Oversigt [LA] 11, 12

Transkript

1 Oversigt [LA] 11, 12 Nøgleord og begreber At diagonalisere en matrix Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 2002, opgave 2 Prikprodukt Skalarprodukt Længde Pythagoras formel Cauchy-Schwarz ulighed Vinkel Trekantsuligheden Calculus Uge

2 At diagonalisere [LA] 11 Diagonalisering Definition 11.2 At diagonalisere en kvadratisk matrix A vil sige at finde en invertibel matrix B og en diagonalmatrix Λ så A = B Λ B 1 Skrives også eller A B = B Λ B 1 A B = Λ Calculus Uge

3 Diagonalisering og egenvektorer [LA] 11 Diagonalisering Sætning 11.3 Lad A være en n n-matrix og b 1,..., b n egentlige egenvektorer med tilhørende egenværdier λ 1,..., λ n. For matricen B, hvis søjler er egenvektorerne gælder A B = B Λ hvor Λ er diagonalmatricen med egenværdierne som diagonalindgange. Hvis B er invertibel, vil den diagonalisere A. Calculus Uge

4 Diagonalisering og egenvektorer [LA] 11 Diagonalisering Sætning 11.5 Lad A være en n n-matrix og antag, at λ 1,..., λ n er parvis forskellige egenværdier. Lad b 1,..., b n være tilhørende egentlige egenvektorer. Matricen B, hvis søjler er egenvektorerne diagonaliserer A: Matricen B er invertibel og der gælder B 1 A B = Λ hvor Λ er diagonalmatricen med egenværdierne som diagonalindgange. Bevis Et sæt egentlige egenvektorer er lineært uafhængige. Det følger, at matricen med disse egenvektorer som søjler er invertibel. Calculus Uge

5 Gammelt eksempel [LA] 11 Diagonalisering Eksempel 11.6 Matricen A = har egenvektorer b 1 = ( 3 1 ), b 2 = ( ) med tilhørende egenværdierne λ 1 = 2, λ 2 = 3. Calculus Uge

6 Gammelt eksempel [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat Dette giver 3 3 A =, B = , Λ = som opfylder matrixidentiteten A B = B Λ Da determinanten B = 5 2 er B invertibel og diagonaliserer A. Calculus Uge

7 Matrixpotenser [LA] 11 Diagonalisering Eksempel Potens Hvis B diagonaliserer A A = B Λ B 1 så er potensen A k = B Λ k B 1 Λ k = λ k λ k n Calculus Uge

8 Gammelt eksempel, potens [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat 3 3 A =, B = 2 4 B 1 = opfylder matrixidentiteten ( , Λ = A = B Λ B ) Calculus Uge

9 Gammelt eksempel, potens [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat = = 1 5 ( ) k ( k ( 3) k ( ) ) 6 2 k ( 3) k 3 2 k 3 ( 3) k 2 2 k + 2 ( 3) k 2 k + 6 ( 3) k Calculus Uge

10 Gammelt eksempel, potens [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat = 1 5 ( ) 10 ( ) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 10 = ( ) Calculus Uge

11 Nyt eksempel [LA] 11 Diagonalisering Eksempel Opgave! Betragt matricen A = ) Angiv egenværdierne for A. 2) Angiv egentlige egenvektorer for hver af disse egenværdier. 3) Diagonaliser A ved brug af en matrix B. 4) Beregn matrixpotensen A 5. Calculus Uge

12 Nyt eksempel, egenværdier [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat Fra det karakteristiske polynomium 11 λ λ = (11 λ)( 6 λ) ( 6) 12 = λ2 5λ + 6 fås, at matricen A = har de to rødder som egenværdier. λ 1 = 2, λ 2 = 3 Calculus Uge

13 Nyt eksempel, egenrum [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat For λ 1 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ λ 1 = Heraf fås egenvektorerne hvor x 2 vælges frit. x 1 x 2 = 2 x 3 2 x 2 = x 2 ( ) Calculus Uge

14 Nyt eksempel, egenrum [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat For λ 2 = 3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med matrix ( ) 11 λ λ 2 = Heraf fås egenvektorerne hvor x 2 vælges frit. x 1 x 2 = 3 x 4 2 x 2 = x 2 ( ) Calculus Uge

15 Nyt eksempel, diagonalisering [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat Dette giver for eksempel (valg af egenvektorer) A = 11 6, B = , Λ = som opfylder matrixidentiteten A B = B Λ Da determinanten B = 1 2 er B invertibel og diagonaliserer A. Calculus Uge

16 Nyt eksempel, potens [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat 11 6 A =, B = 12 6 B 1 = opfylder matrixidentiteten 8 6, Λ = 3 2 A = B Λ B og giver potensen A k = BΛ k B 1 Calculus Uge

17 Nyt eksempel, potens [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat = ( = ( ( ) ) ( ) ) Calculus Uge

18 Advarsel! [LA] 11 Diagonalisering Eksempel (Pas på) Betragt matricen A = Matricen A kan ikke diagonaliseres. λ = 3 er eneste egenværdi. Egenrummet er nulrum for matricen 0 1 A 3I 3 = 0 0 Calculus Uge

19 Advarsel! [LA] 11 Diagonalisering Eksempel fortsat Egenrummet er E 3 = Span(e 1 ) En matrix B, hvis søjler er egenvektorer b 1 b 2 B = 0 0 har determinant 0 og dermed ikke invertibel. Altså kan A ikke diagonaliseres. Calculus Uge

20 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 Det oplyses, at matricen A givet ved A = har egenværdier λ 1 = 1 og λ 2 = 2, og at der ikke er andre egenværdier. 1. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 A B = Λ Calculus Uge

21 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - Løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: A 2I = giver det reducerede ligningssystem og dermed x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 = x 2 x Calculus Uge

22 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - Løsning 1. Egenvektorer hørende til egenværdien 2: x 1 x 2 x 3 1 x 2 x 3 = hvor x 2, x 3 vælges frit. Egenrummet udtrykkes x 2 x 3 = x 2 1 E 2 = Span( 1 0, x ) Calculus Uge

23 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - Løsning Egenvektorer hørende til egenværdien 1: A + I = hvor x 3 vælges frit. x 1 x 2 x 3 = x 3 1 x 3 = x x 3 Calculus Uge

24 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 2 - Løsning 2. Angiv en invertibel matrix B og en diagonal matrix Λ så at B 1 A B = Λ Søjler af egenvektorer giver B = , Λ = det(b) = 1 sikrer invertibilitet. Calculus Uge

25 Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Definition b θ a Længden af en vektor u betegnes u. Prikproduktet, skalarproduktet af vektorer u, v er u v = u v cos(θ) Udtrykt ved den vinkelrette projektion v u af v på u u v = ± u v u Calculus Uge

26 Prikprodukt [S] 9.3 The dot product (b 1, b 2 ) I koordinater fås θ (a 1, a 2 ) u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 u = u u = u u 2 2 u v cos(θ) = u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 u u 2 2 v v2 2 Calculus Uge

27 Vinkel [S] 9.3 The dot product y a=(1,3) b=( 2,2) θ x Vinkel mellem vektorer Calculus Uge

28 Prikprodukt [S] 9.3 The dot product Eksempel Vektorerne u = (1, 3) og v = ( 2, 2) har prikprodukt og længder og vinkel mellem sig u v = 1 ( 2) = 4 u = u u = 10 v = v v = 8 θ = cos 1 ( ) 63.4 Calculus Uge

29 Skalarprodukt [LA] 12 Skalarproduktet Definition 12.2 For vektorer u = (u 1,..., u n ), v = (v 1,..., v n ) i R n er skalarproduktet n u v = u i v i og længden, normen er i=1 u = u u og afstanden mellem vektorer u og v u v = (u 1 v 1 ) (u n v n ) 2 Calculus Uge

30 Skalarprodukt udregnet [LA] 12 Skalarproduktet Eksempel 12.3 Vektorerne u = (1, 3, 4, 1) og v = ( 2, 0, 2, 5) har prikprodukt og længder u v = 1 ( 2) = 11 u = u u = 27 v = v v = 33 Calculus Uge

31 Enhedsvektor [LA] 12 Skalarproduktet Definition 12.4 En vektor med længde u = 1 kaldes en enhedsvektor Eksempel 12.5 Vektoren u = (1, 3, 4, 1) har længde Enhedsvektoren i u s retning er u = u u = 27 u u = ( 1 27, 3 27, 4 27, 1 27 ) Calculus Uge

32 Skalarprodukt som matrixprodukt [LA] 12 Skalarproduktet Sætning 12.6 For søjlevektorer u, v er skalarproduktet givet ved matrixproduktet u v = u T v Skrevet ud u i v i = i ) (u 1... u n v 1. v n Calculus Uge

33 Skalarprodukt, regneregler [LA] 12 Skalarproduktet Sætning 12.7 Regneregler for skalarprodukt (u, v) u v 1. u u = u u v = v u 3. u (v + w) = u v + u w 4. u (av) = a(u v) 5. u u = 0 u = 0 Calculus Uge

34 Skalarprodukt og transponering [LA] 12 Skalarproduktet Sætning 12.8 Lad A være en m n-matrix, u en søjlevektor i R n og v en søjlevektor i R m. Så gælder Au v = u A T v Calculus Uge

35 Ortogonalitet [LA] 12 Skalarproduktet Definition 12.9 To vektorer u, v i R n er ortogonale, vinkelrette, hvis u v = 0. Det skrives også u v u v = 0 v u Calculus Uge

36 Ortogonale er uafhæbgige [LA] 12 Skalarproduktet Sætning Et ortogonalt sæt af egentlige vektorer u 1,..., u k er lineært uafhængigt. Bevis For en fremstilling a 1 u a m u m = 0, a m 0 gælder efter skalarprodukt med u m, at a m u m u m = 0. Da u m er egentlig giver det modstriden a m = 0. Calculus Uge

37 Pythagoras [LA] 12 Skalarproduktet Sætning For ortogonale vektorer u v gælder Pythagoras formel u 2 + v 2 = u + v 2 Bevis Udregn kvadratet på normen u + v 2 = (u + v) (u + v) = u u + 2u v + v v = u 2 + v 2 Calculus Uge

38 Cauchy-Schwarz [LA] 12 Skalarproduktet Sætning For vektorer u, v gælder Cauchy-Schwarz ulighed u v u v Bevis Vektorerne v v u v u u og u er ortogonale. Fra u u u u Pythagoras fås v 2 v u u u u 2 ( v u ) 2 = u 2 u u Forlæng med u 2 og uddrag kvadratroden. Calculus Uge

39 Vinkel [LA] 12 Skalarproduktet Definition For to egentlige vektorer u, v 0 er vinklen θ mellem dem bestemt ved Cauchy-Schwarz uligheden og cos θ = u v u v, hvor 0 θ π Eksempel Bestem vinklen mellem vektorerne (1, 1, 1, 1) og (1, 2, 3, 4). LØSNING. Udregn cos θ = og få vinklen θ Calculus Uge

40 Trekantsulighed [LA] 12 Skalarproduktet Sætning For vektorer u, v gælder Trekantsuligheden u + v u + v Bevis Fra Cauchy-Schwarz ulighed Uddrag kvadratroden. u + v 2 u 2 + v u v = ( u + v ) 2 Calculus Uge