Regneoppgaver i GEOF110 Innføring i atmosfærens og havets dynamikk

Transkript

1 Regneoppgaver i GEOF110 Innføring i atmosfærens og havets dynamikk Dato 17. januar 2014 Oppgavegjennomgang, i hovedsak, fredager kl i Auditorium 105 helge.drange@gfi.uib.no 1. Polare koordinater er ofte gitt ved r (radial koordinat) og θ (vinkel, polarvinkel eller asimut koordinat). Venstre del av figur 1 viser polare korrdinater i to dimensjoner. Vi har da at x = r cos θ (1) y = r sin θ (2) y r θ x Figur 1: Kurvelineære koordinater i to og tre dimensjoner. Fra definisjonen av en buelengde følger det at en liten endring av vinkelen θ, δθ, spenner ut linjestykket (buelengden) r δθ. En liten endring langs aksen r, δr, involverer ingen rotasjon og gir derfor linjestykket δr. Av dette følger det at skalafaktorene for de polare kulekoordinatene, dvs. faktoren fremfor δθ og δr, er henholdsvis 1 og r. (3) Bruk skalafaktorene (3) til å utlede areal og omkrets av en sirkel med radius a. Hint: Integrer over koordinatvariablene. 1

2 2. Polare kulekoordinater i tre dimensjoner, som for et jordsystem, er ofte gitt ved koordinatvariablene λ (lengdegrad), ϕ (breddegrad) og r (radial retning). Fra høyre del av figur 1 følger det at x = r cos ϕ cos λ (4) y = r cos ϕ sin λ (5) z = r sin ϕ (6) Fra samme figur ser vi at en liten endring av vinkelen λ, δλ, spenner ut linjestykket (buelengden) r cos ϕ δλ, og at vinkelen ϕ, δϕ, spenner ut linjestykket (buelengden) r δϕ. En liten endring langs aksen r, δr, gir linjestykket δr. Av dette følger det at skalafaktorene for vårt valg av polare kulekoordinater er henholdsvis r cos ϕ, r og 1. (7) Bruk skalafaktorene (7) til å utlede areal og volum av en kule med radius a. Hint: Integrer over koordinatvariablene. 3. Skalarproduktet av to vektorer a og b, a b, er en skalar (et tall) definert som hvor θ er vinkelen mellom a og b. For a = (a x, a y, a z ) og b = (b x, b y, b z ), følger det at a b a b cos θ (8) a b = a x b x + a y b y + a z b z (9) Vis (9) i to dimensjoner x og y. Hint: Tegn vektorene a og b i et koordinatsystem, la θ a og θ b være vinklene mellom de to vektorene og x-aksen og bruk at cos(θ a ± θ b ) = cos θ a cos θ b sin θ a sin θ b. 4. Figur 2 illustrerer breddegradssirkler (parallelle med ekvator) og lengdegradssirkler (går gjennom polpunktene) på en kule. Det følger fra figuren at den geografiske avstanden mellom to lengdegrader avtar med økende breddegrad (mot polene), mens avstanden mellom to breddegrader er konstant. Hva er lengden til én lengdegrad langs ekvator? Hva er lengden til én lengdegrad på breddegraden til Bergen? Hva er lengden til én breddegrad på breddegraden til Bergen? 5. Beregn gradienten til feltet z (kalt geopotensialhøyde) som er plottet med blå konturer i figur 3 i posisjonen til de to sirklene. 2

3 Figur 2: Bredde- og lengdegradssirkler på en kule. Breddegradssirklene er rettet i nord-sør retningen og lengdegradssirklene i øst-vest retningen. Bredde- og lengdegradsretningene kalles også meridional og sonal retning. 6. Anta det blåser en konstant vind med hastighet 2 m s 1 oppover Bergensdalen, fra sør (retning Fantoft/Fana) mot Bergen sentrum, og at luftens temperatur er bevart med bevegelsen. Finn temperaturprofilen langs Bergensdalen dersom en person i Bergen sentrum måler en temperaturøkning på +0.5 K per døgn. 7. Oppgave 3, unntatt spørsmål (3a), i Exercises in atmosphere-ocean dynamics, av Tore Furevik, tilgjengelig på Mi side. 8. Utled følgende uttrykk i forelesningsnotater 1, datert 19. november 2013 (merket rødt i teksten): Uttrykk 275, 279, 282, 284, 285, 286, 287, 288, 289, Hvilken halvkule befinner lavtrykket i figur 4 seg på og hvorfor? 10. Figur 5 viser to horisontale hastighetsfelt. a Er hastighetsfeltene divergent eller konvergent? Grunngi svaret. 1 Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008) v/helge Drange, tilgjengelig på Mi side og 3

4 Figur 3: Synoptisk værkart for høyden z til isobarflaten p = 250 hpa (blå konturlinjer) og vindhastighet (piler). Den røde sirkelen er sentrert på ca. 62 grader nord. Den blå sirkelen er sentrert på ca. 54 grader nord. Høydeforskjellen mellom høydekonturene er 40 m. Figur fra Marius Opsanger Jonassen (Geofysisk institutt, UiB) basert på Hirlam24 og plottet med Diana. 4

5 Figur 4: Se spørsmål 9. b Har hastighetsfeltene rotasjon? Grunngi svaret. c Dersom hastighetsfeltene beskriver strømhastigheten for havets overflatelag, vil da hastighetsfeltene være forbundet med vertikalhastigheter? I så tilfelle, bestem retning og hva som skjer med overflaten. Grunngi svaret. Figur 5: Se spørsmål 10. 5

6 11. Gitt funksjonene F 1 (x, y) = y e x x e y F 2 (x, y) = y e x + x e y F 2 (x, y) = x 2 e y der e x og e y er enhetsvektorer i x- og y-retningen. Beregn kurlen til F 1, F 2 og F 3, og gi en dynamisk tolkning av resultatene. 12. På en sirkel med radius R beveger en partikkel seg med konstant fart, med omløpstid (periode) T. Da er partikkelens rotasjonshastighet ω = 2π T Uttrykk farten v og hastighetsvektoren v til partikkelen på sirkelen ved hjelp av ω. Hvor er v rettet? Uttrykk absoluttverdien til akselerasjonen a og akselerasjonsvektoren a til partikkelen på sirkelen ved hjelp av ω. Hvor er a rettet? Vektorene v og a skal skrives som et kryssprodukt. 13. a Vis at konserveringsligningen av en skalar, i dette tilfellet temperatur T, kan skrives som T t = DT Dt v T b Figur 6 viser linjer med konstant temperatur (isotermer). Hvorfor er T rettet som vist i figuren? c Bruk konserveringslikningen i (13a) til å kvantifisere om temperaturen øker eller avtar i punktene 1 og Oppgave 5d og 5e i Exercises in atmosphere-ocean dynamics, by Tore Furevik, tilgjengelig på Mi side 15. Figur 7 illustrerer retningen til effektiv gravitasjon g i et roterende system. Finn uttrykket som bestemmer vinkelen α. Hvordan avhenger α med breddegrad? Sett inn verdier for jorden og beregn avviket mellom g og g. 6

7 Figur 6: Isotermer og temperaturadveksjon. (a) Temperaturgradient og hastighetsvektor er rettet i motsatt retning. (b) Temperaturgradient og hastighetsvektor er rettet i samme retning. I figuren er T > 0, og det antas at hastighetsvektor og temperaturgradient er parallelle, og at vinden kun blåser i hastighetsvektorens retning. Figur 7: Illustrasjon av gravitasjonskraften i et ikke-roterende system g (rettet mot sentrum) og i et roterende systen g. Ω (Ω r) er sentrifugalkraften. 16. I et roterende jordsystem virker de fiktive Coriolis- og sentrifugalakselerasjonene: (a) Hva betegner Ω, u og r? 2Ω u og Ω (Ω r) (b) Tegn Coriolisakselerasjonen på en roterende jordkule for u = (u, 0, 0), u = (0, v, 0) og u = (0, 0, w). Tegn også sentrifugalakselerasjonen for en vilkårlig r. (c) List egenskaper ved Coriolis- og sentrifugalakselerasjonene. (d) Skriv Coriolis- og sentrifugalakselerasjonene på komponentform relativt et koordinatsystem (x, y, z ) som roterer med jorden, hvor origo til det roterende koordinatsystemet ligger i r og hvor z er rettet utover, normalt fra jordens overflate. Tegn y når x er rettet tangentielt østover. (e) Hvorfor bidrar u i Coriolisakselerasjonens y - og z -retninger? (f) Hvorfor bidrar v kun til Coriolisakselerasjonens x -retning? (g) Hvorfor bidrar w kun til Coriolisakselerasjonens x -retning? (h) Hva er Coriolisakselerasjonen ved ekvator (breddegrad ϕ = 0)? Hvordan skiller dette uttrykket seg fra uttrykket hvor Coriolisparameteren f inngår? (i) Hva skjer med en kule som skytes rett opp i luften ved ekvator?...eller et sted på den nordlige halvkule? Er dette i tråd med avbøying til høyre på den nordlige halvkule? 7

8 (j) Hva skjer med en kule som skytes tangentielt østover langs ekvator (og hvor vi antar at vertikalkomponenten til u, w, er lik null)? (k) Utled størrelsen av Coriolis-og sentrifugalakselerasjonene. (l) Sett u = v = U og w = 0, og bestem den U som balanserer 2Ω u og Ω (Ω r) for for en generell breddegrad ϕ. Hvor stor er den balanserende U for breddegradene ϕ = 0, π/6, π/4, π/3, π/2? Hva betyr dette? (m) Hvor stor er vertikalkomponentene til Coriolis- og sentrifugalakselerasjonene for ϕ = 0, π/6, π/4, π/3, π/2 i forhold til jordens gravitasjon g? (n) La oss tenke oss at det henger en pendel over nordpolpunktet. I enden av pendelen henger det et lodd med en laserstråle peikende nedover i loddets retning. Hvilket mønster vil laserstrålen tegne på bakken i løpet av et døgn? Merk av hvordan mønsteret blir dannet i løpet av dagen (startpunkt, retning og sluttpunkt). Hva er det som skaper mønsteret? (Vi antar at pendelens utslag er små i forhold til pendelens lengde, og vi ser bort fra luftfriksjon og andre ytre påvirkninger.) (o) La oss tenke oss at den samme pendelen henger over sørpolpunktet. Hvilket mønster vil laserstrålen tegne her? Merk startpunkt, retning for mønsteret og sluttpunkt. (p) La oss tenke oss at pendelen henger over ekvator. Hvilket mønster vil laserstrålen tegne? Merk startpunkt, retning for mønsteret og sluttpunkt. (q) Hvordan tror du mønsteret vil bli tegnet dersom pendelen henger et sted mellom norpolen og ekvator? Hva er det som skaper dette mønsteret? (r) På jupiter varer en dag 9.9 jordtimer og omkretsen er km. Den målte gravitasjonen ved ekvator er 26.4 m s 2. Hva er den sanne gravitasjonen og sentrifugal akselerasjonen på jupiter? (en jordtime er 3600 s). 17. Oppgave 6 i Exercises in atmosphere-ocean dynamics, by Tore Furevik, tilgjengelig på Mi side (se bort fra leddet ν 2 u i oppg. 6a) 18. Vis uttrykk (65) i GEOF110-kompendiet datert 21. desember ; at divergensen til hastighetsvektoren u = e λ u + e ϕ v + e r w, i kulekoordinater kan skrives som u = 1 u r cos ϕ λ + 1 r cos ϕ v cos ϕ ϕ + 1 r 2 wr 2 r Her er e λ, e ϕ og e r enhetsvektorer i kulekoordinatsystemet, med tilhørende hastighetskomponenter u, v og w. 2 Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008) v/helge Drange, tilgjengelig på Mi side og 8

9 Hint: Se avsnitt i GEOF110-kompendiet datert 21. desember I tillegg følger det fra figur (8) at enhetsvektorene e λ, e ϕ og e r, uttrykt i kartesiske (x, y, z) koordinater, er e λ = ( sin λ, cos λ, 0) e ϕ = ( cos λ sin ϕ, sin λ sin ϕ, cos ϕ) e r = (cos λ cos ϕ, sin λ cos ϕ, sin ϕ) Figur 8: Kurvelineære koordinater λ, ϕ og r i tre dimensjoner. Merk: Uttrykket for u i kulekoordinater på side 298 i Marshall & Plumb (2008) gjelder kun for konstant radiell avstand z. For en generell radiell avstand vil siste ledd i ligningen øverst til høyre på side 298 i boken være 1 wz 2 z 2 z 19. Spørsmål 2, side 104 i Marshall & Plumb (2008) 20. Spørsmål 2, side 135 i Marshall & Plumb (2008) 21. Oppgave 4, side 136 i Marshall & Plumb (2008). 9

10 Figur 9: Synoptisk værkart for høyden z til isobarflaten p = 250 hpa (blå konturlinjer) og vindhastighet (piler). Den røde sirkelen er sentrert på ca. 62 grader nord. Den blå sirkelen er sentrert på ca. 54 grader nord. Høydeforskjellen mellom høydekonturene er 40 m. Figur fra Marius Opsanger Jonassen (Geofysisk institutt, UiB) basert på Hirlam24 og plottet med Diana. 10

11 22. Beregn fart og retning til vinden i posisjonene gitt ved den røde og blå sirkelen i figur Anta den horisontale temperaturgradienten er konstant på alle trykk-nivåer i troposfæren, og gitt ved p T = 20 K 1000 km ˆx Ved bakken er trykket p 1 = 1000 hpa og u g (p 1 ) = v g (p 1 ) ŷ = 5 m s 1 ŷ. Hva er vinden ved p 2 = 700 hpa og p 3 = 500 hpa? Anta vi er på 45 grader nord (ˆx og ŷ er enhetsvektorene i henholdsvis østlig og nordlig retning). 24. Sonalt midlet temperatur for månedene januar-februar-mars er vist i figur (10). På den sørlige halvkule befinner jetstrømmen seg på ca. 45 S, indikert med den tykke vertikale streken. Hva er årsaken til at jenstrømmen er sentrert ved ca. 45 S? Beregn maksimal styrke på jetstrømmen på 45 S når den sonale hastigheten for p = 700 hpa er 15 m s Spørsmål 8, side i Marshall and Plumb 26. Spørsmål 9, side 137 i Marshall and Plumb 27. Se oppgaver under. 11

12 Figur 10: Sonalt midlet temperatur ( C) fra atmosfærisk reanalyse (kombinert observasjoner og modell) for månedene desember-januar-februar. Den vertikale streken er ved ca. 45 S. Data fra NCEP/NCAR. 12

13 13

14 28. Se oppgaver under. 29. Spørsmål 2, side 159 i Marshall and Plumb 30. Spørsmål 6, side 160 i Marshall and Plumb 31. Spørsmål 7, side i Marshall and Plumb 14

15 32. Spørsmål 1, side 159 i Marshall and Plumb 33. Spørsmål 1, side i Marshall and Plumb 34. Spørsmål 2a, side 191 i Marshall and Plumb 35. Spørsmål 3, side i Marshall and Plumb 36. Spørsmål 4, side 193 i Marshall and Plumb 37. Spørsmål 5, side i Marshall and Plumb 38. Spørsmål 6, side i Marshall and Plumb 39. Spørsmål 3, side 220 i Marshall and Plumb 40. Spørsmål 4, side i Marshall and Plumb 41. Spørsmål 5, side 221 i Marshall and Plumb 42. Spørsmål 7, side 221 i Marshall and Plumb 43. Spørsmål 8, side 222 i Marshall and Plumb 15

16 44. Spørsmål 9, side 222 i Marshall and Plumb 16