SØK400 våren 2002, oppgave 10 v/d. Lund

Transkript

1 SØK400 våren 2002, oppgave 0 v/d. Lund (a) En aktuarisk rettferdig kontrakt er en som ikke endrer forventet inntekt for konsumenten. Jeg antar at konsumentene i utgangspunktet, uten noen forsikringskontrakt, ar krav på 0,0, som begge er ikke-negative. (Dette er litt mer generelt enn i oppgaveteksten, der 0 = 0). Selv om det ikke står elt klart i oppgaveteksten, kan vi nok gå ut fra at disse konsumentene ar samme U-funksjoner. Uten forsikring er forventet inntekt i = 0 + π i 0 (for i =, l). Inntektene etter at kontrakten er inngått, er enoldsvis iperiodeog vis konsumenten lever i periode 2, der = 0 P og = 0 + q. En aktuarisk rettferdig kontrakt (for en av kundegruppene) må oppflle = + π i, som kan skrives som =. π i Dette er rette linjer i (, )-diagrammet, med stigningstall /π i. Linjene er illustrert i figur. Mer generelt kan vi finne formelen for kontrakter som gir forventet profitt av en viss størrelse, Z, for selskapene, gitt at den selges bare til kundegruppe i. Denmå oppflle P π i q = Z. Omviolderosstil0 =0og 0 = og setter inn P = og q =, finner vi π i = Z, som kan løses for =( Z)/π, altså rette linjer i diagrammet med elning /π. Av disse iso-forventet-profitt-linjene vil de som er nærmest origo, gi øest forventet profitt. For å studere indifferenskurvene er det nttig å a et uttrkk for marginal substitusjonsbrøk. Totaldifferensiering av uttrkket for forventet ntte gir (for i =, l): du = U ( )d + π i U ( )d =0, som gir marginal substitusjonsbrøk (MSB): d d = U ( ) U ( ). π i I etvert punkt (, )erbrøkenu ( )/U ( ) den samme for begge kundetper, så MSB er proporsjonal med /π i.tpe ar altså minst bratte indifferenskurver i etvert punkt, målt i absoluttverdi. Forklaringen er at tpe ar størst sjanse for å overleve, og derfor krever mindre i kompensasjon for å avgi en enet av. Vi legger merke til at denne tpen forsikring likner en del på den tpen skadeforsikring som er beskrevet i pensum, Gravelle og Rees kap. 20 (og 22, ikke pensum) og M-S og P-C avsn. 4B.. De poengene vi skal drøfte i punktene (b) (e) vil være de samme som i tilfellet med skadeforsikring. Men uttrkkene for forventet profitt og forventet ntte ar sannsnligeten bare i det ene leddet, og elningen på kurvene er derfor ikke et forold mellom to sannsnligeter, ( π)/π, men av formen /π. Dessuten er det ikke noe i veien for at det tilbs forsikring som gir > i dette tilfellet. I tilfellet med skadeforsikring omtales dette som overforsikring, og det blir som regel utelukket fra diskusjonen fordi det ville føre til alvorlige problemer med ugunstig utvalg og atferdsrisiko. Dette dreier seg for øvrig ikke bare om va slags kontrakter som er realistiske mellom en kunde og ett selskap. For

2 skadeforsikring kan vi se bort fra at kunder tegner kontrakt med mer enn ett selskap, fordi dette vil være utelukket av klausuler i kontraktene. Men for pensjonsforsikring (livrente) vil det trolig være fullt mulig å tegne forsikring os mer enn ett selskap. (b) Forventet fortjeneste er π i q P. Denne skal være null i frikonkurranse, siden et selskap som ar forventet profitt strengt positiv, vil bli underbudt av et annet selskap, som kan tiltrekke seg kundene ved å tilb noe annet som gir litt lavere, men fortsatt strengt positiv forventet profitt. Forventet profitt lik null impliserer q P =, π i som kan omskrives til (ved å sette inn q = 0,P= 0 ): = 0 + π i 0 =, π i π i m.a.o. at kontrakten til ver tpe er aktuarisk rettferdig for denne tpen. Skal nå vise: Blant alle aktuarisk rettferdige kontrakter for en tpe kunde, vil selskapene ende opp med å tilb =, som illustrert i Figur 2. Dette omtales som full forsikring. Figur 2 illustrerer at = gir øest forventet ntte til den aktuelle kundetpen blant de aktuarisk rettferdige kontraktene. Dette kan for eksempel vises slik: Hva er MSB når =? Den er lik /π i, men dette er også (absoluttverdien av) elningen på linjene for aktuarisk rettferdige kontrakter. Altså får vi tangeringer for ver kundegruppe som vist i figuren. Grunnen til at = er tilbudet, er at selskap som tilbr andre aktuarisk rettferdige kontrakter, ville miste kundene til dem som tilbr denne kontrakten. Hvis noe selskap tilbr en annen aktuarisk rettferdig forsikring (P 0,q 0 ), så kan et selskap komme inn og tilb en kontrakt som både gir øere forventet ntte for konsumenten og en såvidt positiv forventet profitt for selskapet. Dette kan vises i figuren ved åmerkeav(p 0,q 0 ) (vor som elst) på en av linjene for aktuarisk rettferdige kontrakter. Tegn inn denne kundegruppens indifferenskurve gjennom punktet. Den ligger under den kurven som går gjennom = - punktet. Dermed er det avgrenset et rom mellom den ne indifferenskurven og linja for aktuarisk rettferdige kontrakter. I dette rommet vil selskapet a øere forventet profitt og kunden øere forventet ntte enn i (P 0,q 0 )-punktet. Det betr at (P 0,q 0 )-kontrakten ikke kan bli tilbudt i likevekt. (c) Nå skal vi se på asmmetrisk informasjon, d.v.s. at selskapene ikke kan skille kundene fra verandre direkte (men eventuelt ved å tilb kontrakter som fører til at de sorterer seg selv). Vi kan først spørre vordan en ikke-separerende likevekt ville a sett ut, vis den adde eksistert. Sannsnligeten for utbetaling for en gjennomsnittskunde ville være ρ = π ( γ) +π l γ. (Betegnelsen ρ er entet fra M-S og P-C, side 46.) Samlet forventet fortjeneste, vis kontrakten etterspørres av alle kunder, skulle være null: P [π ( γ)+π l γ]q =0, som medfører q P = π ( γ)+π l γ. 2

3 Siden π l <π og γ (0, ), vil et veid snitt ligge mellom, altså π l <π ( γ)+π l γ<π. Derfor vil de aktuarisk rettferdige kontraktene for ele befolkningen under ett ligge langs en linje mellom de to vi ar i figur og 2. Dette er vist i figur 3. Men det er ikke en likevektssituasjon vis alle selskaper tilbr bare en kontrakt som ligger på denne linja. Dette er begrunnet i M-S og P-C på side 46 i forbindelse med deres figur 4.7. Riktignok tror jeg M-S og P-C gjør en liten feil når de sier Coose an particular contract C along te line defined b te price ρ. Te indifference curves of te two tpes of agent must cross, as is sown in Figure 4.7. Det er riktig at i et vilket som elst punkt i figuren vil indifferenskurvene for -kundene være mindre bratte enn indifferenskurvene for l-kundene, slik at kurvene krsser verandre. Det følger av MSButtrkket vi ar funnet i del (a): I et bestemt punkt er U ( )ogu ( ) de samme for begge tper kunder, og de ulike π-ene gjøre at MSB-ene er ulike. Men det er ikke nødvendig at ρ-linja (den som er stiplet i figur 3) ar en mellomliggende elning. Normalt vil både - ogl- kundene a tangeringspunkter langs ρ-linja. For - kundene ligger dette øere i diagrammet, altså >, mens for l-kundene ligger det lavere, for <. Mellom disse to tangeringspunktene er situasjonen som vist i figur 4.7 i boka. Argumentet likner litt på det vi adde i del (b) ovenfor. For en slik kontrakt C vil det eksistere et område i diagrammet som ligger nedenfor C, under den indifferenskurven for -kundene som går gjennom C, over den indifferenskurven for l-kundene som går gjennom C, og under null-forventet-profitt-linja for l-kundene. (Jeg vil altså begrense det skraverte området litt i forold til det som er skravert i figur 4.7, der den øverste linja svarer til vår øverste linje med stigning /π l. Vi bør olde oss under denne linja for at argumentet skal gjelde.) Det betr at l-kundene vil foretrekke en kontrakt i dette området framfor kontrakt C, mens -kundene ikke vil foretrekke kontrakter i dette området. Et selskap som tilbr en kontrakt i dette området i konkurranse med kontrakten C, vil altså bare tiltrekke seg l-kunder. Disse vil gi selskapet positiv profitt, siden området ligger nedenfor null-forventet-profitt-linja for disse kundene. Legg merke til at dette bare er et argument om at en viss likevekt ikke gjelder. Derfor er det ikke nødvendig å finne et annet likevektspunkt, men bare å vise at i forold til den foreslåtte likevekten, vil det lønne seg for (minst ett av) selskapene å avvike. Argumentet vil fortsatt olde vis vi går ovenfor det øverste tangeringspunktet som jeg nevnte ovenfor: Da vil området til øre for (den alternative) C, og mellom de to indifferenskurvene, ligge på undersiden av ρ-linja, men det gjør ingenting. Argumentet vil også gjelde vis vi går nedenfor det nederste tangeringspunktet: Da vil området til øre for (den alternative) C, og mellom de to indifferenskurvene, ligge på oversiden av ρ-linja, men det gjør eller ingenting, siden det fortsatt vil være noe område igjen på undersiden av null-forventet-profitt-linja for l-kundene. 3

4 Hva vil være en separerende likevekt i rene strategier? Poenget er er å tilb to kontrakter som er slik at kundene sorterer seg selv. l-kundene må gis et så me dårligere tilbud, sammenliknet med løsningen i del (a), at dette ikke tiltrekker seg -kundene. I motsetning til i en monopol-modell vil vi ikke nå få løsninger utenom de to null-forventetprofitt-linjene. Det følger av konkurransen. Et forslag til kontrakter utenfor disse linjene, vil åpne for avvik som er lønnsomme for et selskap, gitt at de andre older seg til forslaget. Vi kan starte resonnementet med -kundene. De vil få samme tilbud som i del (a), med =. Grunnen er at vis et selskap tilbød noe annet som ikke tiltrakk l-kunder, ville det enten tiltrekke seg -kunder, men være ulønnsomt, eller være lønnsomt, men (strengt) dårligere for -kundene enn løsningen fra del (a). Gitt denne løsningen for -kundene, va blir tilbudt til l-kundene? Kontrakten må ikke bli foretrukket av -kundene framfor den løsningen vi nettopp ar funnet (siden vi allerede ar utelukket at det kan eksistere en ikke-separerende likevekt). Derfor blir indifferenskurven for -kundene gjennom denne løsningen viktig. Den er stiplet i figur 4.8 i boka. Blant de kontraktene som ligger på eller under denne indifferenskurven, må tilbudet til l-kundene være det som gir øest forventet ntte til l-kundene (noe vi kan finne ut av ved å tegne inn indifferenskurver for dem, jfr. de to som er tegnet i figur 4.8 i boka), og samtidig ikke negativ forventet profitt for selskapene. Løsningen er altså i skjæringspunktet mellom -kundenes indifferenskurve (den som er vist i figur 2, jfr. den som er stiplet i figur 4.8 i boka) og null-forventet-profitt-linja for l-kundene. Hvis noe selskap tilbr en annen kontrakt som ikke tiltrekker seg -kunder, vil denne enten gi negativ forventet profitt eller dårligere ntte for l-kundene, noe som vil føre til at den ikke tiltrekker seg noen kunder i det ele tatt. Vi ar resonnert oss fram til dette paret av kontrakter ut fra noen betingelser som disse nødvendigvis må oppflle. Dette ga oss et entdig forslag til en separerende likevekt, men det er ikke tilstrekkelig til at vi kan være sikre på at dette faktisk er en likevekt. Dette blir temaet for del (d). (d) For noen parameterverdier vil det finnes kontrakter som kan tilbs lønnsomt av et selskap i konkurranse med det paret av kontrakter som vi fant i forrige punkt. I disse tilfellene vil løsningen i forrige punkt ikke være noen likevekt. Det fins ikke noe avvik som gir positiv forventet profitt gitt at det tiltrekker seg bare -kunder eller bare l-kunder. Dette følger av resonnementene som vi ar gjort i del (c). Men det kan tenkes avvik som gir positiv forventet profitt ved å tiltrekke seg begge kundegrupper. Vi skal lete etter et slikt avvik. Et tilbud som er bedre for begge kundetper enn løsningen i del (c), vil antakelig tiltrekke seg alle kunder vis det tilbs i konkurranse med løsningen fra del (c). For selskapene er det dermed null-forventet-profitt-linja for den samlede kundemassen som blir relevant. Vi vet at denne ligger mellom de to linjene for de to kundegruppene, og at plasseringen avenger av størrelsen på γ. Det vil vise seg at dette igjen avgjør om forslaget til likevekt fra del (c) overlever eller ikke. Det fins åpenbart kontrakter som gir positiv forventet profitt vis begge kundegrupper kjøper dem, og som blir foretrukket av -kundene sammenliknet med løsningen fra del (c). Men fins kontrakter som oppfller disse to kravene, og som også blir foretrukket av l-kundene? For å finne ut av dette, tegner vi indifferenskurven for l-kundene gjennom den kontrakten som de velger under den likevekten som er foreslått i del (c). Denne er tegnet 4

5 i figur 4. Det er ikke åpenbart om det vil finnes noe område som ligger over denne kurven og under ρ-linja. I figur 5 er det tegnet en situasjon med en foroldsvis ø γ (nær ), der dette området fins. I figur 6 er det tegnet en situasjon med en lav γ (nær 0), der dette området ikke fins. Konklusjonen er at vis γ er ø nok, vil den foreslåtte likevekten fra del (c) ikke være en likevekt, fordi det fins lønnsomme avvik fra den foreslåtte likevektsstrategien. Men vis γ er liten nok, fins det ikke noen slike lønnsomme avvik. Grensen går for en γ som er slik at ρ-linja tangerer den aktuelle indifferenskurven. Spørsmålet om va som skjer når forslaget fra del (c) brter sammen, er vanskelig. Det vil finnes en likevekt i blandede strategier, men vi skal ikke bruke tid/plass på å diskutere dette. (e) Hvis γ faller, kan vi gå fra en situasjon der det ikke er noen likevekt i markedet, til en situasjon der likevekten eksisterer. Men det skjer bare vis γ passerer den kritiske grensen. Hvis γ faller, men ele tida er for ø for likevekt i rene strategier, kan det skje noe med likevekten i blandede strategier, men det skal vi ikke si noe mer om er. Hvis γ faller, men ele tida er lav nok til at det er likevekt i rene strategier, vil fallet i γ ikke a noen betdning for likevekten, siden likevekten fra del (c) ikke avenger av den nøaktige verdien av γ, så lenge den er under den kritiske grensen. (f) Det offentlige tilbr en men (P,q ), (P l,q l ). For at det offentlige skal a null forventet profitt, må samlet innbetaling være lik forventet samlet utbetaling, Dette kan omskrives som ( γ)p + γp l =( γ)π q + γπ l q l. γ(p l π l q l )=( γ)(π q P ). () Parentesen på venstre side er forventet netto overskudd fra ver kunde av tpe l. Når dette er multiplisert med γ, får vi forventet overskudd per capita av at kontrakten blir kjøpt av disse kundene. Høre side er, på samme måte, forventet tap av å selge -kontrakten til -kundene. (Hvis vi adde multiplisert begge sider med samlet innbggertall, ville vi a fått ut samlede pengebeløp.) For -kundene ar vi: Samlingen av kontrakter som gir et forventet underskudd per kunde av en viss størrelse π q P, vil være en iso-forventet-profitt-kurve, som vi ar drøftet under del (a). Det er altså en rett linje parallelt med den null-forventet-profittlinja for -kunder som vi allerede kjenner, med elning /π. Med utgangspunkt i en viss verdi q kan vi se av figur 7 at den orisontale avstanden mellom de to linjene blir akkurat P ( π q )=π q P,altså det forventede underskuddet per kunde. For etvert mulig nivå på dette forventede underskuddet (altså, for enver av de mulige parallelle linjene) kan vi nå spørre: Hvor me dårligere kontrakt må vi tilb l-kundene for at disse skal gi tilstrekkelig overskudd til å subsidiere tapet på -kundene? Dette er vist i likning (), som kan omformuleres slik at vi finner den nødvendige orisontale avstanden for l-kundene: P l π l q l = γ γ (π q P ). 5

6 Vi ser at selv om vi tar utgangspunkt i en viss verdi for π q P,såvil denne ne orisontale avstanden avenge av γ i tillegg. For en liten γ, blir avstanden stor, og omvendt. Dette er jo rimelig, siden en liten γ betr at det er få l-kunder, og derved få kunder til å subsidiere de (desto flere) -kundene. Figur 8 illustrerer situasjonen med en gitt π q P og tre alternative linjer (basert på tre alternative γ-verdier) for de kontraktene for l-kundene som skal brukes til å subsidiere -kundene. Nå ar vi funnet ut vor i diagrammet kontraktene må befinne seg for å oppnå en krsssubsidiering som gir akkurat null samlet, forventet profitt. For etvert nivå for π q P vil det være en rett linje, og til denne ører en rett linje for l-kontraktene, men vor denne befinner seg, avenger av γ. Men vorfor skal det offentlige gjøre en slik krss-subsidiering vis den går ut over l-kundene? Om vi tar utgangspunkt i den tpen likevekt vi fant i del (c) (d) (og antar at γ er liten nok til at likevekten fins), kan vi spørre om det offentlige er i stand til å Pareto-forbedre denne likevekten. I så fall går dette ikke ut over noen. Det offentlige kan, ved å forb private ordninger, indre den tpen avvik som ødela likevekten, jfr. del (d). Men det offentlige er også emmet av at kontraktene må føretilselv-sortering.detvilsiatvikan starte med likevekten fra del (c), og ta ensn til at vis det offentlige skal endre denne ved å foreslå et annet kontraktpar, så vil samme tpe begrensning gjelde. Løsningen vil se ut omtrent som i del (c), men med parallellforskvning av iso-forventet-profitt-linjene. Dette er illustrert i figur 9. Figuren viser bl.a. løsningen fra del (c), med de to aktuelle indifferenskurvene derfra. I tillegg er det tegnet en n indifferenskurve for -kundene. Denne er basert på at vi prøver med en tilfeldig valgt størrelse på π q P, som gir den stiplede iso-forventet-profitt-linja, og en indifferenskurve som tangerer denne. Så skalvi finne vilket tilbud til l-kundene som vil svare til dette tilbudet til -kundene. Igjen skal det ligge på eller under -kundenes (ne) indifferenskurve, men nåmådet gi riktig forventet profitt, som er vist med den bratteste stiplede linja. Spørsmålet er om skjæringspunktet mellom disse gir en kontrakt som er foretrukket av l-kundene, slik at vi får en Paretoforbedring. I figuren er svaret ja, men det er basert på atγ er stor nok. Med en svært liten γ ville det ikke være noen forbedring for l-kundene, for da ville den bratteste isoforventet-profitt-linja bli forskjøvet langt mot venstre. Det er nok en sammeneng mellom de kritiske verdiene for γ er og i punkt (d), men dette skal jeg la ligge. Det ene er en parallellforskving, det andre en vridning rundt et punkt på orisontal akse, så det er ikke noen enkel sammeneng. 6

7 Figur : Aktuarisk rettferdige kontrakter for de to kundegruppene = 2 7

8 Figur 2: De aktuarisk rettferdige kontraktene som gir øest forventet ntte = 2 8

9 Figur 3: Aktuarisk rettferdig forsikring for alle kunder under ett = 2 π ( γ) + π γ 9

10 Figur 4: Indifferenskurve for insentivforenligetsbetingelsen = 2 0

11 Figur 5: Muliget for lønnsomt avvik fra forslaget til separerende likevekt = 2

12 Figur 6: Ikke muliget for lønnsomt avvik fra forslaget til separerende likevekt = 2 2

13 Figur 7: Kontrakter som gir et visst forventet underskudd per -kunde, π q P = 2 q π q P 3

14 Figur 8: Ulike γ -verdier gir ulike linjer for subsidierende kontrakter for l-kundene = 2 4

15 Figur 9: Vil et krss-subsidierende kontraktpar vil være en Pareto-forbedring? = 2 5