FoU i Praksis 2012 Samandrag av artiklane frå konferanse om praksisretta FoU i lærerutdanning Trondheim, 23. og 24. april 2012 Redigert av Ingar Pareliussen, Bente Bolme Moen, Anne Beate Reinertsen og Trond Solhaug
Hovik, E.A & Solem, I.H (2013) In: Pareliussen, I., Moen, B.B., Reinertsen A., Solhaug, T.: FoU i praksis 2012 conference proceedings, Akademika forlag Trondheim, pp. 120-126 Argumentasjon, begrunnelse og bevis på barnetrinnet Ellen Konstanse Hovik og Ida Heiberg Solem Bevis i matematikk har i skolen tradisjonelt vært knyttet til høyere klassetrinn. Imidlertid hevder mange forskere at vi bør begynne langt tidligere for å gjøre elevene fortrolig med å begrunne og forklare sine resonnementer. I følge læreplanen LK06 er lærere også forpliktet til dette i arbeidet med de grunnleggende ferdigheter i matematikk der elevene skal «...gjere seg opp ei meining, stille spørsmål, argumentere og forklare ein tankegang ved hjelp av matematikk». I denne sammenheng er det relevant å se på hva det å bevise på barnetrinnet kan innebære. Hvordan argumenterer og begrunner elever sine løsninger? I hvilken grad kan vi si at deres argumentasjon tilfredsstiller krav til bevis på dette nivået? Innledning Når man skal bevise noe så skal man forklare noe til noen andre. Det er nesten som når vi skal begrunne noe i filosofi. Vi forteller hvorfor noe er det. Det er ikke nok å si at det er sånn, vi må si hvorfor (Jacob 3. trinn). I nyere matematikkdidaktikk vektlegges matematikkundervisning med fokus på å gi elevene utforskende oppgaver. Åpne oppgaver og oppgaver med flere mulige løsninger er eksempler på dette. Det at en oppgave har flere løsninger åpner igjen for spørsmål av typen: hvor mange løsninger? Hvordan kan vi være sikre på at vi har funnet alle svar? Kan dette bevises? Ofte «dukker» bevis først opp på ungdomstrinnet som noe uventet og ukjent for elevene. Mange forskere har understreket viktigheten av at bevis og bevisføring må være en del av hele skoleløpet (Stylianides 2009). Det å bevise bidrar ikke bare til forståelse av at noe er sant, men også hvorfor det er sant (Yackel & Hanna 2003). Research shows that engangement in proving can support even elementary school students to explore why things work in mathematics and reconcile their mathematical disagreements in meaningsfull ways thus providing them with a solid basis for conceptual understanding (Stylianides & Ball 2008 s. 309). I læreplanen LK06 står det under grunnleggende ferdigheter i matematikk at elevene skal:... stille spørsmål, argumentere og forklare ein tankegang ved hjelp av matematikk» «... vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte problem og løysingsstrategiar med andre...» og lage «teikningar, skisser, figurar, tabellar og diagram (Kunnskapsdepartementet 2006, s 26). I våre videreutdanningskurs har vi vektlagt hvordan vi kan arbeide med argumentasjon og bevis i grunnskolen. I den forbindelse har studentene fått i oppdrag å prøve dette ut i praksis. I denne artikkelen presenterer og drøfter vi elevers arbeid med argumentasjon og bevis på barnetrinnet med bakgrunn i disse oppdragene. Vår problemstilling er: Hvordan argumenterer og begrunner elevene sine løsninger? I hvilken grad kan vi si at deres argumentasjon tilfredsstiller krav til bevis på dette nivået? Høgskolen i Oslo og Akershus
Kommunikasjon har de siste årene fått en stadig mer sentral rolle i læreplanene i matematikk (Skott, Jess, & Hansen 2010, Schwarz, & Prusak 2010). Begrunnelser og argumentasjon er en sentral del av matematikken, og vil danne et viktig grunnlag for hvordan meningsdanning og forståelse utvikles i et klasserom (Balacheff 1991, Schwarz & Prusak 2010). En viktig hensikt med å arbeide med begrunnelser, bevis og bevislignende aktiviteter på barnetrinnet er at elevene lærer å argumentere i matematikk («learn to argue») og lærer matematikk ved å argumentere («argue to learn») (Cramer 2011). Vesentlige aspekter knyttet til dette er nettopp å resonnere og kommunisere sitt resonnement til andre, begrunne og gjøre rede for sin tankegang underveis mot en løsning. I skolesammenheng kan det ofte være vel så viktig som selve løsningen. Schwarz & Prusak (2010) skiller mellom forklarende og argumenterende aktiviteter. Forklarende aktiviteter innebærer at ideer blir oppklart og forklart, men ikke stilt spørsmål ved mens argumenterende aktivitet kjennetegnes ved antagelser og formodninger. Det utforskende stadiet er argumenterende par excellence (Schwarz & Prusak 2010). Det er mulig å bygge bro mellom matematisk utforskning og bevis gjennom passende argumentering: «When the bridge is constructed, proving becomes an exciting adventure...» (Schwarz & Prusak 2010 s.124). Bevis er en viktig del av den formelle matematikken og brukes blant annet til å verifisere, forklare, systematisere, oppdage, kommunisere og til utprøving av definisjoner og av konsekvenser av antagelser (Yackel & Hanna 2003). Stylianides (2009) understreker bevisets potensiale i klasserommet: A proofs potensial to promote understanding and conviction is one of the main reasons for which proof is so important for students learning of mathematics (Stylianides 2009 s. 10). Dette er et potensiale som kan utnyttes også på barnetrinnet. Et bevis på dette trinnet vil skille seg fra et matematisk bevis på høyere klassetrinn, både hva representasjon, oppgave og bevistype angår. Stylianides (2007) bruker bevis i en klasseromskontekst for å beskrive en matematisk argumentasjon som oppfyller følgende kriterier: 1. bruker etablerte utsagn eller definisjoner som er allment akseptert av elevgruppen 2. benytter argumentasjonsmåter og resonnementer som er gyldige, kjente eller mulige å forstå (within the conceptual reach of) for elevgruppen 3. kommuniseres med uttrykksformer som er passende, kjente eller mulige å forstå (within the conceptual reach of) for elevgruppen (Stylianides 2007 s. 309 vår oversettelse) Han begrunner at disse kriteriene på et bevis er hensiktsmessige fordi a) de tar hensyn både til matematikk som disiplin og til elever som matematikklærende, b) de tilbyr en konsistent betydning av bevis gjennom hele skoleløpet/studieløpet, c) de er med på å forhindre at empirisk argumentasjon godtas som bevis og d) de støtter analyse av klasseromssituasjoner relatert til bevis og studiet av lærers rolle i å styre/administrere elevenes bevisaktiviteter (Stylianides 2007). Oppgaven som er utgangspunkt for vår analyse har et overkommelig antall mulige løsninger. Det betyr at elevene kan finne alle løsningene ved å prøve seg fram. Stylianides (2009) peker på faren for at elever kan ende opp med en empirisk argumentasjon fremfor et bevis gjennom bruk av eksempler som gir bekreftende, men allikevel ufullstendig evidens for at en matematisk påstand er sann. Eksempler på slike argumenter er at «vi har prøvd og prøvd og finner ikke fler», «alle har funnet de samme». Men det er først når de kan begrunne sin løsning gjennom en systematisk gjennomgang av alle muligheter at de har gjennomført et bevis (Stylianides 2007, Stylianides & Ball 2008). Denne systematiske gjennomgangen kan ha ulike uttrykk som f.eks en tabell eller strukturert liste, tegninger og figurer, muntlige og skriftlige forklarende tekster (Stylianides 2007, Stylianides 2009). Metode Våre data er hentet fra et videreutdanningsstudium for lærere i matematikk for barnetrinnet, Ma 3B (15 studiepoeng). Kurset bygger bl.a. på Ma 2B matematikk for barnetrinnet 30 studiepoeng. Begge kursene har som sentrale mål å styrke samvirke mellom teori og praksis gjennom at lærernes egen praksis Fou i Praksis 2012 conference proceedings 121
er et sentralt element og sentreringspunkt i teoriundervisningen. Ma 3B er organisert i tre samlinger og i etterkant av hver samling får studentene et oppdrag som innebærer at de skal planlegge og gjennomføre et undervisningsopplegg knyttet til tema på samlingen som så drøftes opp mot teori i en skriftlig innlevering. Undervisningen gjøres i egen klasse. Planlegging, drøfting og refleksjon i etterkant gjøres i grupper på 3 eller fire. Vi har valgt fem oppdrag fra samlingen der vi arbeidet med bevis. Utgangspunktet er at alle fem studentgruppene har valgt å inkludere en oppgave hentet fra Stylianides & Ball (2008): Per har mange mynter i lommen. Han har enkroner, femmere og tikroner. Han tar ut to mynter. Hvilke beløp kan han få? Eksemplene er fra ulike klassetrinn (2.,3.,5.,6. og 7.trinn). Resultat En klasse på 3. trinn har arbeidet med myntproblemet. Simen og Pio har dokumentert sine løsninger av oppgaven som vist under (Figur 1). Vi ser av teksten at de to guttene har et tydelig system i sin leting. De starter med å ta to tiere, deretter to femmere og tilslutt to enere. Deretter kombinerer de to og to ulike mynter. (Figur 1). Elevene forsøker også å begrunne at de har funnet alle mulige kombinasjoner gjennom å vise hvilke som er «brukt», men ender allikevel med en empirisk argumentasjon ved å skrive «vi finer ike mer» (figur 2). Ane, fra samme klasse, argumenterer på følgende vis: Ane: Inga: Ane: Jeg gjorde det sånn og da tror jeg at jeg kan være sikker på at det ikke finnes flere løsninger: Jeg satte først opp: en pluss en er lik to, en pluss fem er lik seks og en pluss ti er lik elleve. Da har jeg liksom brukt opp enerne. Så tok jeg fem pluss fem er lik ti og fem pluss ti er lik femten Hva med fem pluss en er lik seks? Den har du ikke tatt med. Jo. Jeg har en pluss fem er lik seks og det er det sammen som fem pluss en er lik seks. Jeg fortsatte med å ta ti pluss ti er lik tjue. Nå har jeg seks løsninger. Og jeg kan ikke trekke flere mynter. Figur 1: Simen og Pios løsning, 3.trinn Ane viser her en systematisk gjennomgang av alle kombinasjoner der hun gjør det tydelig at det ikke finnes flere muligheter. Hennes argumentasjon holder dermed som bevis. Ane kommuniserer sin begrunnelse på en måte som klassen forstår og kan nyttiggjøre seg, hvilket kommer til uttrykk gjennoms Simens respons (Figur 1 og Figur 2). Simen: Det var lurt. Det ble et system når vi trakk og da kan vi se at det ikke finnes flere løsninger. Anes redegjørelse gir Simen den hjelpen han trenger for å komme videre fra sin egen empiriske argumentasjon og viser hvordan diskusjon i klasserommet kan skape mening og forståelse (Schwarz & Prusak 2010) På 2. trinn har en elevgruppe kommet fram til følgende. Fou i Praksis 2012 conference proceedings 122
Figur 2: Simen og Pios begrunnelse. 3.trinn Hennie: Sander: Dette var litt vanskelig og litt lett, men vi har kanskje ikke funnet alle, men kanskje vi har det. Foratte nå har Sander stryki ut tall vi har tatt flere ganger. Også har vi brukt opp alle pengene... tror vi da... Da har vi sett og sett og det kan ikke være fler enn seks tall, for ellers må vi bare skrive de en gang til og en gang til! Og da er det ikke noe vits i å lete mer Vi ser at elevene argumenterer empirisk: Etter hvert dukker bare de samme tallene opp. Men teksten deres viser at de ikke har en tilfeldig gjennomgang av mulige kombinasjoner. De har startet med to og to ulike mynter og fortsetter med to og to like. Når de får svar de har fra før, strykes disse. Når Hennie sier at «vi har brukt opp alle pengene... tror vi da...», kan det være alle mulighetene eller kombinasjonene hun viser til. Morten og Tor på 5. trinn har kommet fram til seks ulike løsninger og Morten kommer fram til tavla for å vise hva de har gjort ( Figur 4). Han starter med å skrive opp mulighetene systematisk: først alle kombinasjoner med 10 (10 + 5, 10 + 1 osv), med 5 og med 1 i alt ni. Deretter regner han ut svarene men hopper over de summene han alt har fått. Guttene har med andre ord benyttet en form for organisert liste. Den påfølgende argumentasjonen deres er deskriptiv og empirisk: «Vi plusser først med tikroner til det ikke er flere igjen, så med femkroner og så med enkroningene». Disse guttene opplever med stor sannsynlighet at formuleringen «til det ikke er flere igjen» er en tilstrekkelig begrunnelse. Det å begrunne antall løsninger empirisk og deskriptivt, går igjen i mange av elevenes arbeider: Man kan ikke lage flere kombinasjoner, fordi den kombinasjonen som allerede er brukt, kan du ikke gjenta flere ganger (7. trinn). Det er bare tre tall, 1,5 og 10, da blir det bare seks forskjellige beløp. Jeg bruker tallene så mange ganger jeg kan (7. trinn). Det fins bare seks kombinasjoner, fordi du kan bare trekke to mynter opp fra lommen uansett hvor mye penger du har (7. trinn) Han kan ta opp seks summer fordi han kan bare trekke opp en mynt tre ganger. Fordi hvis man gjør det flere ganger enn tre, får man lik sum (6. trinn). Det finnes seks forskjellige muligheter fordi jeg har tatt et tall og plusset Figur 3: Sander og Hennie, 2.trinn Fou i Praksis 2012 conference proceedings 123
Figur 4: Morten, 5.trinn Figur 5: Fabians valgtre, 7.trinn med de tre tallene. Men noen blir like, så det blir færre muligheter (6. trinn). Fabian på 7. trinn har en løsning som kan minne om oppsetningen til elevene på 2. og 5. trinn det Stylianides (2007) omtaler som en «organisert liste» (Figur 5): Fabian tegner opp alle kombinasjonene (bruker valgtre, Figur 5) og stryker deretter de som gir samme sum. Læreren spør om vi nå kan være helt sikre på at det ikke finnes flere kombinasjoner. Fabian argumenterer på samme måte som Ane på 3. trinn. På oppfordring fra lærer skriver han begrunnelsen ned (Figur 6). Flere av elevene bruker mer billedlige uttrykk i sine forsøk på å løse oppgaven. Eleven i Figur 7 (7.trinn) har ikke begrunnet tegningen, dermed oppfyller den alene ikke kriteriene for et bevis. Men tegningen er ikke vanskelig å tolke for en lærer: Pilene mellom myntene viser til kombinasjoner av to ulike mynter, pilene tilbake til samme mynt, viser kombinasjoner av to like mynter. 6 piler i alt. En av elevene fra 6. trinn ser ut til å ha tenkt på samme måte, men har i tillegg en forklaring av egen tegning (Figur 8): Formuleringen «hver strek er et regnestykke» gjør at 1 +10 og 10 + 1 vil være samme løsning. I tegningen i Figur 8 er det ikke mulig å tegne flere «nye» streker betyr det at elevens begrunnelse Figur 6: Fabians skriftlige begrunnelse, 7.trinn er holdbar som bevis? Eller må dette eksplisitt uttrykkes med ord for at konklusjonen «det fins ikke flere kombinasjoner» er gyldig? Drøfting Mingus & Grassl (1999) peker på viktigheten av å være åpen for ulike representasjonsformer, tilnærminger og nivå i arbeidet med bevis i skolen. Vi ser at elevene i vårt materiale velger varierte uttrykksformer Fou i Praksis 2012 conference proceedings 124
Figur 7: Tegning fra 7.trinn Figur 8: Tegning med forklaring, 6.trinn når de argumenterer og begrunner sine løsninger. De bruker tall, figurativ framstilling, skriftlige tekster og muntlige forklaringer. Alle elevene finner samtlige løsninger. De har et system i sin leting de starter med å undersøke kombinasjoner av like mynter, for deretter å fortsette med ulike eller omvendt. Kan vi så si at elevenes argumentasjon tilfredsstiller krav til bevis? Mange av elevene begrunner sin løsning empirisk med at «vi finner ikke flere, brukt opp, ikke fler igjen». Imidlertid ser vi at flere elever (blant annet Ane og Fabian) argumenterer på en måte som tilfredsstiller Stylianides tre kriterier for bevis på barnetrinnet: a) De bruker etablerte utsagn som er allment akseptert av elevgruppen, f eks Anes påstand om at når hun har brukt tre kombinasjoner med enkroner, så har hun brukt opp alle enkronemulighetene. b) Argumentasjonsmåten med systematisk gjennomgang av alle kombinasjoner er gyldig og mulig å forstå for elevgruppen. c) Ane og Fabian bruker en uttrykksform som er forståelig for klassen muntlig forklaring og valgtre (Stylianides 2007, Stylianides & Ball 2008). Vår empiri viser hvordan elever på hele barnetrinnet kan engasjeres i argumenterende og resonnerende virksomhet i matematikk. De kan dermed «i fellesskab udvikle specifikt matematiske måder at resonnere på og gradvist udvikle forståelses af, hvad der for eksempel er et godt matematisk argument» (Hansen, Skott, & Jess 2007 s. 527). Det er et mindretall av våre elever som gjennomfører et bevis for antall løsninger, men vi ser av elevenes systematiske gjennomgang at de er svært nær. Dette gjelder elevene på samtlige klassetrinn fra 2. til 7. trinn. Når elever på 2. og 3. trinn kommer så langt med denne oppgaven, er det rimelig å tro at arbeid med slike oppgaver på småskoletrinnet vil kvalifisere elevene for større bevisutfordringer på høyere klassetrinn. Det å legge til rette for en kommunikasjon i matematikkklasserommet som tar utgangspunkt i argumentasjon og begrunnelser, kan bidra til at behovet for det å bevise melder seg (Schwarz & Prusak 2010). Det er ikke presentasjonen av ferdigutviklede bevis som har størst potensiale i skolen, undervisningen bør fokusere på forklarende og kommunikative aspekter ved bevis og resonnementer (Yackel & Hanna 2003, Stylianides 2007, Lampert 2001). Under arbeid med matematikk kan elever komme med påstander som holder eller ikke holder. I den sammenheng kan elevene trenes på å argumentere for sine påstander. «If teachers and students are encouraged to ask «why» or to «explain», a classroom dialogue will develop into the actual underpinnings of a proof. What remains then is practice in writing out this argument» (Mingus & Grassl 1999 s. 443) Det vil også bringe oss bort fra det Lampert (1990) omtaler som skolematematikken:... doing mathematics means following rules laid down by the teacher: knowing mathematics means remembering and applying the correct rule when the teacher asks a question; and mathematical truth is determined when the answer is ratified by the teacher (Lampert 1990 s.32). Lampert påpeker i følge Skott, Jess, & Hansen (2010) at dette står i sterk kontrast til matematikk som akademisk disiplin som i høyere grad kjennetegnes «ved formuleringer av foreløpige formodninger med efterfølgende undersøgelse af, om formodningene kan be- eller afkræftes» (Skott et al 2010 s. 245). Elevenes reaksjon på denne oppgaven viser noe vi kanskje kan ta som et tegn på at de i sterkere grad Fou i Praksis 2012 conference proceedings 125
ønsker en vektlegging i retning av matematisk tenkning: Dette var gøy, det er skikkelig morsomt med sånne lure på oppgaver for da må vi tenke liksom litt annerledes enn når vi skal regne i boka (Sander 2. trinn). Referanser Balacheff, N. (1991). Benefits and limits of social interaction: The case of teaching mathematical proof. I Bishop A., Mellin-Olsen S., Van Dormolen J. (Red), Mathematical knowledge: Its growth through teaching (s175-192). Dordrecht : Kluwer Academic Publisher Cramer, J.(2011). Everyday argumentation and knowledge construction in mathematical tasks, hentet 01.04.2012, fra http://www.cerme7.univ.rzeszow.pl/wg/1/cerme7_wg1_cramer.pdf Hansen, H. C., Skott, J., Jess, K. (2007). Matematik for lærestuderende Ypsilon-bind 2 Fredriksberg C: Forlaget Samfundslitteratur Kunnskapsdepartementet (2006). Læreplanverket for kunnskapsløftet, hentet 20.04.2012, fra http:// www.regjeringen.no/upload/kilde/ufd/prm/2005/0078/ddd/pdfv/255552-lplan_260805. pdf Lampert, M. (1990). When the problem is not the question and the solution is not the answer: mathematical knowing and teaching. American Educational research Journal, 27(1), 29-63 Lampert, M. (2001). Teaching Problems and the Problems of Teaching. New Haven & London: Yale University Press Mingus,T. & Grassl, R. M. (1999). Preservice Teacher Beliefs About Proofs. School Science and Mathematics. 99(8), 438-444 Schwarz, B. B. & Prusak, N. (2010). Argumentation and mathematics. I Littelton, K. og Howe, C. (red), Educational Dialogues - Understanding and Promoting Productive interaction(s103-127). Routledge, New York Skott, J., Jess, K. & Hansen, H.,C. (2010). Matematik for lærerstuderende Delta Fagdidaktikk Fredriksberg C: Forlaget Samfundslitteratur Stylianides, A. J. (2007). Proof and proving in school mathematics. Journal of Research in Mathematic Education, 38, 289-321 Stylianides, A. J. (2009). Breaking the equation «empirical argument = proof». Mathematics Teaching, 213, 9-14. (Available also at the NRICH website.) Stylianides, A. J. & Ball, D. L. (2008). Understanding and describing mathematical knowledge for teaching: knowledge about proof for engaging students in the activity of proving. Journal of Mathematics Teacher Education, 11,307 332 Yackel, E. & Hanna, G. (2003). Reasoning and Proof. I Kilpatrick, J., Martin, W., G.,Schifter, D. (Red). A research companion to Principles and Standards for School Mathematics (s 227 236). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics Fou i Praksis 2012 conference proceedings 126
FoU i Praksis 2012 konferanse om praksisretta FoU i lærerutdanning Den tiande FoU i praksis-konferansen fann stad i Trondheim 23. og 24. april 2012 og vart arrangert av Dronning Mauds Minne Høgskole for førskulelærarutdanning. Sidan den fyrste FoU i praksis i 2002 har konferansen blitt ein viktig møtestad for dei som arbeider i lærar-utdanning og dei som forskar på lærarutdanning og praksisfeltet. I år er artiklane for fyrste gang publisert digitalt på nettet. I tillegg utgis ei papirutgåve med samandrag av dei publiserte artiklane. n www.akademikaforlag.no 9788232 100866 Kunnskapen du trenger Det skapende universitet