Elliptiske differensialligninger

Transkript

1 Kapittel 5 Elliptiske differesialligiger 5.1 Elliptisk ligig i plaet Vi skal å se på partielle differesialligiger av tpe au +bu + cu = d(,, u, u,u ), (, ) der a, b, c, d ka være fuksjoer av og., Elliptisitet. Hvis fuksjoee a, b, c for alle (, ) oppfller ac b > 0 er differesialligige elliptisk i. Eksempel. Hvis a = c =1,b= d =0får vi Laplaceligige u + u =0. Radkrav. Det fis tre valige tper av radkrav 1. Diriclet radkrav: u = f på.. Neuma radkrav: u = u = g på. 49

2 50 KAPITTEL 5. ELLIPTISKE DIFFERENSIALLIGNINGER 3. Robbi radkrav: αu + β u = γ på. Ofte ka ma a e bladig av 1-3, slik at rade ka deles opp i flere biter, og med forskjellig tpe radkrav på de forskjellige bitee. La være e åpe sammeegede delmegde av R. Defier differesial- Maksimumsprisippet. operatore L ved Lu = au +bu + cu + du + eu der a, b, c, d, e er fuksjoer av og, ogl er elliptisk (ac > b )i. Hvis Lu =0i,kaikkeu ata oe stregt relativt maksimum eller miimum i medmidre u = kostat i. Alterativ formulerig. Hvis u er kotiuerlig i = oglu =0ivilu ata maksimum og miimum på. 5. Differesmetoder via Talor Vi starter med et regulært gitter. Gitterpukt Skjærigspukt Gitterlijer: = l, = m Gitterpukter: P =( l, m ) Vi søker approksimasjo til eksakt løsig på et ett som består av gitterpukter og skjærigspukter mellom gitterlijer og. Vi defierer å oe delmegder av ettet G = {( l, m )} : Hele gitteret N o : G, megde av idre gitterpukt D = {(, ) : = l eller = m } N = N o D Skjærigspukter ka skape problemer, fordi de ar e tedes til å ødelegge øaktigete i de umeriske løsige og ka også forstrre matrisestruktur som er øedvedig for å få urtige ligigsløsere.

3 5.. DIFFERENSMETODER VIA TAYLOR 51 Gitterligede ett. Et ett er gitterligede vis alle pukt i megde D er gitterpukt. I det videre ser vi på gitterligede ett med kostate skrittlegder, det vil si at l = 0 + l, l = 0, 1,... og m = 0 + m, m =0, 1,... Poisso s ligig. u = u + u = f i, u = g(, ) på. u p = 1 δ u p + O( ) u p = 1 k δ u p + O(k ) der u p er eksakt løsig av diffligig i p =(, ). k Om vi diskretiserer differesialligige i puktet p =(, ) får vi altså u p = f p 1 δ u p + 1 k δ u p = f p + τ p der f p er fuksjoe f evaluert i puktet p, og avbruddsfeile τ p er τ p = u p k 4 u p + (5.1) Videre lar vi å U p være approksimasjo til u p og vi får ligigssstemet 1 δu p + 1 k δu p = f p, p N o, U p = g p p D. Klassisk 5-pukts formel for Poisso s ligig. I tilfellet k = fås δ U p + δ U p = f p Vi ka skrive ut dette ved å bruke idekser som refererer til immelretigee v p ø U v + U s + U ø + U 4U p = f p s Eksempel. Vi reger gjeom et kokret tilfelle. u =0, (, ) =(0, 1) (0, 1), u(, ) =g(, ), (, ) der g(, ) er som beskrevet i figure.

4 5 KAPITTEL 5. ELLIPTISKE DIFFERENSIALLIGNINGER u=4( 1) u=0 3 4 u=4(1 ) g(0,)=0, 0 1 g(, 0) = 0, 0 1 g(1,)=4(1 ), g(, 1) = 4( 1), 0 1 u=0 Løser ma disse ligigee får ma p =1: 4 U 1 +U +U 3 = 0 p =: U 1 4 U +U 4 = 3 7 p =3: U 1 4 U 3 +U 4 = 3 7 p =4: U +U 3 4 U 4 = 0. U 1 = U 4 =0, U = 8 7, U 3 = 8 7. Du ka sjekke at eksakt løsig av problemet er u(, ) =4 ( ). Ser vi på (5.1), ser vi at avbruddsfeile er idetisk lik ull fordi 4 u 0og 4 u 0ogdermed alle øere ordes deriverte. Så i dette tilfellet gir formele eksakt riktig løsig. Dette er veldig spesielt, med litt adre radbetigelser vil τ p Diskretiserig av e selvadjugert ligig Vi studerer problemet Lu = f, der Lu = (a u)+ (c u), a = a(, ), c = c(, ). (a u)= 1 (a ø (u ø u p ) a v (u p u v )) + O( ) (c u)= 1 k (c (u u p ) c s (u p u s )) + O(k ) Så Lu = f ka diskretiseres til v v p ø ø α ø U ø + α U + α v U v + α s U s α p U p, s og der α p = α ø + α + α v + α s s α ø = 1 a ø, α = 1 k c, α v = 1 a v,α s = 1 k c s.

5 5.3. RANDKRAV AV NEUMANN S OG ROBBIN S TYPE Radkrav av Neuma s og Robbi s tpe Eksempel. u =0 i 3 1 u = g(, ) på 1 u q (0) = f (0) ) på 3 u q (1) = f (1) ) på 4 4 Vi krever at q (0) 0ogq (1) 0. Nå tregs ligiger for U p for alle p N o, samt alle p på 3 og 4.Laossforekeltets skld bruke samme skrittlegde i begge retiger, vi setter altså k =. La oss bruke de vestre rade 3 som eksempel. u qu = f v 3 p ø s Alterativ 1. u p = u ø u p + O() U ø U p q p (0) U p = f p (0) der q (0) p og f (0) p er de gitte fuksjoee q (0) og f (0) evaluert i puktet p. Alterativ. Bruk fiktivt pukt v som ligger utefor området, se figure. u p = u ø u v + O( ) U ø U v q p (0) U p = f p (0) (5.) De ekstra ukjete U v krever e ekstra ligig, og vi bruker skjemaet for selve differesialligige i puktet p U ø + U + U v + U s 4U p =0, (5.3) og vi elimierer U v ved jelp av det diskretiserte radkravet. Fra (5.) fier vi U v = U ø (q p (0) U p + f p (0) ), som isatt i (5.3) gir U ø + U + U s (4 + q p (0) )U p =f p (0). Dee diskretiserige er mer øaktig e alterativ 1. Ma gjør elt tilsvarede på rade 4.Viserderkupå alterativ med fiktivt radpukt s, ogp på 4 : u p = u u s + O( ) U U s q (1) p U p = f (1) p. Vi ka er også bruke (5.3) og elimiere bort de fiktive verdie U s, resultatet blir U + U v + U ø (4 + q (1) p )U p =f (1) p.

6 54 KAPITTEL 5. ELLIPTISKE DIFFERENSIALLIGNINGER Rad lags gitterdiagoal v p u + qu = u + qu = f =[, ] T = = 1 fordi k = s u p = 1 ( up u v slik at e første ordes tilærmelse blir u = u + u = 1 ( u + u) + u ) p u s + O() ( + q p )U p U v U s = f p Ma øer seg ofte med e slik grov tilærmelse for dee tpe rad. I prisippet ka ma også er bruke alterativ med fiktivt gitterpukt, me det blir fort veldig kompliserte formler. Et problem forbudet med ret Neuma problem for Laplace s ligig. Problemet ar bare løsig vis u = 0, i u = g, på g = 0. Dette ser ma ved å bruke divergesteoremet på u. Hvisu er e løsig, ser vi umiddelbart at også u + c er e løsig for e vilkårlig kostat c. Dermedar vi itet velformet PDL-problem. Dette kommer igje i det diskretiserte problemet der vi tpisk vil få et lieært ligigssstem av tpe AU = b vor A er e kvadratisk matrise som er sigulær. Hvis b ikke tilører koloerommet til A ar vi ige løsig. I motsatt fall ar vi e løsig, me de er ikke etdig, side vi ka addere e vilkårlig vektor fra (det ikke-trivielle) ullrommet til A. 5.4 Gitterligede ett og varierede skrittlegder v p ø ø v v s s ø s

7 5.5. GENERELT REKTANGULÆRT NETT 55 Vi lar og Vi ser på approksimasjo av (a u) L () U p = (c u) L () U p = Lu = (a u)+ (c u) v + ø s + ( U ø U p a ø a v ø ( U U p c c s ) U p U v v ) U p U s s Vi refererer til figure ovefor til øre for defiisjo av puktee p, v, v,s,s, ø, ø,, og de tilørede skrittlegder. Vi approksimerer L med og fier ved L () u p = v + ø L = L () + L() ( (1 + ø + ø ø )(a p ( ø 3 + )u p ) (1 v + v 8 3 v )(a p ( v 3 + )u p) = (a )u p ( ø v ) (a )u p ø + 3 v ( a ø + a 3 )u p +... v Helt tilsvarede utregig ka ma gjøre for L () u p og til slutt fier ma at O(( ø v )+( s )+ ø + ) geerelt Lu L u = O( ø + ) ø v, = s. 5.5 Geerelt rektagulært ett ) Idre gitterpukt Nettpukt på rade Vi ser på ligige u = f som eksempel. Diricletproblem. idre gitterpukter. Vi ka bette de geerelle 5-puktsformele med ø, v,, s for alle

8 56 KAPITTEL 5. ELLIPTISKE DIFFERENSIALLIGNINGER Robbisproblem. Vaskeligete er er u = u. Vi lar gitteret være rektagulært med skrittleger og k i eoldsvis og retig. P d(p,q) = d d(q,s) = d(p,s) = k R Q S Vi ar u P = u P u Q d + O(d), d = + k Problemet er at Q ikke er et gitterpukt, me vi ka approksimere løsige i puktet Q ved lieær iterpolasjo. Vi fier u Q = u R + u S + O( ) Dermed blir u P = 1 (u P (u R d + u ) S ) + O( /d)+o(d) Me vi bemerker at dee tpe problem er geerelt vaskelig å sette opp. 5.6 Diskretiserig via Talor på fullstedig gereelt ett Vi skal diskretisere operatore Lu = au +bu + cu + du + eu + fu La P være e vilkårlig idre ode. Vi velger ut s oder blat de øvrige puktee i ettet, tpisk de s ærmeste aboee til P.La være e karakteristisk gitterstørrelse. Vi beskriver beliggeete til puktet Q i relativt til P ved koordiater PQ i =(ξ i, η i ). Vi approksimerer operatore L med L der vi forlager at L U P = α i U Qi α 0 U P. i=0 for et valg av kostater α 0,...,α s.

9 5.7. DIFFERENSFORMLER UTLEDET VIA INTEGRASJON 57 Som valig setter vi i eksakt løsig u i dee formele og rekkeutvikler ved å bruke Talor i dimesjoer som i (.4). Vi får da u Qi = u P + ξ i u P + η i u P + 1 ξ i u P + ξ i η i u P + 1 η i u P +, som isatt i uttrkket for L u P gir ( ) ( ) ( L u p = α i α 0 u P + ξ i α i u P + + ( ) ξ i η i α i u P + ( 1 ) η i α i u P + ) ηi α i u P ( 1 ) ξi α i u P Dette bør være mest mulig likt Lu p, og vi bør derfor kreve at α i = α 0 + f ξ i α i = d η i α i = e ξ i α i = a ξ i η i α i = b η i α i = c I tillegg bør følgede ligiger være oppflt for flest mulig verdier av l ξ l i ηl m i α i =0, m =0,...,l, l=3, 4,... Dette ser vi ved åkikkepå reste av Talorrekka til L u P, leddee fra 3 og oppover l=3 l l! l m=0 ( ) l (α i ξi m ηi l m ) m m l m u P. 5.7 Differesformler utledet via itegrasjo Dee tekikke kalles ofte boksitegrasjo, og er ær relatert til det som i litterature kalles for edelige volum-metoder.

10 58 KAPITTEL 5. ELLIPTISKE DIFFERENSIALLIGNINGER Gauss divergesteorem. Gitt et område som på figure med rad som i vert pukt ar e utadrettet ormalvektor. La p = p(, ) væreetvektorfelti. Da gjelder div p da= p ds Med div p = p mees divergese til vektorfeltet p. Spesielt vis p = u (gradietvektorfelt) får ma at div p = u = u + u. Dermedfår vi uda= u ds= uds Vi illusterer boksitegrasjo gjeom et spesifikt eksempel. La = R være et rektagel med reder Γ 1,...,Γ 4 som på figure. Γ u kjet u ukjet Γ 3 R Γ 1 Γ 4 Vi ser på problemet u = f, i R. u + au = d, påγ 1, u = g, påγ Γ 3 Γ 4. Her ar vi iført et rektagulært gitter på R, merk at det ka gjere være varierede skrittlegder i begge retiger. La å P være et idre pukt i R. Viserførstpårektaglet avgreset av abogitterlijee til de P ligger 3 Q på (se figure). Deretter ifører vi et tt midre rektagel som på figure, vi kaller dette. Sidekatee i, som er setrert mellom gitterlijee, kalles γ γ 3 γ i,,, 3, 4. Legde av γ i kalles l i.vilarskrittlegdee ut fra P være 1 (mot øre), (oppover), γ 1 Q 3 P Q 1 3 (mot vestre), 4 (edover). Dermed blir i følge figure 4 γ 4 l 1 = l 3 = + 4,l = l 4 = Q 4 1

11 5.7. DIFFERENSFORMLER UTLEDET VIA INTEGRASJON 59 Arealet blir A = 1 4 ( )( + 4 ). Nå bruker vi Gauss divergesteorem på det lille rektaglet og fier u = f uda= uds= fda. }{{ } }{{ } I II Vi forsøker å approksimere I og II. I: II: Dermed blir vår differesformel uds= 4 γ i uds 4 l i u Qi u P i fda f P A = 1 4 f P ( )( + 4 ). 4 l i A i (U Qi U P )=f P Vi ka alterativt skrive om formele til det gamle formatet der 4 α i U Qi α 0 U P = f P α 1 = 1 ( ),α = ( + 4 ),α 3 = 3 ( ),α 4 = 4 ( + 4 ),α 0 = Dee formele brukes for alle idre pukt i R. Mevimå a ligiger også for de ukjete på rade Γ 1. Nå sammefaller γ 1 med de tre rade Γ 1 der vi ar u + au = d Q Gauss divergesteorem på girigje 4 γ uds= fda γ i γ 3 Q Ser vi spesielt på rade γ 1 der u er gitt som d au 3 P ar vi γ 1 uds= (d au) ds l 1 (d P a P u P ) γ 1 γ 1 4 γ 4 der a P og d P er fuksjoee a og d evaluert i puktet P.På de øvrige redee setter vi Q 4 u Qi u P uds l i,i=, 3, 4. 3 γ 1 i Vi eder dermed opp med følgede differeseformel for et pukt P som ligger på rade Γ 1. der l 1 (d P a P U P )+ 4 i= l i i (U Qi U P )=f P A A = 1 4 3( + 4 ), l = l 4 = 1 3, l 3 = + 4

12 60 KAPITTEL 5. ELLIPTISKE DIFFERENSIALLIGNINGER 5.8 Nett basert på trekater Det fie med boksitegrasjo er at det ikke forutsetter at området vårt er delt i i rektagler, for eksempel trekater ka brukes like ekelt. Det er ofte lettere å dele opp et område som ikke er rektagulært i trekater e i rektagler. Trekatee beøver ikke å være like eller esformede, me vi krever er at alle vikler er midre e 90 grader. I det videre forutsetter vi også atviikkearsåkalte egede oder, vi krever at ige oder får plasseres på e trekats sidekat (me ku i jøree). I de este figure ar vi teget et utsitt av trekatettet, der s trekater (s = 6 i figure) ar det idre gitterpuktet P som felles jøre. Sidekate γ i i det idre polgoet skjærer ortogoalt og midt på lijestkket PQ i.vilarγ i ar legde l i og lijestkkee PQ i ar legde i.viatar videre at ar areal A. Vi bruker Gauss divergesteorem påområdet, og får Q Q 1 uds= γ i fda γ γ1 Nå approksimerer vi som før U Qi U P uds l i γ i i Q 3 γ 3 γ4 γ5 6P γ Q 6 slik at de edelige formele blir l i i A (U Q i U P )=f P Vi ar ikke oppgitt spesifikke formler for utregig av arealet A eller oe relasjoer i mellom l i og i (dette er eller ikke mulig i det elt geerelle tilfellet vi ar drøftet). Det fis et viktig alterativ til boksitegrasjo, emlig de såkalte edelig elemetmetodee. Disse bgger på eteltaerledes matematisk fudamet e det vi ar presetert er. Kurset TMA40 Numerisk løsig av partielle differesialligiger med elemetmetode tar for seg slike metoder i stor utstrekig. Q 4 Q Differesligigee La oss først skrive elliptisk ligig med radbetigelser på abstrakt form som Lu = f i Bu = g på Vi ifører diskretiserig av dette problemet ved α 0 U P α i U Qi = β P. (5.4) Vi lar P løpe gjeom alle de puktee vor u skal approksimeres. Her er Q i et abopukt til P for i =1,...,s.Koeffisieteeα 1,...,α s ka avege av P, det samme ka s.

13 5.9. DIFFERENSLIGNINGENE 61 Øskelige egeskaper for (5.4). i. α 0 > 0 α i 0 } for ever P. ii. α 0 α i for ever P, det vi i lieær ligigsløsig kaller diagoaldomias. Vi krever dessute ekte uliket for mist e P. iii. Koeffisietmatrise er smmetrisk P Q i Om vi sier at koeffisiete som brukes i ode P fora ode Q er α P,Q, betr smmetriegeskape at α P,Q = α Q,P. Vi mier om maksimumsprisippet beskrevet i kapittel 5.1. Det viser seg at et tilsvarede prisipp gjelder for differesligiger av tpe beskrevet ovefor. Diskret maksimumsprisipp. Ata at e differesligig oppfller (i) og (ii) ovefor. Ata: Størrelse V P er defiert for alle P ogat α 0 V P i α i V Qi 0 for ever P (idre gitterpukt). Da gjelder at V P ma S V S for ever P. Bevis. Ata det motsatte, emlig at det fis e P slik at V P =ma V P > ma V S (5.5) P S Aveder vi derfor atagelse i teoremet for dette puktet får vi α 0 V P i α i V Qi V p i (i) α (ii) i 1 V Qi α 0 j α α i V Qi = j i i γ i V Qi vor α i γ i = j α j slik at i γ i =1.

14 6 KAPITTEL 5. ELLIPTISKE DIFFERENSIALLIGNINGER Vi får dermed at γ i V Qi i i γ i ma V Qi i =mav Qi i og dermed V P ma i V Qi. I følge (5.5) må derforv Qi = V P for alle i. Vi ka dermed avede det samme argumetet på vert abopukt V Qi, osv elt itil ever abo blir et radpukt S. Dermed ar vi at V S = V P for alle S som er e selvmotsigelse (i forold til (5.5)) og vi kokluderer med at teoremet er sat Koverges av metoder for elliptiske ligiger Kovergesbevis for 5-puktsformele på et Diricletproblem La oss se på problemet u = f i R u = g på R der R er kvadratet (0, 1) (0, 1). Sett = 1 M og aved 5-puktsformele L U p = f p vor L U p = 1 (4U p U ø U v U U s ), p R U p = g p, p R. Avbruddsfeile i ode p er gitt som τ p = L u p + τ p. Via Talor ka vi vise at τ p = 1 6 K = τ der K =ma p R { 4 u p, u 4 p }, dee defiisjoe krever at disse fjerde-deriverte er begreset overalt i R. Diskretiserigsfeil (global feil) er defiert som e p = u p U p og vi fier at L e p = L u p L U p = f p + τ p f p = τ p, p R L e p =0, p R Såderforer L e p τ for alle p R. Vi ifører å fuksjoe ϕ(, ) = 1 og vi aveder operatore L på dee fuksjoe L ϕ p = 1 (4 1 p 1 ø 1 v 1 s 1 ) Her er ø = p + = s = p v = p L ϕ p = 1 ( ) 4 p ( p + ) ( p ) p p = 1.

15 5.10. KONVERGENS AV METODER FOR ELLIPTISKE LIGNINGER 63 Vi setter å V p = e p + τϕ p og får L V p = L e p + τl ϕ p = L e p τ 0 Så L oppfller betigelse i maksimumsprisippet med V p = e p + τϕ p.derforer e p + τϕ p ma (e S + τϕ S ) 1 τ for alle p R, S R side e S = 0 og side R er kvadratet (0, 1) (0, 1) så erϕ(, ) = 1 1 Om vi gjetar argumetet med V p = e p + τϕ p fier vi tilsvarede at for (, ) R. Side ϕ p τ 0 ka vi kokludere at e p + τϕ p 1 τ for alle p R. e p 1 τ 1 1 K for alle p R Noe geerelle kommetarer om koverges E ser geerelt på differeseskjemaer av tpe α pp u p q α pq u q = β p + τ p Diskretiserigsfeile er e p = u p U p, og vi fier ved isettig i formele at α pp e p q α pq e q = τ p, p Om vi setter opp e p,τ p p R i vektorer e og τ, ka vi skrive om sstemet på forme Ae = τ Om A er iverterbar fås e = A 1 τ som impliserer e A 1 τ Stabilitet: Skjemaet sies å være stabilt dersom det fis e kostat C slik at A 1 C, for alle skrittlegder. Avbruddsfeile τ vil ma tpisk kue vise (via Talor) at oppfller τ = O( σ ), σ eltall. Noe som ved stabilitet vil implisere at e = O( σ ) Det ka tekes at for eksempel τ p O( )foroep, mes for adre (tpisk ær eller på rade) ar e τ p O(). Da ser vi geerelt at de globale feile e ikke ka forvetes å være mer e O(). Det eder likevel at e uder slike omstedigeter får e = O( ).

16 64 KAPITTEL 5. ELLIPTISKE DIFFERENSIALLIGNINGER 5.11 Noe kommetarer om løsigsmetoder for de lieære ligigssstemee Det å løse lieære ligiger av tpe (5.4) er et stort fagfelt i seg selv. Det er ofte dee prosesse som er bestemmede for vor store og kompliserte tilfeller som ka løses på datamaski. I dette kurset ar vi ikke ok tid til å diskutere slike metoder i detalj. Når ma skal velge metode for å løse et stort lieært ligigssstem ar ma to ovedklasser av metoder å velge mellom, emlig direktemetoder og iterative metoder. Førstevte metode ikluderer Gausselimiasjo, eller mer spesifikt, Coleskfaktoriserig dersom ligigssstemet er smmetrisk, positiv defiitt. De iterative metodee ikluderer Jacobi-, Gauss-Seidel, og SOR (Suksessiv overrelaksasjo). Me de tpe lieære iterative ligigsløsere som ar att mest suksess i de seiere år, er de såkalte Krlovmetodee. For smmetriske matriser ikluderer disse Kojugerte gradieters metode. Det er ikke lett ågioeekeltsvarpå akkurat år det er raskest med direktemetoder, eller iterative metoder. Fordel iterative metoder ar ma tpisk år 1. Ligigssstemee er meget store og glise. Et sstem er glisset vis det er ku e lite adel av elemetee i matrisa som er ulik ull.. Matrisee ar ige utpreget bådstruktur, det vil si at det fis idekser foroldsvis lagt ua diagoale (ij-elemet med stor verdi av i j ) vis elemeter er forskjellig fra ull. Bådbredde til e matrise ka for eksempel defieres som b(a) =ma{ i j : a ij 0}. 3. Det fis e god prekodisjoerig av sstemet. Teoretisk betr dette at ma ka fie matriser T,S, slik at sstemet T 1 AS S 1 = T 1 b  ˆ = ˆb er eklere å løse e det opprielige sstemet A = b. I praksis ka det være slik at med to romdimesjoer for differesialligige, så er direktemetoder og iterative løsere omtret like effektive, mes i tre romdimesjoer vier de iterative løsere. Tpisk er det slik at iterative løsere bruker multiplikasjo av matrise A (resp Â) med vilkårlige vektorer som bggesteier i metode. Jamfør pukt 1 ovefor så ka ma gjøre multiplikasjo A okså billig vis matrise A er lagret på eforuftigmåte. Pukt er viktig fordi dersom bådbredde til A er lite så blir Gausselimiasjo relativt sett me billigere. Faktoree L og U i LU-faktoriserig vil a samme bådbredde som A (dersom e ikke pivoterer). Ved stor bådbredde for e dermed også at atall ikke-ull-elemeter ka bli me større i L og U e i A. Dette feomeet kalles fill-i. Det som virkelig gjør de store forskjelle for iterative metoder er pukt 3, emlig at ma ka fie e god prekodisjoerig. Merk at trasformasjoe  = T 1 AS er ku teoretisk. For ekelets skld, la oss sette S = I. Som evt ovefor bgger de iterative metodee på opersjoer av tpe = A for vilkårlige vektorer. For det prekodisjoerte sstemet blir dette til =  = T 1 A. Prekodisjoerige foregår dermed som e idre løkke i de iterative metode. Hver gag e slik metode skal berege  foregår dette ved at ma først fier ỹ = A og deretter = T 1 ỹ. De siste operasjoe foregår ikke som e eksplisitt matrise-vektor multiplikasjo, me er resultatet av e prosess ma utfører på vektore ỹ. Eteksempelpåe slik prosess, ka være at ma utfører e deler av e Gausselimiasjo på sstemeta =ỹ. E slik delvis eller ikomplett Gausselimiasjo ka lages på e slik måte at beregigsarbeidet ka spres utover mage prosessorer på e datamaski, og ka derfor utføres svært effektivt. E ae prekodisjoerig går ut påå splitte opp domeet der diffligige løses i mage små delområder. Dermed splittes differesligigee opp i mage midre sstemer av ligiger, vis ma ser bort fra koblige i mellom områdee. Ligigssstemet for vert område løses da, for eksempel med Gausselimiasjo på ver si prosessor. Det fis et eget kurs TMA405 Numerisk lier algebra som beadler slike metoder i detalj.