Lektion 2. Differentiable funktioner. Den afledte funktion, differentialkvotienten. Tangent og lineær approximation. Maksimum og minimum

Transkript

1 Lektion Differentiable funktioner Den afledte funktion, differentialkvotienten Tangent og lineær approimation Maksimum og minimum Taylor polynomiet Opgaver

2 Differentiable funktioner Lad f() være en kontinuert funktion defineret på et interval a b. Antag at 0 er et punkt i det indre af intervallet sådan at der er luft omkring 0. Fra punktet 0 og en til punktet 0 +, dvs over en observationsperiode på længde, er funktionen vokset med f( 0 + ) f( 0 ) så den gennemsnitlige vækst i observationsperioden er f( 0 + ) f( 0 ) Lader vi observationsperiodens længde gå mod 0, får vi et mål for den øjeblikkelige vækst af funktionen i punktet 0. Grænseværdien f f( ( 0 ) = lim 0 + ) f( 0 ) 0 kaldes funktionens differentialkvotient i punktet 0. Funktionen er differentiabel vis f ( 0 ) findes for all 0 i (det indre af) intervallet. Man bruger også df d ( 0) for f ( 0 ).

3 Grafen for en differentiabel funktion er glat. Den ar en tangent i vert punkt. Tangentældningen er netop differentialkvotienten. Eksempel. f() = er differentiabel fordi dens graf er glat.. f() = er ikke differentiabel i 0 fordi den ar et knæk der. 3. Kocs funktion f : [0, ] R er kontinuert men ikke differentiabel i noget punkt. Eksempel En konstant funktion er differentiabel og dens differentialkvotient er 0 i alle punkter. Vi vil nu prøve at beregne differentialkvotienten for f() =. 3

4 Eksempel 3 For f() = og 0 = er den gennemsnitlige vækst over en observationsperiode af længde f( + ) f() = ( + ) + = = + så den øjeblikkelige vækst i punktet 0 = er f () = lim (+) = + lim = +0 = 0 0 Den gennemsnitlige vækst over en observationsperiode af længde ud fra et vilkårligt punkt 0 er f( 0 + ) f( 0 ) = ( 0 + ) 0 = 0 + = 0 + så den øjeblikkelige vækst i punktet 0 er f ( 0 ) = lim 0 ( 0 + ) = 0 Funktionen f() = er altså differentiabel med differentialkvotient f () =. 4

5 Differentialkvotienter Alle standardfunktionerne er differentiable. f() f () c 0 r r r, 0, > 0 cos sin sin cos tan + tan = cos cot cot = arcsin arccos arctan + arccot + ln / ep ep sin 5

6 Regneregler ( c f() ) = c f () ( f() + g() ) = f () + g () (sum) ( f() g() ) = f () g () (differens) ( f() g() ) = f ()g() + f()g () (produkt) ( f() ) f ()g() f()g () = g() g() (kvotient) ( ) f(g()) = f (g())g () (kæderegel) ( f ) (f()) = f (), (f ) (y) = Eksempel 4 ( 3 sin ) = 3 sin + 3 cos f (f (y)) (in ( 3 ) = 3 sin 3 cos sin sin d d sin(3 ) = cos( 3 ) 3 d sin dcos = cos + sin cos = cos d cos d sin = sin cos sin = sin 6

7 Eksempel 5 (Invers funktion) Funktionen f() = sender de positive tal voksende på de positive tal. Vi ar f () =. Den inverse er f (y) = y. Reglen for differentiation af invers funktion giver d y = (f ) (y) = dy f (f (y)) = f (y) = Kvadratrod som invers funktion y sin og arcsin Eksempel 6 (Invers funktion) Sinus funktionen sender intervallet [ π, π ] voksende på intervallet [, ]. Den inverse funktion ar vi kaldt arcsin. Reglen for differentiation af invers funktion giver d d arcsin(sin ) = cos = sin og det vil sige (!) at d d arcsin = ( < < ).5 7

8 Tangenter og lineær approimation Geometrisk set kan f (a) tolkes som ældningen for tangenten til grafen i punktet (a, f(a)). Tangentens ligning er altså y = f(a) + f (a) ( a) Da tangenten ligger tæt ved grafen, betyder det at f() f(a) + f (a) ( a) når er tæt ved a. Eksempel 7. Hvis f() =, er f () =. Specielt er f() = og f () =. Tangent i punktet (, ) ar ligningen y = ( ) eller y =. Når er tæt ved er tæt ved.. Hvis f() = +, er f () = (+). Specielt er f(0) = og f (0) =. Tangenten i punktet (0, ) ar ligningen y =. Når er tæt ved 0 er

9 Monotoniforold, maksima og minima Hvis f (a) > 0 er f() voksende nær a f (a) = 0 er der vandret tangent i (a, f(a)) f (a) < 0 er f() aftagende nær a Hvis a er et lokalt maksimums- eller minimumspunkt, så er f (a) = 0 f (a) = 0 og f () ar fortegnsvariation +0, så er a et lokalt maksimumspunkt. f (a) = 0 og f () ar fortegnsvariation 0+, så er a et lokalt minimumspunkt. Sætning En differentiabel funktion f() defineret på et afsluttet og begrænset interval [c, d] ar et maksimumspunkt og et minimumspunkt. De ligger enten i endepunkterne, c og d, eller i et indre punkt a vor f (a) = 0 (et kritisk punkt). 9

10 Eksempel 8 Find maksimum og minimum for funktionen f() = på intervallet [0, 3]. Løsning: Da f () = 6 6 = 6( )(+), er der kun et kritisk punkt, nemlig =. Vi evaluerer f() i det kritiske punkt og i yderpunkterne: f(0) = 5, f() = 5, f(3) = 6 Derfor er den maimale værdi lig med f(0) = 5 og den minimale værdi er f() = 5. Eksempel 9 Find maksimum og minimum for funktionen f() = 5 (30 ) på intervallet [0, 30]. Løsning: Da f () = 5 (30 ) er = 5 det eneste kritiske punkt. Vi evaluerer f() i det kritiske punkt og i yderpunkterne: f(0) = 0, f(5) = 35, f(30) = 0 Defor er den maimale værdi lig med 35 og den minimale værdi er 0. Den minimale værdi antages i yderpunkterne. 0

11 Afledte af øjere orden og Taylor approimation Med f () eller d f d() mener vi den afledte af den afledte funktion, den. ordens afledte. Den oskulerende paraboloide y = f(a) + f (a) ( a) + f (a) ( a) kommer endu tættere på grafen end tangenten, så den kvadatiske approimation f() f(a)+f (a) ( a)+ f (a) ( a) er bedre end den lineære. Eksempel 0 For funktionen f() = + fra Eksempel 7., er f () = (+) 3. Specielt er f (0) =. Derfor er + + når er tæt ved 0. Den afledte af 3.orden betegnes f () eller f (3) () eller d3 f d 3().

12 Opgaver til Lektion. En snor lægges stramt om jordkloden ved ækvator. Gør snoren m længere og spænd den igen stramt ud. Hvor meget æver den sig? Erstat jorden med en ært.. Differentier følgende funktioner: a. 3 4 b. sin c. 4 3 d. cos e. + f. ( + 3) 3. Find maimum og minimum for f() = , [ 3, 0]. 4. Find maimum og minimum for f() = + 4, [, 4]. 5. Find maimum og minimum for f() = +, [0, 3]. 6. Find den lineære approimation til f() = nær a = Find den lineære approimation til f() = nær a =. Brug den til beregne, Find ligningen for tangenten i (0, ) for grafen for f() = ( + ). 9. Find ligningen for tangenten i (0, 0) for grafen for f() = sin. 0. Find den kvadratiske approimation nær a = 0 for f() = cos.