Corioliskraften. Forsøk på å forstå et eksotisk fenomen Arnt Inge Vistnes, 27. mars 2006

Transkript

1 1 Corioliskraften Forsøk på å forstå et eksotisk fenomen Arnt Inge Vistnes, 27. mars 2006 Fiktive krefter I FYS-MEK/F1110 lærer vi om hvorfor det kan være praktisk å innføre fiktive krefter i visse sammenhenger. De fiktive kreftene har imidlertid ingen virkelig fysisk opprinnelse, og de har heller ikke motkrefter i den betydning vi diskuterer i Newtons annen lov. Opprinnelsen er rett og slett kinematisk, det vil si de fiktive kreftene synes å dukke opp når det referansesystemet vi benytter er akselerert i forhold til et intertialsystem. Det betyr kort og godt at referansesystemet vi benytter har beveget seg på en ulovlig måte i forhold til det som kreves for å kunne bruke Newtons andre lov. For å likevel kunne bruke Newtons annen lov innenfor dette referansesystemet, må vi da innføre helt kunstige krefter for å få regnskapet til å gå i hop. Det er disse kunstgrepene som gir oss de fiktive kreftene. Litt kortere kan vi si dette slik: En fiktiv kraft er en ikke-reel fysisk kraft som vi må innføre dersom vi ønsker å kunne anvende Newtons annen lov også i et akselerert referansesystem. Det finnes ingen motkrefter til fiktive krefter. Den fiktive kraften vil generelt sett variere med posisjon i rommet i det akselererte referansesystemet. I et inertialsystem skal bare reelt fysiske krefter inngå når vi bruker Newtons lover. Litt om bakgrunnen for Corioliskraften Vår lærebok behandler ikke Corioliskraften, siden teorien bak er en smule vanskeligere enn det som boka håndterer. I lærebøker som behandler Corioliskraften, er det dessværre ofte nesten bare fokusert på den matematiske utledningen av Corioliskraften og tolkning av de matematiske uttrykkene som fremkommer. Jeg har valgt en annen linje, nemlig å fokusere på forståelsen av Corioliskraft. Det synes jeg er morsomt, fordi det da er lettere å forutsi effektene som fremkommer. Når vi forsøker å forstå Corioliskraften, synes jeg det er mest fruktbart å ta utgangspunkt i de rendyrkede effektene, og skiller da mellom bevegelser ved polområdene og bevegelser ved ekvator: For disse to stedene tar vi da for oss systematisk hastigheter langs rotasjonsaksen, radielt utover fra rotasjonsaksen og tangentiell bevegelse, og ser hva disse bevegelsene fører til. For radielle (horisontale) bevegelser ved polene (sylinderkoordninater!!!), vil Jorden rett og slett rotere under oss dersom vi tenker oss å sitte på et inertialsystem som ikke beveger seg i forhold til stjernene. En pendel vil f.eks. ha et svingeplan som er fast i forhold til fiksstjernene, mens Jorden vil dreie seg under pendelen. Bevegelsen til pendelen (sett i et inertialsystem) vil altså ikke påvirkes av jordrotasjonen, men når vi selv står på jorden (og er i et akselerert system) vil det synes som om at vi får en avbøyning mot høyre (på nordpolen). Jeg trillet på en forelesning en kule over en roterende gramofonplate for å vise dette. Kula gikk rett

2 Side 2 fram i laboratoriesystemet, men tegnet en fin sirkelbue på papiret jeg la oppå gramofonen. En tegning som viser det samme er gitt nedenfor. aiv feb2002 Dersom bevegelsen skjer langs rotasjonsaksen ved polene, det vil si en loddrett bevegelse, blir Corioliskraften lik null. Om vi beveger oss opp eller ned langs aksen, har en rotasjon av Jorda ingenting å si. Ingenting endrer seg ved en bevegelse nøyaktig langs aksen. Ved polen kan vi ikke snakke om en tangentiell bevegelse (tangentiell i betydning tangent til en sirkel normalt på rotasjonsaksen, med sentrum i aksen). For å få en tangentiell bevegelse må vi et stykke vekk fra selve aksen. Vi venter med å behandle denne type bevegelse til vi skal se hva som skjer ved ekvator. For bevegelser ved ekvator må man skille mellom de tre hastighetsretningene nevnt ovenfor. For bevegelser langs ekvator, har vi en situasjon der legemet enten har en lavere eller høyere tilsynelatende rotasjonshastighet enn et stillestående legeme på vår roterende Jord (sett fra et inertialsystem). Det betyr at sentrifugalkraften endres, og Corioliskraften vil i dette tilfelle faktisk bare bli enten et tillegg til eller fratrekk fra sentrifugalkraften. Corioliskraften peker altså da enten radielt utover eller vinkelrett inn mot rotasjonsaksen. For bevegelser i nord-sør retning ved ekvator er bevegelsesretningen igjen parallell med rotasjonsaksen, og vi får ingen tilsynelatende akselerasjon som følge av jordrotasjonen. Likevel kan det være interessant å merke seg at vi da har en situasjon som likner på det klassiske eksemplet med å sende en båt tvers over en elv. Vi får en annen retning på hastigheten alt etter om vi betrakter bevegelsen i forhold til et inertialsystem eller i forhold til Jorda, men det blir ingen krumning på hastigheten, og dermed heller ingen akselerasjon eller noe tilsynelatende fiktiv kraft.

3 Side 3 ω x (R+h) ω x R Coriolis ved ekvator, fall mot jordens sentrum h h ω R Sett fra et inertialsystem ω R Sett fra det roterende referansesystem For et loddrett fall vil vi tilsynelatende ha en horisontal kraft som virker langs ekvator. For å forstå dette, kan vi betrakte f.eks. en kule som slippes fra en (stor) høyde. Vi kan tenke oss at vi slipper kula fra et høyt tårn som står fast i forhold til Jora. Idet kula slippes vil den være lenger ut fra rotasjonsaksen enn et punkt på bakken rett under (på loddlinjen under) slippunktet. Kula har da en større hastighet parallelt med bakken enn bakken under, sett fra et inertialsystem. Dersom rotasjonshastigheten (vinkelhastigheten) til Jorda er ω, radien ved ekvator R og kula slippes i en høyde h over overflata, er hastigheten v 0 langs bakken, sett fra et inertialsystem, lik: v 0 = ω( R+ h) Hastigheten til et stillestående punkt på bakken, vil i et inertialsystem ha horisontalhastighet lik: v 0, b = ωr Dersom fallet tar tiden Δt, vil kula ha beveget seg avstanden: s kule = v 0 Δt = ω( R+ h)δt mens punktet på bakken har beveget seg ørlite mindre (uttrykket er selvinnlysende). Forskjellen mellom kulas bevegelse langs i horisontalretning og puktet på bakken, blir da: Δs = ωhδt Under fallet vil kula derfor falle litt foran punktet på bakken som loddlinjen som går gjennom startpunktet. Dette er også forsøkt illustrert i figuren ovenfor. Uttrykket ovenfor er som dere kanskje skjønner ikke nødvendigvis 100% korrekt. Det er jo en spesiell rar krum bane kula vil ha i forhold til et inertialsystem.

4 Side 4 For bevegelser ved midlere breddegrader (ikke på ekvator og heller ikke på en av polene), må vi dekomponere bevegelsen i de tre prinsipale retningene for et sylindrisk koordinatsystem. Vi vil da finne det interessante at Corioliskraften ved våre breddegrader er forskjellig i størrelse for en bevegelse i øst-vest-retning sammenliknet med en bevegelse i nord-sør retning (egentlig parallellt med jordaksen) eller i radiell retning rett inn mot jordrotasjonsaksen. Men komponenten av Corioliskraften langs jordoverflaten blir likevel identisk for disse to retningene. Bruker vi Pythagoras finner vi faktisk videre at horisontalkomponenten av Corioliskraften på tvers av bevegelsen blir konstant uansett hvilken retning den horisontale bevegelsen har. Vi trenger matematiske uttrykk for Corioliskraften, men starter først med et akselerert system som bare har translatorisk hastighet i forhold et inertialsystem. Vi skal på forelesningene bruke figuren nedenfor for å utlede det vanlige uttrykket: a = as rel S + a og se hvordan dette kan anvendes dersom vi er i det akselererte systemet og likevel forsøker å bruke Newtons andre lov her. I så fall får vi: ma = ma mas rel S Siste leddet vil da betraktes som en fiktiv kraft som må tas med i tillegg til de virkelige fysiske kreftene som ifølge Newtons andre lov faktisk er lik ma.

5 Side 5 Bevegelse i et referansesystem som er i bevegelse i forhold til et annet 1. Translatorisk bevegelse (Bruker bare to dimensjoner for å forenkle tegningen) r(t+δt) t+δt Δr' Δr r'(t+δt) =ΔR t "banen" r(t) r'(t) R(t+Δt) R(t) ΔR S'(t) S'(t+Δt) S Figuren viser de to referansesystemene ved to ulike tidspunkt, og vi må bruke definisjon på hastighet og på akselerasjon for å komme fram til uttrykkene gitt ovenfor. Dette vil bli gjort i detalj på forelesningene, og tas derfor ikke med her. Et viktig punkt er å huske at for å finne akselerasjon, må vi kjenne hastighet i to etterliggende tidsintervaller. Det vil si vi må bruke opplegget som angitt på figuren for to etterfølende tidsintervaller for å komme helt fram. For å utlede Corioliskraften, må vi også til med et roterende referansesystem (pluss et inertialsystem). Figuren nedenfor angir litt av hovedideene som da kommer inn i bildet.

6 Side 6 Bevegelse i et referansesystem som er i bevegelse i forhold til et annet 2. Rotasjonsbevegelse t+δt (Bruker bare to dimensjoner for å forenkle tegningen) r'(t+δt) "banen" Δr' Δr = ωδt x r' t r(t+δt) r(t) r'(t) S R ω ωδt S'(t+Δt) S'(t) Det er også i dette tilfellet nødvendig å følge bevegelsen i to etterfølgende tidsintervaller for å kunne sette opp et uttrykk for akselerasjonen målt i S og i S. Vi skal gjøre dette i detalj i forelesningene. Det blir nå litt mer omfattende uttrykk å holde orden på fordi f.eks. vinkelhastighetene i seg selv også kan tenkes å endre seg med tiden. Det matematiske uttrykket for Corioliskraften som vi skal utlede på forelesningene, ble utledet for første gang av Gustave Gaspard Coriolis ( ). Han var en fransk matematiker og ingeniør, professor i Paris. Coriolis utledet et generelt uttrykk for relativ bevegelse i et aksesystem som selv er i rotasjon. Coriolis teorem sier: a = a0 + a' + ω r' + ω ( ω r' ) + 2ω v' Med ord: Akselerasjonen til f.eks. en partikkel betraktet i et inertialsystem (umerket) kan uttrykkes ved posisjon r, hastighet v og akselerasjon a i et annet referansesystem som har akselerasjonen a0 relativt til inertialsystemet og som roterer med vinkelhastighet ω i forhold til inertialsystemet. Dersom vi løser denne likningen mhp a og multipliserer med massen til partikkelen, får vi: ma' = ma ma 0 mω r' mω ( ω r' ) m2ω v' Dersom vi på død og liv ønsker å bruke Newtons annen lov når vi er i det roterende og akselererte referansesystemet, dvs at vi ønsker å beskrive bevegelsen i dette systemet vha F=ma, er det da ikke tilstrekkelig å ta med alle fysisk virkelige krefter. For summen av de fysisk virkelige kreftene er jo lik ma. Vi må innføre en rekke kunstige (fiktive) krefter for å få regne-

7 Side 7 stykket til å gå opp. Disse fiktive kreftene er i rekkefølge (refererer til leddene i uttrykket ovenfor): 1. ma 0 : Dette er kraften som skyldes at origo til vårt akselererte system har en akselerasjon relativt til et inertialsystem. 2. mω r' : Dette er et ledd som svarer til at man får en tilsynelatende tangentiell akselerasjon i det roterende referansesystemet. Merk at det er den tidsderiverte av vinkelhastigheten som inngår (dvs vinkelakselerasjonen). 3. mω ( ω r' ) : Dette er rett og slett sentrifugalkraften som alltid virker radielt utover (bort fra) rotasjonsaksen. 4. m2ω v' : Og dette er altså det matematiske uttrykket for Corioliskraften. Disse matematiske uttrykkene er nødvendige å ha når man skal beregne nøyaktig retning og størrelse av f.eks. Corioliskraften. Men som sagt før, synes jeg samtidig at det er viktig å skjønne de underliggende effektene som "skaper" denne effekten. Gjør man det, er det lettere å forutsi når kraften får en synbar effekt eller ikke. Det er nemlig vanskelig å ha noe forhold til størrelsen av Corioliskraften (i antall Newton), men det er mye lettere å kunne forutsi om Corioliskraften har noe effekt eller ikke ved å se på tidsaspekter. I prosesser som er avsluttet på få sekunder, kan vi ikke forvente å oppdage effekten av Corioliskraften, rett og slett fordi Jorden ikke har rukket å dreie seg nevneverdig i løpet av denne tiden. Men har vi en prosess som går over mange minutter, opp mot et døgn o.l., kan vi forvente å se effekten av Corioliskraften. Dette rett og slett fordi Jorden da har rukket å dreie seg betydelig mens prosessen vi betrakter foregår. Bruker vi en slik betraktningsmåte, er det lett å se at vi vanskelig kan forvente å se virkningen av Corioliskraften når vi betrakter virvling av vann i en vask når en trekker proppen ut, men for utviklingen av stormer og værsystemer (utvikles i løpet av døgn), vil vi virkelig forvente å se en effekt. Du kan nå for morro skyld estimere maksimal Corioliskraft på vår pendel i vestibylen. Utfordringen blir da bl.a. å estimere hastigheten til pendelen i bunnpunktet. Aller enkleste variant vil være å dividere pendelutslaget peak-to-peak med halve periodetiden. Mål selv i vestibylen. Mer raffinerte metoder finner dere evt selv. Du kan så sammenlikne Corioliskraften med tyngdekraften. Kula veier ca 32 kg, og snora er om lag 14.1 m lang.