2-87 OPPDMGSRAPFDRT. Ansvaflig: / Foreløpig rapport vedrørende Eidfossen i Bagn. Oppland Energiverk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "2-87 OPPDMGSRAPFDRT. Ansvaflig: / Foreløpig rapport vedrørende Eidfossen i Bagn. Oppland Energiverk"

Transkript

1 EDFSSEN BAGN

2 PPDMGSRAPFDRT 2-87 Rapportens tttel: Foreløpg rapport vedrørende Edfossen Bagn Dato; Rapporten er:åpen pplag: 15 Saksbehandler/Forfatter: Johan E. Engebak Grunnvannskontoret Ansvaflg: / :."1 - ' -)..(/.... t "" Øysten Aars ppdragsgver: ppland Energverk Konklusjoner: Datagrunnlaget er for lte tl å trekke skre konklusjoner om grunnvannsforholdene. Det ndkerer mdlertd at massene på alle målestedene er meget permeable og at elvepåvrknngen på grunnvannstanden vl være stor.

3 FRRD våren 1986 ble Hydrologsk avdelng Grunnvannskontoret kontaktet av ppland Energverk anlednng planene for utbyggng av Edfossen Begna. Den ble det foretatt en befarng tl Edfossen for å vurdere behovet for grunnvannsundersøkelser forbndelse med en eventuell utbyggng. Med pa denne befarngen var som sakkyndg for landbruks- nteressene fylkesagronom l. Råstad og svlagronom S. Thorsrud Sør-Aurdal og fra Grunnvannskontoret førstehydrolog ø. Tlrem og ngenør J. Engebak. Under befarngen ble det enghet om hvlke steder som burde undersøkes med hensyn tl grunnvannet. brev av ble dette forelagt oppland Energverk som brev av hovedsak sa seg eng opplegget for undersøkelsene. Feltarbedet med etablerng av undersøkelsene ble utført ukene 29 og 32. uke 41 ble grunnvannsnttene proflert og snttene og gårdsbrønnene som er med undersøkelsene ble knyttet tl NVE's elvenvellement. Selve grunnvannsmålngene ble startet begynnelsen av august. Den forelggende rapport er en foreløpg rapport for å nformere om opplegget for grunnvannsundersøkelsene ved Edfossen. Den gr nformasjon om beregnnger og vurdernger som kan utføres på grunnlag av det datamaterale som blr nnsamlet. Lmngrammer og korrelasjonsberegnnger som er vst rapporten er basert på data fra underkant av tre måneder. Dette er alt for lte tl å trekke slutnnger om grunnvannsforholdene på stedet men det kan vse noen tendenser som må tolkes meget varsomt. En har kke data for vårflom og lave vntervannstander og en har kke årlge vannstandsvarasjoner som kan være vdt forskjellge fra år tl år. slo januar 1987 vl--#- Arne Tollan avdelngsdrektør

4 NNHLD Sde 1. NNLEDNNG 3 2. GENERELT M GRUNNVANN Grunnvannsforekomster Grunnvannsmagasnet Grunnvannstrømnng Grunnvann fjell 8 3. GRUNNVANNSUNDERS0KELSER VED VASSDRAGSREGULERNG bservasjon av grunnvannstand Grunnvannformasjoners geolog ANALYSE AV GRUNNVANNSBSERVASJNER Regresjons- og korrelasjonsanalyse Geolmngrammer Snttdgrammer og kotekart soppstuvng elv MALESTEDENE S. Helland N. Helland Fønhusjordet ytterenge Ed Nordre Sanvarasjoner for snttene sanunendrag LTTERATUR: 18

5 3 l. NNLEDNNG Ved etablerngen av grunnvannsmalngene ved Edfossen ble det opprettet malng følgende sntt og malepunkter (se fg..l); - Et sntt bestaende av 2 rørbrønner grenselnjen mellom eendommene Søndre Helland og Nordre Helland. - Malng gardsbrønn pa Søndre Helland. - Malng en rørbrønn ca 50 meter fra grenselnjen nn pa eendommen Nordre Helland. - MAlng 2 gardsbrønner pa Nordre Helland. - Malng et sntt bestaende av 3 rørbrønner pa et jordstykke som tlhører Mkkel Fønhus's datter (Nedenfor eendommen Tørstad). - Malng et sntt bestaende av 3 rørbrønner p Ytterenge pa den andre sden av Begna. - Malng et sntt bestaende av 2 rørbrønner pa eendommen Ed Nordre. snttet pa Søndre Helland var det planlagt 2 rørbrønner tl men masseforholdene borpunktene var sa vanskelge at v kke fkk satt ned rør dypt nok. Ved rørbrønn 2 Fønhus og rørbrønn l ytterenge var ogsa masseforholdene sa vanskelge at v kke fkk full dybde pa brønnene. En kan her male mdlere og høye vannstander noe som dette tlfelle er det mest nteressante. pa grunnlag av data t.o.m. oktober maned 1986 har v framstlt lmngrammer og korrelasjoner. For sammenlgnng av grunnvannstander og vannstander gardsbrønner med elvevannstanden har v anvendt data fra NVE's vannmerke 2417 Ed. Datamengden er for lten tl A bedømme grunnvannsforholdene pa stedet og er bare ment som en foreløpg llustrasjon og en mulg tendens tl pavrknng avelvevannstanden pa grunnvannstanden. For a bedømme en regulerngs vrknng pa grunnvannstanden rna en ha smulerte vannstander elva. Etter denne nnlednng følger kapttel 2 en generell beskrvelse om grunnvann og grunnvannsundersøkelser. Kapttel 3 omhandler grunnvannsundersøkelser ved vassdragsregulernger og" avsntt 4 analyse av grunnvannsobservasjoner. Kapttel 5 er etablerngen av grunnvannsundersøkelsene ved Edsfossen og endel behandlng av nnsamlede data beskrevet. Sksser med belggenhet sntt dagrammer etc. er samlet bakerst etter beskrvelsen. 2. GENERELT M GRUNNVANN Grunnvannet dannes ved nfltrasjon og nedsg undergrunnen av overflatevann dvs. regnvann smeltevann fra s og snø og flomvann fra vassdragene. Etter kortere eller lengre td transtt gjennom grunnen vender grunnvannet tlbake tl overflaten som klder eller drekte som underjordsk tlsg tl vassdragene eller havet.

6 4 det vannet sger ned grunnen blr en del holdt tlbake som en tynn hnne omkrng jordkornene og de sma apnngene og porene mellom kornene. Dette skjer pa grunn av vannets evne tl a fukte andre bade organske og uorganske stoffer som jorda bestar av (adsorpsjon) og a trenge nn alle sma porer og apnnger mellom kornene (kapllartet). Vannet som blr tlovers etter at jordas kapllære vannkapastet er mettet kalles frtt vann. Dette sger vdere nedover jordproflet gjennom de større hulrom og!pnnger nntl det treffer pa fjell eller tette jordlag som f.eks. lere. Her demmes det fre vannet opp og fyller alle hulrom og apnnger slk at grunnen blr mettet av vann opp tl et bestemt nva grunnvannspelet. Dette er grunnvannsonen eller den mettede sone. Den del av jordproflet som lgger over grunnvannsonen kalles analogt den umettede sone og vannet denne for markvann eller jordfukt. Grunnvannspelet danner altsa skllet mellom den mettede og den umettede sone. Det defneres som det nva der vannets hydrostatske trykk er lk atmosfærens trykk. Dette gjelder for geologske formasjoner hvor jordas struktur er sapass apen at atmosfæren har fr kontakt med grunnvannet. Markvannet den umettede sone vl pa grunn av kapllarteten ha et væsketrykk (poretrykk) mndre enn atmosfæretrykket. Dette undertrykket kan males og mark- vannsnnholdet bestemmes ved hjelp av et sakalt tensometer. Jordsjktet umddelbart over grunnvannspelet kalles den kapllære sone her trekkes vann opp fra grunnvannet. Den kapllære stgehøyde avhenger sterkt av kornstørrelsen fra 2-10 cm fn grus og sand og opptl 10 m og mer fnkorng materale (tabell l). Grunnens kapllartet medfører at grunnvannspelet sjelden opptrer som en dstnkt flate. Man har heller en kapllær overgangsone hvor alle porer er fylt med vann og jorda mettet selv om en befnner seg over grunnvannets vrkelge nva. Et lte undertrykk vser mdlertd at vannet overgangsonen kke er frtt. Det regnes med nnunder markvannet. Tabell l. Kapllær stgehøyde (ref. Beskow 1935). Materale Kornstørrelse Stgehøyde Stgehøyde naturlge sedmenter enskornet Løs paknng Tett paknng materale mm cm cm cm Grus Sand Slt fn 6-2 l - 3 grov mddels fn grov Tlgang pa vann fra den kapllære sone har stor betydnng for planteveksten. Jordas evne tl a lede kapllært vann beror mdlertd kke bare pa den kapllære stgehøyde men ogsa stor grad pa den kapllære stgehastghet. Man har at dess fnere porer

7 5 desto lavere hastghet og dermed lengre td for passasje aven vss mengde vann. Bade stgehøyde og stgehastghet er første rekke avhengg av kornstørrelsen men omvendt forhold. Det optmale forhold med størst evne tl a lede kapllært vann har man jord som lgger pa overgangen mellom slt og sand dvs. mojord (tabell 2). Mojord leder kapllært vann bade forholdsvs raskt og høyt og er derfor mndre utsatt for uttørkng enn mer grovkornge jordarter. pa den annen sde er den ogsa relatvt mer utsatt for teledannelse om vnteren. Forøvrg beror den kapllære vanntransportkapastet pa jordas paknngsgrad (struktur) og humusnnhold. Tabell 2. Kapllær stgehastghet (ref. Atterberg). Mat.C!rlale Kornstørrelse Kapllær stgehøyde cm tden nun l døgn 2 døgn 8 døgn 18 døgn 30 døgn Grus fn Fn sand/ grov slt Slt grov '1 180 Slt mddels Lere 000 l Grunnvannforekomster Vare grunnvannforekomster er stort sett knyttet tl større grus og sandformasjoner. Dsse skrver seg fra sste std og ble avsatt ved stdens slutt under avsmeltngen av den mektge s kappe som da dekket landet. Landet vart har vært nedset flere ganger og fjellgrunnen er bltt skurt tl og utformet av sen under dens stadge bevegelse fra nnlandet ut mot kysten. Det tykke sdekket rev løs og malte opp fjellgrunnen tl sten og jord. Løsmateralet ble ført med og avsatt det fnere materale ute sjøen og det grovere ved skanten som store morenerygger (ra). Da avsmeltngen satte nn ved slutten av sste std og sen trakk seg tlbake ble løsmateralet gjerne lggende som et noenlunde jevntykt lag pa fjellgrunnen (bunnmorene). peroder med uregelmessg avsmeltng ble løsmateralet ofte etterlatt som store opphopnnger (endemorene sdemorene). Der hvor smeltevannet strønunet frem under sen som breelver ble dsse morenene vannbehandlet slk at det ble dannet store deltaer med sortert og gradert materale (sranddeltaer). særlg dalførene ble det lagt gjen store smeltevannavsetnnger (glasfluvale avsetnnger). Etter avsmeltngens slutt begynte elvene og bekkene a grave seg ned løsavlerngene. Grus og sand ble transportert bort og avsatt pa nytt laverelggende omrader (fluvale avsetnnger). De fnere fraksjoner ble vasket ut og lagt opp nnsjøer eller ført tl havet og avsatt der.

8 6 v fnner alltd fluvale avsetnnger langs vre vassdrag form av deltaer elveterrasser og elvesletter. Materalet som er avsatt langs elvene er gjerne godt sortert og gradert og dermed lett gjennomtrengelg for vann. Som regel str derfor grunnvannet deltaer og elvesletter god hydraulsk kontakt med elv eller nnsjø og grunnvannspelet vser ofte en utpreget samvarasjon med vannstanden dsse. p den annen sde har man ogs speselt elvesletter med en noks kompleks oppbyggng der undergrunnen bestr av vekslende lag av fnere og grovere materale (sand og grus) med ofte markert forskjellg permeabltet. Slke forhold vl selvsagt komplsere samspllet mellom elvevannstand og grunnvannstand. 2.2 Grunnvannmagasnet Grunnvannmagasnets størrelse beror p utstreknng og mektghet av den grunnvannførende formasjon. tllegg har formasjonens porøstet avgjørende betydnng. Med porøstet menes porevolumets andel av formasjonens totale volum. Som før nevnt er mdlertd noe av vannet porene bundet slk at man m sklle mellom porøstet og effektv porøstet (tabell 3). Effektv porøstet er den mengde frtt vann formasjonen kan nneholde uttrykt prosent av formasjonens volum. Som uttrykk for endrng grunnvannmagasnet har man: der dm er endrngen grunnvannmagasnet dh er endrngen grunnvannstanden n er effektv porøstet og A er grunnvannformasjonens utstreknng. Grunnvannsk1llet følger som regel det topografske vannskllet men unntak forekommer. Tabell 3. Representatve verder for porøstet (ref. Todd 1980). Materale Kornstørrelse mm Total porøstet \ Effektv porøstet \ Grus grov mddels fn Sand grov mddels fn Slt Lere r < Generelt er grunnvannstanden pavrket av nedbør temperatur fordunstnng vegetasjonens vannforbruk tlsg fra høyerelggende omrader og drenerng tl laverelggende omrader. Langs vassdragene star gjerne grunnvannet god hydraulsk kontakt med dsse og

9 7 varerer som regel samsvar med elvevannstanden. Norge har man typsk høy grunnvannstand forbndelse med snøsmeltngen og nedtnngen av telen. Senhøstes har grunnvannstanden gjerne et mndre maksmum strøk med markert høstregn men ogsa generelt pa grunn av at fordunstnng og plantenes vannforbruk mnsker. Utover vnteren synker grunnvannstanden gradvs som følge av at nfltrasjonen stopper opp pa grunn av snø og s. Man har ogsa langtdsvarasjoner over flere ar grunnvannstanden forarsaket av nedbør fattge og nedbørrke ar rekker eller peroder. Varasjonen grunnvannstanden er mer eller mndre faseforskjøvet forhold tl varasjonens arsak. Denne faseforskyvnng kan strekke seg over tmer tl dager og uker avhengg av grunnens fuktghetstlstand og gjennomtrengelghet for vann. 2.3 Grunnvannstrømn Løsmaterale er mer eller mndre permeabelt (gjennomtrengelg for vann). Permeablteten øker med kornstørrelsen dvs. den er lten lere og stor sand og grus (tabell 4). Foruten kornstørrelsen er kornformen og sorterngsgraden avgjørende for løsmateralers hydraulske egenskaper. Permeablteten er størst løsavsetnnger som er transportert og avsalt under vann. slke avsetnnger er fnstoffet vasket ut og de grovere fraksjoner gjerne sortert og gradert etter kornstørrelsen. Grovt og enskorng materale hvor fnstoff kke fyller mellomrommene har størst permeabltet. Tabell 4. Representatve verder for permeabltet (ref. Todd 1980). Materale Kornstørrelse Permeabltet mm ems Grus grov x 10-1 h mddels x 10-1 fn x 10-1 Sand grov x 10-2 mddels x 10-2 fn x 10-3 slt x 10-5 Lere < x 10-7 Myr 66 x 10-3 løsmaterale strømmer grunnvannet fra et høyere tl et lavere nva. Grunnvannspelets helnng og dybde under jordoverflaten avhenger av flere faktorer som terrengformasjon klmatske forhold grunnens permeabltet og eventuell hydraulsk kommunkasjon tl elv eller nnsjø med gjensdg utvekslng av vann. Stort sett følger grunnvannspelet terrenget. Grovkorng materale grunnen gr mdlertd et mye flatere grunnvannspel enn fnkorng materale.

10 8 Der vannførende formasjoner opptrer mellom ugjennomtrengelge (mpermeable) lag får man nnestengt grunnvann. Her står vannet ofte under trykk. Hvs en borer eller graver gjennom det demmende lag vl vannet stge opp hullet enkelte steder over terrengoverflaten hvs trykket er høyt nok (artessk brønn). Artessk vann strømmer mot det sted hvor trykket er lavest. Grunnvann strømmer vanlgvs lamnært dvs. rolg uten hvrvler og med lten hastghet. En egenskap ved lamnær strømnng er at hastgheten er proporsjonal med den hydraulske gradent dvs. med trykkhøydens fall. Dette uttrykkes ved Darcys lov som: v = k'r der v er hastgheten k er permeabltetskoeffsenten og r den hydraulske gradent. Hastgheten v er her ngen reell hastghet men en beregnngsmessg hastghet som er lk vannførng delt på brutto tverrsntt. Den vrkelge gjennomsnttlge strømnngshastghet er vn der n er formasjonens effektve porøstet. Permeabltetskoeffsenten uttrykker jordartens hydraulske lednngsevne. Permeablteten er først og fremst avhengg av jordartens egenskaper: effektv porøstet porenes kontnutet samt struktur og lagdelng. Vannets egenskaper er også bestemmende: tetthet og vskostet. lagdelte sedmentære avsetnnger er den horsontale permeabltet ofte større enn den vertkale. Den horsontale permeabltet kan være retnngsavhengg. Den hydraulske gradent er et ubenevnt tall som uttrykker fallet trykkhøyde pr lengdeenhet strøm- retnngen dvs. grunnvannspelets helnng strømnngsretnngen. 2.4 Grunnvann fjell De fleste bergarter Norge er lte porøse. Stort sett opptrer derfor vannet som fnnes våre bergarter sprekker. Kartleggng av grunnvann fjell krever derfor at man har kjennskap tl bergartens sprekkesystemer og hvordan de ble dannet. Hvor mye vann berggrunnen kan oppta og magasnere avhenger av størrelsen utstreknngen og forbndelsen mellom de enkelte sprekker. Grunnvannets strømnngshastghet er som regel større oppsprukket fjell enn løse masser. Vannet samles hovedkanaler som tlføres vann fra sdesprekker og strømnngen blr da gjerne turbulent. 3. GRUNNVANNSUNDERSØKELSER VED VASSDRAGSREGULERNGER Elveregulernger medfører alltd at vannstanden og vannførngen endrer seg fra sn naturlge rytme. Det generelle mønster er at

11 9 avløpet jevnes ut med reduserte flommer og økt lavvannførng og vannstand mens mddelvannførngen over Aret forblr den samme. Ved overførtng av vann fra et vassdrag tl et annet eller fra et punkt tl et annet nnen vassdraget vl vrknngene bl mer komplserte. Mddelvannførng det ene sted vl øke men" elveleet det andre sted vl bl tlsvarende mer eller mndre tørrlagt. NAr vannstanden elv eller nnsjø pa denne matnn heves eller senkes vl grunnvannstanden tllggende omrader tl en vss grad følge med forandrngene. Slke forandrnger har stor betydnng for allerede etablerte forhold forbndelse med plantevekst vannforsynng fra brønner samt teledannelse. Da et vassdrags nnflytelse pa grunnvannstanden avhenger av flere faktorer som tdlgere nevnt ma der hvert tlfelle hvor spørsmalet dukker opp forntas undersøkelser av grunnvannstand og elvevannstand jordart og undergrunnens beskaffenhet overflatens helnng og høyde over elvas nva nedbørmengde og fordelng av denne samt temperatur. 3.1 bserva::;jon av grunnvannstand For A kunne pavse en eventuell samvarasjon mellom elvevannstand og grunnvannstand rna begge observeres over td. For dette formal plasseres en rekke observasjonsrør sntt vnkelrett pa elva eller tvers over dalen hvs det gjelder et dalføre. elva rett ut for bservasjonsrørene plasseres et vannstandsmerke (VM) som avleses tl samme td som observasjonsrørene. Er det vanskelg pa grunn av speselle forhold A etablere et VM elva rett ut for snttet kan et mer eller mndre nærlggende VM benyttes. Alternatvt kan det første røret snttet settes ned elvebredden kloss nntl elva slk at det best mulg gjengr vannstandsvarasjonene elva. Alle observasjonsrør nvelleres nn et felles høydesystem. Snttene suppleres gjerne med andre rør ovenfor eller nedenfor slk at man far rør plassert tre-kant for derved A kunne bestemme grunnvannsstrømmens retnng. Det man speselt ønsker kartlagt er hvorvdt og hvlken grad vannstandsforholdene vassdraget vrker nn pa grunnvannsnvaet langs breddene og tllggende omrader hvor langt tl sdene nnvrknngene brer seg hvor raskt de forplanter seg og hvor raskt de dempes. Vanlgvs maler man grunnvannstanden ved pelng perforerte observasjons rør som er drevet eller satt ned grunnen ved hjelp av skovlbor. Det brukes gjerne ekstra tykkveggede rør sakalte damprør med ndre dameter 34 mm. bservasjonsrøret bestar av seksjoner pa 15 m som skjøtes sammen etter hvert som de drves ned. Nederste seksjon er et l m langt flterrør med sandspss nedre ende. bservasjonsrørene varerer dybde etter de lokale forhold gjerne fra 3 tl 10 m. Avlesnng av vannstanden Skjer ved hjelp av brønnlodd et maleband som nederst er forsynt med en peleklokke som ved kontakt med vannflaten gr fra seg en lyd. Avstanden fra

12 10 vannflaten tl rørets overkant avleses drekte på målebåndet. Avlesnngshyppgheten beror en del på de lokale forhold det en høy permeabltet grunnen fordrer hyppgere avlesnnger. Vanlgvs foretas avlesnngen en gang uken. Vannstanden kan også regstreres kontnuerlg ved hjelp av lmngraf (automatsk vannstandsmåler). Dette betnger mdlertd observasjonsrør av grovere dmensjon. Grunnvannstanden kan også måles åpne brønner f.eks. gårdsbrønner. 3.2 Grunnvannformasoners geolog Ved grunnvannsundersøkelser er det av betydnng å skaffe klarhet over grunnvann formasjonens geologske forhold dvs. mektghet lagdelng kornfordelng og sorterng samt permeabltet og porøstet. Med dette for øye tar man materalprøver nedover jordproflet med skovlbor eller annet egnet prøvetakngsutstyr. Sktekurven for prøvene bestemmes og verder for mdlere kornstørrelse og sorterng (enskornghet) taes ut. På grunnlag av materalprøvene kan også grunnens permeabltet og porøstet bestemmes enten ved forsøk eller ved hjelp av emprske formler. 4. ANALYSE AV GRUNNVANNSBSERVASJNER Ved vassdragsregulernger er det nødvendg på forhånd å kunne bedømme nngrepenes vrknng på grunnvannstanden langs vassdraget. Som grunnlag for dsse vurdernger nyttes de nnsamlede observasjoner avelvevannstand og grunnvannstand samt data fra Hydrologsk avdelngs regulære målestasjoner for vannstand og vannførng vassdraget og observasjoner fra Meteorologsk nsttutts stasjoner. bservasjonene bearbedes og tlrettelegges form av regresjonslgnnger og korrelasjonsundersøkelser geolmngrammer snttdagrammer og kotekart over grunnvannspelet. Ved vurderngen av observasjonsmateralet og den mulge sammenheng mellom vannstanden elva og grunnvannsforholdene langs denne må en hele tden ha for øye påvrknngen fra de klmatske faktorer. Nedbør som fører tl økt vannførng elva vl samtdg ved nfltrasjon fra jordoverflaten heve grunnvannspelet. omvendt vl tørke føre tl lavere vannstand både elva og grunnen. Dette rna dagrammene kke oppfattes som et bevs for at grunnvannsforholdene er pavrket av elvas vannstandsforhold mens vrkelgheten begge forhold varerer som følge aven ytre felles pavrknng. tllegg er der også andre forhold a ta hensyn tl ved en helhetsvurderng av hvlken grad grunnvannstanden varerer med elvevannstanden. Grunnvannets strømnngsretnng nvåforskjellen mellom elvevannstand og grunnvannstand og den naturlge drenerng av grunnvannmagasnet er alle faktorer som rna taes med for a kunne foruts hvlken grad endrnger elvevannstanden har nnflytelse pa grunnvannstanden langs elva.

13 l 4.1 Regresjons- og korrelasjonsanalyse En eventuell samvarasjon mellom grunnvannstanden og elvevannstanden kan undersøkes og klarlegges ved hjelp av regresjons- og korrelasjonsanalyse. Hvs man et rettvnklet aksesystem avsetter hvert observasjonspar dannet av de samtdge avlesnnger av grunnvannstanden et rør og elvevannstanden vl man fa et punktdagram som llustrert fgur 4.1. Her er grunnvannstanden (den avhengge varable) avsatt langs den vert.kale akse og elvevannstanden (den uavhengge varable) avsatt langs den horsontal akse. Er det ngen samvarasjon tlstede mellom grunnvannstanden og elvevannstanden vl punktene fordele seg som en vlkarlg punktskare. Fnnes der en samvarasjon dermot vl denne vse seg ved at punktene grupperer seg et mer eller mndre bredt band. En mdlere kurve trukket sentralt gjennom punktgrupperngen vl beskrve den statstske sammenheng eller relasjon mellom grunnvannstanden og elvevannstanden. Dersom denne relasjonen er rettlnjet kan den uttrykkes matematsk som en sakalt regresjons lgnng den enkle form y = ax + b hvor a er vnkelkoeffsenten som gr lnjens helnng med den horsontale akse og b gr lnjens Skjærngspunkt med den vertkale akse. En krumlnjet relasjon mellom grunnvannstanden og elvevannstanden vl komplsere de matematske utregnngene betraktelg. slke tlfel1r søker man derfor a tlpasse to og om nødvendg flere rette lnjestykker tl punktgrupperngene man far da et tlsvarende antall regresjonslgnnger. For eksempel kan relasjonen være forskjellg for sommer- og vnterforhold og/eller for lavere og høyere vannstander. En annen løsnng er a matematsk transformere den krumlnjede relasjon tl en rettlnjet (logartmsk fremstllng) og sa foreta beregnngene. Samvarasjon mellom to observasjonsserer kalles korrelasjon og man ser at de to observerte størrelsene er korrelerte. En lneær korrelasjons godhet eller styrke uttrykkes ved hjelp av den sakalte korrelasjonsoeffsent (R) som da altsa er et mal for samvarasjonen mellom de to observasjonsserene. R kan varere fra +1 gjennom null tl -l. For R = er der ngen korrelasjon de avsatte punkter aksesystemet fordeler seg helt vlkarlg en punktsverm. Dess bedre og tettere punktene konsentrerer seg om den sentrale lnjen eller regresjonslnjen desto nærmere vl R lgge l. For R = l har man en perfekt korrelasjon hvor alle punktene lgger pa regresjonslnjen. En negatv R mellom og -l vser en omvendt korrelasjon det høye verder det ene datasett da gar sammen med lave verder det andre datasett og omvendt. Tar man kvadratet av korrelasjonskoeffsenten altsa R2 fremkommer en størrelse som angr den del av varasjonene den avhengge varable (her grunnvannstanden) som motsvarer varasjonene den uavhengge varable (her elvevannstanden). Resten av varasjonene den avhengge varable dvs. (l - R2) ma henføres tl andre faktorer. Slke faktorer nkluderer drekte nfltrasjon tl grunnvannet fra nedbøren fordunstnng og uttørkng av de øvre jordlag plantenes forbruk av vann tlsg fra høyerelggende omrader og drenerng tl laverelggende omrader.

14 12 en regresjons- og korrelasjonsberegnng lar det seg også gjøre å ta med to (eller flere) såkalte uavhengge varable en stepregresjon og beregne grunnvannstanden som en statstsk funksjon av f.eks. både elvevannstanden og nedbøren. Det et vdere mulg å beregne partelle korrelasjonskoeffsenter som da kvadrert vl uttrykke den relatve del av totalvarasjonen grunnvannstanden som kan tlskrves hver enkelt av dsse to faktorene. Det er vktg å ha klart for seg at det statstske begrep korrelasjon kke forteller noe som helst om hva som er årsak og hva som er vrknng kun hvorvdt to hendelser eller fenomener varerer takt (eller utakt) med hverandre dvs. om der er en samvarasjon tlstede og hvor utpreget denne så fall er. om den ene hendelsen forårsaker den andre eller om begge hendelsene er forårsaket aven tredje hendelse må klargjøres utfra kjennskap tl de fysske prosesser som er nvolvert og deres årsaks/vrknngsmekansme. Foran er nevnt regresjonslnjens vnkelkoeffsent eller helnng med horsontalaksen. En helnng på 450 (vnkelkoeffsent 10) betyr at vannstandsvarasjonene grunnvannsrøret kke er dempet forhold tl vannstandsvarasjonene elva. Mnkende vnkel vl bety en økende dempnng av grunnvannstanden. En vnkel større enn 450 vl bety at grunnvannstanden har en større varasjonsbredde enn elvevannstanden på grunn av andre faktorers nnvrknng. En betngelse for resonnementet er at vannstandsmerket elva er plassert rett ut for grunnvannssnttet. Dersom det sammenlgnes med et vannmerke som står et annet profl vl forholdet bl annerledes avhengg av de lokale forhold. En ulempe ved regresjonsanalysen slk som brukt for vårt formål er grunnvannstandens forsnkede reaksjon på endrnger elvevannstanden. Det er mdlertd kke mulg å ta hensyn tl tdsforskjellen ved opptegnng av punktdagrammene og beregnng av regresjonslgnngene så lenge bservasjonene foretas manuelt som punktavlesnnger med flere dagers mellomrom og kke kontnuerlg med automatsk regstrerng. Man må fnne seg denne ulempen som utgjøres ved at påvrknngsforsnkelsen fører tl en økt sprednng av punktdagrammet. 4.2 Geolmngrammer et geolmngram (grunnvannstandskurve) er grunnvannsavlesnngene avsatt et aksesystem med avlesnngene langs den vertkale akse og tden når avlesnngene er foretatt langs den horsontale akse. Med dette får man en kurve som vser hvordan grunnvannstanden varerer med tden (fgur 4.2). Geolmngrammet llustrerer grunnvannstandens varasjonsmønster. Vannstanden tl enhver td gjennom månedene og årstdene kan leses drekte ut fra geolmngrammet. vdere gr geolmngrammet opplysnng om grunnens evne tl å lede vann dvs. permeabltet og drenerngsforhold. Raskt synkende grunnvannstand etter peroder med stor nedbør eller snøavsmeltng vser høy permeabltet og god drenerng mens langsomt synkende vannstand kan tyde på dårlgere drenerngsforhold. Raske og store stgnnger skyldes normalt at

15 13 elva stuver opp grunnvannet eller at omradet mottar mye vann ved nedbør eller tlsg. Spsse topper ndkerer høy permeabltet og gode drenerngsforhold. Avrundete geolmngram tyder pa at grunnen er mndre permeabel og/eller darlge drenerngsforhold eller at grunnvannstanden er pavrket av et jevnt sg fra et høyerelggende omrade. Økende avstand fra elv p.ller nnsjø bdrar ogsa tl A flate ut geolmngrammet. For en mer fullstendg vurderng av grunnvannstandens varasjon plotter man tlknytnng tl geolmngrammet ogsa opp elvelmngrammet samt nedbørmengden fordelt over Aret. 4.3 Snttdaqramme og kotekart Et snttdagram vser grunnvannsnttets profl (fgur 4.3). Terrengets kontur og grunnvannspelet er tegnet opp malestokk og observasjonsrørene er lagt nn korrekt relatv høyde. Snttdagrammer for flere sntt etter hverandre vl g grunnlag for opptegnng av kotekart av grunnvannspelet. Et slkt kotekart vl g svært nyttge opplysnnger om grunnvannspelet sa som helnngsgrad og grunnvannets strømnngsretnng. 4.4 soppstuvng elv NAr man som foran nevnt legger opp grunnvannsundersøkelser etter snttmetoden blr det som regel satt opp et vannstandsmerke (VM) elva rett ut for hvert sntt for avlesnng avelvevannstanden. Det hender mdlertd ofte at et VM kke lar seg etablere ford det regelmessg ødelegges av flom eller s. Man benytter da gjerne et mer eller mndre nærlggende VM som star tryggere. En komplserende faktor som da kommer nn er soppstuvngen som forekommer vare elver om vnteren. En eventuell soppstuvng ved et VM vl kke regstreres de enkelte grunnvannssntt lenger nede eller oppe elva. Det omvendte kan ogsa være tlfelle at det er s oppstuvng elva lke nedenfor grunnvannssnttene men kke elva ved VM. Dette fører tl en stgende grunnvannstand som da kke regstreres ved VM. Slke forhold vl føre tl større sprednng punktdagrammene og darlgere korrelasjon enn hva det vrkelgheten er og ogsa g utslag pa elvelmngrammene og geolmngrammene som topper. 5.. MALESTEDENE pa planskssen fg. 1.1 er malestedene vst. Rør- og gardsbrønnene er her angtt med nr. etter avstand fra elva. teksten vl de bl angtt som rør l rør 2 osv. og gardsbrønnene med g.br. ogsa angtt med nr. hvs det er flere pa samme sted. v har proflert snttene. Selv om det er et enkelt rør som pa N. Helland eller en g.br. som pa S. Helland har v proflert et sntt vnkelrett pa elva. pa

16 14 N. Helland har v proflert et sntt omtrent mdt mellom de to gardsbrønnene. Som utgangspunkt for høyder har v brukt Fm. 10 Klubbeberget NVE's elvenvellement med kotehøyde S. Helland. Det ble her etablert et sntt grenselnjen mellom S. Helland og N. Helland (fg. 5.1).Snttet bestar av to rørbrønner. Det var planlagt 2 rørbrønner tl snttet men massene som her består av grove elveavsetnnger ble for vanskelge for vart borutstyr. tllegg tl snttet grenselnjen mot N. Helland har v etablert malng gardsbrønnen som her lgger kjelleren under vanngshuset (fg. 5.2). pa snttene er grunnvannstanden nntegnet rettlnjet mellom malepunktene. Dette kan ble noe unøyaktg særlg nærheten av elva under rask endrng avelvevannstanden pa grunnlag av de data v har fatt nn manedene august-oktober har v framstlt lmngram som vser grunnvannets dybde under bakken for de to rørene maleperoden (fg. 5.3). det samme lmngram har v ogsa framstlt vann-nvaet gardsbrønnen som lgger kjelleren under vånngshuset. For å se hvordan vannstanden rør og brønn varerer forhold tl elvevannstanden har v samme fgur tegnet nn vannstandene for vm Ed for samme perode. Av fguren vl en se at grunnvannstanden de to rørene følger hverandre meget godt. Det samme gjør vannstanden gårdsbrønnen. Noe avvk her kan skyldes vannforbruket brønnen. Ser en pa kurven for vannmerket vl en se at hovedtrekkene kurven er lk de øvrge kurver. Avvkene her kan for endels vedkommende skyldes ulke tverrsntt elva ved snttet og ved vannmerket. Hvordan vannstander rørbrønner og gardsbrønn beveger seg forhold tl hverandre trer enda tydelgere fram fg. 5.4 som framstller lmngrammet kotehøyde. Samtdg som det vser vannstandsvarasjoner som er meget lke bade for rørbrønner og gardsbrønn vser det et flatt grunnvannspel nnover terrenget. v har foretatt korrelasjonsberegnnger med det begrensede antall malnger som v har. pa Søndre Helland har v framstlt korrelasjonen mellom vm Ed og rørbrønn S. Helland fg. 5.5 og mellom vannmerket og gardsbrønnen fg Korrelasjonskoeffsentene er gjengtt tabell 5.1 (se bak fg. 5.37). Her har v ogsa beregnet koeffsentene mellom rørbrønnene og gårdsbrønnen nnbyrdes. Korrelasjonskoeffsentene er høye og de tyder på at elvepavrknngen på grunnvannstanden er stor. Massene pa Helland S var sa stenrke at det kke var mulg å ta prøver med vårt vanlge prøvetakerutstyr. Da v fortok befarngen den var det gravet en ca. 15 meter dyp grøft over tunet. Den ga et godt blde av masseforholdene. Grøfteveggene vste at massene bestod av gorv grus med et stort nnhold av sten med dameter opp tl cm. For a få et nnblkk massenes permeable egenskaper grunnvannsonen har v utført en enkel test rørene. V fyller opp med vann l m og måler synkngen hvert mnutt nntl 5 mnutter.

17 15 rør l var vannet nede på 30 sekunder og rør 2 på 50 :ekunder se fg. 5.7 og fg Testen vser meget permeable masser slk som korrelasjonsberegnngene også vste. De målngene som httl er utført på S. Helland tyder på at elvepåvrknngen pa grunnvannstanden er meget stor. 5.2 N. Helland Her ble det etablert en rørbrønn ca. 50 meter nord for grenselnjen mellom de to gårdene. Rørbrønnen står kanten av et lavt part som strekker seg ned mot grenselnjen og pa langs av elva. Partet er sumpet og mer eller mndre vannfylt. Det er påbeqynt oppfyllng vel med tanke på oppdyrkng. V har tegnet opp et profl vnkelrett på elven vst på fg på selve gården N. Helland er det to bolghus og under hvert av dem er det en brønn. begge brønnene har v etahlert målnger. Mdt mellom bolghusene og vnkelrett på elven har v målt opp et profl. Det er tegnet opp fg Slk som på S. Helland har v framstlt lmngram for grunnvannstandens dybde under bakken rørbrønnen og vannstandens dybde under malepunktene gårdsbrønnene (fg. 5.11). Vannstandene på Vm Ed er ogsa her framstalt fguren. Kurvene for gårdsbrønnene er meget lk hverandre og hovedtrekkene kurvene for rørbrønn og vannmerke er også ganske lk kurvene for gårdsbrønnene. på fg har v framstlt grunnvannstandene kotehøyder for gardsbrønnene rør l N. Helland og rør l S. Helland. Samtdg som kurvene for brønnene vser nnbyrdes lkhet gjør kurvene for rørene det samme. Av Korrelasjonsberegnngene har v tabell 5.1 vst korrelasjonskoeffsentene mellom Vm Ed og rørbrønn/gårdsbrønner samt nnbyrdes korrelasjonskoeffsenter mellom rørbrønn og gårdsbrønner. Det er høy koeffsent mellom.vm Ed og rør l N. Helland (0.91) mens det mellom Vm. og gårdsbrønnene er lave koeffsenter (0.77 og 0.74). De nnbyrdes koeffsentene er svært høye og de er også høye mot rør l Helland S. Arsaken tl de lave koeffsentene mellom vannmerket og gårdsbrønnene kan bero på ulke elvetverrsntt ved vannmerket og ut for gårdsbrønnene samt at det vl ta en vss td før en endrng 1 elvevannstanden vl forplante seg nnover tl brønnene. Det kan også tllegg bero på unøyaktg målng som med det begrensede antall målnger kan g urmelg stort utslag. på fg har v framstlt korrelasjonsberegnngene mellom vannmerket og rør l N. Helland og på fg er det samme vst mellom vannmerket og gårdsbrønn 2 N. Helland. Gravnger rundt husene på N. Helland vste også her grusge masser med mye sten. rør l N. Helland har v utført den samme test som rørene pa s. Helland (fg.5.15). Testen vser også her stor permeabltet grunnvannsonen. sammenlgner en med de høye korrelasjonskoeffsentene mellom rørbrønner og gårdsbrønner må en anta at elvepavrknngen er stor ogsa pa N. Helland.

18 Fønhusordet Det ble her etablert et sntt bestaende av 3 rørbrønner nordre kant av jordet. Snttet er vst profl pa fg Etter at snttet ble etablert er det gravet en kanal langs den venstre kant av jordet. Den fortsetter en bue forb rør 3 og stopper ca. 20 meter fra rør 2. En ma anta at kanalen vl fa nnflytelse pa grunnvannstanden ved rør 3 og ogsa ved rør 2. Sammen med vannstandene pa vannmerket har v fg framstlt vannstandene de tre rørbrønnene pa Fønhusjordet. Vannstandene er framstlt som dybde under terreng mens de fg er framstlt kotehøyder. Kurveforløpet er ganske det samme for de tre rørbrønnene og hovedtrekkene fnner en gjen kurven for vannmerket. Korrelasjonsberegnngene mellom vm Ed og de enkelte rør vser en meget høy korrelasjonskoeffsent mellom vannmerket og rør l mens de er lave mellom vannmerket og de to andre rørene. nnbyrdes beregnnger av korrelasjonene vser en høy korrelasjonskoeffsent mellom rør l og rør 2 mens den er lav mellom rør 3 og de to andre rørene. pa fg er korrelasjonen mellom vannmerket og rør l vst. Massene pa Fønhusjordet bestar fra terrenget og ned tl ca meter av fn sand. Vdere nedover er det stenblandet grus som er meget hardt lagret. Ved rør 2 klarte v kke A fa ned røret tl ønsket dybde. Rør 3 ble gravet ned tl noenlunde akseptabel dybde. Test av vanngjennomgang vser at permeablteten ved rør l og 2 er høy men pa langt nær sa høy som pa Helland. Testen ved rør 3 er meget høy men den er uskker p.g.a. at røret er gravet ned slk at massene rundt er forstyrret. ElvepAvrknngen ved rør l og 2 er stor. Ved rør 3 kan den være mndre og her vl kanalserngen vrke nn. Ser en pa fg vl en se at Fønhusjordet lgger sa høyt at det er uskkert om utbyggngen her vl fa noen nnflytelse. 5.4 Ytterenqe PA.Ytterenge er det etablert et sntt med 3 rørbrønner. Snttet er vst profl pa fg Som det framgar av oversktskssen fg. 1.1 og snttproflet fg gar snttet tvers over edet slk at en har elvevannstand pa begge sder av snttet. nne vka mot Ed gard var vannstanden da v foretok proflerngen lavere enn Begnas hovedløp. pa nordsden av proflet mellom rør 2 og 3 er det et lavt sumpete omrade som pa et lte part skjæres av proflet. Grunnvannstandens dybde under terreng er vst pa fg Vannstandforløpet er ganske ensartet for de tre rørene og forhold tl vannstandene pa vm Ed lkt med de øvrge snttene. Fg vser grunnvannstandene kotehøydeer. hele maleperoden har grunnvannets strømretnng langs proflet vært mot vka utenfor Ed gard. Mesteparten av september var grunnvannstanden sa lav at den kke kunne males rør l noe som kan avleses pa proflene.

19 17 Korrelasjonsberegnngene tabell 5.1 vser høye korrelasjonskoeffsenter mellom vannmerket og rør 2 og 3 noe mndre mellom vannmerket og rør l. Det kan skyldes at rør l er for kort tl A male de lave vannstandene som v hadde september. Korrelasjonen mellom vanrwerket og rør l er vst pa fg Massene ved rør l bestod for de øvre ca. 1.2 meter av fn sand. Vdere nedover var massene meget stenrke og meget hardt lagret sa v fkk kke drevet røret ned tl dybde tlstrekkelg nok tl male de laveste vannstander. Ved rør 2 og 3 var det ogsa fn sand p toppen. dypet var det masser med sten men kke sa hardt pakket at rørene kke kunne settes ned tl ønsket dybde. Vanngjennomgangstesten vser masser med meget høy permeabltet ved rør 2 og 3 noe mndre ved rør l men ogsa her høy (fg tl 5.29). Som ved de øvrge sntt kan en ga ut fra at elvepavrknngen pa grunnvannstanden er høy ogsa p ytterenge. 5.5 Ed Nordre Det er her et lavt part ned mot vka mellom ytterenge og Ed Nordre. Her er det etablert et sntt bestende av 2 rørbrønner (fg. 5.30). vannstandsdybde under terreng som er vst pa fg vser en høy vannstand forhold tl terrenget. forhold tl Vm Ed er varasjonene avdempet. Sammen med fg med vannstanden kotehøyder ser en et lkeartet forløp av grunnvannstanden for de to rørene maleperoden. Korrelasjonen mellom Vm Ed og rør 1 er meget høy mens den mellom vannmerket og rør 2 er lav (tab. 5.1). Det kan bero p at enkelte unøyaktge malnger vl g stort utslag nar de totale antall malnger beregnngene er lte. Korrelasjonen mellom vannmerket og rør l er ogsa vst pa fg Massene pa Ed er pa toppen myraktge men gar over tl grusge med stennnblandng. Vanngjennomgangstesten vser masser med stor permeabltet grunnvannsonen (fg og 5.35). tllegg tl at pavrkntngen fra Begna kan være stor vl pavrknng fra tertjennbekken som løper forb snttet ha nnflytelse pa grunnvannstanden pa Ed se oversktsksse Samvarasjoner for snttene v har sett nærmere pa hvorledes vannstandene har varert de rørene som lgger nærmest elva. fg har v framstlt vannstandene kotehøyder. dette gr et blde pa hvordan snttene lgger forhold tl hverandre høydemessg.

20 sanunendraq det korte tdsrom målngene har pågått ved Edfossen vser de at elvepåvrknngen er stor alle målepunkter. Det er sannsynlg at grunnvannstanden vl følge elvevannstandens vekslnger ganske lkt. Ettersom elvevannstanden her skal heves forhold tl det naturlge nvå vl det være nødvendg å få grunnvannsmålnger for peroder med høye vannstander og for flere år for å fange opp årsvekslnger vannstandene. 6. LTTERATUR Beskow G. 1935: "Tjalbldnngen och tjallyftnngen" Sverges Geologska Undersøknng C 375 Stockholm. Atterberg A. 1903: "Studer jordanalyse" Nr. 1-6 Kungl. Landbruksakademets avhandlnger och tdsskrft Stockholm. Todd D.K. 1980: "Groundwater Hydrology" John Wley & Sons nc. New York. 6340p/RK

21 " - ' - ' _.'-- '------" -:-----:::.;:; ;r- < SJ 5 " - \ \" \ --. ' \ " " '.. '> "... \\ \ \ _.- _... \-\' \. \ \ ':. ;.\ " \.... \l \. ' - _. ----;/':: _-.

22 :.0--- '... V ' l 20 l "'- -o rta. o.jslt(t '-. ""-...Cl "- -...:...- V -v--... / UN!T VANN VED 'EU... 'AS1ET - E"UT. 6ST(T --Q- " LE RE ---"'j." l SLT SAN GRUS F N Lsj GRV F 'N jm'elsj GRV F ' N rlelst GRV STEN BLKK Fg. 2.1 KnPNC; T'PRFL SE.mm y Fg. 4.1 ELVEVANNSTAND

23 1\... "" ' " - - JUN JUL AU e SE p KT NV DES Fg. 4.2 m B 7 Elv HB Fn land Fn sand " 4 :: : Grov sand Grov la nd Grov sand 3. m/slen m(sten m/sl.n m Fg. 4.3

24 EDFSSEN. BEGNA SNTT V/RØR HELLAND S. NVE LjJ Cl >- Gl :: LjJ :5 192 < 191 Z! W 190 D " lr 2R L Grvst D 120 METER Fg. 5.1 EDFSSEN. SEGNA SNTT V/G.BR. HELLAND S. ""VE LjJ Cl >- Gl :: LjJ j lee... '8"1 186.S5 j -- j"/ <G < Z! W L r_.:.6! o l " "10 SD METER Fg. 5.2

25 GRUNNVNNSTNER STS..JN: (ØGN-VERER) 2' - : Helland S ': _... '986 S62-82: N ': -. E > l.. rl '" L: / 47'Eld r pkt. akaa målepkt. G. bro og terreng h. rø( Cl c:..o! e G -g o. l " l 'l " o "" E.Q G c N l l l ".Q " '" l...' / / / AUG l SEP ". " f Rør --- ' ' L Cl bro l KT Fg. 5.3 GRUNNVNNSTNER STASJN: EDFSSEN BAClN (ØGN-VERDER) : : _... ' :... N m >!S :: W o g Cl.br. Helland S. Rør 1 Helland S. AUG SEP KT Fg. 5.4

26 CD 1: l) <l N 0-...J...Jf" r W _ l) N N V KRRELASJ NS l AGRAM F R STNR: S62t - 8t S M F UNKS J N AV S TNR: 2t - Y( S62t ) Lt6. X( 2 t) KRRELASJN ' 9t S GN N VA' 950 / / Vx Vx L / EDFSSEN BAGN / X/ /) t.0 t.2 VM 2471 E D t.6 M Fg : <l Z <C...J...J w r.q Cl l) N N N f" N N N Hl Hl f" KRRELASJ NS l AGRAM FR STNR : SM FUNKSJN AV STNR: 2 t - Y( 562 ) t. 20* X( 2 t ) KRRELASJN' 936 S GN N VA' 950 EDFSSEN BAGN /: x/ V V x V K' / X / V /' V X t.0 t.2 t.6 VM E D M Fg. 5.6

27 r!..-1. _.--t--! _. --: - jo.. : 1'\ Fg. 5.7 ; < <!\ '<0" -... \ \ \ < '1J... \ Fg. 5.8

28 E DFSSEN. BEGNA SNTT VED RØR' HELLAND N. NV E R w > '92 J: 'S' UJ... :.: 'S 'SS < z l.!) JJ D rvst. 10. l o 20 3D.. o B 90 HETER Fg. 5.9 EDFSSEN. BEGNA SNTT G.SR. HELLAN N NVE 'S 'S.S2 S 'S as aa < Z (!) D 'G G a.ss '85 o sa '00 '20 METER Fg. 5.10

29 GRUNNVANNSTANDER (DØGN-VERDER) STASJN: 1 - : : HELLAND N : _ :.....: co / r. pkt akaa målepkt. G.br. og terrengh. r. n AUG SEP Fg GRUNNVANNSTANDER (DØGN-VERDER) 1986 STASJN: : :....-_E D_F S_S_E_N. B_A_G_N 5_6_2 8_0 -_8_2 : '...._- 5_6_2 9_0 -_8_2 : >- 1: w - C1 ll \: '. G.br.2 Helland N. ' --..:.(G.br.1 Helland N. 4_--T = Rør Helland N. AUG SEP KT Fg. 5.12

30 t- : :. C z <...J -...J Ul :: l! er G er / V / V /' / X p l. 1.6 / VM 2471 ED / X M Fg Y(.. r KRRELASJNSDAGRAM FR STNR: S SM FUNKSJN AV STNR: 2'1- Y( 56281) X( 2' l) KRRELASJN' 911 SGN N va' 950 EDFSSEN BAGN --- KRAELASJNSolAGAAM FoA STNA: SM FUNKSJN AV STNA: 2' ) X( 2'1) KAAELASJN' 911 SGN N va' 950 EDFSSEN BAGN CD / () Z C Z...J < -...J Ul :: "! AV X er G er / / / V /' ;/ X p l. 1.6 Fg VM 2471 ED V M

31 0 0 :- ' -' ; 1 _. :_ L! ' _l_ t! " :' ol -;--- 1 : o _ o _! !- -l------l--+r l -- r-t-_+-l--;---o":_ : 00 j L _-'- l L_ ; : Fg EDFSSEN. BEGNA SNTT FØNHUS RET NV E 'S5.R 2 R R w C > E> 'S :r: 'S3 w l Ō '" 'S2 < Z (!) llj D 'S' - Grvst L '00 '20 '.60 e METER Fg. 5.16

32 GRUNNVNN5TNDER 5T5JDN: (DØGN-VERDER] 2"t'1 - : 'S86 \> :... N Fønhu : -"' : 1: l t._p_k_t_. _._k_a_'a_o_g_t_e_r_re_n_g_h_øy_d_e v_m_2_4_7_'_e_'d g> N! "t C : /) od "t.q.. C ---'-'""::""" L":3... ' jrør _ -'::'::.::.::.:. UG SEP KT Fg GRUNNVNN5TNDER 5T5..JN: (DØGN-VERDER] : : EDFSSEN BAGN : "-"" _ //...>:-:-:: /----- w ro =lf=---===== C Rør 1 Fønhus l) J: W f- ro4_ UG SEP KT Fg. 5.18

33 r: 1 Ul - :::;) 1 :r r- u. _ 1 er _ l o N KRRELASNSDAGRAM FR STNR: SM FUNKSN AV STNR: Yl 56271) ssa. X 211) KoqRELASN' a" SGN NvA' 850 EDFSSEN BAGN l x/ K / / x V V / x x /' V t / l l. 1.6 VM 2471 ED M Fg "1-- -o l--t r--! H---+-L-+-;--F::;:==*----J--! --+o l :_--l_ -----l-+--l._._.-j---l :/t. ; --t---+-_ l t--'---!f.--l--f l //Jt. rør fe.tt ct/ "..'" J J -"-.f-. r-- n;'u J...JU Jo 3Jf Zt 3 +'1 2t Jyy 2;; J'( /9 J/tt"...f:::':J /Pør "r. / t.".. J 2. '1-/ #...-; J. ;';-}7? _ Fg. 5.20

34 f----+-j!6-+ +-t f r _.-!- ' l... l l S :! Fg !! ";;t-+-+-/.-+-'''-'''' o1 'jof'';/-'f''!.n=.: ':..:..r"'4':"::'"'f>=-f 1+ 1 l /"..;;" t' 1 "! L.j... '.U' '--+ WH-"'"-+--f f ' -...'1-1".1. f.' L t \'-4--f-+--+-l C_'_. j--ar. T-. r..... ::. Y. r "'_ \r! 't!lfv /...;.. \ t r- - L-. - l- t--! '" 1'- t;.+ J _...:..- L...--j--+-+'-+\+--+--f flj_ _+_ _ \ l--r ' \ l'- r : t--+--\t-\-t " LJ. ' f--l--t... '=t'--+---r::::::; ;'--.-.() t '--+-+-±"'-:=* ''f t ' f--t t L -j '--t _ ;. L...-.o-'--+-=-L.C---L-..:---'---" L-----'------L...--L...o L---l l J ': - 1 : f - ; _ :. _..... L L g 24._. 2!2. l "! l 1 C _+-\-+--+-_+_---L ' -r _. 1-._ S : j--.t- _.. - Fg ' : r. --r----- " -r:. -]=-= -- -=--. L.. '! _; _.. L...._. _

35 EDFDSSEN. 8EGNA SNTT YTTERENGE NVE w o > J: UJ f- >< 19 l 2R <9' <89 J R 1R ---- < Z (!) W D METER 20 o Fg : N r GRUNNVANNSTANDER (DØGN-VERDER) 1986 STAS...JN: Ytterenge 2"'t" - : : _ : _..A : / 'Pkt. skala ogterrengh L vm 2471 Eld -t-d R / ; ""'.""'.' :-'_--':'--'" J-----R.--l '. -.:.:.:.:-. :".:-.;.:. =.:. -. :-.:::::.;-:_---- ; AUG SEP KT Fg. 5.24

36 GRUNNVANNSTANDER (DØGN-VERDER) 1986 STAS..JDN: : : _... EDFSSEN BAGN : _.m. m w Q )- Cl J: W f- " m /0... Qør 1 ytterenge _': '_" r-"' Gl () Fg AUG SEP KT 1: w Cl Z w a: w f- f- )- a: Cl a: t! N N.. N KRRELAS..JNSDAGRAM FR STNR: SM FUNKS..JN AV STNR: 27' - YC S62S 1 l XC 2711 KRRELASJN: 0.88' SGN.NV": 950 EDFSSEN BAGN. X / Vx. f VM 2471 ED V X / -l 1/ M Fg. 5.26

37 : t-; - T---l... J +_ ;-. ---r---l----.!..--'. J/-!'?_1.<:t-.7'A'rl ' ;----j-..-:.«.(1-=- 7f' -'- l l! 1\! : \._- - J...!._- : ' \1 ---t-- - \f :..- j' -J_ l S k- l 1""!\!! l \.j! l! + T l r t ()! l! 1 m l! l! J l l! l! l //.&. /aj lul ctl ";'" J -.- r-- nj.u JM Jfr N{" Jtf. fl... '" 1 ' 2. Fg T! -rt jf '-+-+--! ---' --t--l<+-++-' f e.. () l l "'fm! 1 l! J.rt "(Jh- lut {!tfer l""!; J -f_: ! r-- nj.u 1.«(;1 'J ; - - fl... "# :.- -- r _.. J/tt!:.1tj'f"1e. *!før '-/". J;42.!.. d: J)/. c'f t _.-._. - :- _. t Fg. 5.28

38 tlj"tvar tl.j t ;':'! a - "'- : '-u":" 0 - r' : l r--'nu "&yl 2drl zh ol... J - - J"r't 'y;r-l-.. - "'ør 1" d-+-. JtMf : l'1'/e.?.. f!;/--"': t--_ ! :- 1=:-] =-.-: -" _._---'. Fg EDFSSEN. SEGNA SNTT ED NVE R2 R 1 < ----t':: - 3D 20 METER 10 o Fg. 5.30

39 N- G 1: 0+ GRUNNVANNSTANDER ( DØGN-VERD ER) STAS..JN: - : : '" Eld :...._ L"" / '_:_.k_:": k;.;a:_";..g..s er... :_n_:. :-.-:-. :.--:.-.-:.-. :.-.-:.-.-:.-. :.-.-:.-.-:.-. _-:: ;-'-:-'-:-:-.-:.- :.-E--;.-.. -:-...! G S CD "t.&l.. N ---.L AUG SEP KT Fg aj GRUNNVANNSTANDER (DØGN-VERD ER ) 1996 STAS..JN: : : EDFSSEN BAGN N aj UJ > & UJ... Q o '" L Rør 1 Ed aj AUG SEP KT Fg

40 1: o KRRELASNSDAGRAM FR STNR: SM FUNKSN AV STNR: 2' - Y( 56251) * X( z.) KRRELASN: 0.88 SGN N v A' 8S0 EDFSSEN BAGN c: /' V w N! er G er.. /./ V l! r: /./' V / X X r " VM 2471 ED /.--- M 1. 6 Fg : :::_':_+--_+-.: '--_=tl --'-F '_j9"" - '/' 'l --:.:.:.:t.?! :. /. - J 1' tl; -'. '--t--->w t--l-- --' +-! t--r-t t---j'! ' J! _... J H-+- o - -!!! S --- "-- -- t l ---!! j - r f--+ '- c _ L _ - L!.v l- j -- o f--t :±-- ">/-=n'! ' ---'f--l -+' t---f--t t Fg 'Y.st J /a. b.lt t :!. Fff' ( -::. : l : J -... J - - ; t- -.- ; ' r-- _ _- ""U /19 /99 -.z.. J l : - r J.. g-.r l! l! --

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte: Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67

Detaljer

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver

ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver ØVINGER 017 Løsnnger tl oppgaver Øvng 1 7.1. Med utgangspunkt de n 5 observasjonsparene (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x 5, y 5 ) beregner v først mddelverdene x 1 5 Estmert kovarans blr x 3. ȳ 1 5 s XY 1

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Randi Eggen, SVV Torunn Moltumyr, SVV Terje Giæver. Notat_fartspåvirkn_landeveg_SINTEFrapp.doc PROSJEKTNR. DATO SAKSBEARBEIDER/FORFATTER ANTALL SIDER

Randi Eggen, SVV Torunn Moltumyr, SVV Terje Giæver. Notat_fartspåvirkn_landeveg_SINTEFrapp.doc PROSJEKTNR. DATO SAKSBEARBEIDER/FORFATTER ANTALL SIDER NOTAT GJELDER SINTEF Teknolog og samfunn Transportskkerhet og -nformatkk Postadresse: 7465 Trondhem Besøksadresse: Klæbuveen 153 Telefon: 73 59 46 60 Telefaks: 73 59 46 56 Foretaksregsteret: NO 948 007

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode

Anvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode Kapttel Anvendelser I dette kaptlet skal v se på forskjellge anvendelser av teknkke v har utvklet løpet av de sste ukene Avsnttene og eksemplene v skal se på er derfor forholdsvs uavhengge Mnste kvadraters

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

Studieprogramundersøkelsen 2013

Studieprogramundersøkelsen 2013 1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april) HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene

Detaljer

\ ;' STIKKORD: FILTER~ VEIEFEIL YRKESHYGIENISK INSTITUTT REGISTRERI~G AV FEILKILDER AVDELING: TEKNISK AVDELING RØNNAUG BRUUN HD 839/80820

\ ;' STIKKORD: FILTER~ VEIEFEIL YRKESHYGIENISK INSTITUTT REGISTRERI~G AV FEILKILDER AVDELING: TEKNISK AVDELING RØNNAUG BRUUN HD 839/80820 "t j \ ;' REGISTRERIG AV FEILKILDER VED VEI ING AV Fl LTRE RØNNAUG BRUUN Lv flidthjell HD 839/80820 AVDELING: TEKNISK AVDELING ANSVARSHAVENDE: O. ING. BJARNE KARTH JOHNSEN STIKKORD: FILTER VEIEFEIL YRKESHYGIENISK

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle

Detaljer

KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER. Nils Gundersen og Arve Lie HD 807/790814

KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER. Nils Gundersen og Arve Lie HD 807/790814 KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER Nls Gundersen og Arve Le HD 807/790814 KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER Nls Gundersen og Arve Le HD 807/790814 l SAMMENDRAG: Rapporten omhandler bruk

Detaljer

Brev av fra Barlindhaug A/S Antall bilag Tegn.nr. 4 + A og B Seismiske målinger.

Brev av fra Barlindhaug A/S Antall bilag Tegn.nr. 4 + A og B Seismiske målinger. L Kummeneje Shlmenor 011ar K11111mc11eje ws Fylke SVALBARD Byggherre Oppdragsgver Oppdrag formdlet Oppdragsreferanse Antall sder 5 av Kommune Sted LONGYEARBYEN Svalbard Samfunnsdrft A/S Svalbard Samfunnsdrft

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

Dimensjonerende flom for Mjøsa

Dimensjonerende flom for Mjøsa !!? N V E Dmensjonerende flom for Mjøsa Dynamsk rutng gjennom Mjøsa og Vorma Bjarne Krokl e* DMENSJONERENDE FLOM FOR MJØSA Dynamsk rutng gjennom Mjosa og Vorma Norges vassdrags- og energdrektorat 2000

Detaljer

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse)

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse) Fyskk / ermodynamkk Våren 2001 5. ermokjem 5.1. ermokjem I termokjemen ser v på de energendrnger som fnner sted kjemske reaksjoner. Hver reaktant og hvert produkt som nngår en kjemsk reaksjon kan beskrves

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ 4.3.5 Mdtveseksamen: 6.3. Pensum: Kap. boken flere lærer på data-lab YS-MEK 4.3.5 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg

Detaljer

Dårligere enn svenskene?

Dårligere enn svenskene? Økonomske analyser 2/2001 Dårlgere enn svenskene? Dårlgere enn svenskene? En sammenlgnng av produktvtetsveksten norsk og svensk ndustr * "Productvty sn t everythng, but n the long run t s almost everythng."

Detaljer

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2 Repetsjon 4 (16.09.06) Regler for oksdasjonstall 1. Oksdasjonstall for alle fre element er 0 (O, N, C 60 ). Oksdasjonstall for enkle monoatomske on er lk ladnngen tl onet (Na + : +1, Cl - : -1, Mg + :

Detaljer

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON: EKSAMEN 6 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

Innkalling til andelseiermøte

Innkalling til andelseiermøte Tl andelseerne Holberg Global og Holberg Rurk Bergen, 24. november 2017 Innkallng tl andelseermøte Vedtektsendrnger verdpaprfondene Holberg Global og Holberg Rurk Forvaltnngsselskapet Holberg Fondsforvaltnng

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEBER 0 Tellngsresultater Tlbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 00 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO ERNADER TIL ART OG TABELLER I seren "Tellngsresultater - Tlbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 8

Løsningsforslag ST2301 Øving 8 Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer

Detaljer

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift 65B/654B Installasjonstest på et IT anlegg drft Utførng av testene Spennngsmålnger Testeren kan brkes som et ac voltmeter hvor spennng og frekvens kan vses samtdg ved å sette rotasjonsbryteren tl V. Alle

Detaljer

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag

EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag . jun 0 EKSAMEN Ny og utsatt Løsnngsorslag Emnekode: ITD50 Dato:. jun 0 Emne: Matematkk, deleksamen Eksamenstd: 09.00.00 Hjelpemdler: To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Formelhete. Kalkulator er

Detaljer

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv Rapport Kaptalbeskatnng og nvesternger norsk nærngslv MENON-PUBLIKASJON NR. 28/2015 August 2015 av Leo A. Grünfeld, Gjermund Grmsby og Marcus Gjems Thee Forord Denne rapporten er utarbedet av Menon Busness

Detaljer

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Markeder under uskkerhet Uskkerhet vktg mange (de fleste? markeder Uskkerhet omkrng framtdge prser og leverngsskkerhet (f.eks. om leverandør

Detaljer

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt

Detaljer

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg

Detaljer

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Malmfuru terrasse Malmfuru er den mest mljøvennlge terrassen

Detaljer

TMA4265 Stokastiske prosesser

TMA4265 Stokastiske prosesser orges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA4265 Stokastske prosesser Våren 2004 Løsnngsforslag - Øvng 6 Oppgaver fra læreboka 4.56 X n Antallet hvte baller urna Trekk tlf.

Detaljer

Generell likevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1

Generell likevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1 1 Jon Vsle; februar 2018 ECON 3735 vår 2018 Forelesnngsnotat #1 Generell lkevekt med skjermet og konkurranseutsatt sektor 1 V betrakter en økonom med to sektorer; en skjermet sektor («-sektor») som produserer

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

Alvdal Royal kledning

Alvdal Royal kledning Klednng STORT UTVALG AV KLEDNINGSPRODUKTER UNIK BEHANDLING AV HVERT PROSJEKT FOKUS PÅ MILJØVENNLIGE LØSNINGER Alvdal Royal klednng Vår bestselger når det gjelder kvaltet, levetd og prs. Lang levetd Begrenset

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende: Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge

Detaljer

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f).

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f). Eksamen ECON 00, Sensorvelednng Våren 0 Oppgave (8 poeng ) Derver følgende funksjoner. Derver med hensyn på begge argumenter e) og f). (Ett poeng per dervasjon, dvs, poeng e og f) a) f( x) = 3x x + ln

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1 ECON 213 EKSAMEN 26 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å vee lke mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet nn mellom , Oppgave 1 I en by med 1 stemmeberettgete nnbyggere

Detaljer

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter

Detaljer

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214 A "..'. REW~~~~~OO ~slnmtlre STATENS ARBESMLJØNSTTUTT Postadresse: Pb. 8149 ep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas ve 8 - Tlf. 02-466850. Bankgro 0629.05.81247 - Postgro 2 00 0214 Tttel: OPPLEE AV HEE OG

Detaljer

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk

Detaljer

Overvåking hjortevilt - rein Årsrapport Hardangervidda og Snøhetta 1991

Overvåking hjortevilt - rein Årsrapport Hardangervidda og Snøhetta 1991 "k Overvåkng hjortevlt - ren Årsrapport Hardangervdda og Snøhetta 1991 Terje Skogland Olav Strand Morten Hem '. NORSK NSTTUTT FOR NATURFORSKN1NG Overvåkng hjortevlt- ren Årsrapport Hardangervdda og Snøhetta

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier Ovarmng og nnetemeraturer norske barnefamler En analyse av husholdnngenes valg av nnetemeratur Henrette Brkelund Masterogave samfunnsøkonom ved Økonomsk Insttutt UNIVERSITETET I OSLO 13.05.2013 II ) Ovarmng

Detaljer

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater 009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse

Detaljer

Hva er afasi? Afasi. Hva nå? Andre følger av hjerneskade. Noen typer afasi

Hva er afasi? Afasi. Hva nå? Andre følger av hjerneskade. Noen typer afasi Hva er afas? Afas er en språkforstyrrelse som følge av skade hjernen. Afas kommer som oftest som et resultat av hjerneslag. Hvert år rammes en betydelg andel av Norges befolknng av hjerneslag. Mange av

Detaljer

DEN NORSKE AKTUARFORENING

DEN NORSKE AKTUARFORENING DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske

Detaljer

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250 FY1006/TFY4215 Tllegg 7 1 Dette notatet repeterer noen punkter fra Tllegg 2, og dekker detalj målng av degenererte egenverder samt mpulsrepresentasjonen av kvantemekankk. Tllegg 7 7. Innlednng tl FY2045/TFY4250

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ.3.7 YS- MEK.3.7 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d energbevarng vertkal kast: mg d mg fjær: k k d atom krstall: b π cos π b b d π sn b YS- MEK.3.7 kraft

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9

Detaljer

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag 8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater 98/47 Notater 998 Lse Dalen, Pål Marus Bergh, Jenny-Anne Sgstad Le og Anne Vedø Energbruk î. nærngsbygg 995-997 Avdelng for økonomsk statstkk/seksjon for utenrkshandel, energ og ndustrstatstkk Innhold.

Detaljer

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT Fskebãtredernes forbund Postboks 67 6001 ALESUND Deres ref Var ref Dato 200600063- /BSS Leverngsplkt for torsketrálere - prsbestemmelsen V vser tl Deres brev av

Detaljer

SNF-rapport nr. 23/05

SNF-rapport nr. 23/05 Sykefravær offentlg og prvat sektor av Margt Auestad SNF-prosjekt nr. 4370 Endrng arbedsforhold Norge Prosjektet er fnansert av Norges forsknngsråd SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER

Detaljer

De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Median og kvartiler for hver gruppe.

De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Median og kvartiler for hver gruppe. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave I et tlfeldg utvalg på normalvektge personer, og overvektge personer, måles konsentrasjonen av 2 ulke protener blodet.

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON13 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 11.8.16 Sensur kunngjøres senest: 6.8.16 Td for eksamen: kl. 9: 1: Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm COLUMBUS Lærervelednng Norge og fylkene ved Rolf Mkkelsen Cappelen Damm Innlednng Columbus Norge er et nteraktvt emddel som nneholder kart over Norge, fylkene og Svalbard, samt øvelser og oppgaver. Det

Detaljer

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund Oppgave 3, SØK400 våren 00, v/d. Lnd En bonde bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen bonde, som vl være tsatt for samme vær, dyrker også poteter,

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ 5.3.4 YS-MEK 5.3.4 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg d d mg fjær: k d k d atom krstall: b cos b b d d sn b YS-MEK 5.3.4

Detaljer

Statens vegvesen. Vegpakke Salten fase 1 - Nye takst- og rabattordninger. Utvidet garanti for bompengeselskapets lån.

Statens vegvesen. Vegpakke Salten fase 1 - Nye takst- og rabattordninger. Utvidet garanti for bompengeselskapets lån. Fauske kommune Torggt. 21/11 Postboks 93 8201 FAUSKE. r 1'1(;,. ',rw) J lf)!ùl/~~q _! -~ k"ch' t ~ j OlS S~kÖ)Ch. F t6 (o/3_~ - f' D - tf /5Cr8 l Behandlende enhet Regon nord Sa ksbeha nd er/ n nva gsn

Detaljer

Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse

Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse Spnntur 2017 Rotasjonsbevegelse August Geelmuyden Unverstetet Oslo Teor I. Defnsjon og bevarng Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene F = F som vrker på et legeme med masse m er lk legemets

Detaljer

Trykkløse rørsystemer

Trykkløse rørsystemer Trykkløse rørsystemer har kabel- og avløpsrørsystemer PVC, PP og PE med komplette delespektre. PE benyttes trykkrør som utslppslednnger, som lednng dårlge masser (myr) og ved høy overdeknng og/eller høy

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Prvate gjøremål på jobben Spørsmål: Omtrent hvor mye td bruker du per dag på å utføre prvate gjøremål arbedstden (n=623) Mer

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag . desember 6 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnekode: ITD Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Dato:. desember 6 Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnold på begge sder. - Formelete. - Kalkulator som deles ut samtdg

Detaljer

Er verditaksten til å stole på?

Er verditaksten til å stole på? NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 2006 Er verdtaksten tl å stole på? En analyse av takstmannens økonomske relasjon tl eendomsmegler av Krstan Gull Larsen Veleder: Professor Guttorm Schjelderup Utrednng

Detaljer

Asker og Bærum tingrett Postboks 578 1302 SANDVIKA Oslo, 24. oktober 201 1 Ansvarlig advokat: Lage Sverdnip-Thygcson Vår ref.

Asker og Bærum tingrett Postboks 578 1302 SANDVIKA Oslo, 24. oktober 201 1 Ansvarlig advokat: Lage Sverdnip-Thygcson Vår ref. 27 Okt 2011 19:52 Arctc nternet 22171941 Sde: 1 Torkldsen, Tennae & co. Advokatfrma AS Asker og Bærum tngrett Postboks 578 1302 SANDVKA Oslo, 24. oktober 201 1 Ansvarlg advokat: Lage Sverdnp-Thygcson Vår

Detaljer

Stivt legemers dynamikk

Stivt legemers dynamikk Stvt legemers dynamkk 8.04.06 FYS-MEK 0 8.04.06 otasjon av et stvt legeme: defnsjon: z m treghetsmoment for legemet om aksen z (som går gjennom punktet O) kontnuerlg legeme med massetetthet (r) m ) dv

Detaljer

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom

Fourieranalyse. Fourierrekker på reell form. Eksempel La. TMA4135 Matematikk 4D. En funksjon sies å ha periode p > 0 dersom TMA435 Matematkk 4D Foureranalyse Fourerrekker på reell form En funksjon ses å ha perode p > dersom f(x + p) = f(x) () for alle x defnsjonsmengden tl f. Den mnste p slk at () holder, kalles fundamentalperoden

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00 Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:

Detaljer

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse

Detaljer

Kultur- og mediebruk blant personer med innvandrerbakgrunn Statistisk sentralbyrå Statistics Norway

Kultur- og mediebruk blant personer med innvandrerbakgrunn Statistisk sentralbyrå Statistics Norway Odd Frank Vaage Kultur- og medebruk blant personer med nnvandrerbakgrunn Resultater Kultur- og medebruksundersøkelsen 2008 og tlleggsutvalg blant nnvandrere og norskfødte med nnvandrerforeldre Statstsk

Detaljer

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis Jobbskfteundersøkelsen 15 Utarbedet for Expers Bakgrunn Oppdragsgver Expers, ManpowerGroup Kontaktperson Sven Fossum Henskt Befolknngsundersøkelse om holdnnger og syn på jobbskfte Metode Webundersøkelse

Detaljer

FAUSKE KOMMUNE. Budsjett Regnskap Periodisert AWík i kr Forbruk i % I 3 015 971 1 304 248 1711 723 r 173 % I

FAUSKE KOMMUNE. Budsjett Regnskap Periodisert AWík i kr Forbruk i % I 3 015 971 1 304 248 1711 723 r 173 % I SAKSPAPR FAUSKE KOMMUNE 11/9981 Arkv JoumalpostD: sakd.: 11/2331 Saksbehandler: Jonny Rse Sluttbehandlede vedtaksnstans: Kommunestye Sak nr.: 002/12 FORMANNSKAP Dato: 31.10.2011 013/12 KOMMUNESTYRE 08.11.2011

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 NA Dok. 5 Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Dokument kategor: Krav Fagområde: Kalbrerngslaboratorer Dette dokumentet er en oversettelse av EA-4/0 European Cooperaton for Accrédtaton of

Detaljer

STK desember 2007

STK desember 2007 Løsnngsfrslag tl eksamen STK0 5. desember 2007 Oppgave a V antar at slaktevektene tl kalkunene fra Vrgna er bserverte verder av stkastske varabler X, X 2, X, X 4 sm er uavhengge g Nµ, σ 2 -frdelte, g at

Detaljer

Hvordan får man data og modell til å passe sammen?

Hvordan får man data og modell til å passe sammen? Hvordan får man data og modell tl å passe sammen? Ekstremverd-analyse Målet er å estmere T-års-ekstremen (flommen). T-års-ekstremen er slk at etter T år vl det forventnng være én overskrdelse av T-års-ekstremen.

Detaljer

Rapportere kraftsystemdata i Fosweb

Rapportere kraftsystemdata i Fosweb Rapportere kraftsystemdata Fosweb Brukervelednng Sst oppdatert 03.04.2019 Rapportere kraftsystemdata Fosweb Innholdsoverskt Om denne brukervelednngen Introduksjon tl Fosweb Organserng av Fosweb Organserng

Detaljer

FAUSKE KOMMUNE INNSTILLING: Sammendrag: TIL KOMMNE. II Sak nr.: 097/12 I DRIFTSUTVALG REFERATSAKER I PERIODEN SAKSPAPIR. orientering.

FAUSKE KOMMUNE INNSTILLING: Sammendrag: TIL KOMMNE. II Sak nr.: 097/12 I DRIFTSUTVALG REFERATSAKER I PERIODEN SAKSPAPIR. orientering. ' SAKSPAPIR FAUSKE KOMMUNE JouralpostID: 12/8728 I Arkv sakld.: 12/2060 Sluttbehandlede vedtaksnstans: Drftsutvalget II Sak nr.: 097/12 I DRIFTSUTVALG I I Saksansvarlg: Bert Vestvann Johnsen Dato: 17.10.2012

Detaljer

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018

Løsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018 Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

MTO diagram. Ble informasjon om denne type hendelser registrert og tatt lærdom av, av Skanska eventuelt. bransjeorganisasjon?

MTO diagram. Ble informasjon om denne type hendelser registrert og tatt lærdom av, av Skanska eventuelt. bransjeorganisasjon? MTO dagram Hendelse- årsaksanalyse Avvk Før 1999 Sementnjeksjon Sementnjeksjon fjell fjell - "le" "le" trykk trykk Utvklng njeksjonspakkere fra ca 1980 Ble nmasjon denne type hendelser regstrert tatt lærd,

Detaljer