Om muligheen for å predikere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller av Kjell-Arild Rein Hovedfagsoppgave i samfunnsøkonomi Våren Insiu for økonomi Universiee i Bergen
. INNLEDNING.. LITTERATUR 3. Terminologi 3. Makroøkonomiske modeller 4.3 Tidligere sudier av inflasjon og prognoser i Norge 7 3. METODE.9 3. Sokasiske idsserier 9 3.. Auokorrelasjonsfunksjonen av en hvi-søy-prosess 9 3.. Sasjonære og ikke-sasjonære idsserier 3. ARIMA-modellen 3.. Glidende gjennomsnismodeller 3.. Egenskaper ved glidende gjennomsnismodeller 3..3 Auoregressive modeller 5 3..4 Egenskaper ved auoregressive modeller 6 3..5 Blandede auoregressive glidende gjennomsnismodeller 3..6 Egenskaper ved ARMA(p,q)-modeller 3..7 ARIMA-modeller 4 3..8 ARIMA-modeller med sesong 5 3..9 Inervensjonsanalyse 7 4. BESKRIVELSE AV DATAMATERIALE.9 5. ARIMA - prognoser i praksis..3 5. Innsamling og undersøkelse av daa 33 5. Tes av sasjonariesegenskaper 36 5.3 Modellidenifisering og -esimering 39 5.3. Box-Jenkins-prosedyren 39 5.3. En ren AR(p)-prosess 39 5.3.3 En ren MA(q)-prosess 4 5.3.4 Blandede ARMA-prosesser 4
5.4 Diagnosisk konroll av modellen 44 5.5 Prognoser og evaluering av prognoser 46 5.5. Beregning av prognoser baser på ARIMA-modeller 48 5.5. Prognoseevaluering 49 5.5.3 Prognoser for åre 54 6. AVSLUTTNING...56 REFERANSER..58 APPENDIKS..6 Appendiks : De esimere modellene 6 Appendiks : Evaluering av prognoseegenskaper 69 Appendiks 3: Prognose for 77
. INNLEDNING Hovedmåle med denne oppgaven er å undersøke muligheen for å modellere norsk inflasjon ved hjelp av ARIMA-modeller. Med inflasjon menes en koninuerlig økning i de generelle prisnivåe. Prisnivåe vil i denne oppgaven bli represener ved konsumprisindeksen (KPI). 9. mars innføre Regjeringen formel inflasjonsmål som manda for den norske pengepoliikken, med e operaiv inflasjonsmål på,5 prosen. Norges Bank har imidlerid olke si idligere manda om valuakurssabilie som e inflasjonsmål siden Svein Gjerdrem overok sillingen som senralbanksjef i januar 999. De sise årene har inflasjon som fenomen gradvis bli illag sørre vek både i økonomiske og poliiske kreser. Den underliggende årsaken il dee er en bred enighe om a inflasjon er skadelig for e lands økonomi. Denne uviklingen har også vær le å spore i Norge. I diskusjonen omkring sasbudsjee og renepoliikken er inflasjonsuviklingen e av de argumener som ofes rekkes frem, og den sise idens reneøkninger er alle bli begrunne med e ønske om å dempe inflasjonspresse i økonomien. De synes derfor som om de er en bred enighe om a man må bruke penge- og finanspoliikken il å sabilisere inflasjonen på e lav nivå. Denne diskusjonen har medfør a Norge nå slår følge med en rekke andre land og innfører inflasjonsmål som manda for pengepoliikken. For å kunne påvirke inflasjonsuviklingen på en effekiv måe er de vikig a man kan lage gode prognoser for fremidig inflasjon, slik a man skal kunne iverksee de rikige ilakene il rikig id. De er derfor vikig a man prøver u flere måer å modellere inflasjon på. Erfaringer fra andre land viser a man med gode resulaer kan gjøre dee ved hjelp av ARIMAidsseriemodeller. Jeg vil derfor i denne oppgaven vurdere muligheene for å gjøre dee i Norge. Inndelingen av oppgaven er som følger: I kapiel vil jeg kor gjøre rede for den faglige diskusjonen omkring prognoser og prognosemodeller. De vil her bli lag vek på hvorvid modellene førs og frems bør være baser på økonomisk eori eller saisisk analyse. Ausralia, Canada, Israel, Mexico, New Zealand, Sverige og Sorbriannia.
Kapiele avslues med en gjennomgang av de modellene man har bruk for å predikere inflasjon i Norge. I kapiel 3 blir de gjor rede for ARIMA-idsseriemodeller, og i kapiel 4 vil jeg gjøre nærmere rede for konsumprisindeksen. I kapiel 5 uføres en prakisk analyse av konsumprisindeksen ved hjelp av ARIMA-modeller. De økonomeriske esene er ufør i EDB programme Eviews.
. LITTERATUR. Terminologi Saisiske modeller for å beskrive variasjon i en enkel variabel deles vanligvis inn i o hovedyper. Disse o ypene av modeller kommer il å så senral i diskusjonen som følger. Den ene ypen er flerdimensjonale (reduser form) modeller hvor variasjon i en variabel forklares ved endringer i en eller flere andre variabler. De vil si a endringer i den avhengige variabelen forklares ved hjelp av en eller flere uavhengige variabler. E klassisk eksempel er å forklare husholdningens forbruk i periode ( c ) som en lineær funksjon av innek i samme periode ( y ): c α + β + ε y Forbruke i periode er avhengig av innek i samme periode, her spesifiser ved en lineær funksjon, hvor α og β er paramere. Modellbyggerens oppgave er, på basis av empirisk daa for c og y, å esimere paramerene. Sammenhengen mellom modellens variabler og paramere kan i praksis ikke forvenes å være hel presis, noe som urykkes ved resledde ε. Dee as med for å fange opp relasjoner som ikke eksplisi fremgår av den spesifisere modellen. Den andre ypen er endimensjonale (univariae) modeller hvor verdien av en variabel i en periode forklares ved observasjoner av samme variabel i en eller flere foregående perioder, de vil si idsforsinkede verdier av den samme variabelen. Eksempelvis kan man modellere husholdningens forbruk i periode som funksjon av foregående periode -, ved funksjonen: c + βc α + ε Modellen har samme lineære srukur som i modellen på reduser form ovenfor, men innek ersaes av forbruk i foregående periode (idsforsinke en periode). Denne modellen forsøker imidlerid ikke å gi noen uømmende forklaring på hvorfor husholdningens forbruk uvikler 3
seg som den gjør. Relasjonen er mer e urykk for e posula av ypen forbrukerne gjør noe i dag fordi man også gjorde de i går.. Makroøkonomiske modeller Makroøkonomiske prognoser har lenge vær en vikig del av økonomisk forskning, men de var førs på 6-alle a dee ble en indusri. Modellene man bruke på denne iden var sore makroøkonomiske modeller som ok sike på å beskrive en nasjons økonomi. Disse beso av e sysem av ligninger som skulle beskrive de enkele økonomiske sammenhengene, og en slik modell kunne ofe komme opp i flere hundre likninger. Felles for disse modellene var a de i sor grad bygge på økonomisk eori og i mindre grad empiriske analyse. Her er den norske radisjonen e god eksempel. Med ugangspunk i arbeide il Ragnar Frisch lage Saisisk senralbyrå modellene MODIS og MODAG, som begge var planleggingsmodeller. De ble hovedsakelig bruk av Finansdeparemene i budsjeprosessen, men økonomerisk spesifisering, esing og evaluering spile bare en mindre rolle når de ble lage. Førs ved inroduksjonen av KVARTS-modellen på sluen av 98-alle begyne dee å endre seg. U over 7-alle vokse de fram en økende skepsis mo denne ype modeller, da de hadde vis seg a disse modellene ikke var særlig egne il å lage økonomiske prognoser med 3. Som en reaksjon på modellene man hadde benye på 6-alle, begyne man å uvikle nye modeller som basere seg på rene saisiske prinsipper. Disse bygge ofe på prinsippene for univariae modeller, og ARIMA-modellen ble e mye bruke rammeverke for denne ype modeller. Disse modellene øke rask i popularie, da de var enkle å bruke og ofe hadde bedre prognoseegenskaper enn modellene fra 6-alle. Disse o radisjonene so i skarp konras il hverandre, den ene var førs og frems baser på økonomisk eori, mens den andre var baser på rene saisiske prinsipper. Denne konrasen føre med seg en lang diskusjon om hvilke ype modeller man skulle bruke for å produsere gode prognoser. Resulae av denne diskusjonen ble a man uover på 98-alle, i sørre grad inegrere saisisk meode inn i makroøkonomisk analyse og modellbygging. Se Jansen (). 3 Se Granger (986). 4
De vikigse enkelbidrage saisikken gav økonomerien på 98-alle hadde si ugangspunk i sudier av ikke-sasjonarie i idsserier. Saisikeren Clive Granger vise i en rekke arikler vikigheen av a økonomeriske likninger var balanser, de vil si a en sasjonær variabel ikke kan bli forklar av en ikke-sasjonær variabel og omvend 4. Som en følge av dee ble eorien om koinegrasjon, de a den lineære kombinasjonen av o eller flere ikke-sasjonære variabler kan bli sasjonær, uvikle. På dee grunnlag har også saisikeren Søren Johansen, innen rammeverke av en generell vekor-auoregressiv modell (VAR), uvikle den mes bruke meoden for esing av koinegrasjon i en mulivaria seing. I illegg har verdien av å evaluere idligere prognoser, som en del av den koninuerlige modelleringsproessen, bli gi en økende oppmerksomhe. Den såkale LSE-meoden legger spesiel vek på vikigheen av å ese og evaluere økonomeriske modeller 5. Denne uviklingen har medfør a de makroøkonomiske modellene som brukes i dag i sørre grad er baser både på økonomisk eori og empirisk analyse. E åpen spørsmål er om uviklingen man har se innenfor makroøkonomisk modellering på 8- og 9-alle har gjor de rene saisiske modellene som ble uvikle på 7- og 8-alle overflødige. De er lie i den økonomiske lierauren som yder på de. ARIMA-modellene har fremdeles flere fordeler fremfor modeller på reduser form. Om man ønsker å lage prognoser for inflasjon med en modell på reduser form, er man avhengig av å ha gode prognoser for de forklarende variablene. Dee øker risikoen for a noe kan gå gal i prosessen. De er dessuen ikke sikker a de publiseres empirisk daa for de forklarende variablene med samme frekvens man kunne ønske seg. De ville for eksempel være vanskelig å lage prognoser på månedlig basis om man måe basere modellen på kvaralvise daase. Med en ARIMA-modell derimo er analysen uavhengig av andre variabler. De har også vis seg a ARIMA-modeller er mer reffsikre på kor sik og i perioder der uviklingen i idsserien er relaiv sabil 6. ARIMA-modellene er dessuen adskillig mindre kosnadskrevende å bruke. De er selvsag også ulemper forbunde med bruken av disse modellene. Da modellene ikke har noe grunnlag i økonomisk eori, er de ikke mulig å bruke disse modellene om man ønsker å simulere konsekvensene av en endring i økonomien ved for eksempel en endring i den økonomiske poliikken. De er heller ikke mulig å bruke disse modellene il å predikere e 4 Se for eksempel Granger (99). 5 Denne uviklingen er også le å spore i Norge, se for eksempel kapiele om eerprøving av Norges Banks anslag for 999 i Inflasjonrappor 4/. For en nærmere diskusjon av LSE-meoden, se Hendry (993, 995). 6 Se for eksempel Mira og Rashid (996). 5
vendepunk i idsserien, for eksempel en endring inflasjonsuviklingen som følge av en endre finans- eller pengepoliikk. De vil derfor være naurlig å bruke en ARIMA-modell om man skal lage prognoser for en idsserie som er relaiv sabil. Man bør derimo bruke en modell på reduser form om man ønsker å predikere en idsserie som ikke er full så sabil, eller om man ønsker å predikere konsekvensene av endringer i eksogene variabler. De er også vanlig å bruke ARIMA-modeller som målesokk om man ønsker å vurdere prognoseegenskapene il modeller på reduser form. Den underliggende anken her er a modellen ikke er god nok hvis den ikke predikerer mins like bra som en ren saisisk modell. E god eksempel på dee finner man i Cecchei e al. (). Her evaluerer man verdien av å bruke ledende indikaorer for å predikere inflasjon i USA. Resulae i denne sudien er heller nedslående. De finner a de er få av de mes vanlig bruke indikaorene som gjør de bedre enn enkle auoregressive modeller. I illegg il dee er de mange i de økonomiske miljøe som siller seg hel avvisende il realøkonomiske variabler som indikaorer på inflasjon. Freeman (998) bruke koinegrasjon og Grangers kausalieses for radisjonelle og nye meoder for beregning av underliggende inflasjon i USA. Han fan a begge meodene har de ønskede egenskapene for beregning av underliggende inflasjon, men a ingen av disse var særlig effekive som prognosemodeller. Cecchei (995) fan a de var eksrem vanskelig å predikere inflasjon på denne måen selv med en kor idshorison. Dee var grunne i o forhold: han fan a de er svær få av de mes vanlig bruke indikaorene som kan predikere inflasjon på en ilfredssillende måe, og a hverken inflasjonen eller de bruke indikaorene er sabile over id. E problem med sudiene jeg har nevn ovenfor, er a de er gjor for o sore økonomier. De er rimelig å ro a inflasjonen i sore økonomier som USA og Canada i sørre grad kan forklares ved rene auoregressive prosesser enn de som er ilfelle i små, åpne økonomier som i Norge. Dee fordi inflasjonen i land som USA og Canada sor se blir besem innenlands, mens den i små, åpne økonomier som Norge i sor grad blir påvirke av imporer inflasjon. De kan derfor silles spørsmål om univariae prognosemeoder vil ha samme validie i Norge som de har i sørre og mer lukkede økonomier. De er derfor hensiksmessig å se på hvilke arbeid som er gjor på dee område i land som ligner Norge, hvorav Irland er e god eksempel. Lande har en lien, åpen økonomi og har, som Norge, lenge ha valuasabilie mo Europa som høyese mål for pengepoliikken. Cenral Bank of Ireland har gjor e omfaende arbeid 6
med å prøve u forskjellige meoder for å modellere irsk inflasjon, summer opp av Quinn, Kenny og Meyer (999). De fan a modeller på reduser form baser på kjøpekrafspariee, lønnsdannelse og aggreger pengemengde ikke gav gode prognoser for inflasjon. Dee fordi forholde mellom inflasjon og indikaorene ofe ikke var sabil over id. De fan også a ARIMA-modeller predikere den irske inflasjonen bes på kor sik, de vil si opp il e år..3 Tidligere sudier av inflasjon og prognoser i Norge. I Norge er de førs og frems Norges Bank som fører pengepoliikken, og deres målsening er å sabilisere prissigningen. Derfor er mye av arbeide med å lage modeller for norsk inflasjon gjor i Norges Bank. Resulae av dee arbeide har siden 993 bli publiser i en egen Inflasjonsrappor som nå kommer u hver kvaral. Her gir Norges Bank en beskrivelse av hvordan prisuviklingen har vær den sise iden og hvordan de ror den vil uvikle seg de nærmese o årene. Norges Bank baserer disse anslagene på RIMINI-modellen. Dee er en makroøkonomisk modell der man prøver å modellere den norske økonomien som helhe. Kjernemodellen besår av e 3-alls sokasiske ligninger med ca. eksogene variabler som må predikeres 7. Dee er en modell på relaiv aggreger nivå som er ydelig inspirer av den uviklingen man har ha innenfor makroøkonomisk modellering de sise yve årene. De enkele ligningene er sor se beregne ved koinegrasjonsanalyse som beskreve ovenfor, der anslagene eerprøves mo de reelle verdiene en gang i åre. Delmodellen som særlig omhandler prognoser av inflasjon er gi i Bårdsen, Jansen og Nymoen (999). De har lage en dynamisk modell for underliggende inflasjon der de spesiel fokuseres på sammenhengen mellom inflasjon og lønns- og kosnadsveks. Modellen ar ugangspunk i de mosridende lønnskravene fra fagforeninger og bedrifer for en lien åpen økonomi, men ar også høyde for eksogene variabler som sjokk og pengepoliiske insrumener, som Norges Banks ulånsrene. Dermed gir modellen ikke bare e grunnlag for prognoser, den gir også reningslinjer for hvordan banken skal bruke renepoliikken il å nå de ønskede mål for inflasjon. I illegg gir både Finansdeparemene og Saisisk senralbyrå (SSB) u egne prognoser for inflasjonsuviklingen, gjennom henholdsvis Nasjonalbudsjee og Økonomisk Analyse. 7 Se Jansen (). 7
Finansdeparemene baserer seg her på den makroøkonomiske modellen MODAG, mens SSB baserer seg på modellen KVARTS. Isachsen, Soknes og Bjønnes (999) rangere syv prognosemakere ved å sammenligne prognosene de hadde lage for fire makroøkonomiske variabler i perioden 988-96 med de fakiske verdiene som ble observer i denne perioden. De finner a modellene gjennomsnilig gir gode prognoser. Når de gjelder inflasjon blir SSB ranger som nummer o og Norges Bank som nummer re, men begge må se seg slå av Bankforeningen 8. Finansdeparemene havner på en sjuende plass som den dårligse i sammenlikningen. De er også gjor e par forsøk på å modellere inflasjon uenfor de sore insiusjonene. E eksempel er modellen uvikle av Kvilekval, Vaage og Vårdal (998). Denne modellen fokuserer førs og frems på sammenhengen mellom pengemengdeveksen og inflasjon, og man bruker her en feiljuseringsmodell for å idenifisere korsikige- og langsikige sammenhenger. Den enese forklaringsvariabelen denne modellen har il felles med modellen man bruker i Norges Bank er a de begge bruker imporer inflasjon som en eksogen variabel. Likevel har de mye il felles i den grunnleggende ankegangen, da begge er modeller på reduser form som veklegger realøkonomiske variabler, lønnsdannelse og pengemengdeveks når de skal forklare inflasjonsuviklingen. Jeg kjenner ikke il, a de il dags dao, er gjor noen forsøk på å modellere inflasjon i Norge ved hjelp av ARIMA-modeller 9. Diskusjonen ovenfor skulle yde på a en slik modell vil kunne gi gode resulaer, siden inflasjonen i Norge har vær lav og sabil siden sluen av 8- alle. 8 Bankforeningen basere sine anslag på anslagene fra Finansdeparemene, men man forsøker å luke u mulig poliisk innflyelse på analysene. 9 Man har rikignok bruk X- ARIMA modeller for å sesongjusere idsserier i SSB. 8
3. METODE I dee kapiele vil jeg gjøre rede for ARIMA-modellens oppbygning og virkemåe. Disse modellene er konsruer for å kunne modellere den sokasiske uviklingen i en idsserie. For å forså den grunnleggende ankegangen bak disse modellene, vil jeg begynne med å gjennomgå de saisiske konseper som ligger il grunn. Fremsillingen er i sor grad baser på Pindyck og Rubinfel (998). 3. Sokasiske idsserier Tidsseriemodellen som er beskreve i dee kapiele er baser på en anakelse om a idsserien som skal modelleres er generer ved en sokasisk prosess. De vil si a vi anar a hver enkel verdi y,...,, y yt i idsserien er valg ilfeldig fra en sannsynlighesfordeling. Ved å modellere denne prosessen ønsker vi å beskrive ypiske rekk som kan hjelpe oss å si noe om sannsynligheen knye il de alernaive fremidige verdiene av idsserien. E enkel eksempel på en sokasisk idsserie er en random walk-prosess: (3.) y y + ε der endringen i idsserien besemmes av e ilfeldig valg resledd. Vi anar a resledde oppfylle kravene [ ] E ε, [ ] E og Cov[, ε ] ε σ ε ε for s. Når resledde oppfyller disse kravene, beegnes de som generer av en hvi søy-prosess, e begrep som kommer il å så senral i denne fremsillingen. s 3.. Auokorrelasjonsfunksjon av en hvi-søy-prosess Auokorrelasjonsfunksjonen (AKF) foreller hvor mye samvarians de er mellom nærliggende observasjoner i en idsserie y og ugjør e svær nyig hjelpemiddel når man skal modellere en idsserie. AKF for k idsforsinkelser er gi ved (3.) ρ k E E[ ( y µ y )( y+ k µ y )] ( y µ ) E y µ [ ] [( ) ] y + k y Cov σ σ ( y, y ) y y + k + k 9
Telleren er her lik kovariansen mellom y og y + k, γ k. For en sasjonær prosess er variansen i nevneren, på idspunk, den samme som på idspunk +k. Dee gir a nevneren er lik variansen av den sokasiske prosessen, γ. Ana a vi har en hvi-søy-prosess der y ε. Dee vil gi (3.3) ρ E [( ε E( ε ))( ε E( ε ))] var( ε ) var( ε ) var var ( ε ) ( ε ) ε σ ε σ (3.4) ρ E [( ε E( ε ))( ε E( ε ))] var( ε ) var( ε ) σ ε og ilsvarende vil de være for alle i >, de vil si ρ i >. De vil igjen si a en hvisøy-prosess ikke vil gi noen uslag i e auokorrellogram. Dee er e vesenlig funn da hensiken med univariae idsseriemodeller er å rekke u den sysemaiske informasjonen av idsserien slik a de bare er hvi søy igjen i resledde. k 3.. Sasjonære og ikke-sasjonære idsserier Før man begynner å modellere en idsserie, er de vikig å vie om man kan ana a den underliggende sokasiske prosessen som genererer serien ikke vil endre seg med iden. Hvis de karakerisiske egenskapene il den sokasiske prosessen endrer seg med iden, de vil si hvis idsserien er ikke-sasjonær, må man a høyde for dee når man skal modellere idsserien. E ypisk eksempel på en ikke-sasjonær idsserie, er en idsserie som siger jevn med iden, som for eksempel BNP. For a en idsserie skal kunne defineres som sasjonær må gjennomsnie av idsserien, definer ved E( ) µ, være konsan over id: y y (3.5) ( y ) E( ) E y + m for enhver og m.
[ ] I illegg må variansen, definer ved σ E ( µ ) [ µ ] E[ ( y ) ] (3.6) ( y ) E + µ, y m y, være konsan over id: y y y for enhver og m. Til slu må kovariansen for enhver idsforsinkelse k, definer ved γ ( y y ) E[ ( y µ )( y )] Cov, µ være konsan over id: k + k y + k y (3.7) ( y y ) Cov( y y ) Cov, +, +. k + m + m k Formell esing av idsseriens sasjonariesegenskaper vil bli gi i kapiel 5. 3. ARIMA-modellen Auoregressive Inegraed Moving Average (ARIMA) modeller er den vanligse ypen av univariae modeller. Modellen beskriver verdien av en idsserie i periode uryk som en funksjon av idligere verdier av den samme idsserien (AR: auoregressiv), pluss en kombinasjon av løpende og idligere verdier av resledde (MA: moving average, glidende gjennomsni). Den inegrere komponenen (I) refererer il de anall ganger serien må differensieres for a den skal bli sasjonær. I en ARIMA(p,d,q) beegner p anall AR(p)-ledd og q anall MA(q)-ledd, mens d beegner anall ganger idsserien er bli differensier. 3.. Glidende gjennomsnismodeller En glidende gjennomsnisprosess refererer il en ype modeller hvor den avhengige variabelen kan urykkes som e veid gjennomsni av resleddes verdier i denne og foregående perioder. En MA(q)-prosess skrives som (3.8) y µ + ε θε θ ε θ qε q der µ er e konsanledd og paramerene θ,...,θ q kan være både posiive og negaive. En forusening er a de soasiske resleddene er uavhengig fordel over id, de vil si a de er generer som en hvi-søy-prosess.
Ved bruk av en idsforsinkelsesoperaor B kan prosessen skrives som (3.9) y µ + θ ( B) ε q der θ ( B) θ B θ B θ. q B 3.. Egenskaper ved glidende gjennomsnismodeller Gjennomsnie av en glidende gjennomsnisprosess er uavhengig av iden, da E ( ) µ. y Hver ε er ana å være generer fra den samme hvi-søy-prosessen, de vil si a ( ), E og E( ε ) E ε ( ) ε σ ε gjennomsnisprosess av grad q er gi ved (3.) Var( y ) γ E ( y ) ε k for alle og k. Variansen γ av en glidende [ ] µ ( ε + θ ε + + θ ε θ ε ε ) E q q σ + θ σ ε ε + + θ q σ ε ( + θ + θ + θ ) σ ε + q Jeg vil nå se på noen enkle glidende gjennomsnisprosesser og kalkulere gjennomsnie, variansen, kovariansen og auokorrelasjonsfunksjonen for disse. Dee er saisiske mål som vil være il hjelp når jeg skal idenifisere modellene i kapiel 4. En enkel MA()-prosess er gi ved (3.) y µ + ε θε Denne prosessen har gjennomsnie µ og variansen γ σ ε ( + ) θ. Kovariansen for en énperiode idsforsinkelse, γ, er da gi ved (3.) γ E[ ( y µ )( y µ )] E[ ( ε θ ε )( ε θ ε )] θ σ ε
Generel kan man besemme kovariansen for k > som (3.3) γ [( ε θ ε )( ε θ )] k k k E ε Dee gir a en MA()-prosess har en kovarians lik null når idsforsinkelsen blir sørre enn én periode. De vil si a y er korreler med y og y +, men ingen av de andre verdier av idsserien. Man sier a en MA()-prosessen har en hukommelse på én periode. Auokorrelasjonsfunksjonen for en MA()-prosess er alså: (3.4) ρ k γ k γ θ + θ k k > Om man ser på en MA()-prosess, er denne gi ved: (3.5) y µ + ε θε θ ε Denne prosessen har gjennomsnie µ, variansen γ σ ε ( + θ + ) og kovariansene θ (3.6) γ E[ ( ε θ ε θ ε )( ε θ ε θ ε )] 3 θ σ + θ θ σ θ ( θ ) σ ε ε ε (3.7) γ E[ ( ε θ ε θ ε )( ε θ ε θ ε )] 3 4 θ σ ε (3.8) γ for k >. k 3
Da er auokorrelasjonsfunksjonen gi ved (3.9) θ ρ + ( θ ) θ + θ θ (3.) ρ + θ + θ (3.) ρ for k >. k Dee gir a en MA()-prosess har en hukommelse på nøyakig o periode, slik a verdien av y bare er påvirke av de som har skjedd i inneværende periode, forrige periode og perioden før der igjen. De kan vises a auokorrelasjonsfunksjonen for en glidende gjennomsnisprosess av grad q er gi ved (3.) ρ k θ k + θθ k+ + + θ q kθ q + θ + θ + + θ q k k,..., > q q Dee gir a korrellogramme il MA(q)-prosess vil gi e uslag ulik null opp il og med idsforsinkelse q og synker så il null. Auokorrelasjonsfunksjonen for en idsserie y kan represeneres grafisk ved e korrellogram, se figur 3.. Dee er e nyig hjelpemiddel om man ønsker å idenifisere en glidende gjennomsnisprosess i en idsserie. For en MA()-prosess vil man i e korrellogram observere en verdi ulik null for den førse idsforsinkelsen, mens de påfølgende idsforsinkelsene vil gi uslag lik null. I figur 3.. er de gi e eksempel på hvordan e slik korrellogram kan se u, mens jeg i figur 3.. har vis e enk eksempel for en MA(3)-prosess. 4
Figur 3.. og 3.. Eksempel: Korrellogram for en MA()- og en MA(3)-prosess. 3 5 7 9 3 5 3 5 7 9 3 5 3..3 Auoregressive modeller I en auoregressiv modell av grad p blir en observasjon i periode generer som e veid gjennomsni av idligere observasjoner p perioder ilbake i id. En ren AR(p)-prosess skrives som: (3.3) y φ y + φ y + + φ p y p + δ + ε der φ p er paramerene som angir hvor mye vek man skal legge på observasjonen i periode -p, δ er e konsanledd og ε er resledd for periode. Resledde anas å være hvi søy. Beegnelsen auoregressiv refererer il a modellens paramere kan esimeres ved en regresjonsanalyse, hvor den uavhengige variabelen er verdien av den avhengige variabelen i foregående perioder. Ved bruk av en idsforsinkelsesoperaor B kan prosessen skrives (3.4) φ ( B) y δ + ε p der φ( B) φ B φ B φ. p B 5
3..4 Egenskaper ved auoregressive modeller Om den auoregressive prosessen er sasjonær, vil gjennomsnie µ være konsan. De vil si E y E y E y. Dee gir a gjennomsnie µ er gi ved a ( ) ( ) ( ) µ µ φ µ + φµ + + φ pµ + δ eller (3.5) δ µ φ φ φ p For a prosessen skal være sasjonær må φ φ + + φ, som er en nødvendig, men ikke ilsrekkelig beingelse for sasjonarie. + p < For å illusrere egenskapene il de auoregressive modellene vil jeg her se nærmere på noen enkle auoregressive prosesser. En AR()-prosess er gi ved (3.6) y φ y + δ + ε Denne prosessen har e gjennomsni (3.7) δ µ φ og er sasjonær dersom φ <. For å beregne variansen γ anar jeg a prosessen er sasjonær, slik a den har en konsan varians, og a δ. Dee gir (3.8) E ( φ y + ε ) [ ] E( φ y + ε + φ y ε ) φ γ σ γ + ε som igjen gir σ ε (3.9) γ φ 6
Kovariansen ved én og o idsforsinkelser er da gi ved φ σ ε (3.3) γ E[ y ( φ y + ε )] φγ φ φ σ (3.3) [ ( )] ε γ E y φ y + φε + ε φ γ φ På samme måen er kovariansen il en k-perioder idsforsinkelse gi ved k k φ σ ε (3.3) γ k φ γ φ Dee gjør a auokorrelasjonsfunksjonen for en sasjonær AR()-modell blir spesiel enkel. Den begynner i ρ og synker så geomerisk med verdien av k: (3.33) γ ρ φ k k k γ Legg merke il a denne prosessen har uendelig hukommelse. De vil si a verdien i inneværende periode er avhengig av alle idligere verdier, selv om beydningen av avhengigheen er avagende med iden. En AR()-prosess er gi ved (3.34) y φ y + φ y + δ + ε Gjennomsnie av denne prosessen blir da (3.35) δ µ φ φ og en nødvendig beingelse for sasjonarie er a φ + φ. < 7
Variansen og kovariansen er da gi ved (3.36) γ E[ y ( φ y + φ y + ε )] φ γ + φ γ + σ ε (3.37) γ E[ y ( φ y + φ y + ε )] φγ + φγ (3.38) γ E[ y ( φ y + φ y + ε )] φγ + φγ og generel, for k (3.39) γ E[ y ( φ y + φ y + ε )] φγ φγ k k k + k Man kan løse ligningene (3.36), (3.37) og (3.38) simulan for å få γ gi ved φ, φ og σ ε. Ligning (3.37) kan omskrives som (3.4) γ φγ φ Om man subsiuerer ligning (3.38) inn i ligning (3.36) får vi (3.4) γ φ γ + φ φ γ + φ γ + σ ε Man kan da bruker ligning (3.4) il å eliminere γ slik a man får (3.4) φ γ φ φ γ γ + + φ γ + σ ε φ φ som eer li omorganisering gir (3.43) γ ( φ ) σ ( + φ )( φ ) ε [ φ ] 8
Disse ligningene kan også brukes il å ulede auokorrelasjonsfunksjonen (3.38) og (3.4) får man a ρ k. Fra ligningene (3.44) φ ρ φ (3.45) ρ φ φ + φ Og fra ligning (3.39) kan man se a for k, så er k k + k (3.46) ρ φ ρ φ ρ som man kan bruke il å beregne auokorrelasjonsfunksjonen for k>. Ligning (3.44) og (3.45) kalles Yule-Walker-ligninger. Dee gir a auokorrelasjonsfunksjonen av en auoregressiv modell synker gradvis med anall idsforsinkelser. E ypisk eksempel på e slik korrellogram er gi i figur 3... De er ydelig a auokorrelasjonsfunksjonen ikke kommer il å være il mye hjelp om man ønsker å idenifisere graden p av AR(p)-prosessen. For å gjøre denne idenifiseringsprosessen enklere bruker man den parielle auokorrelasjonsfunksjonen. Fig 3.. og 3.. Eksempel: AKF og PAKF for en ypisk AR(3) prosess.,8,6,4,,9,7,5,3, 3 5 7 9 3 5 7 9 -, 3 5 7 9 3 5 7 9 9
Den parielle auokorrelasjonsfunksjonen (PAKF) mellom y og y er korrelasjonen k mellom y k og y minus den delen som er forklar av mellomliggende idsforsinkelser. De vil si a man får se hvor sor uslag hver enkel idsforsinkelse gjør. For å forså hvordan den parielle auokorrelasjonsfunksjonen virker må man a ugangspunk i kovariansen og auokorrelasjonsfunksjonen for en auoregressiv prosess av grad p. Kovariansen er her gi ved (3.47) γ E[ y ( φ y + φ y + + φ y + ε )] k k p p Om man nå seer k,,, p får vi p + ligninger som man kan løse for γ, γ,..., γ : p φγ + φγ + + φ pγ p σ ε φγ + φγ + + φ p γ p γ + (3.48) γ γ p φγ p + φγ p + + φ pγ For idsforsinkelser k sørre enn p er kovariansen gi ved (3.49) γ k φγ k + φγ k + + φ pγ k p Ved å dele ligningene i (3.48) med γ får vi p ligninger som il sammen gir de p førse verdiene av auokorrelasjonsfunksjonen: (3.5) ρ φ + φ ρ + + φ p ρ p ρ + + φ p φρ p + φ ρ p p For idsforsinkelser k sørre enn p, med bakgrunn i ligning (3.49), er auokorrelasjonsfunksjonen gi ved (3.5) ρ k φρ k + φ ρ k + + φ p ρ k p
Ligningene i (3.5) er Yule-Walker-ligninger ilsvarende ligning (3.44) og (3.45) for AKF, de vil si a om man kjenner il en av verdiene for beregne verdiene av φ, φ,..., φ. p ρ, ρ,..., ρ så kan man bruke disse il å p Men for å løse Yule-Walker-ligningene i (3.5) må man vie hvor sor p, graden av den auoregressive prosessen, er. Om man ikke ve dee løser man Yule-Walker-ligningen en eer en for eerfølgende verdier av p. De vil si a man begynner med hypoesen om a p. Da gir ligning (3.5) resulae ρ φ, eller om vi bruker auokorrelasjonen av daauvalge, ˆ φˆ ρ. Hvis den kalkulere verdien av ˆ φ er signifikan forskjellig fra null, ve vi a den auoregressive prosessen mins er av grad. Jeg kommer videre il å beegne verdien av φˆ som a. Om man så anar a p, vil Yule-Walker-ligningen i (3.5) gi oss e ny se av esimere verdier for ˆ φ og ˆ φ. Hvis den esimere verdien av ˆ φ er signifikan forskjellig fra null, ve vi a den auoregressive prosessen mins er av grad. Jeg kommer videre il å beegne verdien av ˆ φ som a. Om man repeerer denne prosessen for de eerfølgende verdiene av p vil man få en serie verdier a a,,... som gir den parielle auokorrelasjonsfunksjonen., a3 Vi har dermed e nyig redskap for å idenifisere graden p av en auoregressiv prosess. Om den fakiske graden av den auoregressive prosessen er lik p, vil vi observere a den parielle auokorrelasjonsfunksjonen er ilnærme lik null for idsforsinkelser sørre enn p. I figur 3.. har jeg vis hvordan den parielle auokorrelasjonsfunksjonen ypisk vil se u for en AR(3)- prosess. 3..5 Blandede auoregressive glidende gjennomsnismodeller. Mange sasjonære sokasiske idsserier lar seg ikke modellere som en ren AR(p)- eller MA(q)-prosess, da serien inneholder elemener av begge disse prosessene. For å kunne modellere en slik idsserie seer man de o foregående modellene sammen il én modell.