SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIK B-sektorens 7. semester 17. januar 2001 kl Alle hjρlpemidler er tilladt OPGAVE 1 Givet

Transkript

1 SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIK B-sektorens. semester. januar kl Alle hjρlpemidler er tilladt OPGAVE Givet ; r ]; [ ; t :u(;t) ; t ]; [ u(r; ) r ; r ]; [ 9 > >; Spfirgsmνal (%) Giv en fysisk fortolkning af differentialligningen og rand- og begyndelsesbetingelserne. Spfirgsmνal (%) Lfis randvρrdiproblemet ved hjρlp af separationsmetoden. Hjρlp: Indffir hjρlpestfirrelsen v(r;t) ru(r;t), og formuler randvρrdiproblemet i v(r;t). Udnyt, at u(r;t) for t> skal vρre begrρnset for r!. OPGAVE Givet begyndelsesvρrdiproblemet y (t) y (t)+y (t) y(t) cos(t) ; t ]; [ y() ; y () ; y () hvor y (t) d dt y(t). 9 ; Spfirgsmνal (%) Lfis begyndelsesvρrdiproblemet ved hjρlp af Laplace transformation. Hjρlp: Ffilgende oplfisning i stambrfiker gρlder: s s +s (s ) (s +) s + s + s + (s ) (s )

2 OPGAVE Betragt ffilgende generaliserede egenvρrdiproblem K' M' ; K ; M Spfirgsmνal (%) Bestem egenvρdier og egenvektorer for ovenstνaende egenvρrdiproblem, sνaledes at egenvektorene er ortonormale med hensyn til M-matricen. Spfirgsmνal (%) En approksimation for de to laveste egenvρrdier og tilhfirende egenvektorer finskes bestem ved hjρlp af subspace iteration. Opstil ligningerne og udffir ffirste iteration med startvektoren X

3 OPGAVE Betragt det generaliserede egenvρrdiproblem K' M' med K ; M To M-ortonormale egenvρrdipar ( i ; ' i ) til ovenstνaende egenvρrdiproblem er givet ved ( ; ' C C ) p A ; ( ; ' ) ; p A Spfirgsmνal (%) Find udfra x T [ ] en vektor, der er M-ortogonal pνa de to opgivne egenvektorer. Spfirgsmνal (%) Undersfig om vektoren fundet i spfirgsmνal er en egenvektor til det generaliserede egenvρrdiproblem. Spfirgsmνal (%) Undersfig hvor mange egenvρrdier, der er mindre end μ.

4 LχSNINGER OPGAVE Spfirgsmνal : Problemet beskriver den sfρrisksymmetriske, ikkestationρre temperaturudvikling i en kugle med radius c. Materialet har en termisk diffusivitet pνa k. Ved kuglens overflade er givet en homogen Robin randbetingelse med h : og u m,sep. 8. Betingelsen angiver, at varmefluxen er proportional med den fijeblikkelige temperatur iht. Newton's afkfilingslov. Til tiden t er givet en initiel temperaturfordeling u(r; ) r, der νabenbart er singulρr i kuglens centrum r. Denne singularitet forsvinder dog som ffilge af diffusiviteten til alle tidspunkter t>. Spfirgsmνal : Der gρlder, at u(r;t) r r r r v(r;t) 9 ; () Ved indsρtning af () i randvρrdiproblemet for u(r;t) opnνas ffilgende ρkvivalente randvρrdiproblem for ; r ]; [ ; t ; t ]; [ v(r; ) ; r ]; [ 9 > >; () Den geometriske randbetingelse v(;t)sikrer, at temperaturfeltet u(r;t) r v(r;t) er endeligt for r!. Partikulρre lfisninger til den partielle differentialligning i () sfiges pνa produktformen v(r;t) R(r)T (t), hvorved R (r)t (t) R(r)T (t) ) R (r) R(r) T (t) T (t) ) R (r)+ R(r) () T (t)+ T (t) () () og () har de fuldstρndige lfisninger R(r) c cos( r)+c sin( r) ()

5 T (t) c e t () Da v(;t)r()t (t) ) R() R ()T (t) ) R (), findes ved indsρtning i (), at c og separationskonstanten bestemmes af c cos( ) ) n (n ) ß () Ikketrivielle produktlfisninger, der er begrρnset i cylinderens centrum, der tilfredsstiller randbetingelsen ved r, og som opfylder betingelsen, at u(r;t) er begrρnset for r!, har herved formen v n (r;t)a n sin n r e n t ; A n c c (8) Ved superpositionsprincippet haves herved ffilgende lfisning, der tilfredsstiller differentialligningen og alle randbetingelser i (), bortset fra begyndelsesbetingelsen v(r;t) X n A n sin n r e n t (9) For t haves v(r; ), hvorved (9) giver X A n sin n r n () () er en Fourier sinus rρkke for funktionen "". Ved multiplikation med sin( m r)og efterffilgende integration over [; ] findes ved udnyttelsen af ortogonaliteten af sin( n r) og sin( m r)at A n R sin( nr)dr R sin ( n r)dr n n sin n n ß n () Ved () og () haves herved lfisningen til det oprindelige randvρrdiproblem u(r;t) ßr X n n sin n r e n t () hvor n er givet ved ().

6 OPGAVE Spfirgsmνal : Givet begyndelsesvρrdiproblemet y (t) y (t)+y (t) y(t) cos(t) y() ; y () ; y () 9 ; () Laplace transformation af differentialligningen giver, cf. sρtning. og sρtning.8 (eller (.-)) s Y (s) s y() sy () y () s Y (s) sy() y () + sy (s) y() Y (s) Lfcos(t)g s ) s + s s +s Y (s) s s + + s ) Y (s) s s +s (s ) (s +) s s + + s + s (s ) +! (s ) () Ved anvendelse af sρtning.b og sρtning. findes Lfe t t n g Lft n g s!s n! s n+ fi fififis!s n! s n+ () Af sρtning. d,e, () og () ffilger endelig y(t) L fy (s)g cos(t)+ sin(t) t +t e t () OPGAVE Givet det generaliserede egenvρrdiproblem ' ' )

7 ' () Spfirgsmνal : Det karakteristiske polynomium findes heraf som ( ) ( )( ) A ( ) ( )( ) ( ) +9 () Hvoraf ffilgende egenvρrdier bestemmes i 8 < : ; i ; i () 9 ' : ; i De tilsvarende tre unormerede egenvektorer bliver ) ' ) ' (a) ) ' ) ' (b) : 9 ) ' ) ' (c) Egenvektorerne normeres med hensyn til modalmasserne m i ' T i M' i ) m ; m ; m 8 ()

8 8 Herved opnνas ffilgende egenvρrdipar som lfisning pνa egenvρrdiproblemet: ( ; ' ) ( ; ' ) ( ; ' ; p A ; p A 9 ; ; :8 :8 : : A :; A A : : :8 A (a) (b) (c) Spfirgsmνal : Subspace iterationen udffires i henhold til iterationsskemaet (.-.). Som startvektorer benyttes X Ved ffirste iteration udregnes ffirst K 8 A K M 8 8 : ' 8 : ' Ved. iteration udregnes herefter X AX 8 () : : : : : : (8) : : : : : : : :89 : (9) : :9 : 8 8

9 9 8 ' :89 : :8 :89 () :9 :9 Stivhedsmatrix og massematrix i det projekterede underrum bliver» : :8 ' :8 :» K X T KX » M X T MX 888 ' 8 8» :8 :9 :9 :89 () () Egenvρrdiproblemet bliver K q M q () Den karakteristiske ligning er givet ved det» ' det» : :8 :8 :9 :8 :9 : :89 :89 9:9 +:89 ) i ρ : ; i :9 ; i () Egenvektorerne normeres indledningsvis pνa formen» q;i q i ; i ; () q ;i bestemmes af den ffirste ligning i koefficientmatricen : :8 i q;i + :8 :9 i ) )

10 ρ q ;i :8 :9 i :9 ; i : :8 i : ; i () Herved er bestemt modalmatricen» :9 : Q [q q ] () Egenvektorerne efter. iteration bliver X X Q 8» :9 : :8 :8 : : (8) :8 : Normeres lfisningerne med hensyn til M findes X : : :9 :99 (9) : :9 OPGAVE Spfirgsmνal : En vektor der er M-ortogonal pνade to opgivne egenlfisninger kan findes ved hjρlp af Gram-Schmidt ortognaliseringen, se (.). Herved haves ~x x ff ' ff ' ff p ff p () hvor koefficienterne ff i iffilge (.) er givet ved ff ' T Mx p [ ] 8 p ' : ()

11 ff ' T Mx p [ ] 8 p ' :9 () hvoraf ~x kan findes som ~x + () ~x er hermed bestemt som en vektor ortogonal pνa ' og ' Spfirgsmνal : For at vektoren fundet i spfirgsmνal er en egenvektor til det generaliserede egenvρrdiproblem skal den opfylde K~x M~x () Ved indsρttelse fνas K~x ; M~x () hvilket ses ikke at kunne opfyldes af nogen -vρrdi hvorfor det ses at ~x egenvektor til det oprindelige egenvρrdiproblemet. ikke er en Spfirgsmνal : Med μ fνas ffilgende koefficientmatrix A K μm () Efter side 89 i Bathe haves at antallet af egenvρrdier i mindre end μ er givet ved antallet af negative elementer i D-matricen fundet ved en LDL T faktorisering af

12 A K μm. Ved at ffilge proceduren i (8.-), det vil sige en sρdvanlig Gauss elimination findes A LS 8 (8) hvoraf der af (8.) haves at A LDL T 8 (9) Da der er to negative elementer i D-matricen haves heraf at der er to egenvρrdier mindre end μ.