Oppgaver 1 Geogebra med fasit Oppgave 1 Funksjonen f er gitt ved: f(x) = x 2 2x 3 a) Tegn grafen digitalt b) Finn bunnpunktet til f Oppgave 2 En modell for temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt en vinterdag er gitt ved T(x) = 3/8x 2 + 21/2x 135/2 TT(xx) = 3 8 xx2 + 21 135 xx 2 2 Når x er mellom 8 og 20 (8<x>20) a) Tegn grafen til T b) Når på dagen var temperaturen 0 o C c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Oppgave 3 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 2 12x a) Tegn grafen digitalt b) Finn bunnpunkt og toppunkt til f Oppgave 4 Funksjonen p er gitt ved p(x) = x 4-4x 2 a) Tegn grafen digitalt b) Hvor mange nullpunkter har p? c) Hvor mange ekstremalpunkter har p? Oppgave 5 Når vi slipper en stein fra høyden x målt i meter, er farten v(x) målt i meter per sekund (m/s) når steinen treffer bakken, gitt ved: v(x) = 4,4x 0,5. a) Tegn grafen til v når x er mellom 0 og 70 b) Finn farten ved bakken når 1. x = 20 2. x = 30 c) Finn grafisk hvilken høyde vi slipper steinen fra når farten er 35 m/s nede ved bakken 1 Oppgave 1-6 er sammenstilt av Inge J. Froestad
Oppgave 6 a) Forskere har funnet en sammenheng mellom veksten til en dinosaur og omkretsen av lårbeinsknokkelen. Dersom vekten er D(x) målt i kilogram når lårbeinsknokkelen har en omkrets på x millimeter er: DD(xx) = 0,00016 xx 2,73. Finn vekten til en dinosaur når omkretseb av lårbeinsknokkelen er 1. 535 mm 2. 680 mm b) Tegn grafen til D når x er mellom 0 og 600 c) Finn grafisk omkretsen av lårbeinsknokkelen til en dinosaur som veier 5400 kg Oppgave 7 Tegn de to funksjonene f(x) = 2x 2 + 4x + 2 og gg(xx) = 4 xx i samme koordinatsystem. a) Hva er koordinatene til skjæringspunktene mellom de to grafene? b) Forklar at x og g(x) i den siste funksjonen er omvendt proporsjonale størrelser Oppgave 8 Hubert og Kaja skal lage en elevbedrift for å kunne produsere og selge fuglebrett. For å bruke sløydsalen om kveldene i den perioden de skal drive bedriften, må de betale 500 kr. Materialene koster 40 kr per fuglebrett. I tillegg må de kanskje hente inn ekstrahjelp hvis pågangen blir stor. De setter opp en funksjon som skal gi kostnadene ved produksjon av x fuglebrett: k(x) = 0,12x 2 + 40x + 500 a) Bruk Geogebra til å tegne grafen til k b) Hvor mye koster det å lage 50 fuglebrett? c) Hvor mange fuglebrett kan de produsere for 4500 kr? d) Hubert og Kaja selger fuglebrettene for 65 kr per stykk. Forklar at inntektene deres er gitt ved i(x) = 65x e) Hvor mange fuglebrett må de produsere og selge for å gå med overskudd? f) Forklar at overskuddet til bedriften er gitt ved i(x) k(x). Skriv denne funksjonen inn i Geogebra og bestem hvor mange fuglebrett Hubert og Kaja må produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig. Lykke til! Alf Harry
Fasit Oppgave 1 a) Grafen til funksjonen er tegnet i Geogebra, og vist nedenfor. b) Verktøyet «Ekstremalpunkt» er brukt for å finne bunnpunktet til f. Bunnpunktet er -4 (punkt A i figuren nedenfor. Oppgave 2 a) Grafen til funksjonen er tegnet i Geogebra, og vist nedenfor. b) Jeg brukte verktøyet «Nullpunkt» i Geogebra og fant at temperaturen var 0 o klokken 1000 og 1800 (punkt A og B i figuren). c) Jeg brukte verktøyet «Ekstremalpunkt» i Geogebra og fant at temperaturen var høyest klokken 1400 (punkt C i figuren). Oppgave 3 a) Grafen til funksjonen er tegnet i Geogebra, og vist på neste side. b) Jeg brukte verktøyet «Ekstremalpunkt» for å finne toppunkt og bunnpunkt for funksjonen f. Grafen har ikke noe topppunkt, men bunnunktet er -36 (punkt A i figuren på neste side).
Oppgave 4 a) Grafen til funksjonen er tegnet i Geogebra, og vist nedenfor. b) Jeg brukte verktøyet «Nullpunkt» for å finne nullpunktene for funksjonen f. Funksjonen har tre nullpunkt (se punkt A, B og C i figuren nedenfor). c) Jeg brukte verktøyet «Ekstremalpunkt» for å finne toppunkter og nullpunkter for grafen til funksjonen. Funksjonen har to bunnpunkter (D og F i figuren), og et toppunkt (punkt E i figuren). Toppunktet er samtidig nullpunkt (B og E i figuren). Oppgave 5 a) Grafen til funksjonen v er tegnet mellom 0 og 70 m i Geogebra, og gjengitt på neste side. b) Farten til steinen ved bakken er 19,69 m/s (x=20 m, punkt A i figuren) og 24,1 m/s (x=30 m, punkt B). c) Når farten er 35 m/s, er høyden vi slipper steinen fra 63,27 m (punkt C i figuren).
Oppgave 6 a) Jeg skrev inn 0.00015*535^2.73 og deretter 0.00015*680^2.73 i inntastingsfeltet i Geogebra og trykket «enter». Da fikk jeg opp henholdsvis tallene a og b (se figur nedenfor). Det betyr at vekten er ca. 4493 kg, når omkretsen av lårbeinsknokkelen er 535 mm, tilsvarende ca. 8647 kg når omkretsen av lårbeinsknokkelen er 680 mm. b) I Geogebra valgte jeg 5 desimaler (Innstillinger/Avrundinger), før jeg skrev inn funksjonen D. Dermed vises funksjonen i algebrafeltet med alle desimalene (0.00016). c) Linjen y=5400 ble lagt inn, og skjæringspunktet med kurven ble funnet ved hjelp av verktøyet «Skjæring mellom to objekt». Den grafiske omkretsen er ca. 572 mm (punkt A i figuren). Oppgave 7 a) Vi har tre skjæringspunkter mellom de to grafene, (1,4), (2,2) og (-1,-4), henholdsvis punkt A, B og C i figuren på neste side. b) x og g(x) er omvendt proporsjonale dersom x g(x)=4. Generelt x y = k (en konstant), kan også skrives y = k/x, der x er forskjellig fra 0.
Oppgave 8 a) Jeg tegnet grafen til k i Geogebra som vist i figuren nedenfor. Antall desimaler er avrundet til 0. b) Jeg opprettet linjen x=50, og brukte verktøyet «Skjæring mellom objekt» for å finne skjæringspunktet A mellom linjen og grafen. Det kostet 2800 kr å lage 50 fuglebrett (punkt A i figuren). c) Jeg opprettet linjen y=4500, og brukte verktøyet «Skjæring mellom objekt» for å finne skjæringspunktene B og C mellom linjen og grafen. Punktet B gir ingen mening i vår oppgave (negativ produksjon). Det kan produseres 81 fuglebrett for 4500 kr (punkt C i figuren). d) De selger fuglebrettene for 65 kr stk. Dersom antall solgte fuglebrett er x, vil inntekten kunne beregnes ved å multiplisere antallet med 65 kr, altså 65 x eller 65x. Inntekten (i) er dermed en funksjon av antall solgte fuglebrett (x), eller i(x)=65x.
e) Jeg la inn funksjonen i(x)=65x i Geogebra. For at de skal gå med overskudd, må inntektene fra salget (funksjon i(x)) være større enn kostnadene (funksjon k(x)). Dette skjer mellom skjæringspunktene mellom funksjonene (punkt D og E i figuren). Produksjonen må være mellom 22 og 186, dersom de skal gå med overskudd. f) Overskuddet i(x) k(x) er forklart i punkt e. Jeg la inn funksjonen f(x)=i(x) k(x) i Geogebra, og fikk dermed fram en graf som viser overskuddet i produksjonen. Deretter brukte jeg verktøyet «Ekstremalpunkt» for å finne toppunktet på grafen. Dette toppunktet viser det maksimale overskuddet i produksjonen. De må produsere 104 fuglebrett for å ha et maksimalt overskudd på 802 kr. Kommentarer til oppgave 8 Dette er nok den vanskeligste oppgaven i oppgavesettet. Vi har her tre funksjoner, en rettlinjet (i(x)), og to parabler («skålformet», f(x) og k(x)). Ved å bruke verktøyet «Skjæring mellom to objekt» i oppgave, får vi to skjæringspunkter. Matematisk er dette korrekt, men det er bare en «løsning» som er korrekt i dette praktiske eksemplet. Et alternativ er å bruke verktøyet «Nytt punkt» og klikke på skjæringspunktet (C) i figuren, dermed får en bare et punkt. Så langt har vi lært å avslutte arbeidet i Geogebra med å merke alle objektene (funksjoner, linjer og punkt) og å vise «navn og verdi» i «Egenskaper». Deretter kan vi justere plasseringen av teksten i grafikkfeltet litt. I dette tilfellet kom teksten av funksjonene oppå hverandre, og det var problematisk å justere disse på en god måte. Dette kan vi løse på følgende måte: Merk alle funksjonene i algebrafeltet, og høyreklikk. Klikk på «Vis navn». Tekstene til funksjonene vil dermed forsvinne fra grafikkfeltet. Ta deretter å venstreklikk på en av funksjonene i algebrafeltet, hold og dra inn i grafikkfeltet, og slipp. Du kan nå flytte teksten hvor du vil i grafikkfeltet (høyreklikk på teksten, velg «Egenskaper» og velg samme farge som grafen teksten hører til). Gjør det samme med de andre grafene. I algebrafeltet vises dette som «tekst1», «tekst2», osv. Prøv!