Løsning til matematik aflevering /nm

Transkript

1 Løsning til matematik aflevering /nm Opg.. a) Reducer ved beregning følgende udtryk mest mulig: f f f b a b a a b b a b a a a a a a b a b a b a b a b a b a a b a a b a a b a b a b a b a b a b a b a b y y y y y y y y y y y y y y y y y y b) Beregn ved brug af nulreglen følgende ligning: L, Side

2 c) To linjer l og m er givet ved: l : y 5 og m : y. Beregn koordinaterne til linjernes skæringspunkt. Beregn den stumpe vinkel mellem de to linjer. Som det første omskriver jeg ligningen til linjen l : y 5 y 5 De to linjer tegnes i et koordinatsystem. P,y Skæringspunktet mellem de to linjer p p beregnes ved at løse ligningen: yp p 5 p p p 5 p 6 p 4 y-koordinaten til skæringspunktet bestemmes ved at indsætte -koordinaten i en af de to Linjers ligninger. Jeg vælger at indsætte P 4 i ligningen for m : y. y y 4. Skæringspunktet P,y 4, P P P P P Side

3 Den stumpevinkel mellem de to linjer beregnes. Da de to linjer ikke er ortogonale l m er der en spids, såvel som en stump vinkel mellem de to linjer. Den stumpe bestemmes som: Stump 80 v w 80 tan tan m l Stump Stump tan tan d) I trekant BC er C 90, a 6 Beregn siderne b og c samt vinklerne og B. og trekantens areal er T 9. Trekantens areal T a b 9 6b 9 b 9 b Siden c beregnes v.h.a pythagoras: c a b c a b c 5 Vinklerne og B beregnes af: a 6 tan tan tan 6. 4 b B B 6. 6 Side

4 Opg.. Beregn differentialkvotienten for følgende funktioner. (Husk definitionsmængden for såvel funktionen og differentialkvotienten) a) 4 f Dmf R\ f Dmf Dmf R\ 5 8 f Dmf R\ 5 0 b) g Dmg R g Dmg R\ g Dmg R\ 0 c) 0 9 h Dmh 0, h h h h Dmh 0 0, Side 4

5 d) i 5 Dmi R i 5 5 Dmi Dmi R i 5 Dmi R e) s t t t Dms R 5 4 s 5 t t 0 0t 9t Dms Dms R s t t Dms R f) w Dmw, w w Dmw, w Dmw 0, 4 0 g) 7 v Dmv R 7 v u w u w v 7 u w w u u w v v 8 7 Dmv R Side 5

6 h) 5 v 4 Dmv R\ u v u w 6 w 4 5 w u u w v u 4 w 6 w v v Dmv R\ Side 6

7 Opg.. Funktioner. a) En funktion h, Dmh 0, Bestem funktionens definitions- og værdimængde samt monotoniforhold. Grafen for h har en tangent i hvert af punkterne Bestem ved beregning ligningerne til de to tangenter. Beregn den spidse vinkel mellem tangenterne.,h og 4 4 B,h. Funktionens definitionsmængde Dmh 0, Da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal! Funktionens værdimængde Vmh h0,, f funktionens graf fremgår det at funktionen er voksende i hele Dmh 0, Side 7

8 Ligningen for den tangent t der rører grafen for funktionen h i y h h h er den første afledede af funktionen h. I røringspunktet,y. h h 0 h Dmh 0, h h h h y h h y t : y Ligningen for den tangent t der rører grafen for funktionen h i y h h B B B h B h 4 4 B h h 4 4 5,h bestemmes ved: h kaldes for differentialkvotienten 4,h 4 bestemmes ved: y h B B hb y t : y Den spidse vinkel mellem de to tangenter beregnes: t t Spids w v tan tan tan tan Spids Spids 8.44 Side 8

9 Opg.4..(5%). En person prøver at kaste en cricketbold over en kasseformet bygning, der er 5m bred og 8m høj. I punktet P(0,) slipper personens hånd bolden. f y Den bane bolden følger kan beskrives ved funktionen: Tværsnittet af bygningen er bestemt af punkterne (0,0), B(5,0), C(5,8) og D(0,8). a) Bestem boldens højde over bygningens punkter D(0,8) og C(5,8). Boldens højde over punkt D(0,8) kan bestemmes som afstanden: f 0 y ( ) m D Boldens højde over punkt C(5,8) kan bestemmes som afstanden: f 5 y ( ) 8 0.8m C Bolden kommer ikke overraskende fri af bygningen. Side 9

10 b) Bestem boldens største højde over bygningen. y y f y f 8 m Største højde over bygningen: T D T D T B D yt f T hvor T og yt D B 4C T m 8. m; T f T 8m 9.9 8m.9m y f m 9.9m c) Bestem koordinaterne til det punkt hvor bolden rammer jorden. f G 0,.7m 8.57m Den retning, bolden har i starten, er bestemt ved vinklen mellem vandret og tangenten til grafen for funktionen i punktet P(0,). d) Bestem vinklen. tan f tan f 0 P f grader f f tan 0 tan e) I punktet P(0,) skal du bestemme hastigheden i lodret v 0 y, og hastigheden i vandret v 0. V y V tan V V tan V og V V V V 0 0y 0 y y 0 tan E E E mv mg Y mgy mg Y Y kinp PotYT PotP 0 y T P T P mv mg Y Y V g Y Y 0y T P 0y T P 0 y T P V g Y Y m / s.45 m / s.45 V0 m s m s V0 m s m s tan 4 / =4. / og / 8.96 / Side 0

11 f) Bestem hastigheden hvormed bolden rammer jorden i punkt N.(nedslag). VNy V tan V V tan V og V V V V tan V V 4. m / s N 0 N Vinklen bestemmes: Ny Ny N N N N Ny tan f N tan f 8.57 tan f 8.57 tan 0.97 grader 44.9 f f V V 4. m / s N Ny N 0 N tan 4. tan 44.9 /.94 / / 9.97 / V V m s m s V m s m s Side