Velferdsstaten og økonomisk politikk: Forsikringsøkonomi (kap. 4)

Transkript

1 Velferdsstaten og økonomisk politikk: Forsikringsøkonomi (kap. 4) Arild Aakvik, Universitetet i Bergen August Problemstillinger knyttet til forsikring Både privat- og sosialforsikring er med på å øke velferden i samfunnet. Innenfor sosialforsikring har vi omfattende ordninger som arbeidsledighetstrygd, sykepenger, uføretrygd, arbeidsavklaringspenger og alderspensjon. Innen privat forsikring utgjør skadeforsikring den største andelen. Forsikring skal sikre oss mot uforutsette hendelser som sykdom og redusert helse, tap av inntekt som følge av arbeidsledighet, og redusert formue som følge av skade ved for eksempel husbrann eller bilulykke. Det viktigste formålet med velferdsstaten består i å sikre samfunnets medlemmer hjelp hvis de skulle komme ut for helsesvikt, sosial nød eller tap av inntekt (f.eks. ved arbeidsledighet, sykdom eller alderdom). Velferdsstaten har med andre ord et stort innslag av forsikring. For å forstå velferdsstaten er det viktig å forstå hvordan forsikringsmarkeder fungerer, hva som er forskjell på privat og sosial forsikring, og hvorfor velferdsstaten har et stort innslag av obligatoriske forsikringsordninger som ikke tilbys av det private. Dette notatet vil svare på følgende spørsmål: Hva mener vi med forsikring? Hvorfor vil folk kjøpte forsikring selv om de vet at det blir betalt mer inn i forsikringspremie enn hva som betales ut av forsikringsselskapene? Under hvilke vilkår vil forsikringsselskapene tilby forsikring? Hva karakteriserer samfunnsmessige optimale forsikringskontrakter? Hva mener vi med ugunstig utvalg og moralsk hasard i forsikringsmarkeder? 1

2 På hvilken måte kan et forsikringsselskap ta hensyn til problemene med asymmetrisk informasjon? Under hvilke vilkår er sosialforsikring Pareto-effektiv? Hva er effektivitetstaper ved asymmetrisk informasjon? 2 Risiko og forsikring Risiko er relatert til at det eksisterer en mulighet for tap eller skade. Dersom et prosjekt eller investering har en eller flere mulige utfall i framtiden, og hvor et av utfallene er uønsket, sier vi at prosjektet er utsatt for risiko. Et prosjekt kan vise seg å gå bra eller dårlig. På forhånd er det vanskelig å vite nøyaktig hvordan et prosjekt utvikler seg. Et prosjekt har høy risiko dersom det er en stor sannsynlighet for at det går dårlig. Generelt kan vi si at utfallet til et prosjekt er en tilfeldig variabel y som kan ta to eller flere verdier. Risikoen til prosjektet øker med variansen til y gitt at forventet verdi er den samme. Vi antar i økonomisk teori at individ er risikoaverse, det vil si at en ikke liker risiko. Risikoaverse personer som får valget mellom en sikker størrelse og et usikkert prosjekt som har forventning lik den sikre størrelsen, vil alltid velge å få utbetalt den sikre størrelsen framfor å investere i det usikre prosjektet. Vi skiller mellom risiko og usikkerhet. Med risiko mener vi at sannsynlighetene for de ulike utfallene, eller sannsynlighetsfordelingen, er kjent eller estimerbar. Vi har usikkerhet dersom vi ikke kjenner sannsynlighetene for de ulike utfall. For eksempel kjenner vi ikke sannsynlighetsfordelingen til den framtidige inflasjonsraten, og kan dermed heller ikke forsikre oss mot høy inflasjon. Det er ikke alltid lett å skille mellom risiko og usikkerhet, men når vi snakker om forsikring antar vi som regel at vi kan estimere sannsynligheten for skade basert på historisk statistikk om skadefrekvens. Vi bruker da begrepet risiko. 3 Forsikringskontrakt Individ kan i mange tilfeller forsikre seg mot muligheten for dårlig utfall. Det skrives da en avtale mellom en forsikringstaker (FT) og et forsikringsselskap (FS). Vi kan definere en privat forsikring som en kontrakt mellom et forsikringsselskap og en forsikringstaker hvor det blir spesifisert en pris/premie, r, som forsikringstaker må betale, og en kompensasjon, C, som forsikringsselskapet må betale, dersom ulykken eller skaden inntreffer. 2

3 Sosialforsikring er også en kontrakt, men av en annen karakter. Vi kan definere en sosial forsikring som en innretning som gir individene sikkerhet mot risiko, for eksempel ved uforutsette inntektsbortfall ved sykdom (eller uforutsette tap generelt). Innbetalingene ved sosialforsikring skjer ofte via skattesystemet, og reglene er spesifisert i lovverket og ikke ved individuelle kontrakter. Sykepengeordningen, uføretrygd, arbeidsledighetstrygd, etc. er alle sosialforsikringsordninger. I Norge har vi et eget ord for sosialforsikring, nemlig trygd. 4 Aktuarisk og økonomisk tilnærming til forsikring Vi har to tilnærminger til prising av forsikringskontrakter. Den ene er basert såkalt aktuarisk nøytral forsikringspremie, hvor forsikringspremien beregnes slik at forsikringsselskapet ikke går med underskudd. Den andre tilnærmingen er basert på betalingsvillighet. Hva er aktuarisk nøytral premie? Anta at forsikringsselskapet vet (basert på historisk statistikk) at 1 promille av villaene i Norge vil brenne ned til grunne hvert år. Vi antar at hver villa i gjennomsnitt er verdt kr 5 mill. Forsikringspremien (r) på hver bolig blir da kr 5000 per år. En aktuarisk tilnærming vil beregne forsikringspremien som sannsynligheten for skade (p) multiplisert med skadebeløpet (L), dvs r = p L. Hvilken risikopremie (V ) er vi villig til å betale for å sikre oss mot uforutsette hendelser? Finnes det et sikkert prosjekt som er ekvivalent med det usikre prosjektet? En økonomisk tilnærming til forsikringsproblemet vil ta utgangspunkt i betalingsvillighet for forsikring. Denne er ofte høyere enn den aktuarisk nøytrale premien, fordi vi er misliker risiko og er villig til å betale noe for å kvitte oss med risiko. 4.1 Privat markedet for forsikring Markedet for forsikring består i hovedsak av ulike typer forsikringsselskap (FS) som tilbyr forsikring og forsikringstakere (FT) som etterspør forsikring. Visse vilkår på tilbudssiden og etterspørselssiden må være oppfylt for at vi skal ha et velfungerende privat forsikringsmarked. Etterspørselssiden: Hvorfor vil folk ønske å forsikre seg når de vet at forsikringsselskapet tar inn mer i forsikringspenger enn de betaler ut? Er forsikringstakerne uopplyste eller irrasjonelle siden de kjøper forsikring hvor innbetalingene til forsikringsselskapet er større enn hva forsikringsselskapet betaler ut? Tilbudssiden: Når vil forsikringsselskapet tilby forsikring til aktuelle kunder? 3

4 Hva er vilkårene som må være oppfylt for at forsikringsselskapet skal tilby forsikring? Vi vil nå svare på disse to hovedspørsmålene ved å se på etterspørsels- og tilbudssiden hver for seg. 4.2 Notasjon Notasjonen knyttet til modellen med ugunstig utvalg og moralsk hasard varierer noe. I tabell 2 i slutten av dokumentet lister vi opp notasjonen som blir brukt i ulike artikler. Notasjonen i dette notatet følger notasjonen til forelesning som er lik notasjonen i læreboken (med et par unntak). Gode framstillinger av Rothschild-Stiglitz modellen er gitt i originalartikkelen til Rothschild og Stiglitz (1976), samt i læreboken til Gravelle og Rees (2004). 5 Etterspørsel etter forsikring Folk vil ønske forsikring fordi de misliker usikkerhet, dvs de er risikoaverse. Folk foretrekker sikkerhet framfor usikkerhet for samme forventede inntektsbeløp og er villig til å betale for å unngå usikkerhet. Anta et usikkert prosjekt hvor utfallene kr 100 i et dårlig år og kr 1000 i et godt år. La forventningen til prosjektet være kr 550. Vi har altså y 1 = 100, y 2 = 1000 og E(y) = 550. Hvor mye synes du at du må ha med sikkerhet for å være indifferent med prosjektet som gir forventning lik 550? 600, 550, 500, 400, 300? En risikoaverse person vil oppgi et beløp som er mindre enn Risikoaversjon Vi kan illustrere ideen bak etterspørselen etter forsikring og risikoaversjon i figur 1. Figuren viser en nyttefunksjon med inntekt som argument. Vi antar at nytten av inntekt er økende, men at den øker i avtagende grad. Det betyr at den deriverte av nyttefunksjonen er positiv og at den andrederiverte av nyttefunksjonen er negative. En slik nyttefunksjon er forenlig med risikoaversjon. Jo mer kurvet nyttefunksjonen er, desto mer risikoaverse er personen. For et usikkert prosjekt har vi to eller flere utfall, hvor minst ett av utfallene ikke er ønsket. La oss anta to mulige utfall. Et utfall er meget gunstig (y 2 ) og det andre utfallet er ikke gunstig (y 1 ). Personen foretrekker selvfølgelig utfall y 2 siden det gir høyest nytte. Nytten av utfall y 2 er gitt ved U(y 2 ) og nytten av utfall y 1 er gitt ved U(y 1 ). Begge disse størrelsene kan leses av i figur 1. Knyttet til et usikkert prosjekt som dette har vi en sannsynlighet for at prosjektet 4

5 Figur 1: Etterspørsel etter forsikring. Nyttetilnærming skal gå bra og en sannsynlighet for at prosjektet går dårlig. Vi angir sannsynligheten for dårlig utfall som p og sannsynligheten for godt utfall for 1 p. Vi kan med utgangspunkt i p beregne forventet inntekt fra prosjektet. Vi beregner forventet inntekt (E(y)) som E(y) = p y 1 + (1 p) y 2. (1) En høy sannsynlighet for at det går dårlig betyr at forventet inntekt fra prosjektet ligger relativt nærme y 1. En lav sannsynlighet for dårlig utfall betyr at forventet inntekt ligger nærme y 2. Den rette linjen mellom y 1 og y 2 angir forventet inntekt for ulike verdier av p. Sannsynligheten for dårlig utfall ligger mellom 0 og 1, dvs p (0, 1). Vi kan beregne nytten av forventningen og forventet nytte basert på figur 1. Forventet nytte er gitt ved E[U(y)] = p U(y 1 ) + (1 p) U(y 2 ). (2) og nytten av forventningen er gitt ved U[E(y)] = U[p y 1 + (1 p) y 2 ]. (3) Med en nærmere spesifisert nyttefunksjon kan vi beregne alle størrelsene som er merket av i figur 1. Det skal vi komme tilbake til litt senere i notatet. 5

6 5.2 Sikkerhetsekvivalens, risikopremie og forsikringspremie Sentrale begrep i forsikring er sikkerhetsekvivalens (y eller CE), risikopremie (V ) og forsikringspremie (r). Alle disse tre størrelsene er merket av i figur 2. Dette er en Figur 2: Etterspørsel etter forsikring. Tall fra læreboken utvidelse av figur 4.1 i Barr, hvor vi tegner inn V og r. Sikkerhetsekvivalens (y = CE) er den størrelsen som gjør oss indifferent mellom dette sikre beløpet og det usikre prosjektet. 1 Dersom et prosjekt har to mulige utfall, y 2 = 1000 og y 1 = 100 og begge utfallene har lik sannsynlighet, vil forventet inntekt fra prosjektet være 550. En investor vil aldri motta 550, men det er den beste vurderingen av hva prosjektet er verdt. Dersom en investor blir tilbudt å motta 550 med sikkerhet eller å motta enten 100 eller 1000 avhengig av hvordan prosjektet utvikler seg, vil risikoaverse individ foretrekke å få kr 550 med sikkerhet framfor det usikre prosjektet. Risikopremie (V ) er den størrelsen vi er villig til å betale for å unngå usikkerhet (V = E(y) y ). Risikopremien er en ekstra betalingsvillighet som forsikringstakere har på grunn av risikoaversjon. I noen tilfeller vil denne premien bli delt mellom forsikringstaker og forsikringsselskap. I markeder med sterk konkurranse om forsikringskundene vil forsikringstakerne i stor grad beholde premien selv. Vi kaller forsikringspremien som forsikringstaker må betale for r. Vi har at den aktuarisk nøytrale forsikringspremien er gitt ved p L, hvor p er sannsynligheten for skade og L er skadebeløpet. I eksemplet over er p = 0, 5 og L = y 2 y 1 = 900. Den aktuarisk nøytrale forsikringspremien blir da r = p L = 0, = 450. Den aktuarisk nøytrale forsikringspremien er slik at forsikringsselskapet akkurat for dekt sine kostnader, gitt mange forsikringstakere med uavhengig risiko. 1 Se Rosen & Gayer (204) side

7 Vi kan også tenke oss at forsikringsselskapet legger på en ekstra avgift på forsikringspremien for å betale profitt til kapitaleierne. Denne avgiften blir kalt factor loading (a = prosentsats) og i kroneverdi blir den kalt nettopremie (φ = p L a). Vi har da at forsikringspremien er gitt ved r = p L (1 + a). Vi antar stort sett at a = 0 i den videre analysen. Dette kan begrunnes i at forsikringsmarkedet er et frikonkurransemarked og at all profitt konkurreres bort, men legg merke til at læreboken inkluderer a. Enkel oppgave: Hva verdi på a blir brukt i talleksempelet i læreboken? Regneeksempel: forsikringspremie, sikkerhetsekvivalens og risikopremie Vi ser på et prosjekt som har to mulig utfall, 3000 eller 15000, hvor utfallene har lik sannsynlighet. Nyttefunksjonen er gitt ved U(y) = /y. a) Har personen risikoaversjon? b) Finn forventet inntekt og forventet nytte fra prosjektet. c) Hva er forventet tap/kostnad? d) Hva er forsikringspremien? e) Finn sikkerhetsekvivalens og risikopremie. f) Hva er nytten med og uten forsikring? g) Hva er betalingsvilligheten for forsikring? h) Hva er tapet i kroner ved ikke å tilby forsikring (eller hva er gevinsten i kroner av å tilby forsikring)? i) Hva blir resultatet dersom nyttefunksjonen er gitt ved U(y) = y 0,5? Regneeksempelet ovenfor kan illustreres i figur 3. Figur 3: Etterspørsel etter forsikring. Regneeksempel med U(y) = /y: 7

8 6 Tilbud av forsikring 6.1 Store talls lov All forsikring baserer seg på store talls lov. Ideen er at variasjonen i utfall som enkeltindivid står overfor kan elimineres ved at individene går sammen i en forsikringsgruppe. For noen i gruppen vil det gå bra, mens for andre i gruppen går det dårlig. Som gruppe, derimot, kan all variasjon elimineres så lenge gruppen er av en viss størrelse. La y i være mulige utfall for individene i gruppen. Vi har at gjennomsnittlig utfall for hele gruppen er E(y) = 1 N (y 1 + y y N ) = ȳ (4) Varians Vi antar at utfallene er uavhengig av hverandre, noe som betyr at vi kan summere variansene uten å ta hensyn til kovariansene. For enkelthets skyld antar vi også at utfallene er de samme for individene, det vil si at gjennomsnittet og variansen er lik for alle. I tillegg bruker vi resultatet at Var(ay) = a 2 Var(y), hvor a er en konstant. Variansen til alle utfallene/prosjektene kan da skrives som Var(y 1, y 2,..., y N ) = Var(y 1 ) + Var(y 2 ) +... Var(y N ) = N Var(y). (5) Variansen til gjennomsnittet i gruppen er gitt ved ( ) y1 + y y N Var(ȳ) = Var N = 1 N N Var(y) 2 = Var(y) N. (6) Variansen til gjennomsnittet i gruppen vil da være en funksjon av antall personer i gruppen N. Vi ser at variansen til gjennomsnittet reduseres og går mot null når gruppestørrelsen går mot uendelig. På den måten reduseres variansen, og dermed usikkerheten i prosjektene for gruppen totalt sett. For noen går det bra og for andre går det dårlig. I sum vet vi hvordan det går, i hvert fall for store utvalg. 8

9 6.2 Vilkår på tilbudssiden Følgende vilkår må være oppfylt på tilbudssiden for at vi skal ha et effektivt fungerende forsikringsmarked. Den individuelle sannsynligheten for ulykke/skade (p i ) er uavhengig av hverandre (ingen systematisk/fundamental risiko). Dette for å sikre oss at usikkerheten i prosjektene samlet går mot null. Ved avhengig risiko, for eksempel hvis ett hus i en by tar fyr så sprer brannen seg til alle husene i byen, vil forsikringsselskapet gå konkurs fordi det ikke har midler til å dekke alle tapene. p i < 1 (må ha usikkerhet, dvs manglende kunnskap om framtidig utfall). Ingen asymmetrisk informasjon, dvs ingen problem med ugunstig utvalg og moralsk hasard. Forsikringsselskapet må vite gjennomsnittlig p i (må ha mange individ). Ingen asymmetrisk informasjon (ugunstig utvalg og moralsk hasard). Ugunstig utvalg betyr at forsikringsselskapet ikke kjenner individuell sannsynlighet for skade p i. Når forsikring er frivillig får vi da en økende andel med dårlig risiko i forsikringsgruppen dersom forsikringspremien er basert på en gjennomsnittlig sannsynlighet for skade. Forsikringsselskapet står igjen med et ugunstig utvalg av forsikringstakere. Moralsk hasard betyr at individene kan påvirke sannsynligheten for skade p i (eller skadebeløpet L). Dersom de kan påvirke p i kaller vi det for ex ante moralsk hasard. Dersom de kan påvirke L kaller vi det ex post moralsk hasard. Moralsk hasard betyr at en person tar mer risiko fordi noen andre bærer kostnadene. 7 Modelloppsett Vi kan sette opp forsikringsmodellen som et maksimeringsproblem: E[U(p, C)] = pu(y 2 L r + C) + (1 p)u(y 2 r) = pu(y 2 L pc + C) + (1 p)u(y 2 pc) med vilkår om at forsikringsselskapet ikke skal gå med overskudd Π F S = p(c r) + (1 p)r 9

10 og at det lønner seg for FT å kjøpe forsikring (risikoaversjon), dvs pu(y 2 L + C) + (1 p)u(y 2 r) > pu(y 2 L) + (1 p)u(y 2 ) 8 Modell med ugunstig utvalg Rothschild og Stiglitz (1976) har utviklet en modell for analyse av private forsikringskontrakter. I modellen antar vi at vi har en populasjon med 2 typer individ. Den ene gruppen har en lav sannsynlighet for skade (p L ) og den andre gruppen har en høy sannsynlighet for skade (p H ). Alle forsikringstakerne har lik nyttefunksjon og alle individene er risikoaverse. Vi antar at forsikringsselskapet er risikonøytralt, noe som betyr at de bare er opptatt av forventet inntekt. Alle individene har samme potensielle skade (L). Videre antar vi at populasjonen inneholder brøkdel θ og (1 θ) av de to typene H og L. Vi har at y 2 er inntekt uten ulykke/skade, og y 1 = inntekt med ulykke/skade, hvor y 1 = y 2 L. Forventet nytte uten forsikring er gitt ved E[U L (p, y 1, y 2 )] = p L U(y 1 ) + (1 p L )U(y 2 ) = p L U(y 2 L) + (1 p L )U(y 2 ) (7) for lavrisikogruppen, og E[U H (p, y 1, y 2 )] = p H U(y 1 ) + (1 p H )U(y 2 ) = p H U(y 2 L) + (1 p H )U(y 2 ) (8) for høyrisikogruppen. 8.1 Indifferenskurver Indifferensekurvene er definert slik at forventet nytte skal være like et gitt nyttenivå Ū, på følgende måte pu(y 1 r + C) + (1 p)u(y 2 r) = Ū Basert på forventet nytte kan vi utlede helningen på indifferenskurvene til de to typene individ i modellen. Vi totaldifferensierer E[U(y 1, y 2 )] mhp y 1 og y 2. 2 Sett dette lik 2 Alternativt kunne vi si at konsumet i dårlig tilstand er (y 2 r L+C) og konsumet i god tilstand er (y 2 r), og derivert mhp konsum i dårlig og god tilstand. Resultatet ville blitt det samme. 10

11 null og løs. Vi får E[U] = pu(y 1 r + C) + (1 p)u(y 2 r) de[u] = E(U) dy 1 + E(U) dy 2 = 0 y 1 y 2 Vi har generelt Helningen på indifferenskurvene blir da E(U) y 1 = pu 1 og E(U) y 2 = (1 p)u 2 dy 1 (1 p) = U 2 dy 2 p U 1 = (1 p) MRS (9) p hvor U 2 er den deriverte av nyttefunksjonen med hensyn på inntekt i god tilstand, og U 1 den deriverte av nyttefunksjonen med hensyn på inntekt i dårlig tilstand. MRS = U 2/U 1 = MU 2 /MU 1 veid med p. Hvis p er høy så vil indifferenskurvene være slake. Hvis p er lav, så vil indifferenskurve være bratte. Dette vil selvfølgelig være avhengig av hvordan vi snur diagrammet, men i våre diagram vil y 2 (bra tilstand) måles langs den horisontale aksen og y 1 (dårlig tilstand) langs den vertikale aksen. Indifferensekurvene viser hvordan vi vurderer endret konsum ved lav inntekt versus endret konsum med høy inntekt, gitt at vi skal være på samme nyttenivå. Marginalnytten vil generelt være høyere ved lav inntekt enn ved høy inntekt, noe som betyr at MRS < 1, hvor MRS 1x2 :x 1 = MU x 2 MU x1. (10) En risikoavers person vil dermed være villig til å gi opp mindre enn 1 enhet av konsum ved lav inntekt mot å få en ekstra enhet konsum ved høyinntekt. Vi kan også sammenligne indifferenskurvene under usikkerhet til L-gruppen og H-gruppen. Vi har: og dy 1 = (1 p L) U 2 dy 2 p L U 1 dy 1 = (1 p H) U 2 dy 2 p H U 1 = (1 p L) p L MRS (11) = (1 p H) p H MRS. (12) 11

12 Vi har da Helning i indifferenskurvene for L i et gitt punkt Helning i indifferenskurvene for H i et gitt punkt = (1 p L) p L U 2 U 1 (1 p H) p H U 2 U 1 = (1 p L) p H (1 p H ) p L > 1 dvs at indifferenskurvene til L-gruppen alltid er brattere sammenlignet med H-gruppen. Dersom u(y) = y så vil helningen på indifferenskurvene være (1 p) y 2 (p) y Grafisk framstilling Fullforsikring betyr at forsikringstaker har samme inntekt uavhengig om det går bra eller dårlig (tilpasning langs 45-graders linjen) i figur 4. Se også figur 4.2 i Barr side 109 Figur 4: Forsikring. Tilstandsdiagram (figuren er snudd, men er tegnet slik som i orginalartikkelen til Rothschil og Stiglistz). De med høy risiko for skade (p H ) må betale mer for forsikring enn de med lav risiko for skade (p L ), og kommer dermed dårligere ut. Punkt A i figuren gir initialtilstanden, dvs koordinatet som angir inntekt i god og dårlig tilstand. Forsikringspremien er gitt ved r = p C, hvor C er kompensasjonsbeløpet. Dersom C = L har vi fullforsikring. Det vil oftest være optimalt for forsikringstaker å velge fullforsikring, som vi skal vise litt senere, men forsikringstaker kan velge alt fra ingen forsikring til fullforsikring. Hva forsikringspremien blir er avhengig av skadesannsyn- 12

13 ligheten for de to gruppene. Lavrisikogruppen har lavere sannsynlighet for skade enn høyrisikogruppen og betaler derfor er lavere forsikringspremie for gitt kompensasjonsnivå. Profitten til forsikringsselskapet er gitt ved π = p(c r) + (1 p)r = 0 (13) hvor C r er netto utbetaling fra forsikringsselskapet dersom skade inntreffer. Vi antar at forsikringspremien settes slik at profitten til forsikringsselskapet blir lik null. Linjen fra punkt A til C H i figur 4 gir alle mulige forsikringskontrakter til høyrisikogruppen som gir null i profitt til forsikringsselskapet, mens linjen fra punkt A til C L gir alle mulige forsikringskontrakter til lavrisikogruppen som gir null i profitt til forsikringsselskapet. 8.3 Optimal forsikringskontrakt Vi maksimerer forventet nytte for å finne optimal forsikringskontrakt til individet. Forventet nytte er gitt ved E(U) = pu[y 2 L r + C] + (1 p)u[y 2 r] = pu[y 2 L pc + C] + (1 p)u[y 2 pc] Maksimal nytte finner vi ved å derivere og sette den deriverte lik null. Vi får da E(U) C = pu [y 2 L r + C](1 p) + (1 p)u [y 2 r]( p) = 0. (14) Vi har altså funnet maksimum når pu [y 2 L r + C](1 p) = (1 p)u [y 2 r]p, (15) som er oppfylt bare dersom L = C. I dette tilfellet har vi fullforsikring. Optimal kontrakt er altså karakterisert ved at forsikringstaker velger fullforsikring. Det er ingen grunn til at forsikringsselskapet ikke skal tilby fullforsikring Karakterisering av optimal forsikringskontrakt Den optimale kontrakten er karakterisert ved at vi har tangering mellom indifferenskurvene og break-even linjen (linjen som karakteriserer alle mulige kontrakter som gir null i profitt til forsikringsselskapet), se figur refforsikring2. Helningen på break- 13

14 Figur 5: Forsikring. Fullforsikring optimalt even linjen er gitt ved (1 p)/p. Vi finner denne helningen ved å totaldifferensiere forventet inntekt til forsikringstaker, som er gitt ved Totaldifferensiering er gitt ved som gir E(y) = p[y 2 L r + C] + (1 p)[y 2 r] = p[y 1 pc + C] + (1 p)[y 2 pc]. de(y) = E(y) dy 1 + E(y) dy 2 = 0 y 1 y 2 p dy 1 + (1 p) dy 2 = 0 dy 1 (1 p) = =. (16) dy 2 p Fra del 8.1 har vi at helningen til indifferenskurvene er gitt ved (1 p) p U 2. U 1 Vi har at helningen til indifferenskurvene bare kan være lik helningen til break-even linjen når MRS = 1. Det har vi når inntekten i de to tilstandene er like, dvs når y 1 = y 2, noe som betyr fullforsikring. 14

15 8.4 Sikkerhetsevivalens og risikopremie i et tilstandsdiagram Anta nå at vi bare ser på en av gruppene, for eksempel lavrisikogruppen. Vi tegner først inn indifferenskurven som tangerer break-even linjen og som dermed viser optimal forsikringskontrakt, se figur 6. Vi tegner også inn indfifferenskurven som går gjennom punkt A, som viser inntekt i god og dårlig tilstand uten forsikring. Denne indifferenskurven representerer nyttenivået uten forsikring. Indifferenskurven som tangerer Figur 6: Forsikring. Lavrisikogruppen break-even linjen angir nyttenivået med fullforsikring, mens indifferenskurven som går gjennom punkt A angir nytten uten forsikring. Vi ser helt klart at gruppen kommer bedre ut med forsikring enn uten forsikring. Risikopremien angir hvor mye et individ er villig til å betale for forsikring ut over aktuarisk nøytral premie. Personen vil ha betalingsvillighet for forsikring så lenge nytten ved forsikring er høyere enn nytten uten forsikring. E(y) i Figur 6 angir inntekten med forsikring, som forsikringstakeren har med sikkerhet, mens y angir inntekten som gjør en indifferent mellom denne inntekten og forventet inntekt i det usikre prosjektet uten forsikring (punkt A). Personen er indifferent mellom y og punkt A i figuren siden indifferenskurven går gjennom begge punktene. Avstanden mellom y 2 og y angir hvor mye individet er villig til å betale for fullforsikring. Dette beløpet splittes opp i en andel som forsikringstaker faktisk må betale ved aktuarisk nøytral forsikring og en del ut over forsikringspremien. Avstanden mellom E(y) og y kaller vi risikopremie, som altså er betalingsvillighet ut over aktuarisk nøytral forsikringspremie. 15

16 9 Imperfekt informasjon Vi har to forskjellige typer ufullstendig informasjon. Den ene er karakterisert ved at forsikringsselskapet ikke kjenner skadesannsynligheten til forsikringstakerne, og således ikke kan plassere individene i grupper etter hvilken sannsynlighet de har for skade. Da har forsikringstakerne mer informasjon enn forsikringsselskapet og det er asymmetrisk informasjon. Individene kan f.eks. rapportere en lavere p i enn vedkommende faktisk har, og slippe unna med en lavere premie. Dersom forsikringsselskapet priser forsikringen etter en gjennomsnittssannsynlighet for skade, vil personer med lav sannsynlighet for skade ikke velge forsikring og forsikringsselskapet står igjen med forsikringstaker med relativ høy sannsynlighet for skade. Dette problemet går under navnet ugunstig utvalg. Den andre typen informasjonsproblem er karakterisert ved at forsikringstakerne kan påvirke sin egen sannsynlighet for skade (p) eller påvirke skadebeløpet (L). Dette leder fram til problemet med moralsk hasard. Individene kan tenkes å endre sin p i ved å endre atferd. Det vil de gjøre dersom marginalfordelen ved å endre atferd er høyere enn marginalkostnaden. 9.1 Ugunstig utvalg Hva skjer dersom forsikringsselskapet ikke kjenner sannsynligheten for skade for de ulike gruppene av forsikringstakere? Vi vil da får to typer forsikringskontrakter. Den ene kaller vi for pooling-løsningen (sammenslått løsning) og den andre kaller vi for seperasjonsløsningen Pooling-løsning Ved pooling-løsningen baserer forsikringsselskapet seg på en gjennomsnittlig forsikringspremie. Begge gruppene blir tilbydd den samme kontrakten selv om sannsynligheten for skade er forskjellig. Et eksempel på en kontrakt som blir tilbudt er gitt i punkt B i figur 7. Gjennomsnittspremien er basert på et veid snitt av de to gruppene, hvor andelen personer i lav-risikogruppen er gitt ved θ og andelen i høyrisikogruppen gitt ved (1 θ). Vi har da r = θ r L + (1 θ)r H = θ p L L + (1 θ) p H L = p L. 16

17 Siden begge gruppene blir tilbudt den samme kontrakten vil nytten være den samme for de to gruppene, siden alle har lik nyttefunksjon. Enhver kontrakt i det skraverte området i figur 7 vil være foretrukket av L-gruppen framfor punkt B. Dersom FS tilbyr en kontrakt langs den prikkete linjen til høyre for punkt B, vil det være rom for Pareto-forbedringer, siden H-gruppen har samme nytte (foretrekker å holde seg i punkt B) mens L-gruppen har høyere nytte langs denne linjen (foretrekker ny kontrakt). Kontrakten i punkt B er derfor ikke Pareto-effektiv. Er løsningen i punkt B i figur 7 stabil? Nei. Andre forsikringsselskap kan tenkes å prøve å stjele L-kunder dersom vi antar at det er flere aktører i forsikringsmarkedet og fri konkurranse mellom dem. I det skraverte området vil enhver tilbudt kontrakt blitt foretrukket av lavrisikogruppen ettersom de kommer på en høyere indifferenskurve, men ikke av høyrisikogruppen ettersom de vil komme dårligere ut. Når det så er andre forsikringsselskaper i markedet, kan de tilby lavrisikogruppen forsikringskontrakt i det skraverte området uten at de tiltrekker seg høyrisikogruppen. Det opprinnelige forsikringsselskapet vil da miste individer fra lavrisikogruppen, og sitte igjen med et flertall av høyrisikoindivider. Utvalget i forsikringsselskapet vil med andre ord være skeivt eller ugunstig, og situasjonen vil ikke være stabil for selskapet, fordi de hele tiden må øke prisen etter hvert som personer forsvinner fra punkt B. Det kan ende med at forsikringsselskapet eller hele markedet kollapser. Observer at MRS H < MRS L i pooling løsning i punkt B i figuren. Sammenligner vi pooling-løsningen med fullforsikringsløsningen ved full informasjon ser vi at L-gruppen kommer dårligere ut og H-gruppen kommer bedre ut. Poolingløsningen tjener altså H-gruppen. Dersom det er slik at H-gruppen er svakere stilt enn L-gruppen, for eksempel ved at de er mer utsatt for sykdom og arbeidsledighet, har vi altså et innebygdt omfordelingselement i pooling-løsningen. Pooling-løsningen kan implementeres ved å gjøre forsikringen obligatorisk for alle Separasjonsløsning Ved full informasjon vil begge velge fullforsikring i henholdsvis C L og C H, se figur 7. C L gir høyere inntekt i begge periodene enn C H. Dersom vi ikke har full informasjon vil høyrisikogruppen prøve å utgi seg for å være i lavrisikogruppen siden lavrisikogruppen betaler en lavere forsikringspremie for samme type kontrakt. Løsningen på dette problemet kan være at forsikringsselskapet tilbyr to kontrakter, som er slik at lavrisikogruppen velger den kontrakten som er myntet på lavrisikogruppen, mens høyrisikogruppen frivillig velger den kontrakten som er laget for denne gruppen. Kontraktene er altså laget på en slik måte at gruppene separerer seg og velger hver sin kontrakt. Hvordan klarer forsikringsselskapet å få laget denne typen kontrakter? 17

18 Figur 7: Forsikring. Asymmetrisk informasjon Separasjonsløsningen er vist i figur 7. Forsikringsselskapet tilbyr to kontrakter, full forsikring til H-gruppen og en forsikring til L-gruppen som ligger til høyre for punkt E (for da vil ikke H-gruppen utgi seg for å være i L-gruppen). Dersom forsikringsselskapet tilbyr individene en kontrakt mellom punkt A og punkt E, vil kontrakten være separerende. Høyrisikogruppen vil ha insentiv til å avsløre sin sannsynlighet for skade da fordi de vil komme bedre ut med fullforsikring med kjent skadesannsynlighet (C H ). Tilbyr forsikringsselskapet en kontrakt til lavrisikogruppen mellom punkt E og C L vil høyrisikogruppen få insentiv til å rapportere lavere sannsynlighet for skade. Da vil ikke selskapet klare å skille mellom risikogruppene. Taperne ved separasjonsløsningen er lavrisikogruppen som nå ikke får tilbudt fullforsikring. De blir tilbudt en delforsikring på en langt lavere indifferenskurve enn ved fullforsikring. Løsningen er heller ikke effektiv eller optimalt tilpasset ettersom helningen til break-even linjen ikke tangerer med helningen til indifferenskurvene. Vi har ikke Pareto-effektivitet i markedet. FS tilbyr dyr fullforsikring (C H ) og billig del-forsikring (til høyre for E). Dette gir separasjon av de to gruppene. Er denne løsningen stabil? L-gruppen kommer dårlig ut i separasjonsløsningen siden kompensasjonsbeløpet ved skade/tap blir svært lavt. L-gruppen vil da søke mot et annet forsikringsselskap som kan gi dem bedre vilkår, men problemet da er at H-gruppen vil utgi seg for å være L-gruppen hos det nye forsikringsselskapet. Ikke bare er separasjonsløsningen ineffektiv i forhold til first-best, den er også ustabil, og en kan risikere at markedet for forsikring dør ut. 18

19 9.2 Moralsk hasard Vi har to typer moralsk hasard. Den ene går ut på at forsikringstaker kan påvirke p i (sannsynligheten for skade). Dette kaller vi ex ante moralsk hasard. Den andre går ut på at forsikringstaker kan påvirke L (bryr deg ikke om hvor mye det koster å reparere skaden ved). Dette kaller vi ex post moralsk hasard. Moralsk hasard vil oppstå bare dersom MR > MC av å endre adferd. Vi ser på et eksempel hvor vi begynner med tilfellet med full informasjon. a være privat kostnad ved å redusere sannsynligheten for skade, p (a) < 0. Hva er fordelen og hva er ulempen ved å påføre seg selv kostnaden a? Går fra å være H til L. Lavere forventet inntekt uten forsikring. Lavere premie. I mange modeller blir a kalt effort (e), og nyttefunksjonen uttrykkes som U = y 0,5 a. Moralsk hasard er vist i figur 8. Punkt C gir høyere nytte enn B, og det lønner seg dermed å redusere Figur 8: Moralsk hasard La sin skadesannsynlighet (har ikke tegnet inn indifferenskurvene). Hvordan blir det med asymmetrisk informasjon? (FS observer ikke a). Forsikringstaker vil velge kontrakt C uten å betale a. Forsikringstaker vil da havne i D. Velge kontrakt C uten å betale a er moralsk hasard. 9.3 Regneoppgave: Rothschild & Stiglitz modell Et usikkert prosjekt gir en avkastning på 2500 dersom det går dårlig og 8000 dersom det går bra. Nyttefunksjonen for personene er gitt ved U(y) = 2 + y 0,3, hvor y er 19

20 avkastningen fra prosjektet. Vi har to personer. Den ene personen tilhører H-gruppen og har en sannsynligheten for prosjektsuksess på 40 prosent. Den andre personen tilhører L-gruppen og har en sannsynligheten for suksess på 60 prosent. a) Er nyttefunksjonen forenlig med risikoaversjon? Hvordan ser indifferenskurvene ut? b) Hva blir forsikringspremien med aktuarisk nøytral premie for de to gruppene? c) Forklar hva vi mener med sikkerhetsekvivalens og risikopremie. Finn disse basert på talleksempelet. d) Hva er summen av nytten med og uten aktuarisk nøytral forsikring? Hva er overskuddet (målt i nyttetermer) som følge av forsikring? Hva blir konsumentoverskuddet målt i kroner (hint: sum av V )? e) Anta at forsikringsselskapet ikke kjenner til hvilken gruppe personene tilhører, men baserer forsikringspremien på et gjennomsnitt. Hva blir summen av nytten med forsikring i dette tilfellet? f) Hva er variansen i de to enkeltprosjektene? Hva blir summen av enkeltvariansene? g) De to personene fusjonerer og danner et AS. Hva blir variansen til de to prosjektene sammenslått? 10 Sosialforsikring Sosialforsikring som respons på problemet med ugunstig utvalg og andre problem. Obligatorisk medlemskap (pooling er mulig). Kontraktene er uklare (kan endres). Ikke basert på aktuarisk nøytral forsikringspremie, men skattesystemet. L-gruppen vil subsidiere H-gruppen ved pooling. Ineffektivt i Pareto-forstand, men bedre enn ingenting. Vi har følgende typer sosialforsikring: Arbeidsledighetstrygd Sykepenger Attføringspenger uføretrygd Baserer seg på innbetalinger til folketrygden ( forsikringspremie ). Andre viktige forsikringsordninger er Universelle ordninger, Grunnstønad (uføretrygd, attføringspenger, etc) Barnetrygd, Helse, Sosialhjelp. Har ikke som mål å etterligne et privat forsikringsmarked. 20

21 10.1 Arbeidsledighetstrygd Arbeidsledighetstrygd er i de aller fleste land organisert og finansiert av det offentlige. Kunne arbeidsledighetsforsikringen vært privat? For å svare på det spørsmålet må vi undersøke om vilkårene for privat forsikring er oppfylt. Problem som oppstår i arbeidsledighetstrygden er for det første at sannsynlighetene for å bli arbeidsledig (p i ) ikke er fullstendig uavhengige av hverandre. Det er altså et element av systematisk risiko i form av konjunktursvingninger. For det andre er det også slik at noen grupper (lavrisikogruppen) ikke vil forsikre seg dersom vi har informasjonsproblem og forsikringspremien beregnes ut fra en gjennomsnittlig sannsynlighet for arbeidsledighet. Jeg som statsansatt har svært liten sannsynlighet for å miste jobben, og ville derfor ikke tegne arbeidsledighetsforsikring dersom dette var frivillig. Vi får altså et problem med ugunstig utvalg. For det tredje vil p i være påvirkbar, noe som leder til problemer med moralsk hasard. Et mottrekk mot moralsk hasard kan være å innføre en egenandel, dvs C < L eller karensdag, og gjøre ytelsen tidsbegrenset Sykepenger Er forutsetningene for first-best forsikring oppfylt? Er moralsk hasard et problem? Med fast lønn: syk, jobb eller arbeidsledig? Korttidsfraværet kan ha innslag av moralsk hasard ved at noen som strengt tatt ikke er syke likevel melder seg syk noen dager. Det viser seg likevel at moralsk hasard i sykefraværet er et relativt lite problem. Det er først og fremst langtidssykefraværet som utgjør en belastende del på offentlige budsjetter. En har privat sykeforsikring i mange land. Men det viser seg at administrasjonskostnader er høye ved privat sykeforsikring. Det er altså skalafordeler som gjør at det er fornuftig at sykepengeordningen er offentlige. 11 Tilpasning med uendelig mange forsikringstakere Full informasjon Vi tar utgangspunkt i Figur 9 under, som er basert på Einav and Finkelstein (2011) Selection in Insurance Markets. Maksimal betalingsvillighet for forsikring ved mange forskjellige typer (p er kontinuerlig) er gitt ved y 2 y = y 2 E(y) + V = r + V. Betalingsvilligheten er høyere for H-gruppen enn L-gruppen fordi sannsynligheten for tap er større for H. Dermed blir den forventa kostnaden større (forventa kostnad = y 2 E(y)) for H-gruppen. Etterspørselskurven er gitt ved betalingsvillighet (D). I dette tilfellet er det kun en type kontrakt som blir tilbudt, som en kjøper eller ikke 21

22 kjøper. Denne kontrakten kan f.eks. være C = L, dvs at alle blir tilbudt fullforsikring. Dersom prisen er svært høy vil ingen kjøpe forsikring. Er prisen tilstrekkelig lav vil alle kjøpe forsikring. First-best (effektiv) forsikring, hvor vi antar at forsikringsselskapet har full informasjon, er slik at alle kjøper forsikring. Prisen er r i = p i L (= MC i for forsikringsselskapet), dvs. prisen varierer for hver person (perfekt prisdiskriminering basert på kostnader for forsikringsselskapet). Ved full informasjon finnes prisen på MC-kurven, som alltid vil ligge under etterspørselskurven pga risikoaversjon. Vi antar altså at forsikringsselskapet priser etter kostnader og ikke etter betalingsvillighet. Det Figur 9: Etterspørsel etter forsikring og kostnadskurver. samfunnsøkonomiske overskuddet ved forsikring er gitt ved arealet mellom D-kurven og MC-kurven, som i dette tilfellet er konsumentoverskuddet. Konsumentoverskuddet er forskjellen på det forsikringstakerne er villig til å betale (D) og det de faktisk må betale (M C). Produsentoverskuddet er null i dette tilfellet, siden forsikringsselskapet bare får dekt kostnadene sine. Dersom forsikringsselskapet priser etter betalingsvillighet vil alt overskudd ved forsikring gå til forsikringsselskapet, og arealet mellom D-kurven og MC-kurven blir produsentoverskudd. 22

23 Asymmetrisk informasjon Ved asymmetrisk informasjon kjenner ikke forsikringsselskapet de enkelte p i -ene. Forsikringsselskapene må da operere med en gjennomsnittlig pris/premie ( r) for hele markedet. FS må dekke sine kostnader (AC) og priser slik at pris = AC se Figur 9. Vi har da at r = pl, som er en fast pris som gjelder for alle. Noen kjøper ikke forsikring (Q max Q eqm ), dvs de som er til høyre for der hvor r krysser etterspørselskurven har ikke tilstrekkelig betalingsvillighet. Dette representerer et samfunnsøkonomisk tap siden betalingsvilligheten er større enn MC (men mindre enn AC). Tapet er gitt ved tapt risikopremie ( V i ) blant de som ikke kjøper forsikring. Det er viktig å presisere at det kun er en type forsikringskontrakt som blir tilbudt i dette tilfellet. Personer kan med andre ord ikke velge kompensasjonsbeløpet, men har kun ett kompensasjonsbeløp (C) å forholde seg til. Det eneste forsikringstakere må beslutte er om de vil kjøpe forsikringen eller ikke. Poolingløsningen ved asymmetrisk informasjon er vanligvis stabil, dvs at det er et gitt antall personer som vil kjøpe forsikring, og at det kan være noen med lav p som ikke kjøper forsikring. Markedet vil vanligvis ikke bryte sammen ved asymmetrisk informasjon, slik det kan gjøre når C kan variere, men det forutsettes her at C er gitt. Dersom C kan varierer kan noen forsikringsselskap designe forsikringskontrakter som tiltrekker seg lav-risiko-kunder, noe som kan gi en negativ spiral hvor markedet tilslutt bryter sammen. Når forsikringsselskapet bestemmer r tar de hensyn til hvem som vil kjøpe forsikring til ulike priser. Forsikringsselskapet kjenner altså etterspørselskurven, og vet hvem som vil kjøpe forsikring til ulike priser, men de kjenner ikke hvem som har de ulike p i -ene. Prisen er altså r = pl for den gruppen som vil kjøpe forsikring, dvs. for de med y 2 y r. Prisen bestemmes der hvor AC-kurven krysser D-kurven. Forsikringsselskapet vil gå med overskudd dersom de setter en høyere pris, og med underskudd dersom de setter en lavere pris. Politikk En mulighet er å subsidiere forsikring slik at AC < D. Det sikrer at alle kjøper forsikring, men det er ikke FB. En kan også tvinge alle til å kjøpe forsikring til AC. Administrative kostnader (loading factor) kan føre til at forsikring til alle ikke er optimalt selv ved full informasjon. Da kan betalingsvilligheten være mindre enn MC + factor loading. Kan pooling-løsningen noen gang være FB? Ja, dersom MC kurven er flat (og dermed lik AC-kurven), dvs folk kjenner ikke sin egen p. Det kan også hende at 23

24 MC-kurven er stigende. 24

25 Tabell 1: Notasjon. Variabel Forelesning Lærebok Gr & Re Ro & St Inntekt (uten skade) y 2 y 2 y W 1 (W) Inntekt (med skade) y 1 y 1 y - L W 2 (W-d) Skadesannsynlighet p p π 2 p Premie pr enhet (rate) p(1+a) p(1+a) p Bruttopremie r=p(1+a)c π pq α 1 Aktuarisk premie (a=0) r = pc pc π 2 q pd Nettopremie φ φ=π-pc Skadebeløp L L L d Utbetalingsbeløp C q ˆα 2 Nettoutbetaling FS C-r α 2 = ˆα 2 α 1 Andel lavriskotyper θ θ λ 1 λ Sikkerhetsekvivalens y y y c Risikopremie V V r Kostnad (MH) a a 1 Forventet nytte E(U) E(U) V ˆV Profitt FS π π Innt med fullforsikring y 2 -pl y 2 -πl y-pq W 1 α 1 25

26 Tabell 2: Notasjon. Variabel Forelesning Lærebok Gr & Re Ro & St Sny & Nicho Inntekt (uten skade) y 2 y 2 y W 1 (W) W 0 Inntekt (med skade) y 1 y 1 y - L W 2 (W-d) W 0 l Skadesannsynlighet p p π 2 p π Premie pr enhet (rate) p(1+a) p(1+a) p p Bruttopremie r=p(1+a)c π pq α 1 Aktuarisk premie (a=0) r = pc pc π 2 q pd πx Nettopremie φ φ=π-pc Skadebeløp L L L d l Utbetalingsbeløp C q ˆα 2 x Nettoutbetaling FS C-r α 2 = ˆα 2 α 1 l p Andel lavriskotyper θ θ λ 1 λ Sikkerhetsekvivalens y y y c CE Risikopremie V V r Kostnad (MH) a a 1 Forventet nytte E(U) E(U) V ˆV Profitt FS π π Innt med fullforsikring y 2 -pl y 2 -πl y-pq W 1 α 1 26