FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t og S χ ± 3 4 h χ ± 3 4 h χ ±. S z χ + h S z χ h h χ + h χ, slik det skl være for hhvis spinn opp og spinn ned. Merk t når vi ruker de simultne egentilstndene til Ŝ og Ŝz som sis for mtriserepresentsjonen, så lir mtrisene for disse opertorene egge digonle.. Vi regner ut og S + χ + h S + χ h h, h χ +. Som en kontroll går vi til den generelle relsjonen fr forelesningene, Ŝ + s, m h s ms + + m s, m +. Med s ser denne slik ut: For m og m hr vi d hhvis Ŝ +, m h m + + m, m +. Ŝ +, og Ŝ+, h,, som stemmer med resulttene v mtriseeregningene ovenfor. c. I tilstnden χ lir forventningsverdien v S z S z χ h σ z χ S z χ h h h. Fr snnsynlighetstolkningen v koeffisientene og hr vi tilsvrende S z hp S z h + hp S z h h h h, q.e.d.
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving d. Fr pkt. c hr vi Videre finner vi σ x χ σ x χ σ z. + + Re og σ y For tilstnden χ cos θ sin θ i i i i i Im, q.e.d. er sin θ cos θ sin θ og cos θ sin θ cos θ, slik t spinnretningen lir en enhetsvektor i xz-plnet: σ ê x Re + ê y Im + ê z ê x sin θ + ê z cos θ. For spesiltilfellet θ, dvs med χ spinn opp hr vi ltså σ ê z. For θ π, dvs med χ spinn ned finner vi tilsvrende σ ê z. For tilfellet / θ π, dvs χ /, finner vi σ ê x. D må vi vel vente t denne χ-en eskriver spinn opp i x-retningen? Som en kontroll regner vi ut S x / / h / / h / /, q.e.d. Disse eregningene viser egentlig hvorfor vi kller f.eks tilstnden χ + for spinn opp i z-retningen. Fr relsjonen S hσ hr vi nemlig for denne tilstnden t S χ+ h σ χ + hê x + ê y + ê z. Dette er hv vi mener med å si t spinnretningen her er ê z. Merk t for tilstnden χ + er S z skrp lik h, mens forventningsverdiene v S x og S y er lik null. Det siste etyr t S x og S y er uskrpe; de mulige måleresulttene, ± h, er like snnsynlige. e. Fr stigeopertor-relsjonen i oppgveteksten finner vi med s t Ŝ + + og Ŝ+ h +.
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving 3 Ved å projisere den første v disse ned på ± finner vi t S + ++ + Ŝ+ + og S + + Ŝ+ +. Fr den ndre finner vi tilsvrende t S + + + Ŝ+ h og S + Ŝ+. Resulttet er ltså S + h h hσ +, q.e.d. Merk t formelen for S finnes ved å djungere trnsponere og komplekskonjugere mtrisen ovenfor. Løsning Oppgve. Vi hr t Mer spinn χ χ + eiα, eksmensoppgve, litt modifisert så tilstnden χ er normert. Snnsynligheten for å måle S z h er kvdrtet v projeksjonen v χ på χ +, dvs kvdrtet v øvre komponent i spinoren χ, ltså P +, uvhengig v vinkelen α. Tilsvrende finner vi t P, slik t de to snnsynlighetene til smmen er lik. En serie v målinger v S z vil gi en eksperimentell ekreftelse v disse to snnsynlighetene, men siden disse snnsynlighetene er uvhengige v α, gir disse målingene ingen informsjon om denne vinkelen. En måling v S z vil etterlte spinnet i den egentilstnden som svrer til den målte egenverdien, ltså i tilstnden χ + dersom vi måler S z + h, osv.. For den oppgitte tilstnden hr vi t χ, med /, e iα / og e iα. Med de oppgitte formlene finner vi t spinnretningen for denne tilstnden er σ ê x σ x + ê y σ y + ê z σ z ê x cos α + ê y sin α. Denne retningsvektoren ligger som vi ser i xy-plnet og dnner vinkelen α med x-ksen. En serie målinger v S z vil ekrefte t S z og dermed også σ z er lik null, dvs t σ må peke i en eller nnen retning i xy-plnet. Men vinkelen α estemmes ikke ved målingen v S z. Ved å preprere ensemlet i tilstnden χ igjen og så måle S x vil vi få ekreftet t σ x cos α. Ved å preprere ensemlet end en gng og så måle S y kn vi få en ekreftelse på t σ y sin α, ltså en fullstendig ekreftelse på den eregnede spinnretningen σ. Dette er én måte å gjøre det på.
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving 4 c. Forventningsverdien v komponenten σ S v spinnet er lett å regne ut: σ S σ S σ h σ h, idet σ er en vektor med lengde. Hver enkelt måling v komponenten σ S v spinnet må i prinsippet i enten gi + h og etterlte spinnet i en egentilstnd til opertoren σ S med egenverdi + h spinn opp i forhold til retningen σ ii eller gi h og etterlte spinnet i en egentilstnd til opertoren σ S med egenverdi h spinn ned i forhold til retningen σ. Siden forventningsverdien v σ S le funnet å være + h for den ktuelle tilstnden, ser vi t snnsynligheten for tilfelle ii er nødt å være lik null. Konklusjonen er t tilstnden χ som vi måler på må være en egentilstnd til opertoren σ S med egenverdien h. Løsning Oppgve 3. Vi dropper normeringskonstnten og regner ut Litt mer om koherente tilstnder p.r. exp mωq / h + ip q/ h mω h h q + exp mωq / h + ip q/ h mω q exp mωq / h + ip q/ h mω h h q + mωq mω h + ip h ip m hω exp mωq / h + ip q/ h. Begynnelsestilstnden Ψq, er ltså en egentilstnd til nnihilsjonsopertoren med egenverdien α ip. m hω Tilstnden Ψq, t q Ψt vil d være en egentilstnd til nnihilsjonsopertoren med egenverdien ifølge utledningen i oppgve 8. αt α e iωt ip m hω e iωt,. Ved å holde den tidsvhengige normeringskonstnten Ct utenfor finner vi ved innsetting v den oppgitte ølgefunksjonen i egenverdiligningen med p h/i / q t [ αt] exp [ mωq q t / h + i p t q/ h ] [ ] mω h q q t + i h m hω i q p t exp [ mωq q t / h + i p t q/ h ] exp [ mωq q t / h + i p t q/ h ] mω h q q t i p t m hω + h mω mωq q t / h + i p t / h, q.e.d.
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving 5 c. Med t αt α exp iωt hr vi mω h q t + i p t m hω p m hω sin ωt + i cos ωt. Herv følger t q t p mω sin ωt og p t p cos ωt. Vi ser t ølgefunksjonen Ψq, t er lik Ct exp mωq q t / h som er en forskjøvet grunntilstnd hver gng p t er lik null. Dette skjer når ωt π + nπ, og ved disse tidspunktene er q t p mω sin π + nπ p n mω, dvs q t hr mx utsving enten den ene eller den ndre veien. Løsning Oppgve 4 Spinn. De tre søylemtrisene som representerer de tre tilstndene s, m,, s, m, og s, m,, og resulttene ved å operere på disse med mtrisen S z, frmgår v følgende formler: og slik skl det være. S z χ + h S z χ h S z χ h hχ +, χ, hχ,. Det er ingen ting spesielt ved z-retningen, så vi må vente å finne kkurt de smme egenverdiene og mulige måleresuttene for S x og for lle ndre komponenter v S som for S z, nemlig h, og h. c. De tre komponentene i tilstnden χ / / / + + χ + + χ + χ
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving 6 er snnsynlighetsmplitudene for å måle hhvis S z h, og h. Snnsynlighetene er kvdrtene v disse mplitudene, ltså hhvis /4, / og /4. Summen v disse snnsynlighetene er, så tilstnden er normert; ellers måtte vi h justert dette regnestykket. Forventningsverdien v S z i denne tilstnden lir S z h P Sz h + P Sz + h P Sz h h/4 /4. d. Vi finner S x χ h / / / h / / / hχ. Så her får vi en ekreftelse på én v egenverdiene til S x. e. Egenverdiligningen for S x med egenverdi lik null er h c h + c Vi må ltså h og c. Normering og fsevlg gir χ Sx..