Funksjoner og andregradsuttrykk

88 4

Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner både ved regning og med digitale hjelpemidler omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse dette og vurdere gyldigheten av løsningen gjøre rede for funksjonsbegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsbegrepet beregne nullpunkter, skjæringspunkter og gjennom snittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved disse aspektene bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner

4.1 Funksjonsbegrepet Vi kaster en stein opp i lufta. Etter t sekunder er steinen y meter over bakken, der y er gitt ved formelen y = 5t + 0t Etter 3 s er høyden y = 5 3 + 0 3 = 15 Steinen er 15 m over bakken etter 3 s. Når vi kjenner t, kan vi regne ut en bestemt verdi for y. Vi sier at høyden y er en funksjon av tida t. y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Steinen har samme høyde over bakken to ganger, på vei opp og på vei ned. Steinen er 15 m over bakken etter 1 s og etter 3 s. Når vi kjenner høyden y, kan vi ikke fastsette én bestemt verdi for tida t. Tida t er dermed ikke en funksjon av høyden y. Uttrykket 5t + 0t kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for et funksjonsuttrykk. Når y er høyden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket h(t) og skriver h(t) = 5t + 0t Her er h den første bokstaven i ordet høyde. Vi sier også at funksjonen h er gitt ved h(t) = 5t + 0t Når vi skal finne høyden etter 1 s, skriver vi h(1) = 5 1 + 0 1 = 15 Høyden etter s er h() = 5 + 0 = 0 Tallene 15 og 0 kaller vi funksjonsverdier. Vi regner ut flere funksjonsverdier og samler dem i en tabell: t 0 1 3 4 h(t) 0 15 0 15 0 90 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

Så tegner vi grafen til funksjonen h. Langs førsteaksen finner vi variabelen t. Langs andreaksen finner vi funksjonsverdiene. Vi setter så av alle punktene fra tabellen i koordinatsystemet og trekker en glatt kurve gjennom dem. Det er grafen til funksjonen h. Vi ser at steinen er tilbake på bakken etter 4 sekunder. Ferden stopper der. Altså må vi forutsette at variabelen t her er et tall mellom 0 og 4. Vi må forutsette at 0 t 4. Det skriver vi ofte på denne måten: m 0 15 y h t [0, 4] Symbolet leser vi tilhører eller er element i. [0, 4] kaller vi et intervall. Det er alle tallene fra og med 0 til og med 4. Endepunktene er altså med i dette intervallet. Hvis vi ikke vil ha endepunktene med i intervallet, skriver vi intervallet som 0, 4. 10 5 1 3 4 5 t s Vi sier at funksjonen h har definisjonsmengden [0, 4], og skriver D h = [0, 4] D er den første bokstaven i definisjonsmengde, og h er navnet på funksjonen. Vi ser at steinen på det høyeste punktet er 0 m over bakken. Med andre ord kan høyden være alle tall fra og med 0 m til og med 0 m. Funksjons verdiene kan dermed være alle tall i intervallet [0, 0]. Dette intervallet kaller vi verdimengden til funksjonen. Vi skriver V h = [0, 0] Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, bruker vi gjerne x som variabel. Funksjonsuttrykket kaller vi ofte f(x), der f er navnet på funksjonen. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4x + 3 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen f(x) = 8 grafisk. c) Finn verdimengden til f. 91

Løsning: a) Vi regner ut noen funksjonsverdier og samler dem i en tabell: x 1 0 1 3 4 5 f(x) 8 3 0 1 0 3 8 Nå markerer vi punktene (x, f(x)) i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom punktene. Vi får denne grafen: y 10 9 f 8 7 6 5 4 3 1 1 1 1 3 4 5 6 x b) Avlesing av grafen viser at likningen f(x) = 8 har løsningene x = 5 og x = 1 c) Vi ser av grafen at den minste funksjonsverdien er 1. Det er når x =. Verdimengden består dermed av alle tall som er større enn eller lik 1. Vi skriver V f = [ 1, Intervallet [ 1, består av alle tall som er større enn eller lik 1. Å si at y [ 1, er det samme som å si at y 1. Hvis vi for eksempel skal uttrykke at y 3, kan vi skrive at y, 3]. Intervallet, 3] består av alle tall som er mindre enn eller lik 3.? 9 Oppgave 4.10 Regn ut f( ), f(0) og f() når funksjonen f er gitt ved a) f(x) = 3x + b) f(x) = x + x + 3 c) f(x) = x 3 + x 9x + 1 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

? Oppgave 4.11 Vi skyter opp ei kule. Høyden i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 50t a) Tegn grafen til h. b) Når er kula tilbake på bakken? c) Finn definisjonsmengden til funksjonen. d) Finn verdimengden. e) Når er kula 50 m over bakken? Oppgave 4.1 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 6x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Bruk grafen til å løse likningen x 6x + 8 = 0. c) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.13 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen x + x + 8 = 5 grafisk. c) Finn verdimengden til f. Når du skal tegne grafer, trenger du ikke regne ut verdiene i tabellen for hånd. Du kan lage tabellen digitalt. Du kan også bruke digitale hjelpemidler til å få fram hvordan grafen ser ut. Framgangsmåten finner du på nettsidene eller bak i boka.? Oppgave 4.14 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 4x 3 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Løs likningene digitalt. 1) x + 4x 3 = 0 ) x + 4x 3 = x 7 93

? Oppgave 4.15 En bil kjører med farten v målt i kilometer per time. Utslippet av karbondioksid målt i gram per kilometer er da gitt ved funksjonen C(v) = 0,045v 6,75v + 393 a) Tegn grafen til C digitalt når farten er mellom 0 km/h og 10 km/h. b) Hvor stort er utslippet per kilometer når farten er 50 km/h? c) Hvor stor er farten når utslippet er 00 g/km? d) Ved hvilken fart er utslippet lavest mulig, og hvor stort er utslippet da? e) Hvor mange kilogram karbondioksid slipper vi ut når vi kjører fra Bergen til Oslo i 75 km/h med denne bilen? Sett avstanden til 500 km. f) Bilen bruker 0,8 l bensin per mil. En liter bensin veier omtrent 0,8 kg. Hvor mange kilogram bensin bruker bilen på turen fra Bergen til Oslo? Hvordan kan du forklare at utslippet veier mer enn forbruket av bensin? 4. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Uttrykkene x + 3 og x + 3x 5 kaller vi polynomer. Uttrykket x + 3 er et polynom av første grad, og uttrykket x + 3x 5 er et polynom av andre grad. Den høyeste eksponenten til variabelen i et polynom kaller vi graden til polynomet. Polynomet x 3 + 3x 6x + 4 er av tredje grad, og polynomet x 4 + x + 4 er av fjerde grad. Når vi skriver polynomer, ordner vi alltid leddene etter graden. Det leddet som har den høyeste graden, skal stå først. Polynomet 4 + x + 3x 3 + 5x skriver vi som 3x 3 + x + 5x + 4. Vi skal nå se på noen funksjoner der funksjonsuttrykket er et polynom. Slike funksjoner kaller vi polynomfunksjoner. I kapittel 4.1 tegnet vi grafen til polynomfunksjonen f gitt ved f(x) = x 4x + 3 Dette er en andregradsfunksjon. Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Grafen ser du til høyre. De punktene der grafen til en funksjon krysser x-aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at f(x) = 0 10 8 6 4 y f Nullpunkt Nullpunkt 4 6 Bunnpunkt (, 1) x 94 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjonen har dermed nullpunktene x = 1 og x = 3. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der x = og y = 1. Bunnpunktet har koordinatene (, 1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Vi skal snart se at bunnpunktet ikke trenger å være det laveste punktet på grafen. Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 3x a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Løsning: a) Vi tegner grafen til f. y 4 Toppunkt 3 ( 1, ) Nullpunkter 1 1 1 3 4 1 Bunnpunkt (1, ) f 3 b) Grafen viser at f har nullpunktene x = 0, x = 1,7 og x = 1,7 c) Funksjonen har toppunktet ( 1, ) og bunnpunktet (1, ). x Funksjonen i eksempelet ovenfor har et toppunkt i ( 1, ) og et bunnpunkt i (1, ). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin største verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner. 95

Eksempelet på forrige side viser at en tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter og både toppunkt og bunnpunkt. Men ikke alle tredjegradsfunksjoner har både toppunkt og bunnpunkt. Grafen til funksjonen f(x) = x 3 ser slik ut: 5 4 3 1 y f x 1 1 3 4 5 1 3 Denne tredjegradsfunksjonen har bare ett nullpunkt og ingen toppunkter eller bunnpunkter. EKSEMPEL Tegn grafen til funksjonen f(x) = x 4 5x + 4. Finn nullpunktene, toppunktet og bunnpunktene grafisk. Løsning: Funksjonen har denne grafen: 5 4 3 1 y f x 3 1 1 3 1 3 Funksjonen har fire nullpunkter: x =, x = 1, x = 1 og x = Bunnpunkter: ( 1,6,,) og (1,6,,) Toppunkt: (0, 4) 96 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

? Oppgave 4.0 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 4.1 En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved T(x) = 3 8 x + 1 x 135, x [8, 0] a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 C? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Oppgave 4. Funksjonen g er gitt ved g(x) = x 3 3x + 4 a) Tegn grafen til g. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g. d) Finn verdimengden til g. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter kan vi også finne digitalt. Framgangsmåten finner du på Sinus-sidene eller bak i boka.? Oppgave 4.3 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 1x a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4 4x a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktene og bunnpunktene. 97

? Oppgave 4.5 Tegn grafen til f digitalt der f(x) = x 5 5x 3 + 4x a) Hvor mange nullpunkter har grafen? b) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter har grafen? c) Hvor mange nullpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? d) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? 4.3 Andregradslikninger med to ledd Likningen x 5x + 6 = 0 er et eksempel på en andregradslikning. Vi skal nå lære å løse slike likninger. Andregradslikningen x 4 = 0 mangler førstegradsledd. Vi løser den på denne måten: x 4 = 0 x = 4 x = eller x = Ofte skriver vi bare x = ± i stedet for x = eller x =. x = ±a betyr x = a eller x = a. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) x 10 = 0 b) (x ) + 4 = 0 c) x + 3 = 0 Løsning: a) x 10 = 0 x = 10 x = 5 x = 5 eller x = 5 x = ± 5 98 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

b) (x ) + 4 = 0 x 4 + 4 = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Her får vi bare én løsning, for x = 0 er det eneste tallet som passer i x = 0. c) x + 3 = 0 x = 3 Likningen har ingen løsning. Det fins ingen tall x som er slik at x blir mindre enn null. Tallet x kan derfor ikke bli lik 3, og likningen x = 3 har dermed ingen løsning. I eksempelet foran ser vi at en andregradslikning kan ha to, én eller ingen løsninger.? Oppgave 4.30 Løs likningene. a) x = 9 b) 4x = 0 4x c) 5 = 0 d) x = 4 e) 3x + 1 = 1 Oppgave 4.31 Løs likningene. a) (x + 1) = 10 b) 3x + = x 4 c) (x 1) = 4 d) (x + ) = 1 Oppgave 4.3 a) Et kvadrat har arealet 18 cm. Hvor lange er sidene i kvadratet? b) En sirkel har arealet 1,56 m. Hvor stor er radien i sirkelen? c) En sirkel har det samme arealet som et kvadrat der sidene er 5 cm lange. Finn radien i sirkelen. 99

Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså ett av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik: Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Vi bruker produktregelen når vi skal løse andregradslikninger uten konstantledd. EKSEMPEL Løs likningen x 3x = 0 og sett prøve på svaret. Løsning: Vi setter x utenfor en parentes. x 3x = 0 (x 3) x = 0 Når produktet av disse to tallene er null, må ett av tallene være null. x 3 = 0 eller x = 0 x = 3 eller x = 0 Vi får to løsninger: x = 3 og x = 0. Nå setter vi disse verdiene inn i x 3x = 0 for å se om vi har regnet riktig. x = 3 gir x 3x = 3 3 3 = 9 9 = 0 x = 0 gir x 3x = 0 3 0 = 0 0 = 0 Begge x-verdiene passer.? Oppgave 4.33 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x(x ) = 0 b) x + 3x = 0 c) x 4x = 0 d) 5x + 3x = 0 Oppgave 4.34 Løs likningene grafisk og ved regning. a) x + x + 3 = x + 7 b) x + x + 3 = 4x + 3 100 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

4.4 Andregradsformelen Ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrater kan vi utlede en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregradslikning. Vi kaller den andregradsformelen. Utledningen av formelen finner du på slutten av dette delkapittelet. Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene x = b ± b 4ac a når b 4ac 0. Vi viser nå hvordan vi bruker denne formelen til å løse andregradslikninger. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 3x + 5x = 0 b) x 6x = 9 c) x + x + 3 = 0 Løsning: a) Når vi sammenlikner likningen 3x + 5x = 0 med likningen ax + bx + c = 0, ser vi at a = 3, b = 5 og c =. Vi setter inn i andregradsformelen. 3x + 5x = 0 x = 5 ± 5 4 3 ( ) 3 5 ± 5 + 4 x = 6 5 ± 49 x = 6 x = 5 ± 7 6 x = 5 + 7 6 x = 6 x = 1 3 eller x = 5 7 6 eller x = 1 6 eller x = 101

b) Vi ordner først likningen slik at vi får 0 på høyre side. Deretter bruker vi andregradsformelen. x 6x = 9 x 6x + 9 = 0 Her er a = 1 fordi x = 1 x. Videre er b = 6, og c = 9. x = ( 6) ± ( 6) 4 1 9 1 x = 6 ± 0 x = 6 + 0 x = 3 eller x = 3 x = 3 eller x = 6 0 Denne likningen har bare én løsning. Det kommer av at x 6x + 9 er et fullstendig kvadrat. c) x + x + 3 = 0 a = 1, b =, og c = 3. ± x = 4 1 3 1 ± 4 1 x = ± 8 x = Likningen har ingen løsning. Kvadratrota av 8 fins ikke. Derfor er det ingen løsning på likningen.! Vi kan løse alle typer andregradslikninger med andregradsformelen, også likninger med to ledd. Men slike likninger løser vi enklere med metodene i kapittel 4.3. Vi kan også løse andregradslikninger digitalt. Finn framgangsmåter på nettsidene eller bak i boka.? Oppgave 4.40 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 5x + 6 = 0 b) x + x 1 = 0 c) x 4x + = 0 d) x x + = 0 e) 6x 17x + 1 = 0 10 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

? Oppgave 4.41 Løs likningene. a) x 4x = b) x x = x c) x x + 1 = x + 1 Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Finn nullpunktene grafisk. b) Finn nullpunktene ved regning. Bevis for andregradsformelen Vi skal nå bevise andregradsformelen. I den generelle andregradslikningen ax + bx + c = 0 er a, b og c tre tall, og a er ikke lik 0. Vi omformer først likningen og danner et fullstendig kvadrat. Deretter løser vi den generelle likningen. Først flytter vi konstantleddet over på høyre side av likhetstegnet. ax + bx = c Deretter deler vi alle leddene med tallet a foran x. x + b a x = c a Nå legger vi til ( b ) på begge sidene av likhetstegnet. a x + b a x + ( b a ) = ( b a ) c a a ) = b 4a c a a ) = b 4a 4a c 4a a a ) = b 4ac 4a d 4a ( x + b ( x + b ( x + b ( x + b a ) = der d = b 4ac. Venstre side er et fullstendig kvadrat. Tallet d kaller vi diskriminanten (avgjøreren, den som skiller) til likningen. Det er nemlig d som avgjør om vi kan løse likningen eller ikke. Dersom d ikke er negativ, kan vi regne ut d. 103

Da får vi x + b a = ± d 4a x + b a = ± d a x = b a ± d a x = b ± d a Vi setter inn for diskriminanten d og får b ± b x = 4ac a Vi har bevist andregradsformelen. 4.5 Praktisk bruk av andregradslikninger Andregradslikninger får vi bruk for i praktiske sammenhenger. Noen ganger har begge løsningene av andregradslikningen praktisk betydning. I andre tilfeller er det bare én av løsningene som kan brukes. EKSEMPEL I et rektangel er den korteste siden 3 cm kortere enn den lengste. Hvor lange er sidene når arealet av rektangelet er 108 cm? Løsning: Vi setter lengden av den lengste siden lik x cm. Lengden av den korteste siden blir (x 3) cm. 108 cm (x 3) cm x cm 104 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

Arealet i kvadratcentimeter blir A(x) = x (x 3) = x 3x Ettersom arealet er 108 cm, får vi likningen x 3x = 108 x 3x 108 = 0 x = ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 108) 1 x = 3 ± 441 x = 3 ± 1 x = 4 eller x = 18 x = 1 eller x = 9 En side i et rektangel kan ikke ha negativ lengde. Oppgaven har bare løsningen x = 1. Den lengste siden er 1 cm, og den korteste er 1 cm 3 cm = 9 cm.? Oppgave 4.50 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 10t a) Når er steinen m over bakken? b) Når er steinen 5 m over bakken? c) Når er steinen 7 m over bakken? d) Bruk utregningene ovenfor til å finne ut hvor høyt kastet var. Oppgave 4.51 Et rektangulært jordstykke har omkretsen 380 m og arealet 8800 m. a) Vis at dersom den ene siden er x meter, så er den andre siden (190 x) meter. b) Forklar hvorfor arealet er gitt ved A(x) = x(190 x) c) Vis at x må være en løsning av andregradslikningen x 190x + 8800 = 0 d) Regn ut lengden og bredden av jordstykket. 105

4.6 Ikke-lineære likningssett I kapittel 3.7 lærte vi innsettingsmetoden. Den kan vi også bruke til å løse likningssett der en likning er av andre grad. EKSEMPEL Løs likningssettet ved regning. x y = 3 x x + y = 1 Løsning: Vi finner et uttrykk for y fra en av likningene. Vi velger å finne y fra den andre likningen. x x + y = 1 y = x + x + 1 Vi setter nå inn dette uttrykket for y i den første likningen. x y = 3 x ( x + x + 1) = 3 x + x x 1 = 3 x = 4 x = eller x = x = gir y = x + x + 1 = + + 1 = 4 + 4 + 1 = 1 x = gir y = x + x + 1 = ( ) + ( ) + 1 = 4 4 + 1 = 7 Løsningen er x = og y = 1 eller x = og y = 7 I eksempelet ovenfor har vi to løsninger. x = og y = 1 hører sammen og er én løsning. x = og y = 7 er den andre løsningen.? Oppgave 4.60 Løs likningssettene. a) x y = 1 b) x y = 1 c) x + 5x + y = 6 x + 4x + y = 3 x 3x + y = 4x + y = 5 106 I de likningene vi har løst til nå, forekommer x og ikke y. Vi kan også løse likninger der både x og y er med i en av likningene. Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

EKSEMPEL Løs likningssettet. 3x + y = 3 3x y = 9 Løsning: Først finner vi et uttrykk for y ut fra den første likningen. y = 3 3x Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x (3 3x) = 9 3x (9 18x + 9x ) = 9 3x 9 + 18x 9x = 9 6x + 18x = 9 + 9 6x(x 3) = 0 6x = 0 eller x 3 = 0 x = 0 eller x = 3 Det fins to x-verdier som er løsning. For hver x-verdi regner vi ut en tilhørende y-verdi. x = 0 gir y = 3 3x = 3 3 0 = 3 x = 3 gir y = 3 3x = 3 3 3 = 3 9 = 6 Løsningen er x = 0 og y = 3 eller x = 3 og y = 6? Oppgave 4.61 Løs likningssettene. a) x + y = 10 b) x + y = x + y = 5 x 4x + y 6y = 4 Det finnes digitale hjelpemidler som løser slike likningssett. Du finner hjelp for noen slike hjelpemidler på Sinus-sidene på nettet.? Oppgave 4.6 Løs likningssettet på så mange måter som mulig. x 3x + y = x + 4x y = 4 107

4.7 Nullpunkter og faktorisering I kapittel.9 lærte vi å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater. Vi faktoriserte blant annet x 1x + 10 og fant ut at x 1x + 10 = (x 1)(x 5) Uttrykkene på høyre og venstre side av likhetstegnet er like for alle verdier av x. Høyre side har nullpunktene x = 1 og x = 5. Dermed må venstre side også være null når x = 1 og når x = 5. Dette kan vi utnytte når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med to nullpunkter, for førstegradsfaktorene må ha de samme nullpunktene som andregradsuttrykket. Vi finner først null punktene til andregradsuttrykket og bruker dem til å sette opp førstegradsfaktorene. Noen andregradsuttrykk har bare ett nullpunkt. Uttrykket x x + 1 er et eksempel på det. Det eneste nullpunktet er x = 1. Men x x + 1 er et fullstendig kvadrat, for x x + 1 = (x 1) Dermed kan vi bruke nullpunktet når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med bare ett nullpunkt. Vi må ta med førstegradsuttrykket to ganger. Alle førstegradsuttrykk har nullpunkter. Et andregradsuttrykk som er et produkt av førstegradsfaktorer, har altså nullpunkter. Et andregradsuttrykk uten nullpunkter kan vi dermed ikke skrive som et produkt av førstegradsfaktorer. Dersom ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. a) x 4x 6 b) x 5x + 7 c) x 1x + 18 108 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

! Løsning: a) Først bruker vi andregradsformelen og finner nullpunktene. x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 4 x = 4 ± 8 4 x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Husk å ta med tallet foran x i faktoriseringen. b) Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 5x + 7 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 1 7 x = 5 ± 5 8 = 5 ± 3 3 fins ikke, og likningen har derfor ikke noe nullpunkt. Uttrykket kan ikke være et produkt av to førstegrads faktorer. Det er ikke mulig å faktorisere uttrykket. c) Vi bruker andregradsformelen eller digitale hjelpemidler og finner nullpunktene til uttrykket x 1x + 18. Uttrykket har bare det ene nullpunktet x = 3. Det gir faktoriseringen x 1x + 18 = (x 3)? Oppgave 4.70 Faktoriser uttrykkene. a) x 8x + 1 b) x 3x + c) x 4x 30 d) 6x 5x + 1 Oppgave 4.71 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. Løs oppgaven ved regning og digitalt. a) x 6x + 8 b) x 6x + 9 c) x 6x + 10 d) x 6x Oppgave 4.7 For hvilke verdier av c er det mulig å faktorisere uttrykket x 3x + c? 109

4.8 Andregradsulikheter I kapittel 3.8 lærte vi hvordan vi kan løse lineære ulikheter ved hjelp av regneregler som likner de reglene vi bruker når vi skal løse likninger. Når vi arbeider med ulikheter som ikke er lineære, må vi bruke helt andre metoder. Vi bestemmer fortegnet til uttrykket ved hjelp av ei fortegnslinje. La oss tenke oss at vi ønsker å undersøke hvordan fortegnet til uttrykket x + 3 varierer med x. Vi vil finne ut hvor x + 3 er negativt, hvor x + 3 er null, og hvor x + 3 er positivt. Negativt område for x + 3: x + 3 < 0 når x < 3 Nullpunkt for x + 3: x + 3 = 0 når x = 3 Positivt område for x + 3: x + 3 > 0 når x > 3 Så lager vi ei tallinje der vi markerer nullpunktet til x + 3. Deretter lager vi ei fortegnslinje for uttrykket x + 3: 6 5 4 3 1 0 x x + 3 0 På slike fortegnslinjer bruker vi disse symbolene: 0 markerer nullpunktene til uttrykket ------- markerer at uttrykket er negativt markerer at uttrykket er positivt EKSEMPEL Lag ei fortegnslinje for uttrykket x + 6. Løsning: Først finner vi nullpunktet til uttrykket. Denne utregningen gjør vi ofte i hodet. x + 6 = 0 x = 6 x = 3 Når x > 3, blir x + 6 et negativt tall. Når x < 3, blir x + 6 et positivt tall. Det gir denne fortegnslinja: 1 0 1 3 4 5 6 x x + 6 0 110 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

? Oppgave 4.80 Lag fortegnslinje for uttrykkene. a) x 3 b) x + 4 c) x + d) 3x + 9 Ulikheten x 4x 6 < 0 er et eksempel på en andregradsulikhet. Når vi skal løse slike ulikheter, får vi bruk for å faktorisere andregradsuttrykk. Vi kan da enten bruke metoden med fullstendige kvadrater eller bruke nullpunktene slik vi lærte i kapittel 4.7. Nå skal vi faktorisere andregradsuttrykket x 4x 6. Vi velger å utnytte nullpunktene og bruker derfor andregradsformelen. x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 4 x = 4 ± 8 4 x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Så lager vi fortegnslinje for hver av faktorene, (x + 1) og (x 3) og setter dem under hverandre i det samme skjemaet. 3 1 0 1 3 4 5 x x + 1 0 x 3 0 (x + 1)(x 3) 0 0 Nå utnytter vi fortegnsreglene for tallregning. Når x > 3, er alle tre faktorene positive, og produktet er da positivt. Se den røde linja nederst. Når x er et tall mellom 1 og 3, er det én negativ faktor og to positive. Da blir produktet negativt. Når x < 1, har vi to negative faktorer og én positiv. Da blir svaret positivt, og vi tegner sammenhengende rød linje. Når x = 1 og når x = 3, er en faktor lik null, og da blir produktet null. Vi har dermed funnet fortegnslinja til (x + 1)(x 3). Ettersom x 4x 6 er lik (x + 1)(x 3) for alle verdier for x, er dette også fortegnslinja for x 4x 6. 111

Vi skulle løse ulikheten x 4x 6 < 0 og må da finne ut hvor vi har stiplet linje på forrige side. Det er mellom 1 og 3. Løsningen er x 4x 6 < 0 når 1 < x < 3 EKSEMPEL Løs ulikheten x + x 3 > 3x + 5 Løsning: Vi ordner ulikheten ved å samle alle leddene på venstre side. x + x 3 > 3x + 5 x + x 3 3x 5 > 0 x x 8 > 0 Vi bruker andregradsformelen eller digitale hjelpemidler og finner nullpunktene x = 4 og x =. Dermed er x x 8 = (x 4)(x + ) Ulikheten blir (x 4)(x + ) > 0 Nå tegner vi fortegnslinjer for faktorene x 4 og x + og lager deretter ei fortegnslinje for (x 4)(x + ) ved å utnytte at to negative faktorer gir et positivt svar, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt svar, og at to positive faktorer gir et positivt svar. 4 3 1 0 1 3 4 5 6 x x 4 x + (x 4)(x + ) 0 0 0 0 Vi skulle finne de verdiene av x der (x 4)(x + ) > 0. Da må vi plukke ut de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. (x 4)(x + ) > 0 når x < eller x > 4. Ulikheten vi begynte med, har den samme løsningen: x + x 3 > 3x + 5 når x < eller x > 4. 11 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

EKSEMPEL Løs ulikheten x 4x + 6 > 0 Løsning: Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 4x + 6 = 0 x = 4 ± 16 4 x = 4 ± 8 Kvadratrota av 8 fins ikke. Dermed har ikke x 4x + 6 noen nullpunkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn. Uttrykket er dermed enten positivt for alle verdier av x, eller så er uttrykket negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi av x. Vi velger x = 0. Det gir x 4x + 6 = 0 4 0 + 6 = 6 Ettersom uttrykket er positivt for x = 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x. x 4x + 6 > 0 for alle x. Det kan du også se ved å tegne grafen til funksjonen f(x) = x 4x + 6? Oppgave 4.81 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 5x + 6 > 0 b) x + x < 0 c) x + x 1 0 d) x x + 6 0 Oppgave 4.8 Løs ulikhetene. a) 6x 5x + 1 < 0 b) x 4x + 4 > 0 c) x + 6x 9 0 d) x 8x + 9 < 0 113

4.9 Rasjonale funksjoner Funksjonen f gitt ved f(x) = x + 1 x 1 kaller vi en rasjonal funksjon. Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynomer i telleren og nevneren. En brøk er ikke definert når nevneren er null. Funksjonen f er ikke definert når x 1 = 0 x = 1 Det er ikke mulig å regne ut noen funksjonsverdi for x = 1. Vi regner ut f(x) for noen verdier nær x = 1. Først ser vi på hva som skjer når x nærmer seg 1 og er litt mindre enn 1 og deretter på noen verdier når x er litt større enn 1. x 0,97 0,98 0,99 0,999 0,9999 f(x) 98 148 98 998 9 998 x 1,03 1,0 1,01 1,001 1,0001 f(x) 10 15 30 300 30 00 Funksjons verdiene i tallverdi vokser ut over alle grenser når x nærmer seg 1. Vi sier at funksjonen f har et bruddpunkt for x = 1. En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null. Nå ser vi hva som skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av x. x 10 100 1000 x 10 100 1000 f(x),33,03,003 f(x) 1,73 1,97 1,997 Det kan se ut som om funksjonsverdiene nærmer seg for store tallverdier av x. Det kan vi også finne ved regning. Når x har stor tallverdi, er brøken x + 1 x omtrent lik x. Da er x 1 f(x) = x + 1 x 1 x = x 1 = Dette viser at f(x) er nær når x blir et stort tall. For store tallverdier av x vil grafen nærme seg linja y =. Før vi tegner grafen, tegner vi den horisontale linja y =. Vi tegner også ei vertikal linje gjennom bruddpunktet x = 1. 114 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

Da blir det lettere å tegne grafen etterpå, fordi grafen nærmer seg disse linjene når vi går utover i koordinatsystemet. Grafen ser du til høyre. Grafen nærmer seg den horisontale linja y = og den vertikale linja x = 1. Slike rette linjer som en graf nærmer seg, kaller vi asymptoter. Denne grafen har en horisontal asymptote y = og en vertikal asymptote x = 1. 8 6 4 8 6 4 4 6 8 y 4 6 8 x? Oppgave 4.90 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 3 x a) Finn bruddpunktet til f. Hva er likningen for den vertikale asymptoten? b) Hva skjer med funksjonsverdiene når x har stor tallverdi? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? c) Tegn asymptotene og deretter grafen til f. Oppgave 4.91 Funksjonen f er gitt ved f(x) = 3x 5 x 6 a) Finn bruddpunktet. Hva er likningen for den vertikale asymptoten? b) Hva skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av x? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? c) Tegn asymptotene og grafen i et koordinatsystem. Oppgave 4.9 Mari betaler 150 kr i avgift per måned for mobiltelefonen sin. I tillegg betaler hun 0,89 kr per minutt når hun ringer. Utgiftene i kroner per minutt når hun en måned ringer i x minutter, er 0,89x + 150 U(x) = x a) Hva nærmer utgiftene seg per minutt når Mari ringer svært mye? Hva blir likningen for den horisontale asymptoten? b) Tegn grafen til U for x-verdier mellom 0 og 000. c) Hva koster telefonen per minutt hvis Mari en måned ringer i 00 minutter? d) Hvor mye må Mari ringe hvis utgiftene per minutt skal bli kr? 115

SAMMENDRAG Polynom Et polynom er et uttrykk av typen x 3 + 3x x + 5. Dette polynomet er av grad 3. Funksjon Vi sier at y er en funksjon av x dersom hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Parabel Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Definisjonsmengden D f Definisjonsmengden D f til funksjonen f er alle de verdiene som vi kan velge for x. Verdimengden V f Verdimengden V f til funksjonen f er alle de funksjonsverdiene f(x) vi får når x D f. Nullpunkt x er et nullpunkt for f dersom f(x) = 0. Produktregelen Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene b ± b x = 4ac a når b 4ac 0. 116 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrykk

Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom andregradsuttrykket ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. Rasjonal funksjon Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynom i telleren og nevneren. Bruddpunkt En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null. Asymptoter En asymptote er ei rett linje som en graf nærmer seg når vi går utover i koordinatsystemet. En rasjonal funksjon som har et bruddpunkt for x = a, har til vanlig en vertikal asymptote for x = a. 117