Oppgavesamling for TKP4100 Strømning og varmetransport. Hallvard F. Svendsen Institutt for kjemisk prosessteknologi

Transkript

1 TKP400 Strømning og varmetransport Oppgavesamling for TKP400 Strømning og varmetransport Hallvard F. Svendsen Institutt for kjemisk prosessteknologi Versjon: Trondheim.0.

2 TKP400 Strømning og varmetransport Oppgave Pumping av væske Vann med tetthet 000 kg/m skal pumpes fra et reservoar til et annet, slik som vist på figuren under. Pumpen du har til rådighet har en effekt på kw og en pumpevirkningsgrad på 75%. a) Hva er den største nivådifferans pumpen greier ved en væskelevering på kg/s (All friksjonsmotstand neglisjeres) b) Hvilken levering gir pumpen ved punkt når indre rørdiameter er 50 mm og nivådifferansen mellom punkt og punkt er 0 m. Ta med friksjonsmotstand i bend og innløp og utløp. Svar: a) h = 76.4 m b) q = m /s

3 TKP400 Strømning og varmetransport Løsningsforslag oppgave a) Velger en strømlinje fra punkt ) til punkt ) og setter opp Bernoullis ligning mellom dem p v p pumpe p v gz gz Vi har ikke noe friksjonstap. Som endepunktene for ligningen er valgt, blir p = p = p 0. Videre er diametrene i røret på de to stedene likt, slik at v = v. Med disse forenklingene blir ligningen: p pumpe gz gz g ( z z) Pumpeeffekten er (-Ps) 0.75 kw 750W Nå er gjennomstrømningen kg/s og tettheten 000 kg/m. Dette gir q = 0 - m /s. Videre p pumpe (-Ps) 750 J 750 q kg Innsatt gir dette: p pumpe ( z z ) 750 / m g b) Fremdeles er p = p = p 0 og v = v = 0. Antar. Har nå: q v hvor q er gjennomstrømningen i m /s. (0.05/ ) Dp pumpe Dp f Setter inn i Bernoullis lign. gz+ = gz+ r r Vi har en kontraksjon inn i rør fra reservoir, en ekspansjon ut i reservoir og to 90 o bend. Kontraksjonen gir 0.55 hastighetshøyder (lign..0-6 i G. med A uendelig stor), ekspansjonen gir hastighetshøyde (ligning.0-5 med A uendelig stor) og to 90 o bend gir.5 hastighetshøyder (fra tabell.0-). Til sammen,05 hastighetshøyder i friksjonstap. q ( ) (-Ps) p (0.05/ ) Dette gir: gz+ = gz+.05 q r Her er z - z = 0m og (-P s ) = 750W som før. q er da den eneste ukjente og dette blir en tredjegradsligning i q når det hele ganges med q. (Kan enkelt løses med ROOTS i Matlab): >> p = 750; >> ro = 000; >> a = pi*0.05^; >> format long >> g = 9.8; >> c = [.05/(a^*) 0 g*0 -p/ro]; >> roots(c) ans = i i Altså er q = m /s Nå er det kinetiske leddet, dvs v / leddet, ofte neglisjerbart. Neglisjeres dette løses ligningen direkte og gir q =.8 l/s

4 TKP400 Strømning og varmetransport 4 Oppgave Gitt et rørnett som vist i figuren under med angitte trykk, rørlengder og dimensjoner. Regn inkompressibel isoterm strømning og anta rør med ens rørkvalitet (overflateruhet), og horisontalt utlegg (dvs ingen høydevariasjoner). Anta glatte rør(drawn tubing). 90 o bend P = bara Totallengde 60m ID=0,05m P = 6 bara P = bara 00m 50m ID=0,05m ID=0,05m Estimer fordelingen av væskestrømmene ut ved punktene og (feks forholdet mellom dem). 0 kg / m s 000kg / m Svar: q /q = 0.46

5 TKP400 Strømning og varmetransport 5 Løsningsforslag oppgave P PT v vt F 0 P- PT v - vt + + F = 0 r Nå er v vt og v vt, P P P T og P T P T (neglisjerer trykktapet i T en) Dette betyr at F F P T F 4 f L D v 4 f 5D D Det siste leddet er fra Tabell.0- i Geankoplis, 90 o bend: 5 D = L v F 4 f D Setter og inn i og ordner: v 4 v v f f L D L 0.9D Hvis vi hadde kjent f og f ville dette nå ha vært løst, men dessverre., men hvis de er nesten like: v q D v Første rågjett: f f 0, 64 og 0, 6 v q D v Fullstendig: Ligning innsatt P PT L v 5 4 f 0 D Energiligning fra innløp til T 6 PT P L v vt 4 0 v f D P v T T PT v P T

6 TKP400 Strømning og varmetransport 6 Kontinuitet: r = konstant Av Av Av gir D v D v D v 4D v 4D v D v 7 v 4v v Innsatt kjente størrelser i 4, 5 og 6 v f 4 0,64 v f 5 P 5 T 0 50 v 4 f 000 0, PT 00 v 6 = 4 f 000 0,05 Nå er 4 7 fire ligninger med 4 ukjente hvis f ene var gitt. Kan lett reduseres til ligninger, 8 og 9. Diagrammet gir f f Re f v, D Eliminerer v og P T 8 8 f v 4 f v 4 v v f 9 0,64 v f Må derfor bruke en prøve feile metode. Enklest å tippe f ene da disse varierer ganske lite. For eksempel tipper f f f 0, 005 i) v og v beregnes fra 8 og 9 ii) vberegnes fra 7 iii) Re Re Re beregnes og nye, f f finnes fra diagrammet. Løsning f 0,007, f 0,008, f 0,00 q D v f = = 0, 5 0,64 = 0,46 q D v f En liten endring fra 0,6 som vi fant ved den første forenklede løsningen.

7 TKP400 Strømning og varmetransport 7 Oppgave Dieselolje (r= 850 kg/m og n = 4,6 0-6 m /s) pumpes fra en tanker til en lagertank ved atmosfæretrykk gjennom et 80 m langt stålrør av handelskvalitet. Volumstrømmen er l/s. Nivåforskjellen mellom lagertank og tanker er m(mellom væskenivåene). Pumpas leveringestrykk er 45 kpa. Hvilken rørdiameter er nødvendig. Ta bare hensyn til tap pga rørfriksjon (dvs neglisjer bend, ekspansjoner etc.). Svar: d = 0.0 m

8 TKP400 Strømning og varmetransport 8 Løsningsforslag oppgave r = 850 kg / m -6 n = 4,6 0 m / s, l / s 0,0m / s Pump discharge pressure = 45 kpa gage, dvs trykk ut over bar Med dette menes det at trykkøkningen fra pumpen er 45 kpa Bare tap pga rørfriksjon i 80 m rør. vd vd Re Q Har verken v eller D, men v= ): A Kan settes inn: 0,0 v D 4 4 0,0 0,0408 D D 4 0,0D 886 Re 6 4,6 0 D D eller 886 D ) Re v P DP p v P DP f Bernoullis lign.: + + zg + = + + zg + r r r r Med v = v og P = P gir dette: é Pf Pp rg( z z) én/ m ù kg m ù D =D - - = êë úû ,8 m êë m s úû 400N / m 4 f D P f P f L D v 80 4 f 850 D f , 9 0, D f f D = 5 = 5 ) Har D uttrykt ved Re og f ): to ligninger + ukjente, i tillegg er diagrammet ligning Må da begynne en prøve/feile iterativ prosedyre Stålrør av handelskvalitet har Ser at f varierer lite i forhold til Re 0,000045m. Trenger D for å beregne D Dessuten er D 5 f slik at variasjonen i f vil gjøre seg lite gjeldende:

9 TKP400 Strømning og varmetransport 9 Tipper f = 0,04. Dette gir: D 0,7 Re ,00085 D Fra diagram finnes da at f = 0,005 Neste iterasjon med f = 0,005 D 0,005m Re ,00044 D Fra diagram f = 0,005, dette er ok.

10 TKP400 Strømning og varmetransport 0 Oppgave 4 Hydrogen strømmer fra et reservoar med trykk,6 MN/m, gjennom et stålrør med ε/d = 0,00 til en reaktor med trykk,0 MN/m. Stålrøret er 500 m langt og har ID = 50 mm. Anta isoterme forhold og at temperaturen er 9 K. Hva blir massestrømmen? Neglisjer inn- og utløpstap fra røret. Viskositeten for hydrogen: μ H = 0, kg/m s Svar: G = 08 kg/m s

11 TKP400 Strømning og varmetransport Løsningsforslag 4 Bruker energiligningen. Integrert for isoterme forhold P M G ln P P P RT fg L 0 D NB: Vi har neglisjert potensiell energi. Her er P =,6 MN/m og P =,0 MN/m Vi må anta et Re-talls område og sjekke etterpå Antar Re>0 6 Dette gir fra Geankoplis diagram.0., med / D 0. 00: f =0,0046 G Innsatt fås: M P P fl ln P RT D P G 0kg / m s Sjekk G D Re 0 0,05 0, ( 0,009 0 kg / m s ) Altså litt lavere enn antatt 5 Ved Re 6 0 så er f = 0,0048 dette gir: G 08 kg / m s Re 6 0 5

12 TKP400 Strømning og varmetransport Oppgave 5 Luft med trykk P = 00 kpa og temperatur T = 500 K skal ekspanderes gjennom en dyse til et utløps Mach-tall på,5. Massestrømmen skal være kg/s. Beregn: a) Trangeste tverrsnitt i dysen b) Utløpstrykk, -temperatur, -hastighet og -areal. Anta isentropisk strømning og γ =,4 og M luft = 9. Svar : a) A c = m, b) P = 700 Pa, v = 747 m/s, A = 0.09 m

13 TKP400 Strømning og varmetransport Løsningsforslag 5 a) Beregner kritisk trykkforhold for å finne trykket i trangeste tverrsnitt : P = P c P c P w c 0,5 Energibalanse for friksjonsfri strømning v PV c w c,4 Kontinuitet vc Ac G' V c A c G' V v c c A c G' V c PV w c P V c w c PV Vc V c A c G' V wc PV w c RT V 0,77m / kg MP A c,8 0,4 A c 0,77 0,5 0, , 0 m 0,5 0.4 /.4 6,880 b) Isentropisk ekspansjon gjennom hele dysen til utløp, punkt vdv slik at også v kan finnes fra: VdP 0

14 TKP400 Strømning og varmetransport 4 P P PV v Lydhastigheten, en tilstandsvariabel, må beregnes ved betingelsene ved utløpet: M RT P V c Nå er : 5, c v dette gir: 5 6,,5 P P V P V P v Innsatt: 6,5 P P PV P P V P gir 0,444 6,5 6,5 P P Pa P P P 700, Temperatur: K T gass ideell T P V T PV isentropi P V PV Hastighet: s m P P PV v / 747 Areal: ' 09, 0 m v P P V G A m D 67 0.

15 TKP400 Strømning og varmetransport 5 Oppgave 6 Trykkfall gjennom porøst medium Et absorpsjonstårn med diameter,0 m er fyllt med tilfeldig pakkede Raschigringer. Pakningstettheten er 5790 ringer/m og pakningshøyden er 8 m. Inn på tårnet strømmer rent oksygen: q = 0000 m /h ved trykk på bar og temperatur 98 K. a) Beregn porøsiteten i pakningen b) Beregn formfaktoren for Raschigringene og sammenlign med tabell.- c) Finn trykkfallet over hele pakningen Data: Raschig ringer: Lengde 50,8 mm, ytre diameter 50,8 mm og veggtykkelse 6,5 mm Viskositet oksygen :,0 0-5 kg/m s Anta isoterm strømning gjennom tårnet og konstant gasshastighet (mao neglisjer gassutvidelsen). Svar: a) e = 0.74, b) F = 0.8, c) Dp = 45 Pa

16 TKP400 Strømning og varmetransport 6 Løsningsforslag 6 Må først finne porøsiteten til pakningen: Indre diameter D I = 50,8 6,5 50,8,7 8, mm Volum av gods i en partikkel: p ( ) ( ) vp = 50,8-8, 0 50,8 0 = 4,5 0 4 Med 5790 ringer pr. m blir volumet av gods pr m : 5 m gods 4, ,6 m Porøsitet er da: 0,6 0, 74 6V p Formfaktor: f = ds p p d p er diameteren til en kule med samme godsvolum som partikkelen og S p er partikkelens virkelige overflate : 5 d p 4,5 0 d p 0,044m S p 50,8 50,8 8, 0 50,8 8, 0,6 0 m 4 PM ,5 0 0,8 Gassens tetthet: RT ,044,6 0,9kg / m Hastigheten basert på tomt tårn, dvs tilsynelatende(superficial) hastighet: 0000 v S 0,884m / s Trykkfall over hele pakningen m p p p 50 vs L d p,75 L v 67,59 45Pa d ,884,0 0 8,0 0,8 0,044 0,79 8,0,5878 p S 0,607,75,9 0,884 0,607 0,8 0,044 0,79

17 TKP400 Strømning og varmetransport 7 Oppgave 7 Pitot-rør Gass med midlere molvekt 8 strømmer i en rørledning. Et Pitotrør er stukket inn, og trykkdifferansen mellom de to punktene på Pitotrøret måles med et u-rørsmanometer med væske med tetthet 850 kg/m som skillemedium. I et målepunkt måles høydeforskjellen til 9,6 mm. Gassens temperatur er 0 o C og det er bar totaltrykk. Beregn gasshastigheten i dette punktet basert på a) ligningen for inkompressibelt fluid, og b) med basis i en isentropisk tilstandsendring. g =.5. Svar : a) v =,7 m/s, b) v =,68 m/s

18 TKP400 Strømning og varmetransport 8 Løsningsforslag 7 Trykkforskjellen som u-rørsmanometeret måler er: g h 850 9,8 0, 096 = 47 Pa (Gassens tetthet er neglisjert) v g g PM RT ,88kg / m 84 8 Inkompressibelt 47 u,7m / s 0,88 Isentropisk: 0,5, 5, u 00000,68m / s 0,5 0,

19 TKP400 Strømning og varmetransport 9 Oppgave 8 Måleblende Man skal måle gjennomstrømningen av vann i et " (5mm ID) rør og har til rådighet en blende med hulldiameter 4 mm. Maksimal-leveringen er 0,6 l/s. Beregn trykkfallet over blenden ved denne leveringen og ved levering 0, l/s. Data : ρ = 000 kg/m, μ = 0.00 kg/ms Svar : Dp = 8400 Pa og Dp = 000 Pa

20 TKP400 Strømning og varmetransport 0 Løsningsforslag 8 Gjennomstrømningen i en blende er ifølge lign..-0 i Geankoplis p A A A C p A A C A v A G / ' Løst mhp p : ' C A A A G p Nå er 5 4 / 0 D D dvs 4 0, 0 0 D D A A Hvis Re-tallet i blendeåpningen er > 0000 kan C 0 settes til 0,6. Nå er ' 4 4 Re 0 0 ' 0 0 ' G D D G A D G D v Får da for de to strømmene: tettheten er 000kg/m = kg/l q = 0,6 l/s : G' = 0,6 kg/s q = 0, l/s, G' = 0, kg/s Re = Re = 8000 Dp = 8400 Pa Dp = 000 Pa I det siste tilfellet er ikke Re > 0000, men ikke langt unna slik at det er ok. Ser her typisk måleområde for en blende. Man greier gjerne å måle endringer i trykkdifferanser i forhold :0, dvs minste målbare trykkdifferans er ca. /0 av største målbare trykkdifferans (med rimelig nøyaktighet). Dere ser at dette tilsvarer et forhold i strømningsratene på bare : : / ' ' G G 9 / p p Altså har blender et ganske snevert måleområde. Det samme gjelder for dyser.

21 TKP400 Strømning og varmetransport Oppgave 9 Varmetransport Huset ditt har en sokkel med veggkonstruksjon som vist på figuren: Mur 0, m Glava 0, m Plate 0,0 m T = -0 o C T T T 4 = 5 o C k =,0 W/mK k =,0 W/mK k = 0,08 W/mK Hva blir varmetapet (i W) når du har 50 m yttervegg og temperaturforholdene er som angitt på figuren. Svar: Q = 707 W

22 TKP400 Strømning og varmetransport Løsningsforslag oppgave 9 Under stasjonære forhold er det ingen akkumulering noe sted og da vi har plan geomtri vil varmefluksen gjennom hvert lag være den samme: 4 T T A x k T T A x k T T A x k q Løser mhp T ene og legger sammen Løser så mhp q igjen og får: W q T T k x k x k x A q ,08 0,0 0,05 0, 0, 50 4

23 TKP400 Strømning og varmetransport Oppgave 0 Konduksjon i rør og varmeoverføring r r r h h T 0 T 4 T T T I figuren over er gitt tverrsnitt av et rør (grønt) med isolasjon rundt (blått). Temperaturene på grensene mellom sjiktene er gitt som T, T og T, og de respektive radier er gitt som r =,5mm, r = 5mm og r = 0mm. Varmeledningsevnen i det grønne sjiktet er k stål = 50 W/mK, mens den blå isolasjonen har ledningsevne k isolasjon = 0.05 W/mK. a) Beregn varmetapet fra røret pr. m rørlengde når i dette tilfellet T = 45 o C og T = 0 o C. b) Beregn varmegjennomgangstallet for rørvegg pluss isolasjon henført til indre røroverflate, radius r. c) Varmeovergangstallet på innsiden av røret er h = 5000 W/m K og på utsiden h = 50 W/m K. Beregn nå det totale varmegjennomgangstallet inklusive de to varmeovergangsmotstander og henfør det til ytre overflate, radius r. d) Hva er nå de mellomliggende temperaturer T, T og T og hvor finner vi den største motstanden mot varmetransport? I dette tilfellet er T 0 = 45 o C og T 4 = 0 o C.

24 TKP400 Strømning og varmetransport 4 Løsningsforslag oppgave 0 a) Her har vi to lag med fast stoff i serie. Det må være den samme varmestrømmen, pr m rørlengde, som går gjennom hvert av dem. For det innerste laget gir ligning 4.-8 varmestrømmen: pl QW ( ) = kstål ( T- T) () ln ( r/ r) Vi kan sette opptilsvarende ligning for det ytterste laget: pl QW ( ) = kisolasjon ( T- T) () ln ( r/ r) Varmestrømmen må være den samme og positiv retning er satt med fallende temperatur. Ligningene løses mhp temperaturdifferansene: ln ( / ) ( T r r - T ) = Q k stål p L ln ( r/ r) ( T- T) = Q k isolasjon p L Ligningene legges sammen og vi får: ln ( r / r) ln ( r/ r) ( T- T) = Q= ( + ) kstål pl kisolasjon pl Så løses ligningen mhp Q: pl Q= ( T-T) () ln ( r / r) ln ( r/ r) + k k stål isolasjon Denne ligningen er helt grei når det gjelder å beregne varmetapet og innsatt får vi: p Q= (45-0) = 5,W ln( 5 /,5) ln( 0 /5) , 05 b) Ofte ønsker man å skrive ligningen for varmestrømmen på formen: Q= A U ( T- T) Her er A et areal som vi refererer eller henfører varmestrømsberegningen til. Varmegjennomgangstallet U må da også være henført til samme flate. Det er imidlertid likegyldig hvilken flate vi velger å henføre beregningen til. I oppgaven står det at vi skal velge indre flate, altså svarende til r.: Q= A U ( T- T) (4) Nå er A= pr L, og fra () fås: plr Q= ( T- T) = A ( T-T) (5) r ln ( r / r) r ln ( r/ r) r ln ( r / r) r ln ( r/ r) + + k k k k stål isolasjon stål isolasjon Nå har vi fått ligningen på samme form som (4) og vi ser at varmegjennomgangstallet henført

25 TKP400 Strømning og varmetransport 5 til indre flate er: U = r ln ( r / r) r ln ( r/ r) + kstål kisolasjon Innsatt tallverdier: U = = 5,77 W / m K 0,05 ln( 5 /,5) 0,05 ln( 0 /5) ,05 c) For en varmeovergang fra et fluid til en fast flate (eller annet fluid) kan vi skrive: Q= Aflate hflate ( Tfluid, bulk - Tflate) Her kalles h et varmeovergangstall eller en varmeoverføringskoeffisient. F.eks. på den indre flaten: Q= A h ( T0- T) Setter vi nå opp ligningene for de to lagene pluss den ytre flaten i tillegg og løser alle mhp temperaturdifferansene fås: ( T0- T) = Q A h ln ( / ) ( T r r - T ) = Q k stål p L ln ( / ) ( T r r - T ) = Q k isolasjon p L ( T- T4) = Q A h Igjen kan alle ligningene legges sammen og vi får når vi har løst mhp Q: Q= ( T-T) ln ( r/ r) ln ( r/ r) A h k pl k pl A h stål isolasjon Nå skal vi henføre det totale varmegjennomgangstallet U til ytre flate denne gangen: Q= A ( T-T) r ln ( r / r) r ln ( r/ r) ( r/ r) h kstål kisolasjon h Og U = som innsatt tallverdier gir: r ln ( r/ r) r ln ( r/ r) ( r/ r) h kstål kisolasjon h U = =, 9 W / m K 0,0 ln( 5 /,5) 0,0 ln( 0 /5) (,5 / 0) ,05 50 d) For å finne de mellomliggende temperaturene må Q beregnes:

26 TKP400 Strømning og varmetransport 6 Q= A U ( T0- T4) = pl r U ( T0- T4) = p 0,0,9 (45-0) = 49,6W og: T= T0- Q = 45-49,6 /(p 0, ) = 44,87 o C A h ln ( r / r) ln(5 /,5) o T = T - Q 44,87 49, 6 44,84 C kstål pl = - 50 p = ln ( r/ r) ln(0 /5) o T = T - Q 44,84 49, 6 5,5 C kisolasjon pl = p = Vi ser jo klart at det største temperaturspranget har vi i isolasjonen, som forventet selvsagt, med ca 09 o C. Så dette er den største motstanden. Temperaturfallet mellom yttervegg og utetemperatur er ca 5,5 o C og varmeovergangen her utgjør den nest største motstanden. Motstandene på innsiden og i veggen er så godt som neglisjerbare.

27 TKP400 Strømning og varmetransport 7 Oppgave Varmetransport Et rør som transporterer vann har indre diameter 5mm og lengde m. Overflatetemperaturen på innsiden av røret er konstant lik 5 o C. a) Et sted i røret er bulktemperaturen på vannet 85 o C. Skriv et lite Matlabprogram som beregner og plotter varmeovergangstallet som funksjon av væskehastigheten i området v = 0.00m/s til v = 0.m/s. I overgangsområdet mellom laminær og turbulent strømning sett varmeovergangstallet til 0. Bruk data fra appendix A i Geankoplis for fysikalske parametre. Formlene som skal brukes er ligning for laminær strømning (Re < 00) med d/l > 0. For d/l < 0 skal brukes: ( d/ L) Re Pr Nu = [( d/ L) Re Pr] / For turbulent strømning skal ligning i Geankoplis brukes. De fysikalske parametrene skal beregnes ved bulktemperaturen for alle korrelasjonene. b) Røret forlenges til 0m. Veggtemperaturen er den samme og innløpstemperaturen på vannet er 85 o C. Hva blir utløpstemperaturen på vannet. Varmeovergangstallet beregnes for midlere bulktemperatur i røret, dvs middel mellom inn- og utgående temperatur.

28 TKP400 Strømning og varmetransport 8 Løsningsforslag oppgave Hovedprogram: % Oppgave % Beregning av varmeovergangstall i rørstrømning % data for vann fra Geankoplis appendix A tilpasset til polynomer %************************************************************************** clear all Tcp = [ ]; cpvek= [ ]; % J/kg K pcp = polyfit(tcp,cpvek,4); % Tcpfit = [0::00]; % cpfit = polyval(pcp,tcpfit); % plot(tcp,cpvek,'*') % hold on % plot(tcpfit,cpfit,'b') % hold off Tk = [ ]; kvek= [ ]; % W/mK pk = polyfit(tk,kvek,); % Tkfit= [0::7]; % kfit = polyval(pk,tkfit); % plot(tk,kvek) % hold on % plot(tkfit,kfit,'b') % hold off Trho = [ ]; rhovek = [ ]*000; % kg/m prho = polyfit(trho,rhovek,); % Trhofit = [0::00]; % rhofit = polyval(prho,trhofit); % plot(trho,rhovek,'*') % hold on % plot(trhofit,rhofit,'b') % hold off Tmy = [0:: ::00]; myvek = [ ]*e-; % kg/m s pmy = polyfit(tmy,myvek,4); % Tmyfit = [0::00]; % myfit = polyval(pmy,tmyfit); % plot(tmy,myvek,'*') % hold on % plot(tmyfit,myfit,'b') % hold off %**************************************************************************

29 TKP400 Strømning og varmetransport 9 % Beregninger: % a) Tb = 85; Tw = 5; d = 0.05; % m L = ; % m v = [0.00:0.00:0.]; % fysikalske parametre ved bulktemperatur, og veggtemp.: cp = polyval(pcp,tb); k = polyval(pk,tb); rho = polyval(prho,tb); myb = polyval(pmy,tb); myw = polyval(pmy,tw); Re = rho.*v.*d./myb; Pr = cp.*myb./k; for i=:length(v) if Re(i)<00 % Laminær Nu(i) =.86*(Re(i).*Pr.*(d/L)).^(/).*(myb./myw).^0.4; if (Re(i).*Pr.*(d/L))<0 BB = (Re(i).*Pr.*(d/L)); Nu(i) =.66+(0.0668*BB/(+0.04*BB^(/))); % Se Hausen H. VDI Z. no. 4, p 9, 94 end elseif Re(i)>6000 % Turbulent Nu(i) = 0.07*Re(i).^0.8*Pr.^(/).*(myb./myw).^0.4; if Pr>9000 disp('pr out of range',pr) end if Pr<0.7 disp('pr out of range',pr) end else %disp('overgangsområde') Nu(i)= 0; end end h = Nu.*k./d; plot(v,h,'r*') xlabel('hastighet, m/s') ylabel('varmeovergangstall, W/mK') % b) Beregning med hensyn til varmetap % Varmeovergangstallet skal da beregnes med basis i midlere temperatur i % røret. (Tinn+Tut)/ % Blir en iterativ beregning der første tipp på utgangstemperaturen settes % mellom inngangstemperaturen og veggtemperaturen. % Temperaturen på veggen er konstant slik at logaritmisk midlere temp. diff. kan brukes: % Q = A*h*dTlm = mprikk*cp*(tinn - Tut) % Beregner først Tut: Tinn = 85;

30 TKP400 Strømning og varmetransport 0 Tw = 5; v = 0.0; L = 00; Ttipp = 60; param = struct('pcp',pcp,'prho',prho,'pk',pk,'pmy',pmy,'tinn',tinn,'tw',tw,'v',v,'d',d,'l',l) Tut = fsolve(@varmeover,ttipp,optimset('fsolve'),param); % Sjekk av varmebalansene % Først må middeltemperaturen beregnes Tmid = (Tinn -Tut)/; cp = polyval(pcp,tmid); k = polyval(pk,tmid); rho = polyval(prho,tmid); myb = polyval(pmy,tmid); myw = polyval(pmy,tw); Re = rho*v*d/myb; Pr = cp*myb/k; if Re<00 % Laminær BB = Re.*Pr.*(d/L); Nu =.86*(BB).^(/).*(myb./myw).^0.4; if BB<0 Nu =.66+(0.0668*BB/(+0.04*BB^(/))); % Se Hausen H. VDI Z. no. 4, p 9, 94 end elseif Re>6000 % Turbulent Nu = 0.07*Re.^0.8*Pr.^(/).*(myb./myw).^0.4; if Pr>9000 disp('pr out of range',pr) end if Pr<0.7 disp('pr out of range',pr) end else disp('overgangsområde') Nu= 0; end h = Nu.*k./d; A = d*pi*l; mprikk= (pi*d^/4)*v*rho; dtlm= ((Tinn-Tw)-(Tut-Tw))/log((Tinn-Tw)/(Tut-Tw)); Qoverf = A*h*dTlm; Qavgitt = mprikk*cp*(tinn-tut); display = struct('temperatur_ut_c',tut,'reynolds_tall',re,'varmeovergangstall_w_mk',h,'varme_overført_w',qoverf); disp(display) Funksjonen varmeover som kalles i fsolve: % Funksjon for beregning av midlere varmeovergangstall og tapt varme function resid=varmeover(t,param) %Tilordner for å definere lokale variable d = param.d; L = param.l;

31 TKP400 Strømning og varmetransport Tinn= param.tinn; Tw = param.tw; v = param.v; pcp = param.pcp; prho= param.prho; pk = param.pk; pmy = param.pmy; % Først må middeltemperaturen beregnes Tmid = (Tinn -T)/; cp = polyval(pcp,tmid); k = polyval(pk,tmid); rho = polyval(prho,tmid); myb = polyval(pmy,tmid); myw = polyval(pmy,tw); Re = rho*v*d/myb; Pr = cp*myb/k; if Re<00 % Laminær Nu =.86*(Re.*Pr.*(d/L)).^(/).*(myb./myw).^0.4; if (Re.*Pr.*(d/L))<0 BB = Re.*Pr.*(d/L); Nu =.66+(0.0668*BB/(+0.04*BB^(/))); % Se Hausen H. VDI Z. no. 4, p 9, 94 end elseif Re>6000 % Turbulent Nu = 0.07*Re.^0.8*Pr.^(/).*(myb./myw).^0.4; if Pr>9000 disp('pr out of range',pr) end if Pr<0.7 disp('pr out of range',pr) end else disp('overgangsområde') Nu= 0; end h = Nu.*k./d; A = d*pi*l; mprikk= (pi*d^/4)*v*rho; dtlm= ((Tinn-Tw)-(T-Tw))/log((Tinn-Tw)/(T-Tw)); Qoverf = A*h*dTlm; Qavgitt = mprikk*cp*(tinn-t); resid = (Qoverf-Qavgitt);

32 TKP400 Strømning og varmetransport Oppgave Varmetransport Olje brukes som kjølemedium i kompressorer. Oljen kjøles igjen med kaldt vann i en varmeveksler. Inn på varmeveksleren har oljen en temperatur på 90 o C og ønskes kjølt til 50 o C. Kaldvannet har en inngangstemperatur på 0 o C. Oljestrømmen er l/s og vannstrømmen er 0.7 l/s. Cp olje =. kj/kgk, r olje = 850 kg/m, Cp vann = 4. kj/kgk r vann = 000 kg/m Med motstrømsdrift, hva blir vanntemperaturen ut og logaritmisk midlere temperaturdifferans? Svar: T Vut = 4. o C, DT lm = 47.4 o C

33 TKP400 Strømning og varmetransport Løsningsforslag oppgave a) En total varmebalanse gir: Varme overført = varme avgitt = varme opptatt q, 0 T c 4, C , 0, T 0 b) Med definisjonen på logaritmisk midlere temperaturdifferans: ( 90-4,) -( 50-0) D Tlm = = 47,4 C æ90 4,ö ln - ç çè 50-0 ø c

34 TKP400 Strømning og varmetransport 4 Oppgave De skipene som skal frakte LNG fra Snøhvitanlegget på Melkøya utenfor Hammerfest og til markedene er utstyrt med såkalte kuletanker for oppbevaring av LNG en. Dette er sfæriske beholdere der LNG holdes under et lite overtrykk (. bar) og ved temperatur -6,5 o C. Tankene er isolert med et m tykt polyuretanskumsjikt som er spunnet på(norsk oppfinnelse). a) Utled en ligning som gir varmegjennomgangsmotstanden for et sfærisk sjikt rundt en kule. Indre radius er r i og ytre radius er r y. Hint: Bruk samme metodikk som for en sylinder. b) Varmen som overføres fra omgivelsene går med til fordampning av LNG, som unnslipper gjennom en sikkerhetsventil. Anta at utetemperaturen er 5 o C og at all varmegjennomgangsmotstanden ligger i isolasjonssjiktet. LNG regnes som metan og kokepunktet ved kuletrykket er -6,5 o C. Beregn hvor mye metan som tapes pr døgn. Data: r i = 6m, r y = 8m, k iso = 0.00W/mK, DH vapch4 = 509,5 kj/kg (ved -6,5 o C)

35 TKP400 Strømning og varmetransport 5 Løsningsforslag oppgave k iso T kokepunkt T T T ute r r i r Q a) Benytter samme metode som gitt på side 4/44 i Geankoplis. Varmestrømmen gjennom et tynt sjikt dr med temperaturfall dt og areal A, er Q. Samme Q går gjennom alle sjikt: dt 4 dt Q=- kiso A =-kiso p r dr dr Denne må integreres: r T Q dr =-k iso dt 4p ò r ò r T Q ( - ) =-kiso( T-T) 4p r r Løser mhp. Q: r r Q=-kiso 4 p ( T- T) =-kiso 4 p ( T-T) ( - ) ( r- r) r r Dette er med Q definert positiv i positiv r-retning. Hvis vi definerer den som vist på figuren fås: 4p kiso r r Q= ( T-T) ( r -r) b) Varmestrømmen inn i tanken blir: 4p 0, Q= (5 - ( - 6,5)) = 05 W (7-6) Mengden metan som da må fordampe er: m D Hvap = 05W Som gir m = kg/s = 5.7 kg/døgn. Dette utgjør ca

36 TKP400 Strømning og varmetransport 6 Oppgave 4 Mangerørs varmeveksler. Ved den bedriften hvor du er ansatt oppstår et behov for å varme 0 tonn olje pr. time fra 0 o C til l00 o C. Til oppvarming har man til disposisjon mettet damp ved et abs. trykk på maksimalt 0,7 MN/m (tilsvarer en temperatur på 65 o C ). Bedriften har ledig en mangerørs varmeveksler med kobberrør med indre diameter 0 mm. Der er 80 rør i parallell og hvert rør er 0 m langt. Du gjør noen forsøk ved å pumpe olje gjennom rørene, og finner at når varmeovergangskoeffisienten fra indre rørvegg til olje beregnes etter Sieder-Tate s ligning, får du et varmegjennomgangstall gjennom kondensfilmen og selve rørveggen på 6400 W/(m K), henført til indre røroverflate. a) Kan varmeveksleren brukes og hvilken temperatur kreves i så fall på dampsiden for å tilfredsstille oppvarmingskravet? Under forsøkene viser det seg at det etter hvert vil avsette seg et kullbelegg på innsiden av rørene. Beleggets tykkelse vokser med en hastighet på 0,5 mm pr. uke, og beleggets termiske konduktivitet er målt til 0,70 W/(m K). b) Hvor mange uker kan man kjøre varmeveksleren før det er nødvendig å rense rørene? (Det er tilstrekkelig å sette opp de ligningene som er nødvendig for å beregne tiden.) Gitt: Sieder-Tate s ligning: Nu = 0.07 Re Pr ( m / m ) 0,8 / 0,4 b w Data for oljen ved 60 o C: Viskositet: m =,5 cp ( cp = 0 - kg/(ms) Sp, varmekapasitet: Cp =, kj/(kg K) Tetthet: r = 900 kg/m Termisk konduktivitet: k = 0,4 W/(m K) Viskositet olje ved 65 o C : m w = kg ms - 0,8 0 /( )

37 TKP400 Strømning og varmetransport 7 Løsningsforslag 4 a) Overført varmemengde i veksleren: Q = m cp T 0000, (00 0) kJ / h 400kW Denne varmemengden må overføres over heteflaten: Q = U A Tlm Velger å basere oss på indre areal: A = 80 0,0,4 0 50,4m Logaritmisk midlere temperaturdiff. Har konstant temperatur på en side slik at denne kan brukes uavhengig av strømningen: T ( 0) ( 00) T T Damp TDamp 80 T lm T TDamp 0 TDamp 0 ln ln( ) ln( ) T T 00 T 00 Figuren antyder temperaturprofilene: Damp Damp T Damp T T T 00 o C 0 o C T olje L, m Det totale varmegjennomgangstallet er, basert på indre areal (k og j er de to radier for et tilfeldig sjikt):

38 TKP400 Strømning og varmetransport 8 Riln( Rk / Rj) ln( Ry / Ri) = å + å = + + Ui ( Rj / Ri) hj k hi ks ( Ry / Ri) h y Nå er det angitt at de to siste leddene er funnet eksperimentelt å være /6400. Ligningen blir derfor: U i h i 6400 For å beregne indre varmeovergangstall benyttes oppgitte ligning: 0,8 / 0.4 r v D 0,8 cp m / 0.4 hi D Nu = 0,07 Re Pr ( mb / m w) = 0,07 ( ) ( ) ( mb / m w) = m k k De fysikalske parametre er for oljen og skal beregnes for en midlere bulktemperatur. Data for for 60 o C er representative for midlere bulktemperatur og kan brukes. Hastighet: 0000 v 0,7m / s ,0 80 Dette gir innsatt: ,7 0,0 0,8 00,5 0 / hi D Nu = 0,07 ( ) ( ) (,5 0 / 0,8 0 ) = -, 5 0 0,4 k 900 0,7 0,0 00,5 0 h = (0,4 / 0,0) 0,07 ( ) ( ) (,5 0 / 0,8 0 ) = 48 W /( m K) i - 0,8 / , 5 0 0,4 Varmegjennomgangstallet blir da: U = i = 448 Da kjenner vi varme overført, varmeovergangstallet og arealet og kan beregne logaritmisk midlere temperaturdiff.: 9 Q 5, D Tlm = = = 6, C Ui Ai ,4 600 DT ( 0) ( 00) -DT T Damp - - TDamp - 80 D Tlm = = = = 6, DT TDamp -0 TDamp -0 ln ln( ) ln( ) DT T -00 T -00 Damp Dette gir T Damp = 0, o C, noe som er godt under dampens temperatur på 65 o C, slik at den gitt varmeveksleren kan brukes. b) Følgende størrelser endres med kullbelegget: A) Indre diameter og følgelig Indre røroverflate Væskehastigheten Varmeovergangstallet på innsiden Damp

39 TKP400 Strømning og varmetransport 9 B) Varmemotstand i veggen Den maksimale logaritmiske temperaturdifferansen vi har til disposisjon er: T lm 99,7 TDamp ln( ) ln( ) T Damp Varmeoverføringsligningen blir som før og total varmemengde likeså. Får nå, med indre diameter som referanse som før: i i, gammel U i h i ( R i, gammel R ln( R / R ) 6400 k i kull / R ) Her er R i,gammel lik den opprinnelige kobber-rørsradien og R i er den nye indre radien mot kullbelegget. Her er R i = 0,0-0,005n hvor n er antall uker. Det nye indre varmeovergangstallet blir: - 0,4 900 vny ( (0,0-0,005 n) 00, hi = 0,07( ) ( ) (,50 /0,80 ) - (0,0-0,005 n),5 0 0,4 i 0,8 / 0.4 Hvor ny hastighet blir: 0000 v ny (0,0 0,005 n) 80 Nytt indre areal er A i ( 0,0 0,005 n) Den nødvendige temperaturdifferansen beregnes som før fra: Q Tlm, denne må være under 99,7 o C som var det maksimale vi kan tåle med 65 o C U i Ai som damptemperatur. Ligningene har bare n som ukjent men er implisitte og må løses med prøving og feiling. Setter vi inn n = uker, finner vi at den nødvendige logaritmisk midlere temperaturdifferansen for å få overført tilstrekkelig varme blir 9 o C. Dette betyr at noe over uker kan varmeveksleren gå før den må renses. Matlabløsning: % Oppgave 4 Varmeveksler med belegg. % del b) % Data molje = 0000; % kg/h cpolje = 00; % J/(kg K) rhoolje = 900; % kg/m kolje = 0.4; % W/(m K) my60 =.5e-; % kg/(m s) my65 = 0.8e- % kg/(m s) r = 0.0; % m vekst = ; % m/uke i beleggvekst

40 TKP400 Strømning og varmetransport 40 Toljeinn = 0; % C Toljeut = 00; % C Tdamp = 65; % C hytot = 6400; % W/(mK) Totalt varmeovergangstall for rørvegg og mot damp kkull = 0.7; % W/mK antror = 80; % rorl = 0; % m param = struct('molje',molje,'cpolje',cpolje,'rhoolje',rhoolje,'kolje',kolje,'my60',my60,'my65',my 65,... 'r',r,'vekst',vekst,'toljeinn',toljeinn,'toljeut',toljeut,'tdamp',tdamp,'hytot',hytot,'k kull',kkull,... 'antror',antror,'rorl',rorl) N0 = ; N = fsolve(@antuker,n0,optimset('fsolve'),param); display = struct('antalluker_med_drift',n); disp(display) Funksjon antuker: % Beregner antall uker som VVX kan operere ok function resid =antuker(n,param) molje = param.molje; % kg/h cpolje = param.cpolje; % J/(kg K) rhoolje = param.rhoolje; % kg/m kolje = param.kolje; % W/(m K) my60 = param.my60; % kg/(m s) my65 = param.my65; % kg/(m s) r = param.r; % m vekst = param.vekst; % m Toljeinn = param.toljeinn; % o C Toljeut = param.toljeut; % o C Tdamp = param.tdamp; % o C hytot = param.hytot; % W/(m K) kkull = param.kkull; % W/(mK) antror = param.antror; % rorl = param.rorl; % m %Indre radius ri = (r-n*vekst);

41 TKP400 Strømning og varmetransport 4 % hastighet i røret Aitverr = antror*pi*ri^; vi = molje/rhoolje/600/aitverr; % Reynolds og Prandtls tall Rei = rhoolje*vi**ri/my60; Pr = cpolje*my60/kolje; % Nusselts tall Nui = 0.07*Rei^0.8*Pr^(/)*(my60/my65)^0.4; hi = Nui*kolje/(*ri); Ui = /(/hi + ri*log(r/ri)/kkull + ri/(r*hytot)); dtlm = ((Toljeinn-Tdamp)-(Toljeut-Tdamp))/log((Toljeinn-Tdamp)/(Toljeut-Tdamp)); % Overført og avgitt varme Ai = antror*rorl*pi**ri; Qoverfort = Ui*Ai*dTlm; Qavgitt = molje*cpolje*(toljeinn-toljeut)/600; % Differansen presses til 0 resid = Qavgitt-Qoverfort;

42 TKP400 Strømning og varmetransport 4 Oppgave 5 Du har en varmeveksler (VV) med varmeoverførende flate A = 4 m. Det er beregnet at for det formål du ønsker å bruke varmeveksleren så kan det totale varmegjennomgangstallet estimeres til å være U = 500 W/m K. Det er vann som skal kjøles med vann. Massestrøm varm side er m H = kg/s og på kald side m K = 0.5 kg/s. Varmekapasiteten for vann er Cp = 4.9 kj/kg K. Inngangstemperaturene for henholdsvis varmt pg kaldt vann er T H = 90 o C og T K = 0 o C. Du bruker ren motstrømsdrift. Hva blir utgangstemperaturene? Svar: T Co = 5.5 o C, T Ho = 68.4 o C

43 TKP400 Strømning og varmetransport 4 Løsningsforslag 5 Her er varmeoverførende flate gitt, men ikke utgangstemperaturene. Dette kalles "simuleringsproblemet". Må her bruke effektivitetsfaktor som i likn i G. Q = ε C min (T hi T ki ) Her er effektivitetsfaktoren ε definert som: exp C min exp Cmax UA C min C min Cmax C min min Cmax UA C Siden begge strømmene er vann vil den med minst kapasitet være den med lavest strømningsrate: C min = C pv m k = 4,9 0,5 =, kj/sk C max = C pv m h = 4,9,0 = 4,9 kj/sk C C min max 0,5 UA og 0, 95 8 C, 000 min Innsatt gir dette : ε = 0,5495 Varme overført blir da: Q = 0,5495 4,9 0,5(90 0) 9, kj/s For de to strømmene må vi også ha: Q = C min ΔT min og Q = C max ΔT max Innsatt gir dette: 9, 9, Kald side: Tmin 4, 96C Varm side: Tmax, 98C 4,9 0,5 4,9 Temperaturen ut på kald side blir da: 0 + 4,96 = 5,96 o C Temperaturen ut på varm side blir da: 90 -,98 = 68,0 o C Nå kan vi sjekke at vi virkelig får riktig varmemengde overført 90 5,96 68,0 0 T 46,6 o lm C 90 5,96 ln 68,0 0 Og overført: Q = ,6 /000 9, kj/s, så det er ok

44 TKP400 Strømning og varmetransport 44 Oppgave 6 PlateVVX Ved E. C. Dahls bryggeri, og alle andre bryggerier, pasteuriseres ølet før det tappes på flasker eller fat. Varmebehandlingen skjer i en platevarmeveksler og ølet skal bringes opp fra 0 o C og til 70 o C og holdes ved omtrent denne temperaturen i 0 s. Du skal dimensjonere varmeveksleren som skal brukes for en tappelinje som produserer 5000 l/h. Til oppvarmingen har du varmvann ved 90 o C disponibelt. a) Hvilken varmemengde (W) må overføres i veksleren og hvor mye varmvann må du bruke hvis utgangstemperaturen på varmvannet ikke skal komme under 40 o C. b) Beregn størrelsen på platevarmeveksleren (m ) Data: Fysikalske egenskaper for øl kan regnes som for vann. Bruker derfor appendix A. i Geankoplis. Da temperaturene variere ganske mye gjennom veksleren bør vi undersøke varmegjennomgangstallet i begge ender og bruke en middelverdi hvis de ikke varierer mer enn en med en faktor. Varmekapasitet, tetthet og varmeledningsevne varierer ikke så my så her brukes middelverdier for hver side, mens viskositetene må finnes ved ytterpunktene og for midlere veggtemperatur. k øl = 0,68 W/ms, k vann = 0,65 W/ms, cp øl = 48 J/kgK, cp vann = 489 J/kgK, r øl = 99 kg/m, r vann = 98 kg/m m ølinn = 0.00 kg/ms, m ølut = kg/ms m vanninn = kg/ms, m vannut = kg/ms m vann80 = kg/ms, m vann5 = kg/ms Data for VVX: Geometry: b = 0.004m, Chevron angle 60 o, Assume Re > 400 Anta væskehastighet på begge sider lik 0, m/s, G Ch = rv

45 TKP400 Strømning og varmetransport 45 Oppgave 6 Løsningsforslag % Oppgave 6 Platevarmeveksler Tolinn = 0; Tolut = 70; Tvanninn = 90; Tvannut = 40; mol = 5000; % l/h rhool = 99; rhovann = 98; cpol = 48; % J/kgK cpvann = 489; % J/kgK kol = 0.68; kvann = 0.65; myolinn = 0.00; % kg/ms fra A.-4 i Geankoplis myolut = ; myvanninn = ; myvannut = ; % Viskositetene ved veggen beregnes ved middeltemperaturen mellom varm og % kald side: Twvarm = 80 og Twkald = 5 mywvarm = ; mywkald = ; % Væskebelasningen på ølsiden, først anslått væskehastighet og så GCh vol = 0.; % m/s GChol = vol*rhool; % data for VVX b = 0.004; % m lambda =.5; % Chevron angle 60 grader % ReCh > 400 antas (stemmer for alle her) Ch = 0.08; y = 0.70; % a) % Varme overført til ølet: Qoverf = mol/000*rhool/600*cpol*(tolut-tolinn) % Vannmengde som trengs: mvann = Qoverf/(Tvanninn-Tvannut)/cpvann*600*000/rhovann GChvann = mvann/mol*gchol % b) % Ekvivalent diameter de = *b/lambda % Varmeovergangstallet på ølsiden holut = varmeovergangpvvx(de,gchol,cpol,kol,myolut,mywvarm,ch,y) holinn = varmeovergangpvvx(de,gchol,cpol,kol,myolinn,mywkald,ch,y)

46 TKP400 Strømning og varmetransport 46 % Varmeovergangstallet på vannsiden hvanninn = varmeovergangpvvx(de,gchvann,cpvann,kvann,myvanninn,mywvarm,ch,y) hvannut = varmeovergangpvvx(de,gchvann,cpvann,kvann,myvannut,mywkald,ch,y) % Det totale varmegjennomgangstallet på de to endene: Uvarm = /(/hvanninn + /holut) Ukald = /(/hvannut + /holinn) if Ukald > 0.5*Uvarm Utot = (Ukald + Uvarm)/ else display = struct('for stor forskjell i U') disp(display) end % Varmeoverførende flate er: dtlm =((Tvanninn-Tolut)-(Tvannut-Tolinn))/log((Tvanninn-Tolut)/(Tvannut- Tolinn)) A = Qoverf/Utot/dTlm Egenprodusert funksjon for beregning av varmeovergangstallet: % Funksjonen beregner varmeovergangstall i en platevarmeveksler etter % ligninger gitt i Bejan og Kraus, Heat Transfer Handbook, Wiley 00 function h=varmeovergangpvvx(de,gch,cp,k,myf,myw,ch,y) %Reynolds tall ReCh = de*gch/myf; % Prandtls tall Pr = cp*myf/k; % varmeovergangstallet h = (k/de)*ch*rech^y*pr^(/)*(myf/myw)^0.7;

47 TKP400 Strømning og varmetransport 47 Oppgave 7 Koking og kondensasjon. En koker i en destillasjonskolonne er utformet som en vertikal mangerørs varmeveksler. På utsiden av rørene strømmer vanndamp og på innsiden koker man en blanding av butanol og propanol. Vanndampen har et trykk på bara, med tilhørende metningstemperatur 9 o C. Kokepunktet for butanol/propanol-blandingen kan regnes å være 07 o C og trykket er bara. Rørene som brukes i kokeren er stålrør med indre diameter 5 mm og rørtykkelse mm. Varmeledningsevnen til den brukte stålkvalitet er 4 W/mK. a) Kokeren skal ha en kapasitet på 00 kmol/h og den molare fordampningsvarme for de to alkoholene kan regnes å være den samme og lik 44.8 kj/mol. Hva blir dampforbruket i kg damp/h når fordampningsvarmen for vanndamp ved bara er 0 kj/kg. b) Beregn det totale varmegjennomgangstallet basert på ytre røroverflate. Regn rørlengde L = m. Beregn nødvendig heteflate Bruk ligning og i Geankoplis. Data: Damp/vann-side : (fra Geankoplis appendiks A. m V = 0.8e- kg/ms, r V = 94.5 kg/m, k Vann = W/mK, r Damp = 0,56 kg/m k stål = 4 W/mK, **** HINT: Finn de enkelte lags DT uttrykt ved hverandre og prøv og feil. ***** Eller bedre : bruk Matlab

48 TKP400 Strømning og varmetransport 48 Løsningsforslag oppgave 7 k S T kokepunkt T T T damp r i r y Q a) mdamp = m HC DHvap, HC / DHvap, vann m damp = ,9 / 0 = 05 kg/ h b) Det totale varmegjennomgangstallet vil være: ryln( ry / ri) = + + Uy ri hi / ry ks hy Her må vi finne varmeovergangstallene på inn og utsiden av rørene for henholdsvis koking og kondensasjon. Vi skal bruke ligning for koking på innsiden av rørene selv om denne gjelder bare for vann(vanskelig å si om dette er en god antakelse, men sannsynligvis overpredikterer vi). p/55 p/55 h =,55 ( DT) e =,55 ( T -T ) e i kokepunkt Her er p trykket i kpa. Varmeovergangstallet på utsiden kan beregnes fra: k rvann( rvann -rdamp ) g DHvap L vann( vann damp ) vann k r r -r g DH vann vap L hy =, ( ) =, ( ) L m k DT L m k ( T -T ) /4 /4 vann vann vann vann damp Ser at både T og T inngår i beregningene slik at i likningen: Q= Uy Ay ( Tdamp - Tkokepunkt ) så vil T og T og Q være ukjente. Men de er relatert gjennom at Q må gå gjennom alle sjikt: Q= hy Ay ( Tdamp - T ) ri Q= ha i i ( T- Tkokepunkt ) = hi Ay ( T- Tkokepunkt ) r y

49 TKP400 Strømning og varmetransport 49 p Lk stål Q= ( T- T) ln( r / r) y i Da har vi i utgangspunktet 4 likninger og ukjente. I utgangspunktet skulle det være likegyldig hvilke av de fireligningene vi bruker, men det er det ikke. Hvis vi bruker den første hvor U y inngår og en av motstandene er små i forhold til de andre, sammen med to av de andre likningene hvor ikke den lille motstanden inngår, så vil følsomheten for den lille motstanden bli dårlig og numerikken i Matlab kan få problemer. Det er derfor best å bruke de tre siste likningene for de enkelte motstandene. Eliminerer Q og får da to likninger med to ukjente: ri p L kstål 0 = hi Ay ( T-Tkokepunkt )- ( T- T) ry ln( ry / ri) p Lk stål 0 = ha y y( Tdamp-T) - ( T- T) ln( r / r) Løses best i Matlab: y % Oppgave 7 Koking og kondensasjon % data: ri = 0.05/; ry = ri+0.00; kstal = 4; % For vann ved 9C brukes data fra tabell A.- ved. C kvann = 0.686; rhovann = 94.5; myvann = ; % For damp ved 9C brukes Tabell A.- med middel mellom for 00 og 48.9C rhodamp = 0.56; %kg/m % For delta H vap brukes tabell A.-9 ved 0C. Tar diff i entalpi mellom % damp og væske dhvap = ( )*000; % J/kg ptot = 00; %kpa på innsiden Tkp = 07; Tdamp = 9; L = ; g = 9.8; T0 = [08 8]; param = struct('ri',ri,'ry',ry,'kstal',kstal,'kvann',kvann,'rhovann'...,rhovann,'rhodamp',rhodamp,'myvann',myvann,'dhvap',dhvap,... 'ptot',ptot,'tkokepunkt',tkp,'tdamp',tdamp,'l',l,'g',g) T = fsolve('mtemp',t0,optimset('fsolve'),param) i

50 TKP400 Strømning og varmetransport 50 % Funksjon som beregner de to mellomliggende temperaturene function resid=mtemp(t,p) T = T(); T = T(); ri = p.ri; ry = p.ry; kstal = p.kstal; kvann = p.kvann; rhovann = p.rhovann; rhodamp = p.rhodamp; myvann = p.myvann; dhvap = p.dhvap; trykk = p.ptot; % kpa Tk = p.tkokepunkt; Td = p.tdamp; L = p.l; g = p.g; Ay = *pi*ry*l; hi =.55*(T-Tk)^*exp(trykk/55) hy = (kvann/l)*.*((rhovann*(rhovannrhodamp)*g*dhvap*l^)/(myvann*kvann*(td-t)))^0.5 Uy = /(/hy + (ry*log(ry/ri))/kstal + /(hi*ri/ry)); % Setter så sammen de tre ligningene for varmestrømmen til to ved å % eliminere Q res = hy*ay*(td - T) - *pi*l*kstal/(log(ry/ri))*(t-t); res = (hi*ri/ry)*ay*(t - Tk) - *pi*l*kstal/(log(ry/ri))*(t-t); resid = [res res] ;

51 TKP400 Strømning og varmetransport 5 Oppgave 8 Stråling Et termometer står i et rør som vist på figuren under. Gass-strømmen i røret har temp. T 0 = 90 K og varmeovergangstallet mot termometeret er 00 W/m K. Hva viser termometeret når emissiviteten til termometeret er e = 0,? Hint: Ved stasjonære forhold må netto varme mottatt av termometeret ved stråling og konveksjon være lik 0. Svar : Termometeret viser 9.7 K

52 TKP400 Strømning og varmetransport 5 Løsningsforslag 8 Varmebalanse for termometertuppen Konvektivt overført til tuppen: q k h k A T0 T Overført til tuppen ved stråling fra vegg q r A 4 4 T T Netto tilførsel er 0 q k q r 0 Som gir: T T h k 4 4 T 0 T Løses mhp T Tipp: T, gammel 00 9,5 T, ny 9,5 9,7

53 TKP400 Strømning og varmetransport 5 Oppgave 9 Stråling En gass varmes opp i rør som går gjennom et brennkammer og temperaturen på gassen måles med et termoelement. Temperaturen på innsiden av rørene er 500 o C. Termoelementet er kapslet inn i et metallskall (e s = 0.0) og varmeovergangstallet mellom gassen og termoelementskallet er 00 W/m K. a) Termoelementet viser 7 o C, hva er riktig gasstemperatur? Etter en tids bruk har overflaten på termoelementskallet fått et tynt belegg og emissiviteten har steget til 0.5. Samtidig har varmeovergangstallet for konveksjon mellom gass og termoelementskall sunket til 90 W/m K. b) Hva viser termoelementet nå? Gasstemperaturen er som under a) Varmemotstanden i termoelementskallet kan neglisjeres og rørveggene regnes som sorte omgivelser. Svar: a) gasstemperaturen er 49.6 K, b) Termoelementet viser nå 5. K

54 TKP400 Strømning og varmetransport 54 Løsningsforslag 9 a ) For stasjonære forhold: Varmeavgitt ved konveksjon = Varme mottatt ved stråling Konvektiv: Q k = A h (T T - T g ) = 00 (500 T g ) A Stråling: Q r = A σ ε s (T 4 V T 4 T ) = A 5, , ( ) = A 678,9 Q k = Q r gir: T g = 49,6 K b ) Antar gass og rørtemp de samme som i a ) Varmebalansen blir også den samme som under a): Q k = A 90 (T T - T g ) = 90 (T T 49,6) A Q r = A σ ε s (T V 4 T T 4 ) = A 5, ,5 (77 4 T T 4 ) må løses ved prøve og feile: 8 5,7 0 0,5 4 4 T T 49,6 = (77 T T ) 90 T T tipp T T ny 500 5,5 5,5 5, 5, 5,

55 TKP400 Strømning og varmetransport 55 Oppgave 0 Stråling Et anlegg med nedkjølt propan må av plasshensyn plasseres nært inntil ytterveggen av en forbrenningsovn. For å beskytte propananlegget mot overheting skal det installeres reflekterende aluminiumsplater mellom ovnsvegg og propananlegg. Ovnsveggens over-flatetemperatur er 84 o C og avstanden mellom veggen og propananlegget er 0.6 m. Overflateareal for ovnsvegg og propananlegg regnes like store (9 m ) og den kalde overflaten har en middeltemperatur på o C. Hvor mange aluminiumplater må installeres mellom de to flatene for at temperaturen på den siste platen før propananlegget maksimalt er o C? Emissivitetene er gitt som: Ovnsvegg: 0.90 Propananlegg: 0.65 Aluminium: 0.0 Svar : Antall plater mellom de to skjermene mot ovn og propananlegg N = 5.07(dvs 6 plater) Altså blir antall plater totalt 6 + = 8 plater.

56 TKP400 Strømning og varmetransport 56 Løsningsforslag 0 For N like plater (ε = konst), likn. Geankoplis 4.-4: 4 4 ( T T ) ( q ) N N / C 84C Fra ovn til første plate 4 4 Tovn T ) ) q (457 ( 4 4 T ovn Al ) 0,9 0, N For de N platene (definerer de N platene uten platene nærmest ovn og tank da disse behandles separat på grunn av at plater ovn og tank ikke har samme emmisivitet): ( T T ) ( T 05 ) ) q N / N / 0, Al for siste plate til tank ) q ( T 4 4 T p ) Al Pl ( ) 0, 0,65 q 0, ) T , q med ) Innsatt i ) T , ( ) 9 0, ,65 N 4 (05 75 ) Dette gir: 4 0,( ) , N = 5,07, noe som betyr at vi må ha 6 lag + de to ytre skjermene blir det i alt 8 skjermer. 6,07