Problemløsning og utforsking i geometri

Transkript

1 Universitetet i Agder Fakultet for realfag og teknologi Institutt for matematiske fag MA-13 Geometri Problemløsning og utforsking i geometri Hva er et matematisk problem? Ikke alle matematiske oppgaver er problem. Noen er øvingsoppgaver for bestemte ferdigheter, andre er drøftingsoppgaver for bestemte begreper. Et problem er en oppgave der en ikke straks har ferdig en løsningsmetode. En har ikke parat en algoritme som kan brukes på denne oppgaven, slik at en ved å benytte denne løser oppgaven. Dermed har dette sammenheng med det en person eller en elev kan fra før. Problemet bør kjennes som en utfordring for den som jobber med det, og problemløseren bør ha en viss motivasjon for å gå løs på problemet. Problemløsning har en matematisk, en kognitiv og en affektiv side i undervisningen. Problemløsning og utforsking er en arbeidsmåte som gjennomsyrer den nye planen for grunnskolen, L97, og i en viss grad også planen for den videregående skolen, R94. Hva er et rikt problem? Et problem kan være lukket. Det er ikke slik at det utfordrer til å gå videre. Det er ikke slik at løsningsmetoden er generell, slik at løsningen gir svaret på flere, tilsvarende oppgaver. Da mister problemløsningsprosessen noe av den verdien dette arbeidet kan ha med tanke på å lære matematikk. Et rikt problem derimot kan nettopp gi en langsiktig læring. Noen kjennetegn på et rikt problem i undervisning vil være: Det * starter enkelt * er enkelt å formulere * kan utvides * gir utfordringer til elever på ulike nivå * har gjerne en praktisk tilknytning * leder til interessant matematikk * inviterer til å bruke gode arbeidsmåter: undersøke, finne mønster, beskrive, generalisere og bevise * har en viss overføringsverdi Et godt problem i undervisningen bør balansere i vanskegrad mellom et problem som de fleste elevene eller studentene får til rimelig raskt - og ett som utfordrer dem i vesentlig grad. Ofte vil et slikt problem ligge til rette for samarbeid i gruppe. Ved at flere går sammen, kan de utnytte hverandre, drøfte, komme med ideer. Samarbeid blir dermed vesentlig for problemløsning. MA-13 Geometri 1 Byrge Birkeland

2 Stadier i problemløsningen Polyas fire hovedstadier i problemløsningsprosessen er: I Forstå problemet II Finn en plan III Gjennomfør planen IV Se tilbake Disse stadiene kan være en beskrivelse som passer til mange tilfeller av problemløsning. Det kan være en mal du kan vurdere arbeidet mot, for å finne ut hvor du er i prosessen. De fire punktene kan lett utvides med underpunkter. Modell for problemløsningsprosessen Hans Erik Borgersen utvider Polyas fire stadier og lar følgende modell beskrive den prosessen som finner sted ved problemløsning: 1 Analysere og definere problemet Lage en tegning eller modell 3 Prøve og feile som kan føre til kvalifisert gjetting 4 Finne en hypotese 5 Utvikle et bevis 6 Reflektere over løsning og løsningsprosess 7 Forsøke å generalisere problemet og formulere nye problemer Invitasjon til problemløsning i geometri Mange geometrioppgaver vil ha karakter av problem. Også innenfor grunnleggende euklidsk geometri finnes det oppgaver der en løsningsmetode vanligvis ikke er klar eller standard. Følgende er et opplegg for problemløsning i geometri for studentene på kurset MA-13. Det skal med spesielle unntak - utføres i grupper, for å gi erfaring med samarbeid og med å utnytte hverandres ressurser. Hver gruppe skal bestå av minst, høyst 5 studenter. Praktiske hensyn kan i spesielle tilfelle begrunne at oppgavene kan løses individuelt. Dette må i så fall avtales med faglærer. Alle gruppene skal arbeide med problem fra elementær euklidsk geometri. Målet er først og fremst å oppleve problemløsning som en prosess, og dermed få erfare hvordan resultater i matematikken kan oppnås, og hva som ligger bak de ferdige setningene, eller resultatene. Hvert problem er gitt slik at dere må eksperimentere, skaffe intuitiv forståelse, gjette på sammenhenger, sette opp hypoteser, undersøke hypotesene, eventuelt bevise dem, tenke alternative bevis og mulige generaliseringer av problemet og formulering av beslektede problem. Hver gruppe skal skrive en prosjektrapport som bør/må inneholde: * Plan for arbeid/gjennomført arbeid (logg) * Problemformulering (analyse og tegning) * Prosessbeskrivelse * Hypoteseformulering og løsningsforslag med bevis MA-13 Geometri Byrge Birkeland

3 * Generalisering og formulering av nye problem for hver oppgave * Evaluering av prosjektet Prosessbeskrivelsen skal inneholde hovedtrekkene om arbeidets gang, om de ulike trinn eller stadier gruppa gikk gjennom under arbeidet med problemene, også ideer som ble prøvd ut og som kanskje ikke viste seg så fruktbare, stadier der en gikk seg fast, og gruppas tilbakeblikk og refleksjoner over sitt eget arbeid. Evalueringen skal inneholde en oppsummering av de erfaringer hver gruppe har gjort med denne typen arbeid. Dette gjelder innhold og faglig utbytte (Hva har vi lært?), arbeidsform, samarbeid og gjennomføring. Rapporten skal signeres av de studentene som har deltatt i gruppearbeidet. Hver gruppe skal arbeide med tre oppgaver: Oppgave 1, samt to av oppgavene -6. Se nedenfor. Lykke til! MA-13 Geometri 3 Byrge Birkeland

4 Problemløsningsoppgaver i MA 13 Geometri høsten 007 Arbeid med Oppgave 1, samt to av oppgavene -6 Oppgave 1 På figuren skjærer to sirkler hverandre i punktene C og E og har fellestangent som berører sirkelen i A og B. Forlengelsene av BC og AC skjærer sirklene i D og F. a) Anta at ABC er gitt med CAB = 30 og CBA = 45. Konstruer punktene D, E og F. Mål vinklene i ACD og CBF. Er D, E og F kollineære (ligger disse punktene på ei rett linje)? Undersøk for andre vinkelverdier, for eksempel (15, 30 ), (15, 45 ), (30, 60 ), b) Anta at ABC er gitt med CAB = u og CBA = v. Prøv å finne nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at D, E, F er kollineære. c) Gitt to sirkler med radius R og r. Kan sirklene alltid plasseres slik at vi får en figur som ovenfor der D, E og F er kollineære? Begrunn svaret. MA-13 Geometri 4 Byrge Birkeland

5 Oppgave Gitt en likesidet trekant ABC og et punkt P på sida BC. La PBD og CPE være likesida og utvendige trekanter til ABC. La videre Q, R og S være ortosenter i henholdsvis ABC, PBD og CPE. a) Velg ulike plasseringer av P på BC og studér QRS. Prøv å formulere en hypotese. b) Prøv å bevise hypotesen i a). c) Prøv å generalisere problemet. Oppgave 3 To eiendommer er begrenset av to rette linjer l og m. La P være et punkt mellom l og m, og la A være et punkt på l og B et punkt på m. Grenselinja mellom eiendommene er da den brukne linja APB. a) Kan du erstatte den brukne linja APB med én rett linje slik at arealet av eiendommene ikke endres? Diskuter ulike løsninger. b) Hvis du erstatter APB med en brukken linje APQB, der P og Q ligger mellom A og B, kan du trekke én linje som ikke endrer arealene? c) Tenk deg at du erstatter den brukne linja med en mer generell kurve, og skal løse det tilsvarende problemet da. Hvilke restriksjoner ville du legge på kurven? Hvordan ville du nå legge en rett linje som ga samme areal på eiendommene? d) Kan du generalisere problemet i a) til det tilfellet at l og m ikke er parallelle? MA-13 Geometri 5 Byrge Birkeland

6 Oppgave 4 a) En ellipse er som kjent det geometriske sted for de punktene hvis avstand til to oppgitte punkter (brennpunkter) har en konstant sum. En parabel er det geometriske sted for de punktene som er slik at avstandene til en oppgitt linje (styrelinja) og et oppgitt punkt (brennpunktet) er like. Bruk Cabri s menyvalg Lokus (geometrisk sted) til å tegne en ellipse og en parabel. Gitt en sirkel C med diameter en diameter AB. To sirkler C 1 og C skjærer hverandre i D og E, og tangerer C i henholdsvis A og B. b) Vis at sentrum i en sirkel som tangerer både C og C, må ligge på en ellipse, og identifiser ellipsens brennpunkter. Gjør tilsvarende for sirkler som tangerer både C og C. Bruk Cabri til å tegne de geometriske stedene for disse sentrene. 1 c) Vis at sentrum i en sirkel som tangerer både C og linja DE, må ligge på en parabel, og identifisere brennpunkt og styrelinje. Gjør tilsvarende for sirkler som berører C 1 og DE. Bruk Cabri til å tegne de geometriske stedene for disse sentrene. d) Bruk Cabri til først å finne sentrum i de sirklene som berører både C, C1 og DE, hhv. C, C og DE. Tegn så disse sirklene. e) Fremsett en hypotese om sirklene i oppgave d) basert på Cabri-figuren. Forsøk å bevise hypotesen (vanskelig). MA-13 Geometri 6 Byrge Birkeland

7 Oppgave 5 a) Velg et punkt P i planet. Konstruer en likesida trekant slik at P er et indre punkt og slik at avstanden fra P til sidene i trekanten er h.h.v. 3, 5 og 7 cm. b) Konstruer en vilkårlig likesida trekant ABC. La P være et indre punkt. La d a, d b, d c være avstandene fra P til sidene i trekanten (d a er avstanden fra P til sida som er motstående til A, etc.) c) Bruk Cabri til å konstruere trekanten fra oppgave b). Få Cabri til å måle avstandene d a, d b, d c Trekk punktet P rundt i trekanten, og let etter en regel. Prøv å formulere en hypotese. d) Prøv å bevise hypotesen i c). e) Prøv å generalisere problemet ovenfor. Oppgave 6 a) Gitt en trekant ABC. La C være et punkt på AB slik at AC :C B=:1, la A være et punkt på BC slik at BA :A C=:1, og la B bære et punkt på CA slik at CB :B A=:1. AA og BB skjæres i punktet C, BB og CC skjæres i A, og AA og CC skjæres i B. Utfør konstruksjonen med Cabri, og mål arealene av trekantene ABC og A B C. Hva er forholdet mellom dem? Sett opp en hypotese, og forsøk å bevise den. (Hint: En mulighet er å bruke elementær vektorregning i planet, jfr. MX. Se spesielt på arealene av de små trekantene ved hjørnene av trekanten ABC. Kan du si noe om hvordan AA og CC deler hverandre?) b) Lag tilsvarende figurer der sidene i trekanten ABC er delt i 4, 5, eller 6 deler istedenfor i 3 deler. Sett opp tilsvarende hypoteser som den i oppgave a) c) Prøv å generalisere hypotesen/teoremet i oppgave b), og forsøk å bevise den/det. (Jfr. hintet i oppgave a) Lykke til! MA-13 Geometri 7 Byrge Birkeland