Matematikk og fysikk RF3100

Transkript

1 DUMMY Matematikk og fysikk RF300 Løsningsforslag 23. januar 205 Tidsfrist: 30.januar 205 Oppgave a) Gjør om til kanoniske polarkoordinater, d.v.s. (r, θ)-koordinater innenfor området r 0 og 80 < θ < 80. (i). r = 2, θ = 270 (ii). r =, θ = 35 (iii). r = 2, θ = 270 (i). Her er θ-verdien for stor, så vi trekker fra 360. De kanoniske polarkoordinatene er altså (2, ) = (2, 90 ). (ii). Vi korrigerer for negativ r-verdi ved skifte fortegn samtidig som vi legger 80 til θ-verdien. Dette gir koordinater (, 35 ). Nå er θ for stor, men vi korrigerer ved å trekke fra 360. Dette gir kanoniske kooridnater (, ) = (, 45 ). (iii). Her får vi ( 2, 270 ) = (2, ) = (2, 450 ) = (2, ) = (2, 90 ). I denne oppgaven kan man gjerne begrunne svaret ved å lage en skisse.

2 b) Regn om fra (r, θ)-polarkoordinater til x, y-koordinater. (i). r = 2, (ii). r = 4, (iii). r = 0, θ = 45 θ = 60 θ = 30 (i). x = r cos θ = 2 cos 45 = = 2 y = r sin θ = 2 sin 45 = = 2. (ii). x = r cos θ = 2 cos 60 = 4 2 = 2 y = r sin θ = 4 sin 60 = = 2 3. (iii). x = r cos θ = 0 cos( 30 ) = = 5 3 y = 0 sin θ = 0 sin( 30 ) = 0 ( 2) = 5. c) Regn om fra x, y-koordinater til kanoniske (r, θ)-polarkoordinater. (i). (x, y) = 2, 3 (ii). (x, y) = 2, 3 (iii). (x, y) = 2, 3 For alle de tre punktene er r = = (i) Dersom vi bruker atan direkte, vår vi θ = atan(3/2) 56. Denne vinkelen ligger i riktig kvadrant, så vi behøver ingen korreksjon. Konklusjonen er altså (r, θ) = (3.6, 56 ). (ii) Dersom vi bruker atan direkte, vår vi θ = atan(3/ 2) 56. Denne vinkelen ligger ikke i riktig kvadrant, så vi må korrigere ved å legge til 80. Det betyr at θ = 24. Konklusjonen er altså (r, θ) = (3.6, 24 ). (iii) Dersom vi bruker atan direkte, vår vi θ = atan( 3/ 2) 56. Denne vinkelen ligger ikke i riktig kvadrant, så vi må korrigere ved å trekke fra 80. Konklusjonen er altså (r, θ) = (3.6, 24 ).

3 Oppgave 2 Bakgrunn I denne oppgaven følger vi konvensjonene i Robocode, og måler vinkler med klokka. Det betyr at i figuren C A B er ( AB, AC) < 0, ( AC, AB) > 0. Vektorenes rekkefølge spiller altså en rolle. I det første tilfellet går vinkelen mot klokka. Det gir en negativ vinkel. I det andre tilfellet går vi med klokka. Det gir en positiv vinkel. Problemstilling Vi er i en stridsvogn som befinner seg i punktet P = (3, 4). Denne beveger seg mot høyre med heading 45 i forhold til y-aksen. (Det vil si at fartsvektoren v har en vinkel på 45 i forhold til x-aksen, og at v peker mot høyre.) Stridsvognen oppdager en fiende, i et punkt som vi kan kalle T. Vi måler at avstanden til fienden er 0 enheter, og at retningen (bearing) er 5. Det vil si at P T = 0, ( v, P T ) = 5. Tegn en skisse av situasjonen og bestem xy-koordinatene til punktet T. Vinkelen mellom P T og y-aksen er 45 5 = 30. Siden vi måler vinkler med klokka og i forhold til y-aksen, kan vi ikke bruke formlene fra vanlige polarkoordinater, og i dette tilfellet er omregningsformelen x = r sin θ, y = r cos θ. Dermed er P T = [0 sin 30, 0 cos 30 ] = [0 2, 0 3] = [5, 5 3] 2

4 Nå kan vi regne ut hvor stridsvognen er: OT = OP + P T = [3, 4] + [5, 5 3] = [8, ] [8.0, 2.7] Fienden befinner seg altså i punktet (8.0, 2.7). Her har vi en liten figur som viser hvordan dette ser ut: 2 T = (8, 2.66) v 4 P Oppgave 3 a) Gjør om fra sfæriske r, h, p-polarkoordinater til x, y, z-koordinater. (i). (r, h, p) = (4, 30, 20 ). (ii). (r, h, p) = (4, 45, 60 ). (i). x = r cos p sin h = 4 ( 2) 2 =, y = r sin p = 4 ( 2 3 ) = 2 3, z = r cos p cos h = 4 ( 2) ( 2 3 ) = 3 Vi har altså (x, y, z) = (, 2 3, 3).

5 (ii). x = r cos p sin h = 4 ( ) ( ) = 2, y = r sin p = 4 ( ) 2 3 = 2 3, z = r cos p cos h = 4 ( ( 2) ) 2 2 = 2 Vi har altså (x, y, z) = ( 2, 2 3, 2). b) Gjør om fra x, y, z-koordinater til sfæriske r, h, p-koordinater. (i). (x, y, z) = (0,, ) (ii). (x, y, z) = (2, 3, ) (i). Her er r = x 2 + y 2 + z 2 = = 2, sin p = y/r = / 2 = 2 2. Altså er p = 45. tan h = x/z = 0. Følgelig er h = 0. Vi har altså (r, h, p) = ( 2, 0, 45 ). (ii). Her er r = x 2 + y 2 + z 2 = ( 3) 2 + ( ) 2 = 4, sin p = y/r = ( 3)/ Altså er p 53 tan h = x/z = 2/( ) = 2. Dersom vi bruker atan direkte får vi h 63. Med denne verdien av h er x < 0 og z > 0. Vi må altså korrigere ved å legge til 80. Dette gir h 7. Vi har altså (r, h, p) ( 4, 7, 53 ) (3.7, 7, 53 ). Oppgave 4 (Nøtt?) Her regner vi som om jorden er en perfekt sfære med radius 637km, og bruker x, y, z-koordinater der origo ligger i jordens sentrum, y-aksen faller sammen med jordens rotasjonsakse med retning sørover, yz-planet går gjennom Greenwich (i London), og x-aksen står vinkelrett på yz-planet. Vi bruker måleenheten km langs aksene. I vanlige koordinater på jordoverflaten har vi og (Breddegrad Oslo, Lengdegrad Oslo ) = (59.9, 0.76 ) (Breddegrad London, Lengdegrad London ) = (5.48, ) Slik x, y, z-koordinatene er definert her, vil lengdegrad og breddegrad falle sammen med (h, p)-koordinater slik at p = Breddegrad og h = Lengdegrad

6 a) Regn ut x, y, z-koordinatene til Oslo og London. Når vi bruker r, h, p-koordinater og måleenheten km har vi Oslo: r = 637, p = 59.9, h = London: r = 637, p = 5.48, h = Når vi bruker standard omregning fra r, h, p-koordinater til x, y, z-koordinater, finner vi at: Oslo har koordinater (596.4, 552.5, 337.9). London har koordinater (0, , ) Legg merke til at London har x = 0. Det stemmer fint med at yz-planet går gjennom London. Det at begge byene har negativ y-koordinat stemmer godt overens med at byene ligger på den nordlige halvkulen. b) La C være sentrum i jordkloden O punktet Oslo og L London. Regn ut vinklen θ mellom CO og CL. Utifra det vi regnet ut i forrige punkt er og CO = [596.4, 552.5, 337.9] CL = [0, , ]. Vinkelen mellom disse vektorene finner vi på den vanlige måten: ( ) CO CL θ = acos CO CL Vi vet allerede at CO = CL = 637 (km). Videre er CO CL Dermed er ( ) θ = acos

7 c) Regn ut avstanden mellom Oslo og London, målt langs jordoverflaten. Når vi måler vinkler i grader er buelengden i en sirkelsektor med vinkel θ og radius r, l = rθπ 80 I dette tilfellet får vi l = 637km 0.36 π 80 52km d) Vurder svaret i forrige punkt utifra informasjon du finner på internett om avstanden mellom London og Oslo. Ifølge er avstanden på 56km. Ifølge er avstanden på 28km. Ifølge er avstanden på 54km. Vi ser at vår beregning ligger i nærheten av andre beregninger. Obs: Det finnes mang grunner til at det skal være avvik her, f.eks at jorden ikke er helt rund, og at vi har valgt ganske tilfeldige punkter i Oslo og London for våre målinger.