Oversigt [S] 11.7; [LA] 13
|
|
|
- Sondre Langeland
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Her skal du lære om Lokalt og absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan for maks/min-problemer August 2002, opgave 3 Calculus Uge
2 Lokalt maksimum/minimum 1 Definition En funktion f(x,y) har et lokalt maksimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en lokal maksimumsværdi. Calculus Uge
3 Lokalt maksimum/minimum 1 Definition En funktion f(x,y) har et lokalt maksimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en lokal maksimumsværdi. En funktion f(x,y) har et lokalt minimum i punktet (a,b), hvis der i en lille cirkelskive herom gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en lokal minimumsværdi. Calculus Uge
4 Lokalt maksimum/minimum 1 Definition - figur z lokalt maksimum x lokalt minimum y Calculus Uge
5 Lokalt maksimum/minimum Velkendt figur z lokalt maksimum 1 y lokalt minimum Snit for x = 0 Calculus Uge
6 Absolut maksimum/minimum Definition En funktion f : D R har et absolut maksimum i punktet (a,b), hvis der for alle (x,y) D gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en absolut maksimumsværdi i D. Calculus Uge
7 Absolut maksimum/minimum Definition En funktion f : D R har et absolut maksimum i punktet (a,b), hvis der for alle (x,y) D gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en absolut maksimumsværdi i D. En funktion f : D R har et absolut minimum i punktet (a,b), hvis der for alle (x,y) D gælder f(x,y) f(a,b) f(a,b) er en absolut minimumsværdi i D. Calculus Uge
8 Absolut maksimum/minimum Eksempel Funktion f : R 2 R givet ved f(x,y) = 1 x 2 + y opfylder f(x,y) f(0, 0) = 1 Altså har f et absolut maksimum i punktet (0, 0) med en absolut maksimumsværdi på 1. Calculus Uge
9 Absolut maksimum/minimum Eksempel Funktion f : R 2 R givet ved f(x,y) = 1 x 2 + y opfylder f(x,y) f(0, 0) = 1 Altså har f et absolut maksimum i punktet (0, 0) med en absolut maksimumsværdi på 1. Der er ikke noget absolut minimumspunkt. Calculus Uge
10 Lokalt maksimum/minimum Niveaukurver y x Aflæs: lokalt maksimumspunkt i (3, 3) med maksimumsværdi 4. Calculus Uge
11 Absolut maksimum/minimum Sprogbrug For lokalt/absolut maksimum eller minimum bruges betegnelser lokalt ekstremum lokal ekstremumsværdi absolut ekstremum absolut ekstremumsværdi Calculus Uge
12 Lokalt maksimum/minimum En variabel - figur y lokalt maksimum f (x 1 ) = 0 x 1 x 2 x f (x 2 ) = 0 lokalt minimum Calculus Uge
13 1. ordens kriterium 2 Sætning Hvis f(x,y) har lokalt maksimum/minimum, lokalt ekstremum, i punktet (a,b) og de partielle afledede eksisterer i (a,b) så er f x (a,b) = 0 = f y (a,b) Calculus Uge
14 1. ordens kriterium 2 Sætning Hvis f(x,y) har lokalt maksimum/minimum, lokalt ekstremum, i punktet (a,b) og de partielle afledede eksisterer i (a,b) så er f x (a,b) = 0 = f y (a,b) Skrives også med gradienten (a,b) lokalt maks/min f(a,b) = 0 Calculus Uge
15 Kritisk punkt Definition En funktion f(x,y) har et kritisk punkt, stationœrt punkt i punktet (a,b), hvis f(a,b) = (f x (a,b),f y (a,b)) = 0 Calculus Uge
16 Kritisk punkt Definition En funktion f(x,y) har et kritisk punkt, stationœrt punkt i punktet (a,b), hvis f(a,b) = (f x (a,b),f y (a,b)) = 0 Når de partielle afledede findes, er et lokalt maksimum/minimum et kritisk punkt. Et kritisk punkt, som hverken er lokalt maksimum eller minimum, kaldes et saddelpunkt. Calculus Uge
17 Kritisk punkt Kritisk punkt z z x y x y lokalt maksimum Saddelpunkt Calculus Uge
18 Find ekstremumspunkter Eksempel 1 f(x,y) = x 2 + y 2 2x 6y + 14 har kritisk punkt f(x,y) = (2x 2, 2y 6) = 0 (x,y) = (1, 3) Calculus Uge
19 Find ekstremumspunkter Eksempel 1 f(x,y) = x 2 + y 2 2x 6y + 14 har kritisk punkt f(x,y) = (2x 2, 2y 6) = 0 (x,y) = (1, 3) Omskrivningen f(x,y) = (x 1) 2 + (y 3) viser, at (1, 3) er et absolut minimum på D = R 2. Calculus Uge
20 Absolut minimum Eksempel 1 - figur z x Absolut minimum i (1, 3) y Calculus Uge
21 Find ekstremumspunkter Eksempel 2 har kritisk punkt f(x,y) = y 2 x 2 f(x,y) = ( 2x, 2y) = 0 (x,y) = (0, 0) Calculus Uge
22 Find ekstremumspunkter Eksempel 2 har kritisk punkt f(x,y) = y 2 x 2 f(x,y) = ( 2x, 2y) = 0 (x,y) = (0, 0) f(x, 0) < 0, f(0,y) > 0, (x,y) 0 viser, at (0, 0) ikke er et lokalt ekstremum, altså er (0, 0) et saddelpunkt. Calculus Uge
23 Ekstremumspunkt Eksempel 2 - figur z x y Saddelpunkt i (0, 0) Calculus Uge
24 2. ordens kriterium Sætning - (en variabel) Antag den afledede Så gœlder f (a) = 0 (a) f (a) > 0 a lokalt minimum (b) f (a) < 0 a lokalt maksimum Calculus Uge
25 2. ordens kriterium, lokalt maksimum [S] 11.7 Maximum and minimum va En variabel - figur y lokalt maksimum f (0)=0 f (x 1 )>0 f (x 2 )<0 x 1 x 2 x f (x) er aftagende omkring x = 0 : f (0) < 0 Calculus Uge
26 2. ordens kriterium 3 Sætning (Andenordenstest) Antag f(x,y) har kritisk punkt (a,b) og lad f x (a,b) = 0 = f y (a,b) D = f xx (a,b)f yy (a,b) f xy (a,b) 2 Calculus Uge
27 2. ordens kriterium 3 Sætning (Andenordenstest) Antag f(x,y) har kritisk punkt (a,b) og lad f x (a,b) = 0 = f y (a,b) D = f xx (a,b)f yy (a,b) f xy (a,b) 2 (a) D > 0, f xx (a,b) > 0 (a,b) lokalt minimum (b) D > 0, f xx (a,b) < 0 (a,b) lokalt maksimum (c) D < 0 (a,b) saddelpunkt Calculus Uge
28 2. ordens kriterium [LA] ordens partielle afledede,... Andenordenstest Antag f(x, y) har kritisk punkt (a, b), f(a, b) = 0. Hesse matricen f xx(a,b) f xy (a,b) f yx (a,b) f yy (a,b) har determinant D = f xx (a,b)f yy (a,b) f xy (a,b) 2. Egenværdier: (a) to positive, (b) to negative, (c) en positiv og en negativ. Calculus Uge
29 2. ordens kriterium [LA] ordens partielle afledede,... Andenordenstest Antag f(x, y) har kritisk punkt (a, b), f(a, b) = 0. Hesse matricen f xx(a,b) f xy (a,b) f yx (a,b) f yy (a,b) har determinant D = f xx (a,b)f yy (a,b) f xy (a,b) 2. Egenværdier: (a) to positive, (b) to negative, (c) en positiv og en negativ. (a) D > 0, f xx (a,b) > 0 (a,b) lokalt minimum (b) D > 0, f xx (a,b) < 0 (a,b) lokalt maksimum (c) D < 0 (a,b) saddelpunkt Calculus Uge
30 Lokalt maksimum/minimum To variabele - figur z har et saddelpunkt i (0, 0). x z = 1 x 2 + y 2 y Calculus Uge
31 Ekstremumspunkters type Eksempel 3 f(x,y) = x 4 + y 4 4xy + 1 har kritiske punkter, hvor f(x,y) = (4x 3 4y, 4y 3 4x) = (0, 0) Calculus Uge
32 Ekstremumspunkters type Eksempel 3 f(x,y) = x 4 + y 4 4xy + 1 har kritiske punkter, hvor f(x,y) = (4x 3 4y, 4y 3 4x) = (0, 0) De kritiske punkter bestemmes x 3 y = 0, y 3 x = 0 x 3 y = 0, (x 3 ) 3 x = 0 (x,y) = (0, 0), (1, 1), ( 1, 1) Calculus Uge
33 Lokalt maksimum/minimum Eksempel 3 - figur z x z = x 4 + y 4 4xy + 1 y Calculus Uge
34 Ekstremumspunkters type Eksempel 3 - fortsat f x = 4x 3 4y, f y = 4y 3 4x f xx = 12x 2, f xy = 4, f yy = 12y 2 giver D = f xx f yy f 2 xy = 144x 2 y 2 16 Calculus Uge
35 Ekstremumspunkters type Eksempel 3 - fortsat f x = 4x 3 4y, f y = 4y 3 4x f xx = 12x 2, f xy = 4, f yy = 12y 2 giver D = f xx f yy fxy 2 = 144x 2 y D(0, 0) = 16 < 0 (0, 0) saddelpunkt 2. D(1, 1) = 128 > 0, f xx (1, 1) = 12 > 0 (1, 1) lokalt minimum 3. D( 1, 1) = 128 > 0, f xx ( 1, 1) = 12 > 0 ( 1, 1) lokalt minimum Calculus Uge
36 Populært skema Eksempel 3 - fortsat Konklusions skema (a,b) f(a,b) f xx (a,b) D(a,b) Type (0, 0) saddel (1, 1) minimum ( 1, 1) minimum Calculus Uge
37 Ekstremumspunkters type Eksempel 4 f(x,y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 har kritiske punkter, hvor 20xy 10x 4x 3 = 0, 10x 2 8y 8y 3 = 0 Calculus Uge
38 Ekstremumspunkters type Eksempel 4 f(x,y) = 10x 2 y 5x 2 4y 2 x 4 2y 4 har kritiske punkter, hvor 20xy 10x 4x 3 = 0, 10x 2 8y 8y 3 = 0 Foruden (x,y) = (0, 0) fås, x 0 10y 5 2x 2 = 0, 5x 2 4y 4y 3 = 0 10y 5 2x 2 = 0, 8y 3 42y + 25 = 0... (x,y) (0, 0), (±2.64, 1.90), (±0.86, 0.65) Calculus Uge
39 Konklusion Eksempel 4 - fortsat f x = 20xy 10x 4x 3, f y = 10x 2 8y 8y 3 f xx = 20y 10 12x 2, f xy = 20x, f yy = 8 24y 2 Calculus Uge
40 Konklusion Eksempel 4 - fortsat f x = 20xy 10x 4x 3, f y = 10x 2 8y 8y 3 f xx = 20y 10 12x 2, f xy = 20x, f yy = 8 24y 2 (a,b) f(a,b) f xx (a,b) D(a,b) Type (0, 0) maksimum ( 2.64, 1.90) maksimum (2.64, 1.90) maksimum ( 0.86, 0.65) saddel (0.86, 0.65) saddel Calculus Uge
41 Kassefabrikant Eksempel 6 En kasse uden låg laves af 12m 2 krydsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. giver med kritiske punkter, hvor V = xyz, 2xz + 2yz + xy = 12 V = xy 12 xy 2x + 2y V x = y2 (12 2xy x 2 ) 2(x + y) 2 = 0, V y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 = 0 Calculus Uge
42 Kassefabrikant Eksempel 6 - figur z y x Calculus Uge
43 Kassefabrikant Eksempel 6 Relevante punkter, x,y > 0, fås for 12 2xy x 2 = 0, 12 2xy y 2 = xy x 2 = 0, x = y 12 3x 2 = 0, x = y (x,y) = ±(2, 2) Altså (x,y) = (2, 2) Calculus Uge
44 Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x = y2 (12 2xy x 2 ), V 2(x + y) 2 y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 Calculus Uge
45 Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x = y2 (12 2xy x 2 ), V 2(x + y) 2 y = x2 (12 2xy y 2 ) 2(x + y) 2 V xx = y2 ( 2y 2x)2(x + y) 2 y 2 (12 2xy x 2 )4(x + y) 4(x + y) 4 V yy = x2 ( 2y 2x)2(x + y) 2 x 2 (12 2xy y 2 )4(x + y) 4(x + y) 4 V xy = ( 24y 6xy2 2x 2 y)2(x + y) 2 y 2 (12 2xy x 2 )4(x + y) 4(x + y) 4 Calculus Uge
46 Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x (2, 2) = 0, V y (2, 2) = 0 V xx (2, 2) = 1, V xy (2, 2) = 1/2, V yy (2, 2) = 1 Calculus Uge
47 Kassefabrikant Eksempel 6 - fortsat V x (2, 2) = 0, V y (2, 2) = 0 V xx (2, 2) = 1, V xy (2, 2) = 1/2, V yy (2, 2) = 1 (a,b) V (a,b) V xx (a,b) D(a,b) Type (2, 2) 4 1 3/4 maksimum Kantlængder for størst rumfang er (x,y,z) = (2, 2, 1) Calculus Uge
48 Lukket mængde Definition Givet en delmængde D R 2. Et punkt (a,b) er et randpunkt til D, hvis enhver cirkelskive med centrum i (a,b) og positiv radius indeholder punkter fra D samt punkter, der ikke ligger i D. Delmængden D er lukket, hvis ethvert randpunkt er med. Calculus Uge
49 Lukket mængde Definition Givet en delmængde D R 2. Et punkt (a,b) er et randpunkt til D, hvis enhver cirkelskive med centrum i (a,b) og positiv radius indeholder punkter fra D samt punkter, der ikke ligger i D. Delmængden D er lukket, hvis ethvert randpunkt er med. Eksempel D = {(x,y) x 2 + y 2 1} har randpunkter {(x,y) x 2 + y 2 = 1} og er lukket. Calculus Uge
50 Randpunkt Definition - figur y randpunkt D x Calculus Uge
51 Absolut ekstremum 8 Sætning (Ekstrem værdi) Hvis f : D R er kontinuert på en lukket og begrœnset delmœngde D R 2, så antager f både en absolut maksimumsvœrdi og en absolut minimumsvœrdi i punkter, der ligger i mœngden D. Calculus Uge
52 Absolut ekstremum 8 Sætning (Ekstrem værdi) Hvis f : D R er kontinuert på en lukket og begrœnset delmœngde D R 2, så antager f både en absolut maksimumsvœrdi og en absolut minimumsvœrdi i punkter, der ligger i mœngden D. D absolut maksimum absolut minimum Calculus Uge
53 Køreplan 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D: Calculus Uge
54 Køreplan 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D: 1. Find værdier af f i kritiske punkter i D 2. Find ekstremværdier af f på randen af D 3. Vælg maksimum/minimum fra 1. og 2. Calculus Uge
55 Find ekstremumspunkter Eksempel 7 Bestem ekstremumsværdier af på rektanglet f(x,y) = x 2 2xy + 2y D = {(x,y) 0 x 3, 0 y 2} Calculus Uge
56 Find ekstremumspunkter Eksempel 7 Bestem ekstremumsværdier af på rektanglet f(x,y) = x 2 2xy + 2y D = {(x,y) 0 x 3, 0 y 2} f har kritisk punkt f(x,y) = (2x 2y, 2x + 2) = 0 (x,y) = (1, 1) Calculus Uge
57 Ekstremumspunkter Eksempel 7 - figur z x 3 2 (3,2) y Calculus Uge
58 Find ekstremumspunkter Eksempel 7 - fortsat f(x,y) = x 2 2xy + 2y Randen opdeles i 4 tilfælde: 1. f(x, 0) = x 2, 0 x 3 2. f(3,y) = 9 4y, 0 y 2 3. f(x, 2) = x 2 4x + 4, 0 x 3 4. f(0,y) = 2y, 0 y 2 Calculus Uge
59 Ekstremumspunkter Eksempel 7 - fortsat f(x,y) = x 2 2xy + 2y I alt er der 6 punkter at tabellægge (a,b) (1, 1) (0, 0) (3, 0) (3, 2) (0, 2) (2, 2) f(a, b) Calculus Uge
60 Ekstremumspunkter Eksempel 7 - fortsat f(x,y) = x 2 2xy + 2y I alt er der 6 punkter at tabellægge (a,b) (1, 1) (0, 0) (3, 0) (3, 2) (0, 2) (2, 2) f(a, b) Absolut maksimumspunkt og -værdi: f(3, 0) = 9 Absolut minimumspunkt og -værdi: f(0, 0) = f(2, 2) = 0 Calculus Uge
61 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 Betragt funktionen f(x,y) givet ved f(x,y) = x + y + 1 xy for x > 0,y > 0. Det oplyses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde. 1. Angiv dette kritiske punkt. 2. Undersøg om det er et lokalt minimum, maksimum, eller saddelpunkt. Calculus Uge
62 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning har kritisk punkt f(x,y) = x + y + 1 xy f = (1 1 x 2 y, 1 1 xy2) = (0, 0) x 2 y = 1, xy 2 = 1 (x,y) = (1, 1) Calculus Uge
63 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f xx = 2x x 3 y,f xy = 1 x 2 y 2,f yy = 2y xy 3 f xx (1, 1) = 2,f xy (1, 1) = 1,f yy (1, 1) = 2 Calculus Uge
64 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - løsning Dobbelt partielle afledede f xx = 2x x 3 y,f xy = 1 x 2 y 2,f yy = 2y xy 3 f xx (1, 1) = 2,f xy (1, 1) = 1,f yy (1, 1) = 2 Andenordenstesten giver (a,b) f(a,b) f xx (a,b) D(a,b) Type (1, 1) minimum Altså er punktet (1, 1) lokalt minimum for f på mængden x > 0,y > 0. Calculus Uge
65 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 3 - Figur z x (1,1) y Calculus Uge
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13
![Oversigt [S] 11.7; [LA] 13](/thumbs/89/98016975.jpg "Oversigt [S] 11.7; [LA] 13")
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan for maks/min-problemer
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13
![Oversigt [S] 11.7; [LA] 13](/thumbs/88/115574896.jpg "Oversigt [S] 11.7; [LA] 13")
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan for maks/min-problemer
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13
![Oversigt [S] 11.7; [LA] 13](/thumbs/57/41029781.jpg "Oversigt [S] 11.7; [LA] 13")
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Hessematricen Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13
![Oversigt [S] 11.7; [LA] 13](/thumbs/61/46089832.jpg "Oversigt [S] 11.7; [LA] 13")
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Hessematricen Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan
1 Definition. En funktion f(x, y) har et lokalt minimum i punktet (a, b), hvis. der i en lille cirkelskive herom gælder
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Hessematricen Eksistens af absolut maksimum og minimum Køreplan
f(a, b) er en lokal minimumsværdi.
Oversigt [S] 11.7; [LA] 13 Lokalt maksimum/minimum Nøgleord og begreber Lokalt maksimum og minimum Absolut maksimum og minimum Kritisk punkt Andenordenskriteriet Hessematricen Eksistens af absolut maksimum
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
![Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1](/thumbs/62/47252537.jpg "Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1")
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i flere variable Test kontinuitet Polære koordinater
Nøgleord og begreber Egenværdi Egenvektor Egenrum Hvordan findes egenværdier Hvordan beregnes egenvektorerne Angivelse af egenrum
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Egenværdi Egenvektor Egenrum Hvordan findes egenværdier Hvordan beregnes egenvektorerne Angivelse af egenrum Calculus 2-2005 Uge 44. - Vektorer skaleres Definition
Oversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7
![Oversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7](/thumbs/74/70051347.jpg "Oversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7")
Oversigt [S] 12.4, 12.5, 12.7 Nøgleord og begreber Repetition: Polære koordinater Lagkagestykker Koordinatskift Type II varianten August 22, opgave 1 Populære anvendelser Flyv højere... Koordinatskift
Nøgleord og begreber
Oversigt [LA] 0 Nøgleord og begreber Egenværdi Egenvektor Hvordan findes egenværdier Karakteristisk polynomium Egenrum Uafhængige egenvektorer Hvordan beregnes egenvektorerne Angivelse af egenrum Calculus
Oversigt [LA] 11, 12
![Oversigt [LA] 11, 12](/thumbs/53/32192745.jpg "Oversigt [LA] 11, 12")
Oversigt [LA] 11, 12 Nøgleord og begreber At diagonalisere en matrix Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 2002, opgave 2 Prikprodukt Skalarprodukt Længde Pythagoras formel Cauchy-Schwarz
Oversigt [LA] 11, 12
![Oversigt [LA] 11, 12](/thumbs/70/63978615.jpg "Oversigt [LA] 11, 12")
Oversigt [LA] 11, 12 Nøgleord og begreber At diagonalisere en matrix Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 2002, opgave 2 Prikprodukt Skalarprodukt Længde Pythagoras formel Cauchy-Schwarz
Figur y. Eksempel 3 Forskriften. Grafen for en funktion f : D R. Niveaukurven(konturlinjen) af kote k for en funktion. Figur
Oversigt [S] 9.6,.,.2, App. H. En generel funktion [S] 9.6 Functions and surfaces Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i
Figur D R 2, Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1. Calculus Uge En generel funktion. [S] 9.6 Functions and surfaces.
![Figur D R 2, Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1. Calculus Uge En generel funktion. [S] 9.6 Functions and surfaces.](/thumbs/62/47252512.jpg "Figur D R 2, Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1. Calculus Uge En generel funktion. [S] 9.6 Functions and surfaces.")
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i flere variable Test kontinuitet Polære koordinater
Figur y D R 2, Definition En tilordning af et tal til et givet talpar definerer en funktion af to variable. f : D R. Mængden af talpar D R 2
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Nøgleord og begreber Funktioner af flere variable Grafen og niveaukurver Grænseovergange og grænseværdier Kontinuitet i flere variable Test kontinuitet Polære koordinater
Lektion 2. Differentiable funktioner. Den afledte funktion, differentialkvotienten. Tangent og lineær approximation. Maksimum og minimum
Lektion Differentiable funktioner Den afledte funktion, differentialkvotienten Tangent og lineær approimation Maksimum og minimum Taylor polynomiet Opgaver Differentiable funktioner Lad f() være en kontinuert
3. Grænseovergange og grænseværdier
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11., App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 :, 8, 12, 19, 1, (valgfritt - 9,
Oppgave 1. e rt = 120e. = 240 e
Løsning MET 803 Matematikk Dato 5. desember 05 kl 0900-00 Oppgave. (a) Dersom vi selger eiendommen etter t år, med t > 0, så er nåverdien av salgssummen med r = 0,0. Da får vi N(t) = V (t)e rt = 0 e e
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 10 10.6.3 La f (x, y) = x 2 y 4x 2 4y der (x, y) R 2. Finn alle
+ (y b) F y. Bruker vi det siste på likningen z = f(x, y) i punktet (a, b, f(a, b)) kan vi velge F (x, y, z) = f(x, y) z.
Vi husker fra sist Gradientvektoren F ( a) peker i den retningen u der den retningsderiverte D u F ( a) er størst, og der er D u F ( a) = u F ( a) = F ( a). Gradientvektoren er normalvektoren til (hyper)flata
The full and long title of the presentation
The full and long title of the presentation Subtitle if you want Øistein Søvik Mai 207 Ø. Søvik Short title Mai 207 / 4 Innholdsfortegnelse Introduksjon Nyttige tips før eksamen Nyttige tips under eksamen
Løsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.
dg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014 Løsningsforslag Øving 10 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016 Løsningsforslag Øving 11 Oppgaver fra boken: 10.6 : 1, 8, 9, 12, 19, 26, 29,, 4 Det
Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
MET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 18.1.017 Kl. 14:00 Innlevering: 18.1.017 Kl. 19:00 For mer informasjon om formalia,
i den nederste figur pi næste side har hældningen 0, fordi ^r P \ J = -2x Teori for lineær sammenhæng o T E O R I F O R LINEÆR SAMMENHÆNG
3.Teori for lineær sammenhæng o T E O R I F O R LINEÆR SAMMENHÆNG Definition 3.1: Lineær sammenhæng Ved en W *. W ^ - s en ret linje e n sammenhæng, hvor grafen er Hældningen er det stykke a, Linjen ;
Øvelse, eksamensoppgaver MAT 1050 mars 2018
Øvelse, eksamensoppgaver MAT 5 mars 8 Oppgave. La f være funksjonen gitt ved f (x) = x 8 x, x a) Finn alle kritiske punkter for funksjonen f. f (x) = 8 x + x 8 x ( x) = (8 8 x x x ) = (4 8 x x ) = gir
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46
Notater nr 9: oppsummering for uke 45-46 Bøkene B (læreboken): Tor Gulliksen og Arne Hole, Matematikk i Praksis, 5. utgave. K (kompendium): Amir M. Hashemi, Brukerkurs i matematikk MAT, høsten. Oppsummering
Korreksjoner til fasit, 2. utgave
Korreksjoner til fasit,. utgave Kapittel. Oppgave.. a): / Oppgave.. e):.887, 0.58 Oppgave..9: sin00πt). + ) x Oppgave.7.5 c): ln for 0 < x. x Oppgave.8.0: Uttrykket for a + b) 7 skal være a + b) 7 = a
Inverter (vekselretter)
Invertere - Optimering af belastning: Inverter (vekselretter) Maximum power point tracking (MPPT) 800 W/m2 6,9 A maximum power point Tilpasser automatisk belastningen til maximum power point 6,9 A Effekt:
Fordelingsfunktionen. Definition (EH 17.1) Sætning (EH 17.2)
Fordelingsfunktionen Definition (EH 17.1) Hvis ν er et sandsynlighedsmål på (R, B) defineres fordelingsfunktionen for ν som funktionen ( ) F (x) = ν (, x] for x R. Sætning (EH 17.2) Et sandsynlighedsmål
n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
3x + 2y 8, 2x + 4y 8.
Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske
y(x + y) xy(1) (x + y) 2 = x(x + y) xy(1) (x + y) 3
Løsning Øvingsoppgaver Funksjoner i ere variabler MET 1180 Matematikk April 017 Oppgave 1. (a) Vi har at f = 3 og f = +. Hessematrisen blir dermed 6 (b) Ved kvotientregelen har vi at f = f = og de andreordens
SKRIFTLIG EKSAMEN I NUMERISK DYNAMIK B-sektorens 7. semester 30. januar 2002 kl Alle hjρlpemidler er tilladt OPGAVE 1 Givet randvρrdiprob
SKRIFTLIG EKSAMEN I NUMERISK DYNAMIK B-sektorens 7. semester 0. januar 00 kl. 0.00-1.00 Alle hjρlpemidler er tilladt OPGAVE 1 Givet randvρrdiproblemet k @ u(r;t) @r + 1 r @u(r;t) @u(r;t) @r = @t u(c; t)
f =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIK B-sektorens 7. semester 17. januar 2001 kl Alle hjρlpemidler er tilladt OPGAVE 1 Givet
SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIK B-sektorens. semester. januar kl. 8.-. Alle hjρlpemidler er tilladt OPGAVE Givet randvρrdiproblemet @ u(r;t) @r + r @u(r;t) @r @u(r;t) @t ; r ]; [ ; t ]; [ @u(;t) @r :u(;t)
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.
4 ( ( ( / ) 2 ( ( ( / ) 2 ( ( / 45 % + 25 ( = 4 25 % + 35 / + 35 ( = 2 25 % + 5 / 5 ( =
MA Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 6 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at! # $ ved å vise at #!!# ' (. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen #! vist (du må vise at!# gir det samme). ( + + + / ( +
Vår TMA4105 Matematikk 2. Løsningsforslag Øving 6. 5 Exercise Exercise
TMA405 Matematikk 2 Vår 205 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex Calculus: A Complete
EKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
EKSAMEN. Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk)
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2.6.2014 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metode 1: Grunnleggende matematikk og statistikk (Deleksamen i matematikk) Eksamenstid: kl. 09.00 til kl.
Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 12 deloppgaver: 1abc, 2, 3, 4abc, 5ab, 6ab.
EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : tirsdag 4. desember 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.
MET Matematikk for siviløkonomer
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen MET 11803 Matematikk for siviløkonomer Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 29.05.2019 Kl. 09:00 Innlevering: 29.05.2019 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia,
Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =
Løsning MET 803 Matematikk for siviløkonomer Dato 8. desember 07 kl 400-900 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 7 3 y = 9 6 7
8. Frattini undergruppen. Nilpotente grupper. Fitting undergruppen G version
8. Frattini undergruppen. Nilpotente grupper. Fitting undergruppen G8-2004-version Lad G være en gruppe. Undergruppen M G, M G, kaldesmaksimal i G, hvisderingen undergrupper K findes med M K G. Max(G)
. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07
Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver
MA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1
MA000 Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 06 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at B = A ved å vise at AB = BA = I. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen AB vist (du må vise at BA gir det samme). ( )
Oppsummering matematikkdel ECON 2200
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke 7. mai 2008 1 Innledning En rask oppsummering av hele kurset vil ikke kunne dekke alt vi har gjennomgått. Men alt er pensum, selv om det ikke blir
Geometri, (E-opgaver 9b)
Geometri, (E-opgaver 9b) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER... 3
Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012
Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til
I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b:
OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 29/11-3/12
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 9/11-3/1 Øyvind Ryan (oyvindry@ifiuiono December, 010 Oppgave 15 Oppgave 155 a 4A 3B 4 1 3 1 3 1 4 1 8 4 1 4 3 3 1 3 0 9 6 + 6 3 9 0 5 18 14 1 3 4 4 9 1 6 8 + 6
Oppgave 1. (a) Vi løser det lineære systemet for a = 1 ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: x A =
Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære systemet for a = ved Gauss-eliminasjon. Vi nner først den utvidede matrisen: 0 y = 4 0 4 0 z 0 Deretter
Lektion 14. Repetition
Lektion 4 Repetition Naturlige eksponentialfunktion 7 6 5 4 y y=sin().5 6 4 4 6.5 y=tan() 5.5.5 y 5 y=arcsin().5.5.5.5.8.6.4...4.6.8 Naturlige logaritmefunktion 4 6 8 Standardfunktioner (cos(), sin())
TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
1 OPPGAVE 2 OPPGAVE. a) Hva blir kontobeløpet den 2. januar 2040? b) Hvor mye penger blir det i pengeskapet den 2. januar 2040?
OPPGAVE Den. januar 0 satte Ola Normann 00 tusen kroner på en bankkonto med faste renter 3% per år. Han planlegger å ta ut halvparten av rentebeløpet den. januar hvert år, og å legge kontantene til et
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA1101/MA6101)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN I GRUNNKURS I ANALYSE I (MA0/MA60) Fredag 2. desember 202 Tid: 09:00 3:00 Hjelpemidler: Kode
MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT
MAT 110A - VÅR 2001 OBLIGATORISK OPPGAVESETT 3 Skriftlige besvarelser skal innleveres til den gruppelæreren på den regneøvelsen hver enkel er påmeldt til, etter nærmere avtale. Innleveringsfristen er fredag
MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 014 Løsningsforslag Eksamen august Løsning: Oppgave 1 1 0 3 A 7, 3 4 1 x 10 A y 3 z På grunn
Eksamensoppgavehefte 1. MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler
Eksamensoppgavehefte 1 MAT1012 Matematikk 2: Mer funksjonsteori i en og flere variabler Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor
1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon
Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger
f(x,y) NTNU Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 3.4: Foreleses mandag 30.august y=hoyde x=vekt Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/18 Oppsummering
Prøveeksamen i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Prøveeksamen i MAT, H- Løsningsforslag. Integralet cos x dx er lik: +sin x Riktig svar: c) arctan(sin x) + C. Begrunnelse: Sett u = sin x, da er du = cos x dx og vi får: cos x + sin x dx = du du = arctan
Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.
![Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.](/thumbs/64/52041444.jpg "Randkurva C til flata S orienteres positivt sett ovenfra, og kan parametriseres ved: r (t) = [ sin t, cos t, sin t] dt, 0 t 2π.")
Ma - Løsningsforslag til uke 17 i 7 Eks. mai 1999 oppgave 4 ylinderen x + y = 1 skjærer ut ei flate av planet z = x + 1 dvs. x + z = 1 med enhetsnormal i positiv z-retning lik n= 1 [ 1 1]. Flata blir en
Løsning til matematik aflevering /nm
Løsning til matematik aflevering 07 0404/nm Opg.. a) Reducer ved beregning følgende udtryk mest mulig: f f f b a b a a b b a b a a a a a a b a b a b a b a b a b a a b a a b a a b a b a b a b a b a b a
Emnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 2. mars 2018 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metodekurs 1, deleksamen i matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard. består av 8 sider inklusiv denne forsiden og vedlagt formelsamling.
e. Høgskoleni Østfold ). EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1 matematikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 3. juni 2016 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling Faglærer: Hans Kristian
1 Mandag 8. februar 2010
1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner
Flervariable funksjoner: Linearisering
Flervariable funksjoner: Linearisering Forelest: 10. Nov, 2004 Vi har nå kommet til høyepunktet i pensumet for flervariable funksjoner, der vi lærer å regne omtrentlig på en nøyaktig måte. Metoden heter
Eksamensoppgave i MA1103 Flerdimensjonal analyse
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA113 Flerdimensjonal analyse Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: 5. Juni 19 Eksamenstid (fra til): 9: 13: Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
MAT feb feb feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2
Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 15-19/2 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) February 19, 2010 Oppgave 3.6.1 Vi ser på ligningen Vi fullfører kvadratene: 4x 2 + 9y 2 + 32x 18y + 37 = 0. 4(x 2 + 8x
Harald Michalsen og Lasse Storr-Hansen. Tplan version 28.2 Skoleåret 2006-2007 TPLAN VERSJON 28.2 OG SOMMEREN 2006...2
1 af 9 TPLAN VERSJON 28.2 OG SOMMEREN 2006...2 NYHEDER I WINTP...4 Import af Holdbetegnelser...5 Import af Fagregister...6 Import af Blokregister...9 2 af 9 Tplan versjon 28.2 og sommeren 2006 Til mine
3-FASET SYMMETRISK BELASTNING. Én definition Stjernekoblede symmetriske belastninger Trekantskoblede symmetriske belastninger
AC 3-FASET SYMMETRISK BELASTNING Én definition Stjernekoblede symmetriske belastninger Trekantskoblede symmetriske belastninger Én definition af betingelser for symmetri: Netstrømmene er lige store i de
Oppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 6, 2010 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 6, 2010 1 / 23 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER
11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER FREDRIK THOMMESEN Contents 1. Funksjoner av flere variabler 1 1.1. Funksjoner av to variabler 1 1.2. Partielle deriverte med to variabler 2 1.3. Geometrisk representasjon
e y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0
LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe
Emnenavn: Metode 1 matematikk. Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 21. februar 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelsamling Emnenavn: Metode 1 matematikk Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Om eksamensoppgaven
Matematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man
System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset
Oppsummering matematikkdel
Oppsummering matematikkdel ECON 2200 Kjell Arne Brekke Økonomisk Institutt May 8, 2009 KAB (Økonomisk Institutt) Oppsummering May 8, 2009 1 / 22 Innledning Rekker bare å nevne noen hovedpunkter Alt er
Løsning, Stokes setning
Ukeoppgaver, uke 4 Matematikk, tokes setning 1 Løsning, tokes setning Oppgave 1 a) b) c) F x y z x y z F x x + y y + z z 1+1+1 iden F er feltet konservativt. ( z y y ) ( x i z z z ) ( y x x x ) k i +k
Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen
Kapittel 4 Vektorfluks og sirkulasjon, divergens, virvling, strømfunksjonen Oppgave Gitt et vektorfelt v = ui + vj + wk. Divergensen til v er definert som v = u + v + w z og virvlingen er gitt ved determinanten
Løsning, funksjoner av flere variable.
Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av
TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2008 Øving 1 Navn/kursparallell skrives her (ved gruppearbeid er det viktig at alle fyller ut): 1.
INF1400 Kap 02 Boolsk Algebra og Logiske Porter
INF4 Kap 2 Boolsk Algebra og Logiske Porter Hovedpunkter Toverdi Boolsk algebra Huntington s postulater Diverse teorem Boolske funksjoner med sannhetstabell Forenkling av uttrykk (port implementasjon)
SIF 5005 Matematikk 2 våren 2001
IF 55 Matematikk våren Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Diverse løsningsforslag 75 Matematikk B, mai 994 (side 77 79) 6 a) Vi finner en potensialfunksjon φ(x,