Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen

Transkript

1 Kapittel 5 Trær og nettverk Vi har sett at anvendelser av differenslikninger studerer fenomener som skjer i adskilte tidsrom, dvs. vi ser på diskrete anvendelser (jfr. Seksjon 1.3). I dette kapittelet vil vi, under mottoet Jo mer man kan jo bedre, ta for oss et par litt større eksempler som viser flere diskrete anvendelser. ( Jo mer man kan jo bedre : hvis man gjenkjenner et matematisk objekt som kan modellere et fenomen man studerer, er det meget nyttig å vite at det fins en teori for dette objektet som man kan bruke.) Vi skal innføre noen diskrete matematiske objekter som allerede har vist seg å dukke opp i mange sammenhenger, og kanskje de en dag vil dukke opp igjen i ny forskning når man minst venter det. Det er alltid morsomt å treffe gamle kjente: Det kan få uventede konsekvenser, og i ytterste konsekvens føre samfunnet videre. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen Det første objektet vi skal se på er et tre. Slike objekter dukker for eksempel opp i informatikk (organisering av informasjon, søketrær, kalling av prosedyrer), kjemi (klassifisering av molekyler, spesielt hydrokarboner), biologi (populasjonsgenetikk) og elektriske kretser. Definisjon 5.1 Et tre (eller en tre-graf) er en samling av punkter og linjestykker der hvert par av punkter har høyst ett linjestykke mellom seg, der vi kan gå 94

2 fra et vilkårlig punkt til et annet ved å følge linjestykkene og der vi ikke har noen sykler: En samling av punkter og linjestykker mellom punktene danner en sykel hvis man kan gå fra et punkt og komme tilbake til samme punkt ved å følge linjestykkene nøyaktig én gang. Eksempel 5.2 a) er et tre (med 5 punkter og 4 linjestykker) b) er ikke et tre (ett av punktene har ingen linjestykker inn til seg) c) er ikke et tre (vi har 3 punkter og 3 linjestykker som danner en sykel) d) er ikke et tre (vi har flere enn ett linjestykke mellom to av punktene) La oss igjen ta for oss Fibonaccis kaninproblem (se Eksempel 1.11): Vi starter med et par kaniner som vi kaller B for barn. Neste måned er de blitt voksne, og vi kaller da paret V. Siden vi antar at kaninene ikke dør (...), vil de voksne forbli voksne. Så hvis vi for hver generasjon (måned) som går lager en horisontal linje (som vi 95

3 kan gjøre siden vi er i en diskret situasjon), vil en B gi opphav til følgende linje bestående av sin direkte etterkommer V (kalt B-linjen ): generasjon : B generasjon 1: V generasjon 2: V generasjon 3: V. Kaninproblemet sier at hver V produserer en B. Det betyr at for hver V får vi en B som direkte etterkommer, og dermed vil vi få en B-linje for hver av V -ene. Det gir følgende tegning (frem til generasjon 7): x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 B V V 1 B V B V V B V V 1 B V B V V 1111 B V B V V B V V B V B V V B V V B V V V 1 11 V B V V B V B V V B B V B V B V B V 96

4 Vi lar x n være antall kaniner etter n måneder. På tegningen har vi skrevet inn x,..., x 7 for å markere generasjonene. For eksempel er x 6 = 13 (8 V -er pluss 5 B-er, siden dette jo er x 5 + x 4 ). Hvis vi vil kan vi innføre et punkt for hver av B-ene og V -ene, og få et tre (sjekk!). Dermed ser vi at informasjonen i kanin-problemet lar seg organisere ved hjelp av en (uendelig) tre-struktur! Vi kaller tegningen ovenfor (uten x,..., x 7 ) for Fibonacci-treet (av generasjon 7). Fibonacci-følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... er som kjent gitt ved differenslikningen x n+2 = x n+1 + x n, x = 1, x 1 = 1, og denne dukker opp overalt. Søk gjerne på nettet, og dere vil finne mange eksempler som viser det. (Vi har allerede møtt noen i oppgaver og eksempler.) La oss utforske Fibonacci-treet for å se om det finnes noe interessant å hente der. Vi observerer at Fibonacci-treet kun består av to symboler. Da vil det ofte være ganske nærliggende å innføre og 1, dvs. vi bytter ut B med V med 1 i Fibonacci-treet. Da får vi følgende tre (av generasjon 7): 97

5 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x Bemerkning 5.3 Betegnelsen Fibonacci-tre brukes gjerne om et annet tre enn vårt tre, men vi synes betegnelsen passer til vårt tre også (se gjerne på nettet hvilket tre som oftest kalles Fibonacci-treet). Vi observerer at det dukker opp mønstre av -ere og 1-ere i Fibonaccitreet. Ut av mønstre av tall kan vi ofte lage følger! Følgen vi får her lurer i bakgrunnen i flere sammenhenger (hørt det før?), for eksempel når datamaskiner skal regne ut Fibonacci-tall. La oss se litt nærmere på det: I linjen for x 7 i Fibonacci-treet med -ere og 1-ere leser vi av tallene (i rekkefølgen gitt av tegningen) (5.1) Dette er et av leddene i en følge {k n } med -ere og 1-ere som vi får ved å starte med k =, k 1 = 1, 98

6 og deretter definere k n for n 2 som tallene i k n 1 etterfulgt av tallene i k n 2. Det gir følgende ledd: k 2 er tallene i k 1 etterfulgt av tallene i k (i den rekkefølgen), dvs. og Videre får vi k 2 = 1 }{{} k 3 = 1 }{{} }{{} k 1 k }{{} 1. k 2 k 1 k 4 = og k 5 = (sjekk at k 7 blir tallene gitt i (5.1)!), så følgen {k n } starter med leddene, 1, 1, 1, 11, 11,... Vi ser at leddene x n i Fibonacci-følgen gir summen av antall -ere og 1-ere i k n : {x n } = 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Hvis vi skal få en datamaskin til å regne ut leddene i Fibonacci-følgen, gjør vi følgende: Vi forteller den (ved å skrive et program) at: for ethvert n, n naturlig tall, skal du gi oss f(n) der f() = 1, f(1) = 1 og f(n) = f(n 1) + f(n 2). Hvis vi gir maskinen et tall n, hvilket regnestykke utfører den da, og hvor lang tid tar det? For hvert Fibonacci-tall vi spør om, vil den, ifølge dette programmet starte fra bunnen hver gang, dvs. den husker ikke (har ikke tatt vare på) Fibonacci-tall som den eventuelt har regnet ut før. Hvis den for eksempel skal regne ut x 3, regner den ut f(3) = f(2) + f(1) = (f(1) + f()) + f(1) = (1 + 1) + 1 = 3, 99

7 dvs. datamaskinen må kalle (lokke) på f() én gang og f(1) to ganger, og utføre 2 addisjoner. Hvis vi erstatter B (dvs. ) med f() og V (dvs. 1), med f(1) i Fibonaccitreet, og i tillegg erstatter x n med f(n) (gjør det!), får vi et kalle-tre for programmet som regner ut Fibonacci-tallene. Med kalle-tre mener vi en oversiktlig måte å organisere kallingen av f() og f(1) på, for eksempel kan vi da lese av regnestykket f(5) = f(1) + f() + f(1) + f(1) + f() + f(1) + f() + f(1). Da ser vi også at vi må utføre x n 1 addisjoner for å regne ut f(n), siden vi setter + mellom x n tall. Forøvrig har vi at leddene i {k n }, når vi ser bort fra k, egentlig gir oss én uendelig lang følge av -ere og 1-ere som starter med (5.2) (fortsett denne litt til!). Denne følgen (5.2) kalles gjerne kanin-følgen eller den gylne følgen. Kanskje du møter den igjen en vakker dag? Eller kanskje du kan bruke den til noe? 5.2 Boolsk algebra og nettverk Vi går rett på denne seksjonen med å påstå at MAT1 er et morsomt kurs. (5.3) Dette er en påstand som kan være sann eller usann, alt etter hvem man spør. Vi kan altså ikke gi påstanden (5.3) en sannhetsverdi, dvs. si om den er usann eller sann. 1

8 Hvis vi imidlertid påstår at Bestått MAT1 gir 1 studiepoeng, (5.4) får vi en påstand som er sann (siden dette er vedtatt av Det matematisknaturvitenskapelige fakultet ved Universitetet i Oslo). Vi kan altså gi påstanden (5.4) sannhetsverdien sann. Slike påstander kalles utsagn. Definisjon 5.4 Et utsagn er en påstand som kan gis en sannhetsverdi. Et utsagn har to mulige sannhetsverdier; usann eller sann, og i boolsk algebra er det disse vi regner med, dvs. boolsk algebra er regning med utsagn og to symboler. Man kan bruke u for usann og s for sann, og regne med u og s, men vi vil bruke tall, og skal bruke for usann 1 for sann og regne med og 1. Det er flere operasjoner vi kan gjøre med utsagn. Vi vil trenge følgende: Vi kan nekte et utsagn ved å bruke ordet IKKE. For eksempel er nektelsen av utsagnet (5.4) utsagnet Bestått MAT1 gir ikke 1 studiepoeng, (5.5) eventuelt Det er ikke slik at bestått MAT1 gir 1 studiepoeng. Definisjon 5.5 Hvis p er et utsagn, kalles utsagnet ikke p for negasjonen til p, og med symboler skriver vi p. Utsagnet (5.5) er sant når (5.4) er usant, og usant når (5.4) er sant. Denne setningen kan sammenfattes i en såkalt sannhetsverditabell. Tabellen for negasjon er p p 1 (5.6) 1 1

9 I tabellen leser vi altså av sannhetsverdien til p når vi har gitt sannhetsverdien til p. Som vi observerte i vårt eksempel: når p er usann (), er p sann (1), og når p er sann (1), er p usann (). Vi kan sette sammen to utsagn ved å bruke ordet OG. Definisjon 5.6 Hvis p og q er to utsagn, kalles utsagnet p og q for konjunksjonen (=sammenknytning) av p og q. Vi skriver p q. Sannhetsverditabellen for konjunksjon er p q p q (5.7) Når vi knytter sammen to utsagn p og q ved hjelp av OG, får vi altså et utsagn som kun er sant hvis både p og q er sanne, ellers er det usant. Eksempel 5.7 Utsagnet Bestått MAT1 gir 1 sp OG kurset har 6 timer forelesning i uka (5.8) består av utsagnene p : Bestått MAT1 gir 1 sp og q : Kurset har 6 timer forelesning i uka. Vi vet at p er sann, og at q er usann, dermed blir utsagnet (5.8) usant. Vi kan også sette sammen to utsagn ved å bruke ordet ELLER. Definisjon 5.8 Hvis p og q er utsagn, kalles utsagnet p eller q for disjunksjonen (=adskillelsen) av p og q. Vi skriver p q. Sannhetsverdita- 12

10 bellen for disjunksjon er p q p q (5.9) Utsagnet p eller q er altså sant når enten p eller q eller begge er sant, og usant kun hvis både p og q er usanne. Eksempel 5.9 Utsagnet (5.8) der vi bytter ut OG med ELLER, blir nå et sant utsagn, siden utsagnet p : Bestått MAT1 gir 1sp er sant. Ved hjelp av IKKE, OG og ELLER kan vi lage flere utsagn og regne ut sannhetsverditabeller for disse ved hjelp av tabellene (5.6), (5.7) og (5.9): Eksempel 5.1 La oss se på utsagnet p q. Når er dette utsagnet sant? Vi setter opp følgende sannhetsverditabell (forklaring følger): p q p p q Utsagnet inneholder grunnutsagnene p og q (rett og slett bokstavene som forekommer i utsagnet), og i de to første kolonnene skriver vi opp de mulige kombinasjonene av sannhetsverdier vi kan ha for p og q. I de videre kolonnene regner vi ut sannhetsverdiene til mellomutsagnene som forekommer, dvs. utsagnene vi trenger for å lage utsagnet vi er interessert i. I dette tilfellet er det p, der vi bruker tabell (5.6). Tilslutt kan vi regne ut sannhetsverdiene til p q ved å bruke tabell (5.7) på kolonne 3 og 2 (sjekk!). 13

11 Utsagnet p q er altså sant når p er usant og q er sant, og ellers usant. Vi kan også ha flere grunnutsagn som settes sammen. Det gir bare flere muligheter, men samme regning: Eksempel 5.11 La oss finne sannhetsverdiene til utsagnene (p q) r og p (q r), og sammenligne dem: p q r p q q r (p q) r p (q r) Da ser vi for eksempel at (p q) r er sant når r er sant eller når både p og q er sanne. Videre ser vi at de to utsagnene (p q) r og p (q r) har ulike sannhetsverdier i to tilfeller (hvilke?). Vi kan danne utsagnet om at to utsagn er ekvivalente ved å bruke uttrykket HVIS OG BARE HVIS. Definisjon 5.12 Hvis p og q er to utsagn kalles utsagnet p hvis og bare hvis q for ekvivalensen av p og q, og vi skriver p q. Sannhetsverditabellen for ekvivalens er p q p q

12 Vi ser altså at utsagnet p q er sant når både p og q er sanne, og når både p og q er usanne. Ellers er utsagnet usant. Eksempel 5.13 Regnereglene våre gir at 3 = = 2 er sant (siden p : 3 = og q : 3 1 = 2 begge er sanne). Utsagnet = = 3 er også sant (hvorfor?). Bemerkning 5.14 Når vi gjør utregninger, for eksempel løser likninger, og ellers i matematikken, lurer boolsk algebra i bakgrunnen hele tiden. Ekvivalens er en meget nyttig operasjon. Vi tar et par eksempler: Eksempel 5.15 Hvis vi regner ut sannhetsverdiene til (p q) og p q, får vi at de er like: p q p q (p q) p q p q dvs. at utsagnene (p q) og p q begge er sanne eller begge er usanne, dermed blir utsagnet (p q) p q alltid sant! Det betyr at (p q) og p q sier det samme, og vi kan dermed erstatte det ene med det andre og omvendt. Vi skal snart se eksempel på bruk av dette. 15

13 Det er mange ekvivalenser som alltid er sanne. Her er et eksempel til: Eksempel 5.16 Vi regner ut sannhetsverditabellen til utsagnet (p q) ( p q): p q p q p q p q (p q) ( p q) Vi ser at utsagnet (p q) ( p q) er sant for alle sannhetsverdier av p og q. (erstatt gjerne p og q med noen konkrete utsagn, for eksempel p : 17. mai faller alltid på en lørdag og q : 1. påskedag faller alltid på en søndag, eller bruk matematiske utsagn, og sjekk tabellen mot disse!) Vi skal nå gjøre bruk av disse regningene og se et eksempel på en diskret teori som beskriver samspill mellom nerveceller. (Eksempelet er inspirert av en artikkel av John McConnell, se Tillegg D.) Nerveceller kalles også nevroner, og vi skal bruke ordet nevron (siden det er litt kortere). Teorien gjør bruk av boolsk algebra og har mye til felles med såkalt switching teori for (kunstige) nevrale nettverk med binære logiske porter i informatikken. (Assosiasjoner til kunstig intelligens er heller ikke så langt unna. Hjernen har nerveceller, datamaskinen har transistorer.) Vi skal altså innføre matematikk for å etterligne hvordan nevroner i kroppen vår fungerer. Nevroner kan blant annet stimuleres av ytre faktorer eller andre nevroner. Teorien vi skal se på vil være en mulig modell for hvordan vi reagerer på kulde og varme: For eksempel har vi varmesensoriske nevroner i huden. Når armen din kommer i kontakt med en glovarm kjele, fører dette til at sensornevronene tenner på alle plugger og stimulerer nødnevroner som er i nesten direkte kontakt med motoriske nevroner som gir instruks til armmusklene dine om 16

14 at armen må flyttes NÅ. En varmeflaske gir (vanligvis) ikke samme reaksjon. La oss se på en mulig teori som kan beskrive samspillet der nevroner stimuleres av nevroner. Når vi skal lage matematikk av fenomener vi observerer og studerer, må vi vite litt om selve fenomenet, og vi må som vanlig gjøre antagelser og forenklinger. Som en enkel modell på et nevron har vi at det består av to komponenter cellekropp (med mottagere) akson med sendere (her to stk.) dvs. et nevron kan tegnes skjematisk som Et nevron stimuleres i cellekroppenden, så kanaliseres stimuli gjennom aksonet og sendes videre via senderne. Nevronene står ikke i direkte kontakt med hverandre, men aksonet til et stimulerende nevron fins i nærheten av cellekroppen til mottakernevronet. Gapet mellom nevronene kalles synapse: synapse Det er flere viktige aspekter ved nevronstimulering som gjør at vi kan lage matematikk av dette fenomenet: Nevronstimulering er enveis, dvs. hvis nevron N er stimulert kan det stimulere nevron S, men ikke omvendt. Stimuleringen skjer ved at et kjemisk stoff siver over synapsen. Siden det kommer over 3 elektrokjemiske ladninger gjennom nevronet i sekundet, vil selve stimuleringen ta lang tid i forhold til tiden et stimuli bruker gjennom nevronet, så vi innfører en tidsenhet. Det gjør at vi får en diskret situasjon. 17

15 Vi lar én tidsenhet være tiden det tar for et stimulert nevron å stimulere neste nevron. For eksempel betyr da tiden t + 3 at vi er ved tiden 3 tidsenheter (eller synaptiske forsinkelser) etter tiden t. Hvis styrken på et stimuli er mindre enn en viss verdi (varmeflaske), vil (sensor)nevronet ikke klare å stimulere nevroner i nærheten, men hvis styrken er over et visst nivå vil nevronene i nærheten stimuleres (glovarm kjele), dvs. vi har alt eller ingenting. I vår modell bruker vi da at hvis minst to sendere er nær et nevron, er det nok til å stimulere nevronet, dvs. nevron N kan stimuleres av S ved: S N Det kan også stimuleres av S og T ved S N T (Et nevron kan ha mange aksoner rundt seg, og uansett antall er altså to sendere som sender stimuli i nærheten nok til å stimulere.) Det fins ikke-nevroner, dvs. nevroner som nøytraliserer all stimulering. (Tenk på i hva slags situasjoner det kan være nyttig med et slikt nevron.) Vi tegner et ikke-nevron som 18

16 Da har vi opplysningene vi trenger og innfører følgende notasjon: Vi lar N(t) bety at nevron N sender stimuli ved tiden t. For hvert tidspunkt t får vi et utsagn N(t), dvs. N(t) kan gis en sannhetsverdi (sant: sender stimuli, usant: sender ikke stimuli), men verdien vil avhenge av tidspunktet t. Operasjonene vi innførte for utsagn vil imidlertid fortsatt gjelde: vi tenker bare på t som et gitt tidspunkt. Våre antagelser gir oss følgende illustrasjoner med tilsvarende boolske uttrykk: (tenk nøye over disse før du går videre!) 19

17 B1: S(t 1) N(t) S N B2: S N S(t 1) T (t 1) N(t) T B3: S N S(t 1) T (t 1) N(t) T B4: S N S(t 1) T (t 1) N(t) T Vi kan nå lage kompliserte nettverk av nerveceller ved hjelp av illustrasjonene ovenfor, og ved hjelp av de tilsvarende boolske uttrykkene og boolsk algebra, kan vi regne og skaffe oss en oversikt over nettverkene, og eventuelt prøve og forenkle dem: Eksempel 5.17 Hvis vi har følgende nettverk av 5 nevroner N 1, N 2, N 3, N 4 og N 5, hva skal til for at N 5 sender stimuli ved tiden t? 11

18 N 1 N 5 N 3 N 2 N 4 For å svare på spørsmålet, bruker vi boolsk algebra for å finne et utsagn som er ekvivalent med N 5 (t): N 5 (t) N 3 (t 1) N 4 (t 1) ved B4 (N 1 (t 2) N 2 (t 2)) N 4 (t 1) ved B3 N 1 (t 2) N 2 (t 2) N 4 (t 1) ved Eksempel 5.15, dvs. at N 5 sender stimuli ved tiden t hvis og bare hvis hverken N 1 eller N 2 sender stimuli to tidsenheter tidligere og N 4 sender stimuli én tidsenhet tidligere. Eksempel 5.18 Hvordan illustrerer man nettverket der et nevron (kall det N) sender stimuli ved tiden t hvis og bare hvis et annet nevron (S) sender stimuli tre og to tidsenheter tidligere? Med symboler har vi utsagnet (for en gitt t): N(t) S(t 3) S(t 2). Vi gir svaret først og forklaringen etterpå. En mulig illustrasjon er S T 1 T 2 N Vi sjekker ved regning at det stemmer: N(t) T 2 (t 1) ved B1 T 1 (t 2) S(t 2) ved B2 S(t 3) S(t 2)) ved B1, 111

19 så illustrasjonen stemmer. Hvordan tenker man så for å finne denne illustrasjonen? Vi starter med S i venstre ende og N i høyre ende. Siden S skal sende ved t 3 og t 2, vil aksonet dele seg ut fra S. Det gir foreløpig mulig illustrasjon S N Siden S skal sende 3 og 2 tidsenheter tidligere, må vi putte inn henholdsvis to og en nevron(er) langs de to akson-trådene fra S. Siden det kun er S som sender, kan alle disse puttes på en linje uten å dele linjen (eventuelt kan man dele og få en annen illustrasjon), og videre må vi ha kontakt langs begge veier fra S til N, som gir mulig illustrasjon S T 1 T 2 N Tilslutt kan vi tegne inn antall sendere på aksonene i samsvar med utsagnet vi ønsker, og få illustrasjonen vi foreslo. Merk at det er mange muligheter for illustrasjoner her. Et annet eksempel er gitt som oppgave. Et viktig poeng er imidlertid oftest å få et så enkelt nettverk som mulig. Vi vil modellere følgende fenomen (som vi sikkert har observert): Hvis en kald gjenstand holdes mot huden en meget kort tid (et lite touch ), vil vi kjenne varme når den fjernes. Hvis samme gjenstand holdes mot huden litt lenger enn et lite touch, vil vi kjenne kulde og ingen varme. Holdes imidlertid en varm gjenstand mot huden, vil det kun gi varmefølelse. Vi antar at dette lille touchet tilsvarer én tidsenhet (én synaptisk forsinkelse), dvs. holdes en kald gjenstand lenger mot huden enn én tidsenhet, føler vi kulde. 112

20 Vi kan nå oversette dette til matematikk. Vi innfører V S : KS : V N : KN : varmesensornevron (i huden) kuldesensornevron (i huden) vi-kjenner-varme-nevron (i ryggmargen) vi-kjenner-kulde-nevron (i ryggmargen) Fra teksten får vi følgende tre utsagn (for en gitt t): Utsagn 1: a) V S(t) V S(t) KS(t) b) KS(t) KS(t) V S(t) Utsagnene 1a) og b) sier at varmesensoren og kuldesensoren ikke kan sende stimuli samtidig (a): når varmesensoren sender kan ikke kuldesensoren sende, b): når kuldesensoren sender kan ikke varmesensoren sende). Utsagn 2: V N(t) V S(t 1) [KS(t 2) KS(t 1)] som sier at vi kjenner varme ved tiden t hvis og bare hvis varmesensoren sendte stimuli en tidsenhet tidligere eller [kuldesensoren sendte stimuli to tidsenheter tidligere og ikke en tidsenhet tidligere, dvs. en kald gjenstand ble bare holdt mot huden én tidsenhet]. Utsagn 3: KN(t) KS(t 2) KS(t 1) som sier at vi kjenner kulde ved tiden t hvis og bare hvis kuldesensoren sendte stimuli én og to tidsenheter tidligere (en kald gjenstand ble holdt mot huden lenger enn én tidsenhet). Utsagnene 1-3 kan nå illustreres ved følgende nettverk (prøv selv før du studerer tegningen! Merk at det er flere mulige illustrasjoner.): 113

21 V S V N KS T KN (Hvis du for eksempel en gang skulle ha lyst til å bygge en robot som føler kulde og varme på den måten vi har sett på, kan du bruke dette nettverket som modell.) Hva med lukt og smak? Kanskje du kan utforske dette fenomenet? 5.3 Nå skal du kunne forklare hva som menes med ordet diskret i matematisk forstand definisjonen av et tre, og tegne de første generasjonene av (vår bruk av) Fibonacci-treet definisjonen av et utsagn, sannhetsverdi, negasjon, konjunksjon, disjunksjon, ekvivalens, sannhetsverditabell (herunder sette opp tabell for de utsagnene vi har sett på, og regne med disse) gi eksempler på anvendelse av henholdsvis trær og boolsk algebra (og helst utdype litt til de som er interessert) ha stor sjanse for å drømme om trær og kaniner ha mulighet til å få A i emnet differensiallikninger på eksamen i MAT1 114