Fsit 9 Oppgvebok Kpittel 4 Bokmål
Kpittel 4 Geometri og beregninger Arel og omkrets 4.1 54 m b 106 m 4.2 162 m2 b 484 m2 4.3 26,0 cm2 b 22,5 cm2 c 20,0 cm2 d De tre rektnglene hr lik omkrets, 21 cm 4.4 6 cm2 b 9 cm2 d 4 cm2 4.5 17,5 cm2 b 30 m2 c 6,8 m2 4.9 32 cm b 48 cm c 40 cm d 56,4 cm e 16 t 4.10 -d e 18 cm gir 4 løsninger, 24 cm gir 6 løsninger, 30 cm gir 7 løsninger, 17 cm gir 0 løsninger. (Forklring: lengde + bredde er hlve omkretsen, derfor må omkretsen : 2 være et helt tll for t det skl være mulig. Hvis omkrets : 2 er et prtll, er ntll løsninger hlvprten v dette. Hvis hlve omkretsen er et oddetll trekker vi fr 1 før vi deler på 2.) 4.11 4 dm2 b 4.12 Et kvdrt. Hvis s er lengden til siden i kvdrtet, er omkretsen O = 4s og relet A = s2. 4.13 4.6 12 cm2 b 14 cm2 c 15 cm2 4.7 4.8 Trpes (to prllelle sider); A = 10,5 cm2 b Prllellogrm (to og to prllelle sider); A = 12 cm2 c Trpes (to prllelle sider); A = 10,5 cm2 4.14 4.15 4.16 Grunnlinj i treknten er dobbelt så lng som grunnlinj i prllellogrmmet.
4.17 Treknten kn bli stumpvinklet, rettvinklet, spissvinklet eller likebeint. b Arelet blir det smme (10) unsett hvilken form treknten hr. 4.18 ABEG, omkrets 20, rel 25 b Nei c ABDF og BCDF. Begge hr omkrets 21,2 og rel 25 d ABF, BDF og BCD hr lle omkrets 16,2 og rel 12,5. AFG, BEF og BDE hr omkrets 13,1 og rel 6,25 e ABDG hr omkrets 23,1 og rel 31,25. ACDF hr omkrets 26,2 og rel 37,5. ACDG hr omkrets 28,1 og rel 43,75. 4.19 9,5 m2 b 2,4 m2 c 14,25 dm2 d 3,66 cm2 4.20 12 cm2 b 8 cm2 c 9,5 cm2 4.21 8 cm, 12 cm, 12 cm b bredde 4 cm, lengde 10 cm c 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm 4.22 24 cm 4.23 Ved å fktorisere 150 og teste hvilke muligheter som psser med omkrets 50, finner du t lengden er 15 m og bredden er 10 m. 4.25 4.26 6 cm b 4 cm c 1 cm d 80 cm 4.27 Mnge løsninger, for eksempel: A skl ut fordi det er den eneste firknten. B skl ut fordi det er den eneste figuren med ulik lengde på lle sidene. D skl ut fordi det er den eneste figuren som ikke hr rel 12. 4.28 1 Snt, for mnge treknter, men ikke for lle. Likesidede treknter hr tre like høyder, likebeinte treknter hr to like høyder. 2 Usnt, med mindre prllellogrmmet også er et rektngel, d er det snt. 3 Snt, lltid. 4 Usnt. 5 Snt, lltid. 6 Som regel usnt, men i spesiltilfeller kn de to ikke-prllelle sidene være like lnge. 4.29 Lengde Lengde b Høyde Arel 5 cm 7 cm 3 cm 18 cm2 8 cm 12 cm 4 cm 40 cm2 5 cm 9 cm 4 cm 28 cm2 13 cm 8 cm 8 cm 84 cm2 4.24 A = 12 cm2, O = 14,4 cm b Når A minker blir relet mindre. Når A øker opp mot 90 blir relet større. Når A øker fr 90 til 180 blir relet mindre.
4.30 4.37 1 4 c 1 8 d 1 24 b 1 6 d 1 12 f 1 3 b 45 c 13,5 cm2 4.31 i) 10,5x2 ii) 16x2 iii) 14x2 b i) 42 og 94,5 ii) 64 og 144 iii) 56 og 126 4.38 O 10 cm A 5,3 cm2 b O 18,56 cm A = 12 cm2 c O 16,7 cm A 16 cm2 4.39 Sirkelens geometri 4.32 4.33 4 m b 6,5 cm c 0,8 m 4.40 Alle vinklene er 60 4.34 12 cm b 18 m c 1,4 cm 4.35 28,26 cm b 15,7 m c 2,67 mm d 81,64 cm e 5,65 m f 26,4 cm 4.36 50,24 cm2 b 1017 mm2 c 113 m2 d 314 cm2 e 39 388 cm2 4 m2 f 19,6 m2
4.41 4.46 Rdius Dimeter Omkrets 6 cm 12 cm 37,68 cm b 0,6 m 1,2 m 3,768 m c 4,5 mm 9 mm 28,26 mm d 1,9 cm 3,8 cm 11,932 cm e 1,2 m 2,4 m 7,536 m f 0,025 km 0,05 km 0,157 km 4.47 b c J, det er en lineær smmenheng 4.42 4.48 75,5 % b 4,0 m 4.49 b c Nei, det er ikke en lineær smmenheng b Firknten SATB er en drge c T = 120 4.43 4.44 Korden AB er 3,5 cm. 4.45 45 b begge er 22,5 4.50 O 12,56 cm A 3,14 cm2 b O 49,4 cm A 45,1 cm2 c O 16,5 cm A 12,56 cm2 d O 21,7 cm A 11,0 cm2 4.51 O 9,14 cm A 4,71 cm2 b O 29,3 m A 50,9 m2 c O 2,3 m A 0,21 m2 d O 10,9 cm A 7,36 cm2
4.52 Konstruksjonsforklring: - Setter v linjestykket AB = 8 cm - Konstruerer midtnormlen til AB og tegner hlvsirkelen over AB. - Setter v C 2 cm fr B - Trekker opp treknten ABC 4.53 b Konstruksjonsforklring: - Konstruerer midtnormlen til AC - Setter v D på midtnormlen til AC, 4,5 cm fr A, finner en løsning - Trekker opp firknten ABCD, b Konstruksjon: - Strter med linjestykket mellom Gustv (A) og kiosken (B). - Finner normlen til i B. - Bruker «Sirkel definert ved sentrum og rdius» og velger rdius 2. - Bruker «Skjæring mellom to objekter» og finner punkt C eller D som huset til Jens. - Bruker «linjestykket med bestemt lengde» fr B, velger vstnd og finner hus nr. 2 som Gustv kn h (E). 4.54 Firknt AEBF er en drge A =90, E =120, B =90, F =60
4.55 4.62 1 4 b 1 : 1 4.63 De fire tngentene dnner en rombe. De to spisse vinklene er 30, de to stumpe vinklene er 150. 4.64, b, c 4.56 Konstruksjonsbeskrivelse: - Tegn to korder som ikke er prllelle - Konstruer midtnormlen til hver korde - Sentrum er i skjæringspunktet mellom de to midtnormlene 4.57 C. 5,1 m 4.58 O 18,84 m A 25,6 m2 b O 12,2 cm A 5,63 cm2 c O 21,25 cm A 9,2 cm2 d O 14,28 cm A 12,56 cm2 4.59 5,5 cm A = Ask sitt hus, B = Birk sitt hus og C = Ctos hus 4.65 En rombe 4.60 12,56 cm2 b Tllverdien er lik. Det henger smmen med t 2r og r2 hr smme verdi for r = 2. 4.61 Omkretsen til sirkel A er tre gnger så lng som omkretsen til sirkel B. b Arelet til sirkel A er 9 gnger relet til sirkel B.
4.66 4.74 C. 1,5 L 4.75 C. 5,64 m3 4.76 Alle syv kulene er 1077 cm3 b 398,8 cm3 Sentrum til omskreven sirkel (D) finnes i skjæring mellom midtnormlen til sidene (blå linjer). Sentrum til innskreven sirkel (E) finnes i skjæring mellom vinkelhlveringslinjene (røde linjer). Tredimensjonle geometriske figurer 4.67, c og d b 4.68 O = 392 cm2 V = 480 cm3 b O kn være flere løsninger V = 1425 cm3 c O = 12 900 cm2 = 1,29 m2 V = 90 dm3 4.69 J, boksen rommer 6,48 L 4.70 2,5 m 4.71 78,4 m3 4.72 4,57 m2 4.73 442,3 cm3 b 295 cm3 = 0,3 L c C. 0,9 kg 4.77 Ksse 1 b Ksse 1 4.78 Eksempel: lengde = bredde = 0,7 m 4.79 0,39 m3 b 0,41 m3 c 943 kg 4.80 180 cm3 b 4.81 482,2 cm2 b 0,534 g/cm3 4.82 Pyrmiden hr størst volum 4.83 (NB! Feil i 1. opplg. Regn 1 cm3 veier 0,1 grm.) 189 cm3 b 4347 kj c Det er energi til 0,47 døgn 4.84 201 cm2 b 56 cm3 4.85 Omtrent 3 L b Omtrent 15 %
4.86 4.94 Omtrent 3,6 L b Omtrent 23 % c 3 b 0,664 m3 1793 kg 3 4.87 5,4 cm b 4.88 4.89 Omtrent 2,1 L b (NB! Feil i 1. opplg. Truls lger pi i en form med dimeter på 30 cm.) Forklring: Høyde og er fste størrelser. Det er bre rdius som vrierer. Nin: 2r2 = 200, Truls: r = 225. Slik blir det mer pi hos Truls. c 36 % 4.90 b Overflte blå: 3π r 2 4 Overflte grønn: π r 2 2 Overflte ros: π r 2 4 c 3 : 2 : 1 d Det svrer til hvor mye som er igjen v sirkelen (tre firedeler, to firedeler og en firedel) 4.91 0,77 m3 b 27 % 4.92 b 16 Vi ser v tbellen t 98 mm er den rdiusen som hr minst vvik fr volum 4 L. Omkretsen til denne bllen er 61,5 cm. Bllen er for stor til å være en håndbll. Blndede oppgver 4.95 Rektngel: 15 cm2 b Prllellogrm: 15 cm2 c Sirkel: 19,6 cm2 d Treknt: 10 cm2 e Rettvinklet treknt: 9,8 cm2 f Trpes: 12,75 cm2 4.96 (NB! Feil i 1. opplg. Det skl spørres etter figur og c.) Omkretsen v figuren i er 16 cm og figuren i c er 15,7 cm 3 4.93
4.97 Dimeter b Rdius c Korde d Seknt e Tngent 4.98 Geometrisk form Grunnlinje Høyde Arel Rektngel 9 cm 17 cm 153 cm2 Prllellogrm 13 cm 27 cm 351 cm2 Kvdrt 11 cm 11 cm 121 cm2 Treknt 8 cm 6 cm 24 cm2 4.99 O = 392 cm2 V = 480 cm3 b O = 1,69 m2 V = 0,132 m3 4.102 Kube b Sylinder c Pyrmide d Rett prisme e Kjegle f Trekntet prisme 4.103 2,55 m3 4.104 20,8 cm 4.105 120 b 72 c 30 d 90 4.100 O = 62,8 cm A = 314 cm2 b O = 37,68 mm A = 113,04 mm2 c O = 1,256 m A = 12,56 dm2 d O = 8,792 cm A = 6,15 cm2 e O = 25,12 cm A = 50,24 cm2 f O = 15 cm A = 18,1 cm2 4.101 O = 26,5 cm A = 41,87 cm2 b O = 39,2 cm A = 95,4 cm2 c O = 94,0 cm A = 279,1 cm2
4.106 (NB! Feil i 1. opplg. Nvnsettingsfeil i oppgve b og c. Lr lle trekntene hete ABC.) 4.109 Figuren er en drge 4.110 4.111 Frfr hr den største kkeboksen 4.112 200,52 cm2 b Obs: To ulike løsninger i b 4.113 Sylinderen b Kul c Kuben 4.114 657,2 cm2 b 1276 cm3 4.115 5 cm2 b 8 cm2 c 8 cm2 4.116 26,54 cm c 4.107 4.117 42 cm2 4.118 O = 300 cm A = 4680 cm2 b O = 360 cm A = 9360 cm c 6 bord Utvendig omkrets: 720 cm Innvendig omkrets: 360 cm Arel: 28 080 cm2 2,8 m2 4.119 63,69 m b C. 54 m3 4.108
4.120 14 m b 196,5 m2 c 47 155,2 m3 d 3930 lstebillss 4.121 4.125 c e b f h g d - 4.126 4.127 b 139,8 m3 b (NB! Feil i 1. opplg: Ikke B, men: E = 90) 4.128, b (Hjelpefigur) c c 3 gnger så stort d A = B = 90, C = 120, D = 60 4.129 h = 2,4 cm 4.130 300 % 4.122 41 blomster 4.123 125 cm2 4.124 22,93 cm 4.131 b Omtrent 184 m 4.132 Omtrent 60 iskuler 4.133 2500 m2 b 50 m
4.134 O 5,4 m A 1,65 m2 4.141 4.135 5,35 cm 4.136, b, c, d, e : π f Nei, unsett hvor små hlvsirklene er, vil de til smmen h lengde π 4.137 b Hlvkule + sylinder = 4πr 3 3 2 + πr 2 r = ( 2 3 + 3 3 )πr 3 = 5 3 πr 3 4.138 54,4 L 4.139 200 m (Rdius i den store hlvsirkelen rundt mål er 6,25 m, så de rette linjene fr hlvsirkelen ned til kortsiden v bnen er 1,575 m. Siden elevene ikke hr lært pytgors, kn de tegne figuren og måle de skrå linjene i trpeset. De er 6,1 m lnge.) 4.140 Trekk en digonl mellom de gule hjørnene slik t det gule feltet består v to deler. En slik del er (en sirkelsektor en treknt). π12 A gult felt = 2 ( 4 1 2 ) = 2 π 2 = π 2 4 2 b 57 % b c Konstruksjonsforklring: Strter med linj gjennom BC og finner BC = 3 cm Konstruerer 30 i B og finner D 8 cm fr B Trekker opp CD Konstruerer midtnormlen til BD for å finne midtpunktet til BD Slår hlvsirkelen over BD. A må ligge på buen fordi A = 90 Slår buen 6 cm fr C og finner to skjæringspunkter A og A 1 2 A kn ikke være løsning d AD > BC 2 Trekker opp AB og AD 4.142 Senior menn: 696,6 cm3 Senior kvinner: 448,7 cm3 b Senior menn: 10,42 Senior kvinner: 8,9 c Obs! Oppgven krever ferdigheter utover det som er vist i grunnbok. Se ekstr undervisningsopplegg om kubikkrot på Lærerrommet.
4.143 420 m b 831 m (buen ved mål hr lengde 17 m) c 831 kg d 10 800 m2 e 13 000 x (gressmengde per kvdrtmeter) 4.144 b ABC: 20,14 BGF: 7,19 ABI: 9,94 ADF: 8,89 AIF: 4,45 ACD: 32,14 c 72,42 4.145 4.150 36º b Fordi 72º er 1 v hele sirkelen på 360º 5 c De to trekntene hr smme grunnlinje (AB), men høyden til ABS er mindre enn rdius, mens høyden til ABC er (rdius + høyden til ABS) og derfor mer enn dobbelt så lng. Derfor blir A ABC mer enn dobbelt så stor som A ABS. 4.151 b Hus 1: 57 Hus 2: 61,8 Hus 3: 56,6 c Alle husene: 9 d Hus 1: 36 Hus 2: 40,5 Hus 3: 37,5 4.146 Sideknten er et trpes og toppen er en sirkel. b Vi regner med t den oppgitte høyden er omtrent lik høyden i trpeset. D er relet v sirkel og trpes omtrent 186 cm2. c 53, hvis ikke noe må klippes bort. Men siden muffinsformen består v trpes og sirkel, må det bli litt svinn. 4.147 (NB! Feil i 1. opplg. Feil figur i bokmålsutgven. Se ny versjon på Lærerrommet under «korrigerte sider».) Omtrent 2,2 L 4.148 Avhengig v størrelsen. Overflten består v 8 likesidede treknter. Eksempelmål; sideknt 8 cm, høyden til sideflte 7 cm gir overflte 112 cm2 4.149 4 ulike femknter b 8 ulike treknter