1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) Stat (oppgave 3): La X og Y være to uavhegge stokastske varabler, som begge to har forvetg lk 0 og varas lk 1. La Z være e y stokastsk varabel defert som Z = ax + 3Y, med a et fast (dvs kke stokastsk).tall med ukjet verd. For hvlke a-verder er korrelasjoe mellom Z og X større e ull? (2) Eksame Eco 2130, 2008 vår utsatt: Ta oppgavee 1, 2, 3 (se sttuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) (3) Ekstraoppgave 1 (om summer) Det kryr av summer økoometr, så det er lke gret å vee seg tl dem først som sst. (A) Oppvarmgsøvelse La x, 1,2,,4 j 1,2,,5, være 20 tall gtt tabelle (este sde). Merk at dekse j står for rad r. tabelle mes j står for koloe r. j. Dermed har v, for eksempel (sjekk), x 1, x 2, og x 0 og 12 21 43 4 x3 j x32 x33 x34 4 11 2. j2
2 x j j 1 j 2 j 3 j 4 j 5 Sum 1 1 1 0 2 3 5 2 2 1 3 1 4 3 3 5 4 4 1 1 1 2 2 0 0 2 2 2 Sum 6 4 2 6 0 6 1. Sjekk at 2. Sjekk at 3. Sjekk at 4 3 4 x 4, x 3, x 0 2 2 5 1 2 1 5 5 3 5 x 5, x 2, x 3, x 6 1 j 4 j 2 j 2 j j1 j1 j3 j3 4 4 4 x x11 x22 x 4 x 2 1 1 1 5, 20, 64 4. Sjekk at 4 5 5 4 x x j 1 j1 j1 1 j 6 [Merkad. Merk at de første dobbeltsumme betyr 4 5 4 5 4 x x x x x som betyr at v summerer tallee j j 1 2 5 1 j 1 1 j 1 1 tabelle radvs. Tlsvarede betyr de adre summe at v summerer tallee tabelle koloevs, m.a.o 5 4 5 4 5 x x j j x x x x 1 j 2 j 3 j 4 j j 1 1 j 1 1 j 1 Det spller altså ge rolle om v summerer tallee e tabell radvs eller koloevs. ] (B) Iledg: Noe regler for summer (a) Ifølge e vktg regel for summer betyr x1 x2 x 2x 3 det samme som 1 (2 2 2 ) 3. Med adre ord, 3 hører kke med uder summeteget. Om
3 ma øsker at 1 3 skal være med uder summeteget, må ma bruke paretes: (2x 3) 2x 3 2x 3 2x 3 (2x 2x 2 x ) 3. 1 2 1 2 Regele ka beskrves slk: Hvs et uttrykk() (for eksempel 2x 3) summe, uttrykk(), selv er e sum beståede av flere ledd ( eksempelet er det to ledd, 2 1 og 3), gjelder summeteget ku for det første leddet altså tl første pluss eller mus (mellom ledd) dukker opp uttrykket. Hvs ma øsker at summeteget skal omfatte mer e bare første ledd, må ma bruke paretes. x (b) Hvs c er e kostat, er 1 c c [ 1 c c c c c ] (c) E felles faktor e sum ka settes utefor summe: [ 1 2 1 2 cx cx cx c( x x x ) ] cx c x 1 1 (d) Hvs a, b, c, d er kostater, gjelder (1) ( a bx cy dz ) a b x c y d z 1 1 1 1 [E måte å se dette på er å skrve ut summe tl vestre, orde om på leddee og bruke (c). V vet jo at edrg av rekkefølge av leddee e sum kke edrer summe, som for eksempel, 35 5 3. Skrevet ut får v: 1 ( c ) ( a bx cy dz ) a bx cy dz a bx cy dz a bx cy dz 1 1 1 2 2 2 a a bx bx bx cy cy cy dz dz dz 1 2 1 2 1 2 a b x x x c y y y d z z z 1 2 1 2 1 2 som er lk uttrykket tl høyre (1). Merk også at paretese uttrykket tl vestre (1) spller e vktg rolle. Ute paretes vlle følge (a) summe bare kludere første ledd som er a. V vlle fått a bx cy dz a bx cy dz ] 1
4 (e) Multplkasjo av summer: a b a b m m j j j1 1 1 j1 [ Bevs: Merk at dobbeltsumme tl vestre betyr m m a b a b j j, dvs. j 1 1 j 1 1 at v først summerer over ( de erste summe) mes v holder j fast. Deretter summerer v over j. Resultatet får v så av regel (c) som følger: a b a b a b a b a b j j 1 j 2 j j m m m j 1 1 j 1 1 j 1 ( c) m ( c) b a a a a a a b j 1 2 1 2 j j1 j1 sde a a a er e felles faktor de est sste summe og som derfor ka 1 2 settes utefor følge (c). Det sste uttrykket er kke oe aet e m m a b j 1 j1 ] (C) Oppgave: 1. Vs regel 4.18 tlfellet 2. M.a.o., ata at X og Y er stokastsk uavhegge og dskrete. Vs at så fall gjelder E XY E X E( Y). [Ht: Bruk (e). Ta utgagspukt defsjo 4.16 og formele rett etter defsjo 4.13. Ata de margale fordelge tl X er gtt ved P( X x ), 1, 2,,, og for Y ved P( Y y ), j 1, 2,, m. Skrv de smultae j puktsasylghetsfuksjoe for ( XY, ) som f ( x, y ) P( X x Y y ), 1, 2,, og j 1, 2,, m. Sett j j a x P( X x ) og b y P( Y y ) (e) ovefor. ] j j j 2. Forklar hvorfor uavhegghet mellom X og Y mplserer at cov( X, Y) ( X, Y) 0, der står for korrelasjoskoeffsete. 3. Skrv formel (4.18) regel 4.17 med summeteg. [Merkad. Det er vktg å merke seg at alle reglee og defsjoee (med utak av defsjo 4.16) 4.12 4.18 gjelder for både kotuerlge og dskrete stokastske varable (jfr. Løvås ledg tl avstt 4.4). Det kotuerlge tlfellet krever oe matematske defsjoer og presserger som kke er pesum dette kurset, me det er høy grad pesum å kjee reglee. De vl bl flttg brukt både forelesger, oppgaver og tl eksame ]
5 Semaroppgaver for uke 14 Kap. 5: 5.12 Kap. 6: 6.2 Oppgaver fra Løvås (pluss ekstra): Utgave 3 5.13 (bruk regel 5.20) 6.4 6.5 (les avs. 6.2.4 Løvås) Ekstraoppgave 2 lagt ut på kursets ettsde. Semaroppgaver for uke 16 Utgave 3 Kap. 5 5.15 5.18 5.19 Kap. 6 Oppgaver fra Løvås: 5.21 (ku spørsmål om X) 6.9 (+ sett opp e forvetgsrett estmator for N) 6.13 6.14 6.16 (les avstt 6.3.5)
6 Semaroppgaver for uke 17 Oppgaver fra Løvås: Kap. 5 Kap. 6 Utgave 3 5.6 (Bereg sasylghete både med og ute heltallskorreksjo (jfr. Løvås eksempel 5.20)) 6.20 (ute spm. om p-verd (kommer seere)) 6.21 (les regel 6.19) PLUSS Utsatt eksame 2013v oppgave 1 eksamesoppgaver på ettet) (på sttuttets overskt over gamle