SØK400 våren 2002, oppgave 9 v/d. Lund

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "SØK400 våren 2002, oppgave 9 v/d. Lund"

Transkript

1 SØK400 våren 2002, oppgave 9 v/d. Lund Igjen har vi en eksamensoppgave som ligger veldig nær noe som står under Applications i boka, nemlig 4.B4 og oppgave 13 til kapittel 4. Boka bruker toppskrift G der vi bruker H, og B der vi bruker L. Jeg reproduserer ikke figurene 4.22 og 4.23 fra boka, men skal prøve å forklare hva de dreier seg om. Som forrige gang skal vi prøve å illustrere deltakerbetingelsen og insentivbetingelsen grafisk. I figurene er kvaliteten q avmerket langs horisontal akse, mens prisen p er avmerket langs vertikal akse. Av en eller annen grunn peker denne nedover, selv om p-ene er positive. For en bestemt konsument med en bestemt verdi av k, entenk H eller k L, vil nytten av å kjøpe en viss vare avhenge av (bare) de to variablene som inngår i diagrammet, q og p. Nyttefunksjonen er kq p. (I boka ser det litt mer komplisert ut i teksten, men det hele koker ned til at dette er bidraget (til nytten) av å kjøpe kvalitet q til pris p.) Forhverav de to k-verdiene kan vi dermed tegne inn indifferenskurver i diagrammet. Indifferenskurver for H-kundene er gitt ved at disse er indifferente mellom to tilbud hvis k H q 1 p 1 = k H q 2 p 2 som medfører k H (q 1 q 2 )=p 1 p 2. Dette vil si linjer i diagrammet med stigningstall k H. (Jeg kaller dette stigningstall k H,selv om det strengt tatt bare er riktig hvis vi speilvender figuren i boka rundt den horisontale aksen, slik at p-aksen peker oppover i stedet for nedover.) Spesielt finner vi indifferenskurven for nyttenivå nullvedå sette f.eks. p 2 = q 2 = 0 (som gir null nytte), og da finner vi p 1 = k H q 1. Dette er altså reservasjons-indifferenskurven, som går gjennom origo og punktet E i figur Alle punkter mellom denne og q-aksen vil være attraktive kontrakter for H-kundene. I den neste figuren, figur 4.23, er det også tegnet inn en annen indifferenskurve for H-kundene, gjennom punktene H og G. Tilsvarende vil L-kundene ha indifferenskurver som er rette linjer med stigningstall k L. Reservasjons-indifferenskurven for disse kundene går gjennom origo og punktet F, og alle punkter mellom denne linja og q-aksen er attraktive for L-kundene. (a) Bedriften skal maksimere p c(q) når den greier å diskriminere perfekt mellom kundetypene, og disse ikke har mulighet for videresalg seg imellom. Det siste er realistisk for tjenester, men ikke så realistisk for varer. Siden bedriften ikke trenger å la kundene sitte igjen med noen netto nytte her, kan den for hver kunde velge en pris på reservasjons-indifferenskurven for vedkommende kunde. Uansett hvilken kvalitet bedriften tilbyr kunden, vil dette være den høyeste prisen den kan få kunden til å betale, men det er under disse forutsetningene ingen grunn til å gi kunden noe bedre tilbud. Det betyr at bedriften velger mellom kombinasjoner (q, p) langs de to rette linjene k H q og k L q i diagrammet i figur 4.22, den ene for H-kunder og den andre for L-kunder. For hver av disse blir valget gjort for å maksimere p c(q), og dette oppnås for en q som gjør den vertikale avstanden mellom kq og c(q) så stor som mulig. Det oppnås m.a.o. for H-kundene der k H = c (q), og for L-kundene der k L = c (q). Disse tangeringsbetingelsene er vist i figur

2 Selv om c-funksjonen er positiv, voksende og konveks, er det slett ikke sikkert at det fins q-verdier der disse betingelsene blir oppfylt. Siden c eksisterer og er strengt positiv (ifølge oppgaveteksten), er c kontinuerlig og strengt voksende. Figur 4.22 viser det mest nærliggende tilfellet der c <k L for små q og c >k H for store q. Vi skal forutsette at dette gjelder. Det neste spørsmålet dreier seg om hva kundene vil gjøre hvis disse to (q, p)-parene blir tilbudt, og kundene blir i stand til å lure bedriften, d.v.s. kjøpe varer som er beregnet på den andre kundegruppen. Dette må betraktes som et rent hypotetisk spørsmål, eller spørsmål om atferd utenfor likevekt, siden vi i denne omgangen forutsetter at bedriftens tilbud er upåvirket av at den ikke greier å sortere kundene. Det er klart fra figuren at H-kundene vil ha noe å vinne påå velge kontrakten beregnet på L-kundene, siden denne ligger et stykke ovenfor reservasjons-indifferenskurven for H- kundene. H-kundene oppnår derved et strengt positivt nyttenivå. Motsatt vei er det ikke noeå vinne påå lure bedriften, siden kontrakten beregnet påh-kundene ikke gir L-kundene noen nytteforbedring; tvert imot. Begge kundegrupper vil altså foretrekke kontrakten beregnet på L-kundene. (b) Nå er vi over i den situasjonen som kalles ugunstig utvalg ( adverse selection ). Vi leter etter en separerende likevekt, d.v.s. en likevekt der hver kundegruppe velger en kontrakt beregnet på den gruppen, og disse kontraktene er forskjellige. Vi blir bedt om å skrive opp deltaker- og insentivforenlighetsbetingelsene, d.v.s. med formler. Jeg skal også forklare hvordan disse ser ut i figurene. Deltakerbetingelsene har vi allerede sett på, nemlig de to rette linjene i figur For H-kundene er betingelsen mens L-kundene har betingelsen k H q H p H 0, (1) k L q L p L 0, (2) der toppskriftene på q og p markerer hvilken kundegruppe kontrakten gjelder for. Insentivforenlighetsbetingelsene skal sikre at kundegruppene foretrekker egen kontrakt framfor den andre. Disse blir og Jeg skal komme tilbake til hvordan (3) ser ut i figuren. Maksimeringsproblemet blir k H q H p H k H q L p L, (3) k L q L p L k L q H p H. (4) max γ(ph c(q H )) + (1 γ)(p L c(q L )), q L,q H,p L,p H gitt (1), (2), (3) og (4). Lagrangefunksjonen blir L = γ(p H c(q H )) + (1 γ)(p L c(q L )) + λ 1 (k H q H p H )+λ 2 (k L q L p L ) +µ 1 (k H q H p H k H q L + p L )+µ 2 (k L q L p L k L q H + p H ). 2

3 Dette er et ikke-lineært programmeringsproblem, jfr. Sydsæter, Strøm og Berck, 3. utg. 1998, formel og (Hvis vi skal sikre oss at λ-ene og µ-ene ikke blir negative, må vi passe på fortegnene i Lagrange-funksjonen. I formel står det minus foran λ-ene, men de uttrykkene som kommer i parentes etterpå, er skrevet opp slik at de skal være mindre enn eller lik null. I min formulering ovenfor er uttrykkene som kommer i parentes, skrevet slik at de skal være større enn eller lik null, og da må det stå pluss foran multiplikatorene.) Førsteordensbetingelsene er formulert i formel (evt. også 15.16), bortsett fra punkt (c), som er en andreordensbetingelse. Vi nøyer oss med åsepå førsteordensbetingelsene. Blant annet har vi de vanlige betingelsene for de partielt deriverte av Lagrangefunksjonen: p = γ λ H 1 µ 1 + µ 2 =0, p =1 γ λ L 2 + µ 1 µ 2 =0, q = H γc H + λ 1 k H + µ 1 k H µ 2 k L =0, og q = (1 L γ)c L + λ 2 k L µ 1 k H + µ 2 k L =0. Her er c H en forkortet skrivemåte for c (q H ), og tilsvarende for c L. Men det som skiller et Kuhn-Tucker-problem fra et vanlig Lagrange-problem, er at vi også tillater at bibetingelsene er oppfylt med (streng) ulikhet, ikke bare med likhet. Nåvet vi ikke på forhånd hvilke av bibetingelsene som er oppfylt med likhet i maksimumspunktet. En bibetingelse som ikke er oppfylt med likhet i maksimumspunktet, vil ikke ha noen effekt på løsningen, i den forstand at en liten endring i bibetingelsen ikke vil påvirke løsningen. Derfor er Lagrange-multiplikatoren for en slik bibetingelse lik null. Dette er uttrykt i (b) eller i (b ), som for øvrig også uttrykker at fortegnene i Lagrange-funksjonen er definert slik at alle multiplikatorene blir større enn eller lik null. For å lete etter en løsning, må en generelt ta høyde for at en hvilken som helst kombinasjon av de fire bibetingelsen kan være bindende, d.v.s. oppfylt med likhet, i maksimumspunktet. Hvis vi ikke hadde hatt noen peiling på hva løsningen kunne være, måtte vi altså prøve ut alle seksten muligheter. For hvert utvalg av ikke-bindende bibetingelser får vi at de tilsvarende Lagrange-multiplikatorene blir null. Dette hjelper oss til å løse likningssystemet, som består av de fire førsteordensbetingelsene ovenfor pluss de bibetingelsene som er bindende. Hvis for eksempel bare den første bibetingelsen er bindende i maksimumspunktet, får vi fem likninger i de fem ukjente p H,p L,q H,q L,λ 1, mens de tre øvrige multiplikatorene er null. Siden vi kjenner strukturen i problemet og har en figur til å hjelpe oss, kan vi raskt finne ut hvilke bibetingelser som er bindende i maksimumspunktet. Figur 4.23 illustrerer en løsning, der punktet G er den optimale (q H,p H ), mens punktet H er den optimale (q L,p L ). Vi kjenner igjen følgende egenskap fra oppgave 8: For at H-kundene ikke skal velge den kontrakten som er beregnet på L-kundene, må kontrakten for H-kundene gjøres så mye 3

4 gunstigere for dem at den, for H-kundene, er minst like gunstig som kontrakten beregnet på L-kundene. Nå kunne en først ha tenkt seg å gjøre dette ved å holde kontrakten for L-kundene fast i punktet F i figuren, som i del (a) av oppgaven. Vi kunne ha trukket en indifferenskurve for H-kundene gjennom dette punktet, altså en linje parallell med linja fra origo gjennom E. Så kunne bedriften ha valgt det punktet på denne linja som gir maksimal profitt. Men i stedet ser vi i figur 4.23 at det tilbys en endret kontrakt til L-kundene, nemlig punktet H i stedet for F. Dette gjøres fordi en da ikke trenger gi en så gunstig kontrakt til H-kundene, men isolert sett må bedriften gi opp noe profitt på L-kontrakten for å oppnå dette. Dette tas imidlertid igjen i bedre profitt på H-kontrakten. For å karakterisere de optimale (profitt-maksimerende) kontraktene i punkt (b), må vi først finne ut hvilke bibetingelser som vil være bindende i løsningspunktet. Betingelsen (1) er ikke bindende, siden H-kundene får et tilbud som er (strengt) bedre for dem enn reservasjonsnytten deres. Dette må nødvendigvis skje hvis bedriften skal selge til begge kundegrupper: Hvis H-kundene fikk et tilbud på linja gjennom origo og punktet E, ville den indifferenskurven som illustrerer betingelsen (3), være den samme linja gjennom origo og E, og det betyr at L-kundene måtte ha fått et tilbud på denne linja (eller til venstre for den) for at ikke H-kundene skulle velge dette tilbudet. Men for at L-kundene skulle akseptere dette tilbudet, måtte tilbudet til dem i så fall være i origo (jfr. L-kundenes reservasjons-linje). Dette kunne være en mulig løsning, med de tre første bibetingelsene oppfylt med likhet. Vi skal se nærmere på dette helt til slutt i dette løsningsforslaget. Men la oss i stedet lete etter en løsning der bedriften selger til begge typer kunder. Da er altså bibetingelsen (1) ikke bindende, slik at λ 1 =0. Derimot kan vi trygt anta at bibetingelsen (2) binder, slik at λ 2 > 0, for det er ikke noe å vinne for bedriften ved ågilkundene noen høyere nytte enn reservasjonsnytten. Insentivbetingelsen (3) for H-kundene vil binde, mens den for L-kundene, (4), er helt uaktuell så lenge (2) binder ( ellers måtte H-kundene ha fått et tilbud som også låpå linja gjennom origo og punktet F). Vi antar derfor at µ 1 > 0, µ 2 =0. Fra de to bindende bibetingelsene (2) og (3) finner vi direkte at p H = k H q H (k H k L )q L, som det er spurt etter i oppgaveteksten. Siden p L = k L q L, kan dette for øvrig formuleres som en betingelse på stigningstallet på den linja som går gjennom de to kontraktene, k H = ph p L q H q L, jfr. det som er sagt ovenfor om H-kundenes indifferenskurver. Om vi setter λ 1 = µ 2 = 0 inn i førsteordensbetingelsene, får vi γ = µ 1, λ 2 =1,k H = c H, og q L bestemmes av c L = 1 1 γ (kl γk H )=k L γ 1 γ (kh k L ). (5) Dette er det spurt etter i oppgaveteksten. Den siste omformuleringen får fram avviket mellom løsningen i del (a) og denne løsningen. Vi ser at avviket er større (i absoluttverdi) 4

5 når γ er stor, og når det er stor forskjell på verdsettingen av kvalitet. Altså: Tilbudet til L-kundene blir påvirket mer jo større og jo mer forskjellig den andre kundegruppen er. Det virker rimelig. Det er fornuftig å tenke gjennom, for hver ny likning vi kommer fram til, om denne virkelig kan gjelde for alle de parameterverdiene som hittil har vært gyldige i diskusjonen vår. (Vi har hittil k H >k L > 0, γ (0, 1), og alle p, q ikke-negative. c-funksjonen er positiv, voksende og konveks.) Likning (5), som også står i oppgaveteksten, gjelder imidlertid ikke for alle parameterverdier og funksjonsformer. Vi ser at høyre side kan bli negativ, og da fins det ikke noen q L som oppfyller betingelsen. Faktisk må vi sette en litt strengere begrensning enn at høyresiden i (5) er positiv, for det fins en laveste verdi av grensekostnaden c, nemlig c (0) (siden c-funksjonen er konveks). Vi ser at for åfåbestemt q L fra likning (5), må viha 1 1 γ (kl γk H ) c (0) γ kl c (0) k H c (0). Dette er ulikheter i eksogent gitte størrelser, så hvis de ikke er oppfylt, kan vi ikke lete etter noen løsning basert på den oppgitte førsteordensbetingelsen. I slutten av dette løsningsforslaget kommer jeg tilbake til hva som skjer hvis disse ulikhetene ikke er oppfylt. Men som nevnt foran, skal jeg i hele dette løsningsforslaget anta at 0 c (0) <k L, slik det også er vist i figur I del (c) av oppgaven er c (0) = 0, men generelt kan vi gjerne ha c (0) > 0. Siden k H = c H, vil tilbudet til H-kundene ha samme kvalitet som før. Når L-kundene får lavere kvalitet, betyr det altså at kvalitetsspredningen er større. Forklaringen er at det er dette som skal føre til at H-kundene velger den kontrakten som er tiltenkt dem. De kan riktignok spare penger pååvelgedendårligere kvaliteten, men nå erp H såpass mye lavere enn før at det ikke er nok å spare. Vi har funnet en separerende likevekt. (c) Vi skal regne ut løsningene for gitte parameterverdier og gitt c-funksjon. Grensekostnadsfunksjonen blir c (q) =q. Løsningen fra del (a), der bedriften kan sortere kundene, blir bestemt av c (q L )=k L, som nå kan skrives q L = k L =2,ogp L = q L k L =4,ogc (q H )=k H,somnå kan skrives q H = k H =3,ogp H = q H k H = 9. Bedriftens profitt blir γ(p H c(q H )) + (1 γ)(p L c(q L )) = 1 2 ( )= Løsningen fra del (b), der bedriften ikke kan sortere kundene, blir bestemt av c (q L )= k L γ 1 γ (kh k L ), som nå kan skrives q L = k L (k H k L ) = 1, og p L = q L k L =2, og c (q H )=k H, som igjen kan skrives q H = k H =3,ogp H = q H k H (k H k L )q L =8. Bedriftens profitt blir γ(p H c(q H )) + (1 γ)(p L c(q L )) = 1 2 ( )= Tilbud bare til H-kundene. Jeg skal nå se på hva som skjer hvis 1 1 γ (kl γk H ) <c (0) γ> kl c (0) k H c (0). 5

6 Jeg skal vise at i denne situasjonen, og bare i denne situasjonen, vil det være optimalt for bedriften å tilby bare en kontrakt, som vil være beregnet på H-kundene. Jeg går tilbake til maksimeringsproblemet vi har sett på, men antar nå at alle bibetingelsene utenom den siste skal holde med likhet. Vi får µ 2 = 0, og den første og den tredje førsteordensbetingelsen tilsammen medfører at c H = k H, med andre ord som i del (a) av oppgaven, så lenge vi forutsetter γ>0. Vi finner µ 1 = (1 γ)(kl c L) k H K L, og λ 2 = (1 γ)(kh c L) k H K L, λ 1 = c L k L + γ(k H c L) k H K L. Hvis γ er liten, er ikke dette noen løsning, for når γ nærmer seg null, vil ikke både µ 1 og λ 1 være positive. Men hvis γ er stor nok, kan dette være en løsning. I den løsningen vi ser på nå, er tilbudet til L-kundene (q L,p L )=(0, 0), slik at c L =0. Grensen for hvilke γ-verdier denne løsningen gjelder for, er gitt ved λ 1 > 0. Grensen er altså gittved: λ 1 = c (0) k L + γ(k H c (0)) k H K L > 0 γ> kl c (0) k H c (0) Men dette er akkurat de tilfellene der løsningen i oppgaveteksten ikke gjelder, q.e.d. Det er rimelig nok at en stor γ, d.v.s. en stor andel H-kunder, kan gjøre det attraktivt å bare selge til H-kundene. 6

201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave

201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave 201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave Oppgave 1 Vi deriverer i denne oppgaven de gitte funksjonene med hensyn på alle argumenter. a) b) c),, der d) deriveres med hensyn på både og. Vi kan benytte dee generelle

Detaljer

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 3

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 3 ECON360 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 3 Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 9. september 20 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON360 Forelesning

Detaljer

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 2

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 2 ECON360 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 30. august 0 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON360 Forelesning 30. august

Detaljer

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 5

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 5 ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 5 Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 23. september 2011 Vil først se nærmere på de siste sidene fra forelesning

Detaljer

Teori om preferanser (en person), samfunnsmessig velferd (flere personer) og frikonkurranse

Teori om preferanser (en person), samfunnsmessig velferd (flere personer) og frikonkurranse Teori om preferanser (en person), samfunnsmessig velferd (flere personer) og frikonkurranse Flere grunner til å se på denne teorien tidlig i kurset De neste gangene skal vi bl.a. se på hva slags kontrakter

Detaljer

Oppgave 12.1 (a) Monopol betyr en tilbyder. I varemarkedet betraktes produsentene som tilbydere. Ved monopol er det derfor kun en produsent.

Oppgave 12.1 (a) Monopol betyr en tilbyder. I varemarkedet betraktes produsentene som tilbydere. Ved monopol er det derfor kun en produsent. Kapittel 12 Monopol Løsninger Oppgave 12.1 (a) Monopol betyr en tilbyder. I varemarkedet betraktes produsentene som tilbydere. Ved monopol er det derfor kun en produsent. (b) Dette er hindringer som gjør

Detaljer

Modeller med skjult atferd

Modeller med skjult atferd Modeller med skjult atferd I dag og neste gang: Kap. 6 i GH, skjult atferd Ser først på en situasjon med fullstendig informasjon, ikke skjult atferd, for å vise kontrasten i resultatene En prinsipal, en

Detaljer

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 6

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 6 ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 6 Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 30. september 2011 Vil først gå gjennom de fire siste sidene fra forelesning

Detaljer

SØK400 våren 2002, oppgave 7 v/d. Lund

SØK400 våren 2002, oppgave 7 v/d. Lund SØK400 våren 2002, oppgave 7 v/d. Lund (a) Spillet er vist i figur 1 på siste side. Legg merke til at når det ikke er et endelig antall handlingsalternativ, men valget gjøres innenfor en kontinuerlig mengde,

Detaljer

Forelesning i konsumentteori

Forelesning i konsumentteori Forelesning i konsumentteori Drago Bergholt (Drago.Bergholt@bi.no) 1. Konsumentens problem 1.1 Nyttemaksimeringsproblemet Vi starter med en liten repetisjon. Betrakt to goder 1 og 2. Mer av et av godene

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave - Veiledning Econ 3610, Høst 2013

Obligatorisk innleveringsoppgave - Veiledning Econ 3610, Høst 2013 Obligatorisk innleveringsoppgave - Veiledning Econ 3610, Høst 2013 Oppgave 1 Vi ser på en økonomi der det kun produseres ett gode, ved hjelp av arbeidskraft, av mange, like bedrifter. Disse kan representeres

Detaljer

Fasit ekstraoppgaver (sett 13); 10.mai ax x K. a a

Fasit ekstraoppgaver (sett 13); 10.mai ax x K. a a Eric Nævdal og Jon Vislie Økonomisk institutt Universitetet i OSLO Fasit ekstraoppgaver (sett ); 0.mai 007 Oppgave a) Løs likningen mht. a + + 4 = K Først skriver man likningen slik: a + + 4 = K K a K

Detaljer

= 5, forventet inntekt er 26

= 5, forventet inntekt er 26 Eksempel på optimal risikodeling Hevdet forrige gang at i en kontrakt mellom en risikonøytral og en risikoavers person burde den risikonøytrale bære all risiko Kan illustrere dette i en enkel situasjon,

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad 9. mars 2011 ECON2200: Oppgaver til for plenumsregninger Revisjoner 9. mars 2011: Nye oppgavesett til 15. og 22. mars. Har benyttet sjansen

Detaljer

ECON2200 Matematikk 1/Mikroøkonomi 1 Diderik Lund, 22. februar Monopol

ECON2200 Matematikk 1/Mikroøkonomi 1 Diderik Lund, 22. februar Monopol Monopol Forskjellige typer atferd i produktmarkedet Forrige gang: Prisfast kvantumstipasser I dag motsatt ytterlighet: Monopol, ØABL avsn. 6.1 Fortsatt prisfast kvantumstilpasser i faktormarkedene Monopol

Detaljer

Oversikt over kap. 20 i Gravelle og Rees

Oversikt over kap. 20 i Gravelle og Rees Oversikt over kap. 20 i Gravelle og Rees Tar opp forskjellige egenskaper ved markeder under usikkerhet. I virkeligheten usikkerhet i mange markeder, bl.a. usikkerhet om kvalitet på varen i et spotmarked,

Detaljer

Produsentens tilpasning II og produsentens tilbud

Produsentens tilpasning II og produsentens tilbud Kapittel 10 Produsentens tilpasning II og produsentens tilbud Løsninger Oppgave 10.1 (a) X = F (L, K). (b) Dette er en type utledningsoppgave, som innebærer at du skal presentere en modell. I denne oppgaven

Detaljer

OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002

OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002 Økonomisk institutt Universitetet i Oslo OPPGAVER TIL SEMINARET I SØK400 MIKROØKONOMISK TEORI, TREDJE AVDELING, VÅREN 2002 Oppgave (Eksamen V-98, oppg. ) Betrakt et individ som maksimerer forventet nytte.

Detaljer

Kostnadsminimering; to variable innsatsfaktorer

Kostnadsminimering; to variable innsatsfaktorer Kostnadsminimering; to variable innsatsfaktorer Avsnitt 3.2 i ØABL drøfter kostnadsminimering Som om produktmengden var en gitt størrelse Avsnitt 3.3 3.8: Velger produktmengde for maks overskudd Men uansett

Detaljer

Effektivitetsvurdering av fullkommen konkurranse og monopol

Effektivitetsvurdering av fullkommen konkurranse og monopol Kapittel 14 Effektivitetsvurdering av fullkommen konkurranse og monopol Løsninger Oppgave 14.1 Konsumentoverskudd defineres som det beløpet en konsument vil betale for et gode, minus det beløpet konsumenten

Detaljer

Obligatorisk innleveringsoppgave Econ 3610/4610, Høst 2014

Obligatorisk innleveringsoppgave Econ 3610/4610, Høst 2014 Obligatorisk innleveringsoppgave Econ 3610/4610, Høst 2014 Oppgave 1 Vi skal i denne oppgaven se nærmere på en konsuments arbeidstilbud. Konsumentens nyttefunksjon er gitt ved: U(c, f) = c + ln f, (1)

Detaljer

Oppgave 6.1 Konsumentens optimale tilpasning er kjennetegnet ved at marginal substitusjonsrate er lik prisforholdet: U x 1 U x 2

Oppgave 6.1 Konsumentens optimale tilpasning er kjennetegnet ved at marginal substitusjonsrate er lik prisforholdet: U x 1 U x 2 Kapittel 6 Konsumentens etterspørsel Løsninger Oppgave 6. Konsumentens optimale tilpasning er kjennetegnet ved at marginal substitusjonsrate er lik prisforholdet: U U x = p Dette kalles også tangeringsbetingelsen,

Detaljer

Derivér følgende funksjoner med hensyn på alle argumenter:

Derivér følgende funksjoner med hensyn på alle argumenter: Obligatorisk innleveringsogave ECON våren LØSNINGSFORSLAG med vekter for delsørsmålene Ogave (vekt %) Derivér følgende funksjoner med hensyn å alle argumenter: % (a) f( x) 7x x x Her finner vi f '( x)

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i ECON 2200 vår løsningen på problemet må oppfylle:

Løsningsforslag til eksamen i ECON 2200 vår løsningen på problemet må oppfylle: Oppgave 3 Løsningsforslag til eksamen i ECON vår 5 = + +, og i) Lagrangefunksjonen er L(, y, λ) y A λ[ p y m] løsningen på problemet må oppfylle: L y = λ = λ = = λ = p + y = m L A p Bruker vi at Lagrangemultiplikatoren

Detaljer

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 12. mars 2002

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 12. mars 2002 Usikkerhet, disposisjon Denne og neste forelesning: o Et individs beslutninger under usikkerhet o Varian kapittel 11 De to forelesningene deretter: o Markeder under usikkerhet, finansmarkeder o Frikonkurranse;

Detaljer

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46

Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering

Detaljer

Veiledning oppgave 3 kap. 2 i Strøm & Vislie (2007) ECON 3610/4610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk

Veiledning oppgave 3 kap. 2 i Strøm & Vislie (2007) ECON 3610/4610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk 1 Jon Vislie; august 27 Veiledning oppgave 3 kap. 2 i Strøm & Vislie (27) ECON 361/461 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Vi betrakter en lukket økonomi der vi ser utelukkende på bruk av

Detaljer

Faktor. Eksamen høst 2004 SØK 1002: Innføring i mikroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen høst 2004 SØK 1002: Innføring i mikroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen høst 2004 SØK 1002: Innføring i mikroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

Konsumentteori. Kjell Arne Brekke. Mars 2017

Konsumentteori. Kjell Arne Brekke. Mars 2017 Konsumentteori Kjell Arne Brekke Mars 2017 1 Budsjettbetingelser Vi skal betrakter en konsument som kan bruke inntekten m på to varer. Konsumenten kjøper et kvantum x 1 av vare 1 til en pris p 1 per enhet,

Detaljer

Seminaruke 4, løsningsforslag.

Seminaruke 4, løsningsforslag. Seminaruke 4, løsningsforslag. Jon Vislie Nina Skrove Falch a) Gjennomsnittsproduktiviteten er produsert mengde per arbeidstime; Grenseproduktiviteten er n = An n = An dn = An = n Dermed har vi at om er

Detaljer

Eksamen ECON mai 2010, Økonomisk institutt, Universitetet i Oslo Sensorveilednig, inkludert fordeling av prosentandeler på delspørsmål.

Eksamen ECON mai 2010, Økonomisk institutt, Universitetet i Oslo Sensorveilednig, inkludert fordeling av prosentandeler på delspørsmål. Eksamen ECON00 1. mai 010, Økonomisk institutt, Universitetet i Oslo Sensorveilednig, inkludert fordeling av prosentandeler på delspørsmål. Vi gir poeng for hvert svar. Maksimalt poengtall på hver oppgave

Detaljer

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z.

+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z. Vi husker fra sist Gradientvektoren F ( a) peker i den retningen u der den retningsderiverte D u F ( a) er størst, og der er D u F ( a) = u F ( a) = F ( a). Gradientvektoren er normalvektoren til (hyper)flata

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i 2200, mai 06

Løsningsforslag til eksamen i 2200, mai 06 Løsningsforslag til eksamen i 00, mai 06 1. (a) f (K) = (1 K )( K) = 4K(1 K ), ved kjerneregelen. (llers kan en multilisere ut og så derivere.) (b) dy/dt = F 1(K, t)(dk/dt) +F (K, t) = F 1(K, t)( rk 0

Detaljer

Hva er samfunnsøkonomisk effektivitet?

Hva er samfunnsøkonomisk effektivitet? ECON3610 Forelesning 6 Generelle effektivitetskriterier Velferdsteoriens to hovedteoremer Hva er samfunnsøkonomisk effektivitet? En samfunnsøkonomisk effektiv allokering (S&V s. 90): en allokering som

Detaljer

, alternativt kan vi skrive det uten å innføre q0

, alternativt kan vi skrive det uten å innføre q0 Semesteroppgave i econ00 V09 Oppgave (vekt % Deriver følgende funksjoner mhp alle argumenter: 4 a f ( + + b g ( + c h ( ( p( k z d e k gf (, ( F( hf (, ( ( t, s ( t + s + ( t s La q D( p være en etterspørselsfunksjon

Detaljer

1 Mandag 15. februar 2010

1 Mandag 15. februar 2010 1 Mandag 15. februar 2010 Vi begynner med et eksempel på bruk av partiell derivasjon for å gjøre såkalt lineær regresjon, eller minste kvadraters metode. Dette er en anvendelse av teorien vi har gjennomgått

Detaljer

ECON2200 Matematikk 1/Mikroøkonomi 1 Diderik Lund, 15. mars 2010

ECON2200 Matematikk 1/Mikroøkonomi 1 Diderik Lund, 15. mars 2010 Til alle studenter i ECON2200 våren 2010 Evaluering Instituttet vil gjerne at dere svarer på noen få spørsmål om undervisningen nå, omtrent midt i semesteret. Dermed er det mulig å rette på eventuelle

Detaljer

INEC1800 ØKONOMI, FINANS OG REGNSKAP EINAR BELSOM

INEC1800 ØKONOMI, FINANS OG REGNSKAP EINAR BELSOM INEC1800 ØONOMI, FINANS OG REGNSAP EINAR BESOM HØST 2017 FOREESNINGSNOTAT 5 Produksjonsteknologi og kostnader* Dette notatet tar sikte på å gi innsikt om hva som ligger bak kostnadsbegrepet i mikroøkonomi

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN VÅR 2012 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GRUNNKURS

LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN VÅR 2012 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GRUNNKURS LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN VÅR 2012 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GRUNNKURS Oppgave 1 1 2 Oppgave 2 a) Vi lar x s, x g og x p være nye priser for henholdsvis standard-, gull- og platinarom. Hvis

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON00 Matematikk /Mikro (MM) Eksamensdag: 3.05.06 Sensur kunngjøres:.06.06 Tid for eksamen: kl. 09:00 5:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 1

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 1 ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 1 Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 23. august 2011 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi

Eksamensoppgave i SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn E. Stokke Tlf.: 73 59 16 65 Eksamensdato: 16.12.2013 Eksamenstid (fra-til): 5

Detaljer

c) En bedrift ønsker å produsere en gitt mengde av en vare, og finner de minimerte

c) En bedrift ønsker å produsere en gitt mengde av en vare, og finner de minimerte Oppgave 1 (10 poeng) Finn den første- og annenderiverte til følgende funksjoner. Er funksjonen strengt konkav eller konveks i hele sitt definisjonsområde? Hvis ikke, bestem for hvilke verdier av x den

Detaljer

LØSNING: Eksamen 18. des. 2013

LØSNING: Eksamen 18. des. 2013 LØSNING: Eksamen 8. des. 03 MAT00 Matematikk, høst 03 Oppgave : ( algebra / faktorisering / brøk ) a) Setter inn ligningene i generalbudsjettligningen: R = C +I +G+X () = C 0 +c(r T) + I + G + X 0 br ()

Detaljer

Kapitalverdimodellen

Kapitalverdimodellen Kapitalverdimodellen Kjell Arne Brekke October 23, 2001 1 Frontporteføljer En portefølje er en front-portefølje dersom den har minimal varians gitt avkastningen. Først, hva blir avkastning og varians på

Detaljer

Skjulte egenskaper (hidden characteristics)

Skjulte egenskaper (hidden characteristics) Skjulte egenskaper (hidden characteristics) Ny klasse av situasjoner, kap. 7 i Hendrikse (Se bort fra avsnitt 7.5; ikke kjernepensum) Forskjellig fra skjult handling (hidden action) (kap. 6) Men her: Skjulte

Detaljer

Mikroøkonomien med matematikk

Mikroøkonomien med matematikk Mikroøkonomien med matematikk Kjell Arne Brekke March 11, 2011 1 Innledning I Varian: Intermediate Microeconomics, er teorien i stor grad presentert med gurer og verbale diskusjoner. Da vi som økonomer

Detaljer

Obligatorisk øvelsesoppgave - Løsning

Obligatorisk øvelsesoppgave - Løsning Obligatorisk øvelsesoppgave - Løsning Vår 2017 Oppgave 1 a) f (x) = 6x 5 b) Bruk at (ln x) x = e ln(ln x)x = e x ln ln x slik at: g(x) = 4x 2 e x x ln ln x + e ( g (x) = 8xe x + 4x 2 e x + e x ln ln x

Detaljer

Mikroøkonomi - Superkurs

Mikroøkonomi - Superkurs Mikroøkonomi - Superkurs Teori - kompendium Antall emner: 7 Emner Antall sider: 22 Sider Kursholder: Studiekvartalets kursholder til andre brukere uten samtykke fra Studiekvartalet. Innholdsfortegnelse:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Eksamensdag: Tirsdag 17. desember 2013 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet

Detaljer

Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015

Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015 Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015 Oppgave 1 (vekt 20 %) a) Løs ligningen 3x 2 7x + 2 = 0 ved å bruke formelen for løsning av andregradsligninger. Løsning. 3x 2 7x + 2 = 0 x = ( 7) ( 7)2

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Øvelsesoppgave i: ECON2200 Matematikk 1/Mikro 1 Dato for utlevering: 27.3.2017 Dato for innlevering: 7.4.2017 innen kl. 15.00 Innleveringssted: Fronter Øvrig informasjon:

Detaljer

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 4

ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 4 ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 4 Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 16. september 2011 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning

Detaljer

(1) Etterspørsel, tilbud og markedskrysset (S & W kapittel 4, RH 2.3) (2) Produsenters profittmaksimerende tilpasning ( S & W kapittel 8, RH 3.

(1) Etterspørsel, tilbud og markedskrysset (S & W kapittel 4, RH 2.3) (2) Produsenters profittmaksimerende tilpasning ( S & W kapittel 8, RH 3. Økonomisk Institutt, september 2005 Robert G. Hansen, rom 208 Oppsummering av forelesningen 09.09 Hovedtemaer: () Etterspørsel, tilbud og markedskrysset (S & W kapittel 4, RH 2.3) (2) Produsenters profittmaksimerende

Detaljer

Lukket økonomi (forts.) Paretooptimum Markedet

Lukket økonomi (forts.) Paretooptimum Markedet ECON3610 Forelesning 2: Lukket økonomi (forts.) Paretooptimum Markedet c 2, x 2 Modell for en lukket økonomi Preferanser: Én nyttemaksimerende konsument Teknologi: To profittmaksimerende bedrifter Atferd:

Detaljer

Oppgave 1 (vekt 20 %) Oppgave 2 (vekt 50 %)

Oppgave 1 (vekt 20 %) Oppgave 2 (vekt 50 %) Oppgave 1 (vekt 20 %) Forklar følgende begreper (1/2-1 side): a) Etterspørselselastisitet: I tillegg til definisjonen (Prosentvis endring i etterspurt kvantum etter en vare når prisen på varen øker med

Detaljer

Oppsummering matematikkdel ECON 2200

Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

ECON 3610/4610 høsten 2012 Veiledning til seminaroppgave 2 uke 37

ECON 3610/4610 høsten 2012 Veiledning til seminaroppgave 2 uke 37 Jon Vislie ECO 360/460 høsten 0 Veiledning til seminaroppgae uke 37 I de første forelesningene har i sett på følgende problemstilling (modell): Velg den allokering a arbeidskraft til fremstilling a to

Detaljer

Vårt utgangspunkt er de to betingelsene for et profittmaksimum: der vi har

Vårt utgangspunkt er de to betingelsene for et profittmaksimum: der vi har Jon Vislie ECON vår 7: Produsenttilpasning II Oppfølging fra notatet Produsenttilpasning I : En liten oppklaring i forbindelse med diskusjonen om virkningen på tilbudt kvantum av en prisendring (symboler

Detaljer

Mikroøkonomi - Intensivkurs

Mikroøkonomi - Intensivkurs Mikroøkonomi - Intensivkurs Formelark Antall emner: 7 Emner Antall sider: 1 Sider Kursholder: Studiekvartalets kursholder Copyright 016 - Kjøp og bruk av materialet fra Studiekvartalet.no omfatter en personlig

Detaljer

Econ 2200 H04 Litt om anvendelser av matematikk i samfunnsøkonomi.

Econ 2200 H04 Litt om anvendelser av matematikk i samfunnsøkonomi. Vidar Christiansen Econ 00 H04 Litt om anvendelser av matematikk i samfunnsøkonomi. Et viktig formål med kurset er at matematikk skal kunne anvendes i økonomi, og at de matematiske anvendelser skal kunne

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 5, 2014 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 5, 2014 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Institutt for økonomi og administrasjon

Institutt for økonomi og administrasjon Fakultet for samfunnsfag Institutt for økonomi og administrasjon Mikroøkonomi I Bokmål Dato: Torsdag 1. desember 013 Tid: 4 timer / kl. 9-13 Antall sider (inkl. forside): 7 Antall oppgaver: 3 Tillatte

Detaljer

Sensorveiledning til ECON 2200 Vår 2007

Sensorveiledning til ECON 2200 Vår 2007 Sensorveiledning til ECON 00 Vår 007 Oppgave. x γ x Vi har fått oppgitt f ( x) = xe + e, med γ som en konstant. x x γ x a) Vi finner f ( x) = e xe e og γ γ f ( x) = e x e x + xe x + e x = xe x + e x e

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN VÅR 2013 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GK

LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN VÅR 2013 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GK LØSNINGSFORSLAG KONTINUASJONSEKSAMEN VÅR 2013 I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GK Oppgave 1 a) Målfunksjonen (1) summerer profitten ved å produsere x 1 bord og x 2 stoler. Restriksjon (2) sier at antall enheter

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 6, 2010 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 6, 2010 1 / 23 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON00 Matematikk 1 / Mikro 1 Eksamensdag: 14.06.01 Tid for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på sider Tillatte hjelpemidler: Ingen tillatte

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Oversikt over kap. 19 i Gravelle og Rees. Sett i forhold til resten av pensum:

Oversikt over kap. 19 i Gravelle og Rees. Sett i forhold til resten av pensum: Oversikt over kap. 19 i Gravelle og Rees Først et forbehold: Disse forelesningene er svært kortfattede i forhold til pensum og vil ikke dekke alt. Dere må lese selv! Sett i forhold til resten av pensum:

Detaljer

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag

Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske

Detaljer

Faktor. Eksamen vår 2002 SV SØ 107: Innføring i mikroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto

Faktor. Eksamen vår 2002 SV SØ 107: Innføring i mikroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: -en eksamensavis utgitt av Pareto Faktor -en eksamensavis utgitt av Pareto Eksamen vår 2002 SV SØ 107: Innføring i mikroøkonomisk analyse Besvarelse nr 1: OBS!! Dette er en eksamensbevarelse, og ikke en fasit. Besvarelsene er uten endringer

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad, denne versjonen: π-dagen ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger 1. plenumsregning 1. feb.: derivasjon. Oppgave 1.1 der A er en konstant. Funksjonen

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET

BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET 24. april 2002 Aanund Hylland: # BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET Standard teori og kritikk av denne 1. Innledning En (individuell) beslutning under usikkerhet kan beskrives på følgende måte: Beslutningstakeren

Detaljer

Så deriverer jeg denne funksjonen på hensyn av hver av de tre variablene jeg sitter igjen med.

Så deriverer jeg denne funksjonen på hensyn av hver av de tre variablene jeg sitter igjen med. Eksamensbesvarelse ECON3610 Oppgave 1 At en situasjon er paretooptimal vil si at man er i en situasjon der man gjennom omallokering ikke har muligheten til å gjøre at noen av partene får det bedre uten

Detaljer

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 9, 2011 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 9, 2011 1 / 25 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON00 Matematikk /Mikro (MM) Eksamensdag: 0.06.05 Sensur kunngjøres: 0.07.05 Tid for eksamen: kl. 09:00 5:00 Oppgavesettet er på 4 sider Tillatte

Detaljer

Oppsummering matematikkdel

Oppsummering matematikkdel Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker

Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med

Detaljer

Generelle opplysninger om eksamen i 1T. I vurderingsveiledning fra Utdanningsdirektoratet finner vi blant annet dette:

Generelle opplysninger om eksamen i 1T. I vurderingsveiledning fra Utdanningsdirektoratet finner vi blant annet dette: Forord Generelle opplysninger om eksamen i 1T I vurderingsveiledning fra Utdanningsdirektoratet finner vi blant annet dette: Eksamensordning Eksamen varer fem timer og er todelt. Del 1 og del 2 av eksamensoppgaven

Detaljer

Matematikk for økonomer Del 2

Matematikk for økonomer Del 2 Matematikk for økonomer Del 2 Oppgavedokument Antall oppgaver: 75 svar Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 15 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere Kapittel 1 Derivasjon 1. f (x) = 2x 2

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer

Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn Stokke Tlf.: 97 19 94 54 Eksamensdato:. oktober 015 Eksamenstid (fra-til): 4 timer

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

ECON3730, Løsningsforslag obligatorisk oppgave

ECON3730, Løsningsforslag obligatorisk oppgave ECON3730, Løsningsforslag obligatorisk oppgave Eva Kløve eva.klove@esop.uio.no 14. april 2008 Oppgave 1 Regjeringen har som mål å øke mengden omsorgsarbeid i offentlig sektor. Bruk modeller for arbeidstilbudet

Detaljer

Løsningsveiledning, Seminar 10 Econ 3610/4610, Høst 2014

Løsningsveiledning, Seminar 10 Econ 3610/4610, Høst 2014 Løsningsveiledning, Seminar 10 Econ 3610/4610, Høst 014 Oppgave 1 (oppg. 3 eksamen H11 med noen små endringer) Vi betrakter en aktør på to tidspunkter, 1 og. Denne aktøren representerer mange aktører i

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON00 Matematikk / Mikro Eksamensdag: 8.06.03 Tid for eksamen: kl. 09:00 5:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemiddel: - Ingen tillatte

Detaljer

Kapittel 8. Inntekter og kostnader. Løsninger

Kapittel 8. Inntekter og kostnader. Løsninger Kapittel 8 Inntekter og kostnader Løsninger Oppgave 8.1 (a) Endring i bedriftens inntekt ved en liten (marginal) endring i produsert og solgt mengde. En marginal endring følger av at begrepet defineres

Detaljer

ECON3010 Anvendt økonomisk analyse NN, oppgave til seminar 1, våren 2013

ECON3010 Anvendt økonomisk analyse NN, oppgave til seminar 1, våren 2013 ECON3010 Anvendt økonomisk analyse NN, oppgave til seminar 1, våren 2013 Mange hevder at det er en skam at det offentlige ikke greier å løse alle oppgaver, så rike som vi er blitt. Drøft påstanden! 1.

Detaljer

Mikroøkonomi - Superkurs

Mikroøkonomi - Superkurs Mikroøkonomi - Superkurs Oppgave dokument Antall emne: 7 Emner Antall oppgaver: 104 Oppgaver Antall sider: 27 Sider Kursholder: Studiekvartalets kursholder til andre brukere uten samtykke fra Studiekvartalet.

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 6

Løsningsforslag ST2301 Øving 6 Løsningsforslag ST230 Øving 6 Kapittel 2 Exercise 0 Anta at tre genotyper har fitnesser A A A A 2 A 2 A 2 4 0 3. Hva er likevektsfrekvensen? 2. Er denne stabil? 3. Hvorfor kan vi ikke bare bruke formlene

Detaljer

Konsumentoverskudd, produsentoverskudd og samfunnsøkonomisk overskudd

Konsumentoverskudd, produsentoverskudd og samfunnsøkonomisk overskudd Økonomisk Institutt, oktober 006 Robert G. Hansen, rom 107 Oppsummering av forelesningen 03.10 Hovedtema: Konsumentoverskudd, produsentoverskudd og samfunnsøkonomisk overskudd (S & W kapittel 6 og 10 i

Detaljer

η = 2x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 3 x x 3 4 2x 1 + x 3 + 5x 4 1 w 1 =3 x 1 x 2 x 3 2x 4 w 2 =4 x 1 x 3 w 3 =1 2x 1 x 3 5x 4

η = 2x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 3 x x 3 4 2x 1 + x 3 + 5x 4 1 w 1 =3 x 1 x 2 x 3 2x 4 w 2 =4 x 1 x 3 w 3 =1 2x 1 x 3 5x 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MA-IN-ST 233 Konveksitet og optimering Eksamensdag: 31. mai 2000 Tid for eksamen: 9.00 13.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:

Detaljer

For å vise at en utilitarist vil gi mer til et individ etter ulykken,

For å vise at en utilitarist vil gi mer til et individ etter ulykken, Løsningsforslag oppgave 7, side119 La oss ta et talleksempel: For å vise at en utilitarist vil gi mer til et individ etter ulykken, trenger vi en før og etter nyttefunksjon. Dvs. vi trenger to nyttefunksjoner.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Seminar 6 - Løsningsforslag

Seminar 6 - Løsningsforslag Seminar 6 - Løsningsforslag Econ 3610/4610, Høst 2016 Oppgave 1 Vi skal her se på hvordan en energiressurs - som finnes i en gitt mengde Z - fordeles mellom konsum for en representativ konsument, og produksjon

Detaljer