UNIVESITETET I ADE imsad E K S A E N S O P P A V E : A: A-9 amaikk LÆE: P Hnik Hogsad Klass: Dao: 8..7 Eksamnsid a-il: 9.. Eksamnsoppgan bså a ølgnd Anall sid: 6 inkl. osid + dlgg Anall oppga: Anall dlgg: Tilla hjlpmidl : Kalklao Hogsad: oml A-9 Don Panic omann: amaisk omlsamling Ikk illa å ski i omlsamlingn KANDIDATEN Å SELV KONTOLLEE AT OPPAVESETTET E ULLSTENDI
A-9 Usa Eksamn Oppg n Pong a b a b a b a b c d g h i j k --------------------- Sm Pongn is kodlingn o d nkl dlspøsmåln. Vd kaakg klggs slølglig i illgg n oalding bl.a. n ding a i hilkn gad kandidan ha knnskap innno d lik omådn gi i oppgas. Bsalsn skal innhold mlloning. Kalklao skal ikk bns i bgningn kn il nll konoll a gn sa. Ta gn osning his d inn klah i oppgas. LYKKE TIL!
. Vi ha omåd n nn pla agns a d kn s ig.: asshn anall kg p kadam a omåd plan gi d: a Bsm massn a omåd. b Bsm masssn cm cm a omåd. ig.. Vi ha gi ølgnd dobbl-ingal: I dd Dobbl-ingal I skal bgns d hjlp a ølgnd sbsisjon: a Tgn o ig som is hnholdsis ingasjonsomåd i -plan og ingasjonsomåd i -plan. b Bgn dobbl-ingal I d hjlp a dn gi sbsisjonn.
. Vi ha gi ølgnd spial-k i omm s ig.: b a a b a posii konsan Vid ha i gi ølgnd ngdl kako ll ngdka: ho m massn il n paikkl som binn sg i ngdl og g ngdakslasjonn. a Vis a ngdl psn d -ko konsai kol og inn n ponsialnksjon il -ko. b Bk sla a a il å bgn d abid ds bgn ingal: W B A d som ngdkan ø på dnn paikkln md mass m nå paikkln bg sg langs spialkn gi ono mn i mosa ning a pnk på oppn gi d paamdin = il pnk i bnnn gi d paamdin = ds a pnk A il pnk B is i ig.. ig.
. Vi ha gi ølgnd o la i omm: S : = + S : = 8 Vid ha i gi ølgnd kol: [ ] a okla ha slags la S og S. Tgn d lgm T som agns a d o lan S og S. Hin: Til hjlp md gning a lgm T gn n ll l hjlpig som is.ks. lans skjæingsk md -plan. b Vis a pojksjonn inn i -plan a skjæingskn mllom d o lan S og S n sikl md snm i oigo og adis. c Bsm n paamig a kn. Kn skal o øknd paamdi gjnnomløps i ning mo klokka s langs dn posii -aksn i ning mo oigo. d Bgn d hjlp a ipplingal olm a lgm T. Bsm digns og cl il d gi kol. Bsm kingal: d d dik bgning ds n bk a Soks om. g Bsm kingal i oppga d hjlp a Soks om. h Bsm no lks a d gi kol a d lkkd lgm T. i Bsm no lks a d gi kol a h a lan S og S som agns lgm T. j Vis a his kol ha koninlig øs- og and-pailldi så gjld ølgnd lasjon: Digns a cl lik nll k Bsm no lks a cl il d gi kol gi d -ko a h a d o lan S og S.
Vdlgg: S n S d d n niåla il som n la nhsnomalko il n niåla il som n la nomalko il ' h ' h h ' h ' an ' ' ln
Løsning:. a assn a omåd plan : dm d d dd b asssn a omåd : 6 6 dm 7 7 7 dm 7 cm cm d d dd d d dd
. a Ingasjonsomådn i -plan og i -plan: Kn i -plan bsmms på ølgnd må: Omåd i -plan paallllogam. Omåd i -plan kada. b Jacobidminan: J 6 6 6 6 d d d dd dd dd I
. a Vi bgn cl il -ko: [] ] [ k j i cl Kan også s a cl lik nllko sidn kompnn i -ko kn konsan. Sidn cl = nllko så n konsai ka kol konsai kol. Dmd så inns n ponsialnskjon som slik a gadinn il lik -ko. Bsmmls a n ponsialnksjon: h h h h g g g!! ll nkl som saning o all bgningn ono: ll - b Abid bgn a ngdn d paikkl-bgls a A il B: b b b a a b a b a A B d d d W B A B A B A Abid alså lik ngdn a paikkln mliplis md hødoskjlln b mllom pnkn A og B iahnig. Ingal kan også bgns dik n bk a ponsialnksjon nom oppgan h.
. a oklaing og gning a d o lan S og S. S : = + S : = 8 S n paaboloid md bnnpnk i og smmiaks paallll md -aksn. S plan paallll md -aksn og skjæing md hnholdsis -aksn og -aksn i 8 og. b Ligningn o pojksjonn a kn inn i -plan: 8 8 Pojksjonn a kn inn i -plan alså n sikl md snm i oigo og adis. c Paamig a kn : 8 8 8
d Volm a lgm T: 8 8 8 8 d d dd dd d dv V T Digns og cl il kol: ] [ ] [ di ] [ ] [ k j i cl
K-ingal d dik bgning n bk a Soks om: d d d d d 8 8 8 ] 8 [ ] [ ] [ ] 8 8 [ ] 8 [ ] 8 8 [ 8 8 8 8 8 8 8 8 d d d d
g K-ingal ha Soks om: Som la i Soks om lg i dn dln a lan = 8 som ligg innno kn sidn dnn dln a lan ha kn som and. Lag ølgnd skala nksjon: lan S da gi d = 8 ds lan S n niåla il dn skala nksjonn. adinn il så da nomal på lan S. gad [ ] [ ] [ ] Lngdn a gadinn il gi d: [] 7 Enhsnomaln il lan S da gi d: n [ ] 7 K-ingal nå gi d: d S nds p [] 7 [ ] 7 [] [] 8 k a p-ko lik [] sidn i ha pojksjon inn i -plan. sla smm ons md sla a oppga. h No lks a d gi kol a d lkkd lgm T: S nds T dv T dv dv 8 6 T
i No lks a d gi kol a lan S : 8 [] [] 7 7 S nds No lks a d gi kol a lan S : 6 6 j Bis o a digns il cl lik nll: k j i
k Nolks a lan S a cl il kol p d gi d: l S n ds Sa på d dobbl-ingal ha i a oppga. Do å i: l n ds 8 S Bk a ass dignsom gi oss ølgnd o nolks a d lkkd lgm a cl il kol bn sla a oppga j om a digns il cl lik nll: l S nds dv dv dv T Ha å i a no lks a lan S a cl il kol gi d: T T l l l l l l 8 8