Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008)

Transkript

1 Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008) Av Helge Drange Geofysisk institutt, Universitetet i Bergen GEOF110 vår 2017, 7. mars Vennligst gi et ord om feil, mangler, ønsker etc. til helge.drange@gfi.uib.no Tenk på miljøet unngå unødvendige utskrifter! 7. mars

2 Innhold 1 Bakgrunn Fluid/fluider Bevegelsen til hav og atmosfære (i) Differensiert oppvarmet (iii) Hydrodynamisk væske (ii) Væskens lagdeling (iv) Roterende koordinatsystem (v) De primitive ligningene Bevaring av masse og bevegelsesmengde Tilleggsligninger for atmosfæren Tilleggsligninger for havet Utledning og tolkning Den totalderiverte av u Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem Totalderivert i et roterende koordinatsystem Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem Jordens rotasjonsvektor Tolkning av bevegelsesligningens ledd Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen 2Ω u Coriolisleddet utfører ikke arbeid Coriolisakselerasjonen på komponentform Coriolisakselerasjonen på forenklet form Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen Ω (Ω r) Sentrifugalakselerasjonen på komponentform Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet Derivasjon i et polarkoordinatsystem Polare koordinater Polare kulekoordinater Forenklinger og anvendelser Avstander på en kuleflate Skalaanalyse Geostrofisk balanse Rossbytall Hydrostatisk balanse Geostrofisk balanse Eksempel, geostrofisk balanse Geostrofisk balanse i trykk-kordinater Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater ( z/ x) p = konst < 0, ( z/ y) p = 0 og f > ( z/ x) p = 0, ( z/ y) p = konst < 0 og f > Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar Termalvind, generelt uttrykk Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

3 3.8 Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer Tolkning av termalvind Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind Orientering p T = p T = konst ( T / y) p = konst < 0, ( T / x) p = 0 og f > ( T / y) p = konst > 0, ( T / x) p = 0 og f < ( T / x) p = konst > 0, ( T / y) p = 0 og f > Kald og varm adveksjon Idealisert eksempel Eksempel basert på klimatologi Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater Anvendelse av trykk- og høydegradient Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne Energioverføring i atmosfæren Spinnsatsen Atmosfærens spinn i sonal retning Eksempel, verdier for atmosfærens spinn i sonal retning Eksempel, sammenheng mellom spinnsatsen og sonal komponent av momentumligningen Oppdriftsfrekvens/Brunt-Väisälä frekvensen Redusert gravitasjon Margules sammenheng Rossbys tilpasningsproblem Venstre side av (171) Høyre side av (171) Rossby deformasjonsradius Frigjøring av potensiell energi Potensiell energi Beregning av potensiell energi for en tolagsmodell Kinetisk energi Kinetisk energi uttrykt med termalvind i en tolagsmodell Vinddrevet havsirkulasjon Ekman teori Horisontal massetransport i Ekman-laget Transport gjennom nedre grenseflate på Ekman-laget Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget Se også seksjon 5.2 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, Se også seksjon i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, Se også seksjon 8.6 i Introduction to Geophysical Fluid Dynamics av Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers (2010), og seksjon 5.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

4 5.1.4 Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman teoremet Sverdrupbalanse Eksempel, sammenheng mellom Ekman- og Sverdrup-teori Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning A Grunnleggende funksjon- og vektoranalyse 70 A.1 Koordinatsystem A.1.1 Rektangulære koordinater A.1.2 Kurvelineære polare koordinater A.1.3 Buelengde A.1.4 Polare koordinater A.1.5 Polare kulekoordinater A.2 Variabel A.3 Funksjon A.4 Skalarfunksjon A.5 Vektorfunksjon A.6 Skalarprodukt A.7 Vektorprodukt A.8 Derivasjon i et fikssystem A.8.1 Gradient til en skalarfunksjon A.8.2 Divergensoperatoren; divergerende og konvergerende vektorfunksjon A.8.3 Dobbeltderivert A.8.4 Kurl A.8.5 Relativ, absolutt og potensiell virvling A.9 Vektoridentiteter som involverer del-operatoren A.10 Derivasjon i et polarkoordinatsystem A.10.1 Polare koordinater A.10.2 Polare kulekoordinater A.10.3 Totalderivert uttrykt i kulekoordinater A.11 Adveksjonsleddet for ren sirkulær bevegelse i to dimensjoner A.12 Sirkulær bevegelse og avstander på en kule A.12.1 Fart til en sirkulær bevegelse A.12.2 Avstander på en kule A.13 Taylorrekke B Oppdateringer vår C Oppdateringer vår D Oppdateringer vår E Oppdateringer vår F Oppdateringer vår Se også diskusjon i seksjon i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, Se også seksjon 6.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

5 G Oppdateringer vår

6 1 Bakgrunn 1.1 Fluid/fluider Et fluid, godkjent norsk ord, substativ, intetkjønn. Fellesbetegnelse for gasser og væsker. All materiale i naturen kan grupperes i én av to typer; som fast stoff eller som fluid. I et fast stoff er molekylenes bevegelse begrenset ( molecular immobility ). I et fluid er molekylene fri til å bevege seg ( molecular mobility ). Fluider eksisterer som gass eller væske Bevegelsen til hav og atmosfære Bevegelsen til en (i) ulikt oppvarmet, (ii) lagdelt (iii) væske på en (iv) roterende kule er ikke tilfeldig; den følger grunnleggende (v) fysiske prinsipper eller lover. I det følgende betrakter vi jorden, men tilsvarende gjelder for enhver roterende planet med differensiert oppvarming. 1.3 (i) Differensiert oppvarmet For jorden er det netto oppvarming i tropene og netto nedkjøling ved polene, se figur 5.5 i Marshall & Plumb. Uten transport av varme fra tropene mot polene, ville temperaturen stadig stige i tropene og stadig falle ved polene. Fra observert temperatur vet vi at dette ikke er tilfellet, følgelig må det være varmetransport fra tropene mot høyere breddegrader på hver halvkule. Dette er tilfellet for både atmosfære og hav. 1.4 (iii) Hydrodynamisk væske Luft og vann er begge (hydrodynamiske) væsker. For å beskrive bevegelsen til luft og vann, deler vi væskene opp i tenkte, materielle volumer. Materielle volumer er volumer som hele tiden består av de samme partiklene. Summen av krefter som virker på et materielt volum bestemmer hvordan volumet, det vil si luften og vannet, beveger seg. Newtons andre lov (N2; også kalt momentumligningen eller ligningen for bevaring av bevegelsesmengde) F = m a (1) gjelder for ethvert materielt volum på samme måte som N2 gjelder for et fallende legeme i luft eller for en glidende klosse på et skråplan. I ligningen over er F (enhet: N) kraften som virker på volumet, m (kg) er volumets masse og a (m s 2 ) er volumets akselerasjon. 1.5 (ii) Væskens lagdeling Generelt vil luftens tetthet (masse per volum) avta oppover i atmosfæren og vannets tetthet vil øke nedover havet. Tetthet betegnes ofte ρ med enhet kg m 3. En stabil lagdeling (eller Press. 7 Reddy, J. N. (2013), An Introduction to Continuum Mechanics, second edition, s. 242, Cambridge University 6

7 stratifisering) betyr at en lett væske ligger over en tyngre væske. Skulle en tung væske ligge over en lettere væske, sier vi at væsken er ustabilt stratifisert og det vil da oppstå vertikal blanding inntil nøytral eller stabil lagdeling framkommer. Figur 1: Illustrasjon på en væske som er (a) stabilt, (b) nøytralt og (c) ustabilt stratifisert. En stabil stratifisering motvirker vertikal blanding da det krever energi å løfte en tung væske og senke en lett væske i væskesøylen. En ustabil stratifisering vil føre til vertikal blanding inntil nøytral eller stabil stratifisering oppstår. 1.6 (iv) Roterende koordinatsystem N2 gjelder for et ikke-akselererende koordinatsystem, ofte antatt å ligge fast eller å bevege seg med konstant hastighet i forhold til fiksstjernene, det vil si stjerner som ligger fast på himmelen. Jorden roterer og vi observerer vind og strøm relativt til jorden; altså i et roterende referansesystem. For å kunne bruke N2 må vi da uttrykke N2 i et roterende referanse- eller koordinatsystem. Dette gir opphav til Coriolis- og sentrifugalakselerasjonene. Ofte blir N2 uttrykt i et rettlinjet koordinatsystem med koordinater x, y og z, hvor x og y gjerne betegner de horisontale retningene og z gir vertikal retning for problemet vi betrakter. Siden jorden er tilnærmet kuleformet, er det praktisk å bruke kulekoordinatene λ, ϕ og z. Her er λ lengdegrad, ϕ er breddegrad og z er vertikal retning fra jordens sentrum. Uavhengig av valg av koordinatsystem, følger koordintsystemene høyrehåndsregelen. Alltid! Se appendix A.1 for en kort gjennomgang av ofte brukte koordinatsystemer. 1.7 (v) De primitive ligningene (primitiv = opprinnelig, uutviklet, som hører til et tidlig utviklingstrinn) 7

8 z y x Figur 2: Illustrasjon av et rettvinklet koordinatsystem i tre dimensjoner (til venstre) og et kulekoordinatsystem ofte brukt for å beskrive atmosærens og havets dynamikk (til høyre). I kulekoordinatsystemet er a = m jordens midlere radius og z = 0 er ved havets overflate, det vil si at z > 0 i atmosfæren og z < 0 i havet. - De dynamiske og termodynamiske naturlovene som beskriver atmosfærens og havets bevegelser, undergruppe av de mer generelle Navier-Stokes ligningene - Basert på emperi og hypoteser - Kan ikke bevises (men er til dags dato ikke motbevist) - Bare idealiserte tilfeller kan løses eksakt; full løsning krever numeriske metoder/modeller Et system av koplede differesialligninger kan løses dersom antall ligninger er lik antall ukjente og når de ukjente er beskrevet av kjente (foreskrevne) initial- og randverdier. De grunnleggende ligningene følger under Bevaring av masse og bevegelsesmengde Bevaring av masse ρ + (ρu) = 0 (2) t Bevaring av bevegelsesmengde (momentum) i tre dimensjoner (x, y, z) u t + u u + 1 p + ẑg = 2 Ω u Ω (Ω r) + F (3) ρ Tilleggsligninger for atmosfæren Tilstandsliking for atmosfæren (ideelle gasslov som er en god beskrivelse av tørr luft) p = ρrt (4) 8

9 Bevaring av varme (her temperatur) T t + (T u) = Q (5) ligningene (2)-(5) er et løsbart system bestående av 6 ligninger med 6 ukjente ρ, u = (u, v, w), p og T Tilleggsligninger for havet Tilstandsligning for havet (en av flere versjoner) Bevaring av varme (her temperatur) ρ = ρ 0 [1 α(t T 0 ) + β(s S 0 )] (6) T t + (T u) = Q (7) Bevaring av salt S + (Su) = kilder minus sluk (8) t ligningene (2), (3) og (6)-(8) er et løsbart system bestående av 7 ligninger med 7 ukjente ρ, u = (u, v, w), p, S og T. 9

10 2 Utledning og tolkning - Utledning basert på Newtons 2. lov og massebevaring - For Newton: Gjelder med bevegelsen, innfører den totalderiverte - Bruker skalarprodukt og vektorprodukt - Anvender Taylorrekkeutviking til laveste orden (andre metoder kan benyttes og gir samme resultat, f.eks. fra statistisk mekanikk) - Overgang fra ikke-roterende til roterende kartsisk koordinatsystem - Overgang fra kartesisk til krumlinje (kule)koordinatsystem - Fysisk tolkning av de ulike leddene Se appendiks for definisjon av skalarprodukt, vektorprodukt, buelengde, polarkoordinater, kulepoordinater, rekkeutvikling, etc. 2.1 Den totalderiverte av u Uttrykket Du Dt = u + u u (9) t er den totalderiverte av u og gir endringen av u når en følger med bevegelsen. Den totalderiverte består av to ledd. Lokal endring i tid i et fast geografisk punkt og bidraget av adveksjon Den totalderiverte (9) har tre komponenter Du Dt Dv Dt Dw Dt u t (10) u u (11) = u t + u u x + v u y + w u z = v t + u v x + v v y + w v z = w t + u w x + v w y + w w z 2.2 Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem Vi betrakter posisjonsvektoren r som har konstant lengde men som endrer retning grunnet rotasjon med vinkelhastighet Ω om en akse som vist i figur 3. I det roterende koordinatsystemet er r(t) konstant i tid, slik at r(t) = r(t + t). Men betraktet fra et fast koordinatsystem, et fikssystem, endrer posisjonsvektoren seg fra r(t) til r(t + t) i løpet av tiden t. Siden det kun er endring av r grunnet rotasjon vi betrakter her, ikke lengden til r, er r = konst i det følgende. Tilfellet med en generell vektor A som roterer og som endrer lengde er utledet i påfølgende avsnitt. (12) (13) (14) 10

11 Figur 3: Illustrasjon av tidsendringen til en posisjonsvektor r(t) som roterer mot klokken med konstant vinkelgastighet Ω = Ω. R er radiusen i sirkelen som posisjonsvektoren r(t) spenner ut (markert som et lyserødt plan i figuren). I løpet av tiden t beveger posisjonsvektoren seg en avstand r i det fargede sirkulasjonsplanet. 11

12 Fra uttrykket for en buelengde (300) følger det at lengden av r kan skrives som r = R λ = r sin θ λ (15) Videre er λ = Ω t (16) hvor Ω = Ω. Det følger da fra (15) og (16) at r t = Ω r sin θ (17) For t 0, får vi dr = Ω r sin θ (18) dt eller, fra definisjonen av et vektorprodukt (avsnitt A.7), at dr dt = Ω r (19) Merk at høyrehåndsregelen gir at Ω r er rettet langs r i figur 3. Sett fra et fast (ikkeroterende) koordinatsystem er derfor tidsendringen av den roterende posisjonsvektoren r gitt ved (19). Transformasjonen (19) er grunnleggende for å utlede sammenhengen mellom bevegelsesligningene i et ikke-roterende og roterende koordinatsystem. 2.3 Totalderivert i et roterende koordinatsystem Vi starter med å betrakte et koordinatsystem som ligger fast, et fiksssystem (navn etter fiksstjernene), og et som roterer rundt en koordinatakse. Fikssystemet er angitt med umerkede størrelser og subskrift f, mens merkede størrelser og subskrift r betegner det roterende systemet. For enkelhetsskyld har koordinatsystemene felles origo og rotasjonen skjer langs den felles z-aksen, se figur 4. Figur 4: Vektoren A i et fast (x, y, z) og et roterende (x, y, z ) koordinatsystem. 12

13 Vektoren A kan uttrykkes entydig i begge systemene: A = ˆxA x + ŷa y + ẑa z (20) A = ˆx A x + ŷ A y + ẑ A z (21) A = A (22) Sett fra det roterende koordinatsystemet ligger enhetsvektorene ˆx, ŷ og ẑ fast, slik at den tidsderiverte av A i dette tilfellet er gitt ved den tidsderiverte av A s komponenter DA Dt = ˆx DA x r Dt + ŷ DA y r Dt + ẑ DA z r Dt (23) r hvor subskrift r betegner at derivasjonen er gjort i det roterende koordinatsystemet. På tilsvarende måte kan den tidsderiverte sett fra fikssystemet (subskrift f) skrives som DA Dt = ˆx DA x f Dt + ŷ DA y f Dt + ẑ DA z f Dt (24) f Sett fra fikssystemet, vil enhetsvektorene i det roterende koordinatsystemet endre seg i tid. Siden A = A, følger det at DA Dt = DA f Dt = ˆx DA x f Dt + ŷ DA y f Dt + ẑ DA z f Dt f + Dˆx Dt A x + Dŷ f Dt A y + Dẑ f Dt A z (25) f Fra transformasjonsuttrykket for en vektor i et roterende koordinatsystem (19), følger det at Dˆx Dt = Ω ˆx (26) f Dŷ Dt = Ω ŷ (27) f Dẑ Dt = Ω ẑ (28) f Fra de tre siste leddene i (25) har vi at de tre uttrykkene over skal multipliseres med henholdsvis A x, A y og A z. Dette gir Dˆx Dt A x + Dŷ f Dt A y + Dẑ f Dt A z = Ω (A xˆx + A yŷ + A zẑ ) = Ω A (29) f Videre er tidsendringen av lengden til A sine komponenter, som er skalare størrelser, identisk i de to koordinatsystemene DA x Dt = DA x f Dt (30) r DA y Dt = DA y f Dt (31) r DA z Dt = DA z f Dt (32) r 13

14 Dette gir at ˆx DA x Dt + ŷ DA y f Dt + ẑ DA z f Dt = DA f Dt (33) r Uttrykkene (29) og (33) innsatt i (25), gir DA Dt = DA f Dt + Ω A (34) r Eller, for en vilkårlig vektor A, DA Dt = DA f Dt + Ω A (35) r Med notasjonen over kan tidsendringen av posisjonsvektoren r i (19) skrives på formen dr dt = Ω r (36) f Det følger derfor at (35) er en generalisert versjon av uttrykk (19). 2.4 Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem Uttrykket (35) kan brukes til å relatere tidsendringen av hastighetsvektorene, det vil si akselerasjonen, i et fikssystem og i et roterende system, ved først å erstatte A med r: Dr Dt = Dr f Dt + Ω r (37) r De to første leddene i uttrykket over gir hastigheten u i henholdsvis fikssystemet og det roterende systemet, slik at (37) kan skrives som u f = u r + Ω r (38) Videre følger det at akselerasjonen i et fiksssystem kan uttrykkes som Du f (35) Du f Dt = f Dt + Ω u f [ r ] (38) D = Dt (u r + Ω r) + Ω (u r + Ω r) r [ Dur = Dt + Ω Dr ] + Ω u r + Ω (Ω r) Dt r Du r = Dt + 2 Ω u r + Ω (Ω r) (39) r Fra uttrykket over følger det at bevegelsesligningen i det roterende koordinatsystemet kan skrives som Du Dt + 1 p + ẑg = 2 Ω u Ω (Ω r) + F (40) ρ 14

15 Siden det er underforstått at (40) uttrykker bevegelsesligningen i et roterende koordnatsystem, er subskrift r droppet fra ligningen. Leddet 2 Ω u kalles Coriolisakselerasjonen og leddet Ω (Ω r) kalles sentrifugalakselerasjonen. Begge leddene er fiktive akselerasjoner, det vil si at de representerer tilsynelatende akselerasjoner som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende koordnatsystem. Siden akselerasjon er det samme som kraft per enhetsmasse, kalles de to fiktive kreftene over også Corioliskraft per enhetsmasse og sentrifugalkraft per enhetsmasse. 2.5 Jordens rotasjonsvektor Ω er jordens rotasjonsvektor; den er rettet oppover sett fra en fiksstjerne (i hht. høyrehåndsregelen) og har verdi Ω = 2π/T 2π/(86400 s) rad s 1. Her er T tiden til en full rotasjon (dvs. 24 timer). Ofte skrives enheten til Ω som s 1, som da er underforstått rad s 1, der rad er radianer. Sett fra det ikke-roterende fikssystemet roterer jorden mot høyre, det vil si fra vest mot øst. 2.6 Tolkning av bevegelsesligningens ledd u + u }{{} t } {{ u } adveksjon lokal endring + 1 ρ p }{{} trykk + ẑg }{{} gravitasjon = 2 Ω u Ω (Ω r) }{{}}{{} Coriolis sentrifugal + F }{{} friksjon (41) Figur 5: Orientering til Coriolisakselerasjonen (venstre) og sentrifugalakselerasjonen (høyre) i et roterende koordinatsystem på den nordlige halvkule. 2.7 Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen 2Ω u - Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system - Virker bare når det er bevegelse 15

16 - Er proporsjonal med farten u - Virker normalt på hastigheten, så bare retningen, ikke farten u, endres (se seksjon 2.7.1) - Er rettet til høyre for hastighetsvektoren u på den nordlige halvkule, se figur 5 - Er rettet til venstre på den sørlige halvkule - Er størst ved polene og fraværende ved ekvator (rent formelt gjelder det siste bare dersom bevegelsen er rettet langs jordens overflate, fordi Coriolis har en liten vertikal komponent, se seksjon 2.7.2) - Kan forenkles til fẑ u, der f = 2 Ω sin ϕ kalles Coriolisparameteren (se seksjon 2.7.3) Coriolisleddet utfører ikke arbeid Dette kan vi vise fra (3) dersom vi bare betrakter den totalderiverte av u og Coriolisleddet: Du Dt = 2 Ω u (42) Prikker vi momentumuttrykket (42) med u, får vi for adveksjonsleddet u Du Dt = D ( ) 1 Dt 2 u u = D ( ) 1 Dt 2 u2 og for Coriolisleddet (43) u ( 2 Ω u) = 0 (44) Følgelig gjelder D ( u 2 ) = 0 (45) Dt u 2 er altså bevart med bevegelsen i et system der bare Coriolis-akselerasjonen virker. Starter vi ut med en væske i ro, vil væsken forbli i ro. På tilsvarende måte, starter vi ut med en væske med hastighet u, vil u = konst. Coriolis-akselerasjonen endrer derfor retningen, men ikke absoluttverdien (eller farten), til u. Følgelig er kinetisk energi konservert, og Coriolis-leddet utfører ikke arbeid. Det siste gjelder for enhver akselerasjon (eller kraft) som virker normalt på hastighetsvektoren Coriolisakselerasjonen på komponentform Vi betrakter koordinatsystemet som vist i figur 6. Uttrykt i koordinatsystemet (x, y, z) som roterer med jorden og hvor x-aksen er rettet østover, y-aksen nordover og z-aksen radielt utover, følger det at rotasjonsvektoren Ω kan skrives på komponentform som Coriolisakselerasjonen blir da Ω = Ω(0, cos ϕ, sin ϕ) (46) 2 Ω u = 2 Ω(w cos ϕ v sin ϕ, u sin ϕ, u cos ϕ) (47) hvor u = (u, v, w) er hastighetsvektorens komponenter i (x, y, z)-retningene. Fra (47), og med hjelp av figur 6, ser vi følgende 16

17 Figur 6: Øverst: Jorden med et lokalt roterende koordinatsystem (x, y, z). x er rettet østover, y nordover og z radielt utover. Rotasjonsjonen foregår i østlig retning og er gitt ved Ω. λ betegner lengdegrad og ϕ breddegrad. Nederst, fra venstre: 2 Ω (u, 0, 0), 2 Ω (0, v, 0) og 2 Ω (0, 0, w). 17

18 u bidrar i Coriolisakselerasjonens y- og z-retninger fordi 2 Ω (u, 0, 0) er rettet radielt ut fra rotasjonsaksen, det vil si at 2 Ω (u, 0, 0) har en komponent i y-retningen og en komponent i z-retningen. Merk at 2 Ω (u, 0, 0) bidrar i to retninger siden u = (u, 0, 0) står normalt på Ω. Dette i motsetning til v- og w-komponentene som begge ligger i samme plan som Ω. v bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x-retning fordi 2 Ω (0, v, 0) er rettet i x-retningen. Merk at 2 Ω (0, v, 0) bidrar i kun en retning siden u = (0, v, 0) ligger i samme plan som Ω. w bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x -retning fordi 2 Ω (0, 0, w) er rettet i xretningen. Merk at 2 Ω (0, 0, w) bidrar i kun en retning siden u = (0, 0, w) ligger i samme plan som Ω Coriolisakselerasjonen på forenklet form Vi tar utgangspunkt i det fulle uttrykket for Coriolisakselerasjonen (47). Generelt er w mye mindre enn den horisontale hastighetskomponenten v (det samme gjelder for u). Under forutsetning av at vi holder oss borte fra ekvator, kan da leddet med w neglisjeres. Videre er Coriolisakselerasjonens z-komponent svært liten i forhold til tyngdeakselerasjonen g. Følgelig kan vi også se bort fra z-komponenten. Dette betyr Uttrykket over kan skrives som 2 Ω u 2 Ω( v sin ϕ, u sin ϕ, 0) (48) der ẑ er enhetsvektoren i z-retningen og Coriolisparameteren 2 Ω u = fẑ u (49) f = 2 Ω sin ϕ (50) Merk at Coriolisparameteren er positiv på den nordlige halvkule og negativ på den sørlige halvkule. For 45 breddegrad er f s Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen Ω (Ω r) - Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system - Er statisk; virker alltid - Er alltid rettet radielt utover i forhold til rotasjonsvektoren Ω - Reduserer gravitasjonen i radiell retning med Ω 2 r cos ϕ, der r er jordens radius of ϕ er breddegrad. Den målte gravitasjonen på jorden er derfor mindre enn om jorden ikke roterte - Gir gravitasjonen et bidrag rettet mot ekvator på nordlige og sørlige halvkule (Ω 2 r sin ϕ cos ϕ); som er grunnen til at jorden buler noe ut ved ekvator 2.9 Sentrifugalakselerasjonen på komponentform Ω (Ω r) = Ω 2 R(0, sin ϕ, cos ϕ) (51) der R er avstand fra jordens rotasjonsakse til et gitt punkt, d.v.s. R = r cos ϕ. 18

19 2.10 Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet Sentrifugalakselerasjonen kan skrives som gradienten til et potensial ( Ω 2 R 2 ) Ω (Ω r) = 2 (52) Gravitasjonen kan også skrives som gradienten til et potensial ẑg = (gz) (53) Ved å kombinere (52) og (53) får vi ẑg + Ω (Ω r) = φ (54) der φ = gz Ω2 R 2 2 Altså kan momentumligningen (3) alternativt uttrykkes (55) Du Dt + 1 p + φ = fẑ u + F (56) ρ 2.11 Derivasjon i et polarkoordinatsystem Polare koordinater Gradient-operatoren i polare koordinater (r, θ) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (303) ( = r, 1 ) r θ (57) Fra figur 7 følger det at enhetsvektorene e r og e θ kan skrives som e r = ˆx cos θ + ŷ sin θ (58) e θ = ˆx sin θ + ŷ cos θ (59) hvor ˆx og ŷ er enhetsvektorene i det faste (x, y) koordinatsystemet. Fra (58) og (59) følger det at e r θ = e θ e θ θ = e r e r r = 0 (60) e θ r = 0 (61) Divergensen til hastighetsvektoren u = e r u r + e θ u θ, sett fra det faste koordinatsystemet (x, y), 19

20 Figur 7: Kurvelineære polare koordinater i to dimensjoner med tilhørende ortogonale enhetsvektorer e r og e θ. blir da ( ) u = e r r + e 1 θ (e r u r + e θ u θ ) r θ = e r r (e ru r + e θ u θ ) + 1 r e θ θ (e ru r + e θ u θ ) ( e = e r r r u u r r + e r r + e θ r u θ + ) u θ e θ r ( + 1 r e e r θ θ u u r + e r r θ + e ) θ θ u u θ θ + e θ θ = u r r + u r r + 1 u θ r θ (62) Her har vi benyttet at e r e r = e θ e θ = 1, e r e θ = 0 og uttrykkene (60) og (61). Skråpilene viser leddene som ikke gir bidrag. Ved å kombinere de to første leddene på høyre side av uttrykket over, får vi u = 1 r r (ru r) + 1 u θ r θ (63) På tilsvarende måte finner vi at 2 φ = 1 r ( r φ ) φ r r r 2 θ 2 (64) 20

21 Polare kulekoordinater Gradient-operatoren i polare kulekoordinater (λ, ϕ, r) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (307) ( 1 = r cos ϕ λ, 1 r ϕ, ) (65) r Divergensen til hastighetsvektoren u = e λ u + e ϕ v + e r w, blir da u = 1 u r cos ϕ λ + 1 r cos ϕ v cos ϕ ϕ + 1 r 2 wr 2 r (66) Videre er φ φ = r 2 cos 2 ϕ λ r 2 cos ϕ ϕ ( cos ϕ φ ) + 1 ( ϕ r 2 r 2 φ ) r r I tilfellet med konstant r, kan det siste leddet i (66) og (67) forenkles siden r 2 -faktorene kansellerer hverandre. (67) 21

22 3 Forenklinger og anvendelser - Forenklinger basert på skalaanalyse eller gitte antagelser - Hydrostatisk tilnærming - Geostrofisk tilnærming - Termalvind - Friksjon - p- vs z-koordinater - Kompressible og ikke-kompressibel væske - Divergent og konverhent hastighetsfelt - Barotrop og baroklin væske 3.1 Avstander på en kuleflate Figur 8: Bredde- og lengdegradssirkler på en kule. Breddegradssirklene er rettet i nord-sør retningen og er gitt ved breddegradsvinkelen ϕ, og lengdegradssirklene i øst-vest retningen gitt ved lengdegradsvinkelen λ. Bredde- og lengdegradsretningene kalles også meridional og sonal retning. (Figur fra wireframe.svg). Figur 8 illustrerer bredde- og lengdegradssirkler på en kule. Det følger fra figuren at den geografiske avstanden mellom to lengdegrader avtar med økende breddegrad ϕ (mot polene), mens avstanden mellom to breddegrader er konstant. Avstanden mellom to breddegradssirkler eller to lengdegradssirkler følger fra skalafaktorene for en kule, se (307). For en breddegradsvinkel δλ = 1 grad = π/180 rad, vil utspent buelengde på jorden være r cos ϕ δλ, hvor r = m er jordens radius. Dette gir at utspent buelengde 22

23 er 111 cos ϕ km. For en lengdegradsvinkel δϕ = 1 grad = π/180 rad, vil utspent buelengde på jorden være r δϕ, eller 111 km. 3.2 Skalaanalyse For et gitt problem eksesterer det ofte karakteristiske horisontale langdeskalaer L, vertikale lengdeskalaer H, horisontale hastigheter U og tidsskalaer T. Verdiene for disse karakteristiske størrelsene varierer om vi er i atmosfæren eller i havet. Karakteristiske verdier for fri bevegelse i havet på midlere breddegrader (f.eks. 45 ) er Lengdeskala L 10 6 m Vertikal skala H 10 3 m Horisontal hastighet U 10 1 m s 1 Vertikal hastighet W 10 4 m s 1 Trykk horisontalt P 10 7 Pa Trykk vertikalt P 10 4 Pa Tetthet ρ 10 3 kg m 3 Coriolisparameter f 10 4 s 1 Gravitasjon g 10 m s Geostrofisk balanse 8 Horisontalkomponent u av bevegelsesligningen (3), når en ser bort fra friksjon, er u t }{{} U T + u u x }{{} U 2 L + v u y }{{} U 2 L + w u z }{{} W 2 H + 1 P ρ x }{{} p ρl = fv }{{} fu Innsatt verdier, følger det at trykk- og Coriolisleddene er de dominerende. Dette gir den geostrofiske balanse fu 1 p ρ y og fv 1 p (69) ρ x (68) Rossbytall Forholdstallet mellom størrelsen av adveksjon og Coriolis kalles Rossbytallet R 0 R 0 = adveksjon Coriolis U fl Det følger at geostrofisk balanse er en god tilnærming for R 0 1. For den frie atmosfæren på midlere breddegrader er typisk R Tilsvarende verdi for havet er R 0 = For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, (70) 23

24 3.2.3 Hydrostatisk balanse Vertikalkomponent av bevegelsesligningen (3), når en ser bort fra friksjon, er w t }{{} W T + u w x }{{} W 2 L + v w y }{{} W 2 L + w w z }{{} W 2 H + 1 p ρ z }{{} P ρh + g = 0 (71) }{{} g Innsatt verdier følger det at trykk- og gravitasjonsleddene er de dominerende. Dette gir den hydrostatiske balanse p = ρg (72) z 3.3 Geostrofisk balanse Dersom vi definerer den geostrofiske hastighet u g til å tilfredsstille (69), får vi u g = 1 p fρ y (73) eller v g = 1 p fρ x (74) u g = 1 p (75) fρẑ Eksempel, geostrofisk balanse Oppgave 4, side 136 i Marshall & Plumb. Vi betrakter et lavtrykkssystem på den sørlige halvkule sentrert på 45 S, og med trykket ved havnivå gitt med p = 1000 hpa p exp r2 /R 2 (76) der p = 20 hpa og R = 500 km. Trykkfordelingen gitt ved (76) beskriver et symmetrisk lavtrykk med et sentertrykk på 980 hpa og hvor trykket øker radielt. Geostrofisk balanse gir, fra uttrykk (75), u g = 1 ẑ p (77) fρ Siden lavtrykket er radielt symmertrisk, er det hensiktsmessig å uttrykke geostrofi-balansen i polarkoordinater. Fra (338) har vi at gradienten til p (en skalar størrelse) kan skrives som p p = ê r r + ê 1 p θ r θ (78) Det følger da at ẑ p = ê r ê θ ẑ p r 1 r p 0 θ = 1 p êr r θ + ê p θ r (79) 24

25 Den radielle geostrofi-komponenten er u gr = 1 p frρ θ og den azimutale komponenten er u gθ = 1 p fρ r Siden p i (77) ikke varierer med θ, følger det at (80) (81) u gr = 0 (82) Sirkulasjonen foregår altså i sin helhet langs linjer med konstant r, det vil si langs isobarene. Den azimutale komponenten i (81) framkommer ved å derivere p med hensyn på r p 2r 2 = p /R 2 r R 2 exp r som gir u gθ = 1 2r 2 p /R 2 fρ R 2 exp r Siden f < 0 på den sørlige halvkule følger det at sirkulasjonen er rettet med klokken. Maksimal geostrofisk hastighet finner vi ved å søke ekstremverdien til u gθ / r, det vil si den r som tilfredsstiller u gθ r = 0 (85) Fra (84) følger det at Uttrykket over kan forenkles til 1 fρ p 2 2 /R 2 1 2r R 2 exp r + p fρ R 2 (83) (84) ( ) 2r exp r2 /R 2 = 0 (86) R 2 1 2r2 R 2 = 0 eller r = R 2 (87) Maksimal hastighet finnes altså for r = R/ 2, som gir u gθ (r = R/ 2) = 1 2 fρ p R exp 1/2 (88) Innsatt de oppgitte verdiene, får vi u gθ (r = R/ [ 2) = ] exp 1/2 hvor vi har brukt ρ = 1.2 kg m 3, p = 20 hpa = 2000 Pa og f < 0. m s 1 = 23.8 m s 1 (89) Oppsummert: Maksimal hastighet på 23.8 m s 1 oppstår i en avstand r = R/ 2 = 354 km fra lavtrykkets sentrum. 3.4 Geostrofisk balanse i trykk-kordinater Det er ofte hensiktsmessig å kvitte seg med tettheten ρ i (73)-(75). Dette kan gjøres ved å gå over fra høyde z til trykk p som vertikal koordinat. Den hydrostatiske ligningen benyttes for denne transformasjonen. Vi betrakter først hvordan / x kan skrives med trykk som vertikal koordinat. 25

26 Figur 9: Illustrasjon på overgang mellom z- og p-koordinater. Langs den blå krumme linjen er trykket p konstant. Langs den horisontale blå linjen er z konstant. Fra figur 9 følger det at p x = p B p A z δx = p B p C δx hvor vi har benyttet at p A = p C siden p er konstant langs isobaren i figur 9, og hvor subskrift z betegner at derivasjonen utføres langs linjen z = konst. Den hydrostatiske ligningen gir at hvor p 0 er en konstant. Fra figur 9 følger det da at eller (94) innsatt i (90) gir (90) p = ρ g (91) z p = p 0 ρ g z (92) p C p B = ρ g δz (93) p B p C = ρ g δz (94) p x = ρ g δz z δx (95) p Her betegner subskrift p at derivasjonen utføres langs linjen p = konst. Dette er en direkte følge av antagelsen i (90). For små δx, δz, følger det at p x = ρ g z z x (96) p Tilsvarende får vi for / y at p y = ρ g z z y (97) p 26

27 Dette betyr at den geostrofiske ligningen kan uttrykkes i trykk-koordinater som u g = g f ẑp p z (98) eller på komponentform u g = g ( ) z f y v g = g ( ) z f x Merk at tettheten ρ ikke inngår i uttrykkene over. p p (99) (100) 3.5 Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater ( z/ x) p = konst < 0, ( z/ y) p = 0 og f > 0 I dette tilfellet er vi på den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot øst, se venstre del av figur 10. Fra (99) og (100) følger det at u g = 0 og v g < 0, det vil si at den geostrofiske vinden har en sørlig komponent (i negativ y-retning). Figur 10: Illustrasjon av ( z/ x) p og ( z/ y) p i det geostrofiske uttrykket (98) på den nordlige halvkule (f > 0). z p betegner enhetsvektoren normalt på isobarflatene ( z/ x) p = 0, ( z/ y) p = konst < 0 og f > 0 Vi er på den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot nord, se høyre del av figur 10. Fra (99) og (100) følger det at u g > 0 og v g = 0, det vil si at den geostrofiske vinden har en østlig komponent (i positiv x-retning) Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar 2009 Retning og fart til den geostrofiske vinden kan utledes fra et synoptisk værkart, se figur 11. Hastigheten ved den røde sirkelen er omtrentlig gitt ved x-konponenten av (98): u g = g ( ) z (101) f y p 27

28 Figur 11: Synoptisk værkart for høyden z til isobarflaten p = 250 hpa (blå konturlinjer) og vindhastighet (piler). Den røde sirkelen er sentrert på ca. 62 grader nord og det røde linjestykket dekker ca. fire breddegrader. Den blå sirkelen er sentrert på ca. 54 grader nord og det blå linjestykket dekker ca. fire lengdegrader. Høydeforskjellen mellom høydekonturene er 40 m. Figur fra Marius Opsanger Jonassen (Geofysisk institutt, UiB) basert på Hirlam24 og plottet med Diana. 28

29 Her er f s 1 for 62 N. Videre er avstanden av det røde linjestykket δy = m og høyden over samme linjestykke, i positiv y-retning (nordover), avtar med δz 220 m. Vi får da [ ] u g = m s 1 = 39.6 m s 1 (102) Den geostrofiske hastigheten i punktet med den røde sirkelen er altså ca. 40 m s 1 i østlig retning. Tilsvarende finer vi hastigheten ved den blå sirkelen er omtrentlig gitt ved y-konponenten av (98): u g = g ( ) z f x For 52 N er f s 1. Videre er avstanden av det brå linjestykket δx = cos(52 ) m og høyden over samme linjestykke, i positiv x-retning (østover), øker med δz 110 m. Vi får da [ ] v g = m s 1 = 32.2 m s 1 (104) cos(52 ) Den geostrofiske hastigheten i punktet med den blå sirkelen er altså ca. 32 m s 1 i nordlig retning. p (103) 3.6 Termalvind, generelt uttrykk Geostrofi gir oss vinden for konstant høyde z, ligning (75), eller for konstant trykk p, ligning (98). For å kunne si noe om hvordan u g varierer i vertikal-retningen, ser vi på hvordan variasjoner i tettheten ρ påvirker den geostrofiske balansen i z-retningen. Ofte kan vi skrive tettheten ρ som ρ = ρ 0 + σ (105) der ρ 0 er konstant (en referansetetthet) og σ/ρ 0 1. Fra (105) følger det at ρ x = σ x Deriverer vi (75) med hensyn på z og bruker at får vi og ρ y = σ y (106) 1 ρ = 1 ρ 0 + σ 1 (107) ρ 0 u g z = 1 fρ 0 ( ) p y z ( ) p z v g z = 1 fρ 0 x Hydrostatisk tilnærming fra ligning (72) innsatt i parentesene over, samt bruk av (106), gir u g z = g σ fρ 0 y (108) (109) (110) v g z = g σ fρ 0 x (111) eller u g z = g ẑ σ fρ 0 (112) Uttrykket (112) viser at den horisontale tetthetsgradienten σ gir opphav til et vertikalt hastighetsskjær u g / z. En generell tilstandsligning på formen (105) gir altså opphav til en termalvind på formen (112). 29

30 3.7 Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater Vi tar her utgangspunkt i geostrofisk uttrykk i trykk-koordinater (98). Dersom vi deriverer dette uttrykket med hensyn på p og bruker den hydrostatiske tilnærmingen får vi og u g p = g f p z = ρ g eller z p = 1 ρg y ( ) z = g p p f v g p = 1 f ( 1 ) = 1 y ρg p f x ( ) 1 ρ p y ( ) 1 ρ p (113) (114) (115) Den ideelle gassloven (4) beskriver sammenhengen mellom p, ρ og T for tørr luft på en god måte. Fra (4) har vi at 1 p = ρrt eller ρ = RT (116) p Høyre uttrykk i (116) innsatt i (114) og (115), gir eller u g p = R fp ( T y ) v g p = R ( ) T fp x p p (117) (118) u g p = R fpẑp p T (119) 3.8 Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer Integrerer vi (117) mellom de to isobarflatene p = p 1 og p = p 2, får vi p2 u g p 1 p dp = R { p2 ( ) } 1 T dp (120) f p 1 p y p = R ( ) T p2 1 dp (121) f y p 1 p I den siste overgangen har vi brukt at T representerer middelverdien av T mellom isobarflatene p = p 1 og p = p 2, betegnet T. Siden x 1 dx = ln x, følger det at u T u g (p 2 ) u g (p 1 ) = R f ln p ( 2 T p 1 y p = R f ln p 1 p 2 ) ( T y p ) p (122) (123) 30

31 der u T er x-komponenten til termalvindvektoren u T, og hvor vi i siste overgang har brukt at ln(a/b) = ln(b/a). Tilsvarende får vi for y-komponenten: v T v g (p 2 ) v g (p 1 ) = R f ln p ( ) 1 T p 2 x p Termalvind-komponentene (123) og (124) kan uttrykkes på vektorform (124) u T = u g (p 2 ) u g (p 1 ) = R f ln p 1 p 2 ẑ p p T (125) Merk at det er hensiktsmessig å bruke ln(p 1 /p 2 ) i termalvinduttrykkene siden ln(p 1 /p 2 ) > 0 for p 1 > p Tolkning av termalvind Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind Det følger fra (125) at termalvind er differansen mellom geostrofisk vind på to isobarflater. Termalvinden sier derfor hvor stort det vertikale hastighetsskjæret er. Kjenner vi to av de tre vektorene u g (p 1 ), u g (p 2 ) og u T, kan vi utlede den tredje vektoren direkte fra vektorsummen u g (p 1 ) + u T = u g (p 2 ) (126) Orientering Det følger fra (125) at u T er rettet normalt på p T, det vil si parallelt med isotermene. På den nordlige halvkule vil lav temperatur ligge til venstre for u T (til høyre på den sørlige halvkule grunnet fortegent til f) p T = 0 Dersom den horisontale middeltemperaturen mellom isobarflatene avgrenset av p = p 1 og p = p 2 er konstant, p T = 0, følger det fra (125) at u g (p 1 ) = u g (p 2 ), det vi si at den geostrofiske vinden er uendret i høydeintervallet avgrenset av isobarflatene p 1 og p 2. Gjelder dette for hele atmosfæren, sier vi at atmosfæren er barotrop. Det er da uniform vertikal hastighet i atmosfæren p T = konst 0 I dette tilfellet vil u g (p 1 ) u g (p 2 ), det vi si at vi har et vertikalt vindskjær. Atmosfæren er da baroklin. Dersom vi antar at p = p 1 representerer bakketrykket og at u g (p 1 ) er liten ved bakken (det vil si at u g (p 1 ) 0), følger det fra (125) at u T og u g (p 2 ) øker når p 2 avtar, og at økningen skalerer med ln(p 1 /p 2 ). Derfor øker den termale vinden med høyden så lenge det er en horisontal temperaturgradient mellom p 1 og p 2. 31

32 3.9.5 ( T / y) p = konst < 0, ( T / x) p = 0 og f > 0 I dette tilfellet er vi på den nordlige halvkule og temperaturen avtar mot nord, se figur 12. Fra (123) og (124) ser vi at u T > 0 og v T = 0, det vil si at den termiske vinden har en østlig komponent (i positiv x-retning). Figur 12: Illustrasjon av tilfellet ( T / y) p = konst < 0, ( T / x) p = 0 og f > 0. Merk at den resulterende termalvinden er rettet i positiv x-retning. Det er temperaturgradienten mellom sør og nord som er opphavet til at jetstrømmene er østlig rettet på den nordlige halvkule ( T / y) p = konst > 0, ( T / x) p = 0 og f < 0 I dette tilfellet er vi på den sørlige halvkule og temperaturen avtar mot sør. Siden både (T / y) p og f har motsatt fortegn i forhold til tilfellet i seksjon (3.9.5), gir denne konfigurereingen samme dynamikk som i seksjon (3.9.5), altså er jetstrømmen østlig rettet også på den sørlige halvkule ( T / x) p = konst > 0, ( T / y) p = 0 og f > 0 I dette tilfellet er vi på den nordlige halvkule og temperaturen øker mot øst, se figur 13. Fra (123) og (124) ser vi at u T = 0 og v T > 0, det vil si at den termiske vinden har en nordlig komponent (i positiv y-retning) Kald og varm adveksjon Termalvinden diskutert i seksjon (3.9.5) kan representeres som vist i figur 14, med avtagende temperatur mot nord og u T rettet østover. Dersom den geostrofiske vinden på nivå p = p 1 er rettet mot lavere temperatur (nordover), se venstre del av figur 15, følger det fra vektorsummen (125) at u g (p 2 ) er dreiet med klokken i forhold til u g (p 1 ). I tillegg følger det at den geostrofiske vinden bringer varm luft med seg. Dette kalles varm adveksjon. Dersom u g (p 1 ) betegner vinden på bakkenivå, betyr dette at vinden dreier stadig mer til høyre relativt u g (p 1 ) når en beveger seg oppover i atmosfæren. 32

33 Figur 13: Illustrasjon av tilfellet ( T / x) p = konst > 0, ( T / y) p = 0 og f > 0. Merk at den resulterende termalvinden er rettet i positiv y-retning. Figur 14: Illustrasjon på termalvind u T for et temperaturfelt som avtar mot nord. Figur 15: Som figur 14 og for en antatt nord-rettet u g (p 1 ) (figur til venstre) og sør-rettet u g (p 1 ) (figur til høyre). 33

34 På tilsvarende måte viser den høyre del av figur 15 en situasjon der u g (p 1 ) er rettet mot høyere temperatur (sørover). I dette tilfellet er u g (p 2 ) dreiet mot klokken i forhold til u g (p 1 ), og den geostrofiske vinden bringer kald luft med seg. Dette kalles kald adveksjon. Dersom u g (p 1 ) betegner vinden på bakkenivå, betyr dette at vinden dreier stadig mer til venstre relativt u g (p 1 ) når en beveger seg oppover i atmosfæren. Siden temperaturen avtar mot begge polene, følger det fra diskusjonen over at den geostrofiske vinden vil alltid og uavhengig av retningen til u g (p 1 ) dreies mot øst når en beveger seg oppover i atmosfæren. Det er følgelig den fallende temperaturen når vi går fra tropene til høyere (nordlige og sørlige) breddegrader som gjør at vi har østlig rettet vind i høyden når vi fjerner oss fra ekvator Idealisert eksempel Anta den horisontale temperaturgradienten er konstant på alle trykk-nivåer i troposfæren, og gitt ved pt = 20 K 1000 km î (127) Ved bakken er trykket p 1 = 1000 hpa og u g(p 1) = v g(p 1) ĵ = 5 m s 1 ĵ. Hva er vinden ved p 2 = 700 hpa og p 3 = 500 hpa? Anta vi er på 45 grader nord. Siden pt bare har en x-komponent, er det bare y-komponenten av termalvinden, uttrykk (124), som gir bidrag: v g(p 2) = v g(p 1) + R ( ) p1 T ln (128) f p 2 x p For p 2 = 700 hpa = Pa, får vi v g(p 2) = [ (ln 1 ) På tilsvarende måte får vi for p 3 = 500 hpa = Pa [ v g(p 3) = (ln 1 ) ] 20 m s 1 = 25.5 m s 1 (129) ] m s 1 = 44.8 m s 1 (130) Altså øker vinden med høyden, fra 5 m s 1 ved bakken til 25.5 m s 1 ved 700 hpa og 44.8 m s 1 ved 500 hpa Eksempel basert på klimatologi Figur (16) viser observasjons-basert sonal vind og sonal temperatur for månedene desember-januarfebruar. På den nordlige halvkule ser vi at jetstrømmen har maksimal verdi på vel 40 m s 1 på 200 hpa. Årsaken til at jetstrømmen har maksimal verdi på ca. 30 grader nord er at den horisontale temperaturgradienten er størst og har samme fortegn for denne breddegraden. Dette gjelder for trykkintervallet mellom overflaten og opp til ca. 200 hpa. Over 200 hpa skifter den horisontale temperaturgradienten fortegn, og følgelig avtar den sonale jetstrømmen for p < 200 hpa. Jetstrømmens hastighet ved 200 hpa kan estimeres ved å se på det termale bidraget rundt 30 N. Siden helningen til isotermene varierer en del mellom overflaten (p = 1000 hpa) og p = 200 hpa, er det misvisende å gi én verdi for temperaturgradienten for hele dette trykkintervallet. Men vi kan dele trykkintervallet fra p = 1000 hpa til p = 200 hpa i mindre delintervaller og anslå midlere temperaturgradient og beregne termalvind for hvert av disse trykkintervallene. 34

35 Figur 16: Atmosfærisk reanalyse (kombinert observasjoner og modell) for en typisk vintersesong desember-januar-februar. Øvre panel viser sonalt midlet vind (legg merke til jetstrømmene pa 45 S og 30 N pa ca. 200 hpa). Nedre panel viser sonalt midlet temperatur med heltrukken rød linje pa 30 N. Data fra NCEP/NCAR. 35

36 For å estimere temperaturgradienten for hvert trykkintervall, kan vi bruke de vertikale hjelpelinjene på 20 N og 40 N i nederste panel av figur 16. For intervallet mellom p 1 = 1000 hpa og p 2 = 800 hpa er den sonale temperaturgradienten ( T / y) 900 hpa (0 17) K/( km). Helt ved bakken kan vi anta u g(p 1) 0 m/s. Vi får da u ( p 2) = R f [ = ln p1 p ( ) T y p (ln ) ] 17 m s 1 = 6.7 m s 1 (131) For intervallet mellom p 2 = 400 og p 3 = 800 hpa er den sonale temperaturgradienten ( T / y) 600 hpa ( 16 1) K/( km). Dette gir u g(p 3) = u g(p 2) R f [ = 6.7 ln p2 p ( ) T y p (ln ) ] 17 m s 1 = 27.6 m s 1 (132) For intervallet mellom p 3 = 400 og p 4 = 200 hpa er den sonale temperaturgradienten ( T / y) 300 hpa ( 49 ( 34)) K/( km), som gir u g(p 4) = u g(p 3) R f [ = 27.6 ln p3 p ( ) T y p (ln ) ] 15 m s 1 = 46.0 m s 1 (133) Merk at u g(p 4) er i bra samsvar med jetstrømmens faktiske styrke på > 40 m s 1 som vist i øverste panel av figur(16). Vi kan også estimere vindhastigheten for trykket p 5 = 100 hpa. Den sonale temperaturgradienten ( T / y) 150 hpa ( 57 ( 66)) K/( km), som gir u g(p 5) = u g(p 4) R ( ) p4 T ln f p 5 y p [ 287 = 46.0 (ln 2 ) ] m s 1 = 35.0 m s 1 (134) u g(p 5) er i bra samsvar med reanalysens vind for p = 100 hpa på rundt 30 m s Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater Figur (17) viser to identiske luftsøyler (blå farge). Trykket på oversiden av søylene er lik, p = p 1. Varmer vi opp søylen til høyre vil søylen bli høyere grunnet termisk ekspansjon av luften. Dersom vi ikke har noen dynamisk respons til at søylen blir høyere, vil trykket på oversiden av den oppvarmede søylen fremdeles være p = p 1. Ser vi bort fra dynamisk respons, er det kun endring av temperaturen som kan endre søylens høyde. Det siste følger ved å kombinere den hydrostatiske ligningen (72) og den idelle gasslov (4): p = ρg (135) z 36

37 Figur 17: Illustrasjon på termisk ekspansjon av en luftsøyle. og Setter vi tettheten ρ fra (136) inn i (135), får vi p = ρrt (136) eller p z = gp RT (137) p p = g z (138) RT Integrerer vi uttrykket over fra høyden z = z 1 til z = z 2, får vi eller p(z2) p(z 1) p z2 p = g z (139) z 1 RT ln p(z 2) p(z 1 ) = g RT (z 2 z 1 ) (140) Her betegner T middelverdien av T mellom z = z 1 og z = z 2. Uttrykket over kan alternativt skrives z 2 z 1 = RT g ln p 1 (141) p 2 Uttrykket (141) kalles den hypsometriske ligningen. Fra (141) følger det at endringer i høyden mellom isobarflatene p = p 1 og p = p 2, gitt ved z 2 z 1, kan bare oppstå grunnet endringer i temperaturen T. Og siden ln(p 1 /p 2 ) > 0 for p 1 > p 2, fører økende T til at høydeforskjellen z 2 z 1 øker (og motsatt for avtangende T ). Uttrykket (141) kan benyttes for å tallfeste effekten av termisk ekspansjon av luft. Dersom temperaturen stiger med 1 K mellom p 1 = 1000 hpa og p 2 = 500 hpa, følger det at z 2 z 1, det vil si avstanden mellom p = p 1 og p = p 2, øker med 20.3 m. Vi har her brukt at R = 287 J kg 1 K 1 og g = 9.8 m s 2 (samt at enhetene 1 J = 1 kg m 2 s 2 ). Siden verdien av R gjelder for tørr luft, gjelder utregningen over for tørr luft, som er en god antagelse for atmosfæren. 37

38 Sammenhengen i variasjon mellom middeltemperatur T og avstanden mellom to isobarflater z 2 z 1 betyr at temperaturgradientene i figurene (12)-(15) også er et bilde på hvordan avstand mellom to isobarflater endrer seg. Merk at det er (141) som gir hvorfor isobarflatene ligger høyt i tropene (hvor det er varmt) og lavt på høye breddegrader (hvor det er kaldt) Anvendelse av trykk- og høydegradient Figur 18: Illustrasjon på resulterende trykk- og høydegradient basert på figur 17. Dersom det ikke er en dynamisk respons til at søylen i figur 17 blir høyere, vil trykket på oversiden av den oppvarmede søylen fremdeles være p = p 1. Betrakter vi trykket p på et konstant nivå z mellom de blå og røde søylene, følger det at trykket over den blå søylen tilfredstiller p < p 1, mens trykket på samme z-nivå for den røde søylen tilfredsstiller p > p 1 (øvre del av figur 18). Trykkdifferansen mellom den røde og blå søylen vil sette opp en trykk-gradient som vist med den røde pilen. Det vil derfor strømme varm luft mot venstre. Grunnet Coriolis-effekten vil den varme luftadveksjonen bøyes av til høyre på den nordlige halvkule; den resulterende luftstrømmen vil altså være rettet inn i figurplanet. Dersom y er rettet nordover, er dette varmluftsadveksjon tilsvarende venstre del av figur 15. Merk at denne betraktningen er gjort for konstant høyde z, altså konsistent med det geostrofiske uttrykket (75) og termalvinduttrykket (112). Alternativt kan vi betrakte helningen til isobaren p = p 1, se nederste del av figur 15. I dette 38

39 tilfellet avtar z med økende y, altså er høydegradienten ( z/ y) p rettet nedover mot venstre. Dette fører til at varm luft strømmer mot venstre, og grunnet Coriolis-effekten vil den varme vinden bøyes av til høyre på den nordlige halvkule. I motsetning til tilfellet i avsnittet over, er denne betraktningen gjort for konstant trykk p, altså konsistent med det geostrofiske uttrykket (98) og termalvinduttrykket (119) Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne Et vinterlavtrykk på den nordlige halvkule har gjerne en kald kjerne. Hvordan endrer vinden seg med høyden i et slikt system? Se bort fra friksjon. Venstre del av figur 19 viser et lavtrykk på den nordlige halvkule. Sirkulasjonen følger isobarene og er rettet mot klokken. Ved bakken er den geostrofiske vinden langs positiv y-akse rettet vestover (u g (p 1 ) i figuren). På tilsvarende måte er geostrofisk vind langs negativ x-akse rettet sørover (v g (p 1 ) i figuren). Høyre del av figuren indikerer at temperaturen er lavest i lavtrykkets sentum (blå farge). Dette betyr at langs den positive y-aksen er termalvinden rettet vestover, i samme retning som u g (p 1 ). Langs den negative x-aksen er termalvinden rettet sørover, i samme retning som v g (p 1 ). u g (p 2 ) har følgelig samme orientering som u g (p 1 ), og fra (126) følger det da at u g (p 2 ) > u g (p 1 ). Følgelig øker vinden med høyden i et lavtrykk med kald kjerne Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne Orkaner og tyfoner er eksempler på lavtrykk med varm kjerne. Hvordan endrer vinden seg med høyden i et slikt system? Se bort fra friksjon. Venstre del av figur 20 viser et lavtrykk på den nordlige halvkule. Sirkulasjonen følger isobarene og er rettet mot klokken. Ved bakken er den geostrofiske vinden langs positiv y-akse rettet vestover (øvre u g (p 1 ) i figuren). På tilsvarende måte er geostrofisk vind langs negativ y-akse rettet østover (nedre u g (p 1 ) i figuren). Høyre del av figuren indikerer at temperaturen er høy i lavtrykkets sentum (rød farge). Dette betyr at langs den positive y-aksen er termalvinden rettet østover, i motsatt retning av den øverste u g (p 1 ) i figuren. Langs den negative y-aksen er termalvinden rettet vestover, i motsatt retning av den nederste u g (p 1 ). Fra (126) følger det da at u g (p 2 ) < u g (p 1 ). Følgelig avtar vinden med høyden i et lavtrykk med varm kjerne. Orienteringen til u g (p 2 ) relativt u g (p 1 ) avhenger av u g (p 1 ) og u T. I en orkan kan gjerne u g (p 1 ) = 30 m s 1 og u T = 25 m s 1. I så fall er u T = 5 m s 1 og rettet i samme retning som u g (p 1 ). 4 Energioverføring i atmosfæren 4.1 Spinnsatsen Spinnet L til en partikkel med masse m og hastighet v er definert som L = r mv (142) 39

40 Figur 19: Lavtrykk på nordlige halvkule med en kald kjerne. De blå sirulære kurvene indikerer lavtrykkets isobarer (med lavest trykk i sentrum), mens fargen i høyre del av figuren angir lavtrykkets temperatur. u g (p 1 ) er geostrofisk vind ved bakkenivå, u g (p 2 ) geostrofisk vind i høyden og u T den termale vinden. Figur 20: Lavtrykk på nordlige halvkule med en varm kjerne. De blå sirulære kurvene indikerer lavtrykkets isobarer (med lavest trykk i sentrum), mens fargen i høyre del av figuren angir lavtrykkets temperatur. u g (p 1 ) er geostrofisk vind ved bakkenivå, u g (p 2 ) geostrofisk vind i høyden og u T den termale vinden. 40

41 der r er avstandsvektoren (minste avstand) mellom partikkelen og spinnaksen. Merk at r ikke er jordens radius, men vektoren r i figur 21. Spinnet kalles også anguært momentum, drivmoment Figur 21: Jorden med rotasjonsvektor Ω, radius a og vektor r fra rotasjonsaksen og et punkt på breddegrad ϕ. og bevegelsesmengdemoment. Den tidsderiverte av spinnet gir spinnsatsen dl dt = dr dt mv + r d dt (mv) = v mv + r F = r F (143) der F er kraften som virker på partikkelen (Newtons 2. lov; F = ma). Dersom F r eller F = 0, følger det at L = konst (144) Uttrykk (144) sier at spinnet L er konservert dersom det ikke virker krefter F på partikkelen Atmosfærens spinn i sonal retning Absoluttverdi av spinnet per enhetsmasse A er A = L m = r v (145) For atmosfæren består spinnet i sonal retning, eller i lengdegradsretningen, av to komponenter: Jordens rotasjon pluss atmosfærens fart i forhold til jorden. Atmosfærens absoluttverdi av spinnet per enhetsmasse i sonal retning kan derfor skrives som A = r Ω r e λ + r u e λ = Ω r 2 + u r = Ω r 2 + u r (146) }{{}}{{} jordens rot sonal vind 41

42 I (146) har vi brukt at en partikkel i atmosfæren roterer med jorden i sonal retning med en fart Ω r (se 400) og at partikkelen generelt har en sonal fart u i forhold til jorden. Siste overgang på høyre side av (146) er gyldig siden vindfarten u er liten i forhold til jordens rotasjonsfart Ω r, som betyr at summen Ω r 2 + u r er positiv. Siden atmosfærens tykkelse er svært liten i forhold til jordens radius a, kan a brukes som en tilnærming for punktets avstand fra jordens sentrum. Fra figur 21 følger det da at r a cos ϕ, slik at A = Ωa 2 cos 2 ϕ + ua cos ϕ (147) Eksempel, verdier for atmosfærens spinn i sonal retning Kommer Eksempel, sammenheng mellom spinnsatsen og sonal komponent av momentumligningen Kommer Oppdriftsfrekvens/Brunt-Väisälä frekvensen En sentral størrelse i alanyse av dynamikken i atmosfæren og i havet er oppdriftsfrekvensen eller Brunt-Väisälä frekvensen N (enhet s 1 ). Brunt-Väisälä frekvensen gir den frekvensen en væskepartikkel vil beskrive dersom væskepartikkelen forsyves i forhold til det nivået der partikkelen har nøytral oppdrift. Nøytral oppdrift vil si at partikkelen har samme tetthet som omgivelsene, det vil si at det ikke virker en vertikal oppdriftskraft på partikkelen. Brunt-Väisälä frekvensen kan utledes basert på figur 22. Vi betrakter en væskepartikkel på Figur 22: Illustrasjon på en væskepartikkel med areal δa og høyde δz som løftes fra z = z 1 til z = z 2. Partikkelens tetthet er ρ 1 som også er lik omgivelsenes tetthet ved z = z 1. Omgivelsenes tetthet ved z = z 2 er ρ 2 < ρ 1. 42

43 nivå z 1. Partikkelen har samme tetthet som omgivlsene, ρ 1. Det virker derfor ingen krefter på partikkelen. Ligger partikkelen i ro ved et tidspunkt, vil partikkelen derfor forbli i ro. Væskepartikkelen løftes så til nivå z 2, der z 2 > z 1. Omgivelsene på nivå z 2 har tetthet ρ 2, der ρ 2 < ρ 1. Siden partikkelen ved nivå z 2 har større tetthet enn omgivelsene ved samme nivå, vil partikkelen synke. Kraften F som virker på væskepartikkelen på nivå z 2 er lik differansen mellom partikkelens gravitasjonsbidrag g V ρ 1 og bidraget fra den omkringliggende væsken g V ρ 2, der V = δa δz er partikkelens volum (Arkimedes prinsipp): F = gv (ρ 2 ρ 1 ) (148) Siden ρ 2 < ρ 1, er F rettet i negativ z-retning. Partikkelen vil derfor akslereres i samme retning. Partikkelens tetthet er en funksjon av z. Taylorrekkeutvikling til laveste orden (se seksjon A.13) gir da at δρ ρ z (149) Videre kan vi tilnærme ρ 2 ρ 1 δρ (150) slik at (148) kan skrives Newtons 2. lov gir at F = gv ρ z (151) F = ma = m d2 dt 2 (152) hvor massen m = ρ 1 V. Kombinert med (151) gir dette eller ρ 1 V d2 dt 2 ρ 1 V d2 dt 2 + ρ 1V ρ = gv z (153) ( g ) ρ = 0 (154) ρ 1 z (154) kan alternativt skrives som d 2 dt 2 + N 2 = 0 (155) hvor N er oppdriftsfrekvensen eller Brunt-Väisälä frekvensen N 2 g ρ ρ z Differensialligningen (155) er ligningen for en udempet svingning med løsning (156) δz = C 0 cos(nt) + C 1 sin(nt) (157) hvor C 0 og C 1 er konstanter (bestemt av initialbetingelser). Løsningen (157) uttrykker at en væskepartikkel som forflyttes fra et nivå med nøytral oppdrift vil beskrive en vertikal svingning med frekvens N. 43

44 Løftes partikkelen som vist i figur 22, vil partikkelen først falle siden oppdriftskraften F er rettet i negativ z-retning. Oppdriftskraften reduseres ettersom partikkelen nærmer seg z = z 1. Ved z = z 1 virker det ingen kraft på partikkelen, men partikkelen vil fortsette å falle i negativ z-retning grunnet patikkelens negative z-hastighet ved z = z 1. For z < z 1 er oppdriftskraften F rettet i positiv z-retning. Partikkelen vil derfor stoppe på et nivå z < z 1, før partikkelen begynner å stige. Når partikkelen når z = z 1 er oppdriftskraften F = 0, men partikkelen vil fortsette å stige grunnet partikkelens positive z-hastighet ved z = z 1. På denne måten vil enhver partikkel som er forskyvet vertikalt oscillere. Svingningen vil fortsette helt til friksjon stopper svingningen. Svingefrekvensen N avhenger av størrelsen på den vertikale stratifiseringen til den omkringliggede væsken ρ/ z. Svak stratifisering, det vil si liten ρ/ z, vil gi lang svingeperiode. Sterk stratifisering, eller stor ρ/ z, vil gi kort svingeperiode. Er den vertikale bakgrunnsstratifiseringen symmetrisk om z = z 1 vil partikkelen svinge symmetrisk mellom z = z 1 + og z = z 1. Det er en rekke eksempler på vertikale svingninger i atmosfæren og i havet generert av små vertikale forskyvninger av væskepartikler. Det best kjente eksempelet er kanskje lebølger nedstrøms av fjell (som kan generere linseskyer) og interne bølger i havet. 4.3 Redusert gravitasjon Redusert gravitsjon g er en ofte forekommende størrelse i dynamisk meteorologi og oseanografi. Redusert gravitasjon er definert som g g ρ ρ ref (158) hvor g er standard gravitasjon, ρ er vertikal tetthetsforskjell i en væske og ρ ref er en typisk verdi for væsken(es) tetthet. For en væske som er stabilt stratifisert, er g > 0. En stabilt stratifisert væske betyr at væskens tetthet avtar med høyden, det vi si i positiv z-retning, slik at ρ/ z < 0. Dersom ρ/ z > 0, seier vi at væsken er statisk ustabil. Sistnevnte tilstand vil føre til vertikal blanding inntil væsken oppnår nøytral eller positiv stratifisering. For havet er typisk 1024 kg m 3 < ρ < 1028 kg m 3. (158) endrer seg lite om vi velger ρ ref = 1024 kg m 3, 1026 kg m 3 eller 1028 kg m 3. g er derfor bestemt av ρ. Dette gir oss en frihet til å bruke den ρ ref som forenkler et uttrykk så lenge ρ ref er representativ for de væskene vi betrakter. (158) brukes for å uttrykke at gravitasjonen fører til en akselerasjon i z-retningen bare dersom partikkelens tetthet er ulik tettheten til den omkringliggende væsken. 44

45 Figur 23: øverst: Illustrasjon på et laboratorieeksperiment med et rundt roterende kar med med en tung (grøn) væske i sentrum og en lettere (hvit) væske utenfor. Grunnet rotasjonen holder den tunge væsken seg i en konisk sektor rundt rotasjonsaksen. Figur 7.16 i Marshall & Plumb (2008). Nederst: NCAR/NCEP reanalyse av sonalt midlet potensiell temperatur. Den heltrukne linjen er rettet langs en isobar. De gule og hvite pilene betegner to ulike veier fra det nederste til det øverste røde punktet på isobaren. Figur fra 40 Atlas/docs/section D25/parameter zmpttp.html. 45

46 4.4 Margules sammenheng 9 Margules sammenheng er illustrert i figur 23: I et roterende system vil en tung væske beskrive en konisk form rundt og opp langs rotasjonsaksen på tross av at gravitasjonskraften prøver å smøre den tunge væsken horisontalt utover. Kraftbalansen mellom gravitasjon og rotasjon som opprettholder den koniske formen til den tunge væsken kan utledes ved å betrakte trykkendringen mellom de to røde punktene på figur 23. For det første har vi at trykket p varierer i retningene y og z, det vil si at p = p(y, z). Taylorrekkeutvikling av p til laveste orden gir (se seksjon A.13) δp = p p δy + δz (159) y z Trykkendringen langs vei 1 og vei 2 i fugur (23) må være lik, slik at ( ) ( ) p p p δy + y z δz p = δy + y z δz vei 1 vei 2 (160) Hydrostatisk tilnærming gir sammenhengen mellom vertikal endring av p og gravitasjon (161) innsatt i 160 gir Ved å dividere (162) med δy, får vi p = ρg (161) z p 1 y δy ρ 1gδz = p 2 y δy ρ 2gδz (162) eller Fra figur 23 følger det at (164) kombinert med (165) gir p 1 y ρ 1g δz δy = p 2 y ρ 2g δz δy δz δy = p 1 y ρ2 y g (ρ 1 ρ 2 ) tan γ = δz δy p 1 y ρ2 y tan γ = g (ρ 1 ρ 2 ) (163) (164) (165) (166) Trykk-gradienten i (166) kan uttrykes ved hjelp av geostrofisk hastighet u g (se (73)) u g = 1 p ρf y eller p y = u gρf (167) 9 Se også seksjon 5.2 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

47 Dette gir at tan γ = u g2ρ 2 f u g1 ρ 1 f g (ρ 1 ρ 2 ) ρ reff (u g2 u g1 ) g (ρ 1 ρ 2 ) I (168) har vi brukt at ρ 1 ρ 2 ρ ref og redusert gravitasjon (158) på formen Margules sammenheng følger direkte fra (168) = f g (u g2 u g1 ) (168) g = g ρ 1 ρ 2 ρ ref (169) u g2 u g1 = g tan γ f (170) eller for ϕ 90 N (for rotasjonsakseksperimentet i øvre del av figur 23 eller ved nordpolen i nedre del av figur 23) u g2 u g1 = g tan γ (171) 2Ω Margules sammenheng (170) og (171) gir differansen i geostrofisk vind for to z-nivåer, og er følgelig en variant av termalvind diskutert i seksjon Rossbys tilpasningsproblem Et idealisert oppsett med en tung væske omringet av en lettere væske, som illustrert i figur 23, er vist i figur 24. Rossbys tilpasningsproblem gir de karakteristiske rom- og tidskalaene som Figur 24: Illustrasjon av en likevektssituasjon for en roterende, sirkulær beholder med en tung væske med tetthet ρ 1 i sentrum, omringet av en lettere væske med tetthet ρ 2. Initielt er væske 1 og 2 separert ved radius r 1 (konstant). beskriver likevektssituasjonene vist i figur 24. Denne sammenhengen følger fra (171). 47

48 4.5.1 Venstre side av (171) Ser vi bort fra friksjon, som er en akseptabel antagelse når vi holder oss borte fra bunnen i det roterende karet, gjelder spinnsatsen Ωr 2 + ur = konst (172) Den initielle rotasjonen for systemet ved radius r 1 er Ωr 1. Det følger da fra spinnsatsen at Ωr 2 + ur = Ωr 2 1 (173) der r og u er endringer av radius og hastighet i forhold til initiell tilstand, det vi si etter at vi frigjør den indre (tunge) væsken. Når den tunge væsken er fri til å tilpasse seg ny likevektssituasjon som vist i figur 24, vil den få en konisk form med radius r > r 1 nede og radius r < r 1 oppe i karet. Betegner vi endringen i radius relativt r 1 med δr og hastighetsendringen δu, følger det fra (173) at Ω(r 1 + δr) 2 + δu(r 1 + δr) = Ωr 2 1 (174) eller Ω(r r 1 δr + δr 2 ) + δu(r 1 + δr) = Ωr 2 1 (175) For små endringer er de kvadratiske δ-leddene, det vil si Ωδr 2 og δu δr, mye mindre enn de lineære δ-leddene, slik at vi kan tilnærme (175) med Dette gir 2Ωr 1 δr + δu r 1 = 0 (176) δu = 2Ωδr (177) (177) viser at konestrukturen vil få økt azimutal hastighet oppe (hvor δr < 0) og redusert azimutal hastighet nede (hvor δr > 0) relativt til den initielle rotasjonshastigheten Ωr 1. Det følger da at og Innsatt i Margules sammenheng (171), får vi δu 2 = 2Ω δr (178) δu 1 = 2Ω δr (179) δu 2 δu 1 = 4Ω δr (180) Skulle den initielle sylinderen med tung væske ha en vinkel ϕ til rotasjonsaksen, vil (177) ha følgende form δu = fδr (181) der Coriolisparameteren f = 2Ω sin ϕ. I så fall kan ligningene (178 (180) uttrykkes med f i stedet for 2Ω. 48

49 4.5.2 Høyre side av (171) Det følger fra figur 24 at tan γ = H 2 δr videre benytter vi oss av redusert gravitasjon, se (158), g = g ρ ρ (182) (183) For en væske som er stabilt stratifisert, det vil si at en lett væske ligger over en tyngre væske, er g > 0. I vårt tilfelle har vi en stabil stratifisering (siden væsken med tetthet ρ 2 ligger over væsken med tetthet ρ 1, og ρ 1 > ρ 2 ), slik at g = g ρ 1 ρ 2 ρ (184) Det følger da at Her er N Brunt-Väsälä frekvensen (se seksjon 4.2) g H = g ρ 1 ρ 2 H ρ (185) = g ρ 1 ρ 2 ρ H H2 (186) = g ρ 2 ρ 1 ρ H H2 (187) = N 2 H 2 (188) N 2 = g ρ ρ z = g ρ 2 ρ 1 ρ H (189) Høyre side av (171) kan da skrives som g tan γ 2Ω = g H 4 δr Ω = N 2 H 2 4 δr Ω (190) Rossby deformasjonsradius Margules sammenheng gitt ved (171) kan nå uttrykkes ved hjelp av (180) og (190). Løser vi med hensyn på δr, får vi 2 δr = NH 2Ω = g H 2Ω L ρ (191) I uttrykket over er L ρ Rossby deformasjonsradius, som er den karakteristiske lengdeskala hvor effekten av rotasjon er sammenlignbar med (eller balanserer) effekten av stratifisering (det vil si gravitasjon). Rossby deformasjonsradius er en fundamental størrelse for dynamikken i atmosfæren og havet; den gir lengeskalaen til lavtrykk i atmosfæren og hvirvler i havet. For midlere breddegrader ( ϕ ) er L ρ 700 km for atmosfæren og 50 km for havet (se figur 25). For høyere breddegrader avtar L ρ, mens L ρ øker mot ekvator. Ved ekvator kan Rossby deformasjonsradius gitt ved (191) ikke benyttes da uttrykket ikke gjelder for små ϕ (Rossby-tallet R 0 er da ikke (mye) mindre enn 1, i motsetning til antagelsen for geostrofisk balanse, nemlig R 0 1). 49

50 Figur 25: Utledet Rossby deformasjonsradius (i km) i havet. Figur fra Chelton et al., Frigjøring av potensiell energi 10 Grunnet temperaturgradienten mellom lave og høye breddegrader framkommer termalvindbalansen med en østgående jetstrøm på rundt 30 på begge halvkuler, som skissert i figur 26. Men varme (og momentum) kan ikke transpoteres på tvers av jetstrømmen. Mekanismen som bringer varme og momentum fra lave til høye breddegrader, og motsatt, kulde fra høye til lave breddegrader, er lav- og høytrykk på midlere breddegrader. Vi kaller lav- og høytrykk for synoptiske systemer. Og for en roterende kule som jorden med høy temperatur i tropene og lav temperatur mot polene, vil synoptiske systemer alltid oppstå på midlere breddegrader. Disse synoptiske systemene kommer derfor i tillegg til jetstrømmen grunnet termalvind. Bevegelsesenergien til de synoptiske systemene kommer fra tap av potensiell energi knyttet til bevegelsen til de synoptiske systemene. Hovedmekanismen er at varm luft fra tropene løftes i atmosfæren når den strømmer mot høyere breddegrader, mens kald luft fra høye breddegrader synker i atmosfæren på vei mot tropene. Begge bevegelsene medfører tap av potensiell energi. Se tekst omkring figur 8.8 i Marshall & Plumb (2008) for en diskusjon om dette. Overgang fra potensiell til kinetisk energi i forbindelse med synoptisk aktivitet på midlere breddegrader kan utledes basert på figur 27. Vi betrakter to væskepartikler med tetthet ρ 1 og ρ 2 i posisjon (y 1, z 1 ) og (y 2, z 2 ). Partiklene bytter så plass som del av sirkulasjonen i et lav- eller høytrykk. Vi antar at atmosfærens tetthet er kun en funksjon av potensiell temperatur, ρ = ρ(θ), med isolinjer for potensiell temperatur og potensiell tetthet som vist i figur 27. Initiell potensiell energi for de to væskepartiklene med tetthet ρ 1 og ρ 2 i posisjon (y 1, z 1 ) og (y 2, z 2 ) er P E start = g(ρ 1 z 1 + ρ 2 z 2 ) (192) 10 Se også seksjon i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

51 Figur 26: Grunnet netto innstråling ved lave breddegrader og netto varmetap på høye breddegrader er det en markant meridional temperaturgradient på jorden. Denne temperaturgradienten gir opphav til vestavindsbeltene på rundt 30 på begge halvkuler. Men en konfigurering som skissert i figuren er ustabil; lav- og høytrykk vil oppstå på midlere breddegrader og det er disse synoptiske systemene som står for utjevningen av varme og momentum i meridional retning. Figur 27: Atmosfære med isotermer for potensiell temperatur θ med stigningstall s 1 (avtagende temperatur i positiv y-retning, økende potensiell temperatur i positiv z-retning). Vi betrakter endring av potensiell energi ved ombytte av partiklene (y 1, z 1 ) og (y 2, z 2 ). 51

52 Etter ombytte av væskepartiklene er den potensielle energien P E slutt = g(ρ 2 z 1 + ρ 1 z 2 ) (193) Endring i potensiell energi kan da uttrykkes som P E = P E slutt P E start = g(ρ 2 z 1 + ρ 1 z 2 ρ 1 z 1 ρ 2 z 2 ) (194) (194) kan skrives som der P E = g(ρ 2 ρ 1 )(z 2 z 1 ) = g ρ z (195) ρ = ρ 2 ρ 1 og z = z 2 z 1 (196) Uttrykk (195) sier at potensiell energi forblir uforandret dersom de to væskepakkene ligger på samme nivå (z 1 = z 2 ) eller dersom de to væskepartiklenes tetthet er lik (ρ 1 = ρ 2 ). Sistnevnte situasjon betyr at væskepartiklene bytter plass langs isotermene for potensiell temperatur. Potensiell energi vil bare øke når z 2 > z 1 og ρ 2 < ρ 1. Dette kan kvantifiseres som beskrevet under. z kan uttrykkes ved hjelp av y siden For små s er tan s s, slik at tan s = z y (197) z = s y (198) Videre har vi at siden ρ varierer i y- og z-retningene, gjelder (se seksjon A.13) ρ ρ ρ y + z (199) y z (198) og (199) innsatt i (195), gir ( ) ( ρ ρ ρ P E = g y + y z s y s y = g y + ρ ) z s s( y) 2 (200) Figur 28: Illustrasjon for overgang fra horisontal koordinat ( p/ y) til trykk-koordinat ( p/ z). Videre kan vi uttrykke ρ/ y med hensyn på ρ/ z. Til dette benytter vi at den potensielle temperaturen θ, og med det tettheten siden ρ = ρ(θ), er konstant langs isolinjene i figur (28). Det følger da at ρ y = ρ b ρ a = ρ b ρ c (201) y b y a y b y a 52

53 hvor vi har brukt at ρ a = ρ c i den siste overgangen. Videre har vi at Ved å kombinere (201) og (202), følger det at ρ z = ρ c ρ b z c z b (202) ρ y = z c z b ρ y b y a z = tan s ρ 1 z s ρ 1 z I siste overgang har vi brukt at tan s 1 s 1 for liten s 1. (203) innsatt i (200) gir ( ρ P E = g z s ρ ) z s 1 s( y) 2 ( = ρ ref g ) ρ ρ ref z (s s 1) s( y) 2 = ρ ref N 2 (s s 1 )s( y) 2 (203) (204) der ρ ref er en typisk (eller referanse) tetthet og N er oppdriftsfrekvensen (eller Brunt-Väisälä frekvensen, se seksjon 4.2) gitt ved N 2 = g ρ (205) ρ ref z (204) kan skrives som Det følger derfor at P E = ρ ref N 2 (y 2 y 1 ) 2 s(s s 1 ) (206) P E s(s s 1 ) (207) (207) uttrykker at den potensielle energien avtar og med det at den kinetiske energien øker for 0 < s < s 1 (208) (208) er et sentralt resultat: Frigjøring av potensiell energi forkommer for væskepartikler som bytter plass innenfor en vertikal sektor s avgrenset av 0 < s < s 1. Det er overgangen fra potensiell til kinetisk energi i denne sektoren som tilfører kinetisk energi til atmosfærens virvler. Det framkommer også av (207) at den mest effektive overgangen fra potensiell til kinetisk energi finner sted for den verdi av s som tilfredsstiller P E s = 0 eller s (s(s s 1)) = 0 (209) det vil si for s = s 1 2 eller for vinkelen s som halverer sektoren avgrenset av konstant høyde z og vinkelen s 1. (210) 4.7 Potensiell energi Potensiell energi til et system er gitt ved produktet mgh, der m er massen, g er gravitasjonskonstanten og h er en høyde i gravitasjonens retning (vertikal retning) som potensiell energi beregnes relativt til. 53

54 For et system med volum dv = dxdydz og tetthet ρ, kan potensiell energi P E uttrykkes som P E = ρ dv gz = gzρ dv (211) Her betegner z høyden som P E beregnes relativt til. For en væske begrenset av et bestemt volum, kan potensiell energi for væsken uttrykkes som P E = g zρ dv (212) Her er integrasjonen over volumet V som avgrensen væsken. 4.8 Beregning av potensiell energi for en tolagsmodell Figur 29: Illustrasjon på en tolagsmodell med en væske med tetthet ρ 1 for 0 < z < h(y) og ρ 2 < ρ 1 for h(y) < z < H. Grenseflaten mellom væskene er gitt ved z = h(y) = H/2 + γy. Figur 8.9 i Marshall & Plumb (2008). Potensiell energi per enhetslengde for tolagsmodellen vist i figur 29 er gitt ved P E = H L 0 L gρz dy dz (213) Siden det er noen skrivefeil i boken i utledningen av den potensielle energien for en tolagsmodell (side 296 i Marshall & Plumb 2008), gjentas gjennomgangen her. Integrasjonen i z-retningen kan splittes i to intervaller, et fra z = 0 til z = h(y) (med tetthet ρ 1 ) og et fra z = h(y) til z = H (med tetthet ρ 2 ) P E = h(y) L 0 L H L gρ 1 z dy dz + gρ 2 z dy dz (214) h(y) L Siden ρ er konstant for hvert av de to delintervallene av z, samt at g er konstant, kan (214) skrives som ( L ) h(y) ( L ) H P E = gρ 1 z dz dy + gρ 2 z dz dy (215) L 0 L h(y) 54

55 z-integralene i (215) kan løses direkte P E = L L ( ) 1 L ( ) H 2 gρ 1 2 h2 (y) dy + gρ 2 L 2 h2 (y) dy (216) 2 Siden h(y) = H 2 + γy (217) følger det at og Innsatt i (216) gir dette P E = gρ 1 2 = gρ 1 2 = gρ 1 2 h 2 (y) = H2 4 + Hγy + γ2 y 2 (218) H 2 h 2 (y) = 3H2 4 Hγy γ 2 y 2 (219) L ( ) H 2 L 4 + Hγy + γ2 y 2 dy + gρ L ( ) 2 3H 2 Hγy γ 2 y 2 dy 2 L 4 [ H 2 4 y + Hγ ] L 2 y2 + γ2 3 y3 + gρ [ 2 3H 2 L 2 4 y Hγ ] L 2 y2 γ2 3 y3 L ( ) H 2 2 L γ2 3 L3 + gρ ( ) 2 3H L 0 2γ2 3 L3 = g (ρ 1 ρ 2 ) γ2 L g (ρ 1 + 3ρ 2 ) H2 L 4 Det siste leddet i siste linje i uttrykket over kan omskrives hvor g (ρ 1 + 3ρ 2 ) H2 L 4 er den reduserte gravitasjonen (se 158). (220) = gρ 1 H 2 L 3 ( ) 4 g (ρ 1 ρ 2 ) H 2 L = ρ 1 g 3g H 2 L (221) 4 g = g (ρ 1 ρ 2 ) ρ 1 (222) Det følger da at (220) kan skrives som P E = 1 ( ) 3 ρ 1g γ 2 L 3 + ρ 1 g 3g H 2 L (223) 4 Minste potensiell energi fåes for γ = 0 (når grenseflaten i figur 29 er horisontal), slik at ( ) P E min = ρ 1 g 3g H 2 L (224) 4 Tilgjengelig potensiell energi (available potential energy, APE) er da AP E = P E P E min = 1 3 ρ 1g γ 2 L 3 (225) 55

56 4.9 Kinetisk energi Kinetisk energi til et system er gitt ved produktet (1/2)mu 2, der m er masse og u er fart Kinetisk energi uttrykt med termalvind i en tolagsmodell Assosiert med tolagsmodellen i figur 29 er det en termalvind. Margules sammenheng (170), for små γ slik at tan γ γ, gir u g2 g γ (226) f hvor vi har antatt at u g2 u g1. Den kinetiske energien er da (for u g1 0) KE = H L h = 1 2 ρ 2u 2 g2 = 1 2 ρ 2u 2 g2 = 1 2 ρ ρ 2u 2 g2 dydz L L H ( g γ f L L L h(y) dzdy ( ) H 2 γy dy ) 2 HL (227) Forholdet mellom AP E og KE fra (225) og (227) er AP E KE = 2 f 2 L 2 3 g H (228) hvor vi har benyttet at ρ 1 ρ 2. Fra definisjonen av Rossby deformasjonsradius (191) følger det at L 2 ρ = g H f 2 (229) (228) kan da forenkles til AP E KE = 2 ( ) 2 L (230) 3 L ρ I atmosfæren er L 5000 km og L ρ 1000 km, så (L/L ρ ) (230) uttrykker derfor at den potensielle energien knyttet til løftingen av varm luft, fra tropene mot høyere breddegrader, og senkingen av kald luft fra høye breddegrader til tropene, langt overstiger den kinetiske energien knyttet til jetstrømmens termalvind. 56

57 5 Vinddrevet havsirkulasjon To sentrale teorier for vinddrevet havsirkulasjon er oppkalt etter den svenske oseanografen Vagn Walfrid Ekman ( ) og den norske oseanografen Harald Ulrik Sverdrup ( ). Begge teoriene er utviklet basert på de samme ligningene; horisontal momentumligning for R 0 1 (se seksjon 3.2.2) og bare friksjon på havets overflate (i dette tilfellet vindstress τ): fv + 1 p ρ ref x = 1 τ x ρ ref z fu + 1 p ρ ref y = 1 τ y ρ ref z (231) Horisontal hastighet u h = (u, v) i (231) kan splittes i et geostrofisk u g og et ageostrofisk u ag bidrag, slik at u h = u g + u ag (232) (231) kan defor skrives f(v g + v ag ) + 1 p ρ ref x = 1 τ x ρ ref z f(u g + u ag ) + 1 p ρ ref y = 1 τ y ρ ref z Per definisjon er den geostrofiske tilnærmingen gitt ved u g = 1 p fρ ref y Den ageostrofiske tilnærmingen er da u ag = 1 τ y fρ ref z og v g = 1 fρ ref p x og v ag = 1 τ x fρ ref z (233) (234) (235) Siden hastighetskomponentene (u, v) forekommer lineært i (233), kan løsningen av (233) forenkles ved å løse de geostrofiske og ageostrofiske uttrykkene (234) og (235) hver for seg. Løsningen av (233) er da gitt ved (232). I tillegg til (231) og (233), kan kontinuitetsligningen for en inkompressibel væske uttrykkes som u = 0 eller h u h + w z = 0 (236) Her er h = ˆx / x + ŷ / y den horisontale gradient-operatoren. Innsatt (232), får vi h (u g + u ag ) + w z = 0 (237) Det følger da at når de horisontale hastighetskomponentene u g og u ag er kjent, kan (237) benyttes for å bestemme den vertikale hastighetskomponenten w. Betrakter vi åpent hav (eller den frie atmosfære) der friskjonen er liten, det vil si at vi holder oss borte fra Ekmanlaget, er høyre side av (233) neglisjerbar, slik at u u g, der u g er gitt ved (234) og tilhørende vertikalhastighet er gitt ved (237) med u ag = 0. I Ekmanlaget dominerer høyre side av (233), slik at u u ag, der u ag er gitt ved (235) og tilhørende vertikalhastighet er gitt ved (237) for u g = 0. 57

58 5.1 Ekman teori 11 Ekman-teorien følger antagelsene gitt over. I tillegg er Ekman-teorien basert på en idealisert geometri i det vi betrakter et hav med uendelig horisontal utbredelse. I vertikalen betrakter vi to lag; det øvre, tynne Ekman-laget avgrenset av δ < z < 0, og under det termoklinen avgrenset av H < z < δ. Typiske verdier for δ er m, mens H m Horisontal massetransport i Ekman-laget Netto massetransport midlet over Ekman-laget finnes ved å integrere den ageostrofiske ligningen (235) over Ekman-laget. Den ageostrofiske ligningen kan skrives på vektorform som fẑ u ag = 1 ρ ref τ z (238) Multipliserer vi (238) med ρ ref og integrerer uttrykket fra bunnen av Ekman-laget, z = δ, til overflaten z = 0, får vi 0 0 τ fẑ ρ ref u ag dz = dz = τ(0) τ( δ) (239) δ δ z Siden τ(z = 0) = τ vind og τ(z = δ) = 0, kan (239) skrives som I uttrykket over er fẑ M Ek = τ vind (240) M Ek 0 δ ρ ref u ag dz (241) den laterale (horisontale) massetransporten i Ekman-laget, kalt Ekman-transporten. Krysser vi (240) med ẑ fra venstre, som vist til venstre i figur 30, får vi M Ek = τ vind ẑ f (242) Fra høyre i figur 30 følger det at netto Ekman-transport i Ekman-laget er rettet 90 til høyre for vindstress-vektoren på den nordlige halvkule (f > 0). På den sørlige halvkulen er Ekmantransporten rettet 90 til venstre for vindstress-vektoren Transport gjennom nedre grenseflate på Ekman-laget Verikal transport gjennom den nedre grenseflaten på Ekman-laget framkommer av kontinuitetsligningen med ageostrofisk horisontal hastighet h u ag + w z = 0 (243) 11 Se også seksjon 8.6 i Introduction to Geophysical Fluid Dynamics av Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers (2010), og seksjon 5.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

59 Figur 30: Venstre: Orientering av Ekman-transporten M Ek i forhold til enhetsvektoren ẑ. Høyre: Orienteringen av Ekman-transporten på den nordlige halvkule i forhold til vindstress-vektoren τ. Integrerer vi (243) over Ekman-laget, får vi eller h 0 δ Siden w(z = 0) = 0, kan (245) skrives som der w Ek w(z = δ). (242) innsatt inn i (246) gir u ag dz + I overgangen over har vi brukt vektoridentiteten med a = τ vind /f og b = ẑ. 0 δ w dz = 0 (244) z 1 ρ ref h M Ek + w(0) w( δ) = 0 (245) w Ek = 1 ρ ref h M Ek (246) w Ek = 1 h τvind ẑ ρ ref f = 1 [ ẑ h τ vind τ ] (247) vind h ẑ ρ ref f f (a b) = b ( a) a ( b) (248) Siden enhetsvektoren ẑ er konstant, følger det fra (247) at vertikal hastighet gjennom den nedre grenseflaten av Ekman-laget kan uttrykkes som w Ek = 1 [ ( ) τvind, y ( )] τvind, x (249) ρ ref x f y f Typisk varierer vindstresset med 0.2 N m 2 over 20 breddegrader. For en breddegrad på rundt 45, følger det da fra (249) at N m 2 w Ek 10 3 kg m s m (250) = m s 1 30 m år 1 59

60 w Ek beregnet fra observert vindstress gir at 15 m år 1 < w Ek < 50 m år 1. Til sammenligning er gjennomsnittlig nedbør ca. 1 m år 1. Siden w Ek 30 m år 1, tar det rundt 10 år på å skifte ut vannet i termoklinen (typisk dyp på m) grunnet Ekman-pumping Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget Under Ekman-laget gjelder gostrofisk tilnærming gitt ved (234). Horisontal divergens til geostrofisk strøm er h u g = ( 1 ) p + ( ) 1 p (251) x fρ ref y y fρ ref x Utfører vi derivasjonen på uttrykkene i parantes, og bruker at f = f(y), får vi h u g = 1 fρ ref 2 p x y + 1 fρ ref 2 p x y 1 1 p f f 2 ρ ref x y (252) De to første leddene kansellerer hverandre, mens uttrykket for v g fra (234) kan brukes for å forenkle det siste leddet. Dette gir h u g = β f v g (253) hvor β = df/dy. Siden f øker med y for alle verdier av y (også på sørlige halvkule), er β = df/dy > 0, se (259). Kontinuitetsligningen uttrykt med u g er h u g + w z = 0 (254) (253) og (254) gir sammenheng mellom meridional geostrofisk hastighet v g og vertikal hastighet w siden βv g = f w (255) z Integrerer vi (255) fra termoklinen z = H til nedre grenseflate for Ekman-laget ved z = δ, får vi δ δ w β v g dz = f dz = f (w( δ) w( H)) (256) z H Uttrykket over kan skrives som β H δ H hvor vi har antatt at w( δ) = w Ek w( H). v g dz fw Ek (257) Vi kan bruke (257) for å estimere forskjellen i størrelsen til v g og w Ek. (257) gir v g (H δ) f β w Ek (258) hvor v g er en typisk (midlet) meridional (nord-sør rettet) hastighet i havet under Ekman-laget. Siden H δ, er H δ H. Videre følger det fra definisjonen av buelengden at dy = a dϕ, slik at β = df dy = 1 df a dϕ = 2 Ω cos ϕ (259) a 60

61 hvor a er jordens radius. (258) kan derfor skrives som v g f β w Ek H = 2 Ω sin ϕ w Ek cos ϕ H 2Ω a = a tan ϕ w Ek H (260) Med en typisk dybde på termoklinen H på m, og med jordens radius a = m og for midlere breddegrader ϕ = 45, følger det at v g 10 4 w Ek. Typisk verdi for Ekman-pumpingen er 30 m år 1, som derfor gir en meridional hastighet v g midlet over termoklinen på rundt 1 cm s Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman teoremet 12 Taylor-Proudman teoremet kan uttrykkes som u ẑ Ω = 0 (261) hvor ẑ Ω er retningen til jordens rotasjonsakse. Antagelsene for TP-teoremet er at vi betrakter en homogen og roterende væske, at sirkulasjonen er stasjonær (at sirkulasjonen ikke varierer i tid; / t = 0), at friksjonen er neglisjerbar og at Rossbytallet R 0 1. For disse antagelsene uttrykker (261) at komponentene til u er konstant i retningen til jordens rotasjonsakse. Ved Ekman-pumping føres vann ned gjennom nedre grenseflate av Ekman-laget. En tenkt væskesøyle (kalt en Taylor-søyle) rettet langs ẑ Ω kan da endres på to måter; ved at sylinderens radius øker (venstre del av figur 31) eller at søylens høyde øker (høyre del av figur 31). Begge tilfellene tilfredsstiller (261). Figur 31: Figur i Marshall & Plumb (2008). 12 Se også diskusjon i seksjon i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

62 Spinnsatsen anvendt på alternativet til venstre i figur 31 gir at endringen i azimutal hastighet δu θ er gitt ved (se utledning som leder til (177)) δu θ = 2Ωδr (262) (262) sier at δu θ avtar når sylinderens radius r øker. At hastighetskomponenten δu θ endrer seg som følge av Ekman-pumpingen strider mot en av TP-teoremets antagelser, nemlig at / t = 0. Følgelig kan ikke Taylor-søylen endre seg som vist til venstre i figur 31. Alternativ 2 er i tråd med TP-teoremet. Den eneste muligheten søylens høyde kan øke (når Ekman-pumpingen er rettet ned i havet, det vil si for w/ z < 0), er at søylen beveger seg mot ekvator. Dette er illustrert i figur 32 hvor Taylor-søylen med høyde d for breddegrad ϕ (rød farge) øker sin høyde når den beveger seg mot ekvator (grøn farge). Med de gitte vinklene, følger det Figur 32: Illustrasjon på en Taylor-søyle med høyde d (rød strek) plassert i et hav med tykkelse h (mørk blå strek). Når søylen beveger seg mot ekvator, vil søylens høyde øke (grøn farge). at cos θ = h d (263) Siden θ = π/2 ϕ, gjelder ( π ) cos θ = cos 2 ϕ ( π ) ( π ) = cos cos ϕ + sin sin ϕ = sin ϕ (264) 2 2 Vi får da at d = h sin ϕ (265) Den røde søylen i figur 33 viser geometrien til Taylor-søylen i figur 32. Dersom Taylor-søylens radius er r, er søylens areal A = πr 2 (266) Tenker vi oss at nederste grense for Ekman-laget skjærer gjennom Taylor-søylen, vil Ekman-laget beskrive en ellipse i sylinderen med areal A = πr 1 r 2 (267) 62

63 Figur 33: Til venstre vises geometrien til den røde Taylor-søylen i figur 32. Tayolor-søylen har et areal πr 2, hvor r er søylens radius. Nedre grenseflate til Ekman-laget skjærer gjennom søylen som illustrert med den stiplede, svarte linjen. Tverrsnittet til arealet av tilhørende ellipse er πr 1 r 2, hvor r 1 og r 2 er ellipsens halvakser (og r 1 = r). Til høyre vises Taylor-søylen, betraktet parallelt med ellipsen vist på figuren til venstre. der r 1 og r 2 er ellipsens halvakser. Fra venstre del av figur 33 følger det at r 1 = r, og fra høyre del av samme figur gjelder ( π ) cos 2 ϕ = r (268) r 2 Siden cos(π/2 ϕ) = sin ϕ (se 264), følger det at r 2 = r sin ϕ (269) Ellipsens areal A kan da skrives som A = πr 1 r 2 = π r2 sin ϕ = A sin ϕ (270) Det følger nå at Ekman-pumpingen (w Ek ) ned i Taylor-søylen er A w Ek = A sin ϕ w Ek (271) Som følge av Ekman-pumpingen, vil søylens høyde h øke. Siden w Ek < 0 ved Ekman-pumping ned i havet, kan vi skrive w Ek = Dh (272) Dt (272) innstatt i (271) gir A w Ek = A sin ϕ w Ek = A Dh sin ϕ Dt = ADd Dt (273) 63

64 hvor (265) er brukt i siste overgang. Fra andre og siste likhet i (273) følger det at w Ek sin ϕ = Dd Dt (274) Siden d er en funksjon av ϕ, d = d(ϕ), gir Taylor-rekkeutvikling til laveste orden at Dividerer vi uttrykket over med δt, får vi for små δd og δϕ at δd = d dd δϕ = δϕ (275) ϕ dϕ Dette gir at Dd Dt = dd Dϕ dϕ Dt w Ek sin ϕ = dd Dϕ dϕ Dt (276) (277) Bruker vi (265), får vi dd dϕ = d ( ) h = h cos ϕ dϕ sin ϕ sin 2 ϕ Dernest, basert på definisjonen av en buelengde, følger det at (278) hvor a er jordens radius. Den tidsderiverte av (279) gir dy = a dϕ (279) hvor vi har brukt at Dy/Dt = v. (278) og (280) innsatt i (277) gir Dy Dt = adϕ Dt eller w Ek = v h cos ϕ a sin ϕ Multipliserer vi uttrykket over med 2 Ω sin ϕ, får vi Dϕ Dt = v a (280) (281) 2 Ω sin ϕ w Ek = vh 2 Ω a cos ϕ (282) Siste uttrykk kan forenkles ved hjelp av Coriolisparameteren f og df/dy siden f = 2 Ω sin ϕ og df dy = 2Ω a cos ϕ = β (283) Innsatt i (282) gir dette eller fw Ek = vhβ (284) βv = f w Ek h (285) 64

65 Uttrykket over, baset på Taylor-Proudman teoremet, har samme form som hastighetsbalansen basert på geostrofi, se (255). De to tilnærmingene er derfor konsistente. Begge tilnærmingene gir at den vertikalintegrerte meridionale hastigheten generert av w Ek er 10 3 til 10 4 ganger større enn Ekman-pumpingen selv. Mekanismen for denne akselerasjonen er Taylor-søylens bevegelse mot ekvator for w Ek < 0 og vekk fra ekvator for w Ek > 0. Som tidligere nevnt er typisk verdi for Ekman-pumpingen på 30 m år 1, som gir en meridional hastighet v 1 cm s Sverdrupbalanse 13 I motsetning til Ekman teorien, betrakter vi nå vinddrevet havsirkulasjon fra havets bunn (z = D) til overflaten, og for et hav avgrenset av kontinenter. Siden Sørishavet ikke er avgrenset av kontinenter, gjelder ikke Sverdrupbalansen for dette havområdet. Men Sverdrupbalansen beskriver ellers havbassengenes respons til vind. Sverdrupbalansen beskriver også, i motsetning til geostrofi, sirkulasjonen ved ekvator. Antagelsene for Sverdrupbalansen er R 0 1, at tettheten ρ = ρ ref (det vil si konstant tetthet) og at friksjonen mot bunn og sider (kontinentene) er liten. Utledningen av Sverdrupbalansen følger utledningen av termoklinens respons til Ekman-pumping, se sekjson Vi starter med de grunnleggende ligningene for vinddrevet havsirkulasjon (231) fv + 1 p ρ ref x = 1 τ x ρ ref z fu + 1 p ρ ref y = 1 τ y ρ ref z (286) Trykk-leddene i (286) kan elimineres ved å derivere den øverste ligningen med / y og den nederste ligningen med / x. Dette gir βv = f w z + 1 ( τy ρ ref z x τ ) x (287) y hvor de første to leddene er utledet i seksjon 5.1.3, mens vindstress-leddene følger direkte fra (286). Integrerer vi (287) over vannsøylen, fra z = D til z = 0, får vi 0 β v dz = f [w(0) w( D)] + 1 ( τvind, y τ ) vind, x D ρ ref x y Siden w(0) = w( D) = 0, kan (288) skrives som der (288) β V = 1 ρ ref ẑ τ vind (289) V = 0 D v dz (290) 13 Se også seksjon 6.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

66 er dybde-integrert meridional transport. (289) og (290) er Sverdrupbalansen; en av de mest brukte sammenhengene for å beskrive sirkulasjonen i verdenshavene. Fra (290) følger det at den vertikalintegrerte meridionale hastigheten V = 0 hvor τ vind = 0. Derfor kan τ vind = 0 (null vind-kurl) brukes for å definere de storstilte gyrene i havet. I tillegg følger det fra (289) at V 0 for ẑ τ vind 0 (siden β > 0) Eksempel, sammenheng mellom Ekman- og Sverdrup-teori Kommer Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning For dybdeintegrert strøm U = (U, V ), må h U = 0 (291) For en divergensfri strøm eksisterer det en strømfunksjon ψ (enhet m 2 s 1 ) gitt ved U = ψ y og V = ψ x (292) Strømfunksjonen er nyttig da strømmen følger strømfunksjonens isolinjer, og at strømstyrken er proporsjonal med hvor tett strømfunksjonens isolinjer ligger. At strømfunksjonen gitt ved (292) tilfredsstiller (291) følger av at h U = U x + V y = x ( ψ y ) + y = 2 ψ x y + 2 ψ x y = 0 ( ) ψ x (293) Sverdrupbalansen uttrykt ved (289) kan derfor skrives som β V = β ψ x = 1 ρ ref ẑ τ vind (294) Sammenhengen representert ved de to siste leddene kan integreres i x-retningen. Siden det ikke kan være transport på tvers av kontinentene, må U = 0, det vil si at ψ = konst, langs kontinentene. Siden (294) er en første ordens differensialligning, kan vi bare foreskrive én grenseflatebetingelse. Grunnet stor hastighet mot vestlig kyst (gjelder for begge halvkuler, tenk på Golfstrømmen og Brasilstrømmen), bryter Sverdrupbalansen sammen ved vestlig kyst. Følgelig må U = 0 (ψ = konst) langs østlig kyst. Vi integrerer derfor (294) fra østlig kyst og vestover for å bestemme ψ. 66

67 Med valget ψ = 0 ved østlig kyst, følger det at ψ(x, y) = 1 β ρ ref = 1 β ρ ref x (ẑ τ vind ) dx x øst ( τvind, y τ ) vind, x dx x y x x øst (295) Vindene blåser, til laveste orden, i sonal (x-) retning. Derfor er (295) tilnærmet gitt ved ψ(x, y) 1 x ( ) τvind, x dx (296) β ρ ref y Dersom i tillegg vinden antas å være tilnærmet konstant i sonal retning, betegnet τ vind, x, kan (296) forenkles til x øst ψ(x, y) 1 τ vind, x (x x øst ) β ρ ref y = 1 τ vind, x (x øst x) β ρ ref y (297) β > 0 for alle breddegrader og (x øst x) > 0, hvor siste sammenheng følger av at x er rettet i østlig retning. Fortegnet til ψ er derfor bestemt av fortegnet til τ vind, x / y. Derfor er ψ > 0 når det sonale vindstresset τ vind, x øker med økende breddegrad, og vice versa. Hastighetskomponentene U og V følger når vi kjenner ψ. I tilfellet med konstant sonalt vindstress, som gitt ved uttrykk (297), er U = 0 V = 1 τ vind, x β ρ ref y (298) Volumtransporten i Sv (m 3 s 1 ) i et havbasseng, som illustrert for Stillehavet i figur 34, følger ved å integrere (298) i henholdsvis y- og x-retningene. I figuren fra Stillehavet er volumtransporten M v (Sv) like sørøst for Japan ved 30 N på rundt 50 Sv. Denne verdien fremkommer ved å integrere V -komponenten i (298) fra ca. 160 Ø til 100 V, eller over en distanse tilsvarende 100 breddegrader: 100 V 1 τ vind, x M v = dx = 1 τ vind, x ( m) 49 Sv (299) 160 Ø β ρ ref y β ρ ref y I uttrykket over er β = og τ vind, x / y = N m 3 (sistnevnte verdi lest ut fra panelet til venstre i figur 34). Tilsvarende kan volumtransporten estimeres for alle punkt i havet (både sonalt og meridionalt). Merk at figur 34 er basert på vindstresskomponenter i både x- og y-retningene. Det er dette som er årsaken til at isolinjene viser svake buktninger og at noen av null-isolinjene ikke er rettet i perfekt sonal retning. Fra figur 34 ser vi videre at sonalt midlet vindstress τ vind, x avtar fra 50 S til 20 S, og fra ekvator til 20 N. Dette gir V > 0 og sirkulasjon mot klokken på begge halvkuler (stiplede 67

68 Figur 34: Venstre: Sonalt midlet vindstress for Stillehavet. Midten: Sverdruptransport (i Sv) beregnet fra (295). Høyre: Sonalt midlet overflatestrøm basert på observasjoner. Figur i Marshall&Plumb (2008). Merk at de to verdiene for Sverdruptransporten ved ca. 10 N er byttet om; Sverdruptransporten øker for positive verdier og avtar for negative verdier når en går fra østlig til vestlig kyst (se uttrykk 297). Konturverdiene ved ca. 10 N skal derfor være 10 og 20 Sv når en går vestover. 68

69 isolinjer). Tilsvarende, fra 20 S til ekvator, og fra 20 N til 45 N, øker sonalt midlet vindstress som innebærer V < 0 og sirkulasjon med klokken (heltrukne isolinjer). Betrakter vi breddegradsintervallet mellom 50 S og 20 S, er det her en netto nordgående strøm. Den nordgående strømmen må kompenseres med en sørgående strøm. Kompensasjonsstrømmen er alltid lokalisert mot vestlig kyst, i dette tilfellet utenfor østkysten av Australia. På tilsvarende måte er det en sørgående transport i havbassenget mellom 20 N og 45 N. Denne transporten er kompensert av en nordgående transport utenfor kysten av Kina og Japan. Dette er Kuroshio-strømmen. Tilsvarende argumentasjon gjelder for Atlanterhavet. Her er det den nordgående Golfstrømmen utenfor kysten av USA som kompenserer for sørgående Sverdruptransport mellom 20 N og 45 N. Som vi ser beskriver Sverdrupbalansen hovedtrekkene til havstrømmene for alle havbassengene, inkludert sirulasjonen ved ekvator. Siden Sørishavet ikke er begrenset av land, kan ikke Sverdrupbalansen benyttes for å beskrive sirkulasjonen her. 69

70 Noen av de følgende seksjonene er også beskrevet i hovedteksten over. A Grunnleggende funksjon- og vektoranalyse A.1 Koordinatsystem Et koordinatsystem betegner n variable som bestemmer et geometrisk objekt. n = 2 for et todimensjonalt koordinatsystem og n = 3 for et tredimensjonalt system. A.1.1 Rektangulære koordinater Dette er et rettvinklet koordinatsystem. Kalles også et kartesisk koordinatsystem. I tre dimensjoner betegnes gjerne variablene som angir koordinatretningene for x, y og z. Orienteringen til x, y og z er gitt ved høyrehåndsregelen, se figur 35. z y x Figur 35: Et rettvinklet koordinatsystem i tre dimensjoner. A.1.2 Kurvelineære polare koordinater Dette koordinatsystemet beskrives av en eller flere vinkler relativt aksene i et rektangulært koordinatsystem, samt avstand fra origo. Kurvelineære polare koordinater i to og tre dimensjoner er vist i figur 36. Orienteringen til variablene som angir koordinatretningene er gitt ved høyrehåndsregelen. I to dimensjoner er gjerne koordinatvariablene r og θ. I tre dimensjoner er ofte koordinatvariablene λ, φ og z, som for et jordsystem angir lengdegrad (storsirkler som går gjennom polene), breddegrad (storsirkler går parallelt med ekvator) og radial koordinat. 70

71 y r θ x Figur 36: Kurvelineære koordinater i to og tre dimensjoner. A.1.3 Buelengde For en sirkelbue med radius r er buelengden l gitt ved l = rθ (300) der r er sirkelbuens radius og θ (i radianer) er vinkelen som avgrenser buelengden (se figur 37). For en sirkel er θ = 2π, og buelengden er lik sirkelens omkrets 2πr. Figur 37: Buelengden l for en sirkelbue med (lokal) radius r spent ut av vinkelen θ. A.1.4 Polare koordinater Polare koordinater er ofte gitt ved r (radial koordinat) og θ (vinkel, polarvinkel eller asimut koordinat). Fra venstre del av figur 36 har vi at x = r cos θ (301) y = r sin θ (302) Fra definisjonen av en buelengde, følger det at en liten endring av vinkelen θ, δθ, spenner ut linjestykket (buelengden) r δθ. En liten endring langs aksen r, δr, involverer ingen rotasjon og 71

72 gir derfor linjestykket δr. Av dette følger at skalafaktorene for de polare kulekoordinatene, dvs. faktoren fremfor δr and δθ, er henholdsvis 1 og r. (303) Bruk skalafaktorene (303) til å utlede areal og omkrets av en sirkel med radius a. Hint: Integrer over koordinatvariablene. A.1.5 Polare kulekoordinater Polare kulekoordinater i et jordsystem er ofte gitt ved koordinatvariablene λ (lengdegrad), ϕ (breddegrad) og r (radial retning). Fra høyre del av figur 36 følger det at x = r cos ϕ cos λ (304) y = r cos ϕ sin λ (305) z = r sin ϕ (306) Fra samme figur ser vi at en liten endring av vinkelen λ, δλ, spenner ut linjestykket (buelengden) r cos ϕ δλ, og at vinkelen ϕ, δϕ, spenner ut linjestykket (buelengden) r δϕ. En liten endring langs aksen r, δr, gir linjestykket δr. Av dette følger det at skalafaktorene for våre polare kulekoordinater er henholdsvis r cos ϕ, r og 1. (307) Bruk skalafaktorene (307) til å utlede areal og volum av en kule med radius a. Hint: Integrer over koordinatvariablene. A.2 Variabel Variable er de størrelsene som en funksjon avhenger av. For eksempel er har funksjonen f(x, y) variablene x og y. Variablene i det rektangulære koordinatsystemet over er x, y og z, mens variablene i polare koordinater er λ, ϕ og r. A.3 Funksjon Funksjoner er sammenhenger (formler eller lovmessige uttrykk) som gir verdier for ethvert punkt (x, y, z) eller (λ, ϕ, r). A.4 Skalarfunksjon Skalarfunksjonen φ = φ(x, y, z) (eller φ(λ, ϕ, r)) er en én-komponent størrelse (ett tall). En skalarfunksjon påvirkes ikke av om koordinatsystemet roterer. Eksempler på skalarfunksjoner er temperatur, trykk, skydekke og saltholdighet. 72

73 A.5 Vektorfunksjon Vektorfunskjonen u = u(x, y, z) (eller u = u(λ, ϕ, r)) er en flerkomponent størrelse med lengde (verdi eller absoluttverdi) og retning. Vektorfunksjonen endrer ikke verdi men vektorfunksjonens komponenter endrer seg i et roterende koordinatsystem. Eksempler på vektorfunksjoner er vind i atmosfæren og strøm i havet. Lengden (verdien) av vektorfunksjonen u betegnes u. For u = (u x, u y, u z ) følger det at u = u 2 x + u 2 y + u 2 z (308) eller alternativt u 2 = u 2 x + u 2 y + u 2 z (309) A.6 Skalarprodukt Skalarproduktet av to vektorer a og b, a b, er en skalar definert som a b a b cos θ (310) For a = (a x, a y, a z ) og b = (b x, b y, b z ), følger det at a b = a x b x + a y b y + a z b z (311) Vis (311) i to dimensjoner x og y. Hint: Tegn vektorene a og b i et koordinatsystem, la θ a og θ b være vinklene mellom de to vektorene og x-aksen og bruk at cos(θ a ± θ b ) = cos θ a cos θ b sin θ a sin θ b. Videre er a b = 0 for a b (312) Fysisk anvende av skalarproduktet er ofte knyttet til å projisere vektoren a på b, for eksempel for å bestemme komponenten av kraften a i retning av b. Skalaridentiteter Vis (313) og (314). Hint: Skriv uttrykkene på komponentform. a b = b a (313) a (b + c) = a b + a c (314) A.7 Vektorprodukt Vektorproduktet av to vektorer a og b, a b, er en vektor definert som i j k a b = a x a y a z b x b y b z = ˆx (a yb z a z b y ) ŷ (a x b z a z b x ) + ẑ (a x b y a y b x ) (315) a b er normal på a og b, og orienteringen er gitt ved høyrehåndsregelen. 73

74 (315) Vis at a b er normal på a og b, og at orienteringen er gitt ved høyrehåndsregelen. Lengden av a b er gitt ved uttrykket a b = a b sin θ (316) der θ er vinkelen mellom a og b. Det følger av uttrykket over at a b er lik arealet til parallellogrammet spent ut av a og b. Vis at (316) er arealet av et parallellogram. Kryssproduktidentiteter a b = b a (317) a (b + c) = a b + a c (318) a (b c) (a b) c (319) Vis (317), (318) og (319). Hint: Skriv uttrykkene på komponentform. A.8 Derivasjon i et fikssystem Et fikskoordintsystem, eller fikssystem i kortform, er et koordinatsystem som ikke roterer, dvs. et korrdinatsystem som ligger fast i forhold til fiksstjernene, derav navnet. I et slikt system ligger koordinatsystemets akser, og med det koordinatsystemets enhetsvektorer, fast. Det er derfor ikke bidrag fra enhetsvektorene når en vektorstørrelse deriveres i et fikssystem. A.8.1 Gradient til en skalarfunksjon Gradienten til en skalarfunksjon φ, φ, er en vektor. kalles grad, del eller nabla. Det følger da at ˆx x + ŷ y + ẑ z φ = ˆx φ x + ŷ φ y + ẑ φ z (320) (321) φ er alltid rettet fra lav til høy verdi av φ. φ er også alltid rettet normalt på isoverdiene til φ. Er vi ute i terrenget og φ er høydekvoter, vil φ derfor være rettet brattest oppover i terrenget. På tilsvarende måte vil p, hvor p er lufttrykk, alltid være rettet fra lavt til høyt trykk (og stå normalt på isobarene). A.8.2 Divergensoperatoren; divergerende og konvergerende vektorfunksjon Divergensen til en vektorfunksjon a, a, er en skalar (ett tall). kalles div eller divergens. Fra definisjonen av et prikkprodukt, se (311), følger det at a = a x x + a y y + a z z (322) 74

75 Fysisk tolkning av a er knyttet til en kilde eller et sluk til vektorfunksjonen a innenfor et avgrenset volum. Fra konserveringsligningen følger det at a øker innenfor volumet dersom a < 0. Vi sier da at vektorfeltet konvergerer. Tilsvarende avtar a dersom a > 0. Vi ser da at vektorfeltet divergerer. For tilfellet a = 0, forblir a uforandret innenfor volumet. A.8.3 Dobbeltderivert Divergensen til gradienten av skalarfunksjonen φ, ( φ), er en skalarfunksjon og representerer den dobbeltderiverte av φ. 2 kalles del-i-andre. ( φ) = 2 φ = 2 φ x φ y φ z 2 (323) A.8.4 Kurl Kurlen til en vektorfunskjon a, a, er en vektor. kalles kurl. a står alltid normalt på og a, og retningen er gitt ved høyrehåndsregelen. i j k ( a = x y z a x a y a z = ˆx az y a ) ( y az ŷ z x a ) ( x ay + ẑ z x a ) x (324) y A.8.5 Relativ, absolutt og potensiell virvling Kurlen til hastighetsvektoren u kan skrives som ( w u = ˆx y v ) ŷ z ( w x u z ) ( v + ẑ x u ) y (325) Vertikalkomponenten til u kalles relativ virvling og betegnes med symbolet ζ ζ = v x u y (326) ζ > 0 betyr rotasjon mot klokken (syklinisk bevegelse) når en observerer rotasjonen overfra på nordlige halvkule. For ζ < 0, er rotasjonen med klokken (anti-syklinisk bevegelse) Absolutt virvling er gitt ved summen hvor f er Coriolisparameteren 2Ω sin ϕ. ζ + f (327) Potensiell virvling er som absolutt virvling, men inkluderer væskens høde h ζ + f h (328) 75

76 A.9 Vektoridentiteter som involverer del-operatoren Fra (335), følger det at ( a) = 0 (329) ( φ) = 0 (330) (φa) = φ a + a φ (331) (φa) = φ a + φ a (332) (a b) = b ( a) a ( b) (333) (a b) = a( b) b( a) + (b )a (a )b (334) (a b) = (a )b + (b )a + a ( b) + b ( a) (335) ( a) = ( a) 2 a (336) ( ) 1 (a )a = 2 a a a ( a) (337) Vis (329)-(337). Hint: Skriv uttrykkene på komponentform. A.10 Derivasjon i et polarkoordinatsystem A.10.1 Polare koordinater Gradient-operatoren i polare koordinater (r, θ) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (303) ( = r, 1 ) (338) r θ Figur 38: Kurvelineære polare koordinater i to dimensjoner med tilhørende ortogonale enhetsvektorer e r og e θ. 76

77 Fra figur 38, følger det at enhetsvektorene e r og e θ kan skrives som e r = ˆx cos θ + ŷ sin θ (339) e θ = ˆx sin θ + ŷ cos θ (340) hvor ˆx og ŷ er enhetsvektorene i det faste (x, y) koordinatsystemet. Fra (339) og (340) følger det at e r θ = e θ e θ θ = e r e r r = 0 (341) e θ r = 0 (342) Divergensen til hastighetsvektoren u = e r u r + e θ u θ, sett fra det faste koordinatsystemet (x, y), blir da ( ) u = e r r + e 1 θ (e r u r + e θ u θ ) r θ = e r r (e ru r + e θ u θ ) + 1 r e θ θ (e ru r + e θ u θ ) ( e = e r r r u u r r + e r r + e θ r u θ + ) u θ e θ r (343) ( + 1 r e e r θ θ u u r + e r r θ + e ) θ θ u u θ θ + e θ θ = u r r + u r r + 1 u θ r θ Her har vi benyttet at e r e r = e θ e θ = 1, e r e θ = 0 og uttrykkene (341) og (342). Skråpilene viser leddene som ikke gir bidrag. Ved å kombinere de to første leddene i uttrykket over, får vi u = 1 r r (ru r) + 1 u θ r θ (344) På tilsvarende måte finner vi at 2 φ = 1 r ( r φ ) φ r r r 2 θ 2 (345) Vis (345). A.10.2 Polare kulekoordinater Gradient-operatoren i polare kulekoordinater (λ, ϕ, r) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (307) ( 1 = r cos ϕ λ, 1 r ϕ, ) (346) r 77

78 Divergensen til hastighetsvektoren u = e λ u + e ϕ v + e r w, blir da u = 1 u r cos ϕ λ + 1 r cos ϕ v cos ϕ ϕ + 1 r 2 wr 2 r (347) Videre er φ φ = r 2 cos 2 ϕ λ r 2 cos ϕ ϕ ( cos ϕ φ ) + 1 ( ϕ r 2 r 2 φ ) r r (348) I tilfellet med konstant r, kan det siste leddet i (347) og (348) forenkles siden r 2 -faktorene kansellerer hverandre. Vis (347) og (348). Hint: Enhetsvektorene e λ, e ϕ og e r, uttrykt i kartesiske (x, y, z) koordinater, er e λ = ( sin λ, cos λ, 0) (349) e ϕ = ( cos λ sin ϕ, sin λ sin ϕ, cos ϕ) (350) e r = (cos λ cos ϕ, sin λ cos ϕ, sin ϕ) (351) Polare kulekoordinater (λ, ϕ, r), hvor λ spenner ut øst-vest retningen (sonal retning), ϕ spenner ut nord-sør retningen (meridional retning) og r er radial koordinat, er vist til høyre i figur 36. Skalafaktorene for henholdsvis λ-, ϕ- og r-retningen, er r cos ϕ, r, 1 (352) Gradient-operatoren er gitt ved den inverse av skalafaktorene, altså ( 1 = r cos ϕ λ, 1 ) r ϕ, r (353) Alternativt kan (353) uttrykkes med hjelp av enhetsvektorene e λ, e ϕ og e r i henholdsvis λ-, ϕ- og r-retningen. Dette gir = e λ r cos ϕ λ + eϕ r ϕ + er r (354) Enhetsvektorene e λ, e ϕ og e r har følgende komponenter i x, y, z koordinatsystemet e λ = ( sin λ, cos λ, 0) (355) e ϕ = ( cos λ sin ϕ, sin λ sin ϕ, cos ϕ) (356) e r = (cos λ cos ϕ, sin λ cos ϕ, sin ϕ) (357) Enhetsvektorene e λ, e ϕ og e r er ortogonale vektorer. Det følger derfor at e n e m = { 1 dersom n = m 0 dersom n m (358) der n og m er alle mulige permutasjoner av λ, ϕ og r. I motsetning til enhetsvektorene i et kartesisk koordinatsystem som ligger fast, varierer enhetsvektorene e λ, e ϕ og e r i rommet, i dette tilfellet med λ og ϕ, se (355) (357). Det følger fra (355) (357) at r e λ = r eϕ = er = 0 (359) r 78

79 Videre er variasjonen av enhetsvektorene i ϕ-retningen ϕ e λ = 0 (360) eϕ ϕ = ( cos λ cos ϕ, sin λ cos ϕ, sin ϕ) = er (361) er ϕ = ( cos λ sin ϕ, sin λ sin ϕ, cos ϕ) = eϕ (362) og, på tilsvarende måte, er variasjonen i λ-retningen λ e λ = ( cos λ, sin λ, 0) = sin ϕ e ϕ cos ϕ e r (363) λ eϕ = (sin λ sin ϕ, cos λ sin ϕ, 0) = sin ϕ e λ (364) λ er = ( sin λ cos ϕ, cos λ cos ϕ, 0) = cos ϕ e λ (365) Divergensen til hastighetsvektoren u = e λ u + e ϕv + e rw, blir da ( 1 u = r cos ϕ λ, 1 r ϕ, ) (u, v, w) = D 1 + D 2 + D 3 (366) r Her er, for oversiktens skyld, divergensen delt i tre bidrag: D 1, D 2 og D 3. Vi har da D 1 = = = = hvor skråpilene viser ledd som ikke gir bidrag. Videre er og, til slutt, e λ r cos ϕ λ (e λu + e ϕv + e rw) ( ) (367) e λ r cos ϕ λ λ u + e u λ λ + eϕ λ v + e v ϕ λ + er λ w + e w r λ (368) ( ) e λ r cos ϕ u e λ λ e λ sin ϕ v + e λ cos ϕ w (369) 1 u r cos ϕ λ v sin ϕ r cos ϕ + w r (370) D 2 = eϕ r ϕ (e λu + e ϕv + e rw) (371) = eϕ r λ ϕ u e λ ϕ ϕ v eϕ ϕ + er ϕ w + e w r ϕ (372) = 1 r v ϕ + w r (373) D 3 = e r r (e λu + e ϕv + e rw) (374) ( ) = e r e λ r u + e u λ r + eϕ r v + e v ϕ r + e r r w + w er (375) r = w r (376) 79

80 Siden u = D 1 + D 2 + D 3, følger det at 1 u u = r cos ϕ λ v sin ϕ r cos ϕ + 1 v r ϕ + 2w r + w r På høyre side i uttrykket over kan ledd to og tre, og ledd fire og fem, slåes sammen. Vi får da 1 u u = r cos ϕ λ + 1 r cos ϕ v cos ϕ ϕ + 1 r 2 wr 2 r (377) (378) A.10.3 Totalderivert uttrykt i kulekoordinater Den totalderiverte i kartesiske koordinater har formen Du Dt = u + u u (379) t Den romlige derivasjonen i (379) får noen tilleggsledd i kulekoordinater. Disse kan utledes som følger. Ser vi bort fra radielle variasjoner (slik at / r = 0), følger det fra (346) at gradientoperatoren kan skrives som 1 = e λ a cos ϕ λ + e 1 ϕ (380) a ϕ I uttrykket over er a = konst jordens radius. Hastighetsvektoren er Prikkproduktet u kan skrives som u = (e λ u + e ϕ v + e z w) u = e λ u + e ϕ v + we z (381) ( 1 e λ r cos ϕ = u a cos ϕ λ + v a ϕ + w r hvor vi har brukt at enhetsvektorene er ortogonale. ) λ + e 1 ϕ r ϕ (382) Advekjsonsleddet i kulekoordinater blir da ( u u u = a cos ϕ λ + v ) (e λ u + e ϕ v + e z w) (383) a ϕ Siden enhetsvektorene endrer retning, må både hastighetskomponentene (u, v, w) og enhetsvektorene e λ, e ϕ og e z deriveres. Til sistnevnte benyttes (360) (365). Det følger da at u a cos ϕ λ (e λu + e ϕ v + e z w) = u ( u a cos ϕ λ e λ + u(sin ϕe ϕ cos ϕe z ) + v λ e ϕ v sin ϕe λ + w ) λ e z + w cos ϕe λ 80 (384)

81 og Bidragene i e λ retningen blir ( v u a ϕ e λ + v ) ϕ e ϕ ve z + we ϕ u u a cos ϕ λ + v u a ϕ uv a tan ϕ + uw a (385) (386) På tilsvarende måte blir bidragene i e ϕ retningen og i e z retningen u v a cos ϕ λ + v v a ϕ + u2 a tan ϕ + vw a u w a cos ϕ λ + v a v ϕ u2 + v 2 a (387) (388) Fra kulekoordinatenes skalafaktorer (307) følger det at Uttrykk (383), innsatt (386) (388), gir δx = a cos ϕ δλ og δy = a δϕ (389) eller u u = u u x + v u y uv a tan ϕ + uw a u v = u v x + v v y + u2 a tan ϕ + vw a u w = u w x + v w y u2 + v 2 a Du Dt = u uv + u u t a tan ϕ + uw a Dv Dt = v u2 + u v + t a tan ϕ + vw a Dw Dt = w t + u w u2 + v 2 a (390) (391) A.11 Adveksjonsleddet for ren sirkulær bevegelse i to dimensjoner For ren sirkulær bevegelse, følger det fra figur 38 at u = u θ e θ (392) 81

82 I dette tilfellet kan adveksjonsleddet skrives som ( u u = u θ e θ r e r + 1 ) r θ e θ u θ e θ = u θ r = u θ r = u θ r θ (u θ e θ ) ( ) uθ θ e e θ θ + u θ θ ( ) uθ θ e θ u θ e r (393) I tilfellet med konstant rotasjonshastighet, følger det at u u = u2 θ r e r (394) I dette tilfellet er bidraget til adveksjonsleddet u u i retning til u u (u u) = 0 (395) Adveksjonsleddet u u gir golgelig ikke bidrag til momentumligningen for an antatt konstant, sirkulær bevegelse, som for idealiserte treghetssvingninger. Følgelig kan treghetssvingninger tilnærmes fra følgende (forenklede) variant av momentumligningen (se uttrykk (56); ser bort fra trykkgradient og friksjon, i tillegg til adveksjonsleddet): u t + f ẑ u = 0 (396) A.12 Sirkulær bevegelse og avstander på en kule A.12.1 Fart til en sirkulær bevegelse Omkretsen O rundt en sirkel med radius r er Vinkelfarten θ er der T er tiden til en full rotasjon. O = 2πr (397) θ = 2π/T (398) Det følger da at farten v til en partikkel som beveger seg med konstant vinkelfart θ rundt en sirkel med radius r er v = avstand tid = 2πr = θr (399) 2π/θ (399) kan uttrykkes på vektorform i polarkoordinater (se venstre del av figur 36) ved hjelp av enhetsvektoren e θ (340) v = v e θ = θr e θ (400) eller i kulekoordinater (se høyre del av figur 36) v = u e λ = λr e λ (401) 82

83 A.12.2 Avstander på en kule Figur 39 illustrerer breddegradssirkler (parallelle med ekvator) og lengdegradssirkler (går gjennom polpunktene) på en kule. Det følger fra figuren at den geografiske avstanden mellom to lengdegrader avtar med økende breddegrad (mot polene), mens avstanden mellom to breddegrader er konstant. Figur 39: Bredde- og lengdegradssirkler på en kule. Breddegradssirklene er rettet i nord-sør retningen og lengdegradssirklene i øst-vest retningen. Bredde- og lengdegradsretningene kalles også meridional og sonal retning. A.13 Taylorrekke En kontinuerlig deriverbar (glatt) funksjon f(x) kan, for små δx, skrives som f(x + δx) = f(x) + f x δx + 2 f (δx) 2 x n f (δx) n 2 x n n! (402) Til laveste orden kan (402) skrives som δf = f δx (403) x hvor δf = f(x + δx) f(x). (403) brukes ofte i utledning av uttrykk hvor små endringer av δx inngår. På tilsvarende måte kan funksjonen f av flere variable f = f(x, y,..., z) skrives som f(x + δx, y + δy,..., z + δz) = f(x) + f(y) f(z) + f f f δx + δy x y z δz + O(δ2 ) (404) 83