Forsikring. ECON 220 Velferdsstaten. Aktuarisk forsikringspremie. Begrepsavklaring. Tilnærming. 1) Hva er forsikring?

Transkript

1 Forsikring ECON 0 elferdsstaten Kapittel 4 Forsikring Kap 4, Barr 1 Nesten ingenting er så usikkert som levealderen til et nyfødt barn, og nesten ingenting er så sikkert som gjennomsnittlig levealder til 1000 nyfødte barn Enkeltrisiko vs gjennomsnittsrisiko (deling av risiko) Kap 4, Barr Begrepsavklaring Usikkerhet (subjektiv risiko) Psykologisk reaksjon på manglende kunnskap om framtidige utfall Kjenner ikke (nøyaktig) sannsynlighetene for ulike utfall «Optimering under usikkerhet» Risiko Mulighet for tap/skade («sjokk») Positive sannsynlighet for flere utfall, hvor minst ett av utfallene er uønsket Objektivt mål basert på observerte skadeandeler Kjenner sannsynlighetene for ulike utfall Forsikring = risikodeling (risk sharing) Individuell risiko (idiosyncratic risk) Systematisk risiko (aggregate risk, covariate risk) Fare (peril) Årsak til tap, feks brann, kollisjon, tyveri, etc. Hasard En tilstand som kan øke sannsynligheten for tap eller skade Hasardiøs kjøring Kap 4, Barr 3 ktuarisk forsikringspremie ktuarisk nøytral forsikringspremie (aktuariell premie) Innbetalingen er lik forventet utbetaling for forsikringsselskapet (for enhver risikogruppe) Forsikringspremien er lik forventet tap ved skade for forsikringstaker Kap 4, Barr 4 1) Hva er forsikring? Privat forsikring Forsikring er en kontrakt mellom to parter (FS og FT) hvor det blir spesifisert en pris/premie r (som FT må betale) og en kompensasjon C (som FS må betale) dersom ulykken inntreffer Sosial forsikring En innretning som gir individene en sikkerhet mot risiko, f. eks. ved uforutsette inntektsbortfall ved sykdom (eller uforutsette tap generelt) Kap 4, Barr 5 Tilnærming ktuarene (statistikk/matematikk) Hva er aktuarisk nøytral premie? FS vet at 1 promille av villaene vil brenne ned til grunne hvert år. Hver villa er i gjennomsnitt verdt kr mill. Forsikringspremien (r) på hver bolig blir da kr 000 per år Økonomene Hvilken risikopremie () er en villig til å betale for å sikre seg mot uforutsette hendelser? Finnes det et sikkert prosjekt som er ekvivalent med det usikre prosjektet? Betalingsvillighet/tilnærming Skal anta sterk konkurranse blant FS => Profitt FS = 0 Kap 4, Barr 6 1

2 Marked for forsikring Etterspørsel Hvorfor vil folk ønske å forsikre seg når de vet at FS tar inn mer i forsikring enn de betaler ut? Tilbud Når vil FS tilby forsikring? Hva er vilkårene? ) Etterspørsel etter forsikring Folk vil ønske forsikring fordi de ikke liker usikkerhet, dvs de er risikoaverse Folk foretrekker sikkerhet framfor usikkerhet for samme forventede inntektsbeløp og er villig til å betale for å unngå usikkerhet Eksempel Et usikkert prosjekt mottar enten kr 100 (dårlig år) eller kr 1000 (godt år), med forventning kr 550 Hvor mye må jeg motta med sikkerhet for å være indifferent med prosjektet som gir forventning lik 550? 600, 550, 500, 400, 300? Kap 4, Barr 7 Kap 4, Barr 8 Etterspørsel etter forsikring U(y ) Etterspørsel etter forsikring U[E(y)] Kap 4, Barr 9 y 1 y* E(y) y Kap 4, Barr 10 Etterspørsel etter forsikring Etterspørsel etter forsikring U(y ) U(y ) U(y -r) U(y -r) med forsikring uten forsikring r = p L r = p L y 1 y* E(y) y Kap 4, Barr 11 y 1 y* E(y) y Kap 4, Barr 1

3 Etterspørsel etter forsikring Etterspørsel etter forsikring U(y ) U(y ) U(y -r) r = p L r = p L(1+a) r = p L(1+a) Kjøper forsikring Kjøper ikke forsikring r = p L(1+a) y 1 y* E(y) y Kap 4, Barr 13 y 1 y* E(y) y Kap 4, Barr 14 Etterspørsel etter forsikring U(y ) r = p L(1+a) φ y 1 y* E(y) y Kap 4, Barr 15 Sikkerhetsekvivalens og risikopremie Sikkerhetsekvivalens (y* = CE) en størrelsen (sikre beløpet) som gjør deg indifferent (samme nytte) med usikkert prosjekt et sikre beløpet som gir samme nytte som forventa nytte i det usikre prosjektet Total betalingsvillighet for forsikring = y y* Risikopremie () en ekstra størrelsen (ut over r) vi er villig til å betale for å unngå usikkerhet = E(y) - y* Tar forsikring hvis φ (nettopremie til FS) < ed NP (0 profitt til FS) er φ = 0 Loading factor = alpha (antar stort sett at alpha=0 i den videre analysen for å forenkle) a er BP = r = pl (ved fullforsikring) Kap 4, Barr 16 U(y ) Tall fra tabell 4.1 side 84 φ=100 r = p L(1+a)=550 Obs! ktuarisk nøytral premie ved a=0 er 450. I eksempelet er a = %. 100 y* Kap 4, Barr 17 Regneeksempel Et prosjekt har to mulig utfall, 3000 eller 15000, hvor utfallene har lik sannsynlighet. funksjonen er gitt ved U(y) = /y. a) Er personen risikoavers? b) Finn forventa inntekt og forventa nytte fra prosjektet. c) Hva er forsikringspremien? d) Finn sikkerhetsekvivalens og risikopremie. e) Hva er nytte med og uten forsikring? f) Hva blir resultatet dersom nyttefunksjonen er gitt ved U(y) = y {0,5}? Kap 4, Barr 18 3

4 Løsning 18 16, r = p*l= Kap 4, Barr 19 3) Tilbudssiden: Store talls lov Forsikring baserer seg på store talls lov Jeg vet ikke om mitt hus brenner i år, men FS vet ca hvor mange hus som brenner hvert år og kan fordele kostnadene på alle husstander Overføring av risiko fra individ til gruppe ariansen (og risikoen) på individnivå forsvinner. Individene foretrekker sikkerhet framfor usikkerhet Kap 4, Barr 0 Forsikringseksempel nta 1000 hustander. Over en 5-års periode har 50 hus brent ned. Hva er årlig sannsynligheten for tap for hver husstand? (0.01) Fordelingen av husbranner over de 5 årene er (7, 11, 10, 9, 13). Hva er variansen? (4) Tilbud av forsikring, forutsetninger en individuelle sannsynligheten for ulykke/skade (p i ) er uavhengig av hverandre (ingen systematisk/fundamental risiko) p i < 1 (må ha usikkerhet, dvs manglende kunnskap om framtidig utfall) Ingen asymmetrisk informasjon Ugunstig utvalg FS kjenner ikke individuell p i og forsikring er frivillig Økende andel dårlig risiko Moralsk hasard Individene kan påvirke p i (eller L) Påvirke p i (ex ante moralsk hasard) Påvirke L (ex post moralsk hasard) FS må vite gjennomsnittlig p i (må ha mange individ) Kap 4, Barr 1 Kap 4, Barr 4) Modell med ugunstig utvalg Tilstandsdiagram Rothschild & Stiglitz (1976) Populasjon av typer individ (p L og p H ) lle FT har lik nyttefunksjon, er risikoavers FS risikonøytral (opptatt av forventet inntekt) lle har samme potensielle skade (L) Populasjonen inneholder brøkdel θ og (1-θ) av de to typene L og H Lik inntekt i god og Kap 4, Barr 3 y Kap 4, Barr 4 4

5 Full informasjon, to typer Full informasjon, to typer r settes slik at -p L (C-r L ) + (1-p L ) r L = 0 sikker nettoinntekt = p L L = r L L er fullforsikring C < L er delforsikring y 5 y Kap 4, Barr 6 Full informasjon, to typer sikker nettoinntekt Med forsikring, nyttetilnærming E[U(p, C)] = p L U(y -L-r L + ) + (1-p L ) U(y -r L ) E[U(p, C)] = p H U(y -L-r H + ) + (1-p H ) U(y -r H ) Budsjettlinje som reflekterer mulige forsikringskontrakter ved nøytrale premier For å finne hvor mye en person er villig til å kjøpe av forsikring (etterspørsel), maksimerer vi E[U(p, C)] mhp C. Finner da at vi får fullforsikring, dvs C=L y Kap 4, Barr 7 Kap 4, Barr 8 Indifferenskurver Full informasjon, to typer Totaldifferensierer E[U(y 1, y )] mhp y 1 og y. Sett dette lik null og løs Helning = dy 1 / dy = (1- p) U / p U 1 MRS = MU /MU 1 veid med p Hvis p er høy så slak indifferenskurve Hvis p lav, så bratt indifferenskurve vhengig av hvordan en snur diagrammet Kap 4, Barr 9 E y 30 5

6 FI, risikopremie (), L-gruppen FI, risikopremie () CE=y* L E(y) r L med og uten forsikring y i antar at FS ikke utnytter betalingsvilligheten til FT til å ta profitt FT betaler kun forventa tap, selv om betalingsvillighet er høyere ntar Profitt FS = 0 (antar sterk konkurranse) Figuren må ikke forveksles med L- og H- gruppe diskusjonen (dette gjelder en gruppe om gangen) Kap 4, Barr 3 Full informasjon, effektiv løsning Helning på budsjettlinjen = helning på indifferenskurven 1- p 1- p MU = p p MU dvs MU = MU y = y i optimum (lik inntekt = fullforsikring) Optimeringsproblem E(U) = pu[y L r + C] + (1 p)u[y r] gitt = p( C r) + (1 p) r = 0 r = pc π FS Maks E[U(p,C)] = pu[y L pc + C] + (1 p)u[y pc] E(U) ' ' = pu [y L r + C](1 p) (1 p)u [y r]p = 0 C ' ' U [y L r + C] = U [y r] 1 som oppnåes bare dersom L = C, dvs fullforsikring Kap 4, Barr 33 Kap 4, Barr 34 Effekt av loading faktor (a>0) = p L L = r L = (1+a) p L L = (1+a) r L UTEN forsikring for L-gruppen Full informasjon, to typer ME forsikring for L-gruppen ME forsikring for H-gruppen UTEN forsikring for H-gruppen E y Kap 4, Barr 35 y Kap 4, Barr 36 6

7 Oppsummering Forsikringsmarkeder I et privat forsikringsmarked (frikonkurranse) er først-best løsningen fullforsikring ( og ) FS krever ulik premie Sosial velferd U(y -r H ) + U(y -r L ) som sammenlignes med [p H +(1-p H ) U(y )] + [p L +(1-p L ) U(y )] Kap 4, Barr 37 Noen ganger kan FS anslå p i Individuell skadehistorie Forsikringsobjekt lder, kjønn, inntekt, bosted, utdanning rbeidstaker, jobbhistorikk I så fall: bra for FS, fra for FT (og rettferdig), og bra for samfunnet! Kap 4, Barr 38 Imperfekt informasjon Hva skjer dersom FS ikke kjenner de to typene FT? Pooling (sammenslått løsning) Separasjon (preferanseavsløring) Pooling (sammenslått løsning) Forsikringspremien baserer seg på et gjennomsnitt av de to gruppene Begge gruppene kjøper den samme kontrakten Gjennomsnittspremie: _ r = θ r L + (1-θ) r H = θ p _ L L + (1-θ) p H L = p L θ = brøkdel av populasjonen som er i H-gruppen Kap 4, Barr 39 Kap 4, Barr 40 Pooling-løsning Ufullstendig info, pooling lavrisiko basert på gjennomsnittlig forsikringspremie høyrisiko B Skravert område y Kap 4, Barr 41 y Kap 4, Barr 4 7

8 Pooling L-gruppen kommer dårligere ut H-gruppen kommer bedre ut Ikke Pareto-forbedring Men summen av nytte blir større ift uten forsikring Pooling-løsningen er ikke stabil, dersom FT kan velge fritt Pooling Enhver kontrakt i det skraverte området ville vært foretrukket av L-gruppen (se figur i boken) ersom den nye kontrakten er på den prikkete linjen til høyre for punkt B er det rom for Pareto-forbedringer Kontrakten i B er ikke stabil. ndre FS kan tenkes å prøve å stjele L-kunder, som vil vekk fra punkt B, mens H-gruppen foretrekker B En kontrakt i det skraverte området vil tiltrekke seg de gode kundene, mens de dårlige kundene blir i B H-gruppen kommer bedre ut i pooling enn separasjon Observer at MRS H < MRS L i pooling løsning Markedsløsningen (FKM) er ikke Pareto-optimal Kap 4, Barr 43 Kap 4, Barr 44 Figur 4. i boka Pooling og fullforsikring lavrisiko lavrisiko høyrisiko høyrisiko B E y Kap 4, Barr 46 Pooling (gjennomsnittsløsning) Poolingløsningen er ikke Pareto-optimal i forhold til first-best (full informasjon) L-gruppen dårligere ut Poolingløsningen er bedre for begge parter i forhold til ingen forsikring Fungerer pooling-løsningen? Konkurranse om de beste kundene (L-gruppen) ersom p h er tilstrekkelig høy og H-gruppen er tilstrekkelig mange (θ) så vil L-gruppen droppe forsikring «0% av befolkningen står for 80% av langtidssykefraværet» Separasjon ed full informasjon vil begge velge fullforsikring i henholdsvis og. gir høyere inntekt i begge periodene enn ersom vi ikke har full informasjon vil H- gruppen prøve å utgi seg som L-gruppen for å komme bedre ut Kap 4, Barr 47 Kap 4, Barr 48 8

9 Separasjon Separasjon FS gir to kontrakter, full forsikring til H-gruppen og en forsikring til L-gruppen som ligger til høyre for punkt E (for da vil ikke H-gruppen utgi seg for å være i L-gruppen) (se figur neste side) FS tilbyr dyr fullforsikring ( ) og billig delforsikring (til høyre for E) => separasjon Men da kommer L-gruppen dårlig ut. L-gruppen vil da søke mot et annet FS som kan gi de bedre vilkår, men problemet da er at da vil H-gruppen utgi seg for å være L-gruppen hos det nye FS Kap 4, Barr 49 En kontrakt til L-gruppen mellom og E er separerende (men ikke stabil) E y Separasjon En kontrakt til L-gruppen mellom og E er separerende (men ikke stabil) E Ufullstendig informasjon (ugunstig utvalg) Enten bryter markedet sammen eller Pareto-ineffektivt (full-separasjon er Paretoeffektivt) et er først og fremt lavrisikogruppen som kommer dårligere ut MRS er ikke lik det relative prisforholdet i B y Kap 4, Barr 5 Sosialforsikring ed tvungen forsikring og pooling vil L- gruppen subsidiere H-gruppen Omfordeling og effektivitet? Forsikring Einav and Finkelstein (011) «Selection in Insurance Markets» Grafisk framstilling ved uendelig mange forsikringstakere FS kjenner p i og priser deretter (r i =p i L) Bestemmer prisen etter kostnader og ikke etter betalingsvillighet Gjennomsnittsprising (pooling) ved asymmetrisk informasjon Kap 4, Barr 53 Kap 4, Barr 54 9

10 Pris Pris Maksimal betalingsvillighet for forsikring (y -y * ) ved mange forskjellige typer (p er kontinuerlig). Betalingsvilligheten er høyere for p H enn p L fordi tapet er større for H. Etterspørselskurven (). I dette tilfellet er det kun en type kontrakt som blir tilbudt, som en kjøper eller ikke kjøper. Høy risiko personer Risikopremie = som er høyere jo større tap pga risikoaversjon MC Lav risiko personer MC MC=p il vtagende MC fordi lavrisikopersoner er mindre kostbare for FS Ingen kjøper forsikring fordi prisen er for høy lle kjøper forsikring fordi prisen er tilstrekkelig Kap 4, Barr lav 55 Ingen kjøper forsikring fordi prisen er for høy lle kjøper forsikring fordi prisen er tilstrekkelig Kap 4, Barr lav 56 Pris Pris symmetrisk informasjon ed full informasjon er det perfekt prisdiskriminering, dvs alle har forskjellig pris/premie fordi p i varierer fra person til person. FS kjenner ikke individuell p, men kjenner etterspørselskurven. Må operere med en pris (basert på gjennomsnittlig p). FS må dekke sine kostnader (C) pris=c Noen kjøper ikke forsikring (-Q eqm) Forskjell mellom betalingsvillighet og pris = konsumentoverskudd MC=p il pris = r MC C FB (effektiv) forsikring. Prisdiskriminerer, pris=mc. ødvekttap Ingen kjøper forsikring fordi prisen er for høy lle kjøper forsikring fordi prisen er tilstrekkelig Kap 4, Barr lav 57 Ingen kjøper forsikring Q eqm fordi prisen er for høy lle kjøper forsikring fordi prisen er tilstrekkelig Kap 4, Barr lav 58 Pris Maksimal betalingsvillighet for forsikring (y -y * ) ved mange forskjellige typer (p er kontinuerlig). Betalingsvilligheten er høyere for p H enn p L fordi tapet er større for H. Etterspørselskurven (). I dette tilfellet er det kun en type kontrakt som blir tilbudt, som en kjøper eller ikke kjøper. Politikk pris = r MC=p il C FS kjenner ikke p. Må operere med en pris (basert på gj.snittlig p). FS må dekke sine kostnader (C). pris=c Noen kjøper ikke forsikring (-Q eqm) Subsidiere forsikring slik at C < Loven tillater bare en type kontrakt a vil noen velge ikke å kjøpe forsikring Tvinge alle til å kjøpe forsikring til C Pooling pris ødvekttap Ingen kjøper forsikring Q eqm fordi prisen er for høy lle kjøper forsikring fordi prisen er tilstrekkelig lav Kap 4, Barr 59 Kap 4, Barr 60 10

11 Pris dministrative kostnader (loading factor) kan føre til at forsikring til alle ikke er optimalt selv ved full informasjon Pris Kan pooling-løsningen noen gang være FB? Ja, dersom MC kurven er flat (og dermed lik C-kurven), dvs folk kjenner ikke sin egen p. MC 1 MC 0 Kommer dårligere ut ved aktuarisk nøytral premie p MC Q eqm Kap 4, Barr 61 Kap 4, Barr 6 Kap 4, Barr 63 Kap 4, Barr 64 Moralsk hasard FT kan påvirke p i (sannsynligheten for skade) Ex ante moralsk hasard FT kan påvirke L (bryr deg ikke om hvor mye det koster å reparere skaden ved, feilrapportering) Ex post moralsk hasard Rapporteringsrisiko FT vil påvirke p i eller L bare dersom MR > MC av å endre adferd Kap 4, Barr 65 Kap 4, Barr 66 11

12 Eksempel Full informasjon a = privat kostnad ved å redusere sannsynligheten for skade, p`(a) < 0 Hva er fordelen og hva er ulempen ved å påføre seg selv kostnaden a Går fra å være H til L Lavere forventet inntekt uten forsikring Lavere premie I mange modeller blir a kalt effort (e), og nyttefunksjonen uttrykkes som U = y^0.5-a Kap 4, Barr 67 a uten a med a FF 0 Moralsk hasard FF Lik inntekt i god og Kap 4, Barr 68 a Moralsk hasard Moralsk hasard a uten a med a B C Lik inntekt i god og Punkt C gir høyere nytte enn B, og det lønner seg dermed å redusere sin skadesannsynlighet (har ikke tegnet inn indifferenskurvene) Hvordan blir det med asymmetrisk informasjon? (FS observer ikke a) a 69 Kap 4, Barr 70 Moralsk hasard FT vil velge kontrakt C uten å betale a FT vil da havne i elge kontrakt C uten å betale a er moralsk hasard Sosialforsikring Sosialforsikring som respons på problemet med ugunstig utvalg og andre problem Obligatorisk medlemskap (pooling er mulig) Kontraktene er uklare (kan endres) Forsikringspremie ikke beregnet ut fra den enkeltes risikoklasse, men finansieringen skjer via skattesystemet L-gruppen vil subsidiere H-gruppen ved pooling Ineffektivt i Pareto-forstand, men bedre enn ingenting Kap 4, Barr 71 Kap 4, Barr 7 1

13 Notasjon Typer sosialforsikring rbeidsledighetstrygd Sykepenger ttføringspenger Uførepensjon Baserer seg på innbetalinger til folketrygden ( forsikringspremie ) Kap 4, Barr 73 Kap 4, Barr 74 13