8.09.0 Kvrtsetningene Tillegg til kpittel Grunntll 0 Ne læringsmål i reviert lærepln 0 Mål for et u skl lære: kunne ruke kvrtsetningene til å multiplisere to prentesuttrkk kunne fktorisere ve å ruke kvrtsetningene kunne fktorisere røker me flerleete nevnere kunne ere og sutrhere røker me flerleete nevnere Bjørn Bkke og Inger Ngjelten Bkke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Innhol Kvrtsetningene. Den første kvrtsetningen. Den nre kvrtsetningen. Den treje kvrtsetningen. 6 Fktorisering og forkorting 9 Fktorisering ve å ruke kvrtsetningene 9 Forkorte røker me flerleete tellere og nevnere Aisjon og sutrksjon v røker me flerleete nevnere... Finne fellesnevner for flerleete nevnere... Aere og sutrhere røker me flerleete nevnere. Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Kvrtsetningene Vi hr tiligere regnet me kvrttll. Et kvrttll finner vi ve å multiplisere et nturlig tll me seg selv. Dette kller vi også å finne kvrtet v et tll. = = = = = = 9, og 9 er e første kvrttllene. Når vi skl multiplisere to like prenteser som hr to le, kn vi ruke en vnlige regelen for å multiplisere to prenteser. Vi skl nå lære en rskere måte å multiplisere to like prenteser. Det gjør vi ve å ruke noe vi kller kvrtsetningene. Den første kvrtsetningen Den første kvrtsetningen gjeler når vi skl finne kvrtet v summen v to tll [( ) ]. Vi regner ut ( ) ve å ruke regelen for å multiplisere to prenteser: ( ) = ( )( ) = = Vi ser t vi kn finne svret ve å t kvrtet v et første tllet ( ), ere et oelte prouktet v e to tllene ( ) og til slutt ere kvrtet v et siste tllet. HUSK! ( ) = ( )( ) = = Regn ut ( ). ( ) = = 9 Den nre linjen kn være en nttig mellomregning, men u trenger ikke t en me ersom u greier å regne ut svret irekte. Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fsit: 0 6 9 9 6 6 8 6 9 0 6 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 9 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 9 6 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 0 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 8 0 ( ) ( ) 0 8 8 6 8 6 ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kopieringsoriginl 8
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Den nre kvrtsetningen Fsit: Den nre kvrtsetningen er gnske lik en første. Forskjellen er t vi finner kvrtet v ifferensen mellom to tll [( ) ]. Vi regner ut ( ) ve å ruke regelen for å multiplisere to preneteser. ( ) = ( )( ) = = Vi ser t vi kn finne svret ve å t kvrtet v et første tllet ( ), sutrhere et oelte prouktet v e to tllene ( ) og til slutt ere kvrtet v et siste tllet. HUSK! ( ) = ( )( ) = = Regn ut ( ). ( ) = = 9 Den nre linjen kn være en nttig mellomregning, men u trenger ikke t en me ersom u greier å regne ut svret irekte. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 6 6 9 6 8 0 9 6 9 8 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 0 9 Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 7 ( ) ( ) ( ) ( ) Fsit: 7 6 6 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 0 8 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 7 6 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 7 0 9 8 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Den treje kvrtsetningen Den treje kvrtsetningen er egentlig ikke en kvrtsetning og lir ofte i steet klt konjugtsetningen. Her skl vi ikke finne kvrtet v et uttrkk, men multiplisere summen og ifferensen v to tll [( )( )].Vi regner ut ( )( ) ve å ruke regelen for å multiplisere to prenteser. ( )( ) = = Vi ser t vi kn finne svret ve å t kvrtet v et første tllet minus kvrtet v et siste tllet. HUSK! ( )( ) = = 6 Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Regn ut ( )( ). Fsit: ( )( ) = =.. Den nre linjen kn være en nttig mellomregning, men u trenger ikke t en me ersom u greier å regne ut svret irekte. ( )( ) ( )( ) 9 ( )( ) ( )( ) 9 ( )( ) ( )( ) ( 7)( 7) (6 8)(6 8) 9 6 6 6 ( )( ) ( )( ) 6 9 6 7 ( )( ) ( 6)( 6) 7 6 9 6 8 ( 6)( 6) ( 7)( 7) 8 6 9 9 9 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 7 0 7 Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 0 ( 6)( 6) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Fsit: 0 8 8 9 7 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 8 8 0 0 0 ( 7)( 7) ( )( ) (6 )(6 ) ( )( ) ( ) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( )( ) 8 7 6 8 6 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 8 0 7 0 (6 )(6 ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 7( ) 7 8 8 8 6 0 9 76 8 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 6( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 9 6 9 9 6 6 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 8 Kopieringsoriginl 6 6 6 9 6 8 9 9 6 6 8 0
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Fktorisering og forkorting Fsit: Kvrtsetningene kn også rukes til å fktorisere. D går vi en motstte veien, ve t vi hr svret og skl finne ut hvilke prenteser som er multiplisert. Det trenger vi l.. når vi skl forkorte en røk. D fktoriserer vi telleren og nevneren for å finne ut om e hr en felles fktor. Hvorn vi fktoriserer et flerleet uttrkk, står i Grunntll 0 sie 68. Fktorisering ve å ruke kvrtsetningene Fktoriser. = = ( ) ( ) Fortegnet i uttrkket psser til treje kvrtsetning. er et kvrttll. Vi kn føre slik: = ( ) ( ) 7 Fktoriser ve å ruke treje kvrtsetning. 6 00 8 Fktoriser ve å ruke treje kvrtsetning. 9 9 6 9 6 9 Fktoriser. 9 6 6 9 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7 8) (7 8) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( 6) ( ) ( ) 0 Fktoriser. 8 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Fktoriser 6 9. 6 9 Fortegnene i uttrkket psser til første kvrtsetning. 9 er et kvrttll. () 6 9 Vi sjekker om et miterste leet psser til tllene vi hr funnet. Vi ser t et stemmer. ( ) ( ) Vi hr fktorisert ve å ruke første kvrtsetning. Vi kn føre slik: 6 9 = ( ) ( ) Fsit: Fktoriser ve å ruke første kvrtsetning. 6 9 0 Fktoriser ve å ruke første kvrtsetning. 9 9 8 6 8 0 Fktoriser ve å ruke første kvrtsetning. 9 6 0 9 6 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7 ) (7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Fktoriser 9. 9 Fortegnene i uttrkket psser til nre kvrtsetning. og 9 er egge kvrttll. () 9 Vi sjekker om et miterste leet psser til tllene vi hr funnet. Vi ser t et stemmer. ( ) ( ) Vi hr fktorisert ve å ruke nre kvrtsetning. Vi kn føre slik: 9 = ( ) ( ) Fsit: 6 7 8 9 Fktoriser ve å ruke nre kvrtsetning. 8 6 0 6 60 Fktoriser ve å ruke nre kvrtsetning. 6 8 9 0 Fktoriser ve å ruke nre kvrtsetning. 9 6 6 9 0 9 9 6 6 Fktoriser. 6 6 9 9,8 0,09 9 9 7,89 Fktoriser. 6 Fktoriser. 0 9 6 6 Kopieringsoriginl ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6 ) (6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7 ) (7 ) 7 ( 7) ( 7) (7 ) (7 ) ( 0,) ( 0,) (,7) (,7) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 0 Fktoriser. 6 8 9 7 6 6 6 Fktoriser. 6 0 80 0 Fktoriser. 8 7 8 9 0 7 6 Fktoriser. 8 8 6 8 8 8 Fsit: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) (6 7 ) (6 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) (9 ) ( ) Forkorte røker me flerleete tellere og nevnere Hvorn vi forkorter en røk me flerleet teller, står i Grunntll 0 sie 7. Forkort øken. = = ( ) = ( ) ( ) Først fktoriserer vi telleren og nevneren. = = = Vi forkorter me ( ) i telleren og nevneren. HUSK! Vi må h helt like prenteser i telleren og nevneren for t vi kn forkorte me prenteser. Vi kn ikke forkorte me eler v en prentes. Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Du må kunne fktorisere ve å ruke kvrtsetningene når u skl løse isse oppgvene. Fsit Forkort røkene. = Forkort røkene. 9 6 Forkort røkene. 6 6 7 Forkort røkene. 8 6 9 9 6 9 7 9 6 8 Forkort røkene. 8 8 8 8 9 8 6 8 6 9 Forkort røkene. 6 6 6 9 6 86 8 8 6 8 9 6 6 6 Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Aisjon og sutrksjon v røker me flerleete nevnere Fsit: Vi må kunne fktorisere flerleete uttrkk, også ve ruk v kvrtsetningene, når vi skl ere og sutrhere røker me flerleete nevnere. Finne fellesnevner for flerleete nevnere Når vi erer og sutrherer røker, må lle røkene h lik nevner. Finn fellesnevneren for og. = ( ) Vi fktoriserer nevnerne. = ( ) ( ) Fellesnevner: ( ) ( ) Hver v nevnerne skl h me lle sine fktorer i fellesnevneren. 60 Finn fellesnevneren. og og 60 ( ) ( ) 6 Finn fellesnevneren. og og 6 ( ) ( ) 6 Finn fellesnevneren. og 9 9 og 0 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Finn fellesnevneren. og og 9 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Finn fellesnevneren. og 8 8 og 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Aere og sutrhere røker me flerleete nevnere Fsit: HUSK! For å finne fellesnevneren fktoriserer vi lle nevnerne. Hver v nevnerne skl h me lle sine fktorer i fellesnevneren. Regn ut 6. 6 = = ( ) = = ( ) Fellesnevner: ( ) Vi fktoriserer nevnerne. Hver v nevnerne skl h me lle sine fktorer i fellesnevneren. Den første røken må utvies me, og en nre må utvies me, for t røkene skl få lik nevner. ( ) ( ) 9 ( ) = = ( ) 9 ( ) = ( ) = 6 Vi utvier røkene. Vi multipliserer i teller og lr nevner stå ufornret. Vi regner ut og forkorter ersom et er mulig. (Det er ikke mulig her.) 6 6 9 8 7 66 66 8 0 Kopieringsoriginl
Grunntll 0 Kpittel Alger Reviert lærepln 0 Kopieringsoriginl 6 67 68 6 69 9 70 6 0 7 6 0 7 6 Fsit: 67 9 6 0 68 6 8 8 69 7 9 70 6 8 0 6 8 6 7 7 7 9