1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset. Reglee er stort sett gtt kapttel 5 Løvås, me ltt ufullstedg og usammehegede. Jeg vl derfor dette otatet samle og utfylle de vktgste reglee som må kues, samt g oe eksempler på bruk av dem. Defsjo: V skrver kort X ~ N( μ, ) for e modell der X er ormalfordelt med forvetg, EX ( ) = μ, og stadardavvk, = var( X ) = SD( X ). De speselle ormalfordelge N (0,1), kalles stadard ormalfordelg og Løvås bruker symbolkke Gz ( ) = PZ ( z) for de kumulatve fordelgsfuksjoe hvs Z ~ N(0,1). Eksempel: Hvs du for eksempel e oppgave får oppgtt at følger speselt at EX ( ) = 1 og var( X ) = 4. X ~ N( 1, 2), så Regel R1 (står kke Løvås, me brukes mplstt flere steder): Hvs X ~ N( μ, ) og Y = a +bx, der a og b er kostater, er også Y ormalfordelt ( ) Y ~ N E( Y), SD( Y) = N( a+ bμ, b ) (Merk at uttrykkee N tl høyre følger av regler for forvetg og varas kapttel 4.) Eksempler som følger av regel R1 (sjekk): Hvs X ~ N( 1, 2), er () Y = 1 X ~ N( E( Y), SD( Y)) = N (2,2). X 1 () ~ N, 1 og () 1000 3 ~ ( 997, 6) 2 2 + X N. X μ μ Hvs X ~ N( μ, ), er Z = ~ N(0,1) (sett a = og R1). Av dette får v regel 5.14 Løvås: 1 b =
2 X μ x μ x μ x μ PX ( x) = P = P Z = G Hvs X ~ N( 1, 2), er, sde PX= ( 0) = 0, 0+ 1 1 PX ( < 0) = PX ( 0) = G = G = 0,6915 2 2 Løvås. følge tabell D.3 Regel R2. Summer av ormalfordelte varable (regel 5.17 Løvås pressert) La X1, X2,, X være uavhegge og ormalfordelte varable slk at X ~ N( μ, ) for = 1, 2,,. ( X - ee behøver altså kke å være detsk fordelte). La a1, a2,, a være vlkårlge kostater. Da er Y = a X + a X + + a X også ormalfordelt: 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) = ( μ + μ + + ) 1 1 2 2 μ + + + 1 1 2 2 Y ~ N E( Y), var( Y) N a a a, a a a der uttrykkee N tl høyre følger av regler om forvetg og varas kapttel 4. Av regel R2 følger drekte e vktg regel om gjeomstt av ormalfordelte varable (brukt flere gager kurset, me kke satt opp eksplstt som e regel Løvås). Regel R3. Gjeomsttet av ormalfordelte varable er ormalfordelt. La X1, X2,, X være uavhegge og detsk ormalfordelte varable slk at X ~ N( μ, ) for = 1,2,,. Da er Y = X = ( X1+ X2 + + X) også ormalfordelt: ( ) Y ~ N E( Y), var( Y) = N μ, Bevs: R3 følger drekte av R2: La R2, μ1 = μ2 = = μ = μ, 1 = 2 = = = (sde alle fordelgee for X1, X2,, X er lke, må alle forvetger være lke og alle 1 stadardavvk være lke). La a1 = a2 = = a =. Da ser v at Y = X omfattes av regel R2, og v ka slutte at Y er ormalfordelt. Parameterverdee de aktuelle ormalfordelge er gtt ved EY ( ) og var( Y ) som er fuet før kapttel 4: EY ( ) = μ og var( Y ) =. Alteratvt, kue ma få fram dsse parameterverdee fra formlee sste uttrykk regel R2: 1 1 1 1 a1μ1+ a2μ2 + + aμ = μ + μ + + μ = μ = μ
3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a11 + a22 + + a = + + + = = = 2 2 2 2 Bevs slutt. Eksempler på bruk av R1-R3: Ata X og Z er uavhegge og ormalfordelte der X ~ N( 1, 2) og Z ~ N (0,1). F PY< ( 0) der Y = X Z. Løsg: I følge regel R2 er Y ormalfordelt (sett for eksempel X1 = X, X2 = Z, a1 = 1, a2 = 1 og = 2 ). Parameterverdee fer v som EY ( ) = 1 0 = 1 og regel 4.17 var( Y) = var( X) + var( Z) = 4 + 1 = 5 Dermed er Y ~ N( 1, 5), og det adre eksemplet etter regel R1 gr: PY ( < 0) = PY ( 0) = G = G(0,45...) = 0,6736 (altså ltt 5 mdre e sasylghete fuet ovefor (= 0,6915) for at X selv får egatv verd. Mao. å trekke fra (eller legge tl) Z på X-e er som å tlføre støy på X.). Ata X1, X2,, X er uavhegge og detsk ormalfordelte med X ~ N( 1,2) for = 1, 2,,. For e vlkårlg har v fra R3 at 2 gjeomsttet er ormalfordelt, X ~ N 1,. Sde spredge dee fordelge avtar med, er det rmelg å forvete at sasylghete for at X skal få egatve verder øker med. Dette bekreftes av tabell 1 uder. Som før bruker v det adre eksemplet etter R1 og fer: PX ( < 0) = G = G 2 2 hvorav, følge tabell D.3 Løvås (sjekk tallee!), Tabell 1 Gjelder hvs hver 2 X er N(-1, 2) fordelt PX ( < 0) 1 0,50 0,6915 5 1,12 0,8686 10 1,58 0,9429 20 2,24 0,9875 30 2,74 0,9969 50 3,54 > 0,9990
4 Egeskape tl gjeomsttet som er beskrevet regel R3 bygger på forutsetge at ekeltobservasjoee er ormalfordelte. Dette er tlsyelatede e sterk forutsetg som bare utaksvs er realstsk prakss. Imdlertd, hvs atall observasjoer () kke er for lte (v bør ha 20 som e tommelfgerregel), vl koklusjoe at gjeomsttet er ormalfordelt fortsatt gjelde tlærmet uasett hvlke fordelg ekeltobservasjoee er trukket fra. Dette er det berømte setralgreseteoremet (kjet sde 16-17-hudretallet). Løvås serverer setralgreseteoremet to versjoer, regel 5.18 og 5.19, samlet regel R4 edefor. Dette betyr eksemplet ovefor at, selv om v kke vet oe mer om fordelge tl X utover at EX ( ) = 1og var( X ) = 2, så ka v lkevel slutte at X er tlærmet N 1, 2 fordelt år PX ( < 0) G = G 2 2 20, slk at (merk at de første lkhete er erstattet med ) og tabell 1 ka hvert fall delvs fylles ut: Tabell 2. PX< ( 0) år hver X har e vlkårlg fordelg med forvetg 1 og stadardavvk 2. 2 PX ( < 0) 1 0,50 ------- 5 1,12 ------- 10 1,58 ------- 20 2,24 0,9875 30 2,74 0,9969 50 3,54 > 0,9990 Merk at v her kke ka ag oe verder for PX ( < 0) tlfellee = 1, 5 og 10 ute at v vet mer om fordelge tl ekeltobservasjoee. Det er også verdt å merke seg at tlærmelse tl ormalfordelge blr bedre og bedre dess større er.
5 Regel R4 Setralgreseteoremet La 1 2 X, X,, X være uavhegge varabler fra samme sasylghetsfordelg med forvetg, EX ( ) μ valgvs tlstrekkelg), gjelder =, og stadardavvk, var( X ) X ~ N E( X), var( X) = N μ, tlærmet (a) (regel 5.18) ( ) =. Hvs er stor ( 20 ases tlærmet (b) (regel 5.19) Y = X1 + + X ~ N( E( Y), var( Y) ) = N( μ, ) Merk at (b) (regel 5.19) stregt tatt er overflødg år v har tlgag tl (a) og regel R1. For, hvs X er tlærmet N μ, fordelt, følger av regel R1 at Y = X også er tlærmet ormalfordelt: tlærmet Y ~ N( E( X), var( X) ) = N( E( X), var( X) ) = N μ, = N( μ, ). I tllegg tl dsse reglee er regel 5.20 Løvås vktg som vser at ormalfordelge ofte (kke alltd) ka brukes som tlærmg tl bomske, hypergeometrske og posso-fordelger. Jeg skrver kke opp de regele her, me oppfordrer studetee tl å øve seg på å bruke de. Speselt vktg kapttel 6. Forhåpetlgvs vl presserge av reglee ovefor gjøre dette lettere.