OPPGVE Kommnar: Høgskoln Gjøk d. for kn. øk. og ldls amakk Løsnngsforslag l øng ll nkn r løs md "Ubsm koffsnrs mod" sl om også knn a bn Lagrangs mod. a ODE:. d nalbnglsr: ( ( Homogn løsnng: ( Ds. løsnngn a dn omogn dff.lknngn Karakrssk lknng (K.L.: r r (r (r r r r r ( Parklær løsnng: Sdn f( rør md:. Gr: Innsa ODE: ( Gnrll løsnng: (. Ssll løsnng: (Kan bar rgns s nalbnglsr r kjn llrs l dn gnrll løsnngn ær sar Drr: ( Innsa nalbnglsn: ( ( rk! å alld fnn dn gnrll løsnngn før kan bsmm konsann og ( b ODE: ( (. K.L.: r r (r (r r r Homogn løsnng: ( Løsnng a. al: # Dfnrr dff.lknngn: > od := dff(($ + *dff(( + *( = ; # Løsr dff.lknngn md nalbnglsr: > dsol( {od (= D((=} ( ; Parklær løsnng : Innsa ODE: ( ( Gnrll løsnng: ( ( ( Innsa nalbnglsn: ( Løsnng: ( sd a
ODE: sn( KL: r r (r (r r r Par. løsn. : Homogn løsnng: sn Bos os Bsn sn Bos Innsa ODE: ( B sn ( B B os sn B B B sn os Gnrll løsnng: ( sn os d ODE: KL: r r (r (r r r Parklær løsnng rør : B Homogn løsnng: Innsa ODE: ( ( B ( B ( B ( B B B Gnrll løsnng: ( B B NB! Dnn fnksjonn ar kn mamask nrss. Dff. lknngn kan n rlars l n raksk rosss all fall ll rsonsn ær øs ønsk sdn dn oksr or all grnsr. ODE: KL: r r (r r ( dobbl. Homogn løsnng: Parklær løsnng: ( s kommnar ( ( ( ( Innsa ODE: ( ( Kommnar: Sdn f ( a md ll normal a s løsnngn. Ns narlg alg ll ær ( mn dnn fnksjonn ar allrd mn også dnn fnksjonn dkks a Drfor ndr o md. Gnrl må alså mllsr md blr forkjllg. (Lnær angg løsnngr.. m (m=lall nnl og Gnrll løsnng: ( sd a
f ODE: K.L.: os sn r r j r j Homogn løsnng: K os K sn Parklær løsnng: Prør os B sn ( Obs! å mllsr md. Jamfør k. os sn Bsn B os ( B os (B sn Bos ( Bsn sn (B os (B os ( Bsn Innsa ODE: ( B os ( B Bsn os sn B B os sn Gnrll løsnng: ( (K os (K sn g ODE: ( ( ( K.L.: r r r (r r (dobbl r. Homogn løsnng: Parklær løsnng: ( rk! Løsnngr å formn og fnns allrd Gr:. Innsa ODE: Gnrll løsnng: ( ( (. Innsa nalbnglsn: ( ( ( Ssll løsnng: ( rk! "Ubsm koffsnrs mod" r sl kk bgrns l.ordns dff.lknngr. odn fngrr å all n ordns ODEr forsa a dss r lnær md konsan koffsnr m a og a f ( r å formn (m=os lall sn( llr os( OPPGVE Krafbalans: m a( d( k ( m d k. I d øblkk slr klossn må asgn ær lk ds. nalbnglsn blr: (. [m] og ( ( [ m s] a Un dmnng d : K.L.: r r j j Gnrll løsnng: ( K os( K sn( K sn( K os(. Innsa nalbnglsn: ( K. ( K Possjon: (. os(. os(. [m] ( V får n sånd sngnng sd a
b d d Nm/s : K.L.: r r (r j(r j r j Gnrll løsnng: ( (K os K sn ( (K os K sn ( K sn K os ( K K os ( K K sn ( K Innsa nalbnglsn: K. K. ( K K Possjon: ( (. os. sn [m] Hasg: ( ( sn [m/s] kslrasjon: a( ( sn os ( os sn [m/s ] ( [m] ( [m/s] a( [m/s ] Klossns ossjon som fnksjon a d. [s ] Klossns asg. [s ] Klossns akslrasjon. [s ] OPPGVE ODE: Dffrnsallknngn kan kk løss md "bsm koffsnrs mod" ga. formn å ørldd f(. V må l Lagrangs mod. Bgnnr som før md å fnn dn omogn løsnngn (å anlg må: K.L.: r r ( r r (dobbl I ns omgang anar n gnrll løsnng å samm form mn or konsann og rsas a ( og ( ds. fnksjonr a. Gnrll løsnng: ( ( ( ( ( V sr som kra a ( ( D ldr l (s Hagans sd : Hr: f(. ( f( d W og ( f( d W ( ( ( ( d d d K W ( d d K W Løsnng: K K ( K K sd a
OPPGVE F( Egnrdn l koffsnmarsn: ( ( Egnkorr: ( λ ( λ ( λ ( λ ( ( D Forar sbssjonn D gr: F( ( F( D F(. Ds.: V ar onådd n dkolng sdn r lknng nå bar nnoldr én angg arabl. V løsr førs m.. lrna Ubsm koffsnrs mod Dlr o omogn og arklær løsnng slk som oga Homogn: Parklær: Lknng : Sdn løsnngn allrd fnns rør : Innsa: Lknng : Prør: Innsa: Gnrll løsnng m. : B B B B ( Obs! V r kk rkg mål nnå... B lrna UV-modn Lknng :. Sr: d d d d d d d d ( Lknng : og d d ( d d ln d ( d d ln ( og ln d Løsnng m : V ar nå fnn n gnrll løsnng for ( mn ønskr n ssll løsnng for (. Tlbaksbssjon:. sd a
OPPG. (fors. Ds: ( ( ( Innsa nalbnglsn: ( ( Gr løsnngn: ( ( OPPGVE a Volmbalans: Tank : nnsrømn ng srømnng dv d q q ( Tank : d d olmndr ng dv d q q qo ( d d "Oms lo" for nln: rkkforsk jlln srømnng* mosand Vnl : ( ρg ( ρg qr ρg ρg qr ( Vnl : ( ρg qor ρg qor ( amosfærrkk. Kombnrr ( og (: d ρg ρg ρg ρg q q q q d R R R Kombnrr ( ( og (: d ρg ρg ρg ρg ρg ρg q q qo q q d R R R R R På marsform: ρg ρg q R R ρg ρg ρg q R R R b d allrdr:.... Bnr samm mod som oga.. ( dm ( dm Egnrdr: (. (..... {..} llr D.. sd a
OPPG. (fors. Egnkorr: m/.:.... Ellr: m/.:.... Sbssjon gr F( D F(..a.o.: Gnrll løsnng m : Tlbaksbssjon:.........a.o: (.. ( Innsa nalbnglsn: ( (.. Løsnng: ( (............ Sasjonærrdn fnnr nkl d å la dn gå mo ndlg: sasjonær lm (.dm sasjonær lm (.dm aksmalrdn fnnr nn randnkn ( d ( llr dr or d Tank :.. ldr lk. å a maks d sar ds: ma ( dm Tank : ln... ln. (dm Væskødn som fnksjon a dn.. ln ln.s ( ma (....dm ( (sk sd a
OPPGVE a lknng : U R U R R d Innsa lknng : U d R R d d R Lknng : b L Rb L L d d På marsform: R L Rb L R U d d R R U b Innsa d g allrdn: Egnrdr: ( λ λ ( λ Egnkorr: ( k λ k λ λ.k. or : k k ( λ ( λ ( k λ.a.o.: D k λ k k.k Sbsrr slk som og. og ds.: D F( λ λ Homogn løsn. m. : Parklær løsnng rør som gr: Ds: Innsa nalbnglsn: ( ( Gr løsnngn: ( b R b ( ( (ol (ol ol kondnsaorsnnng ( lassnnng b ( (sk sd a
OPPG. (fors. Fra ogaksn: ( U R ( L Rb ( (: Innsa (: U R( R U R (. Drrr (: L Rb ( ( og ( nnsa (: R (L Rb (L Rb U R (. Sorrr ( og får: RL ( RRb L (R Rb U Innsa allrdr:.. Løsr dnn å anlg må: Karakrssk lknng: r. r.r r (λ r (λ Homogn løsnng: Parklær løsnng:. Gnrll løsnng: ( Nøakg d samm som b Drr: Innsa nalbnglsn: ( ( : ( ( kan fnn d å s nn lknng ( Kommnar: Så lng ar lnær dffrnsallknngr md konsan koffsnr l d alld ær mlg å gjør om n n ordns ODE l s md n sk..ordns dff.lknngr og omnd (slk som r. Førsnn organg r foroldss nkl mns ssnn for kan bl n slsom rosss. rk også a røn dn karakrssk lknng r dnsk md ssms gnrdr. sd a