8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin. Mntene er på henholdsvis 0 og 0 kroner. Han ber kameraten om å finne ut hvor mange han har av hver sort. I tillegg vil Per at kameraten skal vise matematisk hvordan han kommer fram til svaret. Kameraten prøver seg fram for å finne riktig antall. Han finner ut at Per har fem 0-kroninger og fire 0-kroninger. Dette vil til sammen bli 40 kroner ð 0 þ 4 0 ¼ 40Þ. Kameraten har lært seg å løse likninger, men han er litt usikker på hvordan man takler uoppstilte likninger. Han tenker slik: antall 0-kroninger: antall 0-kroninger: 9 Verdien av 0-kroninger er antallet multiplisert med 0. Har Per for eksempel fire mnter à kr 0, vil dette til sammen bli kr 80. Verdien av de to mntsortene kan settes opp på to måter, og kameraten setter opp følgende likning: 0 þð9 Þ0 ¼ 40 6

MATEMATIKK: 8 Likninger med to ukjente rette linjer Løsning gir 0 þ 90 0 ¼ 40 0 0 ¼ 40 90 0 ¼ 0 ¼ Per har fem mnter à kr 0 og ð9 Þ ¼fire mnter à kr 0. Dette problemet kan også løses på en annen måte, noe kameraten ikke har lært. Her har vi egentlig to ukjente: antall mnter à kr 0 og antall mnter à kr 0. Bruker vi to ukjente, kaller vi de ukjente for henholdsvis og. Vi kan strukturere problemstillingen og sette opp Dette gir likningene: 0-kroninger 0-kroninger Sum Antall: 9 Verdi: 0 0 40 I þ ¼ 9 0 þ 0 ¼ 40 Innsettingsmetoden Det er ulike måter å løse dette likningssettet på. Vi velger å bruke innsettingsmetoden, fordi det på lang sikt vil lønne seg å kunne denne metoden (hvis man skal fortsette med matematikk). Fra likning I kan vi finne et uttrkk for, dvs. ¼... Dette uttrkket kan settes inn i likning. Det vil si at bttes ut med det uttrkket vi fant i likning I. I 0 ¼ 9 0 0 þ 0ð9 Þ ¼40 0 þ 90 0 ¼ 40 0 ¼ 0 ¼ dvs. fem mnter à kr 0. Vi setter inn i I 0 for å finne antall 0-ere: ¼ 9 ¼ 4 dvs. fire mnter àkr0 Vi fikk selvfølgelig samme svar som foran. 7

Eksempel Løs dette likningssettet: ¼ ^ þ ¼ 0 ð^ betr «og»þ Løsningsforslag Vi kaller ¼ for likning I og den andre for likning. I ¼ þ ¼ 0 Vi btter ut i likning med fra likning I. Dette gir þ ¼ 0 ¼ 0 ¼ ¼ Vi setter inn for ii: ¼ ¼ 0. Løsning: ¼ ^ ¼ 0 Eksempel Løs dette likningssstemet: I þ ¼ 7 4 ¼ Løsningsforslag Her er det enklest å finne et uttrkk for i likning : 0 ¼ 4 þ ¼ 4 Innsatt i I: þ ð4 Þ ¼7 þ 8 4 ¼ 7 ¼ ¼ Vi setter inn for i 0 : ¼ 4 ¼. Løsning: ¼ ^ ¼ 8

MATEMATIKK: 8 Likninger med to ukjente rette linjer Eksempel Løs følgende likningssett: I þ ¼ 0 þ ¼ Dette likningssstemet kan vi nå løse på to måter, først som ovenfor og så på en alternativ måte. Denne måten får vi me bruk for senere. Løsningsforslag Fra likning I kan vi finne et uttrkk for. I 0 ¼ Likning inneholder også leddet og det kan vi btte ut med. þð Þ ¼ þ ¼ ¼ ¼ Vi setter inn for i likning I: þ ¼ 0 ¼ ¼ Løsning: ¼ 4 ¼ ^ ¼ 4 ð ¼, ^ ¼ 0,Þ Alternativ måte: Vi skal etter hvert lære å tegne grafer og løse likningssett grafisk. Da finner vi alltid et uttrkk for. Dette kaller vi å skrive likningene på eksplisitt form ( ¼...): I ¼ j : ¼ ¼ ¼ þ j : ¼ þ ¼ þ 9

Her har vi funnet to uttrkk for, og de to uttrkkene setter vi lik hverandre: ¼ þ þ ¼ þ ¼ Vi setter inn for i en av likningene (det spiller ingen rolle hvilken). La oss velge å sette inn i likning I: ¼ ¼ 4 4 4 ¼ 4 Dette stemmer overens med løsningen vi fikk på den ordinære måten. 8. Grafisk løsning av likningssett Koordinatsstem Mange problemstillinger kan løses ved å bruke matematikk, for eksempel likninger. Vi kan også finne løsninger ved å prøve oss fram og ved å lage oss et bilde av problemet. Likninger kan virke ganske «kjølige» for noen, men hvis en får se et bilde av hva en likning skal uttrkke, vil mange kunne forstå betdningen av å bruke modeller. For noen kan bruk av modeller føre til at de for første gang snes at matematikk er morsomt. For å visualisere et problem bruker vi koordinatsstemer. De fleste kjenner det rektangulære koordinatsstemet, men vi tar likevel en liten repetisjon. Et koordinatsstem består av to tallinjer som står vinkelrett på hverandre. Den vannrette (horisontale) tallinjen kaller vi for førsteaksen (aksen) og den loddrette (vertikale) tallinjen for andreaksen (-aksen). Skjæringspunktet mellom tallinjene kaller vi origo, og både første- og andreaksen har verdien null i origo. For å markere et punkt nøaktig i et koordinatsstem må vi kjenne til to verdier, én -verdi og én -verdi. Skal vi for eksempel markere punktet ð, Þ, betr det at -verdien er og -verdien er. Vi sier at punktet ð, Þ er skrevet på koordinatform. Førsteaksens verdi står alltid først. Vi tegner et koordinatsstem og markerer punktet ð, Þ. 0

MATEMATIKK: 8 Likninger med to ukjente rette linjer 4 (, ) 4 6 Som vi ser av koordinatsstemet, ligger punktet der hjelpelinjene fra ¼ og ¼ krsser hverandre. Vi viser nedenfor hvor punktene A ¼ð, 4Þ, B ¼ð, Þ, C ¼ð0, Þ og D ¼ð4, 0Þ ligger i diagrammet eller koordinatsstemet. B 4 D 4 4 C A NB! Et punkt som D ¼ð4, 0Þ; der andrekoordinaten er null, kaller vi for et nullpunkt for en graf (funksjon). Rette linjer Når vi skal løse likningssstemer grafisk, skriver vi først likningene på eksplisitt form, det vil si på formen ¼... Hvis vi tar for oss eksempel, vil likningene kunne skrives som I ¼ ¼ þ

Vi tegner likning I i et koordinatsstem. Vi bruker «table» på lommeregneren for å finne punkter som vi kan merke av. 4 0 4 Av diagrammet nedenfor ser vi at likningen framstiller en rett linje. 6 4 4 4 4 6 Legg merke til hvor linjen (grafen) krsser -aksen, og hvor me linjen stiger når vi øker -verdien med. Vi gjør det samme for likning. Følgende tabell kan vi få fra «table»-menen: 4 0 4 6 4 4 4 4 Linjen skjærer -aksen i, og den snker med når viøker med (sammenlikn med linje ).

MATEMATIKK: 8 Likninger med to ukjente rette linjer Linjene I og i samme koordinatsstem: 6 4 4 4 4 6 Av diagrammet ser vi at de to linjene krsser hverandre på -aksen, dvs. i punktet der ¼ og ¼ 0, eller ð, 0Þ skrevet på koordinatform. Dette er den grafiske løsningen av likningssettet. Uttrkkene ð Þ og ð þ Þ er altså like når ¼. Verdien av de to uttrkkene er da 0 (null). Løsningen er den samme som vi fikk ved regning. Grafisk løsning av eksempel Likningene for de to linjene kan, som vist ovenfor, skrives som I ¼ Denne linjen skjærer -aksen i, og den stiger med 0, når viøker med (eller stiger med når øker med ). ¼ þ Linjen krsser -aksen i,, og den snker med 0, når vi øker med (snker med når øker med ). De to linjene tegnet i samme koordinatsstem:

4 4 6 7 8 Vi ser av diagrammet at de to linjene skjærer hverandre i punktet der ¼, og ¼ 0,. Dette er det samme som vi fikk ved regning. Skjæringspunktet skrives ð,, 0,Þ eller, 4 på koordinatform. 8. Lineære funksjoner Alle lineære likninger med to ukjente kan skrives på denne formen: ¼ a þ b Grafisk vil a uttrkke hvor me linjen stiger/snker når vi øker med, og b uttrkker hvor linjen krsser (skjærer) -aksen. Eksempel 4 ðþ ¼ 4

MATEMATIKK: 8 Likninger med to ukjente rette linjer Denne linjen krsser -aksen i ð Þ og stiger med når øker med. I koordinatsstemet merker vi først av ð Þ på -aksen, og fra dette punktet teller vi til høre og opp. Da har vi to punkter som vi kan tegne linjen igjennom. ðþ ¼ þ Linjen krsser -aksen i og stiger med ¼ 0,...når øker med. Hvis vi bruker cm som enhet på begge aksene, kan det å telle til høre og 0,... opp bli litt unøaktig. Derfor teller vi til høre og opp. ðþ ¼ þ Linjen krsser -aksen i. Foran står det egentlig ð Þ. Linjen har altså en negativ stigning, dvs. linjen snker mot høre. Fra på -aksen teller vi mot høre og nedover. ð4þ ¼ 7 þ

8 7 6 4 4 7 4 6 7 8 Vi avmerker på -aksen og teller mot høre og 7 nedover. Konklusjon Vi teller alltid mot høre fra et kjent punkt på -aksen. Hvis stigningstallet er positivt, teller vi oppover, og vi teller nedover hvis stigningstallet er negativt. (Vi kan selvfølgelig telle mot venstre, da blir det omvendt med «opp» og «ned». Vi holder oss til én av tellemåtene, ellers blir det «kaos».) Å finne likningen for en rett linje ( ¼ a þ b) Når vi lager matematiske modeller, må vi bl.a. prøve å finne likninger som passer så godt som mulig til gitte data. For eksempel vil en økonomisk samfunnsmodell bestå av flere tusen likninger/sammenhenger og flere tusen variabler. Så omfattende modeller skal vi ikke ha her, men vi skal se på prinsippene bak matematiske modeller. Eksempel Vi skal finne likningen for en rett linje som går gjennom punktet ð, Þ og har stigningstallet. Grafisk løsning 4 6

MATEMATIKK: 8 Likninger med to ukjente rette linjer Vi avmerker punktet ð, Þ i aksesstemet og teller mot høre og opp. Da får vi grafen gitt ovenfor. Vi legger merke til at linjen krsser -aksen i ð Þ. Siden vi vet at stigningstallet er, kan vi ut fra grafen si at likningen for den rette linjen vil bli ¼ ¼ ða ¼ og b ¼ Þ Algebraisk løsning (ved regning) Generell formel for en rett linje er ¼ a þ b. Vi setter inn koordinatene for punktet ¼, ¼ og stigningstallet a ¼ : ¼ þ b ¼ þ b b ¼ Vi har regnet ut at grafen krsser -aksen i ð Þ. Linjens likning: ¼. Eksempel 6 En rett linje med stigningstall går gjennom punktet ð, Þ. Finn likningen for linjen både grafisk og algebraisk (ved regning). Grafisk løsning 4 Merk av punktet ð, Þ, og tell til høre og ned. Trekk linjen gjennom de to punktene (se figur). Linjen krsser -aksen i ca.,. Det kan være vanskelig å se den korrekte verdien. Linjens likning, tilnærmet: ¼ þ eller ¼ 0, þ, 7

Algebraisk løsning Vi setter inn ¼, ¼ oga ¼ i ¼ a þ b: Linjens likning: ¼ ð Þþb ¼ þ b ¼ b ¼ 0 8 ¼ b 8 ¼ 8 : ¼,6 ¼ þ 8 eller ¼ 0, þ,6 Linjen krsser -aksen i,6 og ikke,, som vi leste av (det er ikke så lett å avlese nøaktig,6). I de to foregående eksemplene har vi satt inn tall i ¼ a þ b for å regne ut b. Deretter kunne vi skrive opp likningen for den rette linjen. I det generelle tilfellet kan vi sette inn «tallene» og fra punktet ð, Þ og finne et uttrkk for b: Dette gir Vi får altså formelen ¼ a þ b b ¼ a ¼ a þ a ¼ a a ¼ að Þ ¼ að Þ Denne formelen kaller vi for ettpunktsformelen fordi den kan brukes når bare ett punkt og stigningstallet til linjen er oppgitt. Da kan vi sette inn tallene i denne formelen og få svaret mer direkte. I eksempel var punktet ð, Þ¼ð, Þ og stigningstallet a ¼ gitt: ¼ ð Þ 8

MATEMATIKK: 8 Likninger med to ukjente rette linjer Vi setter inn i formelen: ¼ ¼ I eksempel 6 var punktet ð, Þ ¼ð, Þ og stigningstallet a ¼ gitt: ¼ ð ð ÞÞ ¼ ð þ Þ ¼ þ 8 Hvis to punkter er oppgitt, ð, Þ og ð, Þ, og en rett linje går igjennom dem, kan vi finne stigningstallet a ved å bruke formelen: a ¼ Denne formelen kan knttes til ettpunktsformelen, der bttes ut med og med. Vi kaller formelen topunktsformelen, fordi vi skal sette inn tall fra to punkter. Når vi har funnet stigningstallet a, kan vi sette det inn i ettpunktsformelen for å finne likningen for den rette linjen. Eksempel 7 En rett linje går gjennom punktene ð, Þ og ð, Þ. Tegn den rette linjen i et diagram, og avles linjens likning. Finn også linjens likning ved regning. (, ) 4 4 (, ) 4 9

Ved regning: ð, Þ¼ð, Þ ð, Þ¼ð, Þ a ¼ ¼ 6 ¼ ¼ ð Þ ¼ 4 ¼ 0