Lfisningsforslag SIF4045 Kvantemekanikk Oppgave 1 a) Den tidsavhengige Schrödingerlikningen = c HΨ= Separable lfisninger av denn

Transkript

1 Lfisningsforslag SIF4045 Kvantemekanikk Oppgave a) Den tidsavhengige Schrödingerlikningen = c HΨ= Separable lfisninger av denne, 4 c ~p m + V (~r) 3 5 Ψ= Ψ(~r; t) =ψ(~r) e iet= ; er stasjonρre tilstander. Innsetting gir chψ =EΨ: m r Ψ+V Ψ: b) Den éndimensjonale tidsuavhengige Schrödingerlikningen c Hψ(x) =Eψ(x) er i dette tilfellet m d ψ dx + m! x ψ = Eψ(x): Innsetting av ψ 0 = Ne m!x = gir Da d m d dx e m!x = + dx e m!x = = d dx m!x h i m! x E e m!x = =0: e m!x = = m! x m! ; gir dette ψ! m m! E e m!x = =0; eller E =!, som skulle vises. Egenfunksjonen er normert fordi Z r m! Z jψ 0 (x)j dx = e m!x = dx = Z p ß ß e y dy =:

2 c) Som lρreboka. d) Vi trenger νa beregne h0j c H j0i, med c H = x 6 : h0jh c Z r m! Z j0i = ψλ 0 (x)x6 ψ 0 (x) dx = ß x6 e m!x = dx: Vha det oppgitte integralet Z fνas h0j c H j0i = 5 8 x 6 e ax dx = 5 p 8 a 7 ß r m! m! 7 = 5 8 ψ Dette kan ogsνa beregnes vha heve- og senke-operatorene, men det er litt mer omstendelig. Konklusjonen er at til ffirste orden er grunntilstandsenergien lik ψ! E 0 = 3 5! + 8 : m! m!! 3 : e) Som lρreboka. f) Vi mνa beregne R R E RR = ( =m) f Λ f 00 dx + V (x)jfj dx R : jfj dx Vi trenger f 00 = d dx e d fix = dx fixe fix = fi x fi f: Alle integralene kan finnes i vedlegget. Vi fνar E RR = m fiq ß fi fi p ß fi 3 + m! p ß q ß fi fi p ß fi 7 = 4m fi + m! + 5 4fi 8 fi 3 : ()

3 Den beste verdien for grunntilstandsenergien fνar vi ved νa minimalisere E RR mhp fi. de RR = dfi 4m m! 4fi 45 8fi =0 4 bestemmer fi. Vi fνar en andregradslikning i fi : m! fi 4 fi 45m =0; med lfisning fi = m! ± vu u t ψ m!! + 45m : Bare pluss-tegnet er akseptabelt nνar fi skal vρre reell (Vi mνa ha 0 for νa kunne binde partikkelen). Altsνa fνas minimum for vu u fi = t m! + vu u t ψ m!! + 45m : Innsetting av denne verdien i uttrykket () for E RR gir beste energiestimat. I dette tilfellet er prfivefunksjonen av samme form som den uperturberte grunntilstanden. Ffirste ordens perturbasjonsteori er samme uttrykk som E RR, men altsνa med en ikke-optimal funksjon. Derfor er variasjonsresultatet E RR bedre (lavere) enn E E() 0. Da variasjonsresultatet aldri kan bli lavere enn den eksakte grunntilstandsenergien E 0, har vi E 0 <E RR <E E() 0 : For! =0er fi / 4, og E RR = 4m fi z = 4 : fi 3 / 4 : Altsνa Kommentar: Denne verdien er eksakt. Det ser en ved νa innffire x = y 8 Schrödingerlikning, med resultat i den eksakte d ψ m dy + y6 ψ = fflψ; der ffl = E 4 : 3

4 Oppgave d a) Vi mνa teste om J ~ c ± = J ~ ± c J ~ oppfyller kommuteringsreglene for dreieimpuls. La oss beregne kommutatoren mellom x-ogy-komponentene: i h J ± x ;J± y =[J x ± J x ;J y ± J y ]=[J x ;J y ]+[J x ;J y ]=ij z +ij z = ij ± z : Vi ser at [J + x ;J+ y ]=ij + z (og tilsvarende med syklisk indeksbytte), sνa summen c ~ J + c ~ J er en dreieimpulsoperator. Da [J x ;J y ] 6= ij z ikke en dreieimpulsoperator., er differansen b) Med ` =og s = er de mulige verdier, j = ` ±, lik j = og j = 3. Kvantetallet m j kan ta verdiene j; j +;:::;+j, altsνa verdiene m j = ± nνar j =,ogverdiene m j = 3 ; ; ; 3 nνar j = 3. Det er enkelt νa vise at den oppgitte jψi er egenfunksjon for J z = L z + S z fordi ved operasjon med J z gir den ffirste tilstanden i jψi egenverdien = og den andre gir 0 +, samme egenverdi. Altsνa er egenverdien for J z lik. For νa undersfike om jψi er egentilstand for ~ J er bare νa operere med ~ J pνa den oppgitte form. Siden ` = og s = gir L ~ + S ~ alltid en faktor + 3. De resterende tre ledd krever litt mer arbeid. Vi trenger 4 L + S jm =;m s = i = 0 L + S jm =0;m s =+ i = p jm =;m s = i L S + jm =;m s = i = p jm =0;m s =+ i L S + jm =0;m s =+ i = 0 L z S z jm =;m s = i = jm =;m s = i L z S z jm =0;m s =+ i = 0: Alt i alt blir dette ~J jψi = 3 4 jψi: Siden 3 4 = ( + ), sνa erjψi egentilstand for ~ J med egenverdi j =. En ser direkte av uttrykket for jψi at sannsynligheten for νa finne m s = er j q 3 j = 3. 4

5 Oppgave 3 a) dff dω = antall partikler spredt inn i romvinkel dω pr. tidsenhet dω (innfallende partikkelstrfim) b) Z dff Z ff = dω dω= jf(#)j dω; integrert over alle vinkler. Innsatt for f(#), og med dω = sin #d#d',fνar vi ff = ß X (k) ` X `0 (`+)(`0+)(e iffi` )(e iffi`0 ) Da integralet er null for `0 6= ` og lik =(` + ) for `0 = `, fνar vi ff = ß X iffi` (` + )(e iffi`)(e ): k ` Vha e iffi` =e iffi` i sin ffi` og e iffi` =e ffi` i sin ffi` blir dette ff = 4ß k X `=0 (` +) sin ffi`: Z ß 0 P`(cos #)P`0(cos #) sin # d#: c) En partikkel med impuls k vil ha en maksimal dreieimpuls k a (mhp spredningssentret) dersom q stfitparameteren er mindre enn a. Siden dreieimpulsens stfirrelse er `(` + ) ß `, svarer dette til at bare `-verdier som oppfyller `» ka bidrar vesentlig til spredningen. Omskrevet til energi E = k =m vil dette si vesentlige bidrag bare hvis `» k a = E =(ma) : Sνa for E fi =(ma ) vil bare ` fi bidra. Da ` er heltallig og ikke-negativ vil det si at bare ` =0bidrar. Og da P 0 er vinkeluavhengig (lik = p 4ß) gir dette at lavenergispredning er isotrop. d) Faseendringen ffi 0 bestemmes av lfisningen av radiallikningen for store r. For ` = 0 og r > a er radiallikningen d dr (rr 0)+k (rr 0 )=0; 5

6 med lfisning rr o (r) / sin(kr ka), da vi mνa har 0 =0for r» a. Det gir ffi 0 = ka (i henhold til det asymptotiske forlfip for store r, rr l / sin(kr Totaltverrsnittet blir `ß + ffi`). ff = 4ß k sin ffi 0 = 4ß k ' 4ßa : (ak fi ): 6