INF 4130 15. oktobr 2008 Dgns tmr: Kpittl 10 og 23 i hovbok Fr kp 10 : Dyb-først og brnh-n-boun søk Fr kp 23: A*-søk Oblig 2 hr liggt ut n stun. Frist 24 oktobr. Dt r lov å iskutr n m grupplærr! Forlsning nst uk: Spilltrær, lf-bt-vskjæring (kp 23.5), smt om sjkkprogrmmr V: Run Djurhuus, STORMESTER i sjkk, m gn sjkksplt i Aftnpostn, og m Mstrgr fr Ifi. Også folk som ikk r stunt på tt kurst innvitrs. Gruppn nst uk Vnlig oppgvr blir lgt ut, mn t stts også v litt ti til spørsmål og iskusjon omkring Oblig 2. 1
Søk i tilstnsrom - ovrsikt Kp 10: Hrfr skl vi minn om (fr INF 2220: Alg. og tstr.) Bktring lgorithms yb først søk i tilstnsrommt Trngr lit lgrplss Brnh n boun (bl knskj ikk klt t i INF 2220?) Br først søk, m vrintr Trngr my plss: Må hol i lgrt ll nor (tilstnr) som r stt, mn som ikk r sturt Vrintr: Kn f.ks. gi hvr no n lovn-ht, og gå vir lngs n non som r mst lovn (huristikk). Dtstruktur: Priorittskø, liknr på Dijkstrs kortst vi Et ltrntiv til å gjør rnt br-først-søk (ikk i bok, ikk pnsum): Gjør yb-først-søk til nivå 1, så nytt søk til nivå 2, osv. Om t r stor forgrningsfktor tr ikk tt så my mr ti nn vnlig br-først Og t krvr my minr plss Kp 23: A*-søk Liknr my på brnh-n-boun m priorittskø Mn om vi sttr viss krv til huristikkn, så får vi n lgoritm lis Dijkstrs Kortst vi -lgoritm, mn som virkr rskr.
Mollr for vlgskvnsr unr søk Dt r flr måtr å mollr vlgskvnsr for t gitt problm Gitt mollringsmåt: D mulig skvnsn nnr t tr Eksmpl, finn mulig Hmiltonin Cyl (innom ll non én og br én gng): Hmiltonin Cyl Hr opplgt ingn Hmiltonin Cyl To måtr å hr mollr søk på: Strt vi i tilflig no og forlng vin på ll mulig måtr Mulig vlg i stgt i lgoritmn: All kntr (ut fr sist vi-no så lngt) som ikk går tilbk til llr brukt no. Strt m n knt, og lgg stig til n knt til: Mulig vlg i stgt i lgoritmn: All ikkvlgt kntr som gjør t ll smmnhngn komponntn v vlgt kntr frmls forblir nkl vir Førr til forskjllig stt sp tr = tilstnsrom-trt Problm stt : Tilstnr r n l vlg r gjort Gol stts : Dt gjort t ntll vlg, og vi står m n løsning.
Mollr for vlgskvnsr Tr-struktur ut fr først moll: Vlg n no og forlng vin fr nn på ll mulig måtr. mn ikk bruk kntr (ut fr sist vi-no så lngt) som ikk går tilbk til llr brukt no. b b Avskjæring: Klrr vi å s nn?
Mollr for vlgskvnsr Tilstns-tr ut fr nr molln: Strt m n knt, og lgg stig til n knt til: Mulig vlg i stgt i lgoritmn: All ikkvlgt kntr Avskjæring: Ikk s på kntr som gjør t ll smmnhngn komponntn v vlgt kntr frmls forblir nkl vir B F A C G E D B C G E D A E F G NB: Forskjllig mollr kn gi br/årligr mulightr for vskjæring. Eksmplr fr bok: <si 293, figur 10.3 og 10.4 (Subst sum) Si 719 (8-spill, litn utgv v 15-spill)
Dyb-først søk/tilbksporing Gjnnomsøkr tilstnsroms-trt yb-først, til vi kommr til n måltilstn Brukr grist n rkursiv prosyr, som hr slv problmstillingn som globl t. Tr litn plss: Holr br non mllom rotn og n non mn r i Er oft i go posisjon til å gjør vskjæring: Ikk gå n i subtrær som umulig kn innhol n mål-tilstn. Hr: Kn vær lur F.ks.: Når mn hr vlgt b, og, kn mn s t ll tilbk-kntr til b r sprrt, og t tt ikk kn før til n Hm. Cyl. b b
Brnh n boun Brukr n llr nnn form for br-først-søk Blir n mng v nor som bok kllr Liv Nos Dtt r som r stt, mn ikk fulgt opp. NB: Kn bli stor! Liv nos vil vær t snitt gjnnom tilstnsrom-trt (grønn) All ovr (nærmr rotn) r mn frig m (blå) All unr r ikk stt n (gul) Stgt: Vlg n no N fr mngn LivNos Er N n mål-no? Om j: Frig! Om ni: b T N ut v livnos -køn Stt ll N s brn inn i Liv Nos -køn Tr strtgir: LN-mngn r n FIFO-kø Ekt br først LN-mngn r n LIFO-kø Liknr på yb-først LN-mngn r prioritskø, m n psslig huristikk som prioritt (hvor lovn r non) Liknr my på A*-søk (kommr) Må slvfølglig også bruk ll mulig vskjæring
Søk ttr bst løsning, ié 1 For nklhts skyl: Bst løsning r n mål-non som r nærmst rotn, rgnt i ntll kntr (mn lr sg ltt gnrlisr) D måvi ikk tnk på Hm. Cyl som ksmpl (ll mål-nor lik yp) Ié1: Bruk yb først, og bruk ll vnlig vskjæring slik som før Hol n globl vribl hittil kortst lng : HKL Gå lri ypr n t bst vi hr stt til nå, s tgning Om vi også kn brgn t minstmål for hvor lngt t r til nærmst mål-no får vi n br vskjæring Kn oft på forhån brgn n øvr grns for hvor lngt unn bst målno kn vær. Stts som strtvri for HKL. - HKL b z x y x x
Søk ttr bst løsning, ié 2 SOM FØR: Bst løsning r n mål-non som r nærmst rotn, rgnt i ntll kntr. Ié 2: Bruk rn br først. Dtt vil hlt rtt frm gi bst løsning utn non gng å gå for ypt Altrntiv, om optimlittskritrit r litt mr komplisrt nn br nærmst mulig rotn : Bruk prioritrt br-først søk. Prioritt: Estimt for hvor snnsynlig t r t bst no liggr i mitt subtr. Også hr: Hol n globl vribl hittil bst no : HBN Om u kommr til n no r t r sikkrt t ingn i hl nons subtr r br nn HBN, så skjær v. MEN: Mn må gnrlt fortstt søkt inntil ll grnr r vskårt som bskrvt i forrig punkt, ltså til prioritskøn v stt, mn ikk bhnl nor r tom. (Hr vil snr A*-søk gi n go lgoritm om - huristikkn r monoton ) b z x y HBN x x
Itrtiv br først (ikk i bok, ikk pnsum) Et ltrntiv om mn vil gjør rnt br-først-søk Brukr lik lit plss som yb først søk Mn må gjør litt rbi om igjn Ié: Gjør yb-først-søk til nivå 1, så t hlt nytt søk til nivå 2, osv. Om t r stor forgrningsfktor tr ikk tt så my mr ti nn vnlig br-først Og t krvr ltså my minr plss! Kn også bruks m priorittr/huristikkr t. b
Vi kn s ting som trær llr grfr Tilstns-trt kn oft h nor som rprsntrr smm tilstn, slv om mn r kommt it v forskjllig vlgskvnsr, s ksmpl unr. Mn kn oftst vlg om mn vil slå iss smmn llr ikk D må tin til å gjør ting om igjn vis opp mot t å unrsøk om mn hr stt nn tilstnn tiligr. V fs kn t vær vnsklig å slå smmn. Trngr my mr plss. V bfs vil t som rgl vær forlktig å slå smmn. Sprr plss (og ti?) Non lgoritmr krvr t mn slår smmn, for ksmpl Dijkstr og A* B F A C G E D C B C G D A E F G D G Diss to non r ssnsilt lik. Kntmngn r A, D og G. 11
A*-søk Ellr: Dijkstrs kortst vi lgoritm, m huristikk! A*-søk gnr sg for problmr r vi hr n (ksplisitt llr implisitt) grf v tilstnr, M n strt-tilstn, og t ntll mål-tilstnr Mulig tilstns-ovrgngr (rtt kntr) m n gitt kost. Og: Skl finn n vi fr strt til n mål-tilstn, m miniml kost. Altså logisk stt: kortst-vi-problmt r PQ Strtgin r t br-først-søk, m huristikk Vi brukr n huristikk-funksjon h(x) for stig å vlg mst lovn vi Altså br-først-søk m n priorits-kø for vlg v nst fr LivNos Mn: Må h spsill krv på h(x) for t lgoritmn skl bli lik nkl som Dijkstr Finns vrintr til fullt A*-søk (A-søk, A*-søk utn ll h(x)-krv oppfylt)
Dijkstr lgoritmn Strtgin r t br-først-søk m prioritskø: PQ = Liv Nos Dijkstrs kortst vi lgoritm. (Dijkstr r t spsiltilfll v A*- søk.) Dijkstr-lgoritmn bøhvr lri s om igjn på nor n hr lgt bk sg PQ = Liv Nos T = vi r frig m Dijkstr vlgr nst no bsrt på g(v) g(v) s v g Dijkstr 13
Dijkstrs lgoritm, kortst vi til ll nor pro Dijkstr(Grph G, No sour) for h vrtx v in Grph o // Initilisring v.ist := // Ukjnt vstn initilt mllom v og sour v.prvious := NIL // Pkr for å husk stin o sour.ist := 0 // Avstn fr sour til sg slv, PQ := { sour } // Priorits-køn T := { } // T stts tom ( frigbhnl non) whil PQ is not mpty o u := xtrt_min(pq) // Nærmst no fr priorittskø, sour først T := T union { u } for h nighbor v of u o // gng. Ky i køn r ist-vrin if not v in T thn // Sjkkr om n llr r bhnlt frig v.lt = u.ist + lngth(u, v) if v.lt < v.ist thn // Sjkkr om vi nå finnr kortr vi v.ist := v.lt // I så fll, stt inn nn v.prvious := u fi o o 14
A*-søk huristikk mot n bstmt no Strtgin r t br-først-søk Vi brukr n huristikk-funksjon h(v) for stig å vlg mst lovn vi. Dt r nn som hjlpr oss å «s» lngr nn t loklt nbolg. Altså br-først-søk m n prioritskø for vlg v nst fr LivNos. Minnr rv my om Dijkstrs kortst vi-lgoritm. (Dijkstr r fktisk t spsiltilfll v A*-søk.) A-søk vlgr nst no bsrt på g(v) + h(v) g(v) h(v) s v g A-søk 15
Krv (monotonitt): Krv til h(x) (monotonitt) 1. Huristikk-funkjsonn h(x) r minr-llr-lik lngn v fktisk kortst vi fr x til nærmst mål-no 2. Om t r knt fr x til y m vkt w(x,y), så skl gjl: h(x) <= h(y)+w(x,y) 3. All mål-nor m hr h(m) = 0, og llrs må vi h h(m)>= 0. Om h(x) llti r 0, så r iss krv oppfylt. D får vi Dijkstrs lgoritm. Dt fin r t krv 2 og 3 mførr krv 1, så vi slippr å tnk på krv 1. Bvis: Vi ntr t x -> y -> z -> mål-no r kortst vi fr x til nærmst mål-no: x h(x) <= h(y) + w(x,y) z y h(y) <= h(z) + w(y,z) h(z) <= h(m) + w(z,m) = w(z,m) Nærmst mål-no m h(m) = 0 Kombinrr vi iss får vi: h(x) <= w(x,y) + w(y,z) + w(z, m) Altså: h(x) <= kortst vi til nærmst målno.
Om A-søk og vrintr v A*-søk Om u hr n huristikk h(v) for hvor lngt t r til n mål-no Og h(v) kn vær bå litt for stor og litt for litn D klls tt A-søk (vlig likt prioritrt br-først-søk) Om vi vt t h(x) lri vil vær størr nn n virklig kortst vi til målt Mn ikk tilfrstillr t full monotonitskrv Og vi brukr n Dijkstr-liknn lgoritm, m psslig bruk v h(x) D vil vi llti til slutt få riktig rsultt (kortst vi fr strt til nærmst mål) Mn vi må stig gå tilbk til nor vi tro vi vr frig m og opptr lngn, og rm få my kstr-rbi! Hr r bok ssvrr ikk hlt go hr (s trykkfil-listn). Vi tr rfor ikk tt m som pnsum
Dt for slv A* lgoritmn (si 725/726) Vi hr n rttt grf G m kntvktr w(x,y), n strtno og t ntll målnor, smt n monoton huristikk-funksjon h(x). Hvr no x hr i tillgg følgn vribl: g(x) = forløpig kortst vi fr strtnon. Dnn vil stig fornr sg unr lgoritmn, mn vil til slutt få lngn v kortst vi fr strtnon til x. prnt(x) som skl bli forlr-pkr i t tr v kortst vir fr strt-non f(x) som hl tin r lik g(x)+h(x), ltså t stimt v vilngn fr strt til t mål gjnnom x. Vi hr n prioritts-kø PQ v nor, r priorittn går på vrin v f(x) Dnn initilisrs m br strt-non s, m g(s)=0, og h(s) vilkårlig. (Dtt mnglr i slv prosyr-bskrivlsn i bok, si 725) D non som for øyblikkt ikk r i PQ ls i to typr Tr-nor: Diss hr n forlr-pkr i t tr m strtnon som rot (kortst vi til rotn-trt). Diss hr ll vært i PQ, og v strtn r t ingn slik tr-nor. Ustt nor ( vi ikk hr kommt borti så lngt)
Figur for A* lgoritmn Tr-nor (mngn T): Blå PQ-nor: Grønn Ustt nor: Gul All nor v hr: h(v): En fst huristikk-vri for hvr no. Må vær monoton g(v): Forløpig kortst vi fr r. Fornrr sg, mn ikk ttr t n r blitt tr-no (blå) forlrpkr: Visr vi tilbk til r, ut fr nåværn g-vri) f(v): g(v) + h(v). Fornrr sg hllr ikk ttr t n r blitt blå. r PQ
Slv A*-lgoritmn PQ initilisrs ltså m br strt-non, m g(s) = 0 (ll nr r ustt) Stgt, som gjnts inntil PQ r tom : Plukk n bst prioritrt non x ut fr PQ (m minst f-vri) Drsom x r n mål-no, sluttr hrv lgoritmn g(x) ngir lngn v kortst vi fr strtnon x, prnt(x), prnt(prnt(x)), r n ktull vin (bklngs). T ny minst ut v PQ, kll n x, og stt n inn i T (tr-non vi r frig m) Dn hr ll nå sin forlr-pkr og g(x) stt riktig, bvis kommr S på ll nbor til x utnom i T ( frigbhnl), og for hvr slik y: Drsom g(y) > g(x) + w(x,y) så stt g(y) = g(x) + w(x,y) og At t går br krvr t bvis som kommr på nst foiln. prnt(y)= x Algoritmn kn ltså slutt på to måtr: V t PQ blir tom. Dt btyr t t ikk går non vi fr strtnon til non mål-no V t vi kommr til n mål-no m, og r g(m) lngn v kortst vi fr strtnon til m og prnt(m) ngir slv vin. Om h(x) = 0 for ll nor, så blir tt ltså Dijkstrs kortst-vi-lgoritm
Vi må vis (proposition 23.3.2 i bok): Om h(x) r monoton, så vil vrin v g(x) og prnt(x) llti h blitt riktig i t øyblikk x ts ut v PQ ovr i trt T. Vi førr br bvist for g(x) Drm bhøvr vi lri gå tilbk i trt og opptr no. Og lgoritmn blir v smm orn som Dijkstr-lgoritmn Bvis på nst foil. Mrk: Dt r n viktig trykkfil på si 724, forml 23.3.7: Dr t står: h(v) + h(v) skl t stå h(v) <= g(v) + h(v)
Figur til bvist for t nor hr fått riktig g-vri når ts ut v PQ r=v 0 x blir nå vlgt som nst no som skl ut PQ, og x kn rfor ikk h størr f-vri nn v k+1 v k Tr-nor PQ og ustt nor v k+1 x=v j
Bvis: Jg mnr vi må bruk inuksjon (ikk i bok): Inuksjonshypots: Stningn gjlr for ll y som r flyttt fr PQ til trt før x. Vi visr t gjlr n også for x. Vi lr gnrlt g*(v) vær lngn v kortst vi fr strt-non til non v. Vi sr på situsjonn når x ts ut v PQ, og vi sr på n noskvns P: strt-non = v 0, v 1, v 2,, v j = x som r n kortst vi fr strt-non til x (ltså m lng g*(x) ) Vi ntr t v 0, v 1,, v k (mn ikk v k+1 ) r blitt tr-nor når x ts ut v PQ. Non v k+1 r ltså i PQ når x blir ttt ut v køn ( og rfor gjlr f(v k+1 ) >= f(x) ) Ut fr monotonittn vt vi (for ll i = 0, 1,, j-1, ltså hlt frm til x) g*(v i ) + h(v i ) <= g*(v i ) + h(v i+1 ) + w(v i, v i+1 ) Sin kntn fr v i til v i+1 r m i n kortst vi til v i+1, gjlr (i = 0, 1,, j-1) g*(v i+1 ) = g*(v i ) + w(v i, v i+1 ) Til smmn gir to sist: g*(v i ) + h(v i ) <= g*(v i+1 ) + h(v i+1 ) som så gir, v å l i ttr tur vær k+1, k+2,, j-1, og vi sttr smmn ulikhtn: g*(v k+1 ) + h(v k+1 ) <= g*(v j ) + h(v j ) = g*(x) + h(x ) Ut fr inuksjonshypotsn vt vi t g(v k ) = g*(v k ), og rm må også (ut fr ksjonn når v k bl ttt ut v PQ) g(v k+1 ) = g*(v k+1 ), slv om n ikk liggr i T Drv hr vi: f(v k+1 ) = g(v k+1 )+h(v k+1 ) = g*(v k+1 )+h(v k+1 ) <= g*(x)+h(x ) <= g(x)+h(x) = f(x) Hr må imilrti ll <= vær likhtr, llrs vill f(v k+1 ) < f(x), og vill ikk x blitt ttt ut v køn før v k+1. Drv r g*(x)+h(x ) = g(x)+h(x) og ltså g*(x) = g(x).
Eksmpl på A*-søk Amriknsk highwys, kortst vi Cinintti - Houston uthvt. 24
Trt gnrrt v Dijkstrs lgoritm (stoppr i Houston). 25
Trt gnrrt v A*-søk. 26