Flott Formel Jostein Trondl. utgve Mrs 05
Forord Dette heftet strtet sitt liv i perioden 008-05 som seprte, skreddersydde formelsmlinger til ulike mtemtikkurs på UiA i Grimstd. I 03 ble de ulike smlingene kombinert til første utgve, og br d preg v en del overlppinger og tilfeldig struktur. I 05 ble det forettt en fullstendig revisjon v heftet til. utgve; fjerning v overlpping, bedre typogrfi, flere figurer, flere emner, fyldigere innholdsfortegnelse, register, flere integrler og i det hele ttt en bedre strukturering v stoffet. Mesteprten v innholdet er så å si stndrd mtemtikk i noen grunnleggende emner på universitetsnivå, men noe v innholdet er ukonvensjonelt med tnke på notsjon. Et eksempel er eksponentnotsjonen for integrler, som beskrevet i kpittel 5.5. Min påstnd er t denne notsjonen gjør integrlregning enklere. Denne formelsmlingen er fritt tilgjengelig på nettet (se trondl.com/flottformel. Men jeg setter pris på om den blir kjøpt v de som hr bruk for den. Dessuten må studentene ved UiA h en kjøpt utgve hvis de hr tenkt å bruke den på eksmen. Gå til nettdressen for informsjon om kjøp. Der vil det også ligge informsjon om rettelser til denne utgven. Kommentrer og rettelser er meget velkomne. Hvis det er et emne du svner så er det mulig jeg kn legge det til i neste utgve. Tusen tkk for innspill og rettelser så lngt til Svein Olv Nyberg, Hns Herlof Grellnd, Xin He, Erik Yggeseth, Torgeir Attestog, Bjørn Øyvind Hlvorsen, Asbjørn Sndnes og Leon Mrbl. Dette er. utgve. Refernser Jostein@Trondl.no,. mrs 05 Abrmowitz, M. & Stegun, I.A. (970. Hndbook of mthemticl functions (9. utg.. Dover Publictions. Adms, R. & Esse, C. (03. Clculus: A complete course (7. utg.. Person. George B. Thoms, J. (005. Thoms Clculus (M. Weir, J. Hss & F.R. Giordno, red.. Person Addison Wesley. Goldstein, H., Chrles P. Poole, J. & Sfko, J.L. (000. Clssicl mechnics (3. utg.. Addison Wesley. Gulliksen, T. (998. Mtemtikk i prksis. Universitetsforlget. Hugn, J. (007. Formler og tbeller. NKI Forlget. Jhren, O.H. & Knutsen, K.J. (000. Formelsmling i mtemtikk (6. utg.. Tpir Akdemisk Forlg. Kohler, W. & Johnson, L. (006. Elementry differentil equtions. Person Addison Wesley. Ly, D.C. (006. Liner lgebr nd its pplictions. Person Addison Wesley. Utdnningsdirektortet. (00. Formelsmling i mtemtikk. Gyldendl. Innhold Noen grunnleggende emner 4. Mengder.................... 4. Tll....................... 4.3 Geometriske figurer i plnet......... 4.4 Geometriske figurer i rommet........ 4.5 Linjer i plnet................. 4.6 Andregrdslikningen............. 4.7 Fullstendig kvdrt.............. 5.8 Avstnd i plnet................ 5 Kjeglesnitt 5. Generelt kjeglesnitt.............. 5. Linje...................... 5.3 Punkt..................... 5.4 Sirkel...................... 5.5 Prbel med kse med y-ksen...... 5.6 Prbel med kse med -ksen...... 5.7 Hyperbel med brennpunkter med -ksen 6.8 Hyperbel med brennpunkter med y-ksen 6.9 Ellipse..................... 6 3 Trigonometri 6 3. Pytgors setning.............. 6 3. Definisjon v sin, cos og tn......... 6 3.3 Enhetsformelen................ 6 3.4 Grder og rdiner.............. 6 3.5 Egenskper til vilkårlige treknter...... 7 3.6 Ekskte trigonometriske verdier....... 7 3.7 Omforming v cos(ωt + b sin(ωt..... 7 3.8 Derivert.................... 7 3.9 Inverse trigonometriske funksjoner..... 7 3.0 Sin, cos og tn v inverse trigonometriske funksjoner................... 7 3. Inverse trigonometriske identiteter..... 7 4 Logritme- og eksponentilfunksjoner 7 4. Den nturlige logritmen ln........ 7 4. Det nturlige tllet e............. 7 4.3 Egenskper til logritmer.......... 8 4.4 Den nturlige eksponentilfunksjonen.... 8 4.5 Generelle eksponentilfunksjoner...... 8 4.6 Generelle logritmefunksjoner........ 8 5 Klkulus 8 5. Ulikheter.................... 8 5. Absoluttverdi................. 8 5.3 Intervller................... 8 5.4 Funksjoner................... 8 5.5 Polynomer................... 8 5.6 Rsjonle funksjoner............. 9 5.7 Proporsjonlitet................ 9 5.8 Smmenstte funksjoner........... 9 5.9 Flytting/modifisering v grfer....... 9 5.0 Jevne og odde funksjoner........... 9
5. Grenseverdier................. 9 5. Grenseverdien til polynomer......... 9 5.3 Grenseverdien til rsjonle funksjoner.... 9 5.4 Sndwichteoremet............... 9 5.5 Venstre og høyre grenseverdier........ 9 5.6 Horisontl symptote............. 0 5.7 Skråsymptote................ 0 5.8 Vertikl symptote.............. 0 5.9 Noen grenseverdier.............. 0 5.0 Kontinuitet.................. 0 5. Kontinuerlig funksjon............. 0 5. Egenskper til kontinuerlige funksjoner... 0 5.3 Skjæringssetningen.............. 0 5.4 Stigningstllet til en kurve på et punkt... 0 5.5 Derivsjon................... 0 5.6 Deriverbrhet impliserer kontinuitet..... 0 5.7 Drbou teorem............... 0 5.8 Ekstremverdier................ 0 5.9 Lokle mks og min.............. 0 5.30 Førstederivert-testen for lokle ekstremverdier....................... 5.3 Kritisk punkt................. 5.3 Rolles teorem................. 5.33 Middelverditeoremet............. 5.34 Funksjoner med null som derivert er konstnte..................... 5.35 To funksjoner med smme derivert vviker med en konstnt............... 5.36 Vekstrter når............ 5.37 Økende, vtkende og monotone funksjoner 5.38 Førstederivert-testen for monotone funksjoner 5.39 Førstederivert-testen for lokle ekstremverdier....................... 5.40 Konkv opp, konkv ned........... 5.4 Andrederivert-testen for konkvitet..... 5.4 Vendepunkt.................. 5.43 Andrederivert-testen for lokle ekstremverdier....................... 5.44 L Hôpitls regel................ 5.45 Antideriverte................. 5.46 Ubestemt integrl............... 5.47 Bestemt integrl................ 5.48 Regneregler for bestemte integrler..... 5.49 Gjennomsnittsverdien til en funksjon.... 5.50 Middelverditeoremet for bestemte integrler 5.5 Klkulusens fundmentlteorem....... 5.5 Delvis integrsjon............... 5.53 Substitusjonsregelen for ubestemte integrl. 3 5.54 Substitusjonsregelen for bestemte integrl. 3 5.55 Spesiltilfeller når f er jevn eller odde... 3 5.56 Arelet mellom kurver............ 3 5.57 Volum..................... 3 5.58 Volum med skivemetoden.......... 3 5.59 Volum med sylinderskllmetoden...... 4 5.60 Kurvelengde.................. 4 5.6 Enentydig funksjon.............. 4 5.6 Horisontllinjetesten for enentydige funksjoner 4 5.63 Invers funksjon................ 4 5.64 Resiprok.................... 4 5.65 Den deriverte v en invers funksjon..... 4 5.66 Newtons metode............... 4 5.67 Trpesmetoden................ 4 5.68 Simpsons metode............... 4 5.69 Bevis for rekkeformel............. 4 5.70 Bevis for produktformel........... 4 6 Prmeterfremstilling 4 6. Linje...................... 4 6. Sirkel...................... 4 6.3 Ellipse..................... 4 6.4 Tngenter til gltte kurver.......... 4 6.5 Tngent- og normllinjer........... 5 6.6 Buelengdedifferensilen............ 5 6.7 Lengden til en gltt kurve.......... 5 6.8 Overflterel til omdreiningslegemer.... 5 6.9 Arel innenfor en simpel, lukket kurve... 5 7 Polre koordinter og grfer 5 7. Definisjon v polre koordinter....... 5 7. Negtiv rdius................. 5 7.3 Smmenheng mellom krtesiske og polre koordinter.................. 5 7.4 Rotsjon v polr grf............ 5 7.5 Retningen til en polr grf i origo...... 5 7.6 Skjæringspunkt til polre grfer....... 5 7.7 Arel til polre grfer............. 5 7.8 Lengden til polre grfer........... 5 8 Vektorer 5 8. Egenskper til vektorer............ 5 8. Kryssprodukt................. 6 8.3 Anvendelser v kryssprodukt........ 6 9 Anlytisk romgeometri 6 9. Definisjoner for pln i rommet........ 6 9. Ligning for pln på vektorform....... 6 9.3 Ligninger for pln på stndrdform..... 6 9.4 Skjæring med koordintksene........ 6 9.5 Plnpensel................... 6 9.6 Definisjoner for linje i rommet........ 6 9.7 Linje på vektor-prmeterform....... 7 9.8 Linje på sklr-prmeterform........ 7 9.9 Linje på stndrdform............ 7 9.0 Avstnd mellom to punkter......... 7 9. Avstnd mellom punkt og pln....... 7 9. Avstnd mellom punkt og linje....... 7 9.3 Avstnd mellom to linjer........... 7 0 Sylindriske og sfæriske koordinter 7 0. tn...................... 7
0. Notsjon for krtesiske, sylindriske og sfæriske punkter................. 7 0.3 Bytte v koordintsystem.......... 7 Lineær lgebr 7. Lineær likninger................ 7. Løsninger................... 7.3 Mtriserepresentsjon............. 8.4 Rdopersjoner................ 8.5 Enhetsmtrise/identitetsmtrise....... 8.6 Rdredusering................. 8.7 Grunnleggende mtrisedefinisjoner..... 9.8 Representsjon v løsninger......... 9.9 Teoremer for løsninger............ 9.0 Summen/differnsen v to mtriser..... 9. Sklering v en mtrise............ 9. Produktet v to mtriser........... 9.3 Regneregler for mtriser........... 9.4 Den inverse til en mtrise.......... 0.5 Inverser i likningsløsing............ 0.6 Negtive eksponenter............. 0.7 Inversen til et produkt............ 0.8 Determinnter................. 0.9 Crmers regel................. 0.0 Determinnt ved kofktorekspnsjon..... Egenverdi og egenvektor............ Metode for å finne egenverdiene og egenvektorene......................3 Norm.......................4 Grm-Schmidt-prosessen........... Differensillikninger. Noen enkle. ordens likninger.......... ordens inhomogen lineær..........3 Seprble differensillikninger.........4 Høyere ordens med konstnte koeffisienter..5 Prtikulær løsning.............. 3 Mtrisetrnsformsjoner 3. Rotsjonsmtrise i D............ 3. Rotsjon v en grf y = f(........ 3.3 Sklering med digonlmtriser....... 3.4 Sklering med symmetriske mtriser.... 3 3.5 Egenverdier.................. 3 3.6 Mtriserotsjon................ 3 3.7 Trnslsjon (flytting............. 3 3.8 Homogene D-koordinter.......... 3 3.9 Homogene trnsformsjoner......... 3 3.0 Homogen trnslsjon i D.......... 3 3. Homogen rotsjon i D............ 3 3. Homogen sklering i D........... 3 3.3 Kombinsjoner v trnsformsjoner..... 3 3.4 Rotsjon/sklering om et punkt....... 4 3.5 Rotsjoner i rommet............. 4 3.6 Homogene 3D-koordinter.......... 4 3.7 Homogen trnslsjon i 3D.......... 4 3.8 Homogen rotsjon i 3D............ 4 3.9 Rotsjon om vilkårlig kse.......... 4 4 Anvendt mtemtikk 4 4. Periodiske fenomener............. 4 4. Sirkelfrekvens................. 4 4.3 Interferens................... 4 4.4 Eksponentilfunksjon med som grunntll. 5 4.5 Økning/minking med p % per år...... 5 4.6 Eksponentilfunksjon med e som grunntll. 5 4.7 Funksjonen ph................ 5 4.8 Aldersbestemmelse etter 4C-metoden... 5 4.9 Potensfunksjonen............... 5 4.0 Allometrisk vekst............... 5 4. Logritmisk skl............... 5 4. Anvendelser v bestemt integrl....... 5 4.3 Mlthus modell................ 6 4.4 Verhulsts modell............... 6 4.5 Rdioktiv nedbrytning........... 6 4.6 Newtons vkjølingslov............ 6 4.7 Vekstrte................... 6 4.8 Vektorfunksjoner for bevegelse........ 6 4.9 Moment, msse og mssesenter....... 6 4.0 Vektor- og Mtriseregning i Mim.... 7 Omregning v enheter 8 De 4 bevegelsesformlene 9 Skisserk for krtesiske romkoordinter 30 Skisserk for sylinder og kulekoordinter 3 Skisserk for polre grfer 3 Trigonometriske identiteter 33 Lplcetrnsformsjon 34 Grunnleggende derivsjon 35 Integrler 35 Register 4 3
Noen grunnleggende emner. Mengder En mengde er en smling v elementer. Følgende notsjon kn brukes, der S og T er mengder: S er element i S S er ikke element i S S T Unionen v S og T (inneholder lle elementer i S og T til smmen S T Snittet v S og T (inneholder lle elementer felles for S og T Den tomme mengden (inneholder ingen elementer S T S er en delmengde v T (T inneholder minst lle elementene til S. Tll Tll kn beskrives som punkter på en tllinje: Tll kn også defineres som mengdene N, Z, Q, R slik: Nturlige tll N = {0,,, 3,...} Hele tll Z = {...,,, 0,,,...} Rsjonle tll Q = der, b Z og b 0 b Reelle tll R = Alle tll på tllinjen Irrsjonle tll = Reelle tll som ikke er rsjonle N Z Q R.3 Geometriske figurer i plnet Figur Arel Omkrets Rektngel gh (g + h Treknt Prllellogrm gh gh.4 Geometriske figurer i rommet Figur Volum Overflte Kube s 3 6s Prisme Pyrmide Gh Gh 3 Sylinder πr h πr(r + h Kjegle πr h 3 πr(r + s Kule 4πr 3 3 4πr.5 Linjer i plnet Stigningstllet m til en ikkevertikl linje gjennom punktene ( 0, y 0 og (, y er definert som m = y = y y 0 0 En linje med stigningstll m som går gjennom punktet (, y kn beskrives med likningen y = y + m( En horisontl linje gjennom punktet (, y kn derfor beskrives med likningen y = y. En vertikl linje gjennom punktet (, y kn beskrives med likningen =. En linje med stigningstll m og konstntledd b kn beskrives med likningen y = m + b Trpes (+bh Alle linjer kn skrives på normlformen A + By = C Sirkel πr πr Sektor r θ b = rθ der A og B ikke begge er lik null. Hvis to ikke-vertikle linjer L og L står vinkelrett på hverndre, så vil deres stigningstll m og m tilfredsstille likningen m m =, dvs: m = m og m = m.6 Andregrdslikningen + b + c = 0 = b ± b 4c 4
Hvis = 0 og = er løsninger v + b + c = 0, så hr vi følgende: + b + c = ( 0 ( 0 + = b 0 = c.7 Fullstendig kvdrt ( + b + c = + b b 4 + c ( n + b n + c = n + b b 4 + c.8 Avstnd i plnet Avstnden d i plnet mellom punktene (, y og (, y er d = ( + (y y Kjeglesnitt. Generelt kjeglesnitt. Linje.3 Punkt A + By + Cy + D + Ey + F = 0 A + By = C A( 0 + B(y y 0 = 0.6 Prbel med kse med -ksen = y + by + c Akse: y = b = y 0 Toppunkt: ( 0 = b 4 + c, y 0 = (y y 0 + 0 ( Brennpunkt: 0 + 4, y 0 Styrelinje: = 0 4 Nullpunkter: y = y 0 ± y 0 c Skjæring med -ksen: = c.4 Sirkel ( 0 + (y y 0 = r.5 Prbel med kse med y-ksen y = + b + c Akse: = b = 0 Toppunkt: ( 0, y 0 = b 4 + c y = ( 0 + y 0 ( Brennpunkt: 0, y 0 + 4 Styrelinje: y = y 0 4 Nullpunkter: = 0 ± 0 c Skjæring med y-ksen: y = c 5
.7 Hyperbel med brennpunkter med -ksen ( 0 (y y 0 b = Senter: ( 0, y 0 Senter-toppunkt = Toppunkt: ( 0 ±, y 0 Senter-brennpunkt c = + b Brennpunkt: ( 0 ± c, y 0 Eksentrisitet ε = c,.9 Ellipse ( 0 + (y y 0 b = Senter: ( 0, y 0 Storerdius = S = m(, b Lillerdius = L = min(, b Senter-brennpunkt c = S L Eksentrisitet ε = c S [0, Asymptoter: y = ± b ( 0 + y 0.8 Hyperbel med brennpunkter med y-ksen (y y 0 b ( 0 = Senter: ( 0, y 0 Senter-toppunkt = b Toppunkt: ( 0, y 0 ± b Senter-brennpunkt c = + b Brennpunkt: ( 0, y 0 ± c Eksentrisitet ε = c, b Asymptoter: y = ± b ( 0 + y 0 3 Trigonometri 3. Pytgors setning I en rettvinklet treknt med ktetlengder og b og hypotenuslengde c så hr vi + b = c 3. Definisjon v sin, cos og tn De trigonometriske funksjonene relteres til sidelengdene i en rettvinklet treknt på følgende måte: sin(θ = b c csc(θ = sin(θ = c b cos(θ = c sec(θ = cos(θ = c sin(θ cos(θ = tn(θ = b cot(θ = tn(θ = b 3.3 Enhetsformelen 3.4 Grder og rdiner sin ( + cos ( = Smmenhengen mellom en vinkel n i grder og en vinkel θ i rdiner: θ = n 360 π Grder til rdiner: r = g 360 π g 57.96 Rdiner til grder: g = r π 360 r 57.96 6
3.5 Egenskper til vilkårlige treknter Arel = bc sin(a = b + c bc cos(a sin(a = sin(b b = sin(c c 3.6 Ekskte trigonometriske verdier θ grder sin(θ cos(θ tn(θ 0 = 0.000 0 0 0 π/6 = 0.54 30 / 3/ 3/3 π/4 = 0.785 45 / / π/3 =.047 60 3/ / 3 π/ =.57 90 0 ± π/3 =.094 0 3/ / 3 3π/4 =.356 35 / / 5π/6 =.68 50 / 3/ 3/3 π = 3.4 80 0 0 7π/6 = 3.665 0 / 3/ 3/3 5π/4 = 3.97 5 / / 4π/3 = 4.89 40 3/ / 3 3π/ = 4.7 70 0 ± 5π/3 = 5.36 300 3/ / 3 7π/4 = 5.498 35 / / π/6 = 5.760 330 / 3/ 3/3 π = 6.83 360 0 0 3.7 Omforming v cos(ωt + b sin(ωt L, b og ω være gitte tll 0 med ω > 0. D er cos(ωt + b sin(ωt = C cos (ω(t t 0 der [C, ωt 0 ] er polrkoordintene til punktet (, b. Spesielt hr vi C = + b og tn(ω t 0 = b Vinkelen ωt 0 ligger i intervllet [0, π og hører til smme kvdrnt som punktet (, b. 3.8 Derivert Hvis vinkelen θ måles i rdiner hr vi sin(θ = cos(θ cos(θ = sin(θ tn(θ = cos (θ = + tn (θ 3.9 Inverse trigonometriske funksjoner Prinsiplvinkelen v 0 er den vinkelen du får ved å regne ut en invers trigonometrisk verdi på en typisk klkultor. Avhengig v situsjonen kn flere vinkler enn v 0 være relevnte. sin (θ = { v0 + kπ π v 0 + kπ θ [, ], v 0 [ π/, π/], π v 0 [π, 3π/], k Z cos (θ = { v0 + kπ π v 0 + kπ tn (θ = v 0 + kπ θ [, ], v 0 [0, π], π v 0 [π, π], k Z θ,, v 0 [ π/, π/], k Z 3.0 Sin, cos og tn v inverse trigonometriske funksjoner sin(sin ( = sin(cos ( = sin(tn ( = + cos(sin ( = cos(cos ( = cos(tn ( = + tn(sin ( = tn(cos ( = tn(tn ( = 3. Inverse trigonometriske identiteter cos ( = π/ sin ( tn ( = π/ tn ( sin ( = π/ cos ( 4 Logritme- og eksponentilfunksjoner 4. Den nturlige logritmen ln ln( = 4. Det nturlige tllet e t dt, > 0 Tllet e er det tllet i definisjonsmengden til den nturlige logritmen som tilfredsstiller likningen ln(e = 7
4.3 Egenskper til logritmer For vilkårlige tll > 0 og > 0, så gjelder følgende regler: ln( = ln( + ln( produktregelen ( ln = ln( ln( kvotientregelen ( ln = ln( resiprokregelen ln ( r = r ln( potensregelen 4.4 Den nturlige eksponentilfunksjonen For R, så er den inverse funksjonen til ln( lik e : Dette fører til t e = ln ( = ep( e ln( = for lle > 0 ln(e = for lle 4.5 Generelle eksponentilfunksjoner For lle tll > 0 og, så hr vi = e ln( 4.6 Generelle logritmefunksjoner For lle positive tll b, så er log b ( = ln( ln(b Dette fører til t den inverse funksjonen v b b log b ( = for lle > 0 log b (b = 5 Klkulus 5. Ulikheter Hvis, b, c R så hr vi: for lle < b + c < b + c < b c < b c < b og c > 0 c < bc < b og c < 0 c > bc < b > b > 0 > 0, b > 0 eller, b < 0 < b > b 5. Absoluttverdi Hvis, b, R så hr vi: { hvis 0 = hvis < 0 = Hvis > 0 hr vi: 5.3 Intervller = = b = b = b b + b + b (trekntulikheten = = ± < < < > > eller < eller En delmengde v tllinj klles et intervll om den inneholder minst to tll og inneholder lle reelle tll mellom to vilkårlige elementer i delmengden. Et linjesegment v tllinj er et endelig intervll. Et ubegrenset område v tllinj er et uendelig intervll. Et intervll er lukket om det inneholder begge endepunktene, åpent om det ikke inneholder noen endepunkter og hlvåpent om det inneholder ett v endepunktene men ikke det ndre. Punkter i intervllet som ikke er endepunkter klles indre punkter. Vi hr følgende typer intervller: Notsjon Mengde Type, b { < < b} Åpent, endelig [, b] { b} Lukket, endelig [, b { < b} Hlvåpent, endelig, b] { < b} Hlvåpent, endelig, { > } Åpent, uendelig [, { } Lukket, uendelig, b { < b} Åpent, uendelig, b] { b} Lukket, uendelig, R Åpent, lukket, uendelig 5.4 Funksjoner En funksjon fr en mengde D til en mengde Y er en regel som tilordner ett (unikt element f( Y til hvert element D. Mengden D med lle mulige inputverdier klles definisjonsmengden til funksjonen. Mengden v lle verdiene til f( når vrierer gjennom hele D klles verdimengden til funksjonen. 5.5 Polynomer En funksjon p( er et polynom i hvis p( = 0 + + + n n + n n 8
hvor n N og 0,,,..., n R. n klles koeffisientene til polynomet. Alle polynomer hr definisjonsmengde, og n klles grden v polynomet. 5.6 Rsjonle funksjoner En rsjonl funksjon er et forhold mellom to polynomer: f( = p( q( der p og q er polynomer. Definisjonsmengden til en rsjonl funksjon er mengden v lle R der q( 0. 5.7 Proporsjonlitet To vribler og y er proporsjonle til hverndre hvis den ene lltid er en konstnt multippel v den ndre, dvs: y = k for en eller nnen konstnt k 0. 5.8 Smmenstte funksjoner Hvis f og g er funksjoner, så er den smmenstte funksjonen (f g( = f(g( Definisjonsmengden til f g består v tllene i definisjonsmengden til g der g( ligger i definisjonsmengden til f. 5.9 Flytting/modifisering v grfer En grf til en funksjon f( kn flyttes, strekkes og speiles ved å legge til eller gnge med en konstnt k på forskjellige måter: Hvis k > 0 så hr vi: f( + k f( k f( + k f( k Flytter grfen opp lengden k Flytter grfen ned lengden k Flytter grfen lengden k mot venstre Flytter grfen lengden k mot høyre Hvis k > så hr vi: kf( k f( f(k f(/k Strekker grfen vertiklt med fktoren k Trykker grfen vertiklt med fktoren k Trykker grfen horisontlt med fktoren k Strekker grfen horisontlt med fktoren k Hvis k = så hr vi: kf( = f( f(k = f( Speiler grfen gjennom -ksen Speiler grfen gjennom y-ksen 5.0 Jevne og odde funksjoner En funksjon y = f( er en jevn funksjon v hvis f( = f(, odde funksjon v hvis f( = f(, for hver i funksjonens definisjonsmengde. Jevne funksjoner er symmetriske om y-ksen. Odde funksjoner er symmetriske om origo. 5. Grenseverdier Hvis L, M, c, k R og lim f( = L og lim g( = M, så c c lim(f( + g( = L + M c (f( g( = L M lim c lim c (f( g( = L M lim c (k f( = k L lim c f( g( = L M, M 0 Hvis r, s N, ikke hr noen felles fktor og s 0, så lim c (f(r/s = L r/s gitt t L r/s R. Hvis s er et prtll, ntr vi L > 0. Hvis lim c ln f( = L, d er lim f( = lim c c eln f( = e L Merk t disse reglene også er gyldige når c = ±. 5. Grenseverdien til polynomer Hvis p( er et polynom, så er lim p( = p(c c 5.3 Grenseverdien til rsjonle funksjoner Hvis p( og q( er polynomer og q(c 0, så er p( lim c q( = p(c q(c 5.4 Sndwichteoremet Ant t g( f( h( for lle i et åpent intervll som inneholder c, utenom muligens ved = c. Ant i tillegg t lim g( = lim h( = L. c c D vil også lim f( = L. c 5.5 Venstre og høyre grenseverdier En funksjon f( hr en grenseverdi når går mot c hvis og bre hvis den hr venstre og høyre grenseverdier der og disse grenseverdiene er like: lim f( = L c lim f( = L og lim c f( = L c + 9
5.6 Horisontl symptote En linje y = b er en horisontl symptote v grfen til en funksjon y = f( hvis lim f( = b og/eller lim f( = b 5.7 Skråsymptote Hvis grden til telleren i en rsjonl funksjon f( er én høyere enn grden til nevneren så hr grfen til funksjonen en skråsymptote. Ved å dele telleren på nevneren ved polynomdivisjon får vi uttrykt den rsjonle funksjonen som en lineær funksjon v pluss et restledd med i nevneren. Den lineære delen er funksjonen for skråsymptoten. 5.8 Vertikl symptote En linje = er en vertikl symptote v grfen til en funksjon y = f( hvis enten lim f( = ± eller lim f( = ± + 5.9 Noen grenseverdier lim n 5.0 Kontinuitet sin θ lim = (θ i rdiner θ 0 θ ( + n = e (for lle n En funksjon f( er kontinuerlig ved = c hvis og bre hvis følgende tre krv er oppfylt:. f(c finnes (c er i definisjonsmengden til f. lim c f( finnes (f hr en grense når c 3. lim c f( = f(c (grenseverdien er lik f(c 5. Kontinuerlig funksjon En funksjon er kontinuerlig på et intervll hvis og bre hvis den er kontinuerlig på lle punktene i intervllet. En kontinuerlig funksjon er en funksjon som er kontinuerlig på lle punktene i funksjonens definisjonsmengde. En funksjon trenger ikke være kontinuerlig på lle intervller. F.eks. y = / er ikke kontinuerlig i intervllet [, ], men er kontinuerlig i definisjonsmengden, 0 0,. 5. Egenskper til kontinuerlige funksjoner Hvis funksjonene f og g er kontinuerlige ved = c, d er følgende kombinsjoner også kontinuerlige ved = c: Summer f + g Differnser f g Produkter f g Konstnte multipler k f, for lle tll k Kvotienter f/g, gitt t g(c 0 Potenser f r/s, gitt t f r/s er definert på et åpent intervll som inneholder c og r, s N Smmenstte funksjoner f g = f(g( 5.3 Skjæringssetningen En funksjon y = f( som er kontinuerlig på et lukket intervll [, b] ntr lle verdier mellom f( og f(b. Dvs t hvis y 0 er en hvilken som helst verdi mellom f( og f(b, så er y 0 = f(c for en eller nnen c [, b]. 5.4 Stigningstllet til en kurve på et punkt Stigningstllet til en kurve y = f( på punktet P ( 0, f( 0 er tllet m = lim h 0 f( 0 + h f( 0 h (gitt t denne finnes Tngenten til kurven ved P er linjen gjennom P med dette stigningstllet. 5.5 Derivsjon Den deriverte til funksjonen f( med hensyn på vribelen er funksjonen f som er definert slik: f ( = lim h 0 f( + h f( h gitt t denne grenseverdien finnes. Det er mnge måter å skrive den deriverte på. Noen lterntiver er: f ( = f = df = d f = f = Df = D f = f ( 5.6 Deriverbrhet impliserer kontinuitet Hvis f er deriverbr ved = c så betyr det t f også er kontinuerlig ved = c (men ikke nødvendigvis motstt. 5.7 Drbou teorem Hvis og b er to vilkårlige punkter i et intervll der f er deriverbr, så vil f nt lle verdier mellom f ( og f (b. 5.8 Ekstremverdier L f være en funksjon med definisjonsmengde D. D hr f en globl mksimumsverdi på D ved et punkt c hvis f( f(c for lle i D og en globl minimumsverdi på D ved c hvis f( f(c for lle i D. Hvis f er kontinuerlig og definisjonsmengden til f er det lukkede intervllet [, b], d vil f h både en bsolutt mksimumsverdi M og en bsolutt minimumsverdi m i [, b]. Dvs, det finnes to tll og i [, b] der f( = m, f( = M og m f( M for lle - verdier i [, b]. 5.9 Lokle mks og min En funksjon f hr en lokl mksimumsverdi ved et indre punkt c i definisjonsmengden hvis f( f(c for lle i et åpent intervll som inneholder c. 0
En funksjon f hr en lokl minimumsverdi ved et indre punkt c i definisjonsmengden hvis f( f(c for lle i et åpent intervll som inneholder c. Globle ekstremverdier er også lokle ekstremverdier, men ikke nødvendigvis motstt. 5.30 Førstederivert-testen for lokle ekstremverdier Hvis f hr en lokl mksimums- eller minimumsverdi ved et indre punkt c i definisjonsmengden, og f er definert ved c, så er f (c = 0. 5.3 Kritisk punkt Et indre punkt i definisjonsmengden til en funksjon f der f er null eller udefinert klles et kritisk punkt på f. Globle ekstrempunkt på et endelig lukket intervll til en kontinuerlig funksjon f er den største og den minste verdien til f v lle kritiske punkter og endepunkter. 5.3 Rolles teorem Ant t f( er kontinuerlig på lle punkter i det lukkede intervllet [, b] og deriverbr på lle punkter i det åpne intervllet, b. Hvis f( = f(b, d finnes det minst ett tll c i, b hvor f (c = 0 5.33 Middelverditeoremet Ant t f( er kontinuerlig på et lukket intervll [, b] og deriverbr på lle punkter i det åpne intervllet, b. D finnes det minst et punkt c i, b hvor f(b f( b = f (c 5.34 Funksjoner med null som derivert er konstnte Hvis f ( = 0 ved lle punkter i et åpent intervll, b, d er f( = C for lle, b, der C er en konstnt. 5.35 To funksjoner med smme derivert vviker med en konstnt Hvis f ( = g ( for lle punkter i et åpent intervll, b, d finnes det en konstnt C slik t f( = g(+c for lle, b. Dvs, f g er en konstnt på, b. 5.36 Vekstrter når L f( og g( være positive for tilstrekkelig store. Hvis f( lim g( = eller, tilsvrende, om g( lim f( = 0 så sier vi t f vokser rskere enn g, evt t g vokser seinere enn f. Hvis f( lim g( = L (et endelig tll så hr f og g smme vekstrte når. 5.37 Økende, vtkende og monotone funksjoner L f være en funksjon definert på et intervll I og l og være to vilkårlige verdier i I. D hr vi: Hvis f( <f( når < så er f økende på I. Hvis f( >f( når < så er f vtkende på I. En funksjon som enten er økende eller vtkende på I klles monoton på I. 5.38 Førstederivert-testen for monotone funksjoner Ant t f er kontinuerlig på [, b] og deriverbr på, b. Hvis f ( > 0 for lle, b, d er f økende på [, b]. Hvis f ( < 0 for lle, b, d er f vtkende på [, b]. 5.39 Førstederivert-testen for lokle ekstremverdier Ant t c er et kritisk punkt på en kontinuerlig funksjon f, og t f er deriverbr på lle punkter i et intervll som inneholder c, men ikke nødvendigvis ved c. Hvis det viser seg t, når mn beveger seg forbi c fr venstre mot høyre på tllinjen, og. hvis f går fr negtiv til positiv ved c, d hr f loklt minimum ved c;. hvis f går fr positiv til negtiv ved c, d hr f loklt mksimum ved c; 3. hvis f ikke forndrer fortegn ved c, d hr ikke f lokl ekstremverdi ved c. 5.40 Konkv opp, konkv ned Grfen til en deriverbr funksjon f( er på et åpent intervll I konkv opp hvis f er økende på I og konkv ned hvis f er vtkende på I. 5.4 Andrederivert-testen for konkvitet L f( være dobbelt deriverbr på et intervll I Hvis f > 0 på I, d er grfen til f over I konkv opp. Hvis f < 0 på I, d er grfen til f over I konkv ned. 5.4 Vendepunkt Et punkt der grfen til en funksjon kn h en tngent og der konkviteten endres, klles et vendepunkt.
5.43 Andrederivert-testen for lokle ekstremverdier Ant t f er kontinuerlig på et åpent intervll som inneholder = c. Hvis f (c = 0 og f (c < 0, d hr f loklt mksimum ved = c. Hvis f (c = 0 og f (c > 0, d hr f loklt minimum ved = c. Hvis f (c = 0 og f (c = 0, d feiler testen. Funksjonen f kn d enten h loklt mks, loklt min, eller ingen v delene. 5.44 L Hôpitls regel Ant t f( = g( = 0, og t f og g er deriverbre på et åpent intervll I som inneholder, og t g ( 0 på I når. D hr vi f( lim g( = lim f ( g ( hvis grenseverdien til høyre finnes. Det smme gjelder om f( ± og g( ± når. Vi kn også h = ± eller + eller. 5.45 Antideriverte En funksjon F klles en ntiderivert v f på et intervll I hvis F ( = f( for lle I. Hvis F er en ntiderivert v f på et intervll I, d er den mest generelle ntideriverte v f på I F ( + C hvor C er en vilkårlig konstnt. 5.46 Ubestemt integrl Mengden v lle ntideriverte v f er det ubestemte integrlet v f med hensyn på, og blir skrevet slik: f( Symbolet er et integrltegn. Funksjonen f er integrnden til integrlet, og er integrsjonsvribelen. 5.47 Bestemt integrl Hvis en funksjon f( er ikkenegtiv og integrerbr over et lukket intervll [, b], d er relet mellom kurven f( og -ksen over [, b] integrlet v f fr til b, A = b f( 5.48 Regneregler for bestemte integrler b b b b f( = f( = 0 kf( = k (f( ± g( = f( + c b f( = b b b c f( f( f( ± f( b g( 5.49 Gjennomsnittsverdien til en funksjon Hvis f er integrerbr på [, b], d er gjennomsnittsverdien til f på [, b] lik gj(f = b b f( 5.50 Middelverditeoremet for bestemte integrler Hvis f er kontinuerlig på [, b], d finnes det et punkt c i [, b] hvor f(c = b f( b 5.5 Klkulusens fundmentlteorem Hvis f er kontinuerlig på [, b], d er F ( = f(t dt kontinuerlig på [, b] og deriverbr på, b, og dens deriverte er f(: F ( = d f(t dt = f( Hvis f er kontinuerlig på lle punkter i [, b], og F er en vilkårlig ntiderivert v f på [, b], d hr vi b 5.5 Delvis integrsjon f( = F (b F ( Hvis f er en funksjon v så kn vi l f ( bety den. deriverte v f, f ( den. deriverte v f, osv. Vi kn også l f (0 bety f og f ( bety f, f ( bety ( f, osv. Så den n te deriverte v f er f (n og den n te ntideriverte v f er f ( n der n er et positivt heltll. Vi hr dermed ( f ( ( = f (0 + C = f + C og ( f ( ( = f (0 = f. Produktregelen for derivsjon: (u v ( = u ( v + u v (
Hvis vi ntideriverer begge sider får vi ((u v ( ( = (u ( v + u v ( ( ( ( (u v (0 = u ( v + (u v ( ( (u v ( ( ( ( = u v u ( v Hvis vi foretr substitusjonene u = f og v ( = g, får vi u ( = f ( og v = g ( og: Dvs: (f g ( = f g ( (f ( g ( ( f g = f g ( f ( g ( Dette kn vi klle produktregelen for integrsjon, men klles vnligvis for delvis integrsjon. Ved å bruke regelen en gng til, på uttrykket f ( g ( ser vi f ( g ( = f ( g ( f ( g ( Det betyr t f g = f g ( f ( g ( + f ( g ( Dette kn gjøres flere gnger, så vi får dette mønsteret: f g = f g ( f ( g ( + f ( g ( 3 f (3 g ( 4 + f (4 g ( 5. + ( n f (n g ( n + ( n f (n g ( n Hvis f (n = 0 (f.eks. polynomer så blir f g = f g ( ( f ( g + f f ( g ( 3 (3 g ( 4 (4 g ( 5 Se også trondl.com/delvis + f. + ( n f (n g ( n + C 5.53 Substitusjonsregelen for ubestemte integrl Hvis u = g( er deriverbr, og verdimengden til g er et intervll som f er kontinuerlig på, så hr vi f(g( g ( = f(u du Med notsjonen fr kpittel 5.5 får vi f(g g ( = f(u du = f ( (g + C 5.54 Substitusjonsregelen for bestemte integrl Hvis g ( er kontinuerlig på intervllet [, b] og f er kontinuerlig på verdimengen til g(, d hr vi b f(g( g ( = g(b g( f(u du Med notsjonen fr kpittel 5.5 får vi b g(b [ ] g(b f(g g ( = f(u du = f ( (g g( g( 5.55 Spesiltilfeller når f er jevn eller odde Hvis f er kontinuerlig på intervllet [, ], d: Hvis f er jevn, d er Hvis f er odde, d er f( = 5.56 Arelet mellom kurver 0 f( = 0 f( Hvis f og g er kontinuerlige og f( g( i [, b], d er relet v området mellom kurvene y = f( og y = g( fr til b integrlet v (f g fr til b: 5.57 Volum A = b (f( g( Volumet v et legeme med et kjent integrerbrt tversnittrel A( fr = til = b er integrlet v A fr til b: V = b A( 5.58 Volum med skivemetoden Rotsjon v y( om kse -kse: V = π b ( R( r( Rotsjon v (y om kse y-kse: V = π b ( R(y r(y dy 3
5.59 Volum med sylinderskllmetoden Rotsjon v y( om kse y-kse: V = π b ( ( skll skll rdius høyde Rotsjon v (y om kse -kse: V = π b 5.60 Kurvelengde ( ( skll skll dy rdius høyde Hvis g er kontinuerlig og deriverbr på [c, d], d er lengden v kurven (grfen = g(y fr y = c til y = d lik L = d c + ( dy dy = d 5.6 Enentydig funksjon c + (g (y dy En funksjon f( er enentydig (eller injektiv på D f hvis f( f( når i D f. 5.6 Horisontllinjetesten for enentydige funksjoner En funksjon y = f( er enentydig hvis og bre hvis grfen skjærer enhver horisontl linje høyest ett sted. 5.63 Invers funksjon Ant t f er en enentydig funksjon på en definisjonsmengde D med verdimengde R. Den inverse funksjonen f er definert ved f ( = b hvis f(b = Definisjonsmengden til f er R og verdimengden til f er D. 5.64 Resiprok Om et tll R ikke er lik null, så klles for resiproken til. 5.65 Den deriverte v en invers funksjon Hvis f hr et intervll I som definisjonsmengde og f ( finnes og ldri er null på I, d er f deriverbr på lle punkter i dens definisjonsmengde. Verdien til (f ved et punkt b i definisjonsmengden til f, er resiproken til verdien til f ved punktet = f (b: eller (f (b = df = =b f (f (b df =f (b 5.66 Newtons metode 5.67 Trpesmetoden n+ = n f( n f ( n Et bestemt integrl v f fr til b kn pproksimeres ved å stykke opp intervllet i n like store lengder, og summere relet v trpesene fr -ksen til f. Bredden på hvert trpes blir = b. Summen v trpesrelene blir d T = n ( n f( + f( + k + f(b k= 5.68 Simpsons metode S = 3 (y 0+4y +y +4y 3 + +y n +4y n +y n Der y ene er verdier v f ved prtisjonspunktene 0 =, = +,..., n = + (n, n = b. Tllet n er et prtll, og = (b /n. 5.69 Bevis for rekkeformel + + 3 + + n = f(n n,, 3,... f( = 0 og f(n + n+ f(n + = 0 5.70 Bevis for produktformel 3 n = f(n n,, 3,... f( = 0 og f(n n+ f(n + = 0 6 Prmeterfremstilling 6. Linje 6. Sirkel 6.3 Ellipse { = 0 + t ( 0 y = y 0 + t (y y 0 { = r cos(t y = r sin(t { = cos(t y = b sin(t ( < t < (0 < t < π (0 < t < π 6.4 Tngenter til gltte kurver Horisontle tngenter når y (t = 0 Vertikle tngenter når (t = 0 Stigningstllet til en kurve i et punkt: y (t (t t=t 0 4
6.5 Tngent- og normllinjer Tngentlinje til prmeterisert kurve gjennom punktet: { = f(t0 + f (t 0 (t t 0 y = g(t 0 + g ( < t < (t 0 (t t 0 Normllinje til prmeterisert kurve: { = f(t0 + g (t 0 (t t 0 y = g(t 0 f ( < t < (t 0 (t t 0 6.6 Buelengdedifferensilen (ds ds = ds ( dt dt = = + dt dt 6.7 Lengden til en gltt kurve s = t=b t= ds = b ( + dt ( dy dt ( dy dt dt 6.8 Overflterel til omdreiningslegemer Overflterelet ved omdreining om -ksen: S = π t=b t= y ds = π b g(t f (t + g (t dt Overflterelet ved omdreining om y-ksen: S = π t=b t= ds = π b f(t f (t + g (t dt 6.9 Arel innenfor en simpel, lukket kurve b A = g(t f (t dt hvis g er kontinuerlig og f er deriverbr b A = f(t g (t dt hvis f er kontinuerlig og g er deriverbr 7 Polre koordinter og grfer 7. Definisjon v polre koordinter De polre koordintene til et sted i plnet defineres med to tll; det første tllet r er vstnden fr origo, og det ndre tllet θ er vinkelen fr strålen som går fr origo mot positiv -kse til strålen som går fr origo mot punktet. Polre koordinter skrives slik: 7. Negtiv rdius [r, θ] Hvis r er et negtivt tll, betyr det t strålen som går mot punktet går motstt vei v vinkelen θ. Dvs t 7.3 Smmenheng mellom krtesiske og polre koordinter = r cos(θ y = r sin(θ + y = r y = tn(θ 7.4 Rotsjon v polr grf Den polre grfen r = f(θ θ 0 er den polre grfen r = f(θ rotert vinkelen θ 0 om origo. 7.5 Retningen til en polr grf i origo Den polre grfen r = f(θ nærmer seg origo fr retningen θ for de verdiene v θ som gjør t f(θ = 0. 7.6 Skjæringspunkt til polre grfer r = f(θ og r = g(θ hr mulige skjæringspunkt i 3 tilfeller:. I origo hvis både f(θ = 0 og g(θ = 0 hr minst en løsning hver.. Alle punkter [g(θ i, θ i ] der θ i er løsningene til likningen f(θ = g(θ. 3. Alle punkter [g(θ i, θ i ] der θ i er løsningene til likningen f(θ + (k + π = g(θ. 7.7 Arel til polre grfer Området begrenset v grfen til r = f(θ og strålene θ = α og θ = β der α < β hr relet A = β α f(θ dθ 7.8 Lengden til polre grfer Grfen til r = f(θ fr θ = α til θ = β der α < β hr lengden β s = f (θ + f(θ dθ 8 Vektorer 8. Egenskper til vektorer α Bsis for krtesisk rom: ı = 0, ȷ = 0, k = 0 0 0 0 Vektor i rommet: Vektoren fr A til B: v = v ı + v ȷ + v 3 k AB = (b ı + (b ȷ + (b 3 3 k [r, θ] = [ r, θ + (k + π] Tll gnger vektor: t v = tv ı + tv ȷ + tv 3 k 5
Addisjon/Subtrksjon: u ± v = (u ± v ı + (u ± v ȷ + (u ± v k Vektor i ndre: u u = u Prikkprodukt: u v = u v +u v +u 3 v 3 = u v cos θ ( Vinkel mellom u og v: θ = cos u v Prikkprodukt ift vinkelrett: Enhetsvektor: ˆv = v v u v u v = 0 u v Lengden til en vektor: v = v + v + v 3 Sklrprojeksjonen v u lngs v: Vektorprojeksjonen v u lngs v: 8. Kryssprodukt s = u v v = u cos θ u v = u v u v v ˆv = v v Kryssprodukt/vektorprodukt er en regneopersjon definert for tredimensjonle vektorer: v = b = b 3 3 b 3 b b 3 b b v vil nå stå vinkelrett både på og b. Det er også slik t b = b En teknikk for å regne ut kryssproduktet mellom to vektorer: 4 5 5 = 3 6 6 5 3 5 4 = 3 4 6 = 6 = 3 6 3 6 5 4 5 8 3 5 Egenskper: ( u v u = 0 ( u v v = 0 u v = u v sin(θ u u = 0 u v = 0 u v u v = v u ( u + v w = u w + v w u ( v + w = u v + v w (ntikommuttiv (t u v = u (t v = t ( u v u ( v w ( u v w (distributiv over ddisjon (ikke ssositiv 8.3 Anvendelser v kryssprodukt ( Vinkel mellom u og v: θ = sin u v u v Arel v treknt: A = u v Arel v prllellogrm: Det sklre trippelproduktet: Koplnritet: A = u v u ( v w u, v og w er koplnære u ( v w = 0 Volumet til et prllellepiped: Volumet til et tetreder: V = u ( v w V = 6 u ( v w 9 Anlytisk romgeometri 9. Definisjoner for pln i rommet Punkt plnet går gjennom: P 0 = ( 0, y 0, z 0 Retningsvektor til punktet: r 0 = 0 ı + y 0 ȷ + z 0 k Vilkårlig punkt i plnet: P = (, y, z Retningsvektor til punktet: Normlvektor til plnet: 9. Ligning for pln på vektorform n ( r r 0 = 0 r = ı + y ȷ + z k n = A ı + B ȷ + C k 9.3 Ligninger for pln på stndrdform eller A( 0 + B(y y 0 + C(z z 0 = 0 A + By + Cz = D der D = A 0 + By 0 + Cz 0 9.4 Skjæring med koordintksene Hvis A 0, B 0 og C 0 så skjærer plnet i ( D A, 0, 0, (0, DB (, 0 og 0, 0, D C Et pln som går gjennom (, 0, 0, (0, b, 0 og (0, 0, c kn skrives på formen 9.5 Plnpensel + y b + z c = A + B y + C z D + λ(a + B y + C z D = 0 9.6 Definisjoner for linje i rommet Punkt linj går gjennom: P 0 = ( 0, y 0, z 0 Retningsvektor til punktet: r 0 = 0 ı + y 0 ȷ + z 0 k Vilkårlig punkt på linj: P = (, y, z Retningsvektor til punktet: Retningsvektor til linj: r = ı + y ȷ + z k v = ı + b ȷ + c k 6
9.7 Linje på vektor-prmeterform r = r 0 + t v 9.8 Linje på sklr-prmeterform = 0 + t y = y 0 + bt z = z 0 + ct 9.9 Linje på stndrdform 0 Men hvis f.eks. c = 0 så: = y y 0 b 0 = z z 0 c 9.0 Avstnd mellom to punkter = y y0 b, z = z 0 d = ( + (y y + (z z 9. Avstnd mellom punkt og pln Avstnden mellom punktet ( 0, y 0, z 0 og plnet A + By + Cz = D er s = A 0 + By 0 + Cz 0 D A + B + C 9. Avstnd mellom punkt og linje Avstnden mellom punktet med posisjonsvektor r 0 og en linje gjennom punktet med posisjonsvektor r og retningsvektor v er s = ( r 0 r v v 9.3 Avstnd mellom to linjer Avstnden mellom en linje gjennom punktet med posisjonsvektor r som hr retningsvektor v, og en linje gjennom punktet med posisjonsvektor r som hr retningsvektor v er s = ( r r ( v v v v 0 Sylindriske og sfæriske koordinter 0. tn tn(y, gir vinkelen til et punkt i y-plnet: tn (y/ når > 0 tn (y/ + π når < 0, y 0 tn tn(y, = (y/ π når < 0, y < 0 π/ når = 0, y > 0 π/ når = 0, y < 0 udefinert når = 0, y = 0 0. Notsjon for krtesiske, sylindriske og sfæriske punkter Krtesisk punkt: (, y, z Sylindrisk punkt: [r, θ, z] Sfærisk punkt: [R, ϕ, θ] Merk t skrivemåten for sfæriske punkter dessverre ikke er veldig stndrdisert. I denne formelsmlingen så betyr θ den vnlige polre vinkelen i y-plnet, og ϕ betyr vinkelen som ligger mellom positiv z-kse og strålen som går fr origo og ut til punktet. 0.3 Bytte v koordintsystem Krtesisk til sylindrisk: Sylindrisk til krtesisk: Krtesisk til sfærisk: Sfærisk til krtesisk: Sylindrisk til sfærisk: Sfærisk til sylindrisk: Lineær lgebr. Lineær likninger r = + y θ = tn(y, z = z = r cos(θ y = r sin(θ z = z R = + y + z ϕ = cos (z/r θ = tn(y, = R sin(ϕ cos(θ y = R sin(ϕ sin(θ z = R cos(ϕ R = r + z ϕ = cos (z/r θ = θ r = R sin(ϕ θ = θ z = R cos(ϕ En lineær likning med vribler,..., n kn skrives + + + n n = b der b og koeffisientene,..., n er reelle eller komplekse tll. Et system med lineære likninger (eller et lineært system er en smling med en eller flere lineære likninger. F.eks.. Løsninger +.5 3 = 8 4 3 = 7 En løsning v systemet er en liste (s,... s n med tll som gjør t hver likning stemmer når mn bytter ut,..., n med s,..., s n. Smlingen v lle mulige løsninger klles løsningsmengden. To lineære systemer klles ekvivlente hvis de hr smme løsningsmengde. Å finne løsningsmengden til et system med to lineære likninger med 7
to vrible med reelle koeffisienter er ekvivlent med å finne ut hvor to linjer krysser hverndre. F.eks: = + = 3 Ingen løsning 3 = + = 3 Uendelig mnge løsninger = + 3 = 3 3 Nøyktig én løsning Et lineært system hr enten ingen løsning, eller nøyktig én løsning, eller uendelig mnge løsninger. Et lineært system er konsistent hvis det hr minst en løsning og er inkonsistent hvis det ikke hr noen løsning..3 Mtriserepresentsjon Et lineært system kn representeres med en mtrise. F.eks. gitt det lineære systemet + 3 = 0 4 + 5 + 9 3 = 9 8 3 = 8 så kn mn representere koeffisientene i systemet med følgende koeffisientmtrise: ] [ - -4 5 9 0-8 Hele det lineære systemet kn representeres med følgende ugmenterte mtrise: ] [ - 0-4 5 9-9 0-8 8 Størrelsen til en mtrise sier hvor mnge rder og kolonner den hr. Den ugmenterte mtris ovenfor hr 3 rder og 4 kolonner. En m n mtrise ( m gnger n mtrise er en mtrise med m horisontle rder og n vertikle kolonner. m og n trenger ikke å være forskjellige tll. Hvis to mtriser er ekvivlente skrives tegnet mellom dem. Ersttning: Ersttte en rd med summen v seg selv og en multippel v en nnen rd. Ombytting: Bytte om to rder. Sklering: Gnge lle tll i en rd med et tll ulik 0. Eks.: Ersttter rd med (rd + (4 gnger rd : ] ] [ - 0-4 5 9-9 0-8 8 [ - 0-4+4 5+4 (- 9+4-9+4 0 0-8 8 [ ] - 0 0-3 3-9 0-8 8 Eks.: Bytter rd med rd 3: ] [ - 0 0-3 3-9 0-8 8 [ - 0 0-8 8 0-3 3-9 Eks.3: Gnger lle tll i rd med : [ ] - 0 0-8 8 0-3 3-9 ] [ - 0 0-8 8 0-3 3-9 [ ] - 0 0-4 4 0-3 3-9.5 Enhetsmtrise/identitetsmtrise En enhetsmtrise/identitetsmtrise v størrelse n n er en kvdrtisk mtrise med lngs digonlen fr øverste venstre hjørne til nederste høyre hjørne og 0 ellers. Eksempel på en 3 3 enhetsmtrise:.6 Rdredusering [ 0 0 0 0 0 0 Ved å bruke rdopersjonene for å få koeffisientmtrisen mest mulig lik en enhetsmtrise klles rdredusering. Gjør mn det med eksempelmtrisen ovenfor får mn følgende: [ ] - 0 0-4 4 0-3 3-9 ] [ ] 0 0 9 0 0 6 0 0 3 Og mn hr funnet en unik løsning på det opprinnelige systemet med s = 9, s = 6, s 3 = 3. To mtriser er rdekvivlente hvis det finnes en rekkefølge v elementære rdopersjoner som trnsformerer den ene mtrisen til den ndre. Hvis de ugmenterte mtrisene til to lineære systemer er rdekvivlente så hr systemene smme løsningsmengde. ].4 Rdopersjoner Tre grunnleggende rdopersjoner kn benyttes på lineære systemer uten t det påvirker løsningsmengden: 8
.7 Grunnleggende mtrisedefinisjoner Et ledende tll i en rd er det tllet lengst til venstre i en rd som ikke er lik 0. En nullrd er en rd der lle tll er 0. En rd er ikkenull om den inneholder minst ett tll som ikke er lik 0. En mtrise er på trppeform (Echelonform hvis den hr følgende tre egenskper:. Alle ikkenull-rder ligger over lle eventuelle nullrder.. Det ledende tllet i en rd ligger i en kolonne som er til høyre for det ledende tllet i rden over. 3. Alle tll i en kolonne under et ledende tll er 0. Hvis en mtrise på trppeform i tillegg hr følgende egenskper, så er mtris på redusert trppeform (redusert Echelonform: 4. Det ledende tllet i lle ikkenull-rder er lik. 5. Hvert ledende -tll er det eneste tllet som ikke er lik 0 i kolonnen. Følgende mtriser er i hhv trppeform og red. trppeform: ] [ ] 0 0 9 [ -3 0 4 8 0 0 0 5/ 0 0 6 0 0 3 En pivotposisjon i en mtrise A er en posisjon i A som korresponderer med et ledende -tll i den reduserte trppeformen til A. En pivotkolonne er en kolonne i A som inneholder en pivotposisjon. En pivot er et tll ulik 0 i en pivotposisjon som brukes til å lge 0 er i de ndre rdene i kolonnen vh rdopersjoner..8 Representsjon v løsninger Hvis en ugmentert mtrise på redusert trppeform hr minst en nullrd, hr systemet minst en fri vribel, og systemet hr uendelig mnge løsninger. F.eks. [ 0-5 0 4 0 0 0 0 ] Tilsvrer systemet 5 3 = + 3 = 4 0 = 0 Vriblene og klles ledende vribler, mens 3 her er en fri vribel. Slike konsistente systemer kn skrives som en generell løsning ved å løse det reduserte likningssystemet mhp de ledende vriblene: { = + 5 3 3 = 4 3 3 er fri Her står løsningen på prmeterform, men kn også omformes til prmetrisk vektorform slik: [ ] [ ] [ ] [ ] + 53 5 = = = 4 + 3 0 der p = 4 3 3 = p + t v [ ] 4, v = 0 [ ] 5, og t R.9 Teoremer for løsninger Teorem : Enhver mtrise er rdekvivlent med en og bre en mtrise på redusert trppeform. Teorem : Eksistens og entydighetsteorem. Et lineært system er konsistent hvis og bre hvis kolonnen lengst til høyre i en ugmentert mtrise ikke er en pivotkolonne, dvs hvis og bre hvis en trppeform v den ugmenterte mtris ikke hr noen rd på formen [ 0 0 b ] der b 0 Hvis systemet er konsistent, d inneholder løsningsmengden enten (i en unik løsning uten fri vribler eller (ii uendelig mnge løsninger med minst en fri vribel..0 Summen/differnsen v to mtriser Dette er definert for to mtriser som er like store: ] ] [ n....... m mn ± [ b b n....... b m b mn. Sklering v en mtrise = [ ± b n ± b n....... m ± b m mn ± b mn En mtrise kn gnges med et tll; Mn gnger d lle tllene i mtris med tllet: n c.. m mn = c c n.. c m c mn. Produktet v to mtriser Hvis ntll kolonner i en mtrise likt ntll rder i en nnen mtrise, så kn de gnges smmen som i eksempelet her: ] B A A B = [ 4 0 3 7 3 4 [ 7 3 4 5 7 8 4 3 7 4 ] [ ] 68 9 5 8 74 80 7 4 37 63 6 4 F.eks. så hr 7 her kommet frem ved å plusse smmen produktet v tll fr. rd i A og 3. kolonne i B slik: 0 3 + 3 ( 8 + 7 = 7.3 Regneregler for mtriser L A, B, C være vilkårlige mtriser, I enhetsmtrisen og 0 være mtrisen der lle tllene er lik null. Vi hr d følgende regler for mtriseregning (der størrelsene på mtrisene er slik t den ktuelle formelen gir mening: A + B = B + A A + (B + C = (A + B + C A + 0 = 0 + A = A A A = 0 A(BC = (ABC AI = IA = A A(B + C = AB + AC ] 9
I tillegg er opersjonen A k der k N definert som å gnge A med seg selv k gnger. M 0 er definert til å være lik I..4 Den inverse til en mtrise Hvis A er en kvdrtisk mtrise, så er A definert slik t A A = A A = I En mtrise A er inverterbr det A 0. Inversen til en -mtrise er [ ] [ ] b d b = c d d bc c.5 Inverser i likningsløsing Hvis Y = AX og A = 0 så er X = A Y.6 Negtive eksponenter Vi definerer A k = (A k k N Som fører til A p A q = A p+q og (A p q = A qp.7 Inversen til et produkt.8 Determinnter (AB = B A Det generelle likningssystemet Kn løses slik: Som gir [ ] b p c d q = + b = p c + = q dp bq d bc, [ 0 dp bq 0 = d bc q cp d bc q cp d bc Dette betyr t det generelle -systemet hr en entydig bestemt løsning når den såklte determinnten d bc 0. Hvis vi hr følgende generelle system v n likninger med n ukjente: + + n n = b + + n n = b n + + nn n = b n så klles systemet homogent hvis b = b = = b n = 0 og inhomogent hvis minst en b i 0. Generelt kn vi d si t hvis D er determinnten til et lineært likningssystem med n likninger med n ukjente så hr vi følgende fire muligheter: ] D 0 D = 0 inhomogent entydig bestemt enten uendelig løsning mnge løsninger, eller ingen løsninger homogent kun triviell løsning uendelig mnge = = n =0 ikke-trivielle løsninger Determinnten til en -mtrise er: [ ] b det = c d b c d = d bc Determinnten til en 3 3-mtrise er: b c d e f g h i = e f h i b d f g i + c d g e h For n 3 kn determinnten til en n n-mtrise defineres rekursivt på følgende måte: n n...... n n nn = det(m det(m + + ( n+ n det(m n der det(m i er determinnten til den (n (n - mtrisen som kommer frem når vi stryker rd og kolonne i..9 Crmers regel L D 0 være determinnten til koeffisientmtrisen til likningssystemet + + n n = b + + n n = b n + + nn n = b n D hr likningssystemet løsningen b n b n...... b n n nn =, D b n b n...... n b n nn =, D b b...... n n b n..., n = D 0
.0 Determinnt ved kofktorekspnsjon Kofktorekspnsjon v - 7 4 7 3 9 5 8-7 4 3 4 3 4-7 4 7 3 9 5 8-7 4 3 4 3 4-7 4 7 3 9 5 8-7 4 3 4 3 4 lngs 3. kolonne: - 7 4 7 3 9 5 8-7 4 3 4 3 4-7 4 7 3 9 5 8-7 4 3 4 3 4 7 3 5-4 - 4-4 (- +3 7 8 4 (-+3 9 8 4 (-3+3-7 7 3 5 (-4+3 3 7 3 5 3 4 4 3 4 4 3 4 4 8 4 = 7 44 = ( 9 ( 3 = ( 7 38 = ( 3 47 = 748 = 088 = 966 = 46 Det = 748 + 088 966 46 = 454. Egenverdi og egenvektor L A være en kvdrtisk mtrise. Et tll λ klles en egenverdi for A hvis det finnes en vektor 0 slik t A = λ klles en egenvektor for A med λ som tilhørende egenverdi. Vi hr d t A k = λ k Egenverdiene til mtrisen A er de tllene λ som gir det(a λi = 0. Metode for å finne egenverdiene og egenvektorene. Regn ut determinnten det(a λi, som blir et polynom i λ v grd n.. Løs likningen det(a λi = 0. Egenverdiene til A er lle løsningene λ v denne likningen. Eventuelle komplekse løsninger regnes også som egenverdier til A..4 Grm-Schmidt-prosessen Hvis {,,..., p } er en bsis for et underrom W i R n, så er {v, v,..., v p } en ortogonl bsis for W der v = v = v v v v v 3 = 3 3 v v 3 v v v v v v. v p = p p v v v v I tillegg så hr vi p v p v p v p v p Spn{v,..., v k } = Spn{,..., k } for k p En ortonorml bsis {u, u,..., u p } får vi ved å dele hver v vektorene i den ortogonle bsisen på sin egen norm: u k = v k v k for k p 3. For hver reell egenverdi λ, løs likningen (A λix = 0. De løsningene X som ikke er lik 0, er egenvektorene til A med λ som tilhørende egenverdi..3 Norm Normen til v er den ikke-negtive sklren v = v v = v + v + + v n
Differensillikninger. Noen enkle. ordens likninger Hvis y(t er kontinuerlig på et intervll I, så hr vi følgende løsninger v forskjellige differensillikninger på intervllet: y = y + by + c y = y y = Ce t y = y + b y = Ce t b = (y A(y B y = A + og y A.. ordens inhomogen lineær hr løsningen y = e P (t y + p(ty = g(t e P (t P (t g(t dt + Ce der P (t er en vilkårlig ntiderivert v p(t.3 Seprble differensillikninger dy = f(t g(y dt g(y dy =.4 Høyere ordens med konstnte koeffisienter B A + ke (B At f(t dt En høyere ordens differensillikning med konstnte koeffisienter er en likning n y (n + + 3 y (3 + y + y + 0 y = f(t Den tilhørende homogene differensillikningen får vi ved å bytte ut høyresiden f(t med 0. Vi får d n y (n + + 3 y (3 + y + y + 0 y = 0 Vi løser en homogen høyere ordens differensillikninger med konstnte koeffisienter ved først å løse den krkteristiske likningen n r n + + 3 r 3 + r + r + 0 = 0 som hr røtter r, r,..., r n. Deretter finner vi løsningene y, y,..., y n til den homogene differensillikningen ved følgende regel: Hvis r k = +bi, og denne roten hr forekommet m gnger før, er { t y k (t = m e t cos(bt hvis b 0 t m e t sin(bt hvis b < 0 «ploss rimer på cos, minus rimer på sinus» Den komplementære løsningen y C er d y C = c y + c y + + c n y n.5 Prtikulær løsning Prtikulær løsning kn du finne når du kjenner y, y,, y n. Hvis differensillikningen vr v. orden hr du kun løsninger y og y, og d hr du en snrvei for y P som ser slik ut (bruk ikke +C for integrlene: y f(t y f(t y P = y dt + y dt W W der W er Wronski-determinnten v y, y : W = y y y y Hvis differensillikningen er v orden n >, kn du ikke bruke denne snrveien. D må du løse følgende mtriselikning (F.eks. med Crmers regel: y y y n u (t 0 y y y n u (t... =. 0 y (n y (n y n (n u n(t f(t Deretter finner du u(t = u (tdt (bruk ikke +C for integrlene, og til slutt y P = u y + u y + u n y n 3 Mtrisetrnsformsjoner 3. Rotsjonsmtrise i D Rotsjon som dreier en vektor mot klokk en vinkel θ: [ ] cos(θ sin(θ R(θ = sin(θ cos(θ 3. Rotsjon v en grf y = f( Grfen til en likning med y og roteres med en vinkel θ ved å bytte ut og y i likningen med hhv. - og y- komponenten til [ ] [ ] cos(θ + y sin(θ R( θ = y sin(θ + y cos(θ 3.3 Sklering med digonlmtriser En kvdrtisk mtrise hr like mnge rder og kolonner. Digonlen i en kvdrtisk mtrise betyr elementene fr øverste venstre hjørne til nederste høyre hjørne. Kvdrtiske mtriser kn være symmetriske. D er verdien på elementene speilet om digonlen like. En symmetrisk -mtrise kn skrives slik: [ ] b M = b En digonlmtrise er en symmetrisk mtrise der lle de symmetriske verdiene er lik 0. En -digonlmtrise kn skrives: [ ] 0 D = 0