413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt polynomfunksjon f. Verktøyknappene Ekstremalpunkt og Nullpunkt Tangent GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt funksjon f i intervallet 1, 8. GeoGebra tar ikke med randpunktene. Under ligger verktøyknappene Ekstremalpunkt og Nullpunkt. Du kan bruke dem til å finne toppog bunnpunkter, og skjæringspunkter med x-aksen for alle typer funksjoner. I algebrafeltet ser du koordinatene for de aktuelle punktene for den delen av grafen som du ser i grafikkfeltet. Tangent [<x-verdi>, <Funksjon>] for å få tegnet tangenten til grafen for en gitt x-verdi. Likningen ser du da i algebrafeltet. Grafen til den deriverte og den andrederiverte Skriv inn funksjonsuttrykket for f. Skriv inn f (x) for å tegne grafen til den deriverte av f. Skriv inn f (x) for å tegne grafen til den andrederiverte av f. Bruker du f(t) og ikke f(x), må du skrive f (t)=derivert[f,t] f (t)=derivert[f,t,2]
414 GeoGebra i S2 Vendepunkter f(x) = x 3 + 2x 2 Kommandoen er for polynomfunksjoner. Areal under graf CAS Å definere en funksjon Skriv inn funksjonsuttrykket for f. Legg merke til skrivemåten «:=». Å sette inn en verdi for en parameter eller en variabel I funksjonsutrykket f(x) = mx 2 mx + 2m skal vi regne ut f(3) for m = 2. Vi bruker verktøyknappen. Vi klikker på. Å sette inn verdier for flere parametere på en gang Grafen til en andregradsfunksjon har bunnpunkt i (3, 2) og går gjennom punktet (5, 10). Vi skal finne funksjonsuttrykket. Vi bruker kommandoen ByttUt [<Uttrykk>, <Liste med forandringer>] Likninger Hvis du i CAS-feltet skriver inn en likning og klikker på, får du en eksakt løsning. Hvis du klikker på løsning., får du en tilnærmet Betingelser med én variabel/ parameter Alternativ 1 Alternativ 2
415 Likning med betingelser for parametre Her er x den variable. Betingelsene er at a > 0 og at b > 0. Rad 1: Uten betingelsene Rad 2: Med betingelsene. Tre metoder: 1 Legg inn med komma mellom likningene. Klikk på. 2 Løs[<Liste med likninger>] og trykk Enter. 3 Legg inn én likning per rad, marker radene og klikk på. Ulikheter Tangent Likningssystemer Polynomdivisjon Skriv ulikheten i CAS-feltet. («Større enn eller lik»-tegnet får du ved å klikke på ). Hvis du klikker på, får du en eksakt løsning. Tangent[<x-verdi>, <Funksjon>] for å bestemme likningen for tangenten til grafen for en gitt x-verdi. Divisjon[<Dividend Polynom>,<Divisor Polynom>]. Tallet bak kommaet forteller hva resten er. Må ikke forveksles med kommandoen Div[<Dividend Polynom>,<Divisor Polynom>]. Denne kommandoen gir deg ikke resten. Faktorisering Skriv inn uttrykket og klikk på. Hente verdier fra liste I rad 3 betyr $1 at svaret skal hentes fra rad 1. Tallet 2 betyr at det hentes fra uttrykk nr. 2 i lista i rad 1. I rad 2 hentes tilsvarende tallet fra uttrykk nr. 1 i lista i rad1.
416 GeoGebra i S2 Følger Rekker Følge[<Uttrykk>,<Variabel>,<Fra>,<Til>] og trykk Enter. Sum[<Uttrykk>,<Variabel>, <Start>,<Slutt>]. Alternativt: Bruk Sum[<Liste>], og deretter Følge[ ] : Uendelig konvergent rekke: Sumformel Summen av de n første trekanttallene. Sum[<Uttrykk>,<Variabel>,<Start>,<Slutt>]. Antall ledd må være minst 18 hvis summen skal være større enn 1000. Gjennomsnitt Å undersøke om to uttrykk er like. Vi bruker == (to likhetstegn) i CAS for å undersøke om uttrykkene er like. Siden CAS svarer med «true» er uttrykkene like. Hvis to innlagte utrykk ikke er like, vil CAS svare med «false».
417 Regneark Regresjon x 0 2 3 8 y 1 4 6 8 Vis Regneark. Legg inn x-verdiene i kolonne A. Legg inn y-verdiene i kolonne B. Marker cellene, og velg Regresjonsanalyse fra verktøyknapp nr. 2 fra venstre: Klikk på. Velg regresjonsmodell fra rullegardinmenyen. Her valgte vi en logistisk modell. Hvis du skal arbeide videre med modellen, kan du overføre grafen til grafikkfeltet ved å klikke på. Sannsynlighetskalkulatoren Binomiske sannsynligheter Et forsøk er satt sammen av 20 uavhengige delforsøk. I hvert delforsøk er sannsynligheten 0,9 for at en hendelse A vil inntreffe. Vi lar X stå for antall ganger A inntreffer i de 20 delforsøkene. Figuren til høyre viser hvordan du fyller ut sannsynlighetskalkulatoren for å finne P(X 18).
Normalfordelingen La X være normalfordelt med forventning 100 og standardavvik 15. Figuren til høyre viser hvordan du fyller ut sannsynlighetskalkulato- P 100 X 120. ren for å finne ( ) Hypotesetest for normalfordelte data Ut fra 4 normalfordelte observasjoner med forventning μ og standardavvik σ = 0,20, vil vi teste nullhypotesen H 0 : μ = 4,50, mot den alternative hypotesen H A : μ > 4,50. For å utføre testen, åpner du sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen «Statistikk» og velger «Z-test av et gjennomsnitt» fra nedtrekks menyen. Hvis gjennomsnittet av de fire observasjonene er 4,73, får du testen ved å fylle ut slik figuren viser. Nyttige hurtigtaster Windows Mac Tilbake til Opphøyd i n (Heltallige n) Esc Alt + n Esc Ctrl + n Kvadratrot Alt + r Ctrl + r Eulertallet Alt + e Ctrl + e Formelvisning Ctrl + d Cmd + d Du finner flere opplæringsressurser for GeoGebra på nettstedet, www.lokus.no/direkte/matematikks2.