LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy

Transkript

1 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Fredag , kl: 09:00-12:00 Fagansvarlig: Per J. Nicklasson, tlf / Tillatte hjelpemidler: Alle kalkulatorer tillatt. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Oppgaven inneholder 4 sider og 4 oppgaver. Relativ vekt av deloppgaver er oppgitt i prosent.

2 Oppgave 1 (5% 5% 5% 5 5% 40%) a) Forklar hvordan man normalt endrer banen for romfartøy? Man endrer normalt banen til et romfartøy ved å påføre det en eller flere kraftimpulser, slik at hastighetsvektoren endres. Man tar normalt ikke hensyn til tiden det tar å endre hastigheten med en gitt kraft, fordi denne normalt er så kort at kraften kan sies å konstant retning under hele operasjonen. Man snakker derfor bare om endring i hastighet ΔV, og beregner hvor stor vektoriell hastighetsendring som skal til for å forandre banen. b) Hvorfor må man normalt korrigere banen for en satellitt etter oppskytning, før den er klar til operasjon? Det er normalt ikke mulig å skyte satellitten opp i den endelige banen direkte fra jorden pga. utskytningsstedenes plassering i forhold til den endelige banen. Selv om det var mulig, ville det ikke være optimalt med tanke på forbruk av drivstoff. Derfor må det utføres en eller flere baneendringer før satellitten er operativ. c) Utled ett uttrykk for den totale hastighetsendringen som er nødvendig for endring av høyden til perigeum for en satellitt i en elliptisk bane rundt jorden. I hvilket punkt av banen må denne hastighetsendringen påtrykkes? Vi går ut fra ligningen v 2 /2 /r u/2a, som gir v 2 /r /a.hastighetsendringen må påtrykkes i apogeum. Hastigheten i dette punktet for den opprinnelige banen er v 1 2 /r a / r p1 r a, mens hastigheten for denne nye banen i dette punktet er v 2 2 /r a / r p2 r a. Endringen blir ΔV v 2 v 1 og påtrykkes tangentielt til banen i apogeum. d) En satellitt går i en elliptisk bane rundt jorden. Perigeum har radius 7000 km og apogeum km. Beregn følgende: 1. Banens eksentrisitet. e r a r p / r a r p Største halvakse til banen (km). a r a r p / km 3. Tiden for ett omløp (timer). T 2 a 3 / / h 4. Spesifikk energi i banen (km 2 /s 2 ) E /2a km 2 /s 2 5. Sann anomalitet i grader for de punkter der høyden over jordoverflaten er 1000 km. Vi vet at r 1000 R e [km]. Videre har vi for en ellipse p a 1 e 2 og r p/ 1 e cos,som tilsammen gir cos a 1 e 2 r /re og endelig 27.6 o Oppgave 2 (5% 5% 5% 15%) a) Hvilke underliggende forutsetninger ligger til grunn for bevegelse i en Keplersk bane?

3 I en Keplersk bane forutsettes det bare at det er gravitasjonskraften mellom to legemer som virker. Disse er idealisert som massepunkter, og kraften er gitt som F Gm 1 m 2 /r 3 r b) En differensialligning som beskriver en generell bevegelse av et legeme i en Keplersk bane, kan skrives som dr 2 /dt K. Forklar hvordan denne ligningen kan utvides slik at den tar hensyn også til andre krefter. Gi tre eksempler på perturberende krefter som vil påvirke legemer i virkelige baner. I ligningen inngår de krefter (egentlig akselerasjoner dvs. krefter dividert med masse), som virker på legemet. Dersom vi utvider ligningen med dr 2 /dt K P, der det siste leddet er summen av de perturberende krefter, får vi en dynamisk ligning som beskriver en bevegelse der innvirkningen av andre enn de som virker i en rent Keplersk bane, også er tatt med. Andre perturberende krefter kan være: 1. Gravitasjonskrefter som skyldes andre himmellegemer 2. Strålingstrykk og solvind (partikler) 3. Variasjoner i gravitasjonkrefter fordi legemene har uniformt fordelt masse (f.eks. sammensetning og avvik fra kuleform når det gjelder jorden). c) Forklar hva som i dette faget menes med Gauss og Lagranges planetligninger, og hva som eventuelt er forskjell på de to beskrivelsene. Hint: Klassiske baneparametre. I begge tilfeller er det snakk om dynamiske ligninger for å beskrive endringer i de klassiske baneparametre, dvs. ligninger for da/dt,de/dt,di/dt,d /dt,d /dt, dm/dt. Når høyresiden i disse ligningene er av generelle karakter, f.eks. da dt F a a, e, i,,,m,t kalles ligningene for Gauss ligninger. Man finner gjerne frem til høyresiden ved å dekomponere kreftene i et lokalt aksekors som følger legemets massesenter. I de tilfeller der de perturberende krafter er konservative, dvs. at de kan utledes fra en skal funksjon som F p gradu r, kan Gauss ligninger forenkles. Den forenklede versjonen av disse ligningen kalles Lagranges planetligninger. Oppgave 3 (5% 5% 5% 10% 10% 35%) En dynamisk modell for en satellitt i sirkulær bane rundt jorden er gitt på generell form som: T dx T cx I x I y I z 0 I y I z I x ḣ wx 0 h wz h wy0 0 h wy0 I xy I xz I xz 2 0 2I yz 0 T dy T cy I y I x I z ḣ wy I xy I yz T dz T cz I z 0 I z I x I y 2 0 I y I x ḣ wz 0 h wx h wy0 0 h wy0 I yz I xz 2 0 I xy 0 2 I xz a) Hvilke forutsetninger ligger til grunn for utledningen av denne modellen? Det er snakk om en linearisert modell (små vinkler og vinkelhastigheter) basert på en utledning av treghetsmomenter der det ikke benyttes hovedtreghetsakser (krysstreghetsmomentene er med i modellen). Dessuten er følgende tatt med: Innvirkningen av gravitasjonskraften til jorden Mulighet for roterende pådragsorganer (spinnbaserte) Mulighet for andre generelle pådragsorganer b) Anta at det ikke benyttes dempemekanismer eller aktive regulatorer, og at man går over til å

4 benytte en beskrivelse som er basert på at det legemefaste referansesystemets akser er sammenfallende med hovedtreghetsaksene. Utled et kriterium for stabilitet av rotasjonsbevegelsen om Y B aksen. I dette tilfellet har vi T cy ḣ wy 0, og siden alle krysstreghetsmomentene er lik null, blir bevegelsen om denne aksen dekoblet fra de to andre aksene. Det eneste som kan eksitere dynamikken om Y B aksen, er initialbetingelser og forstyrrelser. Laplace-transformasjon av ligningen gir T dy s s 2 I y s si y 0 I y I x I z s s T dy s s 2 I y I x I z si y 0 s 2 I y I x I z I y 0 s 2 I y I x I z Siden det ikke er dempning i systemet, kan en høyst oppnå marginal stabilitet uten å introdusere passiv eller aktiv dempning. Kravet om at polene til systemet skal ligge på den imaginære aksen finnes ved å se på løsningen s av s 2 I y I x I z 0, dvs. at en må kreve I x I z. c) Hvordan vil et sprang i forstyrrelsen T dy t k påvirke t. Forutsetningene er de samme som i spørsmålet over. Begrunn svaret med utregninger. Et sprang i forstyrrelsen gir T dy s k/s og t L 1 k/i y s s I x I z /I y k I x I z 1 cos 0 Tidsresponsen er altså oscillatorisk for et sprang i forstyrrelsen. 3 I x I z /I y t d) Anta at det benyttes reaksjonshjul i alle tre aksene for å styre systemet. Vis at ved et hensiktsmessig valg av regulator blir det stasjonære avviket i lik null selv ved et sprang i forstyrrelsen T dy. t Benytter en PID-regulator for å dempe ut forstyrrelsene, slik at ḣ wy k p k d k I dt. Fårnå 0 (tar ikke med initialbetingelser og antar at alle referanser er lik null) T dy s s 2 I y s I x I z s k p s k d s s k I 1 s s s T dy s s 2 I y k d s I x I z k p k I 1 s st dy s s 3 I y k d s I x I z k p s k I Stasjonært avvik ved sprang i T dy t k blir nå ss lims sk s 0 s s 3 I y k d s I x I z k p s k I 0 e) Anta at det istedenfor reaksjonshjul benyttes 3 magnetspoler for å dempe ut oscillasjonene som kan oppstå. Pådraget er strømmen i spolene i x, i y, i z, og alle spolene har samme tversnittsareal A og antall vindinger N. Vis at det ikke alltid er mulig å stabilisere orienteringen av alle tre aksene samtidig vha. magnetspoler, og foreslå deretter en løsning på dette problemet. Har følgende sammenheng: T c M B NA i x i y i z x B x B y B z NA 0 B z B y B z 0 B x B y B x 0 B x B y B z NA B Matrisen B er singulær, og vi kan følgelig ikke regne ut strømmene for enhver vektor T c. Dersom vi antar at M alltid er vinkelrett på B, kan vi imidlertid skrive B T c B M B B B M B M B B 2 M dva. at vi kan beregne M (og dermed strømmene) utfra: M B T B 2 Dersom M ikke er vinkelrett på B, må det benyttes en annen aktuator enn magnetspole i en av aksene. i x i y i z

5 To magnetspoler og ett reaksjonshjul er en mulig løsning. Oppgave 4 (5% 5% 10%) Forklar kort følgende begreper. Benytt gjerne skisser dersom du synes det er nødvendig: a) Kvaternioner Dette er en beskrivelse av orienteringen til et legeme relativt en bestemt orientering i rommet (som kan angis med et referansesystem i form av et aksekors), som baserer seg på bruk av 4 parametre (hvorav kun 3 er uavhengige). Parametrene kan oppfattes som avleded av en beskrivelse av orienteringen angitt med en vektor og en vinkel. Ved å dreie legemet den angitte vinkel om den gitte vektor, vil et aksekors festet i legemet få samme orientering som det aksekorset som angir en referanseorientering. b) Rotasjonsmatrise Dette er en beskrivelse av orienteringen til et legeme relativt en bestemt orientering i rommet, der det benyttes en 3x3 matrisemed9elementer(hvoravkun6eruavhengige). Matrisen inneholder cosinus mellom de respektive enhetsvektorene i et koordinatsystem fast i legemet, og enhetsvektorene i et referansesystem. Ved å multiplisere en vektor angitt relativt et referansesystem, med rotasjonsmatrisen, vil man få koordinatene for den samme vektoren i et annet system.

6 Totalenergi for enhetsmasse: Rakettligningen: Formelsamling og parametre v 2 /2 /r /2a, E /2a m f m i e ΔV/ gisp Ellipsen: A ab, e r a r p / r a r p, a r a r p /2, b a 1 e 2 Inverst kvadratisk kraftfelt: F Gm 1 m 2 /r 3 r Keplers tidsligning: t t p 2 /T t t p n M e sin Keplers tredje lov: T 2 a 3 / 2 /n Sann og eksentrisk anomali: cos e cos / 1 e cos,sin sin 1 e 2 / 1 e cos Differansen av to vinkler: sin sin cos cos sin Tilnærming: e x 1 x for små x Midlere nutasjonsvinkel: av 4T d / 2 z I z I z /I x 1 Vektoridentitet: A B A A A B A B A Laplace-transformasjonen: L y t Y s L ẏ t sy s y 0 L ÿ t s 2 Y s sy 0 ẏ 0 L 1 1/s n t n 1 / n 1!, (n 1,2,3,... L 1 1/ s a n t n 1 e at / n 1!, (n 1,2,3,... L 1 1/ s 2 2 1/ sin t L 1 1/ s a 2 2 1/ e at sin t L 1 s/ s 2 2 cos t L 1 1/ s 3 s 2 1/ 2 1 cos t L 1 1/ s 4 s 2 2 1/ 3 t sin t Gravitasjonskonstanten: G m 3 /kg-s 2 Jordas masse: M kg Jordas gravitasjonskonstant: GM km 3 /s 3 Midlere jordradius: R e km