Velkommen til graftegnerkurs 11. april til (15.00)

Transkript

1 Velkommen til graftegnerkurs 11. april til (15.00) Et elevsamarbeid med Hovedbiblioteket og Lektorjakobsen For mer oppgavehjelp i fagene matematikk ungdomsskolen, 1P, 1T, 2P og 2PY besøk For graftegner gjennom videoer besøk

2 Jeg har dårlig syn. Og det har kanskje en venn eller venninnen din -foreldrene dine, besteforeldre - eller læreren din. Derfor kan du forandre skriftstørrelsen til større Fra menylinjen klikk INNSTILLINGER, klikk fjerdevalget SKRIFTSTØRRELSE, selv bruker jeg 18 pt. Grunninnstillingene er 12 pt og du velger den som passer deg best. For at den skal forbli slik må du igjen klikke INNSTILLINGER og rulle deg ned til LAGRE INNSTILLINGER. Klikk denne. Geogebra liker ikke kommatall. Bruk derfor punktum for komma Dette gjelder inntastingsfeltet der det står Skriv inn: Skal du skrive 7,3 skriv 7.3 Skal du skrive 2,3x skriv 2.3x Hvordan fikser jeg i andre eller i sjette for den slags skyld Dette gjøres på en av to måter. Måte 1. Bruk hatten som ser slik ut ^ Derfor x i andre bruker du x^2. Hatten ^ finner du opp mot høyre på tastaturet. Måte 2. Fra inntastingsfeltet bruk knappen alt og hold den inne mens du trykker i hvilken orden. Derfor i andre gjøres hold alt-knappen inne og trykk 2 og ² dukker opp. Hvor mange desimaler? Grunninnstillingene er 2 desimaler. Noen ganger kan det være bra med flere desimaler og særlig ved bruk av vekstfaktor og regresjon så hvorfor ikke bruke flere allerede fra starten? Fra menylinjen klikk INNSTILLINGER, klikk andrevalget AVRUNDING, deretter klikk 5 desimaler. Denne grunninnstillingen kan du nå lagre gjennom å klikke INNSTILLINGER, klikk syvendevalget LAGRE INNSTILLINGER. Akkurat som tidligere. Zoome inn og ut på koordinataksene Trykk på boksen helt til høyre, FLYTT GRAFIKKFELTET. Når den har en blå ramme er den aktivert og du kan flytte rundt på koordinatsystemet og zoome inn og ut på koordinataksene. Sette navn på aksene Dette er et krav på eksamen og du vil miste poeng uten navn på aksene Vanligvis setter vi på y og x, men vi kan også sette på f(x) og setninger som; lønn i kroner. Disse navnene gjøres på samme måte. Marker ABC ved å klikke på den (boks nummer 3 fra høyre). Denne får nå en blå ramme. Flytt markøren ned til grafikkfeltet og klikk. Side 1

3 Dermed dukker TEKSTboks opp. I REDIGERfeltet skriver du x og klikker OK. Nå flytter du markøren over x og venstreklikker samtidig som du flytter x en til der du vil at en skal være. Plassere funksjonsuttrykket i grafikkfeltet Dette kan være et krav på eksamen og du kan miste poeng uten dette Dette gjøres på samme måte som Sette navn på aksene. Du skriver f. eks 0.5x-1 inn i REDIGERfeltet fra TEKSTboksen og trykker ok. Bildene 1, 2, 3 og 4 nedenfor forklarer ytterligere bilde 1 bilde 2 Side 2

4 bilde 3 bilde 4 Da er vi klare for de viktigste kommandoene for matematikkfagene 1P, 2P og 2PY Nullpunkt har kommandoen Nullpunkt[] og innenfor klammene [] plasserer vi funksjonsnavnet enten det er f, f(x) eller 0.5x-1 hvis funksjonen var som ovenfor. (Nullpunkt er det punktet grafen skjærer x-aksen, så det vi finner er x-verdi. I nullpunktet er alltid y- verdi lik null. Derfor navnet nullpunkt ). Husk at et punkt er beskrevet med x og y-koordinat (x,y) og y-koordinaten vil alltid være 0 for et nullpunkt (x,0) Side 3

5 Nullpunkt, eksempeloppgave Petronella har 3000 kroner og bruker 125 kroner per dag. Sett opp et førstegradsuttrykk for situasjnen og bestem når Petronella har 0 kroner igjen. Løsningen på denne er a=-125 og b=3000 som gir oss ax + b som -125x Fra bildene 5, 6, 7, 8 og 9 kan dere se, i algebrafeltet, at Geogebra gir funksjonsuttrykket navnet f(x). Kommandoen Nullpunkt [] får vi opp ved å skrive nu i inntastingsfeltet. Vi velger Nullpunkt[<polynom>]. Vi setter inn f, f(x) eller algebrauttrykket -125x for <polynom> og vi vil få resultat at nullpunktet er (24,0) Merk videre at punktet er merket som A på grafikkfeltet og med koordinatene i algebrafeltet A(24,0). Dette betyr at vi har 0 kroner igjen (y=0) når x=24, altså etter 24 dager. Bilde 6 forklarer hvordan jeg ville levert oppgaven, eller? bilde 5 bilde 6 Side 4

6 Egentlig ikke, faktisk. Her har jeg både negative dager og negativ verdi og det vil jeg ikke. I alle fall ikke negative dager. Derfor må jeg være flinkere til å definere hvilke x-verdier som er interessante og vil med det introdusere funksjonsuttrykk og definisjonsmegde i samme kommando. For oppgaven over bruker vi; Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] og det holder at vi skriver fun og den kommer opp i inntastingsfeltet som valgalternativ 2 som bilde 7. Vi skal løse denne oppgaven grafisk og det eneste vi er 100% sikre på er at vi ikke har negative dager. Altså vet vi kun at vi starter på x=0, men ikke hvor vi slutter. Derfor antar vi et nullpunkt før x=100 og bruker slutt på x=100 (Hvis dette ikke stemmer, skriver vi inn Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] på nytt med mer korrekte sluttverdier. Merk at Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] starter med Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] og det betyr at vi kan taste inn f, f(x) eller -125x direkte som bilde 8. Vi bruker piltastene for å hoppe til start og slutt. Bilde 9 er den endelige presentasjonen av oppgaven. Legg merke til at jeg ikke har trykket enter i bilde 8. bilde 7 bilde 8 bilde 9 Side 5

7 Nullpunkt, øvingsoppgave 1 Du skal tappe vann fra en full vanntank på 7000 liter (L) i en hastighet på 150 L per minutt. Sett opp et lineært uttrykk (lineært uttrykk er det samme som rett linje/ førstegradsuttrykk) og beskriv tappingen grafisk og bestem nullpunkt grafisk. Merk at stigninstallet er negativt. Nemlig -150 L/ min. Nullpunkt, øvingsoppgave 2 Et barn fram til og med 24 måneder lærer seg/ produserer ord gitt uttrykket O(x) = 20x 150 hvor x er gitt i måneder og O(x) er antall ord. Beskriv situasjonen grafisk, bestem nullpunktet og forklar hva nullpunktet betyr. Her er det viktig med riktig start og slutt for x-verdier, ikke bare start. Skjæringspunkt kan være mellom to funksjonsuttrykk eller mellom en bstemt verdi for x eller y og et funksjonsuttrykk. For å lære oss kommandoen skjæringspunkt skal vi først benytte oss av det tidligere funksjonsuttrykket f(x) = -125x Hvor mange penger hadde Petronella igjen etter 8 dager eller hvor mange dager tok det før hun hadde 1000 kroner igjen? Skjæringspunkt, eksempeloppgave Først skriver vi inn kommandoen fun og velger Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] hvor funksjon er -125x+3000 og start er 0. For stopp kan vi velge alle verdier, men verdien må være større enn 24 for x=24 er nullpunktet vårt. Vi kan velge 25 denne gangen. Kommandoen for skjæringspunkt får vi ved å skrive inn skj i inntastingsfeltet. Da velger vi alternativet Skjæring[<objekt>,<objekt>] hvor vårt første objekt er funksjonsuttrykket. Altså, f, f(x) eller det algebraiske uttrykket -125x+3000 Vårt andre objekt er etter 8 dager. Da må vi først representere dette på grafikkfeltet. Skriv derfor x=8 i inntastingsfeltet. Bilde 10 vil nå være ditt skjermbilde. For du husket vel å sette navn på aksene og skrive inn funksjonsuttrykket? bilde 10 Side 6

8 Nå har vi to objekt, det ene f, f(x) eller -125x+300 og det andre x=8 og vi kan skrive inn skj i inntastingsfeltet. Vi finner skjæringspunktet gjennom kommandoen Skjæring[<objekt>,<objekt>] og vi får bilde 11 som skjermbilde. bilde 11 Skjæringspunktet er markert med A i grafikkfeltet og i algebrafeltet som A(8,2000). Legg også merke til at jeg har skrevet inn tekst i grafikkfeltet. Det er viktig at vi kommuniserer regnesvaret med noen ord også. Videre skal vi finne hvor mange dager det har gått til Petronella har1250 kroner igjen. Derfor må vi ha et nytt objekt og denne gangen er det y=1250. Vårt første objekt er det samme som tidligere. Nemlig f, f(x) eller -125x+300 Vårt nye skjermbilde er som på bilde 12. bilde 12 Side 7

9 Skjæringspunkt brukes veldig ofte i praktsike situasjoner som ovenfor hvor vi finner en verdi basert på kunnskap om et funksjonsuttrykk og en annen gitt og bestemt x eller y-verdi. Men vi kan også finne skjæringspunkt mellom to funksjonsyttrykk på tilsvarende måte hvor objektene er disse to forskjellige funksjonsuttrykk. Legg derfor merke til at Geogebra gjerne gir funksjonsuttrykkene navnene f(x) for det første og g(x) for det andre. Hadde vi hatt tre funksjonsuttrykk ville det tredje fått navnet h(x) og så videre. Du kan også gi funksjonsuttrykket ditt eget navn, med eller uten definisjonsmengde, slik: S(x)=16x+100 eller S(x)=Funksjon[16x+100,0,30] hvor den siste har start og sluttverdier på henholdsvis 0 og 30 La oss se på et nytt praktisk eksempel. Lena er en raskere svømmer enn Benjamin og gir ham et forsprang på 25 meter. Benjamin har en gjennomsnittlig svømmehastighet på 0,4 m/s mens Lena har en gjennomsnittlig svømmehastighet på 0,65 m/s. Vi skal, grafisk, finne når de har tilbakelagt like mange meter og trenger funksjonsuttrykkene først og deretter bruke dem som objekter i kommandoen Skjæring[<objekt>,<objekt>] Lena blir 0,65x og Benjamin blir 0,4x+25 og etter å ha grafte dem og satt inn i Skjæring[<objekt>,<objekt>] har vi Skjæring[f,g] hvor f er Lena og g er Benjamin. Husk at vi bruker punktum for komma. Se bilde 13 og bilde 14. bilde 13 Side 8

10 bilde 14 Og bilde 14 er en flott besvarelse med kommunikasjon. Skjæringspunkt, øvingsoppgave 1 To elektriske sykler, Liten og Stor, har en månedlig oppladningsavgift for Liten som 75 kroner og Stor for 125 kroner. Den Lille kan kun ha sjåfør, men den Store kan ha sjåfør pluss passasjer. Per person fraktet bruker den Lille 0,05 kroner per mil og den Store bruker 0,035 kroner per mil. Den Store frakter alltid sjåfør pluss passasjer. Beskriv skjæringspunktet grafisk og hva forteller det? Et hint til oppgaven er at y-alsen kun er gitt som kroner, uavhengig av antall personer involvert. Andregradsfunksjoner og en tredjegradsfunksjon Andregradsfunksjoner er parabler og de har alltid symmetri om ekstremalpunkter. Ekstremalpunkter er enten toppunkt eller bunnpunkt og en andregradsfunksjon har kun ett av dem. Et andregradsfunksjon har modellen ax^2 + bx + c og er ikke mer mystisk enn at førstegradsfunksjoner har modellen ax + b. For andregradsfunksjoner har a, b og c tallverdier og kan f.eks. se slik ut 1x^2+x-1 som kan uttrykkes x^2+ x 1 og dette er altså funksjonsuttrykket. Skriv dette i inntastingsfeltet og du vil ha skjermbilde som bilde 15. bilde 15 Side 9

11 Fra teorien vet vi at, for dette funksjonsuttrykket, er a=1, b=2 og c=-1. Siden a=1 og 1>0 har vi et ekstremalpunkt som er bunnpunkt. Videre fra teorien har vi at det finnes symmetri på venstre og høyreside av symmetrilinja. Symmetrilinja finner vi som x(symmetri)=-b/2a. Setter vi inn verdier for b og a i b/2a får vi at vi har symmetrilinje x=-1 (-b/2a gir -2/2*1 gir -2/2 gir -1). Skriv x=-1 i inntastingsfeltet og dander med navn på aksene og bilde 16 vil være ditt skjermbilde. bilde 16 Nå er det enklere å se at det er symmetri og samtidig vet vi at bunnpunktet ligger på denne symmetrilinja. Nå innfører vi kommandoen for bunn eller toppunkt som Ekstremalpunkt[<polynom>] og du får opp dette alternativet med å taste ekst. Prøv dette og skriv inn f for <polynom> og du vil motta bilde 17 som ditt skjermbilde. bilde 17 Ekstremalpunktet er markert som A i grafikkfeltet og som A(-1,-2) i algebrafeltet og det betyr at når x=-1 er y=-2 og funksjonen x^2+2x-1 har sin laveste verdi som -2. Denne gangen tok vi med symmetrilinja for en bedre visuell beskrivelse, men dette er ikke nødvendig. Det holder med kommandoen Ekstremalpunkt[<polynom>] og vi kan slette symmetrilinja ved å markere denne i algebrafeltet og trykke delete som på bilde Side 10

12 bilde 18 Deretter skriver vi inn kommandobruken og vi har bilde 19 som skjermbilde. bilde 19 Legg også merke til at grafen har nullpunkter og vi finner dem i tillegg til at vi kommuniserer hva vi har gjort og resultatet. Da har vi en veldig god løsning som bilde 20. bilde 20 Side 11

13 Mange praktiske situasjoner kan beskrives med andregradsfunksjoner og vi må hele tiden være oppmerksom på definisjonsmengden som i de foregående oppgavene. Et godt praktisk eksempel kan være et underarmskast hvor ballens bane er uttrykt og beskrevet som andregradsfunksjonen -0,05x^2+2x+0,4 Her er det mange interessante måter å angripe denne oppgaven på. Først ville jeg lagt merke til; - Vi har en andregradsfunksjon, altså symmetrilinje om ekstremalpunkt, og a=-0,05. Siden -0,05<0 betyr dette toppunkt. Dette forventer vi siden ballen først kastes oppover i høyden. - Finner jeg x verdi for symmetrilinje, tripler jeg den vanligvis, og dermed vet jeg, vanligvis, sluttpunkt på definisjonsmengde. - Andregradsfunksjonen skjærer y-aksen i 0,4 for c=0,4 som er konstantleddet X(symmetri)=-b/2a=-2/-0,1=20 Altså kan jeg ha en sluttverdi på definisjonsmengden som 60. Startverdien er 0, for der starter jo kastet og jeg kan skrive inn kommandoen Funksjon[<funksjon>,<start>,<slutt>] som blir Funksjon[-0.05x^2+2x+0.4,0,60]. Finn også ekstremalpunkt, nullpunkt, navngi aksene og bruk noen ord, tekst og kommunikasjon og du vil få bilde 21 bilde 21 For oppgaven ovenfor kan det også være interessant å beskrive når, altså mellom hvilke lengdemeter, ballen har en høyde større eller lik 8 meter. Høyde er gitt som y-verdi og vi kan starte med å skrive i inntastingsfeltet y=8. Deretter kan vi klikke oss inn på andre firkant fra venstre. Vi velger skjæring mellom to objekt. Deretter kan vi la markøren gli over skjæringspunktene. Når begge grafene markerer seg med litt fetere linje kan vi klikke og vi får først skjæringspunkt D og deretter E. Prøv dette og dere får bilde Side 12

14 bilde 22 For P-fagene, ny av året, kan en også bli bedt om å beregne stigningstallet mellom to punkter på en polynomfunksjon og derfor skal vi lære oss å sette av punkter gitt at vi har punktkoordinater. Deretter skal vi bruke en ny kommando linje som vi finner som førstevalget under andre boks fra venstre. På andregradsfunksjonen x^2-3 finner vi punktene A(-1,2) og B(-1,-2) og vi skal bestemme stigningstallet til den rette linja mellom punktene. Først skriver vi inn andregradsuttrykket og deretter skriver vi i inntastingsfeltet punktkoordinatene (-1,2) og deretter (-1,-2). Deretter trekker du en linje mellom punktene og finner ax+b til denne rette linja fra algebrafeltet hvor a-verdi er stigningstall. Se bilde 23. bilde 23 Andre og tredjegradsfunksjoner, øvingsoppgave 1 Tredjegradfunksjonen -0.03x^3+2x^2-12x+3 kan beskrive noe i naturen når den har x verdier større eller lik -10 til x-verdier mindre eller lik 80. Graf funksjonen og bestem hvor den skjærer y-aksen. Bestem også ekstremalpunktene og når tredjegradsfunksjonen er større enn 600. Bilde 24 gir deg innblikk i selve funksjonen, men ikke noe annet. Side 13

15 bilde 24 2P, 2PY For disse fagene kan du også få i oppgave å grafe/ tegne eksponential og potensfunksjoner. De har det generelle funksjonsuttrykket som: Eksponentialfunksjoner som a*b^x hvor a er funksjonens startverdi og b er vekstfaktor. Den variable, x, er ofte tid gitt som år, men også i andre perioder som sekunder, minutter, dager. Potensfunksjoner som a*x^b hvor den variable er vekstfaktor, og hvor b, i dette tilfellet, er en bestemt verdi. Nedenfor, to eksempler, en fra hvert uttrykk og merk at du skal arbeide med disse uttrykkene slik du har gjort i 1P. Eksponentialfunksjon, eksempeloppgave En bakteriekultur vokser med en prosentvis vekst på 35% per 3 timer. Bakteriekulturen har en startverdi på femti tusen. a) Beskriv funksjonsuttrykket og graf dette fra og med -5 perioder til og med 10 perioder Fra de medisinske lærebøkene får du vite at menneskekroppen først viser symptomer på sykdom etter at bakteriekulturen har en verdi på åttehundre tusen. b) Etter hvor mange timer vil dette skje? Etter at du viser symptomer kan en få behandling som vil redusere bakteriekulturen med 75% per periode på 3 timer. c) Graf denne situasjonen på samme koordinatsystem d) Etter hvor mange perioder vil bakteriekulturen være på etthundre tusen eller færre Side 14

16 Bilde under gir et godt utgangspunkt for ditt eget løsningsforslag og husk å kommuniser svaret ditt med tekst og navn på aksene. Potensfunksjon, eksempeloppgave Du skal ta opp et lån til en ny moped og vil gjerne låne 5000 kroner. Du innhenter lånetilbud fra 3 banker hvor bank A tilbyr 7% rente, bank B tilbyr 5,5% rente og bank C tilbyr 8% rente. a) Graf de forskjellige situasjonene 5 år fram i tid på samme koordinatsystem og beskriv funksjonene med A(x), B(x) og C(x) Regn ut b) Hvor stor er prisforskjellen i prosent mellom det dyreste og rimeligste lånetilbudet etter 10 år med bakgrunn i renteutgiftene. Bildet under er en god beskrivelse på oppgave a) hvor du selv må skrive inn kommunikasjon. Oppgave b) må du regne ut og svaret vil være omtrentlig 38,9%. Hvis du fikk 20,9% inkluderte du sikkert også lånebeløpet i din utregning. Side 15

17 Kostnadsfunksjon og overskudd Litt forenklet kan vi si at overskudd tilsvarer inntekter kostnader og videre hvis vi har en inntektsfunksjon kan vi dermed trekke kostnader fra inntektene og vi har overskudd. I eksemplet nedenfor er x produserte enheter og alle funksjonene I(x), K(x) og O(x) er gitt i kroner hvor I(x) er inntekter, K(x) er kostnader og O(x) er overskuddsfunksjon. Derfor er O(x)=I(x) K(x) Bedriften som produserer enhetene (har ikke noe å si hva disse enhetene egentlig er) har en I(x)=250x og en K(x)=0,035x^2+125x Graf disse funksjonene og skjermbildet ditt vil være som bilde 25. bilde 25 Over, i teksten, ble vi enige om at når g(x)>f(x) har vi overskudd. Altså når inntektene er større enn kostnadene og inntektene er g(x) og kostnadene er f(x). Se nøye på skjermbildet deres og finn når avstanden grafene er størst og kun i definisjonsmengden når g(x) ligger høyere enn f(x). Jeg vil si at den avstanden er størst når vi har x-verdier som nærmer seg Altså, 2000 enheter produsert. Vi finner h(x)=g(x)-f(x) Side 16

18 h(x)=250x-(0,035x^2+125x+35000) h(x)=-0,035x^2+125x Nå kan vi grafe h(x) og ved toppunktet har vi maksimert overskuddet og igjen funnet en fin praktisk anvendelse for toppunkt. Bilde 26 gir en beskrivelse på dette. Det kan også være interessant å bestemme når inntekter er større enn kostnader. Altså i hvilket intervall og først finner vi skjæringspunkt mellom g(x) og f(x) og kan videre lese av x-koordinatene når dette skjer som på bilde 27. bilde 26 bilde 27 Side 17

19 Regresjon Kort fortalt, ved regresjon finner vi det beste matematiske uttrykket/ modellen ved at vi kjenner mange nok historiske punkter. Fra denne matematiske modellen kan vi nå beskrive hva som kan skje i framtiden. Dette kalles ekstrapolere og jeg kaller det gjerne å spå inn i framtiden for absolutt alle funksjoner har en iboende usikkerhet, har blitt meg fortalt. Veldig mye mer om dette finner dere som videoer her: Og en artikkel om hvorfor jeg synes regresjon er viktig og praktisk: Det er gjennom koeffisienten R og denne i andre, altså R^2, vi bestemmer hvilken modell som passer best (best tilnærming). Jo nærmere denne er 1 jo bedre er modellen du har valgt. Rett linje (lineær, førstegradsfunksjon) regresjon med graftegner (Geogebra) Tabellen nedenfor gir kvadratmeterpris på leiligheter i Oslo. Ved hjelp av lineær modellering (regresjon) skal vi bestemme hva kvadratmeterprisen kan være i år 2020 (altså, spå inn i framtiden). Årstall x f(x)=y, kroner per kvadratmeter Fra tabellen ser dere at jeg ikke bruker årstallene som mine x-koordinater. Til det er årstallene for store. Derfor setter jeg at i år 2009 er x=0. Dette betyr at i år 2014 er x=5 og i år 2020, som jeg er interessert i, x=11 Videre kan vi se at det er muligens en rett linje (lineær, førstegradsfunksjon) som passer best med et stigningstall på omtrentlig 1500 kroner per år (7000/5). Men jeg vil gjerne ha funksjonsuttrykket ax+b mest mulig korrekt og bruker derfor matematikk og regresjon. Fra menylinja klikk på VIS og velg REGNEARK. Overfør så verditabellen til REGNEARKET og husk at A- kolonnen er x og B-kolonnen er y. Se bilde 28. bilde 28 Side 18

20 Deretter skal du forklare Geogebra hvilke verdier du vil at de skal analysere for deg ved hjelp av regresjon. Derfor mørklegger du (markerer) de aktuelle rutene fra REGNEARKET og sender disse til REGRESJONSANALYSE. Med rutene mørklagt (markert) utgave velger du nå boks to fra venstre og andrevalget REGRESJONSANALYSE. Skjermbildet ditt er som bilde 29. bilde 29 Du klikker nå ANALYSER og under REGRESJONSMODELL velger du LINEÆR. Lineær er jo det samme som rett linje som igjen er det samme som førstegradsfunksjon. Skjermbildet ditt er nå som bilde 30. bilde 30 Dette bildet forklarer mer enn 1000 ord. Det røde uttrykket er den røde rette linja som passer best til alle punktene fra verditabellen. Det er fra denne vi skal ekstrapolere hvor mye det vil koste i år Altså, når x=11. Derfor velg og skriv tallet 11 inn i den tomme ruta under det røde funksjonsuttrykket og trykk enter. Skjermbildet ditt er nå bilde 31 og y= Altså, med samme utvikling til år 2020 som det var mellom årene 2009 og 2014 vil kvadratmeterprisen være Side 19

21 R^2 finner du ved å trykke på x knappen og bilde 32 representerer ditt skjermbilde. bilde 31 bilde 32 Her kan vi lese R^2 til 0,8928 som er relativt nærme 1 og dermed akseptabelt. Hvis du sjekker for R^2 for polynomfunksjoner vil den, nesten alltid, være bedre. Men i denne oppgaven skulle vi lage en lineær modell. Sjekk også med x=50 og spør deg selv om dette vil være en riktig utvikling? Matematisk er det jo korrekt, men jeg er samtidig ganske sikker på at andre vil argumentere at det ikke kan stemme. Dette gjør denne typen matematikk utrolig interessant. Kan det finnes andre matematiske modeller som passer bedre jo lengre inn i framtiden vi reiser? Dette er spørsmål dere må diskutere på høgskoler og universiteter og ikke i 2P, dessverre, egentlig. Side 20

22 For et bedre bilde av bilde 30 på skjermen din kan du overføre DATAANALYSEboksen til grafikkfeltet ved å trykke på den tomme ruten med en pil pekende mot høyre (denne ligger mot høyresiden og mot toppen) og velg KOPIER TIL GRAFIKKFELTET. Skjermbildet ditt vil nå være bilde 33. bilde 33 Klikk nå på grafikkfeltet og kryss ut REGNEARKET og etter å navngi aksene vil bilde 34 være ditt skjermbilde. Merk at jeg har tilpasset aksene som vi lærte først i kurset eller som innlæring på Nå kan du selv bruke ABCboksen og skrive inn passende kommunikasjon, ord og tekst. bilde 34 Merk at etter at du har bilde 34 kan du arbeide med denne på tilsvarende måte som tidligere i kurset med alle de samme kommandoene. Dette er kun begrenset av hva du blir spurt om i oppgaven. Side 21

23 Rett linje (lineær, førstegradsfunksjon) regresjon for hånd, på øyemål. Jeg har gjort mange forsøk, med blant annet et hundretalls av elever, på lineær regresjon for hånd med den samme verditabellen og resultatet er nærmest likt som ved Geogebra. Prøv dette selv, men husk at du må være nøyaktig med å sette av punktene korrekt. Derfor bruk ruteark og en gjennomsiktig linjal. Ikke juks ved å titte på Geogebraløsningen. Du vil ikke få verdier for R^2, men lengdeavstandene du skal benytte kan oppmåles og dermed regnes ut. Dette skal vi ikke gjøre i dette kurset. Eksponentialfunksjon, regresjon Dette foregår på samme måte som med lineær, men her velger du EKSPONENTIELL som REGRESJONSMODELL. Folketallet i en kommune i Brasil er beskrevet eksponentielt og med bakgrunn i verditabellen nedenfor skal du undersøke hva folketallet var i 1995 og vil bli i Årstall x Y, folketall Dette, synes jeg, er en markant nedgang i folketallet og den store fraflyttingen skyldes muligens politiske beslutninger eller naturkatastrofer. Tross alt har kommunene en nedgang på 33% over 7 år. Jobb systematisk med denne å se om du får samme resultat som meg: Folketallet i år 1995 (x=-5) er Folketallet i år 2030 (x=30) er Begge gjennom den eksponentielle funksjonen ,97* ^x Som du legger merke til er bilde 38 uten kommunikasjon og det er din oppgave å rette på. bilde 35 Side 22

24 bilde 36 bilde 37 bilde 38 Side 23