Rale-krteret INF 3 Dtal bldebeandln EN KORT MIDTVEIS-REPETISJON Anta en perekt lnse med aperture-dameter D o at lsets bølelende er. To punkter et obekt kan akkurat adsklles bldet vs vnkelen mellom dem er tt ved Før mdtves-eksamen trsda 5. mars 3 kl 9: 3: Frtz Albretsen sn =. /D radaner. Dette er Rale-krteret. - -5 5.3. INF3.3. INF3 Roml rekvens Sampln av kontnuerle snaler T T Ts s Perode T.eks. mm eller μm Frekvens = /T.3. INF3 3 Samplnsperode T s Samplnsrekvens s = /T s oså kalt samplnsrate Hvor ote må man sample or å kunne rekonstruere snalet?.3. INF3
Samplnsteoremet Sannon/Nqust Anta at det kontnuerle bldet er båndberenset dvs. det nneolder kke øere rekvenser enn ma Det kontnuerle bldet kan rekonstrueres ra det dtale bldet dersom samplnsraten s =/T s er større enn ma altså T s < ½T ma kalles Nqust-raten I prakss oversampler v med en vss aktor or å kunne å od rekonstrukson..3. INF3 5 Undersampln/alasn Undersampln sample med lavere samplnsrate enn Nqust-krteret medører alasn. Ved undersampln orvrenes rekvensnnoldet o det dtale bldet nneolder kke de samme rekvenser som det kontnuerle bldet. Sampln av en snusod d med or lav samplnsrate r en dskret snusod med lavere rekvens. Alasrekvens er tt ved a = s når < s < a s s.3. INF3 Ant-alasn Eekten av alasn kan reduseres. Dette MÅ øres FØR samplnen. Hvs v ltrerer bort de øeste rekvensene ørst vl det nnes ærre eller nen rekvenser som kan oppav tl alasn. Kvantsern Hvert pksel lares med n bter. Pkselet kan da nneolde eltallsverder ra tl n - Kvantsernsel Σ over bldet av vert pksels avrundnsel Alasn er en samplns-eekt..3. INF3 7.3. INF3
Naboer tl pksler Et pksel p posson ar lere nabo-pksler. -naboene N p med koordnater + - + - Daonal-naboene N D Dp med koordnater ++ +- -+ -- Tlsammen utør dsse -naboene tl p N p. Avstandsmetrkker Tre pksler pqz med koordnater st o vw Avstandsunksonen Dpq er en metrkk vs Dpq kke-neatvtet Dpq = vs o bare vs p=q denttet Dpq = Dqp smmetr Dpz Dpq + Dqz trekant-ulket.3. INF3 9.3. INF3 Geometrske operasoner Endrer på pkslenes possoner Første ste denne prosessen: Transormer pkselkoordnatene tl : = T = T Ane transormer Transormerer pkselkoordnatene tl : = T = T Ane transormer beskrves ved: T o T er ote tt som polnomer. Sden pkselkoordnatene må være eltall må v deretter bruke nterpolason tl å nne pkselverden råtonen den ne possonen. På matrseorm: = a + a + a =b+b+b b + b eller.3. INF3.3. INF3
Eksempler på enkle transormer - I Transormason a a a b b b Uttrkk Identtet = = Skalern s s = s = s Rotason cosθ -snθ snθ cosθ =cosθ-snθ =snθ+cosθ F F Eksempler på enkle transormer - II Transormason a a a b b b Uttrkk Translason = + = + = Horsontal sear s +s med aktor s = Vertkal sear med daktor s s = = s + F.3. INF3 3.3. INF3 Alternatv måte å nne transormkoesentene t Forlens-mappn En an transorm kan bestemmes ved å spessere tre punkter ør o etter avbldnnen or all '' do '' = a = cos θ a = -sn θ b = sn θ b =cosθ θ Eksempel: Enkel rotason ved transormen: nn-bldet resultat-bldet Med dsse tre punktparene kan v nne de koesentene; a a a b b b Med lere enn 3 punktpar veler man den transormasonen som mnmerer kvadrat-elen summert over alle punktene mer om dette senere.3. INF3 5 or all do = rounda +a = roundb +b nsde = end Fltter de possonstransormerte pkselpossonene tl nærmeste pkselposson utbldet. Skrver nnbldets nn.3. INF3
Forlens-mappn orts. Baklens-mappn For alle nnbldet: Skrver nnbldets nn utbldets Problemer: Ikke alle utpksler år verd ullene bldet Unød berenn av pkselkoordnater som allkevel kke blr snle ender utenor utbldet Samme utblde-pksel kan bl satt lere aner a = cos -θ a = -sn -θ b = sn -θ b = cos -θ or alle do = rounda +a = roundb +b nsde = else = end Samme eksempel som ved orlens-mappnen. NB: rotert med θ a rotert med -θ r Resample bldet. Her; or vert utblde-pksel nvers-transormér o vel nærmeste pksel ra nnbldet. For ver pkselposson ut-bldet: Hent pkselverd ra nnbldet..3. INF3 7.3. INF3 Baklens-mappn orts. For alle utbldet: Hent nnbldets tl utbldets GARANTI: Alle utpksler år verd nen ull ut-bldet. t Inen unød berenn av pkselkoordnater som allkevel kke blr snle ender utenor utbldet. Inen utblde-pksel vl bl satt lere aner. Blneær nterpolason - I Anta at v kenner råtoneverden re nabo-punkter Ønsker å estmere råtonen et mellomlende punkt. Gør to lneære nterpolasoner én retnn ørst.eks -retnn: o Så én nterpolason ortoonal retnn: Resultatet t t er uaven av rekkeølen. Den nterpolerte laten er kvadratsk krum men lneær lans lner parallelle med aksene..3. INF3 9.3. INF3
Blneær nterpolason - II Trlneær nterpolason Blneær nterpolason når er kent o : der o Utvdelsen ra D tl 3D kalles trlneær nterpolason o er en lneær nterpolason mellom resultatene av to blneære nterpolasoner. Resultatet er en uaven av rekkeølen. Eller matrsenotason:.3. INF3.3. INF3 Interpolason en sammenlnn Nærmeste nabo r D trappeunkson med dskontnutet mdt mellom punktene. B-lneær nterpolason bruker = pksler. Dervert er kke kontnuerl over laten. B-kubsk nterpolason r lattere later enn blneær men er mer renekrevende; bruker = pksler..3. INF3 3 Berene en konvoluson a b s t s t sa t b For å rene ut responsen posson :. Roter konvolusonslteret rader. Unødvend dersom lteret er smmetrsk.. Le det roterte lteret over bldet slk at oro overlapper posson bldet. 3. Multplser ver vekt det roterte konvolusonslteret med underlende pkselverd.. Summen av produktene r responsen. For å rene ut responsen alle possoner: Fltt konvolusonslteret over bldet o beren responsen or ver posson med overlapp..3. INF3
Hvor stort skal ut-bldet være? Alt.. Trunkér ut-bldet o beren pkselverder bare der ele lteret er nnenor nn-bldet. Anta at bldet er M N pksler o at lteret er m n o at mn er odde Uberørt av blderandproblemet: d bl M-m+N-n+ 33-lter: M-N- 55lt 55-lter: M-N- N Alt.. Beold nn-bldets størrelse Flteroro er da nnenor nn-bldet. Vanl når man ltrerer et blde. Lans blde-randen må v øre en antaelse: Enten utvde nnbldet eller endre lterets orm o størrelse..3. INF3 5 Hva ør v lans blderanden? Utvd nn-bldet: VANLIG: Med -ere nullutvdelse en.: zero paddn. Med en annen ast verd or eksempel bldets ennomsntt Med nærmeste pkselverd en.: replcate. Ved bruk av spelende ndeksern en.: mrror-relected nden. Ved bruk av srkulær ndeksern en.: crcular nden. Sett ut-pkslet tl en ast verd: F.eks. = eller =. Inorer possonene uten overlapp. Identsk resultat som or nullutvdelse men mndre ut-blde..3. INF3 Større ut-blde enn nn-blde? Konvolusons-densonen ser at ut-pkslet år en verd når lteret o nn-bldet overlapper mnst én pksel. Ut-bldet blr da større enn nn-bldet. Dersom lteret er større enn. I prakss: Kun vanl når man konvolverer to ltre. Antar da at bee konvolusonsltrene er utenor randen. Når man bruker et konvolusonslter «antar» man ndrekte alltd at det er utenor randen. Når to ltre konvolveres bør bee bruke denne «antaelsen»..3. INF3 7 Eenskaper ved konvoluson Kommutatv M k D k * = * Assosatv ** = ** Dstrbutv *+ = * + * Assosatv ved skalar multplkason a* = a* = *a Merk: Dsse eenskapene elder enerelt bare når man antar nullutvdelse. Kan utnttes sammensatte konvolusoner!.3. INF3
Fltrern II: Korrelason a b s t s t satb Forskell ra konvoluson: Pluss stedet t or mnus. Det betr at v kke skal rotere lteret! Leer korrelasonslterets oro over o multplserer ver vekt med underlende pkselverd. Responsen er summen av dsse produktene. V kan utøre korrelason som en konvoluson ved å ørst roterer lteret rader o vsa versa..3. INF3 9 Lavpassltre Slpper ennom lave rekvenser o demper eller erner øe rekvenser. Lav rekvenser = tree varasoner store trender. Høe rekvenser = skarpe kanter stø detaler. me mer om rekvens Fourer-orelesnnene. Eekt: Glattn/utsmørn/«blurrn» t / av bldet. Tpske mål: Ferne stø nne større obekter. Utordrn: V vl erne bevare kanter!.3. INF3 3 Separable ltre Et lter kalles separabelt vs ltrernen kan utøres som to sekvenselle D-ltrerner. Fordel: Raskere ltrern. Geometrsk orm: Rektanel nkludert kvadrat. Mddelverdltre er separable: For 55-naboskap: 5 5 Berene én respons or n n-konvolusonsltre: D-konvoluson: n multplkasoner o n - addsoner. To D-konvolusoner: n multplkasoner o n- addsoner..3. INF3 3 Kant-bevarende støltrern Ote lavpassltrerer v or å erne stø men ønsker samtd å bevare kanter. Det nnes et utall av «kantbevarende» ltre. Men det er et sstem: Anta at v ar lere pksel-populasoner naboskapet rundt eks.eks. to: Sub-optmalt å bruke ele naboskapet. V kan lae ltre som sorterer pkslene: Radometrsk etter pkselverd Både eometrsk etter pkselposson o radometrsk.3. INF3 3
Medan-lter lavpass = medan pkselverd naboskapet rundt. Medan = den mdterste verden den sorterte lsten. Medanlteret er et ranlter der v veler mdterste posson den sorterte D-lsten. Et av de mest brukte kant-bevarende støltrene. Speselt od mot mpuls-stø «salt-o-pepper-stø». Ikke uvanl med kke-rektanulære naboskap.eks. + Problemer: Tnne lner kan orsvnne. Hørner kan rundes av. Obekter kan bl ltt mndre. Val av størrelse o orm på naboskapet er vkt!.3. INF3 33 Ala-trmmet mddelverdlter lavpass = mddelverden av de mn-d mdterste verdene etter sortern mn -naboskapet rundt : s t mn d s t S der S anr pkselpossonene tl de mn-d mdterste pkselverdene etter sortern. God enet ved lere tper stø.eks. salt-o-pepper-stø stø o lokale varasoner. Q: Hva vs d=? Eller d=mn-?.3. INF3 3 K Nearest Nebour-lter lavpass = mddelverden av de K pkslene naboskapet rundt som lner mest på pkselverd. «Lner mest» = Lavest absoluttderanse. Er et trmmet mddelverdlter: Mddelverden av de K mest lke nabopkslene. Problem: K er konstant or ele bldet. Hvs v veler or lten K erner v lte stø. Hvs v veler or stor K ernes lner o ørner. For n n -naboskap der n=a+: K=: nen eekt K n: bevarer tnne lner K a+ : bevarer ørner K a+n: bevarer rette kanter.3. INF3 35 Ma-omoentet lavpass Ønsker kantbevarende lter. Et enkelt trks: Del opp naboskapet lere overlappende sub-naboskap. Alle nneolder senterpkselen. Flere mule oppdelner. Detmestomoenesub-naboskapet sub naboskapet nneolder mnst kanter. Beren μ o σ vert sub-naboskap. La være μ ra det sub-naboskapet som r lavest σ. Alternatv: ma-mn mn stedetor σ. σ Merk: Sub-naboskapets oro er.3. INF3 kke sub-naboskapets senterpksel. 3
Lavpassltre denne orelesnnen Høpassltre Navn Mddelverdlter Gauss-lter Ran-lter Ala-trmmet mddelverdlter K Nearest Nebour-lter K Nearest Connected Nebour-lter MnmalMeanSquareError-lter Sma-lter Ma-omoentet Smmetrsk nærmeste nabo-lter Mode-lter Kommentar Unormt konvolusonslter. Konvolusonslter med eometrsk vektn. Husk medanlteret! Bevarer kanter bedre enn mddelverdlteret. Mellomtn mellom mddelverd- o medanlter. K må veles med omu. Pkslene må oså være eometrske naboer. Bentter at den lokale varansen er større næreten av en kant. μ av pkselverd ntervallet t Sub-naboskap tar bruk eometren. Smmetrsk parrn tar bruk eometren. Hppst orekommende pkselverd. Slpper ennom øe rekvenser o demper eller erner lave rekvenser. Eekt: Demper lansomme varasoner.eks. bakrunn. Framever skarpe kanter lner o detaler. Tpske mål: «Forbedre» skarpeten detektere kanter. Q: Hva sker med stø?.3. INF3 37.3. INF3 3 Eksempel: Unsarp maskn. Lavpassltrern => uskarpt blde. Bruk.eks. et mddelverdlter.. Subtraer uskarpt blde ra ornalen. Ornal Lavpass = Høpass 3. Adder deransen tl ornalen. Fremever kanter resultatet vrker skarpere enn ornalen. Gradent et kontnuerl blde Gradenten peker retnnen der unksonen øker mest: Den retnnsderverte tl retnn dvs. lans r er: r r r cos sn Når den retnnsderverte er størst er: r r θ δ/δr r Dvs. vnkelen der den retnnsderverte er størst oppller: sn cos cos sn.3. INF3 39.3. INF3
Gradent et kontnuerl blde Gradent et kontnuerl blde Gentar: Når den retnnsderverte er størst er vnkelen : Gentar: Når den retnnsderverte er størst er vnkelen : tan sn sn cos Deror: Gradenten peker retnnen der unksonen cos Deror: Gradenten peker retnnen der unksonen øker mest: tan anr bare en lne som er parallell med radenten men ved å dobbeltdervere den t d t k t tan retnnsderverte kan man vse at unksonen øker mest med radentretnnen o avtar mest mot radentretnn. o øknnen er som kalles radent-mantuden er: / r er den retnnsderverte d t t.3. INF3 r radentretnnen. Gradent operatorer Gradent-operatorer Prewtt-operatoren: Prewtt operatoren: PS: V anr konvolusonsltre den enskt at de skal brukes tl Sobel-operatoren: konvoluson. G&W anr ltermasker som skal brukes tl p korrelason. Fltrene vl deror avvke med en raders rotason. Fre-Cen-operatoren: ad s oaso p.3. INF3 Større radent operatorer Større radent-operatorer Gradent-operatorer kan øres mer stø-robuste Gradent-operatorer kan øres mer stø-robuste ved å be nn mer lavpassltrern. Eksempel: Følende 5 5-Sobel-operator: er resultatet av konvolusonene:.3. INF3 3 Laplace på andreradspolnom Laplace på andreradspolnom La de lokale ntenstetene omkrn være modellert ved La de lokale ntenstetene omkrn være modellert ved andreradspolnomet mn er koordnater relatvt tl : mn = k +k m +k 3 n+k m +k 5 mn+k n I et 33-naboskap rundt ar v da ntenstetene: k -k -k 3 +k +k 5 +k k -k +k k -k +k 3 +k -k 5 +k k k k k k k k Den korrekte Laplace verden er tt ved: k -k 3 +k k k +k 3 +k k +k -k 3 +k -k 5 +k k +k +k k +k +k 3 +k +k 5 +k Den korrekte Laplace-verden er tt ved: k k Både -nabo- o -nabo- Laplace-operatoren øre k k 3 r korrekt estmat!.3. INF3 3
Andre Laplace operatorer Andre Laplace-operatorer K bl d å b k d t t Kan bl.a. nnes ved å bruke radent-operatorer. Eksempel: Bruker 33-Sobel-operatoren: 5 5.3. INF3 5 Implementason av Laplace operatorer Implementason av Laplace-operatorer Generelt kke separable Generelt kke separable. Flere Laplace-operatorer kan lkevel deles opp D-operasoner. Eksempel: Laplace-operatoren ra orre ol: 5 5 er kke separabel men kan deles opp D operasonene: er kke separabel men kan deles opp D-operasonene: d 3 d 9 b l T T Krever da 37 operasoner stedet or 9 vba. 55-lteret..3. INF3 Fra Laplace tl LoG Fra Laplace tl LoG V orde radent-operatorene stø-robuste V orde radent operatorene stø robuste ved å be nn en lavpassltrern. Eksempel: 33-Sobel-operatoren: V kan øre det samme med en Laplace-operator. Det er vanl å be nn et Gauss-lter G med tt σ : LoG G G Husk: Konvoluson er er en Laplace-operator o er en Laplacan-o-Gaussan-operator. assosatv: ** = ** LoG G.3. INF3 7 LoG operator ra LoG unksonen LoG-operator ra LoG-unksonen Får en LoG operator ved å sample Får en LoG-operator ved å sample en varant av LoG-unksonen or eltalle o. b d kk l d l e G V brr oss denne anen kke om mplementasonsdetalene; ustern slk at vektene summerer se tl o eventuell eltallstlnærmn av vektene. er standard-avvket tl Gauss-en o er en parameter. I de leste tleller er størrelsen av operatoren 3w.5 L G k t t LoG-unksonen omtrent utenor dette området. Den postve toppen tl LoG-unksonen kalles kernen o Et k d t L G k.3. INF3 LoG unksonen kalles kernen o w = er bredden av denne. Et kvadrant av LoG-unksonen
-5-5 -5 5-5 5-5 -5-5 5-5 5 5 5 Kantdetekson ved LoG-nullennomaner Tommelnerreel or strukturer: LoG-kernen må være smalere enn strukturen. Strukturen er mndre enn alvparten av LoG-kernen => Nullennomanene er utenor kantskllene Strukturen er større enn alvparten av LoG-lteret => Nullennomanene er nøakt kantskllene Et sted mellom: Avener av dskretsernen o tlnærmnen av LoG-lteret. Tommelnerreel or ramper: LoG-lteret må være større enn rampen. Rampen er bredere enn LoG-lteret => Inen nullennoman bare et null-platå. Ellers: Nullennoman mdt på rampen kan å én -respons akkurat på mdten altså en ornut denson av kantskllet tl rampen. P..a. stø krever ote at nullpassernen er skarp => LoG-lteret må være betdel større enn rampen. => Vel kerne- o lterstørrelsen med omu! Ans ørst o remst av standardavvket tl Gauss-unksonen som r bredden av LoG-kernen o antder størrelsen av LoG-lteret..3. INF3 9 Canns alortme. Lavpassltrér med Gauss-lter med tt.. Fnn radent-mantuden o radent-retnnen. 3. Tnnn av radent-mantude t d ortoonalt på kant. F.eks.: Hvs en pksel radent-mantude-bldet ar en -nabo eller mot radent-retnnenretnnen med øere verd så settes pkselverden tl.. Hsterese-terskln to terskler T o T l : a. Merk alle pksler der T b. For alle pksler der [T l T : Hvs eller -nabo tl en merket pksel så merkes denne pkselen oså. c. Genta ra trnn b tl konverens..3. INF3 5