Roasjonsbevegelser 3.04.05 Mveseksamen: resulaer leges u nese uke løsnngsforslag på semesersden koneeksamen bare for sudener med begrunne fravær kke nødvendg å så på mveseksamen for å gå opp l slueksamen mveseksamen eller 30% l slukaraker Gruppemer: gruppe 5, 6 og 7 (Man. 4 6) slås sammen dag på Ø443 gruppe 3 og 4 (Tr. 4 6) slås sammen morgen på Ø443 FYS-MEK 0 3.04.05
Massesener r m R rdm r( r) dv m M M V ρ(r): ehe y r V V d R A d V d R z x Newons. lov: F ex d P d MV MA yre kraf: akselerasjon l massesenere ndre krefer: ngen påvrknng på massesenere FYS-MEK 0 3.04.05
y Massesenersysem y x r ( ) R( ) r, ( ) cm y x x massesenersysem S : R 0 koordnasysem som beveger seg med massesenere P 0 K MV K MV N m v cm, knesk energ bevegelsen l massesenere (parabelbane) bevegelsen relav l massesenere (roasjon) FYS-MEK 0 3.04.05 3
Poensell energ flerparkkelsysem F kj F ne F ex j F j ex konservav yre kraf: F U ( r ) konservav ndre kraf: F U r, r ) U U ( r ) U ( r, r ) o j j j j j ( j U ex U n F k F j ex F F jk k j ex F k F k ex F j F j E o K cm K cm U ex U n spesalfall: sv legeme parkler beveger seg kke relav l hverandre parkler kan bevege seg relav l massesenere bevegelsen beskrves ved ranslasjoner og roasjoner ngen vbrasjoner eller deformasjoner FYS-MEK 0 3.04.05 4
v separere bevegelsen: bevegelsen l massesenere bevegelsen relav l massesenere r ( ) R( ) r, ( ) cm bevegelsen l massesenere bevegelsen relav l massesenere bevegelsen besemmes av yre krefer som vrker på saven jevn roasjon om massesenere l saven FYS-MEK 0 3.04.05 5
Roasjonsbevegelse bevegelsesdagram v karakerserer roasjonsbevegelser: roasjonsakse roasjonsvnkel z akse som roasjonsakse (u av avlen) roasjon posv renng negav z akse som roasjonsakse (nn avlen) roasjon negav renng v ser også: roasjon går raskere: vnkelen forandrer seg mer samme d FYS-MEK 0 3.04.05 6
Vnkelhasghe gjennomsnlg vnkelhasghe: ( ) ( ) momenan vnkelhasghe: lm 0 d konsan vnkelhasghe:.5 rad/s renger kke være konsan: (momenan) vnkelakselerasjon: d d konsan vnkelhasghe: 4 rad/s FYS-MEK 0 3.04.05 7
hp://pngo.upb.de/ access number: 878 Hvor mange grader lsvarer radan? A. rad = grader B. rad = 80 o C. rad = 0 o D. rad = 57.3 o E. Radan er kke e vnkelmål FYS-MEK 0 3.04.05 8
ranslasjon roasjon possjon x () () hasghe v( ) dx ( ) d akselerasjon a( ) dv d x d d ( ) v kan negrere bevegnngslgnnger d på samme moe: () d 0 0 ( ) ( ) ( 0 ) 0 for konsan vnkelhasghe: ( ) 0 FYS-MEK 0 3.04.05 9
d () d ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 for konsan vnkelakselerasjon: ( ) 0 0 for en g vnkelakselerasjon () og nalbengelser 0 og 0 kan v beregner vnkel og vnkelhasghe. analysk ved negrasjon eller numersk: ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) (Euler-Cromer) FYS-MEK 0 3.04.05 0
Vnkelhasghe lneær hasghe es sav roerer med vnkelhasghe : d en punk avsand R fra roasjonsakse beveger seg en buelengde s dsnervall s R v s R v ds d R R FYS-MEK 0 3.04.05
hp://pngo.upb.de/ access number: 878 Du sykler slk a annhjule som er fese l pedalen får en vnkelakselerasjon A. Vnkelakselerasjon l bakhjule B er:. B < A. B = A 3. B > A A B hasghe l kjeden: v r A r A B B B ra A rb B db d r r A B A r r A B da r r A B A r A r B B A FYS-MEK 0 3.04.05
Roasjoner re dmensjoner z v velger e koordnasysem: z akse er roasjonsakse roasjon x-y plane x r v y hasghe har angensal renng: v v r, v kˆ kˆ r v kan defnere vnkelhasghe som en vekor: z z kˆ v r z 0 z 0 y x x FYS-MEK 0 3.04.05 3 y
hp://pngo.upb.de/ access number: 878 V har e høyrehen koordnasysem med enhesvekorer, j, og k. Vekor (kryss) produke k j er lk: z k.. 3. j 4. j 5. k 6. k 7. 0 8. j = k j k = k = j x j = k k j = k = j j y FYS-MEK 0 3.04.05 4
a punk r () beveger seg på en srkelbane med radus roasjonsaksen peker z-renng v, v r v r v r sn akselerasjon: dv d dr a r a r ( r) r v for srkelbevegelse med konsan vnkelhasghe: 0 a ( r) a ( r ) r sn v senrpealakselerasjon FYS-MEK 0 3.04.05 5
Sv legeme relave possjonen l o punker endrer seg kke kan kke deformeres. Roasjon av e sv legeme: beskreve av aksen ω og punk O. aller punker legeme roerer med samme ω Hasgheen l e punk r uˆ zkˆ v r kˆ ( uˆ zkˆ ) kˆ uˆ û dv d dr a r r ( r) r er: v r hvor ρ = x + y u ρ radal enhesvekor zkˆ kˆ u φ angensal enhesvekor r v angensal + senrpealakselerasjon y x FYS-MEK 0 3.04.05 6
FYS-MEK 0 3.04.05 7 Roasjon av e sv legeme: r v knesk energ l e punk: m m v K hasghe l e punk : ) (sn r r v v m m K K knesk energ l hele legeme: defnsjon: I z m reghesmomen for legeme om aksen z I z K jo sørre reghesmomene, jo mer energ behøves for å få legeme å roere mv K lneærbevegelse:
FYS-MEK 0 3.04.05 8 Eksempel v anar a massene er punkformg og forbndelsen masseløs N z m I 0 ma ma m I z 0 0 0 m m I z ) ( ) ( ma a m a m
Roasjon av e sv legeme: konnuerlg legeme med masseehe (r) m som roerer med vnkelhasghe om aksen e volumelemen dv har masse dm m ( r ) dv kˆ dm og avsand fra roasjonsaksen knesk energ l volumelemene: dk v dm dm m ( r) dv knesk energ l hele legeme: K m( r) dv V m V (r) dv z m M V I m I dm ( r) dv z K I z FYS-MEK 0 3.04.05 9
hp://pngo.upb.de/ access number: 878 Legemene er homogene og har samme masse og yre dmensjoner. Hvlke legeme har mns reghesmomen om den vse aksen?. sylnderen. sylnderskalle 3. reghesmomen er de samme den oale massen er den samme: M dm M m men avsanden av massepunkene fra roasjonsaksen er gjennomsnlg sørre for sylnderskalle: I z dm M m FYS-MEK 0 3.04.05 0