Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008)

Transkript

1 Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008) Av Helge Drange Geofysisk institutt, Universitetet i Bergen GEOF110, vår 2016, versjon 25 november Vennligst gi et ord om feil, mangler, ønsker etc. til helge.drange@gfi.uib.no Tenk på miljøet unngå unødvendige utskrifter! 25. november

2 Innhold 1 Bakgrunn Fluid/fluider Bevegelsen til hav og atmosfære (i) Differensiert oppvarmet (iii) Hydrodynamisk væske (ii) Væskens lagdeling (iv) Roterende koordinatsystem (v) De primitive ligningene Bevaring av masse og bevegelsesmengde Tilleggsligninger for atmosfæren Tilleggsligninger for havet Utledning og tolkning Den totalderiverte av u Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem Totalderivert i et roterende koordinatsystem Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem Jordens rotasjonsvektor Tolkning av bevegelsesligningens ledd Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen 2Ω u Coriolisleddet utfører ikke arbeid Coriolisakselerasjonen på komponentform Coriolisakselerasjonen på forenklet form Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen Ω (Ω r) Sentrifugalakselerasjonen på komponentform Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet Derivasjon i et polarkoordinatsystem Polare koordinater Polare kulekoordinater Forenklinger og anvendelser Avstander på en kuleflate Skalaanalyse Geostrofisk balanse Rossbytall Hydrostatisk balanse Geostrofisk balanse Eksempel, geostrofisk balanse Geostrofisk balanse i trykk-kordinater Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater ( z/ x) p = konst < 0, ( z/ y) p = 0 og f > ( z/ x) p = 0, ( z/ y) p = konst < 0 og f > Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar Termalvind, generelt uttrykk Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

3 3.8 Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer Tolkning av termalvind Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind Orientering p T = p T = konst ( T / y) p = konst < 0, ( T / x) p = 0 og f > ( T / y) p = konst > 0, ( T / x) p = 0 og f < ( T / x) p = konst > 0, ( T / y) p = 0 og f > Kald og varm adveksjon Idealisert eksempel Eksempel basert på klimatologi Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater Anvendelse av trykk- og høydegradient Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne Energioverføring i atmosfæren Spinnsatsen Atmosfærens spinn i sonal retning Eksempel, verdier for atmosfærens spinn i sonal retning Eksempel, sammenheng mellom spinnsatsen og sonal komponent av momentumligningen Oppdriftsfrekvens/Brunt-Väisälä frekvensen Redusert gravitasjon Margules sammenheng Rossbys tilpasningsproblem Venstre side av (145) Høyre side av (145) Rossby deformasjonsradius Frigjøring av potensiell energi Potensiell energi Beregning av potensiell energi for en tolagsmodell Kinetisk energi Kinetisk energi uttrykt med termalvind i en tolagsmodell Vinddrevet havsirkulasjon Ekman teori Horisontal massetransport i Ekman-laget Transport gjennom nedre grenseflate på Ekman-laget Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget Se også seksjon 5.2 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, Se også seksjon i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, Se også seksjon 8.6 i Introduction to Geophysical Fluid Dynamics av Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers (2010), og seksjon 5.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

4 5.1.4 Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman teoremet Sverdrupbalanse Eksempel, sammenheng mellom Ekman- og Sverdrup-teori Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning A Grunnleggende funksjon- og vektoranalyse 61 A.1 Koordinatsystem A.1.1 Rektangulære koordinater A.1.2 Kurvelineære polare koordinater A.1.3 Buelengde A.1.4 Polare koordinater A.1.5 Polare kulekoordinater A.2 Variabel A.3 Funksjon A.4 Skalarfunksjon A.5 Vektorfunksjon A.6 Skalarprodukt A.7 Vektorprodukt A.8 Derivasjon i et fikssystem A.8.1 Gradient til en skalarfunksjon A.8.2 Divergensoperatoren; divergerende og konvergerende vektorfunksjon A.8.3 Dobbeltderivert A.8.4 Kurl A.8.5 Relativ, absolutt og potensiell virvling A.9 Vektoridentiteter som involverer del-operatoren A.10 Derivasjon i et polarkoordinatsystem A.10.1 Polare koordinater A.10.2 Polare kulekoordinater A.10.3 Totalderivert uttrykt i kulekoordinater A.11 Sirkulær bevegelse og avstander på en kule A.11.1 Fart til en sirkulær bevegelse A.11.2 Avstander på en kule A.12 Taylorrekke B Oppdateringer vår C Oppdateringer vår D Oppdateringer vår E Oppdateringer vår F Oppdateringer vår Se også diskusjon i seksjon i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, Se også seksjon 6.3 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11,

5 1 Bakgrunn 1.1 Fluid/fluider Et fluid, godkjent norsk ord, substativ, intetkjønn. Fellesbetegnelse for gasser og væsker. All materiale i naturen kan grupperes i én av to typer; som fast stoff eller som fluid. I et fast stoff er molekylenes bevegelse begrenset ( molecular immobility ). I et fluid er molekylene fri til å bevege seg ( molecular mobility ). Fluider eksisterer som gass eller væske Bevegelsen til hav og atmosfære Bevegelsen til en (i) ulikt oppvarmet, (ii) lagdelt (iii) væske på en (iv) roterende kule er ikke tilfeldig; den følger grunnleggende (v) fysiske prinsipper eller lover. I det følgende betrakter vi jorden, men tilsvarende gjelder for enhver roterende planet med differensiert oppvarming. 1.3 (i) Differensiert oppvarmet For jorden er det netto oppvarming i tropene og netto nedkjøling ved polene, se figur 5.5 i Marshall & Plumb. Uten transport av varme fra tropene mot polene, ville temperaturen stadig stige i tropene og stadig falle ved polene. Fra observert temperatur vet vi at dette ikke er tilfellet, følgelig må det være varmetransport fra tropene mot høyere breddegrader på hver halvkule. Dette er tilfellet for både atmosfære og hav. 1.4 (iii) Hydrodynamisk væske Luft og vann er begge (hydrodynamiske) væsker. For å beskrive bevegelsen til luft og vann, deler vi væskene opp i tenkte, materielle volumer. Materielle volumer er volumer som hele tiden består av de samme partiklene. Summen av krefter som virker på et materielt volum bestemmer hvordan volumet, det vil si luften og vannet, beveger seg. Newtons andre lov (N2; også kalt momentumligningen eller ligningen for bevaring av bevegelsesmengde) F = m a (1) gjelder for ethvert materielt volum på samme måte som N2 gjelder for et fallende legeme i luft eller for en glidende klosse på et skråplan. I ligningen over er F (enhet: N) kraften som virker på volumet, m (kg) er volumets masse og a (m s 2 ) er volumets akselerasjon. 1.5 (ii) Væskens lagdeling Generelt vil luftens tetthet (masse per volum) avta oppover i atmosfæren og vannets tetthet vil øke nedover havet. Tetthet betegnes ofte ρ med enhet kg m 3. En stabil lagdeling (eller Press. 7 Reddy, J. N. (2013), An Introduction to Continuum Mechanics, second edition, s. 242, Cambridge University 5

6 stratifisering) betyr at en lett væske ligger over en tyngre væske. Skulle en tung væske ligge over en lettere væske, sier vi at væsken er ustabilt stratifisert og det vil da oppstå vertikal blanding inntil nøytral eller stabil lagdeling framkommer. Figur 1: Illustrasjon på en væske som er (a) stabilt, (b) nøytralt og (c) ustabilt stratifisert. En stabil stratifisering motvirker vertikal blanding da det krever energi å løfte en tung væske og senke en lett væske i væskesøylen. En ustabil stratifisering vil føre til vertikal blanding inntil nøytral eller stabil stratifisering oppstår. 1.6 (iv) Roterende koordinatsystem N2 gjelder for et ikke-akselererende koordinatsystem, ofte antatt å ligge fast eller å bevege seg med konstant hastighet i forhold til fiksstjernene, det vil si stjerner som ligger fast på himmelen. Jorden roterer og vi observerer vind og strøm relativt til jorden; altså i et roterende referansesystem. For å kunne bruke N2 må vi da uttrykke N2 i et roterende referanse- eller koordinatsystem. Dette gir opphav til Coriolis- og sentrifugalakselerasjonene. Ofte blir N2 uttrykt i et rettlinjet koordinatsystem med koordinater x, y og z, hvor x og y gjerne betegner de horisontale retningene og z gir vertikal retning for problemet vi betrakter. Siden jorden er tilnærmet kuleformet, er det praktisk å bruke kulekoordinatene λ, ϕ og z. Her er λ lengdegrad, ϕ er breddegrad og z er vertikal retning fra jordens sentrum. Uavhengig av valg av koordinatsystem, følger koordintsystemene høyrehåndsregelen. Alltid! Se appendix A.1 for en kort gjennomgang av ofte brukte koordinatsystemer. 1.7 (v) De primitive ligningene (primitiv = opprinnelig, uutviklet, som hører til et tidlig utviklingstrinn) 6

7 z y x Figur 2: Illustrasjon av et rettvinklet koordinatsystem i tre dimensjoner (til venstre) og et kulekoordinatsystem ofte brukt for å beskrive atmosærens og havets dynamikk (til høyre). I kulekoordinatsystemet er a = m jordens midlere radius og z = 0 er ved havets overflate, det vil si at z > 0 i atmosfæren og z < 0 i havet. - De dynamiske og termodynamiske naturlovene som beskriver atmosfærens og havets bevegelser, undergruppe av de mer generelle Navier-Stokes ligningene - Basert på emperi og hypoteser - Kan ikke bevises (men er til dags dato ikke motbevist) - Bare idealiserte tilfeller kan løses eksakt; full løsning krever numeriske metoder/modeller Et system av koplede differesialligninger kan løses dersom antall ligninger er lik antall ukjente og når de ukjente er beskrevet av kjente (foreskrevne) initial- og randverdier. De grunnleggende ligningene følger under Bevaring av masse og bevegelsesmengde Bevaring av masse ρ + (ρu) = 0 (2) t Bevaring av bevegelsesmengde (momentum) i tre dimensjoner (x, y, z) u t + u u + 1 p + ẑg = 2 Ω u Ω (Ω r) + F (3) ρ Tilleggsligninger for atmosfæren Tilstandsliking for atmosfæren (ideelle gasslov som er en god beskrivelse av tørr luft) p = ρrt (4) 7

8 Bevaring av varme (her temperatur) T t + (T u) = Q (5) ligningene (2)-(5) er et løsbart system bestående av 6 ligninger med 6 ukjente ρ, u = (u, v, w), p og T Tilleggsligninger for havet Tilstandsligning for havet (en av flere versjoner) Bevaring av varme (her temperatur) ρ = ρ 0 [1 α(t T 0 ) + β(s S 0 )] (6) T t + (T u) = Q (7) Bevaring av salt S + (Su) = kilder minus sluk (8) t ligningene (2), (3) og (6)-(8) er et løsbart system bestående av 7 ligninger med 7 ukjente ρ, u = (u, v, w), p, S og T. 8

9 2 Utledning og tolkning - Utledning basert på Newtons 2. lov og massebevaring - For Newton: Gjelder med bevegelsen, innfører den totalderiverte - Bruker skalarprodukt og vektorprodukt - Anvender Taylorrekkeutviking til laveste orden (andre metoder kan benyttes og gir samme resultat, f.eks. fra statistisk mekanikk) - Overgang fra ikke-roterende til roterende kartsisk koordinatsystem - Overgang fra kartesisk til krumlinje (kule)koordinatsystem - Fysisk tolkning av de ulike leddene Se appendiks for definisjon av skalarprodukt, vektorprodukt, buelengde, polarkoordinater, kulepoordinater, rekkeutvikling, etc. 2.1 Den totalderiverte av u Uttrykket Du Dt = u + u u (9) t er den totalderiverte av u og gir endringen av u når en følger med bevegelsen. Den totalderiverte består av to ledd. Lokal endring i tid i et fast geografisk punkt og bidraget av adveksjon Den totalderiverte (9) har tre komponenter Du Dt Dv Dt Dw Dt u t (10) u u (11) = u t + u u x + v u y + w u z = v t + u v x + v v y + w v z = w t + u w x + v w y + w w z 2.2 Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem Vi betrakter posisjonsvektoren r som har konstant lengde men som endrer retning grunnet rotasjon med vinkelhastighet Ω om en akse som vist i figur 3. I det roterende koordinatsystemet er r(t) konstant i tid, slik at r(t) = r(t + t). Men betraktet fra et fast koordinatsystem, et fikssystem, endrer posisjonsvektoren seg fra r(t) til r(t + t) i løpet av tiden t. Siden det kun er endring av r grunnet rotasjon vi betrakter her, ikke lengden til r, er r = konst i det følgende. Tilfellet med en generell vektor A som roterer og som endrer lengde er utledet i påfølgende avsnitt. (12) (13) (14) 9

10 Figur 3: Illustrasjon av tidsendringen til en posisjonsvektor r(t) som roterer mot klokken med konstant vinkelgastighet Ω = Ω. R er radiusen i sirkelen som posisjonsvektoren r(t) spenner ut (farget lys rødt). I løpet av tiden t beveger posisjonsvektoren seg en avstand r i det fargede sirkulasjonsplanet. 10

11 Fra uttrykket for en buelengde (272) følger det at lengden av r kan skrives som r = R λ = r sin θ λ (15) Videre er λ = Ω t (16) hvor Ω = Ω. Det følger da fra (15) og (16) at r t = Ω r sin θ (17) For t 0, får vi dr = Ω r sin θ (18) dt eller, fra definisjonen av et vektorprodukt (avsnitt A.7), at dr dt = Ω r (19) Merk at høyrehåndsregelen gir at Ω r er rettet langs r i figur 3. Sett fra et fast (ikkeroterende) koordinatsystem er derfor tidsendringen av den roterende posisjonsvektoren r gitt ved (19). Transformasjonen (19) er grunnleggende for å utlede sammenhengen mellom bevegelsesligningene i et ikke-roterende og roterende koordinatsystem. 2.3 Totalderivert i et roterende koordinatsystem Vi starter med å betrakte et koordinatsystem som ligger fast, et fiksssystem (navn etter fiksstjernene), og et som roterer rundt en koordinatakse. Fikssystemet er angitt med umerkede størrelser og subskrift f, mens merkede størrelser og subskrift r betegner det roterende systemet. For enkelhetsskyld har koordinatsystemene felles origo og rotasjonen skjer langs den felles z-aksen, se figur 4. Figur 4: Vektoren A i et fast (x, y, z) og et roterende (x, y, z ) koordinatsystem. 11

12 Vektoren A kan uttrykkes entydig i begge systemene: A = ˆxA x + ŷa y + ẑa z (20) A = ˆx A x + ŷ A y + ẑ A z (21) A = A (22) Sett fra det roterende koordinatsystemet ligger enhetsvektorene ˆx, ŷ og ẑ fast, slik at den tidsderiverte av A i dette tilfellet er gitt ved den tidsderiverte av A s komponenter DA Dt = ˆx DA x r Dt + ŷ DA y r Dt + ẑ DA z r Dt (23) r hvor subskrift r betegner at derivasjonen er gjort i det roterende koordinatsystemet. På tilsvarende måte kan den tidsderiverte sett fra fikssystemet (subskrift f) skrives som DA Dt = ˆx DA x f Dt + ŷ DA y f Dt + ẑ DA z f Dt (24) f Sett fra fikssystemet, vil enhetsvektorene i det roterende koordinatsystemet endre seg i tid. Siden A = A, følger det at DA Dt = DA f Dt = ˆx DA x f Dt + ŷ DA y f Dt + ẑ DA z f Dt f + Dˆx Dt A x + Dŷ f Dt A y + Dẑ f Dt A z (25) f Fra transformasjonsuttrykket for en vektor i et roterende koordinatsystem (19), følger det at Dˆx Dt = Ω ˆx (26) f Dŷ Dt = Ω ŷ (27) f Dẑ Dt = Ω ẑ (28) f Fra de tre siste leddene i (25) har vi at de tre uttrykkene over skal multipliseres med henholdsvis A x, A y og A z. Dette gir Dˆx Dt A x + Dŷ f Dt A y + Dẑ f Dt A z = Ω (A xˆx + A yŷ + A zẑ ) = Ω A (29) f Videre er tidsendringen av lengden til A sine komponenter, som er skalare størrelser, identisk i de to koordinatsystemene DA x Dt = DA x f Dt (30) r DA y Dt = DA y f Dt (31) r DA z Dt = DA z f Dt (32) r 12

13 Dette gir at ˆx DA x Dt + ŷ DA y f Dt + ẑ DA z f Dt = DA f Dt (33) r Uttrykkene (29) og (33) innsatt i (25), gir DA Dt = DA f Dt + Ω A (34) r Eller, for en vilkårlig vektor A, DA Dt = DA f Dt + Ω A (35) r Med notasjonen over kan tidsendringen av posisjonsvektoren r i (19) skrives på formen dr dt = Ω r (36) f Det følger derfor at (35) er en generalisert versjon av uttrykk (19). 2.4 Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem Uttrykket (35) kan brukes til å relatere tidsendringen av hastighetsvektorene, det vil si akselerasjonen, i et fikssystem og i et roterende system, ved først å erstatte A med r: Dr Dt = Dr f Dt + Ω r (37) r De to første leddene i uttrykket over gir hastigheten u i henholdsvis fikssystemet og det roterende systemet, slik at (37) kan skrives som u f = u r + Ω r (38) Videre følger det at akselerasjonen i et fiksssystem kan uttrykkes som Du f (35) Du f Dt = f Dt + Ω u f [ r ] (38) D = Dt (u r + Ω r) + Ω (u r + Ω r) r [ Dur = Dt + Ω Dr ] + Ω u r + Ω (Ω r) Dt r Du r = Dt + 2 Ω u r + Ω (Ω r) (39) r Fra uttrykket over følger det at bevegelsesligningen i det roterende koordinatsystemet kan skrives som Du Dt + 1 p + ẑg = 2 Ω u Ω (Ω r) + F (40) ρ 13

14 Siden det er underforstått at (40) uttrykker bevegelsesligningen i et roterende koordnatsystem, er subskrift r droppet fra ligningen. Leddet 2 Ω u kalles Coriolisakselerasjonen og leddet Ω (Ω r) kalles sentrifugalakselerasjonen. Begge leddene er fiktive akselerasjoner, det vil si at de representerer tilsynelatende akselerasjoner som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende koordnatsystem. Siden akselerasjon er det samme som kraft per enhetsmasse, kalles de to fiktive kreftene over også Corioliskraft per enhetsmasse og sentrifugalkraft per enhetsmasse. 2.5 Jordens rotasjonsvektor Ω er jordens rotasjonsvektor; den er rettet oppover sett fra en fiksstjerne (i hht. høyrehåndsregelen) og har verdi Ω = 2π/T 2π/(86400 s) rad s 1. Her er T tiden til en full rotasjon (dvs. 24 timer). Ofte skrives enheten til Ω som s 1, som da er underforstått rad s 1, der rad er radianer. Sett fra det ikke-roterende fikssystemet roterer jorden mot høyre, det vil si fra vest mot øst. 2.6 Tolkning av bevegelsesligningens ledd u + u }{{} t } {{ u } adveksjon lokal endring + 1 ρ p } {{ } trykk + ẑg }{{} gravitasjon = 2 Ω u Ω (Ω r) } {{ } } {{ } Coriolis sentrifugal + F }{{} friksjon (41) Figur 5: Orientering til Coriolisakselerasjonen (venstre) og sentrifugalakselerasjonen (høyre) i et roterende koordinatsystem på den nordlige halvkule. 2.7 Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen 2Ω u - Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system - Virker bare når det er bevegelse 14

15 - Er proporsjonal med hastigheten u - Virker normalt på hastigheten, så bare retningen, ikke hastigheten u, endres (se seksjon 2.7.1) - Er rettet til høyre for hastighetsvektoren u på den nordlige halvkule, se figur 5 - Er rettet til venstre på den sørlige halvkule - Er størst ved polene og fraværende ved ekvator (rent formelt gjelder det siste bare dersom bevegelsen er rettet langs jordens overflate, fordi Coriolis har en liten vertikal komponent, se seksjon 2.7.2) - Kan forenkles til fẑ u, der f = 2 Ω sin ϕ kalles Coriolisparameteren (se seksjon 2.7.3) Coriolisleddet utfører ikke arbeid Dette kan vi vise fra (3) dersom vi bare betrakter den totalderiverte av u og Coriolisleddet: Du Dt = 2 Ω u (42) Prikker vi momentumuttrykket (42) med u, får vi for adveksjonsleddet u Du Dt = D ( ) 1 Dt 2 u u = D ( ) 1 Dt 2 u2 og for Coriolisleddet (43) u ( 2 Ω u) = 0 (44) Følgelig gjelder D ( u 2 ) = 0 (45) Dt u 2 er altså bevart med bevegelsen i et system der bare Coriolis-akselerasjonen virker. Starter vi ut med en væske i ro, vil væsken forbli i ro. På tilsvarende måte, starter vi ut med en væske med hastighet u, vil u = konst. Coriolis-akselerasjonen endrer derfor retningen, men ikke absoluttverdien (eller farten), til u. Følgelig er kinetisk energi konservert, og Coriolis-leddet utfører ikke arbeid. Det siste gjelder for enhver akselerasjon (eller kraft) som virker normalt på hastighetsvektoren Coriolisakselerasjonen på komponentform Vi betrakter koordinatsystemet som vist i figur 6. Uttrykt i koordinatsystemet (x, y, z) som roterer med jorden og hvor x-aksen er rettet østover, y-aksen nordover og z-aksen radielt utover, følger det at rotasjonsvektoren Ω kan skrives på komponentform som Coriolisakselerasjonen blir da Ω = Ω(0, cos ϕ, sin ϕ) (46) 2 Ω u = 2 Ω(w cos ϕ v sin ϕ, u sin ϕ, u cos ϕ) (47) hvor u = (u, v, w) er hastighetsvektorens komponenter i (x, y, z)-retningene. Fra (47), og med hjelp av figur 6, ser vi følgende 15

16 Figur 6: Øverst: Jorden med et lokalt roterende koordinatsystem (x, y, z). x er rettet østover, y nordover og z radielt utover. Rotasjonsjonen foregår i østlig retning og er gitt ved Ω. λ betegner lengdegrad og ϕ breddegrad. Nederst, fra venstre: 2 Ω (u, 0, 0), 2 Ω (0, v, 0) og 2 Ω (0, 0, w). 16

17 u bidrar i Coriolisakselerasjonens y- og z-retninger fordi 2 Ω (u, 0, 0) er rettet radielt ut fra rotasjonsaksen, det vil si at 2 Ω (u, 0, 0) har en komponent i y-retningen og en komponent i z-retningen. Merk at 2 Ω (u, 0, 0) bidrar i to retninger siden u = (u, 0, 0) står normalt på Ω. Dette i motsetning til v- og w-komponentene som begge ligger i samme plan som Ω. v bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x-retning fordi 2 Ω (0, v, 0) er rettet i x-retningen. Merk at 2 Ω (0, v, 0) bidrar i kun en retning siden u = (0, v, 0) ligger i samme plan som Ω. w bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x -retning fordi 2 Ω (0, 0, w) er rettet i xretningen. Merk at 2 Ω (0, 0, w) bidrar i kun en retning siden u = (0, 0, w) ligger i samme plan som Ω Coriolisakselerasjonen på forenklet form Vi tar utgangspunkt i det fulle uttrykket for Coriolisakselerasjonen (47). Generelt er w mye mindre enn den horisontale hastighetskomponenten v (det samme gjelder for u). Under forutsetning av at vi holder oss borte fra ekvator, kan da leddet med w neglisjeres. Videre er Coriolisakselerasjonens z-komponent svært liten i forhold til tyngdeakselerasjonen g. Følgelig kan vi også se bort fra z-komponenten. Dette betyr Uttrykket over kan skrives som 2 Ω u 2 Ω( v sin ϕ, u sin ϕ, 0) (48) der ẑ er enhetsvektoren i z-retningen og Coriolisparameteren 2 Ω u = fẑ u (49) f = 2 Ω sin ϕ (50) Merk at Coriolisparameteren er positiv på den nordlige halvkule og negativ på den sørlige halvkule. For 45 breddegrad er f s Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen Ω (Ω r) - Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system - Er statisk; virker alltid - Er alltid rettet radielt utover i forhold til rotasjonsvektoren Ω - Reduserer gravitasjonen i radiell retning med Ω 2 r cos ϕ, der r er jordens radius of ϕ er breddegrad. Den målte gravitasjonen på jorden er derfor mindre enn om jorden ikke roterte - Gir gravitasjonen et bidrag rettet mot ekvator på nordlige og sørlige halvkule (Ω 2 r sin ϕ cos ϕ); som er grunnen til at jorden buler noe ut ved ekvator 2.9 Sentrifugalakselerasjonen på komponentform Ω (Ω r) = Ω 2 R(0, sin ϕ, cos ϕ) (51) der R er avstand fra jordens rotasjonsakse til et gitt punkt, d.v.s. R = r cos ϕ. 17

18 2.10 Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet Sentrifugalakselerasjonen kan skrives som gradienten til et potensial ( Ω 2 R 2 ) Ω (Ω r) = 2 (52) Gravitasjonen kan også skrives som gradienten til et potensial ẑg = (gz) (53) Ved å kombinere (52) og (53) får vi ẑg + Ω (Ω r) = φ (54) der φ = gz Ω2 R 2 2 Altså kan momentumligningen (3) alternativt uttrykkes (55) Du Dt + 1 p + φ = fẑ u + F (56) ρ 2.11 Derivasjon i et polarkoordinatsystem Polare koordinater Gradient-operatoren i polare koordinater (r, θ) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (275) ( = r, 1 ) r θ (57) Fra figur 7 følger det at enhetsvektorene e r og e θ kan skrives som e r = ˆx cos θ + ŷ sin θ (58) e θ = ˆx sin θ + ŷ cos θ (59) hvor ˆx og ŷ er enhetsvektorene i det faste (x, y) koordinatsystemet. Fra (58) og (59) følger det at e r θ = e θ e θ θ = e r e r r = 0 (60) e θ r = 0 (61) Divergensen til hastighetsvektoren u = e r u r + e θ u θ, sett fra det faste koordinatsystemet (x, y), 18

19 Figur 7: Kurvelineære polare koordinater i to dimensjoner med tilhørende ortogonale enhetsvektorer e r og e θ. blir da ( ) u = e r r + e 1 θ (e r u r + e θ u θ ) r θ = e r r (e ru r + e θ u θ ) + 1 r e θ θ (e ru r + e θ u θ ) ( e = e r r r u u r r + e r r + e θ r u θ + ) u θ e θ r ( + 1 r e e r θ θ u u r + e r r θ + e ) θ θ u u θ θ + e θ θ = u r r + u r r + 1 u θ r θ (62) Her har vi benyttet at e r e r = e θ e θ = 1, e r e θ = 0 og uttrykkene (60) og (61). Skråpilene viser leddene som ikke gir bidrag. Ved å kombinere de to første leddene på høyre side av uttrykket over, får vi u = 1 r r (ru r) + 1 u θ r θ (63) På tilsvarende måte finner vi at 2 φ = 1 r ( r φ ) φ r r r 2 θ 2 (64) 19

20 Polare kulekoordinater Gradient-operatoren i polare kulekoordinater (λ, ϕ, r) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (279) ( 1 = r cos ϕ λ, 1 r ϕ, ) (65) r Divergensen til hastighetsvektoren u = e λ u + e ϕ v + e r w, blir da u = 1 u r cos ϕ λ + 1 r cos ϕ v cos ϕ ϕ + 1 r 2 wr 2 r (66) Videre er φ φ = r 2 cos 2 ϕ λ r 2 cos ϕ ϕ ( cos ϕ φ ) + 1 ( ϕ r 2 r 2 φ ) r r I tilfellet med konstant r, kan det siste leddet i (66) og (67) forenkles siden r 2 -faktorene kansellerer hverandre. (67) 20

21 3 Forenklinger og anvendelser - Forenklinger basert på skalaanalyse eller gitte antagelser - Hydrostatisk tilnærming - Geostrofisk tilnærming - Termalvind - Friksjon - p- vs z-koordinater - Kompressible og ikke-kompressibel væske - Divergent og konverhent hastighetsfelt - Barotrop og baroklin væske 3.1 Avstander på en kuleflate Figur 8: Bredde- og lengdegradssirkler på en kule. Breddegradssirklene er rettet i nord-sør retningen og er gitt ved breddegradsvinkelen ϕ, og lengdegradssirklene i øst-vest retningen gitt ved lengdegradsvinkelen λ. Bredde- og lengdegradsretningene kalles også meridional og sonal retning. (Figur fra wireframe.svg). Figur 8 illustrerer bredde- og lengdegradssirkler på en kule. Det følger fra figuren at den geografiske avstanden mellom to lengdegrader avtar med økende breddegrad ϕ (mot polene), mens avstanden mellom to breddegrader er konstant. Avstanden mellom to breddegradssirkler eller to lengdegradssirkler følger fra skalafaktorene for en kule, se (279). For en breddegradsvinkel δλ = 1 grad = π/180 rad, vil utspent buelengde på jorden være r cos ϕ δλ, hvor r = m er jordens radius. Dette gir at utspent buelengde 21

22 er 111 cos ϕ km. For en lengdegradsvinkel δϕ = 1 grad = π/180 rad, vil utspent buelengde på jorden være r δϕ, eller 111 km. 3.2 Skalaanalyse For et gitt problem eksesterer det ofte karakteristiske horisontale langdeskalaer L, vertikale lengdeskalaer H, horisontale hastigheter U og tidsskalaer T. Verdiene for disse karakteristiske størrelsene varierer om vi er i atmosfæren eller i havet. Karakteristiske verdier for fri bevegelse i havet på midlere breddegrader (f.eks. 45 ) er Lengdeskala L 10 6 m Vertikal skala H 10 3 m Horisontal hastighet U 10 1 m s 1 Vertikal hastighet W 10 4 m s 1 Trykk horisontalt P 10 7 Pa Trykk vertikalt P 10 4 Pa Tetthet ρ 10 3 kg m 3 Coriolisparameter f 10 4 s 1 Gravitasjon g 10 m s Geostrofisk balanse 8 Horisontalkomponent u av bevegelsesligningen (3), når en ser bort fra friksjon, er u t }{{} U T + u u x }{{} U 2 L + v u y }{{} U 2 L + w u z } {{ } W 2 H + 1 P ρ x } {{ } p ρl = fv }{{} fu Innsatt verdier, følger det at trykk- og Coriolisleddene er de dominerende. Dette gir den geostrofiske balanse fu 1 p ρ y og fv 1 p (69) ρ x (68) Rossbytall Forholdstallet mellom størrelsen av adveksjon og Coriolis kalles Rossbytallet R 0 R 0 = adveksjon Coriolis U fl Det følger at geostrofisk balanse er en god tilnærming for R 0 1. For den frie atmosfæren på midlere breddegrader er typisk R Tilsvarende verdi for havet er R 0 = For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 i LECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, (70) 22

23 3.2.3 Hydrostatisk balanse Vertikalkomponent av bevegelsesligningen (3), når en ser bort fra friksjon, er w t }{{} W T + u w x } {{ } W 2 L + v w y } {{ } W 2 L + w w z } {{ } W 2 H + 1 p ρ z } {{ } P ρh + g = 0 (71) }{{} g Innsatt verdier følger det at trykk- og gravitasjonsleddene er de dominerende. Dette gir den hydrostatiske balanse p = ρg (72) z 3.3 Geostrofisk balanse Dersom vi definerer den geostrofiske hastighet u g til å tilfredsstille (69), får vi u g = 1 p fρ y (73) eller v g = 1 p fρ x (74) u g = 1 p (75) fρẑ Eksempel, geostrofisk balanse Oppgave 4, side 136 i Marshall & Plumb. Kommer Geostrofisk balanse i trykk-kordinater Det er ofte hensiktsmessig å kvitte seg med tettheten ρ i (73)-(75). Dette kan gjøres ved å gå over fra høyde z til trykk p som vertikal koordinat. Den hydrostatiske ligningen benyttes for denne transformasjonen. Vi betrakter først hvordan / x kan skrives med trykk som vertikal koordinat. Fra figur 9 følger det at p x = p B p A z δx = p B p C δx hvor vi har benyttet at p A = p C siden p er konstant langs isobaren i figur 9, og hvor subskrift z betegner at derivasjonen utføres langs linjen z = konst. Den hydrostatiske ligningen (76) p = ρ g (77) z 23

24 Figur 9: Illustrasjon på overgang mellom z- og p-koordinater. Langs den blå krumme linjen er trykket p konstant. Langs den horisontale blå linjen er z konstant. gir at p = p 0 ρ g z (78) hvor p 0 er en konstant. Fra figur 9 følger det da at p C p B = ρ g δz (79) eller p B p C = ρ g δz (80) (80) innsatt i (76) gir p x = ρ g δz z δx (81) p Her betegner subskrift p at derivasjonen utføres langs linjen p = konst. Dette er en direkte følge av antagelsen i (76). For små δx, δz, følger det at p x = ρ g z z x (82) p Tilsvarende får vi for / y at p y = ρ g z z y (83) p Dette betyr at den geostrofiske ligningen kan uttrykkes i trykk-koordinater som u g = g f ẑp p z (84) eller på komponentform u g = g ( ) z f y v g = g ( ) z f x Merk at tettheten ρ ikke inngår i uttrykkene over. p p (85) (86) 24

25 3.5 Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater ( z/ x) p = konst < 0, ( z/ y) p = 0 og f > 0 I dette tilfellet er vi på den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot øst, se venstre del av figur 10. Fra (85) og (86) følger det at u g = 0 og v g < 0, det vil si at den geostrofiske vinden har en sørlig komponent (i negativ y-retning). Figur 10: Illustrasjon av ( z/ x) p og ( z/ y) p i det geostrofiske uttrykket (84) på den nordlige halvkule (f > 0). z p betegner enhetsvektoren normalt på isobarflatene ( z/ x) p = 0, ( z/ y) p = konst < 0 og f > 0 Vi er på den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot nord, se høyre del av figur 10. Fra (85) og (86) følger det at u g > 0 og v g = 0, det vil si at den geostrofiske vinden har en østlig komponent (i positiv x-retning) Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar 2009 Kommer Termalvind, generelt uttrykk Geostrofi gir oss vinden for konstant høyde z, ligning (75), eller for konstant trykk p, ligning (84). For å kunne si noe om hvordan u g varierer i vertikal-retningen, ser vi på hvordan variasjoner i tettheten ρ påvirker den geostrofiske balansen i z-retningen. Ofte kan vi skrive tettheten ρ som ρ = ρ 0 + σ (87) der ρ 0 er konstant (en referansetetthet) og σ/ρ 0 1. Fra (87) følger det at ρ x = σ x Deriverer vi (75) med hensyn på z og bruker at og ρ y = σ y (88) 1 ρ = 1 ρ 0 + σ 1 (89) ρ 0 25

26 får vi u g z = 1 fρ 0 v g z = 1 fρ 0 ( ) p y z ( ) p z Hydrostatisk tilnærming fra ligning (72) innsatt i parentesene over, samt bruk av (88), gir x (90) (91) eller u g z = g σ fρ 0 y v g z = g fρ 0 σ x (92) (93) u g z = g fρ 0 ẑ σ (94) Uttrykket (94) viser at den horisontale tetthetsgradienten σ gir opphav til et vertikalt hastighetsskjær u g / z. En generell tilstandsligning på formen (87) gir altså opphav til en termalvind på formen (94). 3.7 Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater Vi tar her utgangspunkt i geostrofisk uttrykk i trykk-koordinater (84). Dersom vi deriverer dette uttrykket med hensyn på p og bruker den hydrostatiske tilnærmingen får vi og u g p = g f p z = ρ g eller z p = 1 ρg y ( ) z = g p p f v g p = 1 f ( 1 ) = 1 y ρg p f x ( ) 1 ρ p y ( ) 1 ρ p (95) (96) (97) Den ideelle gassloven (4) beskriver sammenhengen mellom p, ρ og T for tørr luft på en god måte. Fra (4) har vi at 1 p = ρrt eller ρ = RT (98) p Høyre uttrykk i (98) innsatt i (96) og (97), gir eller u g p = R fp ( ) T y p ) v g p = R ( T fp x p (99) (100) u g p = R fpẑp p T (101) 26

27 3.8 Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer Integrerer vi (99) mellom de to isobarflatene p = p 1 og p = p 2, får vi p2 u g p 1 p dp = R { p2 ( ) } 1 T dp (102) f p 1 p y p = R ( ) T p2 1 dp (103) f y p 1 p I den siste overgangen har vi brukt at T representerer middelverdien av T mellom isobarflatene p = p 1 og p = p 2, betegnet T. Siden x 1 dx = ln x, følger det at u T u g (p 2 ) u g (p 1 ) = R f ln p ( 2 T p 1 y p = R f ln p 1 p 2 ) ( T y p ) p (104) (105) der u T er x-komponenten til termalvindvektoren u T, og hvor vi i siste overgang har brukt at ln(a/b) = ln(b/a). Tilsvarende får vi for y-komponenten: v T v g (p 2 ) v g (p 1 ) = R f ln p ( ) 1 T p 2 x p Termalvind-komponentene (105) og (106) kan uttrykkes på vektorform (106) u T = u g (p 2 ) u g (p 1 ) = R f ln p 1 p 2 ẑ p p T (107) Merk at det er hensiktsmessig å bruke ln(p 1 /p 2 ) i termalvinduttrykkene siden ln(p 1 /p 2 ) > 0 for p 1 > p Tolkning av termalvind Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind Det følger fra (107) at termalvind er differansen mellom geostrofisk vind på to isobarflater. Termalvinden sier derfor hvor stort det vertikale hastighetsskjæret er. Kjenner vi to av de tre vektorene u g (p 1 ), u g (p 2 ) og u T, kan vi utlede den tredje vektoren direkte fra vektorsummen u g (p 1 ) + u T = u g (p 2 ) (108) Orientering Det følger fra (107) at u T er rettet normalt på p T, det vil si parallelt med isotermene. På den nordlige halvkule vil lav temperatur ligge til venstre for u T (til høyre på den sørlige halvkule grunnet fortegent til f). 27

28 3.9.3 p T = 0 Dersom den horisontale middeltemperaturen mellom isobarflatene avgrenset av p = p 1 og p = p 2 er konstant, p T = 0, følger det fra (107) at u g (p 1 ) = u g (p 2 ), det vi si at den geostrofiske vinden er uendret i høydeintervallet avgrenset av isobarflatene p 1 og p 2. Gjelder dette for hele atmosfæren, sier vi at atmosfæren er barotrop. Det er da uniform vertikal hastighet i atmosfæren p T = konst 0 I dette tilfellet vil u g (p 1 ) u g (p 2 ), det vi si at vi har et vertikalt vindskjær. Atmosfæren er da baroklin. Dersom vi antar at p = p 1 representerer bakketrykket og at u g (p 1 ) er liten ved bakken (det vil si at u g (p 1 ) 0), følger det fra (107) at u T og u g (p 2 ) øker når p 2 avtar, og at økningen skalerer med ln(p 1 /p 2 ). Derfor øker den termale vinden med høyden så lenge det er en horisontal temperaturgradient mellom p 1 og p ( T / y) p = konst < 0, ( T / x) p = 0 og f > 0 I dette tilfellet er vi på den nordlige halvkule og temperaturen avtar mot nord, se figur 11. Fra (105) og (106) ser vi at u T > 0 og v T = 0, det vil si at den termiske vinden har en østlig komponent (i positiv x-retning). Figur 11: Illustrasjon av tilfellet ( T / y) p = konst < 0, ( T / x) p = 0 og f > 0. Merk at den resulterende termalvinden er rettet i positiv x-retning. Det er temperaturgradienten mellom sør og nord som er opphavet til at jetstrømmene er østlig rettet på den nordlige halvkule ( T / y) p = konst > 0, ( T / x) p = 0 og f < 0 I dette tilfellet er vi på den sørlige halvkule og temperaturen avtar mot sør. Siden både (T / y) p og f har motsatt fortegn i forhold til tilfellet i seksjon (3.9.5), gir denne konfigurereingen samme dynamikk som i seksjon (3.9.5), altså er jetstrømmen østlig rettet også på den sørlige halvkule. 28

29 3.9.7 ( T / x) p = konst > 0, ( T / y) p = 0 og f > 0 I dette tilfellet er vi på den nordlige halvkule og temperaturen øker mot øst, se figur 12. Fra (105) og (106) ser vi at u T = 0 og v T > 0, det vil si at den termiske vinden har en nordlig komponent (i positiv y-retning). Figur 12: Illustrasjon av tilfellet ( T / x) p = konst > 0, ( T / y) p = 0 og f > 0. Merk at den resulterende termalvinden er rettet i positiv y-retning Kald og varm adveksjon Termalvinden diskutert i seksjon (3.9.5) kan representeres som vist i figur 13, med avtagende temperatur mot nord og u T rettet østover. Figur 13: Illustrasjon på termalvind u T for et temperaturfelt som avtar mot nord. Dersom den geostrofiske vinden på nivå p = p 1 er rettet mot lavere temperatur (nordover), se venstre del av figur 14, følger det fra vektorsummen (107) at u g (p 2 ) er dreiet med klokken i forhold til u g (p 1 ). I tillegg følger det at den geostrofiske vinden bringer varm luft med seg. Dette kalles varm adveksjon. Dersom u g (p 1 ) betegner vinden på bakkenivå, betyr dette at vinden dreier stadig mer til høyre relativt u g (p 1 ) når en beveger seg oppover i atmosfæren. 29

30 Figur 14: Som figur 13 og for en antatt nord-rettet u g (p 1 ) (figur til venstre) og sør-rettet u g (p 1 ) (figur til høyre). På tilsvarende måte viser den høyre del av figur 14 en situasjon der u g (p 1 ) er rettet mot høyere temperatur (sørover). I dette tilfellet er u g (p 2 ) dreiet mot klokken i forhold til u g (p 1 ), og den geostrofiske vinden bringer kald luft med seg. Dette kalles kald adveksjon. Dersom u g (p 1 ) betegner vinden på bakkenivå, betyr dette at vinden dreier stadig mer til venstre relativt u g (p 1 ) når en beveger seg oppover i atmosfæren. Siden temperaturen avtar mot begge polene, følger det fra diskusjonen over at den geostrofiske vinden vil alltid og uavhengig av retningen til u g (p 1 ) dreies mot øst når en beveger seg oppover i atmosfæren. Det er følgelig den fallende temperaturen når vi går fra tropene til høyere (nordlige og sørlige) breddegrader som gjør at vi har østlig rettet vind i høyden når vi fjerner oss fra ekvator Idealisert eksempel Kommer Eksempel basert på klimatologi Kommer Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater Figur (15) viser to identiske luftsøyler (blå farge). Trykket på oversiden av søylene er lik, p = p 1. Varmer vi opp søylen til høyre vil søylen bli høyere grunnet termisk ekspansjon av luften. Dersom vi ikke har noen dynamisk respons til at søylen blir høyere, vil trykket på oversiden av den oppvarmede søylen fremdeles være p = p 1. Ser vi bort fra dynamisk respons, er det kun endring av temperaturen som kan endre søylens høyde. Det siste følger ved å kombinere den hydrostatiske ligningen (72) og den idelle gasslov (4): p = ρg (109) z 30

31 Figur 15: Illustrasjon på termisk ekspansjon av en luftsøyle. og Setter vi tettheten ρ fra (110) inn i (109), får vi p = ρrt (110) eller p z = gp RT (111) p p = g z (112) RT Integrerer vi uttrykket over fra høyden z = z 1 til z = z 2, får vi eller p(z2) p(z 1) p z2 p = g z (113) z 1 RT ln p(z 2) p(z 1 ) = g RT (z 2 z 1 ) (114) Her betegner T middelverdien av T mellom z = z 1 og z = z 2. Uttrykket over kan alternativt skrives z 2 z 1 = RT g ln p 1 (115) p 2 Uttrykket (115) kalles den hypsometriske ligningen. Fra (115) følger det at endringer i høyden mellom isobarflatene p = p 1 og p = p 2, gitt ved z 2 z 1, kan bare oppstå grunnet endringer i temperaturen T. Og siden ln(p 1 /p 2 ) > 0 for p 1 > p 2, fører økende T til at høydeforskjellen z 2 z 1 øker (og motsatt for avtangende T ). Uttrykket (115) kan benyttes for å tallfeste effekten av termisk ekspansjon av luft. Dersom temperaturen stiger med 1 K mellom p 1 = 1000 hpa og p 2 = 500 hpa, følger det at z 2 z 1, det vil si avstanden mellom p = p 1 og p = p 2, øker med 20.3 m. Vi har her brukt at R = 287 J kg 1 K 1 og g = 9.8 m s 2 (samt at enhetene 1 J = 1 kg m 2 s 2 ). Siden verdien av R gjelder for tørr luft, gjelder utregningen over for tørr luft, som er en god antagelse for atmosfæren. 31

32 Sammenhengen i variasjon mellom middeltemperatur T og avstanden mellom to isobarflater z 2 z 1 betyr at temperaturgradientene i figurene (11)-(14) også er et bilde på hvordan avstand mellom to isobarflater endrer seg. Merk at det er (115) som gir hvorfor isobarflatene ligger høyt i tropene (hvor det er varmt) og lavt på høye breddegrader (hvor det er kaldt) Anvendelse av trykk- og høydegradient Figur 16: Illustrasjon på resulterende trykk- og høydegradient basert på figur 15. Dersom det ikke er en dynamisk respons til at søylen i figur 15 blir høyere, vil trykket på oversiden av den oppvarmede søylen fremdeles være p = p 1. Betrakter vi trykket p på et konstant nivå z mellom de blå og røde søylene, følger det at trykket over den blå søylen tilfredstiller p < p 1, mens trykket på samme z-nivå for den røde søylen tilfredsstiller p > p 1 (øvre del av figur 16). Trykkdifferansen mellom den røde og blå søylen vil sette opp en trykk-gradient som vist med den røde pilen. Det vil derfor strømme varm luft mot venstre. Grunnet Coriolis-effekten vil den varme luftadveksjonen bøyes av til høyre på den nordlige halvkule; den resulterende luftstrømmen vil altså være rettet inn i figurplanet. Dersom y er rettet nordover, er dette varmluftsadveksjon tilsvarende venstre del av figur 14. Merk at denne betraktningen er gjort for konstant høyde z, altså konsistent med det geostrofiske uttrykket (75) og termalvinduttrykket (94). Alternativt kan vi betrakte helningen til isobaren p = p 1, se nederste del av figur 14. I dette 32

33 tilfellet avtar z med økende y, altså er høydegradienten ( z/ y) p rettet nedover mot venstre. Dette fører til at varm luft strømmer mot venstre, og grunnet Coriolis-effekten vil den varme vinden bøyes av til høyre på den nordlige halvkule. I motsetning til tilfellet i avsnittet over, er denne betraktningen gjort for konstant trykk p, altså konsistent med det geostrofiske uttrykket (84) og termalvinduttrykket (101) Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne Et vinterlavtrykk på den nordlige halvkule har gjerne en kald kjerne. Hvordan endrer vinden seg med høyden i et slikt system? Se bort fra friksjon. Venstre del av figur 17 viser et lavtrykk på den nordlige halvkule. Sirkulasjonen følger isobarene og er rettet mot klokken. Ved bakken er den geostrofiske vinden langs positiv y-akse rettet vestover (u g (p 1 ) i figuren). På tilsvarende måte er geostrofisk vind langs negativ x-akse rettet sørover (v g (p 1 ) i figuren). Høyre del av figuren indikerer at temperaturen er lavest i lavtrykkets sentum (blå farge). Dette betyr at langs den positive y-aksen er termalvinden rettet vestover, i samme retning som u g (p 1 ). Langs den negative x-aksen er termalvinden rettet sørover, i samme retning som v g (p 1 ). u g (p 2 ) har følgelig samme orientering som u g (p 1 ), og fra (108) følger det da at u g (p 2 ) > u g (p 1 ). Følgelig øker vinden med høyden i et lavtrykk med kald kjerne Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne Orkaner og tyfoner er eksempler på lavtrykk med varm kjerne. Hvordan endrer vinden seg med høyden i et slikt system? Se bort fra friksjon. Venstre del av figur 18 viser et lavtrykk på den nordlige halvkule. Sirkulasjonen følger isobarene og er rettet mot klokken. Ved bakken er den geostrofiske vinden langs positiv y-akse rettet vestover (øvre u g (p 1 ) i figuren). På tilsvarende måte er geostrofisk vind langs negativ y-akse rettet østover (nedre u g (p 1 ) i figuren). Høyre del av figuren indikerer at temperaturen er høy i lavtrykkets sentum (rød farge). Dette betyr at langs den positive y-aksen er termalvinden rettet østover, i motsatt retning av den øverste u g (p 1 ) i figuren. Langs den negative y-aksen er termalvinden rettet vestover, i motsatt retning av den nederste u g (p 1 ). Fra (108) følger det da at u g (p 2 ) < u g (p 1 ). Følgelig avtar vinden med høyden i et lavtrykk med varm kjerne. Orienteringen til u g (p 2 ) relativt u g (p 1 ) avhenger av u g (p 1 ) og u T. I en orkan kan gjerne u g (p 1 ) = 30 m s 1 og u T = 25 m s 1. I så fall er u T = 5 m s 1 og rettet i samme retning som u g (p 1 ). 4 Energioverføring i atmosfæren 4.1 Spinnsatsen Spinnet L til en partikkel med masse m og hastighet v er definert som L = r mv (116) 33

34 Figur 17: Lavtrykk på nordlige halvkule med en kald kjerne. De blå sirulære kurvene indikerer lavtrykkets isobarer (med lavest trykk i sentrum), mens fargen i høyre del av figuren angir lavtrykkets temperatur. u g (p 1 ) er geostrofisk vind ved bakkenivå, u g (p 2 ) geostrofisk vind i høyden og u T den termale vinden. Figur 18: Lavtrykk på nordlige halvkule med en varm kjerne. De blå sirulære kurvene indikerer lavtrykkets isobarer (med lavest trykk i sentrum), mens fargen i høyre del av figuren angir lavtrykkets temperatur. u g (p 1 ) er geostrofisk vind ved bakkenivå, u g (p 2 ) geostrofisk vind i høyden og u T den termale vinden. 34

35 der r er avstandsvektoren (minste avstand) mellom partikkelen og spinnaksen. Merk at r ikke er jordens radius, men vektoren r i figur 19. Spinnet kalles også anguært momentum, drivmoment Figur 19: Jorden med rotasjonsvektor Ω, radius a og vektor r fra rotasjonsaksen og et punkt på breddegrad ϕ. og bevegelsesmengdemoment. Den tidsderiverte av spinnet gir spinnsatsen dl dt = dr dt mv + r d dt (mv) = v mv + r F = r F (117) der F er kraften som virker på partikkelen (Newtons 2. lov; F = ma). Dersom F r eller F = 0, følger det at L = konst (118) Uttrykk (118) sier at spinnet L er konservert dersom det ikke virker krefter F på partikkelen Atmosfærens spinn i sonal retning Absoluttverdi av spinnet per enhetsmasse A er A = L m = r v (119) For atmosfæren består spinnet i sonal retning, eller i lengdegradsretningen, av to komponenter: Jordens rotasjon pluss atmosfærens fart i forhold til jorden. Atmosfærens absoluttverdi av spinnet per enhetsmasse i sonal retning kan derfor skrives som A = r Ωr e λ + r u e λ = Ωr 2 + ur (120) } {{ } } {{ } jordens rot sonal vind 35

36 I (120) har vi brukt at en partikkel i atmosfæren roterer med jorden i sonal retning med en fart Ωr (se 340) og at partikkelen generelt har en sonal fart u i forhold til jorden. Siden atmosfærens tykkelse er svært liten i forhold til jordens radius a, kan a brukes som en tilnærming for punktets avstand fra jordens sentrum. Fra figur 19 følger det da at r a cos ϕ, slik at A = Ωa 2 cos 2 ϕ + ua cos ϕ (121) Eksempel, verdier for atmosfærens spinn i sonal retning Kommer Eksempel, sammenheng mellom spinnsatsen og sonal komponent av momentumligningen Kommer Oppdriftsfrekvens/Brunt-Väisälä frekvensen En sentral størrelse i alanyse av dynamikken i atmosfæren og i havet er oppdriftsfrekvensen eller Brunt-Väisälä frekvensen N (enhet s 1 ). Brunt-Väisälä frekvensen gir den frekvensen en væskepartikkel vil beskrive dersom væskepartikkelen forsyves i forhold til det nivået der partikkelen har nøytral oppdrift. Nøytral oppdrift vil si at partikkelen har samme tetthet som omgivelsene, det vil si at det ikke virker en vertikal oppdriftskraft på partikkelen. Brunt-Väisälä frekvensen kan utledes basert på figur 20. Vi betrakter en væskepartikkel på Figur 20: Illustrasjon på en væskepartikkel med areal δa og høyde δz som løftes fra z = z 1 til z = z 2. Partikkelens tetthet er ρ 1 som også er lik omgivelsenes tetthet ved z = z 1. Omgivelsenes tetthet ved z = z 2 er ρ 2 < ρ 1. nivå z 1. Partikkelen har samme tetthet som omgivlsene, ρ 1. Det virker derfor ingen krefter på partikkelen. Ligger partikkelen i ro ved et tidspunkt, vil partikkelen derfor forbli i ro. 36