3. Grænseovergange og grænseværdier

Transkript

1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11., App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater Calculus Uge smængde [S] 9.6 Functions and surfaces D R kaldes definitionsmœngden og {f(,) R (,) D} kaldes vœrdimœngden for funktionen f : D R Calculus Uge En generel funktion [S] 9.6 Functions and surfaces D f(, ) (, ) 0 D R, f : D R Calculus Uge Bestem definitionsmængden [S] 11.1 Functions of several variables 3 g(,) = 9 har definitionsmængde D = {(,) 9 0} = {(,) + 3} og værdimængde intervallet g(d) = [0, 3] R Calculus Uge

2 Et populært problem [S] 11.1 Functions of several variables Aktive væsker,,z blandes med proportional virkning V = z Hvilket blandingsforhold giver størst virkning? + + z = 1 V = (1 ) D = {(,) > 0, > 0, + < 1} Bestem maksimum for V på D. Calculus Uge Udseende saddel [S] 11.1 Functions of several variables z f(,) = Calculus Uge Graf og niveaukurver [S] 9.6, 11.1 Functions of several variables Grafen for en funktion f : D R Γf = {(,,z) (,) D,z = f(,)} er en flade i R 3. Niveaukurver for en funktion f : D R f 1 (k) = {(,) D f(,) = k} er kurver i R. Calculus Uge Halvkugleskal [S] 11.1 Functions of several variables 3,4,8 g(,) = 9 Grafen er en halvkugleskal Γg = {(,,z) + 9,z = 9 } = {(,,z) + + z = 9,z 0} Niveaukurver er cirkler g 1 (k) = {(,) + 9, 9 = k} = {(,,z) + = 9 k } Calculus Uge

3 Globus [S] 11.1 Functions of several variables z f(,) = 9 Calculus Uge Op og ned [S] 11.1 Functions of several variables z f(,) = Calculus Uge Breddegrader [S] 11.1 Functions of several variables 0 Niveaukurver Calculus Uge Udvid til mange variable [S] 11.1 Functions of several variables 11 Omtalen af funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Udtrkket f(,,z) = ln(z ) + sin(z) er en funktion i tre variable, defineret på mængden D = {(,,z) R 3 z > } Calculus Uge

4 Goddag igen til grænseværdier [S] 11. Limits and continuit 1 Grænseværdien af f(,) i et punkt (a,b) skrives lim f(,) = L (,) (a,b) eller f(,) L for (,) (a,b) når f antager værdier vilkårligt tæt på L, bare (,) er tilstrækkeligt tæt på (a,b). Calculus Uge Ingen grænseværdi [S] 11. Limits and continuit 1 f(,) = + har ingen grænseværdi for (,) (0, 0). Løsning f(, 0) = 1, 0 f(0,) = 1, 0 Calculus Uge Helt præcist [S] Appendi D - Functions of two variables 5 Grænseværdien lim f(,) = L (,) (a,b) eksisterer, hvis ɛ > 0 δ > 0 : ( a) + ( b) < δ f(,) L < ɛ Calculus Uge Regneregler som forventet [S].3 Calculating limits using the Grænseværdien af en sum er summen af grænseværdierne.. Grænseværdien af en differens er differensen af grænseværdierne. 3. Grænseværdien af en konstant gange en funktion er konstanten gange grænseværdien. 4. Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne. 5. Grænseværdien af en kvotient er kvotienten af grænseværdierne. Calculus Uge

5 Kontinuitet på n [S] 11. Limits and continuit 3 Kontinuitet af f(,) i et punkt (a,b) skrives lim (,) (a,b) f(,) = f(a,b) eller f(,) f(a,b) for (,) (a,b) f er kontinuert i D, hvis f er kontinuert i alle punkter (a,b) D. Calculus Uge Helt præcist [S] Appendi D - Functions of two variables Kontinuitet lim (,) (a,b) f(,) = f(a,b) hvis der gælder ɛ > 0 δ > 0 : ( a) + ( b) < δ f(,) f(a,b) < ɛ Calculus Uge Du er som din nabo [S] 11. Limits and continuit D (, ) f(, ) (a, b) f(a, b) 0 Kontinuitet Calculus Uge Du kan regne den ud [S] 11. Limits and continuit Morale for kontinuitet 1. De fire regningsarter og sammensat funktion af kontinuerte funktioner danner igen kontinuerte funktioner.. De kendte elementære funktioner sin, cos, tan, arcsin,...,ep, log,... er kontinuerte. 3. Funktionsudtrk er kontinuerte, hvor de er definerede. Calculus Uge

6 Det er som du tror [S] 11. Limits and continuit Eksempler om kontinuitet 1. Kontinuert på R Kontinuert på R, pπ cos sin 3. Kontinuert når + > ln( + ) Calculus Uge Øv dig [S] 11. Limits and continuit 4, 8 f(,) = { 3 +, (,) (0, 0) 0, (,) = 0 er kontinuert på mængden R. Løsning f(,) = viser, at f(,) 0, når (,) (0, 0) Calculus Uge Kontinuert de rigtige steder [S] 11. Limits and continuit 1, 6, 7 g(,) = { +, (,) (0, 0) 0, (,) = 0 er ikke kontinuert i (0, 0), da g(,) ingen grænseværdi har for (, ) (0, 0). Fra regneregler for kontinuitet følger, at g(,) er kontinuert på mængden R \{(0, 0)} af alle talpar fraregnet (0, 0). Calculus Uge Udvid det hele til mange variable [S] 11. Limits and continuit Flere variable Omtalen af grænseværdi og kontinuitet for funktioner i to variable udvides umiddelbart til tre eller flere variable. Funktionen f(,,z) = z er kontinuert på mængden R 3 \{(0, 0, 0)}. Calculus Uge

7 Populære koordinater [S] Appendi H.1 Polar coordinates Et polært koordinatsstem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. P r O 1 θ Calculus Uge Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H.1 Polar coordinates Sætning Givet et polært og tilhørende kartesiske koordinatsstem. Et punkt med polære koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater 1 = r cos(θ), = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (,) har polære koordinater r = +, θ = tan 1 ( ) Calculus Uge Pol og sigtelinje [S] Appendi H.1 Polar coordinates Et polært koordinatsstem bestemmer et kartesisk koordinatsstem. Polen og punktet med polære koordinater (1, 0) bestemmer -aksen og polen og punktet med polære koordinater (1, π ) bestemmer -aksen. P(r cos(θ), r sin(θ)) 1 O 1 r θ Calculus Uge Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H.1 Polar coordinates Et punkt med polære koordinater (r,θ) = (, 5π 4 ) har kartesiske koordinater = r cosθ = cos 5π 4 = = r sinθ = sin 5π 4 = (,) = (, ) Calculus Uge

8 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H.1 Polar coordinates 5π/4 P(, ) 3 P(3,3) π/4 1 Calculus Uge Polær-kartesisk ordbog [S] Appendi H.1 Polar coordinates Et punkt med kartesiske koordinater (,) = (3, 3) har polære koordinater r = + = = 3 θ = tan 1 = tan = π 4 (r,θ) = (3, π 4 ) Calculus Uge