Oversigt [S] 11.7; [LA] 13

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oversigt [S] 11.7; [LA] 13"

Transkript

1 Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Her skal du lære om Lokalt og absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan for maks/min-problemer August 2002, opgave 3 Calculus Uge

2 Lokalt maksimum/minimum 1 Definition En funktion f(x,y) har et lokalt maksimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en lokal maksimumsværdi. Calculus Uge

3 Lokalt maksimum/minimum 1 Definition En funktion f(x,y) har et lokalt maksimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en lokal maksimumsværdi. En funktion f(x,y) har et lokalt minimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en lokal minimumsværdi. Calculus Uge

4 Lokalt maksimum/minimum 1 Definition - figur z lokalt maksimum x lokalt minimum y Calculus Uge

5 Lokalt maksimum/minimum Velkendt figur z lokalt maksimum 1 y lokalt minimum Snit for x = 0 Calculus Uge

6 Absolut maksimum/minimum Definition En funktion f : D R har et absolut maksimum i punktet (a,b), hvis der for alle (x,y) D gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en absolut maksimumsværdi i D. Calculus Uge

7 Absolut maksimum/minimum Definition En funktion f : D R har et absolut maksimum i punktet (a,b), hvis der for alle (x,y) D gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en absolut maksimumsværdi i D. En funktion f : D R har et absolut minimum i punktet (a,b), hvis der for alle (x,y) D gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en absolut minimumsværdi i D. Calculus Uge

8 Absolut maksimum/minimum Eksempel Funktion f : R 2 R givet ved f(x,y) = 1 x 2 + y opfylder f(x,y) f(0, 0) = 1 Altså har f et absolut maksimum i punktet (0, 0) med en absolut maksimumsværdi på 1. Calculus Uge

9 Absolut maksimum/minimum Eksempel Funktion f : R 2 R givet ved f(x,y) = 1 x 2 + y opfylder f(x,y) f(0, 0) = 1 Altså har f et absolut maksimum i punktet (0, 0) med en absolut maksimumsværdi på 1. Der er ikke noget absolut minimumspunkt. Calculus Uge

10 Lokalt maksimum/minimum Niveaukurver y x Aflæs: lokalt maksimumspunkt i (3, 3) med maksimumsværdi 4. Calculus Uge

11 Absolut maksimum/minimum Sprogbrug For lokalt/absolut maksimum eller minimum bruges betegnelser lokalt ekstremum lokal ekstremumsværdi absolut ekstremum absolut ekstremumsværdi Calculus Uge

12 Lokalt maksimum/minimum En variabel - figur y lokalt maksimum f (x 1 ) = 0 x 1 x 2 x f (x 2 ) = 0 lokalt minimum Calculus Uge

13 1. ordens kriterium 2 Sætning Hvis f(x,y) har lokalt maksimum/minimum, lokalt ekstremum, i punktet (a,b) og de partielle afledede eksisterer i (a,b) så er f x (a,b) = 0 = f y (a,b) Calculus Uge

14 1. ordens kriterium 2 Sætning Hvis f(x,y) har lokalt maksimum/minimum, lokalt ekstremum, i punktet (a,b) og de partielle afledede eksisterer i (a,b) så er f x (a,b) = 0 = f y (a,b) Skrives også med gradienten (a,b) lokalt maks/min f(a,b) = 0 Calculus Uge

15 Kritisk punkt Definition En funktion f(x,y) har et kritisk punkt, stationœrt punkt i punktet (a,b), hvis f(a,b) = (f x (a,b),f y (a,b)) = 0 Calculus Uge

16 Kritisk punkt Definition En funktion f(x,y) har et kritisk punkt, stationœrt punkt i punktet (a,b), hvis f(a,b) = (f x (a,b),f y (a,b)) = 0 Når de partielle afledede findes, er et lokalt maksimum/minimum et kritisk punkt. Et kritisk punkt, som hverken er lokalt maksimum eller minimum, kaldes et saddelpunkt. Calculus Uge

17 Kritisk punkt Kritisk punkt z z x y x y lokalt maksimum Saddelpunkt Calculus Uge

18 Find ekstremumspunkter Eksempel 1 f(x,y) = x 2 + y 2 2x 6y + 14 har kritisk punkt f(x,y) = (2x 2, 2y 6) = 0 (x,y) = (1, 3) Calculus Uge

19 Find ekstremumspunkter Eksempel 1 f(x,y) = x 2 + y 2 2x 6y + 14 har kritisk punkt f(x,y) = (2x 2, 2y 6) = 0 (x,y) = (1, 3) Omskrivningen f(x,y) = (x 1) 2 + (y 3) viser, at (1, 3) er et absolut minimum på D = R 2. Calculus Uge

20 Absolut minimum Eksempel 1 - figur z x Absolut minimum i (1, 3) y Calculus Uge

21 Find ekstremumspunkter Eksempel 2 har kritisk punkt f(x,y) = y 2 x 2 f(x,y) = ( 2x, 2y) = 0 (x,y) = (0, 0) Calculus Uge

22 Find ekstremumspunkter Eksempel 2 har kritisk punkt f(x,y) = y 2 x 2 f(x,y) = ( 2x, 2y) = 0 (x,y) = (0, 0) f(x, 0) < 0, f(0,y) > 0, (x,y) 0 viser, at (0, 0) ikke er et lokalt ekstremum, altså er (0, 0) et saddelpunkt. Calculus Uge

23 Ekstremumspunkt Eksempel 2 - figur z x y Saddelpunkt i (0, 0) Calculus Uge

24 2. ordens kriterium Sætning - (en variabel) Antag den afledede Så gœlder f (a) = 0 (a) f (a) > 0 a lokalt minimum (b) f (a) < 0 a lokalt maksimum Calculus Uge

25 2. ordens kriterium, lokalt maksimum [S] 11.7 Maximum and minimum va En variabel - figur y lokalt maksimum f (0)=0 f (x 1 )>0 f (x 2 )<0 x 1 x 2 x f (x) er aftagende omkring x = 0 : f (0) < 0 Calculus Uge

26 2. ordens kriterium 3 Sætning (Andenordenstest) Antag f(x,y) har kritisk punkt (a,b) og lad f x (a,b) = 0 = f y (a,b) D = f xx (a,b)f yy (a,b) f xy (a,b) 2 Calculus Uge

27 2. ordens kriterium 3 Sætning (Andenordenstest) Antag f(x,y) har kritisk punkt (a,b) og lad f x (a,b) = 0 = f y (a,b) D = f xx (a,b)f yy (a,b) f xy (a,b) 2 (a) D > 0, f xx (a,b) > 0 (a,b) lokalt minimum (b) D > 0, f xx (a,b) < 0 (a,b) lokalt maksimum (c) D < 0 (a,b) saddelpunkt Calculus Uge

28 2. ordens kriterium [LA] ordens partielle afledede,... Andenordenstest Antag f(x, y) har kritisk punkt (a, b), f(a, b) = 0. Hesse matricen f xx(a,b) f xy (a,b) f yx (a,b) f yy (a,b) har determinant D = f xx (a,b)f yy (a,b) f xy (a,b) 2. Egenværdier: (a) to positive, (b) to negative, (c) en positiv og en negativ. Calculus Uge

29 2. ordens kriterium [LA] ordens partielle afledede,... Andenordenstest Antag f(x, y) har kritisk punkt (a, b), f(a, b) = 0. Hesse matricen f xx(a,b) f xy (a,b) f yx (a,b) f yy (a,b) har determinant D = f xx (a,b)f yy (a,b) f xy (a,b) 2. Egenværdier: (a) to positive, (b) to negative, (c) en positiv og en negativ. (a) D > 0, f xx (a,b) > 0 (a,b) lokalt minimum (b) D > 0, f xx (a,b) < 0 (a,b) lokalt maksimum (c) D < 0 (a,b) saddelpunkt Calculus Uge

30 Lokalt maksimum/minimum To variabele - figur z har et saddelpunkt i (0, 0). x z = 1 x 2 + y 2 y Calculus Uge

31 Ekstremumspunkters type Eksempel 3 f(x,y) = x 4 + y 4 4xy + 1 har kritiske punkter, hvor f(x,y) = (4x 3 4y, 4y 3 4x) = (0, 0) Calculus Uge

32 Ekstremumspunkters type Eksempel 3 f(x,y) = x 4 + y 4 4xy + 1 har kritiske punkter, hvor f(x,y) = (4x 3 4y, 4y 3 4x) = (0, 0) De kritiske punkter bestemmes x 3 y = 0, y 3 x = 0 x 3 y = 0, (x 3 ) 3 x = 0 (x,y) = (0, 0), (1, 1), ( 1, 1) Calculus Uge

33 Lokalt maksimum/minimum Eksempel 3 - figur z x z = x 4 + y 4 4xy + 1 y Calculus Uge

34 Ekstremumspunkters type Eksempel 3 - fortsat f x = 4x 3 4y, f y = 4y 3 4x f xx = 12x 2, f xy = 4, f yy = 12y 2 giver D = f xx f yy f 2 xy = 144x 2 y 2 16 Calculus Uge

35 Ekstremumspunkters type Eksempel 3 - fortsat f x = 4x 3 4y, f y = 4y 3 4x f xx = 12x 2, f xy = 4, f yy = 12y 2 giver D = f xx f yy fxy 2 = 144x 2 y D(0, 0) = 16 < 0 (0, 0) saddelpunkt 2. D(1, 1) = 128 > 0, f xx (1, 1) = 12 > 0 (1, 1) lokalt minimum 3. D( 1, 1) = 128 > 0, f xx ( 1, 1) = 12 > 0 ( 1, 1) lokalt minimum Calculus Uge

36 Populært skema Eksempel 3 - fortsat Konklusions skema (a,b) f(a,b) f xx (a,b) D(a,b) Type (0, 0) saddel (1, 1) minimum ( 1, 1) minimum Calculus Uge

37 Ekstremumspunkters type Eksempel 4 f(x,y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 har kritiske punkter, hvor 20xy 10x 4x 3 = 0, 10x 2 8y 8y 3 = 0 Calculus Uge

38 Ekstremumspunkters type Eksempel 4 f(x,y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 har kritiske punkter, hvor 20xy 10x 4x 3 = 0, 10x 2 8y 8y 3 = 0 Foruden (x,y) = (0, 0) fås, x 0 10y 5 2x 2 = 0, 5x 2 4y 4y 3 = 0 10y 5 2x 2 = 0, 8y 3 42y + 25 = 0... (x,y) (0, 0), (±2.64, 1.90), (±0.86, 0.65) Calculus Uge

39 Konklusion Eksempel 4 - fortsat f x = 20xy 10x 4x 3, f y = 10x 2 8y 8y 3 f xx = 20y 10 12x 2, f xy = 20x, f yy = 8 24y 2 Calculus Uge

40 Konklusion Eksempel 4 - fortsat f x = 20xy 10x 4x 3, f y = 10x 2 8y 8y 3 f xx = 20y 10 12x 2, f xy = 20x, f yy = 8 24y 2 (a,b) f(a,b) f xx (a,b) D(a,b) Type (0, 0) maksimum ( 2.64, 1.90) maksimum (2.64, 1.90) maksimum ( 0.86, 0.65) saddel (0.86, 0.65) saddel Calculus Uge

41 Kassefabrikant Eksempel 6 En kasse uden låg laves af 12m 2 krydsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. giver med kritiske punkter, hvor V = xyz, 2xz + 2yz + xy = 12 V = xy 12 xy 2x + 2y V x = y2 (12 2xy x 2 ) 2(x + y) 2 = 0, V y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 = 0 Calculus Uge

42 Kassefabrikant Eksempel 6 - figur z y x Calculus Uge

43 Kassefabrikant Eksempel 6 Relevante punkter, x,y > 0, fås for 12 2xy x 2 = 0, 12 2xy y 2 = xy x 2 = 0, x = y 12 3x 2 = 0, x = y (x,y) = ±(2, 2) Altså (x,y) = (2, 2) Calculus Uge

44 Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x = y2 (12 2xy x 2 ), V 2(x + y) 2 y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 Calculus Uge

45 Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x = y2 (12 2xy x 2 ), V 2(x + y) 2 y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 V xx = y2 ( 2y 2x)2(x + y) 2 y 2 (12 2xy x 2 )4(x + y) 4(x + y) 4 V yy = x2 ( 2y 2x)2(x + y) 2 x 2 (12 2xy y 2 )4(x + y) 4(x + y) 4 V xy = ( 24y 6xy2 2x 2 y)2(x + y) 2 y 2 (12 2xy x 2 )4(x + y) 4(x + y) 4 Calculus Uge

46 Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x (2, 2) = 0, V y (2, 2) = 0 V xx (2, 2) = 1, V xy (2, 2) = 1/2, V yy (2, 2) = 1 Calculus Uge

47 Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x (2, 2) = 0, V y (2, 2) = 0 V xx (2, 2) = 1, V xy (2, 2) = 1/2, V yy (2, 2) = 1 (a,b) V (a,b) V xx (a,b) D(a,b) Type (2, 2) 4 1 3/4 maksimum Kantlængder for størst rumfang er (x,y,z) = (2, 2, 1) Calculus Uge

48 Lukket mængde Definition Givet en delmængde D R 2. Et punkt (a,b) er et randpunkt til D, hvis enhver cirkelskive med centrum i (a,b) og positiv radius indeholder punkter fra D samt punkter, der ikke ligger i D. Delmængden D er lukket, hvis ethvert randpunkt er med. Calculus Uge

49 Lukket mængde Definition Givet en delmængde D R 2. Et punkt (a,b) er et randpunkt til D, hvis enhver cirkelskive med centrum i (a,b) og positiv radius indeholder punkter fra D samt punkter, der ikke ligger i D. Delmængden D er lukket, hvis ethvert randpunkt er med. Eksempel D = {(x,y) x 2 + y 2 1} har randpunkter {(x,y) x 2 + y 2 = 1} og er lukket. Calculus Uge

50 Randpunkt Definition - figur y randpunkt D x Calculus Uge

51 Absolut ekstremum 8 Sætning (Ekstrem værdi) Hvis f : D R er kontinuert på en lukket og begrœnset delmœngde D R 2, så antager f både en absolut maksimumsvœrdi og en absolut minimumsvœrdi i punkter, der ligger i mœngden D. Calculus Uge

52 Absolut ekstremum 8 Sætning (Ekstrem værdi) Hvis f : D R er kontinuert på en lukket og begrœnset delmœngde D R 2, så antager f både en absolut maksimumsvœrdi og en absolut minimumsvœrdi i punkter, der ligger i mœngden D. D absolut maksimum absolut minimum Calculus Uge

53 Køreplan 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D: Calculus Uge

54 Køreplan 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D: 1. Find værdier af f i kritiske punkter i D 2. Find ekstremværdier af f på randen af D 3. Vælg maksimum/minimum fra 1. og 2. Calculus Uge

55 Find ekstremumspunkter Eksempel 7 Bestem ekstremumsværdier af på rektanglet f(x,y) = x 2 2xy + 2y D = {(x,y) 0 x 3, 0 y 2} Calculus Uge

56 Find ekstremumspunkter Eksempel 7 Bestem ekstremumsværdier af på rektanglet f(x,y) = x 2 2xy + 2y D = {(x,y) 0 x 3, 0 y 2} f har kritisk punkt f(x,y) = (2x 2y, 2x + 2) = 0 (x,y) = (1, 1) Calculus Uge

57 Ekstremumspunkter Eksempel 7 - figur z x 3 2 (3,2) y Calculus Uge

58 Find ekstremumspunkter Eksempel 7 - fortsat f(x,y) = x 2 2xy + 2y Randen opdeles i 4 tilfælde: 1. f(x, 0) = x 2, 0 x 3 2. f(3,y) = 9 4y, 0 y 2 3. f(x, 2) = x 2 4x + 4, 0 x 3 4. f(0,y) = 2y, 0 y 2 Calculus Uge

59 Ekstremumspunkter Eksempel 7 - fortsat f(x,y) = x 2 2xy + 2y I alt er der 6 punkter at tabellægge (a,b) (1, 1) (0, 0) (3, 0) (3, 2) (0, 2) (2, 2) f(a, b) Calculus Uge

60 Ekstremumspunkter Eksempel 7 - fortsat f(x,y) = x 2 2xy + 2y I alt er der 6 punkter at tabellægge (a,b) (1, 1) (0, 0) (3, 0) (3, 2) (0, 2) (2, 2) f(a, b) Absolut maksimumspunkt og -værdi: f(3, 0) = 9 Absolut minimumspunkt og -værdi: f(0, 0) = f(2, 2) = 0 Calculus Uge

61 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 Betragt funktionen f(x,y) givet ved f(x,y) = x + y + 1 xy for x > 0,y > 0. Det oplyses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde. 1. Angiv dette kritiske punkt. 2. Undersøg om det er et lokalt minimum, maksimum, eller saddelpunkt. Calculus Uge

62 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning har kritisk punkt f(x,y) = x + y + 1 xy f = (1 1 x 2 y, 1 1 xy2) = (0, 0) x 2 y = 1, xy 2 = 1 (x,y) = (1, 1) Calculus Uge

63 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f xx = 2x x 3 y,f xy = 1 x 2 y 2,f yy = 2y xy 3 f xx (1, 1) = 2,f xy (1, 1) = 1,f yy (1, 1) = 2 Calculus Uge

64 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f xx = 2x x 3 y,f xy = 1 x 2 y 2,f yy = 2y xy 3 f xx (1, 1) = 2,f xy (1, 1) = 1,f yy (1, 1) = 2 Andenordenstesten giver (a,b) f(a,b) f xx (a,b) D(a,b) Type (1, 1) minimum Altså er punktet (1, 1) lokalt minimum for f på mængden x > 0,y > 0. Calculus Uge

65 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - Figur z x (1,1) y Calculus Uge

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?

1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040? OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et

Detaljer

Geometri, (E-opgaver 9b)

Geometri, (E-opgaver 9b) Geometri, (E-opgaver 9b) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER... 3

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode

Detaljer

Harald Michalsen og Lasse Storr-Hansen. Tplan version 28.2 Skoleåret 2006-2007 TPLAN VERSJON 28.2 OG SOMMEREN 2006...2

Harald Michalsen og Lasse Storr-Hansen. Tplan version 28.2 Skoleåret 2006-2007 TPLAN VERSJON 28.2 OG SOMMEREN 2006...2 1 af 9 TPLAN VERSJON 28.2 OG SOMMEREN 2006...2 NYHEDER I WINTP...4 Import af Holdbetegnelser...5 Import af Fagregister...6 Import af Blokregister...9 2 af 9 Tplan versjon 28.2 og sommeren 2006 Til mine

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler

Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12 Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

Lektion 14. Repetition

Lektion 14. Repetition Lektion 4 Repetition Naturlige eksponentialfunktion 7 6 5 4 y y=sin().5 6 4 4 6.5 y=tan() 5.5.5 y 5 y=arcsin().5.5.5.5.8.6.4...4.6.8 Naturlige logaritmefunktion 4 6 8 Standardfunktioner (cos(), sin())

Detaljer

Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt".

Oppgaveløsninger for Matematikk for økonomer - kort og godt. Oppgaveløsninger for "Matematikk for økonomer - kort og godt". Kapittel 1 Oppgave 1.1 a) (x 2 9x 12)(3 3x) =3x 2 27x 36 3x 3 +27x 2 +36x = 3x 3 +30x 2 +9x 36. b) (2x y) 2 +2(x+y)(x y)+(x+4y) 2 =4x 2 4xy+y

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1103, 2.mars 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA03,.mars 00 Oppgave Tegn figur og finn en parametrisering for skjæringskurven

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1.

NTNU. TMA4105 Matematik 2 våren 2011. Maple-øving 1. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple01 1. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematik 2 våren 2011 Maple-øving 1 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid med maksimalt

Detaljer

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9

Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 24. april 2014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 Innlevering BYPE000 Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 4. april 014 før forelesningen Antall oppgaver: 9 1 Regn ut determinanten til følgende matriser. (Det er også

Detaljer

Funksjoner i flere variable

Funksjoner i flere variable Kapittel 5 Funksjoner i flere variable Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom den samme analysen vi gjør

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskapitler til Kalkulus 3. utgave Universitetsforlaget, Oslo 3. utgave Universitetsforlaget AS 006 1. utgave 1995. utgave 1996 ISBN-13: 978-8-15-00977-3 ISBN-10: 8-15-00977-8 Materialet

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum Integrasjon Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 5 Areal ved Riemann sum... 5 Areal ved trapesmetoden... 6 Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 8 Volum ved rotasjon...

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00

Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00 SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende

Detaljer

LYNKOBLINGER SERIE QR

LYNKOBLINGER SERIE QR LYNKOBLINER SERIE QR HYDROSCAND LIDT TÆTTERE PÅ Hydroscand tilbyder dig høj service, fra bestilling til leverance.vores produktsortiment er bredt og holder en høj kvalitet. Desuden er mange af vores produkter

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

Printer, valgmulighed og Stand Compatibility Guide. Laserprintere

Printer, valgmulighed og Stand Compatibility Guide. Laserprintere Printer, valgmulighed og Stand Compatibility Guide Laserprintere August 2014 Indhold 2 Indhold Understøttede maksimale konfigurationer...3 Printer maskintype 5027...3 Printer maskintype 7527...4 Printer

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : Tirsdag 21. februar 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Adm. bygget, B154. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.

Detaljer

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)} Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,

Detaljer

Separable differensiallikninger.

Separable differensiallikninger. Ukeoppgaver, uke 46, i Matematikk 0, Separable differensiallikninger. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 46 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bokmål Løsningsforslag til eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 17. desember 2007, kl. 09-14. Oppgave 1 Gitt f(x) = x + x 2 1, 1 x 1. a) Finn og

Detaljer

Sådan optimerer du dine. call to action-knapper

Sådan optimerer du dine. call to action-knapper Sådan optimerer du dine call to action-knapper 213,16% flere konverteringer Statistisk signifikansniveau: 99% Lille ændring på siden STOR EFFEKT på beslutningen Det kritiske punkt mellem bounce og konvertering

Detaljer

Innovative Business Software A/S

Innovative Business Software A/S Innovative Business Software A/S Technical Note SIA/CID Konvertering 18. december 2014 ii MEDDELELSE OM OPHAVSRET Copyright 2014 Innovative Business Software A/S. Alle rettigheder forbeholdt. Oplysningerne

Detaljer

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag

Eksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed

Detaljer

S1 2014 høst LØSNING. 2x 10 = x(x 5) x 2 + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7±3. x = 2 x = 5. lg( ) + 3 = 5. lg( ) = 2.

S1 2014 høst LØSNING. 2x 10 = x(x 5) x 2 + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7±3. x = 2 x = 5. lg( ) + 3 = 5. lg( ) = 2. /14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net S1 014 høst LØSNING Contents DEL EN Oppgave 1 x 10 = x(x 5) x + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7± x = x = 5 lg( ) + = 5 x lg( ) = x = 10 lg( x ) 10 x =

Detaljer

Løsning IM3 15.06.2011.

Løsning IM3 15.06.2011. Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen

Detaljer

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4 Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2

Detaljer

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.)

EKSAMEN. Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark.) KANDIDANUMME: EKAMEN FAGNAVN: Matematikk 3 FAGNUMME: EA32 EKAMENDAO: 1. desember 26 KLAE: Valgfag, ingeniørutdanning (3. klasse). ID: kl. 9. 13.. FAGLÆE: Hans Petter Hornæs ANALL IDE ULEVE: 5 (innkl. forside

Detaljer

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( <

0 5 & # 5 0 5 6 5.. ! # %! & (% ) % + 3 % / / 5!!87/ (92) 9:., 5 88 ( ;< 2) +, % 4!( < ! # %! & (% ) % & +, %. / 0 1 2 3 + 3% 4 & 0 5 & #5 0 5 6 5.. 0 7 & / / 5!!87/ (92) 9:., 588 (;

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Matematikk R1 Forslag til besvarelse

Matematikk R1 Forslag til besvarelse Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER I ECON4120 MATEMATIKK 2

EKSAMENSOPPGAVER I ECON4120 MATEMATIKK 2 EKSAMENSOPPGAVER I ECON420 MATEMATIKK 2 MATEMATISK ANALYSE OG LINEÆR ALGEBRA Økonomisk institutt 2003 Forord Denne oppgavesamlingen er særlig beregnet på studenter som forbereder seg til eksamen i ECON420

Detaljer

Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk)

Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 7: Logikk, predikatlogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) 10. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-11

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Matematisk Morfologi Lars Aurdal

Matematisk Morfologi Lars Aurdal Matematisk Morfologi Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning Algoritmer.

Detaljer

Designvejledning. Papirlinie

Designvejledning. Papirlinie Designvejledning Papirlinie Grafisk design: kühnel Tekst: Charlotte Sten Jacobsen Køge Kommune December 2002 4 Indhold 1 Brevpapir 6 Stregsystemet 6 Fortrykt brevpapir 6 Afsenderinformation 6 Typografi

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hva er varmekapasitet og hva er forskjellen på C P og C? armekapasiteten til et stoff er en målbar fysisk størrelse

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det?

3. Løs oppgavene ved hjelp av likning a. Summen av tre tall som følger etter hverandre er 51. Hvilke tre tall er det? Likninger av første grad med en ukjent 1. Løs følgende likninger x 3 + 4x a. + = 16 2x 7 2 x 1 x + 3 b. + 2 = 0 x x 2 1 1 1 c. (2x + 3) (3 4x) = (4x 7) 3 2 6 d. 2 x + 3( 2 x) = 3 2. Lag en likning som

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Mandag Rom 01 Rom 21 Rom 22 Rom 23 Rom 24 Rom 31 Rom 32 Rom 33 Rom 34 Rom 35 Rom 36 Rom 37 Rom 41 Rom 42 Rom 43 Rom 44 Rom 45 Rom 46

Mandag Rom 01 Rom 21 Rom 22 Rom 23 Rom 24 Rom 31 Rom 32 Rom 33 Rom 34 Rom 35 Rom 36 Rom 37 Rom 41 Rom 42 Rom 43 Rom 44 Rom 45 Rom 46 Våren 0 Mandag Rom 0 Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom Rom 00-00 R R S 0- F R R S 00-0 F F F Kjemi AF F AF R 00-0 F F F Kjemi AF F AF R 00-0 F S Kjemi Nivå F S F AF + AF R

Detaljer

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm Studentmanual Matematisk analyse 8. utgave Knut Sydsæter Arne Strøm Forord Denne manualen gir mer detaljerte løsninger på utvalgte oppgaver (merket SM ) i Matematisk Analyse Bind, 8. utgave, Gyldendal

Detaljer

Modul Specifikation Skrevet af. Gruppen. Version 1.0

Modul Specifikation Skrevet af. Gruppen. Version 1.0 Modul Specifikation Skrevet af Gruppen. Version 1.0 Indholds fortegnelse 1. INDLEDNING...4 1.1. FORMÅL...4 1.2. REFERENCER...4 2. MODUL OVERSIGT...5 3. MODUL GUIDE...6 3.1. CGUARDLOGRECORDSET...6 3.1.1.

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

SmartAir TS1000. Konvertéring af updater fra 4.23 til 5

SmartAir TS1000. Konvertéring af updater fra 4.23 til 5 SmartAir TS1000 Konvertéring af updater fra 4.23 til 5 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Konvertering trin for trin... 3 Tilslut enheder til Updateren... 3 Afinstallere BDE filerne... 4 Hent Konverteringsfilerne...

Detaljer

Ved nogle statistikker skal man angive den bibliografiske base. Det er koden for det bibliografiske

Ved nogle statistikker skal man angive den bibliografiske base. Det er koden for det bibliografiske 1. UDVIDET STATISTIK For stort set alle statistikker gælder, at man kan anvende en inddata fil. Inddata filen kan fx være en søgning, der er lagret på serveren. Den kan også være et udtræk vi jobbet ret-01.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

Vektorvärda funktioner

Vektorvärda funktioner Vektorvärda funktioner En vektorvärd funktion är en funktion som ger en vektor som svar. Exempel på en sådan är en parametriserad kurva som r(t) = (t, t 2 ), 0 t 1, som beskriver kurvan y = x 2 då 0 x

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag

Eksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der

I denne øvingen vil vi sammenlikne det teoretiske resultat med et grafisk bilde av konturlinjene til flaten. Vi tegner konturene der Øving uke 44 Kritiske punkter Se også Mathematicakompendiet, kap 3.8 En funksjon av to variable kan ha lokale maksimal- og minimalpunkter innenfor definisjonsmengden, akkurat som funksjoner av en variabel.

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN VÅR07, MA0301

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN VÅR07, MA0301 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN VÅR07, MA0301 Oppgave 1 Om mengder. a) (10%) Sett opp en medlemsskapstabell (membership

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.

Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien. Litt matematikk som er nyttig for teorien bak spillteorien.. John von Neumanns min-max teorem For å vise dette resultatet trenger vi et lite hjelperesultat. For p R m så sier vi at p er en sannsynlighetsvektor

Detaljer

Oprettelse af koblinger

Oprettelse af koblinger Oprettelse af koblinger Hvis der til en undervisning (skemabrik) skal knyttes flere lærere, klasser, fag og/eller lokaler, der skal have undervisning samtidig, benævnes det i Untis som en kobling. Koblingen

Detaljer

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2

Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Velkommen til Eksamenskurs matematikk 2 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 12.-13. mai 2010 Introduksjon Begin with the end in mind - The 7 Habits of Highly Effective People (Stephen R. Covey)

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad, denne versjonen: π-dagen ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger 1. plenumsregning 1. feb.: derivasjon. Oppgave 1.1 der A er en konstant. Funksjonen

Detaljer

Høsten 2015 Bokmål. Prøveinformasjon. Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: Del 1 (32,5 poeng) Del 2 (29 poeng)

Høsten 2015 Bokmål. Prøveinformasjon. Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: Del 1 (32,5 poeng) Del 2 (29 poeng) Høsten 2015 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og Del 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen

Detaljer

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene

Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene Oppgaver i matematikk 19-åringer, spesialistene I TIMSS 95 var elever i siste klasse på videregående skole den eldste populasjonen som ble testet. I matematikk ble det laget to oppgavetyper: en for elever

Detaljer

Morfologiske operasjoner på binære bilder

Morfologiske operasjoner på binære bilder Digital bildebehandling Forelesning 13 Morfologiske operasjoner på binære bilder Andreas Kleppe Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer Sammensatte operatorer Eksempler på anvendelser

Detaljer

Rungekuttametodene løser initialverdiproblemer på formen y' = F x, y, y x 0

Rungekuttametodene løser initialverdiproblemer på formen y' = F x, y, y x 0 Rungekuttametodene løser initialverdiproblemer på formen y' = F x, y, y x 0 = y 0 der F x, y står for et uttrykk i x og y. De er iterative metoder, så for - løkker egner seg ypperlig i denne sammenengen.

Detaljer

NOKSEK. Kommentar fra Nordic Sales Trading:

NOKSEK. Kommentar fra Nordic Sales Trading: 17/12-15 Kommentar fra Nordic Sales Trading: Følgende handelsmuligheter skal ikke betraktes som direkte kjøps- eller salgsanbefalinger, men skal kun forstås som de muligheter vi ved handelsbordet i Saxo

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. Del 1. MAT0010 Matematikk. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål

Eksamen 21.05.2013. Del 1. MAT0010 Matematikk. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål Eksamen 1.05.013 MAT0010 Matematikk Del 1 Skole: Bokmål Kandidatnr.: Del 1 + ark fra Del Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt: Del

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

http://ojs.statsbiblioteket.dk/index.php/sin/issue/archive

http://ojs.statsbiblioteket.dk/index.php/sin/issue/archive Sprog i Norden Titel: Forfatter: Kilde: URL: Samarbeid om reformer i lovspråket Alf Hellevik Sprog i Norden, 1973, s. 51-54 http://ojs.statsbiblioteket.dk/index.php/sin/issue/archive Dansk Sprognævn Betingelser

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Vektorer. En overflate i et tredimensjonalt rom kan skrives som funksjonen:

Vektorer. En overflate i et tredimensjonalt rom kan skrives som funksjonen: og vektorregning Halvor Aarnes, UiO, 2014 Vektorer Innhold Vektorer... 1 Kule og kulekoordinater... 3 Skalarprodukt... 4 Vektorprodukt... 7 Vektorfelt... 9 Gradient... 10 Divergens... 11 Sirkulasjon...

Detaljer

Notater til eksamensforelesning i TMA4105

Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Notater til eksamensforelesning i TMA4105 Åsmund Eldhuset Definitivt ikke ferdig! Dette er ikke ment som en frittstående tekst, men kun som supplement til læreboken. Hvis det er uoverensstemmelse mellom

Detaljer

1 Trigonometriske relationer

1 Trigonometriske relationer gdmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribtion og fremvisning af dette dokment eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse

Detaljer

MAT1030 Forelesning 7

MAT1030 Forelesning 7 MAT1030 Forelesning 7 Logikk, predikatlogikk Dag Normann - 9. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-09 14:24) Kapittel 4: Logikk (predikatlogikk) Predikatlogikk Vi brukte hele forrige uke til å innføre

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 38 dag 1 1. På en hylle står det tre bøker. Den første boken er like tykk som de to andre til sammen. Den andre boken er på 150 sider, mens den tredje boken er

Detaljer

Kapittel: 9. MEK4550 Elementmetoden i faststoffmekanikk I. (E-post:ges@math.uio.no) Universitetet i Oslo. Avdeling for Mekanikk Geir Skeie

Kapittel: 9. MEK4550 Elementmetoden i faststoffmekanikk I. (E-post:ges@math.uio.no) Universitetet i Oslo. Avdeling for Mekanikk Geir Skeie Kapittel: 9 MEK4550 Elementmetoden i faststoffmekanikk I (21. november 2007) Foreleser: (E-post:ges@math.uio.no) Page 1 of 31 Innhold 9 Geometrisk avbilding og numerisk integrasjon 3 9.1 Skjeve elementer

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)

Detaljer

Klagenemnda for offentlige anskaffelser

Klagenemnda for offentlige anskaffelser Klagenemnda for offentlige anskaffelser Saken gjelder: Dokumentasjons-/kvalifikasjonskrav. Avvisning av leverandør. Tildelingsevaluering. Innklagede gjennomførte en åpen anbudskonkurranse for kjøp av snørydding

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013

Løsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013 BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )

Detaljer

A3-7 120 CM OPERA GASSKOMFYR 2 OVNER (1 MULTIFUNKSJON), RUSTFRITT STÅL ENERGIKLASSE: STOR OVN: A LITEN OVN: B

A3-7 120 CM OPERA GASSKOMFYR 2 OVNER (1 MULTIFUNKSJON), RUSTFRITT STÅL ENERGIKLASSE: STOR OVN: A LITEN OVN: B A3-7 120 CM OPERA GASSKOMFYR 2 OVNER (1 MULTIFUNKSJON), RUSTFRITT STÅL ENERGIKLASSE: STOR OVN: A LITEN OVN: B EAN13: 8017709162375 6 bluss Venstre bak: 1800 W Venstre fremme: ekstra hurtig 4200 W Midten

Detaljer

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm

Studentmanual. Matematisk analyse 1. 8. utgave. Knut Sydsæter Arne Strøm Studentmanual Matematisk analyse 8. utgave Knut Sydsæter Arne Strøm Foreløpig utgave, oktober 2 Forord Denne manualen gir mer detaljerte løsninger på utvalgte oppgaver (merket SM ) i Matematisk Analyse

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi

Eksamensoppgave i SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1010 Matematikk og mikroøkonomi Faglig kontakt under eksamen: Hildegunn E. Stokke Tlf.: 73 59 16 65 Eksamensdato: 19. mai 014 Eksamenstid (fra-til): 5

Detaljer

Konceptuel model for Aktør/adresse

Konceptuel model for Aktør/adresse Konceptuel model for Aktør/adresse Præsentation for Videnskabsministeriet 6. december 2005 Revideret 7. december 2005 Udkast til fælles offentlig konceptuel begrebsmodel for aktører og tilknyttede adresser

Detaljer

Innhold HamboHus 7.0.5 Uttrykk

Innhold HamboHus 7.0.5 Uttrykk INNHOLD 1 HamboHus 7.0.5 Uttrykk Side 1 av 28 Version 7.0.5 mars 2015 HamboHus 7.0.5 Uttrykk 2 HamboHus 7.0.5 Uttrykk Side 2 av 28 Version 7.0.5 mars 2015 HamboHus 7.0.5 Uttrykk 3 "" " " " " " " "" " ""

Detaljer

Fleksibelt luftfordelingssystem

Fleksibelt luftfordelingssystem Fleksibelt luftfordelingssystem BESKRIVELSE Uniflexplus+ er et patenteret luftfordelingssystem til ventilation, som kan bruges i hjem, lejligheder og små bygninger. De fleksible luftkanaler og deres tilhørende

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

Kap.4 Funksjoner. Tre viktig ting ifm. funksjoner: parameter (input) oppskrift (body) for å beregne resultat (output)

Kap.4 Funksjoner. Tre viktig ting ifm. funksjoner: parameter (input) oppskrift (body) for å beregne resultat (output) 1 Kap.4 Funksjoner Tre viktig ting ifm. funksjoner: navn parameter (input) oppskrift (body) for å beregne resultat (output) Syntaks: = Deklarerte funksjoner kan brukes i uttrykk

Detaljer

Sprog i Norden Betingelser for brug af denne artikel Søgbarhed

Sprog i Norden Betingelser for brug af denne artikel Søgbarhed Sprog i Norden Titel: Forfatter: Situasjonen for samisk språk i dag Rolf Olsen Kilde: Sprog i Norden, 2005, s. 143-146 URL: http://ojs.statsbiblioteket.dk/index.php/sin/issue/archive Forfatterne og Netværket

Detaljer