Figur D R 2, Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1. Calculus Uge En generel funktion. [S] 9.6 Functions and surfaces.

Transkript

1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i flere variable Test kontinuitet Polære koordinater Test polære koordinater Calculus Uge En generel funktion [S] 9.6 Functions and surfaces D (, ) f(, ) 0 D R 2, f : D R Calculus Uge

2 Definitions- og værdimængde [S] 9.6 Functions and surfaces Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable f : D R Mængden af talpar kaldes definitionsmœngden. Mængden af tal kaldes vœrdimœngden. D R 2 f(d) = {f(, ) R (, ) D} Calculus Uge Bestem definitionsmængden Eksempel 3 Forskriften g(, ) = giver en funktion med definitionsmængde D = {(, ) } = {(, ) } som er cirkelskiven med centrum i 0 og radius 3. Værdimængden er intervallet g(d) = [0, 3] R Calculus Uge

3 Et populært problem Eksempel Aktive væsker,, z blandes med proportional virkning V = z Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? + + z = 1 V = (1 ) D = {(, ) > 0, > 0, + < 1} Bestem maksimum for funktionen V på mængden D. Calculus Uge Graf og niveaukurve [S] 9.6, 11.1 Functions of several variables Definition Grafen for en funktion f : D R Γ f = {(,, z) (, ) D, z = f(, )} er en flade i rummet R 3. Niveaukurven(konturlinjen) af kote k for en funktion f : D R f 1 (k) = {(, ) D f(, ) = k} er en kurve i planen R 2. Koter k vælges fra værdimængden. Calculus Uge

4 Udseende saddel z Grafen af f(, ) = 2 2 Calculus Uge Udseende saddel = ± 2 4 Niveaukurver for f(, ) = 2 2 Calculus Uge

5 Halvkugleskal Eksempel 3,4,8 g(, ) = Grafen er en halvkugleskal Γ g = {(,, z) , z = } = {(,, z) z 2 = 9, z 0} Niveaukurver er cirkler g 1 (k) = {(, ) , = k} = {(, ) = 9 k 2 } Calculus Uge Globus z Grafen for g(, ) = Calculus Uge

6 Breddegrader = 9 k 2 0 Niveaukurver for g(, ) = Calculus Uge Top og dal z Grafen af f(, ) = Calculus Uge

7 Top og dal Niveaukurver for f(, ) = Calculus Uge Udvid til mange variable Eksempel 11 Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Udtrkket f(,, z) = ln(z ) + sin(z) er en funktion i tre variable, defineret på definitionsmængden D = {(,, z) R 3 z > } Værdimængden er f(d) = R Calculus Uge

8 Goddag igen til grænseværdier [S] 11.2 Limits and continuit 1 Definition Grænseværdien af f(, ) i et punkt (a, b) skrives eller lim f(, ) = L (,) (a,b) f(, ) L for (, ) (a, b) når f antager værdier vilkårligt tæt på L, bare (, ) er tilstrækkeligt tæt på (a, b). Calculus Uge Helt præcist 5 Definition Grænseværdien eksisterer, hvis [S] Appendi D - Functions of two variables lim f(, ) = L (,) (a,b) ɛ > 0 δ > 0 : ( a)2 + ( b) 2 < δ f(, ) L < ɛ Calculus Uge

9 Ingen grænseværdi [S] 11.2 Limits and continuit Eksempel 1 f(, ) = har ingen grænseværdi for (, ) (0, 0). Løsning f(, 0) = 1, 0 f(0, ) = 1, 0 Calculus Uge Regneregler som forventet [S] 2.3 Calculating limits using the... Regneregler 1. Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne. 2. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. 4. Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. 5. Grænseværdien af en kvotient er kvotienten af grænseværdierne. Calculus Uge

10 Kontinuitet på n [S] 11.2 Limits and continuit 3 Definition Kontinuitet af f(, ) i et punkt (a, b) skrives eller lim f(, ) = f(a, b) (,) (a,b) f(, ) f(a, b) for (, ) (a, b) f er kontinuert i D, hvis f er kontinuert i alle punkter (a, b) D. Calculus Uge Godt naboskab [S] 11.2 Limits and continuit D (, ) (a, b) f(, ) f(a, b) 0 Kontinuitet Calculus Uge

11 Helt præcist Definition Kontinuitet [S] Appendi D - Functions of two variables lim f(, ) = f(a, b) (,) (a,b) hvis der gælder ɛ > 0 δ > 0 : ( a)2 + ( b) 2 < δ f(, ) f(a, b) < ɛ Calculus Uge Test kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuit Test Hvis f(, ) er en kontinuert funktion defineret i hele R 2, så er lim f(, ) = f(0, 0). (,) (0,0) Løsning Dette er netop definitionen på kontinuitet i (0, 0). Afkrds: ja nej Calculus Uge

12 Regler om kontinuitet [S] 11.2 Limits and continuit Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner. 2. De kendte elementære funktioner er kontinuerte. sin, cos, tan, arcsin,..., ep, log, Funktionsudtrk er kontinuerte, hvor de er definerede. Calculus Uge Anvend regler [S] 11.2 Limits and continuit Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R Kontinuert på R 2, pπ 3. Kontinuert når > 2 cos sin ln( ) Calculus Uge

13 Kontinuert de rigtige steder [S] 11.2 Limits and continuit Eksempel 1, 6, 7 g(, ) = { 2 2, (, ) (0, 0) 0, (, ) = 0 er ikke kontinuert i (0, 0), da g(, ) ingen grænseværdi har for (, ) (0, 0). Fra regneregler for kontinuitet følger, at g(, ) er kontinuert på mængden R 2 \{(0, 0)} af alle talpar fraregnet (0, 0). Calculus Uge Hul i taget [S] 11.2 Limits and continuit z Ikke kontinuert i (0, 0) Calculus Uge

14 Øvelse [S] 11.2 Limits and continuit Eksempel 4, 8 f(, ) = { 3 2, (, ) (0, 0) 0, (, ) = 0 er kontinuert på mængden R 2. Løsning viser, at 2 f(, ) = f(, ) 0, når (, ) (0, 0) Calculus Uge Øvelse grafisk [S] 11.2 Limits and continuit z Kontinuert i (0, 0) Calculus Uge

15 Udvid det hele til mange variable [S] 11.2 Limits and continuit Flere variable Omtalen af grænseværdi og kontinuitet for funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Eksempel Funktionen f(,, z) = z 2 er kontinuert på mængden R 3 \{(0, 0, 0)}. Calculus Uge Populære koordinater [S] Appendi H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsstem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r, θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. r P θ O 1 Calculus Uge

16 Pol og sigtelinje [S] Appendi H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsstem bestemmer et kartesisk koordinatsstem. Polen og punktet med polære koordinater (1, 0) bestemmer -aksen og polen og punktet med polære koordinater (1, π ) bestemmer -aksen. 2 P (r cos(θ), r sin(θ)) 1 r θ O 1 Calculus Uge Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H.1 Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsstem. Et punkt med polœre koordinater (r, θ) har kartesiske koordinater 1 = r cos(θ), = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (, ), > 0 har polœre koordinater 2 r = 2 + 2, θ = tan 1 ( ) Calculus Uge

17 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H.1 Polar coordinates Eksempel Et punkt med polære koordinater har kartesiske koordinater (r, θ) = (2, 5π 4 ) = r cos θ = 2 cos 5π 4 = 2 = r sin θ = 2 sin 5π 4 = 2 (, ) = ( 2, 2) Calculus Uge Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H.1 Polar coordinates P (3, 3) 5π/4 3 2 π/4 P ( 2, 2) 2 1 Calculus Uge

18 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H.1 Polar coordinates Eksempel Et punkt med kartesiske koordinater har polære koordinater (, ) = (3, 3) r = = = 3 2 θ = tan 1 = tan = π 4 (r, θ) = (3 2, π 4 ) Calculus Uge Test polære koordinater [S] Appendi H.1 Polar coordinates Test Punktet med kartesiske koordinater (, ) = (1, 1) har polære koordinater: (a) (r, θ) = (2, π). (b) (r, θ) = ( 2, π 2 ). (c) (r, θ) = ( 2, π 4 ). Løsning Afkrds den rigtige: (a) (b) (c) (1, 1) r = = = tan θ = = 1 1 = 1 θ = π 4 Calculus Uge

19 Delmængder i polære koordinater [S] Appendi H.1 Polar coordinates Eksempel 0 a b Den halve cirkelring i øvre halvplan kan beskrives i både kartesiske koordinater og i polære koordinater. I kartesiske koordinater ved {(, ) a b, 0 } I polære koordinater ved {(r, θ) a r b, 0 θ π} Calculus Uge Funktioner i polære koordinater [S] Appendi H.1 Polar coordinates Eksempel En funktion g : R 2 \{0} R er givet i kartesiske koordinater ved forskriften (, ) I polære koordinater = r cos(θ), = r sin(θ) er funktionen g givet ved (r, θ) (r cos θ)2 (r sin θ) 2 (r cos θ) 2 + (r sin θ) 2 = (cos θ) 2 (sin θ) 2 = cos(2θ) Calculus Uge