SNF-rappor nr. /04 PRISIN V FORSIKRINSKONRKER MED RENERNI av Roger F. Peersen Eirik M. Samnøy SNF-Prosjek nr. 7000 SMFUNNS- O NÆRINSLIVSFORSKNIN S Bergen, November 004 Dee eksemplar er fremsil eer avale med KOPINOR, Senergae, 0050 Oslo. Yerligere eksemplarfremsilling uen avale og i srid med åndsverkloven er sraffbar og kan medføre ersaningsansvar.
ISBN 8-49-0333-5 ISSN 0803-4036
Forord Denne rapporen avsluer vår Høyere avdelingssudium ved NHH og omhandler prising av forsikringskonraker med renegarani. Ideen il rapporen fikk vi eer å ha a FIN45 Forsikringsøkonomi høsen 003. Videre synes vi dee er e mege spennende fagområde, og relaiv dagsakuel i forbindelse med den nye pensjonsreformen. Vi vil akke professor Krisian R. Milersen for hjelp der hvor vi sod fas, og for å ha uvide kunnskapsbasen vår gjennom kurse FIN4 Risikosyring. Bergen, augus 004 Roger F. Peersen Eirik M. Samnøy
Innholdsforegnelse Innledning.... Forsikring... 3. Livsforsikring... 3. Ekvivalensprinsippe... 5.3 Kor om rammebeingelser for livsforsikring... 6.4 Premiereserven... 8.5 Hvorfor eksiserer forsikring?... 9.5. Forsikringsaker... 4.5. Forsikrer... 6.6 idsforskjell mellom premieinnbealinger og evenuelle ubealinger... 8.7 Noasjon... 9.7. Sannsynlighesbegreper... 9.7. Renenoasjon... 0.7.. Forsikring... 0.7.. Finans... 0.7.3 Elemener i en forsikringskonrak... 0.7.4 Dødelighessannsynligheer....7.5 Dødelighessannsynligheer diskre og koninuerlig id....7.5. Diskre id....7.5. Koninuerlig id....8 Ulike forsikringskonraker... 5.8. Oppsa kapial... 6.8. Livrene... 8.8.3 Enkel livsforsikring (Whole life insurance... 30.8.4 Dødsrisikoforsikring (erm Insurance... 3.8.5 Sammensa livsforsikring (Endowmen Insurance... 33. eori for prisingsformål... 35. Opsjoner... 35.. Pu-Call parie... 36. Opsjonsprising i diskre id... 37
.. Binomisk prising... 37.. enerell binomisk modell... 40.3 Opsjonsprising i koninuerlig id... 4.3. Sokasisk prosess... 4.3. Wienerprosess... 43.3.3 eneraliser Wienerprosess... 44.3.4 Iô-prosesser... 44.3.5 Iôs lemma... 45.3.6 eomerisk Brownsk bevegelse... 46.3.7 ksjens prisprosess... 47.3.8 Risikofri akivum... 49.3.9 Maringale... 50.3.0 Ekvivalen Maringale mål... 50.3. ilsandspris... 5.3. Price kernel... 5.3.3 irsanovs eorem... 54.3.4 Endring av numeraire - endring av mål... 54.3.5 Forwardmåle... 55.3.6 Europeisk Call-opsjon... 56 3. Prising av forsikringskonraker med renegarani... 63 3. Modellen og dens anakelser... 63 3.. Balansen il selskape... 64 3.. araner rene... 65 3..3 Dødelighe... 68 3..4 Bonus... 68 3. Verdi konrak og B... 70 3.. Konrak... 70 3.. Konrak B... 73 3.3 Prising... 75 3.3. Prising i diskre id... 75 3.3.. Konrak... 76 3.3. Prising i koninuerlig id med deerminisisk rene... 78 3.3.. kiva... 78
3.3.. Risikofri akivum... 78 3.3..3 Konrak... 78 3.3..4 Konrak B... 90 3.3.3 Prising i koninuerlig id med sokasisk rene... 93 3.3.3. Renemodell... 93 3.3.3. Nullkupongobligasjon... 97 3.3.3.3 kiva... 0 3.3.3.4 De o risikable prosessene under Q... 03 3.3.3.5 Konrak... 06 3.3.3.6 Konrak B... 9 4. Numeriske eksempler... 4 4. Binomisk... 4 4.. Konrak med ilbakebealing... 4 4.. Konrak uen ilbakebealing... 5 4. Koninuerlig id med konsan rene... 6 4.. Konrak med ilbakebealing... 6 4.. Konrak uen ilbakebealing... 9 4..3 Konrak B med ilbakebealing... 30 4..4 Konrak B uen ilbakebealing... 33 4.3 Koninuerlig id med sokasisk rene... 33 4.3. Konrak med ilbakebealing... 34 4.3. Konrak uen ilbakebealing... 40 4.3.3 Konrak B med ilbakebealing... 40 4.3.4 Konrak B uen ilbakebealing... 44 4.3.5 Mulighe for konkurs konrak B... 45 4.4 Mulighe for idlig uøvelse... 48 4.4. Konrak... 49 4.4. Konrak B... 58 5. Komparaiv saikk konrak... 60 5. Europeisk call-opsjon... 60 5. Europeisk call-opsjon... 70 5.3 Europeisk pu-opsjon... 73 5.4 Egenkapialen... 79
5.5 Forsikringskonrakene... 87 6. Komparaiv saikk konrak B... 94 6. Egenkapialen... 95 6. Forsikringskonrakene... 00 7. Forslag il uvidelser av rapporen... 07 8. Oppsummering av resulaer... 08 Vedlegg... 0 Lieraurlise... 3
SNF-rappor nr. /04 Innledning I denne rapporen ar vi for oss forsikringskonraker med renegarani. Dee er en ype livsforsikring hvor forsikringsavkasningen er knye opp il verdiuviklingen il de underliggende akivume, som i vår ilfelle er en porefølje besående av risikable akiva, som aksjer, risikable obligasjoner, eiendommer m.m. Forsikringskonrakene blir dermed e avlede akivum, med poreføljen som underliggende akivum. Siden de i denne ype konraker er en garaner minseyelse bærer ikke forsikringsaker hele risikoen alene. En slik renegarani fungerer som en sikkerhe for forsikringsaker siden han gjennom dee blir kvi nedsiderisikoen som er berakelig når vi snakker om denne ype porefølje. Denne ype forsikring eksiserer i mange varianer, men de o hovedypene er en renegarani over hele perioden (forfallsgarani og en periodevis garani. Denne ype forsikringskonraker inneholder opsjonselemener. Nærmere besem er de renegaranien som gjør a verdien på forsikringskonrakene blir en porefølje som hovedsakelig besår av opsjoner. Dermed benyer vi opsjonsprisingseori for å prise disse konrakene. Mer spesiel benyer vi oss av prising både i diskre og koninuerlig id. I koninuerlig id analyserer vi verdiene både med og uen sokasisk rene. Modellen i diskre id anar vi a følger en binomisk muliplikaiv random walk, mens vi i koninuerlig id anar a prisprosessen il underliggende akivum følger en geomerisk Wienerprosess når renen anas å være deerminisisk. I ilfelle hvor renen er sokasisk benyer vi en sokasisk prosess som også inneholder korrelasjonen mellom akivaavkasningen og renen, og dermed også inneholder o Wienerprosesser. Disse modellene er eksogen gi. lernaiv kunne vi bruk en likeveksmodell hvor prismodellene uledes endogen. nalysene våre er baser på blan anne Maringale-prisingseori. I dee ligger de en forusening om a de underliggende akivume, her den risikable poreføljen, følger en gi prisprosess, en sokasisk prosess, som gjør de mulig å duplisere de avledede akivumes konansrømmer ved hjelp av passende plasseringer i den risikable poreføljen og risikofri innlån eller ulån. De risikofrie inn- eller ulåne skjer ved kjøp eller salg av sasobligasjoner. På bakgrunn av ingen arbirasje eori kan dermed verdien på de avledede akivume finnes som den iniialinveseringen som må il i risikabel porefølje og risikofri akivum for å
SNF-rappor nr. /04 duplisere de avledede akivumes konansrøm. De underliggende akivume er som nevn over den risikable poreføljen mens de avledede akivume er forsikringskonrakene. Disse forsikringskonrakene har en nominell verdi som er lik forsikringsakernes andel innsku i den risikable poreføljen. i denne nominelle verdien og diverse andre foruseninger om parameere i modellene våre finner vi u hva forsikringsaker fakisk skal beale for denne konraken, markedsverdien, og hva egenkapialen skal skye inn. runne renegaranien og en evenuell bonus blir denne markedsverdien høyere enn den nominelle verdien. dminisrasjonskosnader ser vi i denne rapporen hel bor fra. Disse kosnadene må fordeles på de enkele forsikringene u fra eori om fordeling av fase kosnader på enkelproduker. De beyr a de resulaer vi får i denne rapporen er neoresulaer og adminisrasjonskosnader kommer i illegg il disse resulaene. Vi anar også a økonomien er friksjonsfri. De innebærer a de ikke eksiserer ransaksjonskosnader ved kjøp og salg av verdipapirer og a de ikke er noen resriksjoner på shor-salg av disse verdipapirene. Vi ser kun på forsikringer med overlevelsesrisiko. De beyr a dersom forsikringsaker blir ufør i løpe av forsikringsperioden så dekkes ikke dee inn i våre konraker. Denne risikoen må dekkes inn ved å egne en egen uføreforsikring. I praksis er de vanlig a slike konraker kombineres, slik a uføreforsikring er dekke inn av livsforsikringskonraken. Slik uføreforsikring behandler vi imidlerid ikke i denne rapporen.
SNF-rappor nr. /04. Forsikring For referanser il kapiel, henviser vi il Persson (99, ase (996 og Finansdeparemenes nesider. En forsikringskonrak beskrives av o elemener: P = premien forsikrer bealer når konraken inngås X = den kompensasjonen forsikrer moar hvis gie hendelser innreffer under konraksiden. X er en ilfeldig variabel og må beskrives gjennom en sannsynlighesfordeling F(X. Ufordringen i forsikringseori er å besemme sammenhengen mellom disse o, dvs. hvordan P avhenger av egenskapene il sannsynlighesfordelingen F(X. Forsikringsvirksomheen i Norge er del i re hovedgrupper, livsforsikring, skadeforsikring og krediforsikring. Livsforsikringsselskapene har bare med livsforsikring, livrene og pensjonsforsikring å gjøre. Krediforsikringsselskapene dekker ap som oppsår ved a debior misligholder sine forplikelser. Skadeforsikringsselskapene har alle de andre formene for forsikring. Årsaken il a bransjen er del i re, er a de i livsforsikring foregår en beydelig oppsparing av penger. Dee er forsikringsakernes midler (forklares nærmere senere, og de skal ikke under noen omsendigheer kunne brukes il for eksempel å dekke e evenuel underskudd i e skadeforsikringsselskap. I denne rapporen vil vi kun a for oss livsforsikring.. Livsforsikring En livsforsikring er en avale mellom en forsikringsaker og e forsikringsselskap. Enhver konrak spesifiserer : Vi skal senere se a en konrak i illegg spesifiserer en bonusplan, men vi holder foreløpig dee uenfor diskusjonen. 3
SNF-rappor nr. /04 - forsikringsilfelle - forsikringsperiode - forsikringsyelse - premieplan Forsikringsilfelle spesifiserer hvilken hendelse/begivenhe som må innreffe for a forsikringsyelsen skal ubeales. I livsforsikring finnes kun o forsikringsilfeller:. Forsikringsaker overlever forsikringsperioden. Forsikringsaker dør i forsikringsperioden Forsikringsperioden vil vanligvis være e besem anall år (for eksempel anall år il forsikringsaker oppnår en besem alder Forsikringsyelsen er de forsikringsaker moar fra selskape dersom forsikringsilfelle innreffer. Yelsen kan være e engangs pengebeløp som ubeales dersom forsikringsilfelle innreffer, eller en pensjon som ubeales regelmessig i en fassa periode dersom forsikringsaker er i live og forsikringsilfelle innreffer. Premieplanen spesifiserer hvordan forsikringsakeren skal beale for yelsen. Premien kan være en engangspremie eller en løpende premie som beales i hele eller deler av forsikringsperioden, f.eks månedsvis. De er vanlig å dele livsforsikring inn i o hovedgrupper eer hva som er forsikringsilfelle: i Forsikring med dødsrisiko. Da ubeales yelsen ved forsikringsakers død i forsikringsperioden (dødsfall. Denne forsikringsformen oppsod fordi mange personer ønske å rygge sine eerlae dersom en ulykke skulle ramme dem. Forsikringsakeren ønsker alså å forsikre seg mo idlig død som reduserer de eerlaes fremidige inneker og forbruksmuligheer. ii Forsikring med opplevelsesrisiko. Forsikringssummen ubeales dersom forsikringsaker overlever forsikringsperioden. I henhold il akuarisk erminologi ubeales forsikringen ved livsfall. Denne formen oppsod fordi mange personer 4
SNF-rappor nr. /04 ønske å rygge sin alderdom. Forsikringsakeren ønsker alså å forsikre seg mo ikke å ha ilsrekkelig innek eller formue il å oppreholde ønske konsum dersom han skulle leve lenger enn forvene. Vi vil sannsynligvis oppleve en økning i denne ype forsikring ved innføring av den nye pensjonsreformen. De er o fakorer som besemmer forholde mellom forsikringsyelsen og premieplanen: - renen selskape oppnår på forvale kapial - dødelighessannsynligheen il forsikringsaker I mosening il mange skadeforsikringskonraker, vil en livsforsikringskonrak vanligvis være en langvarig konrak. De er således naurlig a renen som forsikringsselskape oppnår på den forvalede kapialen spiller en sor rolle. Fasseelse av premien foruseer a selskape plasserer innbeale premier il forrening. Den delen av kapialavkasningen som er rukke inn ved premieberegningen, kalles ofe grunnlagsrenen. Denne kan olkes som en garaner minseavkasning på fondsmidlene uavhengig av hva renen er ellers i økonomien. Sørrelsen på denne minseavkasningen vil avhenge av hvordan midlene plasseres. De er fornufig å ana a dødelighessannsynligheen avhenger av en rekke fakorer som kjønn, alder, yrke, helseilsand, sykdom i familien osv. Livsforsikringsselskapenes erfaringer yder på a for folk med normal helse vil sannsynligheen i all vesenlighe avhenge av kjønn og alder. Kvinner lever gjennomsnilig lenger enn menn, noe som er ekvivalen med en lavere dødelighessannsynlighe. Selskapene korrigerer for denne forskjellen ved å ana a en kvinne har samme dødelighe som en x år yngre mann (i Norge er x lik.. Ekvivalensprinsippe Ekvivalensprinsippe er grunnlage for all forsikringseori. Dee går i korhe u på a nåverdien av den fremidige premien selskape moar skal være lik nåverdien av den fremidige ubealingen under konraken (inklusive kosnader. En senral sørrelse i forbindelse med bruk av ekvivalensprinsippe vil være gjenværende leveid for en ypisk forsikringsaker. lernaiv ser man på dødssannsynligheene som idligere nevn. Disse 5
SNF-rappor nr. /04 sannsynligheene er senrale ved beregning av nåverdi, og vil inngå på samme måen som diskoneringsrenen ved slike beregninger. Eksempel.: Forsikringskonrak: Forsikringsilfelle: Forsikringsaker dør Forsikringsperiode: Fra forsikringen egnes Forsikringsyelse: Y, ubeales il arvingene de åre forsikringsaker dør. Premieplan: Premien, P, beales hver år så lenge forsikringsaker er i live. La videre q være sannsynligheen for a forsikringsaker dør i år og l sannsynligheen for a han er live på id. Disse sannsynligheene har en åpenbar sammenheng og avhenger selvsag av forsikringsakers alder. = Vi ve a q = For å finne nåverdien må vi diskonere fremidige konansrømmer. La ν være diskoneringsfakoren, 0 < ν <. Premien, P, besemmes da i følge ekvivalensprinsippe ved ligningen: + ν l( = Y = = P ν q( E enda mer generel prinsipp kan formuleres som følger: Markedsverdiene il premieinnbealingene og ubealingene skal være lik.3 Kor om rammebeingelser for livsforsikring E livsforsikringsselskap er enen organiser som e gjensidig selskap eller som e aksjeselskap. 6
SNF-rappor nr. /04 E aksjeselskap er danne ved a aksjeeierne har sku inn en aksjekapial som er grunnlage for selskapes drif. Hver aksjeeier sår ansvarlig for sin del av aksjekapialen, og forsikringsakerne har ikke noe ansvar for selskapes drif. I e gjensidig selskap er de forsikringsakerne som eier selskape sammen. lle som egner en forsikring blir auomaisk medeiere i selskape. il gjengjeld er alle forsikringsakerne ansvarlig for selskapes drif. Dersom e gjensidig selskap går med underskudd, kan samlige forsikringsakere moa krav om å være med å dekke dee. I praksis skjer dee imidlerid svær sjelden. I Norge skjedde de sis gang i forbindelse med den sore bybrannen i Ålesund, 5. januar 904. I eoreiske arbeider er de vanlig å ana a måle il e aksjeselskap er å maksimere verdien av selskape, som er de samme som å maksimere aksjonærenes forjenese. Dersom e livsforsikringsselskap er organiser som e aksjeselskap og aksjonærgruppen ikke er den samme som gruppen av forsikringsakere, kan de derfor enkes a dee selskape har en annen målseing enn gjensidige selskaper. Denne problemsillingen vil ikke bli a opp i denne rapporen. Livsforsikringsselskapene er underlag flere offenlige reguleringer. Eersom de inngår sparing i flere yper livsforsikringskonraker, vil de si a sore deler av den kapial selskapene forvaler egenlig er penger som ilhører forsikringsakerne. Derfor er de fassa regler for hvordan disse midlene kan plasseres, slik a selskapene ikke kan spekulere fri med dem. I Norge er de Krediilsyne som har ilsyn med forsikringsbransjen. Nye livsforsikringskonraker som skal lanseres av selskapene, må meldes il Krediilsyne. De konrollerer a anslagene for rene, dødelighe og adminisrasjonskosnader er forsvarlige. ilsyne skal sikre beryggende solidie, risikobevisshe og syring og konroll i foreakene. De lovene som regulerer forsikring i Norge er: a. Lov om forsikringsvirksomhe av 0.06.988 b. Lov om forsikringsavaler av 6.06.989 c. Lov om adgang av penge- og krediforholdene av 965 7
SNF-rappor nr. /04.4 Premiereserven E senral forsikringsbegrep er premiereserven. Premiereserven il en konrak på e besem idspunk er lik verdien av premieinnbealinger med illegg av avkasning på innbeale midler. For selskape represenerer premiereserven de beløpe selskape bør ha sa il side, i gjennomsni for e sor anall like og uavhengige konraker, for å møe sine forplikelser. Premiereservene il samlige forsikringskonraker i e forsikringsselskap kalles forsikringsfonde. Dee er forsikringsakernes ilgodehavende i selskape og føres derfor opp i balansen il selskape som en gjeldspos. De er o måer å beregne premiereserven på, prospekiv eller rerospekiv meode. Med den prospekive berakningsmåen beregnes premiereserven som nåverdien av framidige ugifer frarukke nåverdien av framidige inneker. Selskape ser alså fremover og beregner differansen mellom forvenede, diskonere ugifer og inneker. De er alså en enkelkonrak som berakes. Den rerospekive berakningsmåen kan defineres på følgende vis; vi enker oss a vi har e sor anall likelydende forsikringskonraker for personer i samme alder x, og beraker besanden på idspunk eer egning. Selskape beregner nåverdien (på id eer egning av de premier selskape har moa fra forsikringsakerne, frarukke nåverdien av de forsikringsubealinger de har forea. Selskape beraker alså hva som har skjedd fra idspunke forsikringene ble inngå il de idspunk premiereservene beregnes. For å finne premiereservene for den enkele, gjenværende forsikringskonrak på id i besandens liv, divideres beløpe fremkomme ved å berake hele besanden, på anall gjenlevende på id (i alder x+ Dersom beregningsgrunnlage har slå il (dødelighe og rene, vil, på grunn av sore alls serke lov og eersom vi bruker ekvivalensprinsippe, den rerospekive måen å beregne premiereserven på falle sammen med den prospekive. Premiereserven er i prinsippe den forsikredes eiendom som han kan kreve ubeal. En forsikringsavale vil dermed ha en gi avbruddsverdi gi ved sørrelsen på premiereserven. Dersom den forsikrede avbryer forsikringskonraken, vil de imidlerid som regel gjøres visse fradrag, bl.a. på grunn av adminisraive kosnader. De beløpe den forsikrede kan få 8
SNF-rappor nr. /04 ubeal kalles polisens gjenkjøpsverdi. Denne verdien er lang mindre enn summen av innbeale premier, eersom risiko- og kosnadsdelen av premien er bruk opp og ikke kan ilbakebeales. lernaiv kan den forsikrede avbrye premieinnbealingen, men ellers forsee forsikringskonraken med en mindre forsikringssum. Denne redusere forsikringssummen kalles fripoliseverdien. Forsikringsavalen kan ikke uen i hel eksraordinære siuasjoner sies opp av selskape. Selskape kan ikke legge på prisen hvis drifsresulae blir dårligere enn forvene. Dee er beryggende for forsikringsakerne, men de kan være vanskelig for selskapene å finne frem il en rikig premie, fordi konrakene ofes har lang varighe. Forandringer i dødelighe, rene eller omkosninger gjør de idvis nødvendig å see opp nye premieabeller. Disse vil dog kun gjelde nye forsikringer. Premiene i livsforsikring blir ofe lag il den sikre siden, slik a sannsynligheen for overskudd på selskapes hånd er sor. De overskudde som på denne måen oppsår, skal føres ilbake il de forsikrede i form av garanere illegg il forsikringssummen. illegge ubeales når forsikringssummen forfaller, enen ved død eller oppnådd alder. illeggene garaneres av forsikringsselskape for en periode fremover på maksimum 5 år..5 Hvorfor eksiserer forsikring? For referanser il avsni.5 viser vi il kursene ME400 (Høs 00 og FIN45 (Høs 003 Den vanligse forklaringen på a de eksiserer forsikring er risikoaversjon. Definisjon av risikoaversjon: I valg mellom e sikker og e usikker alernaiv med samme forvenede ufall forerekkes allid de sikre alernaive. 9
SNF-rappor nr. /04 Eksempel.: / 0 L 5 L / 0 Man kaller gjerne slike besluningsvalg som over for valg mellom ulike loerier. I valge mellom disse o alernaivene vil e individ med risikoaversjon allid forerekke L. L f L E risikonøyral individ vil være indifferen mellom de o alernaivene, mens e risikosøkende individ vil forerekke L. i a e individs preferanser kan represeneres ved en Bernoulli nyefunksjon u(x, følger de direke av definisjonen på risikoaversjon a besluningsakeren er risikoavers hvis og bare hvis (. Eu( X u( EX Denne ulikheen kalles Jensens ulikhe, som ilsier konkav nyefunksjon. Forvene nye-eoreme sier a gi a individes preferanser for loerier er komplee og ransiive, koninuerlig og oppfyller uavhengighesaksiome, så kan des preferanser represeneres gjennom en nyefunksjon på forvene nyeform. Komple beyr a man er i sand il å velge, mens ransiiv beyr a hvis forerekkes fremfor B og B forerekkes fremfor C, så forerekkes også fremfor C. f B og Bf C fc 0
SNF-rappor nr. /04 Med koninuerlig menes de a små endringer i sannsynligheer ikke endrer rangeringen mellom o loerier. Uavhengighesaksiome: For vilkårlige loerier i L, L, berak sammensae loerier med e redje alernaiv L. α L α L L L -α L -α L Preferansene mellom disse sammensae loeriene skal være uavhengige av hvilke alernaiv L som inngår og av sannsynligheen α. Forerekker e individ L fremfor L må individe også forerekke loerie L fremfor L. LfL' L fl Hvis disse re beingelsene er oppfyl gjelder nyeforvenningseoreme og individene oppfører seg som om de maksimerer forvene nye. Dvs. a hvis e individ sår overfor valge mellom o risiki, X og X (ilfeldige variabler, forerekker individe X fremfor X kun hvis dee loerie har høyere forvene nye. X f X hvis og bare hvis ( u( X E( u E X
SNF-rappor nr. /04 Funksjonen u(x olkes som nyen av å moa mengden penger x. De er naurlig å ana a mer penger forerekkes fremfor mindre penger: ( i u(x er monoon økende, dvs u (x>0 for alle x. nar vi i illegg a individene er risikoaverse: ( ii u(x er konkav, dvs u (x<0 for alle x. Eksempel.3: Risikoaversjon ved powernye: u X γ ( X γ = Figur. Nyefunksjon med powernye, γ = 0.7 Men vi må også kunne måle grad av risikoaversjon. Dee gjøres hovedsakelig gjennom rrow-pras risikoaversjonskoeffisiener for absolu og relaiv risikoaversjon. Definisjon absolu risikoaversjon: i en o ganger deriverbar Bernoulli nyefunksjon u over penger er rrow-pra absolu risikoaversjonskoeffisien definer som (. r u'' = u' ( x ( x
SNF-rappor nr. /04 Eksempel.4: bsolu risikoaversjon ved powernye: u ( X = X γ u'( X = X γ u''( X = γx γ γ r γx X = γ γ = γ X Ser a e individ med powernye har avakende r. Dvs a hvis individes formue øker, vil des r gå ned. De beyr a individes absolue beløp inveser i risikabel akivum er økende i formue. Definisjon relaiv risikoaversjon: i en o ganger deriverbar Bernoulli nyefunksjon u over penger er rrow-pra relaiv risikoaversjonskoeffisien definer som (.3 r R u'' = u' ( x ( x x Eksempel.5: Relaiv risikoaversjon ved powernye: u X γ ( X γ = r R = γ E individ med powernye har konsan relaiv risikoaversjon. Dvs a individes andel inveser i risikabel akivum er uavhengig av formue. Hvis formuen øker må også beløp inveser i risikabel akivum økes for å holde konsan andel. 3
SNF-rappor nr. /04 nar vi a individene er risikoaverse kan vi dermed analysere bakgrunnen for a forsikring finnes gjennom forvene nye. Ser førs på forvene nye for forsikringsaker og dereer forvene nye for forsikrer..5. Forsikringsaker W = w X hvor w er sikker og X er en ilfeldig variabel. Forvene nye uen forsikring blir da: { u( w X } E nar vi a individe har muligheen il full u å forsikre seg mo risikoen X blir forvene nye med forsikring: E { u( w p X + X } = u( w p hvor p er premien som må beales for denne fullforsikringen. Indifferenspremien p i er den premien som gjør forsikringsakeren indifferen mellom fullforsikring og ingen forsikring: (.4 E{ u( w X } = u( w p i Siden forsikringsakeren er ana risikoavers kan vi bruke Jensens ulikhe: ( Y u( EY Eu Velger Y = w X Eu ( w X u( E( w X Siden 4
SNF-rappor nr. /04 E { u( w X } = u( w p i har vi a ( w p u( w EX u i w-pi w-ex Figur. Nye av sikkerhesekvivalen og forvenning. Siden nyefunksjonen u er monoon økende må dermed w p p i i w EX EX Hvis forsikringsaker ikke er risikonøyral, men sreng risikoavers, vil vi ha a p i > EX Dee ilsier a de eksiserer konraker med premier p ( EX, p i, slik a forvene nye med forsikring er høyere enn forvene nye uen forsikring. Dvs u ( w p > Eu( w X 5
SNF-rappor nr. /04 Eksempel forsikringsaker: p 0,95 0,04 0,0 x 0 5 abell. Sannsynlighesfordelingen il X Individe har iniialformue lik 5 og sår overfor risikoen X med sannsynlighesfordeling som i abell. Individe har powernye på formen: u X γ ( X γ = i risikoaversjonsparameer gamma: γ = 0, 5 gir (.4 oss en indifferenspremie lik 0,88, mens EX er lik 0,6. lså p i > EX..5. Forsikrer Har iniialformue lik w 0 og kan enen ilby forsikring eller la være å ilby forsikring. Nyen av ikke å ilby forsikring: v ( w 0 Forvene nye av å ilby forsikring: Ev ( w + p X 0 Beraker på samme måe som for forsikringsaker hvilken premie som gjør forsikrer indifferen mellom å ilby forsikring og ikke å ilby forsikring: ( w + p X v Ev i = 0 w0 Bruker igjen Jensens ulikhe: 6
Ev ( w p X v( E( w + p X 0 + i 0 i SNF-rappor nr. /04 som gir v ( w v( E( w + p X 0 p i EX 0 i nar vi a også a forsikrer er sreng risikoavers blir p i > EX Ser her a de finnes premier p > EX som gir høyere forvene nye for både forsikringsaker og forsikrer enn uen forsikring. Indifferenspremiene il forsikringsaker og forsikrer er sjelden ideniske. Eksempel forsikrer: Vi har sannsynlighesfordelingen il X fra abell.: p 0,95 0,04 0,0 x 0 5 Forsikrer har iniialformue lik 5 og kan velge å ilby forsikring mo risikoen X eller la være. nar a forsikrers preferanser også kan represeneres gjennom powernye: u X γ ( X γ = Indifferenspremien p i : ( w + p X v Ev i = 0 w0 7
SNF-rappor nr. /04 na risikoaversjonsparameer gamma: γ = 0,5 gir indifferenspremie p i lik 0,73, mens EX er lik 0,6. lså p i > EX.6 idsforskjell mellom premieinnbealinger og evenuelle ubealinger De overnevne resonnemene er baser på en-periode modell. Dvs. a de ikke eksiserer idsforskjeller. De vil videre si a de ikke er a hensyn il forskjell i id mellom innbealing og evenuell ubealing. Premien beales vanligvis på forskudd og forsikringsselskape kan få reneinneker av premien innil de evenuelle ersaningene forfaller il ubealing. Nåverdiprinsippe ilsier dermed a verdien i dag er lik forvenningen il den framidige diskonere konansrømmen: = (, P E m s X s hvor P er prisen på id m(,s er sokasisk diskoneringsfakor X(s er den framidige ubealingen E ( msx (, ( s er forkore noasjon for relevan informasjon ilgjengelig på idspunk. (, E ms X s I, dvs. forvene verdi gi all E enkel marginalinveseringsargumen over o perioder uen usikkerhe i konsumveks gir følgende verdi: (FIN48, høs 003 γ c ( + P = β E X( + c [ ] 8
SNF-rappor nr. /04 Ser her a premien blir høyere enn forvene skadeubealing kun hvis c ( + β c γ > β må være <. Hvis ikke denne er mindre enn vil de innebære a de er bedre å få en krone i morgen enn å få en krone i dag, hvilke er ulogisk. Dee ilsier a konsumveksen må være negaiv og veie opp for β < for a premien skal være sørre enn forvene skadeubealing. En varian av denne prisingsmodellen under gie foruseninger er: p premie = E( forsikringsubealinger + r Siden r > 0 blir premien lavere enn forvenede forsikringsubealinger. Ufordringen her er å finne den rikige diskoneringsfakoren..7 Noasjon.7. Sannsynlighesbegreper (Ω,Ψ,Ρ Ω P Ψ sannsynlighesrom ilsandsrom, se av mulige ufall sannsynlighesmål på Ω delmengde av Ω, σ-fel, som P er definer på X, Y vilkårlige, sokasiske variable definer på samme sannsynlighesrom E[X] Var[X] P(X x forvenning il X varians il X kumulaiv sannsynlighe il X; sannsynligheen for a X ar verdier mindre enn eller lik x 9
SNF-rappor nr. /04 P(X x ω beinge sannsynlighe; sannsynligheen for a X ar verdier mindre enn eller lik x gi begivenheen ω Ω.7. Renenoasjon.7.. Forsikring r ν R δ periodisk, diskre rene i prosen periodisk, diskre diskoneringsfakor + periodisk avkasning reneinensie i koninuerlige modeller (.5 ν = + r (.6 R = + r Hvis r og δ skal gi samme periodiske avkasning, må (.7 δ = ln(r Diskonering: Beegner NPV(X = nåverdien il e beløp, X, som ubeales på id Diskre id: NPV(X = ν X Koninuerlig id: NPV(X = e -δ X.7.. Finans (.8 r = ln(r.7.3 Elemener i en forsikringskonrak x P forsikringsakers alder når konraken inngås Premie som forsikringsaker bealer il selskape på id. Dersom denne er uavhengig av iden, beegnes den P. 0
SNF-rappor nr. /04 Y forsikringsyelsen som forsikringsaker moar fra selskape på id..7.4 Dødelighessannsynligheer x sokasisk variabel for en x år gammel ypisk forsikringsakers gjenværende leveid F x kumulaiv sannsynlighesfordelingsfunksjon il x : F x = P( x L x opplevelsessannsynlighe, sannsynligheen for a x > = - F x = P( x > l x q x kalles dekremenfunksjonen, og den kan olkes som følger: l x er lik forvene anall i alder x av e kull på l 0 nyføde, der l 0 er lik en passende konsan. eårig dødssannsynlighe, dvs. sannsynligheen for a en person som er x år skal dø innen han fyller x+ år. Man kan vise a sannsynligheen for a en forsikringsaker er i live på idspunk gi a han er i live når han er x år, er gi ved: (.9 L x = l x + l x L 0 (x = l x l 0 lx = l 0 L 0 (x Dermed har vi a : l l l l = x x+ x x+ (.0 F x=p( x = - L x = l x l x l x Den eårige dødelighessannsynligheen kan skrives som: lx lx+ (. q x = = Fx l x
SNF-rappor nr. /04.7.5 Dødelighessannsynligheer diskre og koninuerlig id.7.5. Diskre id Definer: Q x punksannsynligheen for a forsikringsaker dør i perioden (-,] gi a han er i live når han er x år (når forsikringen egnes =, Q x kan berakes som en sammensa begivenhe: Førs overlever forsikringsaker periode -, for så å dø i nese periode. Vi får alså følgende: lx l (. Q x = L x(-q x+- = l + x+ x Vi har a Q x = q x eersom L x (0 = Eersom vi har en diskre idsmodell anar vi a død kun kan innreffe på idspunkene =,,.,. Da gjelder: (.3 Q ( s + L = s= x x Eersom førse ledd er sannsynligheen for å dø i perioden (0,], og andre ledd er sannsynligheen for å overleve perioden (0,], er de klar a disse må summere seg il..7.5. Koninuerlig id La f x sannsynligheseheen il F x µ x dødsinensieen F x og L x er deriverbare mhp. f x anas å eksisere