Ma-1410: Analyse, Obligatorisk øvelse 2, høsten 2001.

Transkript

1 Ma-40: Analyse, Obligatorisk øvelse, høsten 00

2 Ma-40: Analyse, Obligatorisk øvelse, høsten 00. Beskjeder: Frist for innlevering: Lørdag 3. november. (Annet tidspunkt kan avtales.) Besvarelsene leveres samlet for gruppene. Alle deloppgavene skal besvares. Navnet til alle gruppemedlemmene skal stå på framsida. (Gruppenummer bør stå på framsida. Gruppenummer er lik grupperomsnummer, se: For enkelte (særlig de som ikke bor i Kristiansand) passer det dårlig å arbeide i en gruppe. For disse er det OK å levere enmanns-besvarelse. Hvis du leverer enmanns-besvarelse, er det nok å svare på en oppgave. Er dere to som samarbeider, må dere svare på oppgavene og. Er dere tre eller flere som samarbeider, regnes dere som gruppe og alle tre oppgavene må besvares. Besvarelsene kan leveres på papir, eller sendes vedlegg til epost som *.mcd filer (Mathcad formatet). (Viktig: Bruk filnavn av typen: Oblig_ditt_navn.mcd) I oppgaveløsningene skal ca halvparten være forklarende tekst. Bruk et kvarter av tiden på gruppene tirsdag 30.0 til å diskutere oppgavene nedenfor, og avtal arbeidsfordeling. Prøv å unngå at en arbeider alene på en oppgave. Før dere leverer besvarelsen, ta en gjennomgang av den og se om dere er enige om det dere leverer. NB! Jeg har hatt noe problemer med enkelte av besvarelsene på Oblig_PC som ble sendt meg som vedlegg til epost. Utskriftene var anonyme! Alle løsninger som leveres skal ha en første side med gruppenummer og navn på deltakerne, f.eks. slik: Ma: 40 - Obligatoriske PC-øvelse nr.. Gruppe: B-007 Løsningene er utarbeidet av: Åsvald Lima,,. Oppgave : (Numerisk integrasjon. Du får bruk for formlene beskrevet i filene: og Gitt funksjonen f()=sin()/ over intervallet [-π,π]. a) Beregn lengen av kurven. (Bruk Trapesmetoden med n minst 4.) b) Beregn volumet av omdreiningslegemet du får når f() roteres om -aksen. (Bruk Simpsons formel med n=8 og n=50.) Svar å sammenligne med: Lengde π + d sin( ) = og Volum π π sin( ) =

3 + = π = Oppgave : I Mathcad brukes følgende notasjon om inverse trigonometriske funksjoner (arcus-funksjoner): sin - () = asin(), cos - () = acos() og tan - () = atan(). a) Når vi deriverer ga() = atan() + atan(/), får vi 0. Ifølge middelverditeoremet skal da ga() være konstant. Tegn grafen til ga(). Er ga() konstant? Forklar situasjonen. b) La gb() = asin() + acos(). Tegn grafen til gb(). Er gb() konstant? Hva er konstanten? c) La gc() = sin()sin(+) - sin (+). Tegn grafen til gc(). Er gc() konstant? Prøv å regne deg fram til verdien ac gc(). Hva får du? (Det er ikke et krav at du finner verdien av gc().) Oppgave 3: Bruk prosedyren beskrevet nedenfor til å tegne integralkurvene til oppgaven 6.5: 9 for 0.<<3. Her har vi gitt: y'-y= ln(). (Det kan være fornuftig at dere klipper hele feltet nedenfor over til deres eget område. Jeg har testet dette i Matcad000, men ikke i Mathcad00.) Differensiallikninger Når vi løser en differensiallikning y' = f(,y), får vi løsninger der det inngår en konstant, så vi kan skrive løsningene som y(,c). Når vi tegner grafene til y for en C-verdi, får vi kurver som vi kaller integralkurver. Vi skal se på hvordan vi i Mathcad kan tegne integralkurver til Lineære. ordens differensiallikninger. Vi antar gitt en likning på formen: y' + P() y = Q(). I oppgaven 6.5: 0 har vi gitt: y'+y=. P( ) := Q( ) := I andre oppgaver må erstattes med uttrykket for P() i formelen for v(). Like dam må erstattes Vi trenger integrerende faktor: med rett uttrykk for Q(). ep v( ) P( ) y(, C) := ep v( ) Q( ) ep ep v( ) := ep ep ep

4 Vi kan nå tegne integralkurvene for flere C-verdier på en gang. Vi tegner kurvene over et intervall [-3,3], og oppgir min < -3 og ma > 3. Vi tegner kurver for flere C-verdier. (Dukker det opp noen ekstra streker i grafen, så velg et noe mindre intervall enn [min,ma] for å unngå disse strekene.) cmin := 4 cma := 4 min := 3 ma := 3 I := 9 i := 0.. I J := 7 j := 0.. J c i := cma cmin cmin + I i j := min + D j, i := y( j, c i ) ma min J j 3 D 3 0 3

5 min j