felles startpunkt O b. Marker vinkelen mellom de to strålene. Klikk først på B, så på O og så på C. Vinkelen får navnet α. c. Tegn en vilkårlig mangekant. Den får navnet poly1. d. Klikk så først på mangekanten og deretter på punktet O, og skriv så inn α i dialogboksen. Observer hva som skjer. e. Trekk i strålene, mangekanten og O og observer. f., Roter også polygonet ved å skrive for eksempel 30 i dialogboksen, eller ved å hente verdien av vinkelen fra en glider. Trekk i glideren, og observer Parallellforskyvninger. Løsningsforslag her. a. Merk av tre punkter A, B og C. b. Trekk linjestykkene AB og AC c. Trekk en parallell med AB gjennom C og en parallell med AC gjennom B. d. Merk av skjæringspunktet D mellom parallellene. e. Trekk opp mangekanten ABDC. f. Skjul de to parallellene, slik at bare parallellogrammet er synlig g. Trekk opp vektorene AB og AC. h. Klikk på parallellogrammet ABDC og deretter på vektoren AB. Klikk på mangekanten ABDC og deretter på vektoren AC.Gjenta på kopiene inntil du har fått dekket et parallellogramformet område. i. Fyll ut med passende farger: Høyreklikk Egenskaper - Farge. j. Trekk i punktene A, B og C og observer Flislegging med regulære sekskanter. Løsningsforslag her. a. Tegn en regulær sekskant ABCDEF og en regulær sekskant DCGHIJ med DC som en av kantene. b. Trekk vektorene FG og AE. Trekk vektoren DB c. Lag parallellforskjøvne kopier av de to sekskantene slik at de dekker et passende område. d. Fyll ut sekskantene i passende farger MA-132 Geometri 155 Byrge Birkeland

156 Flislegging med regulære sekskanter, kvadrater og likesidede trekanter. Løsningsforslag her. Tegn følgende flislegging på lignende måte som den i forrige oppgave: a. b. Ta for deg flisleggingene i avsnitt Prøv å reprodusere noen av dem Det gylne snitt. I denne oppgaven skal vi konstruere et rektangel der sidene er som i det gylne snitt, og lage en makro som konstruerer et slikt rektangel automatisk, gitt den lengste sida. a. Start med å trekke et linjestykke AB. b. Finn midtpunktet M av AB c. Oppreis en normal på AB i A. d. Slå en sirkel med sentrum i A og radius AM. e. Merk av skjæringspunktet C med normalen i A. f. Trekk trekanten ABC, som nå er en rettvinklet trekant med kateter AB og AB/2 Etter Pythagoras er da hypotenusen 5/2 AB. g. Slå en sirkel med radius AB/2 og sentrum i C. h. Merk av skjæringspunktet D med hypotenusen. i. Slå en sirkel med radius BD og sentrum i D. j. Marker skjæringspunktet E med normalen i B. k. Trekk en parallell med AB gjennom E og marker skjæringspunktet F med normalen i A. l. Lengden av linjestykket BD er nå AB ( 5 1)/2, og dette er den riktige verdien i det gylne snitt. Kontroller dette: m. Bruk Avstand og lengde til å finne lengdene av AB og BE. n. Finn forholdet mellom dem. o. Lag og test en makro som gir et rektangel i det gylne snitt, gitt et linjestykke. MA-132 Geometri 156 Byrge Birkeland

157 Ellipse. I denne oppgaven skal vi konstruere en ellipse ut fra definisjonen: En ellipse er det geometriske sted for de punkter hvis avstander til to oppgitte punkter har en konstant sum. Løsningsforslag her. a. Merk av to punkter (brennpunkter) A og B. b. Trekk en vannrett stråle (langt unna A og B) som starter i et punkt D. c. Skjul det andre punktet på strålen. d. Merk av et punkt E på strålen. Linjestykket DE skal nå spille rollen som summen av avstandene til de to brennpunktene fra et punkt på ellipsen. e. Merk av et punkt F på linjestykket DE. f. Marker linjestykkene DF og FE, som skal være de to avstandene. g. Slå en sirkel om A med DF som radius (klikk på A og deretter på DF) og så en sirkel om B med radius FE. h. Marker skjæringspunktene P og Q. i. Klikk så på P og deretter på F. Klikk deretter på Q og deretter på F. Nå har du fått trukket to halvdeler av ellipsen. j. Trekk i punktene A, B, F og E, og observer Parabel. Løsningsforslag her. En parabel er det geometriske sted for de punktene som har samme avstand fra en gitt linje som fra et gitt punkt. Bruk denne definisjonen til å tegne en parabel etter samme oppskrift som i forrige oppgave Hyperbel. Løsningsforslag her. En hyperbel der det geometriske sted for de punktene hvis avstander til to oppgitte punkter (brennpunktene) har en bestemt forskjell.. Bruk denne definisjonen til å tegne den hyperbel etter samme oppskrift som i de to foregående oppgavene Sykloide. Løsningsforslag her. En sykloide framkommer ved at du merker av et punkt på et hjul og så triller hjulet bortover. Banen til det avmerkede punktet kalles en sykloide. Tegn en sykloide. Vink: Tenk over hvor mye punktet er rotert om sentrum i hjulet etter at berøringspunktet har flyttet seg en gitt avstand. MA-132 Geometri 157 Byrge Birkeland

158 Episykloide. Løsningsforslag her. Hvis hjulet i sykloiden i forrige oppgave beveger seg på innsiden av en sirkel istedenfor på et plant underlag, vil et avmerket punkt på hjulet bevege på en episykloide. Lag en slik episykloide. Sørg for at forholdet mellom radiene i hjulet og den store sirkelen er en brøk med nevner opp til for eksempel 20. Vink: Slik kan det se ut: Bruk for å velge teller og nevner Hyposykloide. Løsningsforslag her. Hvis hjulet i de forrige oppgavene beveger seg på utsiden av en sirkel istedenfor på innsiden, vil et avmerket punkt bevege seg på en hyposykloide. Lag en slik hyposykloide, jfr. figuren til venstre nedenfor. Kombiner til slutt epi- og hyposykloidene i samme diagram. Jfr. figuren til høyre nedenfor. Løsningsforslag her GeoGebra-kommandoer De følgende kommandoer skrives inn i inntastingsfeltet. Mange av dem tilsvarer operasjoner som du også kan få til ved hjelp av menyen, men en del av dem kan du bare få til ved å bruke inntastingsfeltet og skrive inn kommandoene Akser trekker de to aksene i et kjeglesnitt. Syntaks: Akser[<Kjeglesnitt>] Eksempel c. Tegn et kjeglesnitt gjennom fem punkter. I algebravinduet ser du at kjeglesnittet får navnet Akser[c]. Trekk i punktene for se hvordan aksene endres Areal finner arealet innenfor et polygon eller et kjeglesnitt, svarer til. Syntaks: Areal[<Punkt>,,<Punkt>] eller Areal[<Kjeglesnitt>] MA-132 Geometri 158 Byrge Birkeland