Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009
|
|
- Thoralf Ellefsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO
2 Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta for oss det andre temaet i kurset, nemlig Differenslikninger (herunder følger, grenseverdier, komplekse tall, enkel grafteori, trær, nettverk og boolsk algebra). Utgangspunktet for stoffvalg og presentasjon har vært som i Kompendium 1 om lineære likningssystemer; 2MX eller 2MY og 3MY, og vi fortsetter å bake inn matematikken du har med fra videregående i en større sammenheng. Sørg fortsatt for å repetere stoff fra videregående så fort det dukker opp ting du føler du ikke husker godt nok! Løsningene til differenslikninger er tallfølger, og vi starter med å se litt nærmere på tallfølger. Deretter tar vi for oss visse typer differenslikninger i tur og orden, bare avbrutt av et kapittel om komplekse tall og trigonometri. Dette vil vi trenge for å kunne løse og studere spesielle differenslikninger. Anvendelser av differenslikninger tar vi underveis, og vi avslutter med et kapittel der vi innfører noen flere matematiske objekter som passer inn i denne sammenhengen, og som det kan være meget nyttig å kjenne til. Kapittelet heter Trær og nettverk, og vi ser på et eksempel der vi kobler såkalte trær med noen spesielle tallfølger, og et annet eksempel der vi bruker såkalt boolsk algebra til å studere nevrale nettverk. Underveis i teksten gis det mange eksempler, og dessuten vil du få beskjed om å sjekke, tegne tegninger og regne ferdig i endel eksempler. Det er veldig viktig at du gjør dette mens du studerer teksten. Bak i kompendiet vil du finne oppgavesamling. Vi har prøvd å grave frem tidligere eksamensoppgaver i dette temaet også, og de kommer i kronologisk rekkefølge. Vi fant imidlertid ikke like mange tidligere eksamensoppgaver i dette emnet som i de to andre, så vi har dermed laget endel større oppii
3 gaver i oppgavesamlingen, spesielt med hensyn på stoff som ikke dekkes i tidligere eksamensoppgaver. Oppgavene varierer i vanskelighetsgrad, og noen er markert Ekstra vanskelig. Vårt motto er som før: Jobb med alle oppgavene og søk hjelp etterhvert! Fortsatt lykke til! Mine medspillere Erik Bédos, Arne B. Sletsjøe og Elisabeth Seland har fortsatt sine kontinuerlige innspill og kommentarer. Også her har Dina Haraldsson og Kari T. Hylland vært til stor hjelp med henholdsvis tidligere eksamensoppgaver og treningsoppgaver. Tusen takk alle sammen! Også takk til Tom Lindstrøm for oppgave-innspill. Send gjerne trykkfeil og kommentarer til ingerbo@math.uio.no Blindern, august 2008 Inger Christin Borge Dette kompendiet ble første gang brukt i MAT1001 høstsemesteret 2008, da vi også hadde en trykkfeilkonkurranse. Denne versjonen er rettet for trykkfeil som ble oppdaget da. Tusen takk til alle høstens MAT1001-studenter samt undervisere for verdifulle innspill! Oppfordringen om å sende trykkfeil og kommentarer gjelder for vårsemesteret også. Blindern, januar 2009 Inger Christin Borge iii
4 Innhold Notasjon vi 1 Tallfølger Tallfølger og konvergens Differenslikninger Om anvendelser av differenslikninger Nå skal du kunne Første ordens lineære differenslikninger Homogene likninger Løsningsmetode Konvergens av løsninger Anvendelser Inhomogene likninger Løsningsmetode Konvergens av løsninger Anvendelser Nå skal du kunne Komplekse tall og trigonometri Komplekse tall Vinkler og radianer Trigonometri Polarform Nå skal du kunne Andre ordens lineære differenslikninger Homogene likninger iv
5 4.1.1 Løsningsmetode Konvergens av løsninger Anvendelser Inhomogene likninger Løsningsmetode Konvergens av løsninger Anvendelser Nå skal du kunne Trær og nettverk Trær og Fibonacci-følgen Boolsk algebra og nettverk Nå skal du kunne A Oppgaver 115 A.1 Kapittel A.2 Kapittel A.3 Kapittel A.4 Kapittel A.5 Kapittel B Tidligere eksamensoppgaver 136 C Fasit og løsningsforslag 149 C.1 Kapittel C.2 Kapittel C.3 Kapittel C.4 Kapittel C.5 Kapittel C.6 Tidligere eksamensoppgaver D Støtte- og tilleggslitteratur 176 E Det greske alfabetet 177 F Norsk-engelsk ordliste 178 Register 182 v
6 Notasjon {} mengde element i N de naturlige tallene 1,2,3,... Z de hele tallene..., 2, 1, 0, 1, 2,... Q de rasjonale tallene (brøker) R de reelle tallene (tallinjen) med ordet tall menes et reelt tall R 2 det reelle planet R 3 det reelle rommet R n det n-dimensjonale rommet C de komplekse tallene avslutter et Bevis avslutter et Eksempel eller en Bemerkning vi
7 Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget for resten av kompendiet ved å se litt nærmere på tallfølger og generelle differenslikninger. 1.1 Tallfølger og konvergens Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Definisjon 1.1 En tallfølge er en uendelig oppramsing av tall x 0, x 1, x 2,..., x n,.... En tallfølge betegnes ofte ved {x n } n=0 Tallene x 0, x 1,... kalles leddene i tallfølgen, og tallet x n kalles det n-te leddet (eller det generelle leddet). Vi kjenner igjen symbolet som uendelig. Den uendelige oppramsingen av en tallfølge angis som oftest ved en regel som sier hvordan det n-te leddet i tallfølgen ser ut. Regelen er gjerne gitt ved en formel (når vi setter inn en verdi for n i formelen, kan vi regne ut hva det n-te leddet er). 1
8 Eksempel 1.2 Tallfølgen 0, 1, 2, 3,..., n,... kan forkortet skrives {n} n=0, dvs. formelen for det n-te leddet er x n = n. Bemerkning 1.3 Noen ganger starter tallfølgen med et annet ledd enn det 0-te leddet, og vi skriver ofte {x n } for en tallfølge. Hvis x n er angitt ved en formel er det da underforstått at vi starter med det første leddet der formelen for x n gir mening. Hvis vi ønsker å studere en tallfølge som starter med det k-te leddet, skriver vi {x n } n=k. Vi vil ofte bruke ordet følge istedenfor tallfølge. Eksempel 1.4 Følgen 0, 1, 2, 3,..., n,... kan også angis ved {n 1} n=1. Eksempel 1.5 Følgen { 1 } = 1, 1, 1,..., 1,... har det n-te leddet gitt ved n 2 3 n 1. Vi kan ikke sette inn n = 0 (siden vi ikke kan dele på 0), så det første n leddet i følgen her er x 1 = 1 = 1. 1 Vi har allerede møtt flere eksempler på følger i populasjonsdynamikken: Eksempel 1.6 I eksempelet om PiggAv-ordningen i Kompendium 1 fant vi at andel bilister som kjører piggfritt i år n etter 1990 er (tilnærmet) x n = 73 73(0.63) n (1.1) og andel som kjører med pigg i år n etter 1990 er (tilnærmet) y n = (0.63) n. (1.2) Dette er eksempler på to følger {x n } og {y n } der formlene for det n-te leddet er gitt ved henholdsvis (1.1) og (1.2). Vi regnet ut de 18 første leddene i hver av disse følgene i Kompendium 1. Vi tar med et par spesielle følger vi skal møte som har egne navn: En konstant følge er en følge der alle leddene er like, for eksempel følgen {7} = 7, 7, 7, 7,... 2
9 En alternerende følge er en følge der leddene har alternerende fortegn, dvs. fortegnet skifter fra et ledd til det neste. Vi gjenkjenner en alternerende følge ved at det n-te leddet har ( 1) n som faktor. For eksempel {( 1) n } = 1, 1, 1, 1, 1,... eller { ( 1)n n } = 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5,... Siden en følge er en uendelig oppramsing, kan det være naturlig å stille spørsmålet: stopper følgen? Mer presist spør vi oss da om leddene x n i følgen nærmer seg et tall når n går mot uendelig (n blir større og større). Dette har vi allerede sett på i Kompendium 1: Eksempel 1.7 I Kompendium 1 så vi at følgene {x n } (1.1) og {y n } (1.2) (PiggAv-eksempelet) nærmer seg tallene x = 73 og y = 27, dvs. disse følgene stopper opp. Vi bruker språket vi innførte i Kompendium 1: Definisjon 1.8 Følgen {x n } konvergerer mot tallet x hvis leddene i følgen nærmer seg x når n går mot uendelig. Vi sier at grenseverdien til tallfølgen {x n } er x og skriver lim x n = x. n Hvis leddene i følgen ikke nærmer seg et bestemt tall når n går mot uendelig sier vi at følgen divergerer. Bemerkning 1.9 Det at leddene i følgen nærmer seg et tall x når n går mot uendelig betyr litt mer presist at bare n er stor nok, så kan vi få alle leddene i følgen fra denne n-en av til å være så nærme x vi bare vil. Eksempel 1.10 Følgen {n} i Eksempel 1.2 stopper ikke opp: Siden n blir så stor vi bare vil bare n er stor nok, dvs. lim n n =, så er {n} divergent. 3
10 Følgen { 1 } i Eksempel 1.5 stopper opp, siden leddene går mot 0, dvs. n 1 lim n n = 0. Dette betyr at vi kan få leddene i følgen { 1 } til å være så nærme 0 vi n bare vil, bare n er stor nok. For eksempel, hvis vi ønsker at leddene 1 skal ha avstand høyst minst fra 0, kan vi få til det ved å la n være Den konstante følgen {a} = a, a, a,... konvergerer mot a. I den alternerende følgen {( 1) n } hopper leddene frem og tilbake mellom 1 og 1, så denne følgen divergerer. Derimot konvergerer { ( 1)n n } mot 0 selv om leddene skifter fortegn fra et ledd til neste. 1.2 Differenslikninger Når vi har en formel for det n-te leddet i en følge, kan vi regne ut alle leddene (hvis vi ønsker) og vi kan ofte bestemme om den konvergerer eller divergerer. I anvendelser der en følge er løsning på et problem, får vi ofte oppgitt følgen på en annen måte, nemlig som en differenslikning (vi sparer forkor-telsen difflikning til vi kommer til Kompendium 3 og emnet Differensiallikninger): Eksempel 1.11 Den italienske matematikeren Leonardo Pisano (ca ), bedre kjent som Fibonacci, er blitt viden kjent for sin kaninmodell. Han beskrev utviklingen av en kaninpopulasjon som vokser etter følgende enkle prinsipp: Hvert par av kaniner føder et nytt par kaniner hver måned og de begynner med det når de er to måneder gamle. La oss anta at vi starter med ett par kaniner (og at vi ser bort fra at kaniner dør etterhvert!). Måneden etter har vi fortsatt bare ett par, men så begynner det å skje ting. Etter to måneder har det første paret fått barn og vi har to par kaniner, måneden etter får de et nytt par kaniner, mens de eldste ungene enda ikke har begynt å få unger slik at vi da har tre par kaniner. 4
11 Etter tre måneder får også de førstefødte ungene unger og tilveksten blir to par. Til sammen har vi da fem par kaniner. Vi kan lage en generell beskrivelse av det som skjer. Vi lar x n være antall kaniner etter n måneder. Da har vi likningen x n+2 = x n+1 + x n, n 0, (1.3) som vi kan forklare slik: Antall kaniner etter n+2 måneder består av samtlige kaniner vi hadde forrige måned (x n+1 ), i tillegg til at alle kaniner som levde for to måneder siden har fått unger og derfor tilført et tilsvarende antall (x n ) nye kaninpar. Starter vi med x 0 = x 1 = 1 får vi den såkalte Fibonacci-følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,... (1.4) Hvert ledd i følgen fremkommer altså som summen av de to foregående leddene: osv. x 2 = x 1 + x 0 = = 2, x 3 = x 2 + x 1 = = 3, x 4 = x 3 + x 2 = = 5, x 5 = x 4 + x 3 = = 8, Likningen (1.3) er et eksempel på en differenslikning. Vi kan strengt tatt regne ut alle leddene i følgen (kalt Fibonacci-tallene) ved hjelp av likningen, men da må vi starte fra x 0 og x 1 og regne oss oppover. Hvor mange kaniner er det etter 4 år (48 måneder)? Hadde vi hatt formelen for denne følgen, kunne vi bare ha satt inn n = 48 istedenfor å regne ut alle de foregående leddene før vi kom til x 48. Det er ikke helt enkelt å se for seg hva slags formel som beskriver det n-te leddet i denne følgen, men det viser seg at Fibonacci-følgen er beskrevet av formelen x n = 5 5 [(1 + 5 ) n+1 ( 1 5 ) n+1 ]. (1.5) 2 2 Du synes kanskje ikke det blir noe enklere å sette inn n = 48 i denne formelen? 5
12 Men er det ikke litt rart at dette uttrykket med flere rottuttrykk er et helt tall (antall kaniner) hver gang vi setter inn et naturlig tall n? Sjekk dette for noen verdier (f.eks. at n = 2 gir 2)! Vi skal utlede formelen (1.5) senere i kompendiet. Definisjon 1.12 En differenslikning (for en følge) er en likning som angir hvordan hvert ledd i en følge (fra et visst ledd av) kan beregnes ved hjelp av de foregående leddene i følgen. Hvis man bare trenger de k foregående leddene (der k N) kalles den en k-te ordens differenslikning. For eksempel er (1.3) en andre ordens differenslikning: (1.3) sier jo at hvert ledd (fra ledd 2 og oppover) fås ved å addere de to foregående leddene. Det vil være uendelig mange følger som oppfyller likningen (1.3). I tillegg til Fibonacci-følgen vil for eksempel følgen 1, 3, 4, 7, 11, 18, 39,... også oppfylle likningen (1.3) (finn flere!). Eksempel 1.13 Likningen x n+1 = 3x 2 n n + 1, n 0, er en første ordens differenslikning. Hvis x 0 = 1 er da x 1 = = 4, x 2 = = 48, x 3 = = 6911, osv. en følge som oppfyller likningen. Det fins et hav av interessante differenslikninger som dukker opp i anvendelser. I MAT1001 skal vi stort sett studere differenslikninger av en bestemt type, nemlig de lineære: Definisjon 1.14 La k N. En k-te ordens lineær differenslikning (med konstante koeffisienter), er en likning på formen x n+k = a 1 x n+k 1 + a 2 x n+k a k x n + f(n), n 0, (1.6) der a 1,..., a k er reelle tall, f(n) er et gitt uttrykk i n og a k 0 (ellers ville likningen ha hatt lavere orden). 6
13 Det at a 1,..., a k alle er konstanter betyr at vi har konstante koeffisienter. Dersom a 1,..., a k tillates å avhenge av n vil likningen fremdeles være en k-te ordens lineær differenslikning, men disse mer generelle likningene skal vi ikke studere i MAT1001. Eksempel 1.15 Likningen (1.3) x n+2 = x n+1 + x n er en andre ordens lineær differenslikning: vi har k = 2, a 1 = 1, a 2 = 1 og f(n) = 0 i (1.6). Eksempel 1.16 Differenslikningen x n+1 = 5x n, n 0 er en første ordens lineær differenslikning (der k = 1, a 1 = 5 og f(n) = 0 i (1.6)). Den sier at leddene i følgene som er gitt ved denne likningen fås ved å multiplisere det umiddelbart foregående leddet med 5. Ordet lineær (som vi så på i Kompendium 1) kommer fra at leddene i følgen skal opptre på lineær form (vi skal ikke ha noen av leddene i 2. potens for eksempel). Eksempel 1.17 Likningen fra Eksempel 1.13 er ikke lineær siden uttrykket x 2 n opptrer i likningen. Derimot er differenslikningen x n+2 = 3x n x n + n 2 + 2, n 0, (1.7) lineær (og andre ordens). Definisjon 1.18 Vi løser en differenslikning ved å finne alle følgene som oppfyller likningen. Disse tallfølgene utgjør den generelle løsningen til differenslikningen. 7
14 For de differenslikningene vi skal møte i MAT1001 kan den generelle løsningen angis ved en formel for det n-te leddet: Eksempel 1.19 Differenslikningen x n+1 = 5x n, n 0 i Eksempel 1.16 har uendelig mange løsninger. For eksempel 1, 5, 25, 125, 625,... og 2, 10, 50, 250,.... Den generelle løsningen (som vi skal lære å finne) vil være alle følger {x n } slik at x n = C 5 n, for en C R (og alle n 0). Vi skriver vanligvis bare at den generelle løsningen er x n = C 5 n, C R (underforstått alle følger {x n } slik at x n =... ). Definisjon 1.20 Når vi plukker ut en av løsningene i den generelle løsningen, kaller vi denne løsningen en spesiell løsning (også kalt en partikulær løsning). Vi er ofte interessert i å finne én spesiell løsning, som er bestemt av at vi vet noe om de første leddene i følgen. Definisjon 1.21 En k-te ordens differenslikning der vi i tillegg vet verdiene på de k første tallene i følgen kalles en differenslikning med k initialbetingelser. Hvis vi har en k-te ordens differenslikning med k initialbetingelser vil vi alltid ha nøyaktig én løsning, siden vi da kan regne oss oppover og finne 8
15 alle leddene i denne spesielle følgen. Problemet da er at denne prosessen er tidkrevende, og at vi helst vil ha en formel for det n-te leddet, for eksempel for å kunne avgjøre om følgen konvergerer eller ikke. Eksempel 1.22 Likningen x n+2 = x n+1 + x n, x 1 = 1, x 2 = 1 er en andre ordens lineær differenslikning med to initialbetingelser, og det er kun én følge i hele verden som oppfyller dette, nemlig Fibonacci-følgen. Eksempel 1.23 Likningen x n+1 = 5x n, x 0 = 2 er en første ordens lineær differenslikning med én initialbetingelse, og følgen {x n } = 2, 10, 50,..., 2 5 n,... er den eneste løsningen til denne likningen. La oss ramse opp noen flere eksempler på differenslikninger: a) x n+1 = 4x n 7 n b) x n+2 x n = π c) x n+3 = x n+2 ln(n 2 + 1) + x n+1 3nx n Når vi skal igang med å løse differenslikninger, skal vi som sagt begrense oss litt, for eksempel skal vi ikke studere likningen gitt i c) ovenfor, og heller ikke løse likningen gitt i a). Derimot skal vi lære å finne alle løsninger til likning b). Det fins differenslikninger som er uløselige (i den forstand at man ikke vet hvordan man kan angi en formel for det generelle leddet). I MAT1001 skal vi lære å løse, og se på anvendelser av, følgende differenslikninger første ordens lineære homogene differenslikninger 9
16 noen typer første ordens lineære inhomogene differenslikninger andre ordens lineære homogene differenslikninger noen typer andre ordens lineære inhomogene differensliknigner Med lineære mener vi her alltid lineære med konstante koeffisienter. Ordet homogen traff vi også på i Kompendium 1. Det har en helt analog betydning her: Definisjon 1.24 En lineær differenslikning av typen (1.6) kalles homogen hvis f(n) = 0. Hvis f(n) 0 kalles likningen inhomogen. Eksempel 1.25 Likningen (1.7) er en andre ordens lineær inhomogen differenslikning, mens likningen i Eksempel 1.16 er en første ordens lineær homogen differenslikning. Vi skal ta for oss de ulike typene likninger i tur og orden. 1.3 Om anvendelser av differenslikninger For hver type differenslikning vi skal lære å løse vil vi ta for oss anvendelser. Da kan det være fint å ha følgende bemerkninger i bakhodet: Problemene vi skal studere i dette kompendiet vil gi opphav til en differenslikning der løsningen er en tallfølge. I denne typen problemer studerer vi et fenomen som skjer i milepæler (adskilte tidsrom), noe som kan måles i hver generasjon n der n er et naturlig tall. Vi har da at hvert ledd x n i tallfølgen vil svare til fenomenets tilstand i generasjon n, kort sagt leddet x n svarer til n-te generasjon. Antagelsen om adskilte tidsrom har vi allerede møtt i Kompendium 1, i populasjonsdynamikken. Her så vi på dynamikken mellom flere (under)populasjoner, som ga oss et system av likninger som kunne løses ved hjelp av matriser. Systemene vi møtte der er systemer av differenslikninger. Nå skal vi studere én differenslikning / ett fenomen om gangen. 10
17 Vi har brukt anførselstegn rundt generasjon siden det er et ord som naturlig hører til begrepet populasjon. I fenomenene vi nå skal studere, som for eksempel kan være utviklingen av en populasjon eller en ball som spretter opp og ned, tenker vi generelt på en generasjon som tidsrommet mellom hver milepæl. For eksempel vil et fenomen der det samme forholdet mellom tre etterfølgende generasjoner gjentas i det uendelige gi opphav til en andre ordens differenslikning (som for Fibonaccis kaniner). 1.4 Nå skal du kunne definisjonen av en tallfølge og vite hva det vil si at en tallfølge konvergerer eller divergerer definisjonen av en konstant tallfølge, alternerende tallfølge og Fibonaccifølgen forklare Fibonaccis kaninproblem og hvor Fibonacci-tallene kommer fra definisjonen av en differenslikning, herunder begrepene orden, lineær, konstante koeffisienter, homogen og inhomogen, og gi eksempler på ulike typer differenslikninger med hensyn på disse begrepene forskjellen på den generelle løsningen og en spesiell løsning av en differenslikning glede deg til fortsettelsen! 11
18 Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med et fast tall. Denne måten å lage en følge på er den første differenslikningen vi skal se på. Definisjon 2.1 En første ordens lineær homogen differenslikning er en differenslikning på formen x n+1 = rx n, n 0 (2.1) der r er et reelt tall forskjellig fra 0. Bemerkning 2.2 Merk at (2.1) passer inn i den generelle formen for en homogen lineær differenslikning i Definisjon 1.24 med k = 1 og a 1 = r. Likning (2.1) kan også skrives på formen x n+1 rx n = 0. (2.2) I oppgaver vil du møte disse likningene enten på formen (2.1) eller (2.2). Vi tar utgangspunkt i formen (2.1). Vi bemerker også at når vi dropper n 0 er det underforstått at det første leddet er x 0. 12
19 Eksempel 2.3 Likningen 3x n+1 = 2x n, n 0 er en første ordens lineær homogen differenslikning siden den kan skrives på formen (2.1) ved å dividere med 3 på hver side: x n+1 = 2 3 x n. De to første leddene i denne følgen er x 0 og x 1 = 2x 3 0. En mulig løsning av likningen kan derfor starte med leddene 1 og 2 (når x 3 0 = 1), mens en annen løsning kan starte med leddene 3 og 2 (når x 0 = 3). Eksempel 2.4 Likningen x n+1 = 2x n, n 0 er en første ordens lineær homogen differenslikning. Leddene i følgene som oppfyller denne likningen fås ved å multiplisere det umiddelbart foregående leddet med 2. Hvis vi starter med x 0 = 1, får vi x 0 = 1 x 1 = 2x 0 = 2 1 = 2 x 2 = 2x 1 = 2 2 = 4 x 3 = 2x 2 = 2 4 = 8 x 4 = 2x 3 = 2 8 =
20 Starter vi imidlertid med x 0 = 3, får vi 2 x 0 = 3 2 x 1 = 2x 0 = x 2 = 2x 1 = 2 3 = 6 x 3 = 2x 2 = 2 6 = 12 x 4 = 2x 3 = 2 12 = 24. To mulige løsninger av likningen x n+1 = 2x n er altså følgene som starter med henholdsvis leddene 1, 2, 4, 8, 16,... og 3, 3, 6, 12, 24, Løsningsmetode La oss se hvordan vi finner alle løsningene til likningene på formen (2.1). Vi skal finne følger der leddene fås ved å multiplisere det umiddelbart foregående leddet med r. Hvis vi kaller det første leddet for x 0, får vi x 0 x 1 = rx 0 x 2 = rx 1 = r(rx 0 ) = r 2 x 0 x 3 = rx 2 = r(r 2 x 0 ) = r 3 x 0. Vi øyner nå et system som ser ut til å fortsette og gi at x n er gitt ved x n = r n x 0. Vi kan sjekke dette ved innsetting: Hvis x n = r n x 0, n 0, er da x n+1 = r n+1 x 0 = r(r n x 0 ) = rx n. Det n-te leddet i følgen er altså x n = r n x 0. Siden det første leddet x 0 kan være hvilket som helst tall, får vi uendelig mange løsninger (en for hvert valg 14
21 av x 0 ), og formelen x n = r n x 0 vil gi oss den generelle løsningen til en første ordens lineær homogen differenslikning. For å presentere den generelle løsningen, kaller vi x 0 for C, der C R. Da får vi at (vi setter C-en foran r n istedenfor bak, siden det ser penere ut): Teorem 2.5 Den generelle løsningen til en første ordens lineær homogen differenslikning x n+1 = rx n er følgene x n = Cr n, C R. (2.3) Husk at når vi velger en verdi for C, eventuelt når vi er gitt en initialbetingelse og bruker den til å regne ut C, så får vi en spesiell løsning. Bemerkning 2.6 Grunnen til at vi innførte en generell konstant C for x 0 er at det ikke spiller noen rolle om n 0, n 1 eller n k i Teorem 2.5. Den generelle løsningen kan alltid angis ved (2.3). Eksempel 2.7 For å løse likningen x n+1 = 2 3 x n, n 0 (2.4) setter vi inn 2 3 for r i (2.3), og får generell løsning x n = C( 2 3 )n, C R. Hvis for eksempel C = 1, får vi den spesielle løsningen {( 2 3 )n } = 1, 2 3, 4 9, 8 27,... Hvis vi ønsker en følge som oppfyller likningen (2.4) og i tillegg betingelsen x 1 = 3, finner vi denne ved å regne ut C: Betingelsen x 1 = 3 gir at C 2 3 = 3, 15
22 dvs. C = 9, dermed får vi den spesielle løsningen 2 {( 9 2 )(2 3 )n } = 9 2, 3, 2, 4 3,... Eksempel 2.8 Likningen x n+1 = 2x n, n 0 i Eksempel 2.4 har generell løsning x n = C 2 n, C R. Setter vi C = 1 får vi den spesielle løsningen x n = 2 n = 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., mens C = 3 2 gir den spesielle løsningen x n = ( 3 2 )2n = 3, 2, 6, 12, 24, Konvergens av løsninger Hva skjer når n går mot uendelig for følgene som er løsninger av første ordens lineære homogene differenslikninger? Løsningene er på formen og grenseverdien vil avhenge av hva C og r er. x n = Cr n, lim x n = lim Cr n n n Vi minner om at dere har sett dette i 2MX i forbindelse med eksponen- 16
23 tialfunksjoner. Selv om vi nå ser på følger, og ikke funksjoner, vil følger og funksjoner oppføre seg likt med hensyn på å vokse og avta. Konstanten C er lik x 0, som er det første tallet i følgen, så vi kan anta at C 0 (ellers er følgen lik 0, 0, 0,...). Leddene i følgen multipliseres med r for hvert ledd, og hvis dette tallet er mindre enn 1 i absoluttverdi (som skrives r < 1, dvs. 1 < r < 1, fra 2MX), vil leddene bli mindre og mindre, og det n-te leddet vil gå mot 0, noe du kan sjekke ved å eksperimentere litt med kalkulatoren. Hvis r er negativ, vil vi ha en alternerende følge der fortegnet skifter fra ledd til ledd, men leddene blir uansett mindre og mindre i absoluttverdi. Dermed konvergerer følgene mot 0 når r < 1 for alle C. Når r > 1, multipliserer vi med et tall større enn 1 i absoluttverdi for hvert ledd, så leddene blir bare større og større og nærmer seg uendelig. Igjen, hvis r er negativ, vil vi ha en alternerende følge, men leddene blir uansett større og større i absoluttverdi. Dermed divergerer følgene når r > 1 for alle C. Når r = 1, har vi den konstante følgen C, C, C,... som konvergerer mot C. Når r = 1 har vi den alternerende konstante følgen C, C, C, C,... som divergerer (siden C 0). Eksempel 2.9 Løsningene av likningen i Eksempel 2.7 er følgene x n = C( 2 3 )n. Siden r = 2 3 < 1, vil alle løsningene konvergere (mot 0). Følgende tabell oppsummerer denne seksjonen (vi antar at C 0): r < 1 r > 1 r = 1 r = 1 x n = Cr n konvergerer mot 0 divergerer konvergerer mot C divergerer 17
24 2.1.3 Anvendelser La oss se på et par eksempler på problemer som gir opphav til første ordens lineære homogene differenslikning (flere er gitt i oppgavene): Eksempel 2.10 TVBorge forsøker en nysatsning: Reality-TV-programmet 1001 NATT, der vi følger hverdagen til MAT1001-studentene på Blindern. Nysatsningen settes opp på sendeskjemaet hver dag. Antall seere måles hver dag, og vi lar x n være antallet seere den n-te dagen. Den første dagen er det stor oppslutning, og x 1 er svimlende seere! Dessverre viser det seg at interessen daler jevnt og trutt, og antall seere synker med 10% hver dag. TVBorge bestemmer seg for at programmet må tas av skjermen når antall seere er mindre enn Hvor mange dager er MAT1001-studentene TV-stjerner? Følgen {x n } som gir oss antall seere for hver dag vil oppfylle en differenslikning. Siden antallet synker med 10% hver dag, vil vi hver dag sitte igjen med 90% av de seerne vi hadde dagen før, dvs. følgen {x n } vil oppfylle likningen x n+1 = 0.9x n, n 1. (2.5) Dette er en første ordens lineær homogen differenslikning som har generell løsning x n = C(0.9) n, C R. Siden x 1 = , får vi = C 0.9, dvs. C = , så antall seere ved dag n er x n = (0.9) n. Vi vil vite hvilken dag vi har mindre enn seere, dvs. vi må finne n slik at vi har (0.9) n < Ved å dele på får vi ulikheten (0.9) n <
25 For å løse denne, bruker vi logaritmer. (Husk disse fra 2MX. Logaritmer brukes ofte, og spesielt i forbindelse med følger, som vi ser og har sett. Vi bruker den naturlige logaritmen ln, men kunne like godt ha brukt titallslogaritmen log.) Vi tar logaritmen på begge sider, og bruker regneregler for logaritmer som gir n ln(0.9) < ln(0.04) Siden ln til et tall mindre enn 1 er negativt, må vi snu ulikheten når vi deler med ln(0.9). Kalkulatorbruk gir nå at n > ln(0.04) ln(0.9) 30.6, dvs. n = 31 gir færre enn seere, og MAT1001-studentene er TVstjerner ganske nøyaktig 1 måned! Tenk over dette og de neste eksemplene i sammenheng med det vi skrev i Seksjon 1.3! Neste eksempel viser litt om hvordan det jobbes og tenkes rundt mange av oppgavene dere får (ferdig servert). Vi sier også litt om modellering, noe vi skal si mer om i Kompendium 3. Eksempel 2.11 Vi skal nå studere hvordan en viss type bladlus formerer seg, nærmere bestemt arten pemphigus bursarius, eller poppel-punggallerotlus. De angriper bladene og røttene på salaten vi trenger til smørbrødene våre, men angrepene har faktisk ikke så stor betydning at denne bladlusa bør utryddes. Kort fortalt skjer følgende: På våren føder hunnen levende avkom (med vinger) inne i en galle på bladene på poppel(-trær). Når gallen åpnes flyr lusene til salatplantene. På høsten flyr de tilbake til poplene der de parrer seg, legger egg og overvintrer. Vi lurer på: Hvor mange avkom må hver hunn produsere under gitte betingelser for at ikke bladlusa utryddes? Bladlusa vil utryddes hvis antall hunnkjønn blir mindre og mindre for hver generasjon. Dermed må vi først finne et uttrykk for antall hunnkjønn, og 19
26 så analysere når dette uttrykket blir mindre og mindre. For å finne dette uttrykket må vi enten selv studere bladlusa eller hente inn informasjon fra noen som allerede har gjort det. Vi velger det siste siden vi jobber med matematikk. Det viser seg at alle avkom fra én hunn er inneholdt i én galle, hvorav en viss andel overlever og blir voksne. Hvor mange avkom som produseres og sannsynligheten for overlevelse er tall vi må anta noe om. Disse tallene er parametere (varierer innenfor problemet vi studerer) som vil avhenge av flere faktorer, som for eksempel miljøutfordringer og næringskvalitet. Det enkleste (og mest teoretiske) er å anta at disse tallene ikke forandres, dvs. vi velger en modell der parameterne er konstante. For å gjøre om alt dette til matematikk slik at vi kan regne og finne svar på det vi lurer på, må vi innføre noen symboler: Vi innfører først: x n : antall voksne hunnkjønn i generasjon n Dette er en følge som vi er interessert i og som vil avhenge av flere faktorer: antall avkom som produseres i generasjon n, andel av disse som overlever og andel hunnkjønn blant totalt antall voksne bladlus. Vi trenger dermed også: a n : antall avkom i generasjon n d: andel avkom som dør h: andel hunnkjønn av totalt antall voksne bladlus Da får vi en andel på 1 d som overlever, og antall hunnkjønn i generasjon n + 1 er x n+1 = h(1 d)a n+1. (2.6) Vi vil gjerne finne en differenslikning for følgen {x n }, så uttrykket for a n+1 må helst erstattes med noe, og det får vi til: Siden antall avkom avhenger av antall hunnkjønn i forrige generasjon og antall avkom per hunnkjønn, innfører vi r: antall avkom per hunnkjønn 20
27 og får a n+1 = rx n, (2.7) som vi kan sette inn i (2.6) og få differenslikningen x n+1 = h(1 d)rx n. (2.8) Vi legger merke til at vi har slått sammen to likninger (2.6) og (2.7) og fått én likning (2.8). Likningen (2.8) er en første ordens lineær homogen differenslikning og har dermed løsninger x n = C(h(1 d)r) n, C R. Vi ser at hvis bladlusene skal overleve (under våre antagelser) må h(1 d)r > 1 for da multipliserer vi med et tall større enn 1 for hver generasjon og antall hunnkjønn vokser og vokser. Dermed får vi at r, som er antall avkom per hunnkjønn, må oppfylle r > 1 h(1 d). Hvis for eksempel det er 80% av avkommene som dør og andel hunnkjønn blant bladlus er 50%, får vi at h = 0.5 og 1 d = 0.2, så r > = 10, og hvert hunnkjønn må produsere 10 avkom for at bladlusa skal overleve under våre antagelser. 21
28 2.2 Inhomogene likninger Definisjon 2.12 En første ordens lineær inhomogen differenslikning er en likning på formen x n+1 rx n = f(n), n 0 (2.9) der r er et reelt tall forskjellig fra 0 og f(n) er et uttrykk i n som ikke er konstant lik 0 (ellers er likningen homogen). Bemerkning 2.13 Når likningen er inhomogen bruker vi formen (2.9) (jfr. formen (2.2) for homogen) siden vi gjerne vil ha alle leddene i følgen på venstresiden og alt det andre i likningen på høyresiden. Ønsker vi å regne ut leddene i følgen kan det imidlertid være nyttig å ha likningen på formen x n+1 = rx n + f(n) (jfr. formen (2.1) for homogen). Vi sa i innledningen av kapittelet at vi skulle se på noen typer slike likninger. Vi skal nemlig bare se på likninger (2.9) der uttrykket f(n) er et polynom. Definisjon 2.14 La k være et heltall, k 0. Et polynom i n av grad k er et uttrykk på formen A k n k + A k 1 n k A 1 n + A 0 der A k 0 og A 0,..., A k er reelle tall som kalles koeffisientene til polynomet. Bemerkning 2.15 I definisjonen antar vi at A k 0 ellers ville graden til polynomet ha vært mindre enn k. Eksempel 2.16 Uttrykket 5n 4 + 3n 1 22
29 er et polynom i n av grad 4. Et generelt polynom i n av grad 4 er et uttrykk på formen A 4 n 4 + A 3 n 3 + A 2 n 2 + A 1 n + A 0 der A 0,..., A 4 er reelle tall og A 4 0. Bemerkning 2.17 Et tall a er et polynom av grad 0 siden a = a n 0. Eksempel 2.18 Likningen x n+1 7x n = 5n er et eksempel på en første ordens lineær inhomogen differenslikning der f(n) = 5n 2 + 1, et polynom av grad 2. Et eksempel på en følge som oppfyller denne likningen er 1, 13, 112, 830,... Det er uendelig mange løsninger. Finn noen flere! Løsningsmetode La oss se hvordan vi finner alle løsninger av (2.9) der f(n) er et polynom av grad k i n. Vi har allerede løst homogene likninger i forrige avsnitt. Hva skjer når vi får inhomogene likninger av samme type? Denne situasjonen har vi faktisk vært i før, nemlig i forbindelse med lineære likningssystemer. I Seksjon 3.2 i Kompendium 1 viste vi at ethvert lineært likningssystem kan ha enten ingen, én eller uendelig mange løsninger. Da så vi at vi kan få uendelig mange løsninger av det inhomogene systemet Ax = b (der A er en matrise og x og b er vektorer) ved å addere en spesiell løsning av systemet Ax = b og uendelig mange løsninger av det homogene systemet Ax = 0. Dette gjelder her også: 23
30 Teorem 2.19 Anta at {x s n} er en spesiell løsning av den første ordens lineære inhomogene differenslikningen x n+1 rx n = f(n). (2.10) Da vil den generelle løsningen av (2.10) være x n = x s n + x h n der {x h n} er den generelle løsningen av den assosierte homogene likningen x h n+1 rx h n = 0. Bemerkning 2.20 Indeksen s står for spesiell, dvs. {x s n} er en spesiell løsning av (2.10). Noen kaller dette en partikulær løsning. Indeksen h står for homogen. Legg merke til at s og h ikke er eksponenter som vi skal opphøye x n i. Vi tar med beviset for Teorem Det viktigste er å kunne bruke dette resultatet, men prøv å studere beviset en halvtimes tid, og sammenlign gjerne med Et viktig bevis i Seksjon 3.2 i Kompendium 1: Bevis for Teorem 2.19 : Vi viser først at x n = x s n + x h n passer inn i likningen (2.10): x n+1 rx n = (x s n+1 + x h n+1) r(x s n + x h n) }{{}}{{} x n+1 x n = x s n+1 rx s n + x h n+1 rx h n }{{}}{{} =f(n) =0 = f(n), siden x s n er antatt å passe inn i likning (2.10) og x h n er antatt å passe i den assosierte homogene likningen. Dermed er x n = x s n + x h n en løsning av (2.10), og det gjenstår å vise at alle løsningene til (2.10) er på denne formen. La {x n } være en hvilken som helst løsning av (2.10) og se på differansen y n = x n x s n. 24
31 Da er {y n } en løsning av den homogene likningen x n+1 rx n = 0. Vi har nemlig at y n+1 ry n = (x n+1 x s n+1) r(x n x s n) }{{}}{{} y n+1 y n = x n+1 rx }{{ n (x s n+1 rx s n) }}{{} =f(n) =f(n) = 0 siden både {x n } og {x s n} er løsninger av (2.10). Dermed har vi vist det vi trenger: Vi har vist at en hvilken som helst løsning {x n } av (2.10) vil oppfylle x n = x s n + y n der {y n } er en løsning av den homogene likningen, så alle løsninger av (2.10) vil oppfylle x n = x s n + x h n der {x h n} er alle løsninger av den homogene likningen. Teorem 2.19 gir oss følgende løsningmetode gitt på neste side. 25
32 Løsningsmetode for en første ordens lineær inhomogen differenslikning x n+1 rx n = f(n) der f(n) er et polynom i n: 1) Vi finner den generelle løsningen {x h n} til den assosierte homogene likningen. Strategi: vi bruker Teorem ) Vi finner en spesiell løsning {x s n} av den inhomogene likningen. Strategi: Vi trenger bare en eller annen løsning {x s n}, så vi gjetter at det n-te leddet x s n er på samme form som f(n). Dermed setter vi x s n = A k n k + A k 1 n k A 1 n + A 0 og regner ut koeffisientene (fra et lineært likningssystem). 3) Vi finner den generelle løsningen {x n } av den inhomogene likningen ved å addere løsningene fra 1) og 2): x n = x h n + x s n. 4) Hvis vi er gitt initialbetingelser for å finne en spesiell løsning, ordnes dette helt til slutt. Bemerkning 2.21 I regningene i punkt 2) vil vi oftest møte polynomer av grad 0,1 eller 2. Vi vil da bruke store bokstaver (uten indekser) for koeffisientene i polynomet vi gjetter, ofte A og B (ikke C og D, siden de er reservert til bruk i de generelle løsningene), og for eksempel R, S og T. Vi bruker indeksene h og s også når vi regner, som vi viser i et par eksempler: 26
33 Eksempel 2.22 Vi vil finne alle følger slik at x n+1 5x n = 2, dvs. de følgene der vi får neste ledd ved å multiplisere det foregående med 5 og legge til 2. Dette er en første ordens lineær inhomogen differenslikning, og vi bruker metoden ovenfor: 1) Den assosierte homogene likningen får vi ved å glemme f(n)-leddet (som er lik 2 her). Når vi glemmer f(n)-leddet, må vi surre en tråd rundt fingeren for å huske at vi har glemt dette. Tråden vår kommer i form av en indeks h og gir oss den homogene versjonen av likningen vår: x h n+1 = 5x h n. Den har løsninger x h n = C 5 n, C R. 2) Siden f(n) = 2, som er en konstant, gjetter vi at en konstant følge A, A, A,... er en spesiell løsning, dvs. x s n = A. Vi må finne A. Siden x s n skal passe i vår opprinnelige likning, får vi x s n+1 = 5x s n + 2. Siden alle leddene i x p n er A, er likningen A }{{} x s n+1 = 5 A }{{} x s n dvs. 4A = 2, så A = 1 2. Dermed er den konstante følgen 1 2, 1 2, 1 2,... en spesiell løsning av likningen vår (du kan sjekke at det stemmer ved å sette inn i likningen), dvs. x s n = , 27
34 3) Den generelle løsningen av den inhomogene likningen vi startet med er x n = x s n + x h n = C 5n, C R. Eksempel 2.23 Vi vil løse likningen x n+1 7x n = 5n ) Den homogene likningen er x h n+1 = 7x h n, som har løsninger x h n = C 7 n, C R. 2) I dette tilfellet er f(n) = 5n 2 + 1, som er et andregradspolynom. Et uttrykk på samme form som dette vil være et generelt andregradspolynom, og vi gjetter at x s n = Rn 2 + Sn + T. For å finne en spesiell løsning må vi finne R, S og T. Det gjør vi ved å sette inn i likningen vi skal løse. Det gir x s n+1 7x s n = 5n Vi regner ut venstresiden (husk kvadratsetningene fra 2MX): x s n+1 7x s n = R(n + 1) 2 + S(n + 1) + T 7 (Rn 2 + Sn + T ) }{{}}{{} x s n+1 x s n = R(n 2 + 2n + 1) + Sn + S + T 7Rn 2 7Sn 7T = Rn 2 + 2Rn + R + Sn + S + T 7Rn 2 7Sn 7T = 6Rn 2 + (2R 6S)n + R + S 6T. Siden dette skal være lik polynomet 5n 2 + 1, får vi likningssystemet (ved å 28
35 sammenligne koeffisientene i polynomene) 6R = 5 (fra n 2 -leddet) 2R 6S = 0 (fra n-leddet) R + S 6T = 1 (fra konstant-leddet) Dette er et lineært likningssystem (Kompendium 1) med løsninger R = 19 og T =. Dette betyr at en spesiell løsning av vår op- 54 5, S = prinnelige likning er x s n = 5 6 n n (du kan sjekke at det stemmer ved å sette inn i likningen). 3) Den generelle løsningen av likningen er dermed x n = 5 6 n n C 7n, C R. 4) Hvis vi i tillegg får oppgitt initialbetingelsen x 0 = 0, får vi 0 = 19 + C, 54 så C = 19, og den spesielle løsningen er da 54 x n = 5 6 n n n. Til nå har vi fulgt en oppskrift når vi har løst likningene. Det er imidlertid noen spesielle likninger der oppskriften må justeres noe, nærmere bestemt må strategien i punkt 2) justeres. Vi tar med et eksempel for å vise hva som kan gå galt og hvordan vi fikser det. Eksempel 2.24 Vi vil løse likningen x n+1 = x n + 1, x 0 = 0. Vi ser at dette er likningen for følgen 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., så løsningen er x n = n. Dette er en første ordens lineær homogen differenslikning (med initialbetingelse), og vi vil prøve å finne denne løsningen ved hjelp av metoden vår: 29
36 1) Vi har x h n+1 = x h n, så x h n = C 1 n = C, C R. 2) Siden f(n) = 1, vil vi gjette at x s n er en konstant følge A, A, A,.... Men vi fant nettopp at disse er løsninger i den homogene likningen! Da kan de ikke være spesielle løsninger i den inhomogene likningen. (Hvis vi setter inn x s n = A får vi A = A + 1, som er en inkonsistent likning, dvs. uten løsning.) Strategien vi bruker når dette skjer, er at vi går opp én grad i gjettingen vår. Husk at alt vi trenger er en spesiell løsning, så vi kan bare gjette i vei. Dermed gjetter vi at x s n = An + B. Det gir x s n+1 x s n = A(n + 1) + B (An + B) = A, som skal være lik 1, så A = 1, og x s n = n. Dermed har vi funnet en spesiell løsning, og hopper inn igjen på punkt 3): x n = x s n + x h n = n + C, C R. 4) Vi har oppgitt x 0 = 0, som gir C = 0, og svaret vårt er det vi observerte i starten, nemlig følgen x n = n Konvergens av løsninger Hva skjer når n går mot uendelig for følgene som er løsninger av første ordens lineære inhomogene differenslikninger? Løsningene er på formen x n = x s n + x h n og vi lurer på hva lim n x n er. Vi har et par resultater om grenseverdier som vi skal gjøre bruk av (uten 30
37 bevis): For det første har vi at grenseverdier respekterer sum, dvs. lim (y n + z n ) = lim y n + lim z n, (2.11) n n n for følger {y n } og {z n }. Videre vil en sum av grenseverdier kun konvergere hvis hvert ledd i summen konvergerer. Bruker vi dette, får vi at lim x n = lim x s n + lim x h n n n n, og at følgen {x n } konvergerer hvis og bare hvis både {x s n} og {x h n} konvergerer. Vi har allerede tatt for oss grenseverdien lim n x h n i Seksjon Hva med lim n x s n? For oss er x s n et polynom i n av grad k, k 0, dvs. x s n = A k n k + A k 1 n k A 1 n + A 0. Hvis k > 0 vil polynomet inneholde ledd med n, og når n går mot uendelig, vil absoluttverdien av polynomet bare vokse etterhvert som verdien av n vokser, dvs. {x s n} vil divergere. Hvis k = 0 er polynomet en konstant, dvs. x s n = A 0, og vi får konvergens mot A 0. Vi kan dermed oppsummere konvergens for {x n } gitt ved x n = x s n + x h n = A k n k + + A 0 + x h n : Hvis {x h n} divergerer, divergerer {x n }. Hvis {x h n} konvergerer vil {x n } divergere for k > 0 og konvergere for k = 0, med lim n xs n = A 0. Eksempel 2.25 Følgene i Eksempel 2.22, x n = x s n + x h n = C 5n, C R 31
38 divergerer når C 0 siden x h n divergerer (r = 5 > 1). Følgene x n = 2 + C ( 1 2 )n, C R konvergerer og grenseverdien er lim x n = 2. n Anvendelser Eksempel 2.26 Vi modifiserer Eksempel 2.10: Hva skjer med seertallene til TV-programmet 1001 NATT over tid hvis vi i tillegg til å miste 10% får nye seere hver dag? Hvis vi lar x n være antall seere ved dag n, vil dette problemet oppfylle differenslikningen x n+1 = 0.9x n , n 1, (2.12) som er en inhomogen likning (sammenlign med likning (2.5) og se hva slags opplysninger som gir opphav til homogene og inhomogene likninger). Vi løser (2.12) for å finne et uttrykk for x n og svare på oppgaven: Vi har x h n = C (0.9) n, C R. Vi leter så etter en spesiell løsning {x s n} slik at x s n+1 = 0.9x s n og gjetter at x s n = A (siden f(n) er konstant, lik ). Det gir A = 0.9A , dvs. A = , og dermed er løsningene av (2.12) på formen x n = C (0.9) n, C R. (2.13) For å finne hva som skjer med seertallet over tid, må vi finne grenseverdien 32
39 til x n når n går mot uendelig. Til dette trenger vi ikke å regne ut hva C er siden uansett hva C er. Vi får lim C n (0.9)n = 0 lim x n = , n så seertallet stabiliserer seg på Hvis avgjørelsen om ikke å ta programmet av skjermen før vi er nede i seere står fast, er nye seere hver dag nok til å sikre MAT1001-studentene evig berømmelse! (gitt at vi starter med nok seere, slik at vi ligger over seere i startfasen) Men nye seere hver dag er kanskje å ta i? Hvor mange seere må vi minimalt ha hver dag for å sikre studentene evig berømmelse, dvs. for å stabilisere seertallet på ? Differenslikningen til dette problemet er x n+1 = 0.9x n + Y der Y er antall nye seere hver dag. Løsningene er nå på formen x n = C (0.9) n + Y 0.1 (sjekk!). Grenseverdien til x n er dermed lim n x n = Y 0.1, og siden denne verdien skal være minst , må Y være minst Det trengs altså minst nye seere hver dag for å stabilisere seertallet på (igjen gitt at vi mister 10% hver dag og at vi har nok seere i startfasen til å komme over ). De fleste eksemplene vi har sett på har inneholdt mye forklarende tekst. La oss ta et eksempel på hvordan en løsning kan presenteres med akkurat nok 33
40 forklaringer (flere eksempler fins i løsningsforslagene til noen av oppgavene). Eksempel 2.27 Hvor mye bør du tjene for å ha råd til å ta opp et lån på 2 millioner? Anta at du låner 2 millioner i banken med en rentesats på 7 prosent per år. Vi forutsetter at denne rentesatsen forblir uendret i fremtiden. Du skal nedbetale lånet i løpet av 20 år ved å innbetale samme beløp ved forfall hvert år. Dette beløpet b skal inkludere både renter og avdrag. (Et slikt lån kalles forøvrig et annuitetslån). Oppgaven er da å regne ut b, dvs. hvor mye du må betale på lånet per år. For å løse oppgaven lar vi u n angi summen (i millioner) du kommer til å skylde banken etter n år. Da er u 0 = 2, u 20 = 0 og u n+1 = u n u n b = 1.07 u n b, n 0. (2.14) Dette er en inhomogen likning, og vi finner først løsningen til den homogene versjonen. Likningen u h n+1 = 1.07u h n har generell løsning u h n = C (1.07) n. Vi ser deretter etter en spesiell løsning av (2.14) på formen u s n = A. Vi må da ha at A = 1.07 A b, som gir u s n = A = Den generelle løsningen av (2.14) er derfor u n = u h n + u s n = C (1.07) n + b b 0.07, C R. Ved å bruke at u 0 = 2 og u 20 = 0 kan vi nå bestemme hva C og b må være : Det gir C + Dermed er 2 C = b = 2 og C 0.07 (1.07)20 + b = b = C 0.07 (1.07)20, så C = 2 (1 (1.07) 20 ). Ved å bruke den andre likningen for C og b finner vi nå at b = 0.07 (1.07) 20 2 (1 (1.07) 20 ) 34 = 0.14 (1.07)20 ((1.07) 20 1)
41 Dette betyr at du skal innbetale kr. per år. (Hvor lenge må du studere for å få en lønn der dette går bra?) 2.3 Nå skal du kunne løse og gjøre rede for konvergens av løsningene til første ordens lineære homogene differenslikninger, og videre vite hva slags problemer som gir opphav til slike likninger definisjonen av et polynom i n av grad k og definisjonen av den assosierte homogene likningen til en inhomogen differenslikning en løsningsmetode for første ordens lineære inhomogene differenslikninger der f(n) er et polynom i n, og vite når metoden må justeres og hvordan dette gjøres vite forskjellen på homogene og inhomogene differenslikninger i forhold til konvergens av løsninger og type problem de kan anvendes på kalle deg differenslikningsløser av første orden 35
42 Kapittel 3 Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger. Men kan vi ikke det, spør du? Vel, vi vet at en generell andregradslikning har løsningsformel ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac, (3.1) 2a men vi har ikke brukt denne formelen fullt ut. (Det i seg selv er også en god grunn til å innføre komplekse tall.) Når uttrykket b 2 4ac under rottegnet i (3.1) er negativt, har vi til nå sagt at andregradslikningen har ingen løsning. Det er fordi den ikke har noen løsninger blant de reelle tallene. Det fins imidlertid flere tall, og blant disse kan vi alltid finne løsninger på alle andregradslikninger. Disse tallene kalles komplekse tall (men ikke tenk på ordet kompleks som vanskelig!), og de vil vi trenge. I dette kapittelet skal vi innføre komplekse tall, og i den forbindelse får vi også bruk for trigonometri. 3.1 Komplekse tall Først en kort introduksjon: 36
43 Problemet vårt er altså at vi ikke kan trekke røtter av negative tall når vi jobber med reelle tall. Det fins imidlertid en løsning på dette problemet: Vi tenker oss at det fins et tall i, kalt den imaginære enheten, med egenskapen i 2 = 1. (3.2) Eksistensen av et tall som opphøyd i andre potens gir et negativt tall vil gjøre at vi kan trekke røtter av negative tall: Hvis vi går ut ifra at vanlige regneregler gjelder fremdeles vil vi ha at (ib) 2 = i 2 b 2 = ( 1)b 2 = b 2 for enhver b R. Så hvis b 0 vil det negative tallet b 2 iallefall ha minst én kvadratrot, nemlig ib. Tall på formen ib tenker vi oss som imaginære tall. Komplekse tall blir da tall som kan skrives som summen av et reelt tall og et imaginært tall. Vi kan så regne med disse tallene på vanlig måte, bortsett fra at vi hele tiden må huske at i 2 = 1. Formelt går vi frem slik: Definisjon 3.1 Et komplekst tall z er et tall som angis på formen z = a + ib der a, b R. Mengden av alle slike tall kalles de komplekse tallene og betegnes C. Eksempel 3.2 Tallet er et komplekst tall med a = 1 3 z = i og b = 2. Et komplekst tall a + ib skriver vi av og til på formen a + bi. Hvis a = 0 skriver vi 0 + ib = ib. Slike tall kalles som sagt imaginære dersom b 0. Hvis b = 0 skriver vi a + i0 = a. Det reelle tallet a blir dermed identifisert med det komplekse tallet a + i0. Spesielt har vi at 0 = 0 + i0. 37
x n+1 rx n = 0. (2.2)
Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med
DetaljerTallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.
Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget
DetaljerDifferenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008
Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerTiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.
Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk
DetaljerDifferenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009
Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta
DetaljerAvdeling for lærerutdanning. Lineær algebra. for allmennlærerutdanningen. Inger Christin Borge
Avdeling for lærerutdanning Lineær algebra for allmennlærerutdanningen Inger Christin Borge 2006 Innhold Notasjon iii 1 Lineære ligningssystemer 1 1.1 Lineære ligninger......................... 1 1.2 Løsningsmengde
DetaljerTre tester, en etter hver av de tre delene.
Forord På skolen er det mange som spør «Hvorfor må jeg lære dette?», spesielt i matematikktimene. Er du en av dem som stilte dette spørsmålet? Eller er du en av dem som sa til deg selv at «jeg får nok
DetaljerKomplekse tall og trigonometri
Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.
DetaljerRekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga
Detaljer3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)
Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.
DetaljerMAT1030 Forelesning 17
MAT1030 Forelesning 17 Rekurrenslikninger Roger Antonsen - 18. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-18 19:3) Forelesning 17 Forrige gang ga vi en rekke eksempler på bruk av induksjonsbevis og rekursivt definerte
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerTidligere eksamensoppgaver
Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet differenslikninger, og noen om komplekse tall, gitt ved UiO. Den første oppgaven gir
DetaljerNotater fra forelesning i MAT1100 mandag
Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a
DetaljerLineære likningssystemer
Kapittel 1 Lineære likningssystemer Jeg tenker på et tall slik at π ganger tallet er 12. 1.1 Lineære likninger Matematikk dreier seg om å løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som så
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
DetaljerEnkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
DetaljerKapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon
Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel
DetaljerKomplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall
Kapittel Komplekse tall Oppfinnelsen av nye tallsystemer henger gjerne sammen med polynomligninger x + 4 0 har ingen positiv løsning, selv om koeffisientene er positive tall Vi må altså inn med negative
DetaljerEksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra
Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra
DetaljerLøsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerEgenverdier for 2 2 matriser
Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier
DetaljerMatematisk induksjon
Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret
DetaljerLineære likningssystemer, vektorer og matriser
Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerMA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde
DetaljerLineære likningssett.
Lineære likningssett. Forelesningsnotater i matematikk. Lineære likningssystemer. Side 1. 1. Innledning. La x 1, x, x n være n ukjente størrelser. La disse størrelsene være forbundet med m lineære likninger,
DetaljerDifflikninger med løsningsforslag.
Repetisjon i Matematikk : Difflikninger med løsningsforslag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Eksamensrepetisjon REA4 Matematikk Difflikninger med løsningsforslag. Difflikninger med løsningsforslag. Dette
DetaljerSekventkalkyle for utsagnslogikk
Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet
DetaljerEmne 9. Egenverdier og egenvektorer
Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller
DetaljerTempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra
Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette
DetaljerLineære ligningssystemer og gausseliminasjon
Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
DetaljerVektorligninger. Kapittel 3. Vektorregning
Kapittel Vektorligninger I denne uken skal vi bruke enkel vektorregning til å analysere lineære ligningssystemer. Vi skal ha et spesielt fokus på R, for det går an å visualisere; klarer man det, går det
DetaljerDiofantiske likninger Peer Andersen
Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell
DetaljerMAT 1001, høsten 2015 Oblig 2
MAT 1001, høsten 2015 Oblig 2 Innleveringsfrist: Torsdag 5. november kl. 14:30 Det er lov til å samarbeide om løsning av oppgavene, men alle skal levere inn sin egen versjon. Husk å skrive på navn og kurskode
DetaljerKapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen
Kapittel 5 Trær og nettverk Vi har sett at anvendelser av differenslikninger studerer fenomener som skjer i adskilte tidsrom, dvs. vi ser på diskrete anvendelser (jfr. Seksjon 1.3). I dette kapittelet
DetaljerLøsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003
Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
Detaljer6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
DetaljerLitt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11)
Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Knut Mørken 22. november 2004 Vi har tidligere i kurset sett litt på numerisk derivasjon
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerKapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner
Kapittel 1 Funksjoner Kurset MAT1001 dreier seg kort sagt om å lage matematiske problemer av virkeligheten og deretter løse problemene. Hittil i kurset har vi allerede møtt mange problemer, og de har så
DetaljerMAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
DetaljerTillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner
MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 06 Anbefalte øvingsoppgaver fra boken: 9.3 : 53, 6, 64, 7, 75. Det er bare oppgaven under
DetaljerProgrammering i Java med eksempler
Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2006 MAT-INF1100 Differenslikn. p. 1 Løsning av differenslikninger i formel Mulig for lineære likninger med konst.
DetaljerØving 3 Determinanter
Øving Determinanter Determinanten til en x matrise er definert som Clear@a, b, c, dd K a b OF c d ad -bc Determinanten til en matrise er derfor et tall. Du skal se at det viktige for oss er om tallet er
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerK A L K U L U S. Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok. ved Klara Hveberg. Matematisk institutt Universitetet i Oslo
K A L K U L U S Løsningsforslag til utvalgte oppgaver fra Tom Lindstrøms lærebok ved Klara Hveberg Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forord Dette er en samling løsningsforslag som jeg opprinnelig
DetaljerAnalysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner
Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =
DetaljerUnderveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 2003 Tid: Oppgave- og svarark
Underveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 003 Tid: 9.00 11.00 Kandidatnummer: De 15 første oppgavene teller poeng hver, de siste 5 teller 4 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 50. Det er 5 svaralternativer
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.
DetaljerDenne følgen har N+1 ledd. En generell uendelig følge kan settes opp slik:
Følger En følge (eng: sequence) er en oppramsing av tall. Hvert tall i oppramsingen har et nummer eller en posisjon som er bestemt av hvor i følgen tallet står. Det første tallet har vanligvis posisjonen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
DetaljerTiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.
Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk
DetaljerReelle tall på datamaskin
Reelle tall på datamaskin Knut Mørken 5. september 2007 1 Innledning Tirsdag 4/9 var tema for forelesningen hvordan reelle tall representeres på datamaskin og noen konsekvenser av dette, særlig med tanke
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)
DetaljerKomplekse tall. Kapittel 15
Kaittel 5 Komlekse tall Utgangsunktet for all regning er de naturlige tallene N = {,,3,...,} Den berømte matematikeren Leoold Kronecker formulerte dette som Gud skate de naturlige tallene, resten er menneskets
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17 22:38) Forelesning 29: Kompleksitetsteori
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerForelesning 29: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 29: Kompleksitetsteori 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerI dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.
Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner
DetaljerMer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner
MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerEmne 11 Differensiallikninger
Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi
DetaljerAnalysedrypp II: Kompletthet
Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig
DetaljerSammendrag R1. 26. januar 2011
Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på
DetaljerForkurshefte i matematikk variant 1
Forkurshefte i matematikk variant 1 2014 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO (Plan for kurset: se side 3) Forord Velkommen til Universitetet i Oslo (UiO), og til forkurs i matematikk! Dette
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerEnkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
DetaljerIkke lineære likninger
Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerHusk at minustegn foran et tall eller en variabel er å tenke på som tallet multiplisert med det som kommer etter:
Økonomisk Institutt, november 2006 Robert G. Hansen, rom 1207 ECON 1210: Noen regneregler og løsningsprosedyrer som brukes i kurset (A) Faktorisering og brøkregning (1) Vi kan sette en felles faktor utenfor
DetaljerLineære likningssystemer, vektorer og matriser
Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00 våren 2009!
DetaljerRepetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2,
Repetisjon i Matematikk 1: Derivasjon 2, 201. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Repetisjonsoppgaver MATEMATIKK 1 REA1141 og REA1141F Derivasjon 2, 201. Oppgave 1 Denne oppgaven har forholdsvis enkle derivasjoner,
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerKontinuitet og grenseverdier
Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke
DetaljerObligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16
Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
Detaljer