LØSNING TIL KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
|
|
- Eirik Gjertsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi LØSNING TIL KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Onsdag , kl: 09:00-12:00 Fagansvarlig: Per J. Nicklasson, tlf / Tillatte hjelpemidler: Alle kalkulatorer tillatt. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Relativ vekt av deloppgaver er oppgitt i prosent.
2 Oppgave 1 (5% 10% 10% 25% ) a) Forklar hva man mener med spinnet til et stivt legeme. Spinnet defineres utfra (se figuren over) h r mv dvs. at spinnet er definert som momentetn av bevegelsesmengden om et punkt. b) Vis matematisk at absoluttverdien til spinnet h h til et legeme med masse m 1 kg (enhetsmasse) som beveger seg i en Keplarsk bane kan skrives som h r 2 d dt og at dh dt 0 I formlene over er r r, der r er avstandsvektoren fra legemet til origo i et kartesisk koordinatsystem. Sentralkraften F på legemet virker langs r, og angir vinkelen mellom en av aksene i koordinatsystemet og r. Vi vet at h r F der F er kraften på legemet. I en Keplarsk bane virker sentralkraften langs radiusvektoren. Følgelig har vi h r F 0 og h må være konstant. Fra figuren over ser vi at h r v rv sin rv sin 90 o rv cos. Nå har en at absoluttverdien av tangentialhastigheten er v T v cos. Denne kan også skrives som v T r d /dt, slik at h h r 2 d dt c) Keplars andre lov sier at radiusvektoren (langs sentralkraften) til et legeme i en Keplarsk bane sveiper over like arealer i like tidsrom. Vis matematisk at denne sammenhengen holder slik at den tidsderiverte av arealet vektoren sveiper over er proporsjonal med absoluttverdien til spinnet h.
3 Fra figuren over har vi at arealet av trekanten mellom r og r r er gitt som A rr /2. Ved å dividere begge sider med t og la t 0, finner vi da 1 d r2 dt 2 dt 1 h konstant. 2 Endringen av arealet som radiusvektoren sveiper over er altså konstant. Oppgave 2 (5% 10% 5% 20% ) a) Anta at det benyttes Eulervinkler for å beskrive orienteringen av et romfartøy relativt et banefast referansesystem. Utled rotasjonsmatrisen på matriseform (du trenger ikke multiplisere ut/addere enkeltelementene) som transformerer vektorer fra det legemefaste koordinatsystemet til det banefaste referansesystemet når rotasjonsrekkefølgen (relativt det banefaste systemet) benyttes. I dette løsningsforslaget har jeg multiplisert ut elementene. Det er ikke nødvendig, så lenge man setter opp matrisene for enhetsmatrisene, viser at disse skal multipliseres sammen, og indikerer at det er den transponerte man er ute etter. Rotasjonsmatrisen fra det banefaste systemet er gitt som A c c s s s s c c s s s c s c c s s c c s s c s c c s s c c Det ble imidlertid spurt etter den inverse av denne matrisen (rotasjon fra legemefast til banefast system), og denne er gitt som A 1 A T c c s s s s c c s s c s s c c c s c s s s c s s c s c c c b) Utled transformasjonen på matriseform (du trenger ikke multiplisere ut/addere enkeltelementene) mellom deriverte av Eulervinkler (,, ) og legemefaste rotasjonshastigheter (p, q,r for rotasjonsrekkefølgen. For hvilke vinkler er transformasjonen mellom (p,q,r og (,, ) singulær? Jeg har multiplisert ut uttrykkene. Det er ikke nødvendig så lenge man greier å sette opp summen av matrisene som inngår, og indikerer at man må løse ut de deriverte av vinklene. Man bør huske at denne transformasjonen er singulær når den miderste rotasjonsvinkelen har gitt verdier, men det kan også utledes. p q r sin cos cos cos cos sin sin cos sin cos 0 sin cos cos 0 0 sin 1
4 cos sin 0 sin cos sin sin cos Singulær for 90 o. n180 o,n 0,1,2, cos cos 0 cos sin cos 1 p q r c) Ved bruk av 3 parametre for beskrivelse av orientering vil det alltid oppstå singulariteter i de kinematisk transformasjonene. Foreslå med utgangspunkt i Euler s teorem for rotasjoner og en gitt rotasjonsmatrise, en singularitetsfri beskrivelse av orientering vha. 4 parametre. Hvilke andre fordeler er det med denne måten å beskrive orientering på relativt bruk av Eulervinkler? Gitt en rotasjonsmatrise A tar vi utgangspunkt i den egenvektoren e e 1,e 2,e 3 T til matrisen som har egenverdi 1. Denne normaliseres slik at den får lengde e 1. Det skal roteres en vinkel om denne egenvektoren. tr A 1 cos 2 Vi får følgende 4 parametre (kvaternioner eller symmetriske Euler-parametre) definert utfra egenvektoren og rotasjonsvinkelen: q 1 e 1 sin/2 q 2 e 2 sin/2 q 3 e 3 sin/2 q 4 cos/2 Ved bruk av kvaternioner som definert ovenfor for beskrivelse av orientering vil det kun inngå multiplikasjon og addisjon/subtraksjon når transformasjoner skal beregnes. En slipper således unna regnekrevende trigonometriske funksjoner ved bruk av disse parametrene. Oppgave 3 (10% 5% 5% 5% 25% ) De lineariserte bevegelsesligningene for en gravitasjonsstabilisert satellitt i sirkulær bane rundt jorden, er gitt på generell form som: T dx T cx T dy T cy T dz T cz I x I y I z 0 I y I z I x h wx 0 h wz h wy0 0 h wy0 I y I x I z h wy I z 0 I z I x I y 0 2 I y I x h wz 0 h wx h wy0 0 h wy0 a) Anta at en gitt type satellitter ikke har mulighet for stabilisering vha. noen form for spinnbaserte pådragsorganer, at treghetsmatrisen er gitt som [I] k[1] (en skalert versjon av identitetsmatrisen), og at det er snakk om saktevarierende endringer i Euler-vinklene. Sett opp differensialligningene som beskriver satellittens rotasjon. Er det mulig å få til gravitasjonsbasert stabilisering i dette tilfellet? Forklar. Differensialligningene blir nå T dx T cx T dy T cy T dz T cz k k k dvs. 3 dekoblede andreordens differensialigninger. Det er ikke mulig å få til gravitasjonsbasert
5 stabilisering, siden denne i utgangspunktet baserer seg på at det er signifikant forskjell i treghetsmomentene. b) Anta at den generelle modellen tilnærmes med et sett med tre dekoblede andreordens differensialligninger. Foreslå en enkel regulatorstruktur for stabilisering av orienteringen. Den mest naturlige fremgangsmåten er å benytte tre dekoblede PID-regulatorer, slik at f.eks. t d T cx K px d K dx dt d K ix d dt 0 Tilsvarende for de to andre vinklene. Merk at det ikke holder med PD-regulator dersom en ønsker null stasjonært avvik når det virker forstyrrelser på satellitten. c) Anta at det er nødvendig at satellitten kan utføre store og hurtige endringer av orientering med svært store krav til nøyaktighet. Kan den generelle modellen over fortsatt benyttes ved utvikling av styrealgoritmer? Grunngi svaret. Modellen kan ikke brukes fordi den er basert på en linearisering av den fulle ulineære modellen om et arbeidspunkt, og kun gyldig for små avvik, dvs. små og saktevarierende vinkler. Den vil derfor ikke gi en god nok beskrivelse av det virkelige systemet når det blir snakk om store og hurtige endringer. d) I enkelte tilfeller er det aktuelt å minimalisere vinkeldreiningene som en satellitt må utføre for å komme fra en orientering til en annen ønsket orientering. Forklar hvordan dette kan gjøres. Dette kan gjøres ved å la rotasjonen foregå om Euler-aksen. Det beregnes en avviksmatrise A E for forskjellen mellom nåværende og ønsket orientering, og parametre fra denne benyttes i de tre regulatorene, slik at rotasjonen ikke foregår om de tre aksene som definerer Euler-vinklene, men om Euler-aksen. Regulatoren blir nå eksempelvis (kan evt. ta med I-ledd også): T cx K px a 32E a 23E K dx p Oppgave 4 (6 5% 30% ) Forklar kort følgende begreper. Benytt gjerne skisser dersom du synes det er nødvendig: a) Nutasjonsdempning Ved rotasjon om en akse, f.eks. i forbindelse med stabilisering av orientering, vil rotasjonsaksen lett kunne får en nikkebevegelse, jfr. en roterende kon ( snurrebass ) som mister hastigheten og begynner å vingle. I verste tilfelle kan bevegelsen øke i amplitude (ustabilitet), og plutselig endrer rotasjonsaksen retning. For å stabilisere/redusere denne uønskede nikkebevegelsen, innfører vi et aktivt reguleringssystem som sørger for at bevegelsen stabiliseres/minimaliseres. Bruken av ordet aktivt refererer til systemer som benytter energi (trustere, magnetspoler, etc.) for å stabilisere/redusere nikkebevegelsen. Motsatt har vi passive systemer, f.eks. fjær-masse-demper-systemer, som ikke må tilføres energi, men som derimot dissiperer (lader ut) energi, slik at bevegelsen dempes. b) Rotasjonsmatrise Vi snakker her om transformasjoner mellom ulike koordinatsystemer som er rotert i forhold til hverandre.
6 Med rotasjonsmatrisen eller også retningskosinusmatrisen, mener vi en matrise som inneholder cosinus til vinkelen mellom alle mulige kombinasjoner av en (enhet)akse i det roterte koordinatsystemet, og en akse i et ikke-roterte kordinatsystem. Dersom enhetsvektorene langs aksene i det roterte systemet kan beskrives som u T u 1,u 2,u 3,v T v 1, v 2,v 3,w T w 1, w 2,w 3 i det systemet som ikke er rotert (se skissen), vil retningskosinusmatrisen kunne uttrykkes som A u 1 u 2 u 2 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Matrisen transformerer beskrivelsen av vektorer fra en dekomposisjon (koordinater) i det ikke-roterte systemet, til en dekomposisjon i det roterte systemet. c) Treghetsmatrise I sin enkleste form kan denne skrives I I x I y I z der elementene er treghetsmomentene langs hovedtreghetsaksene. Matrisen kan også brukes i beskrivelsen av spinn h I og rotasjonsenergi T 1/2 T I. d) Parasittisk moment Moment som oppstår fordi et pådragsorgan (f.eks. en reaksjonsthruster), ikke er perfekt innrettet i den retningen man ønsker et kraftpådrag. Det oppstår dermed også et moment vinkelrett på den aksen man egentlig ønsker en kraft i. e) Klassiske baneparametre De 6 klassiske baneparametre benyttes for å beskrive en Keplersk bane til et legme om et annet legeme: a- største hovedakse for banen e-eksentrisiteten i-inklinasjonen -rektasensjonen til oppstigende knute -perigeets lengde M n t t 0 -midlere anomalitet (n er midlere bevegelse)
7 f) Spinndumping Dersom vi benytter spinnbaserte enheter for stabilisering/styring av orientering, vil det før eller siden komme dukke opp en situasjon der enheten har oppnådd sin maksimale hastighet, f.eks. pga. konstante forstyrrelser som medfører at et konstant moment må motvirke forstyrrelsen. Vi får som kjent kun et moment fra en spinnbasert enhet når den endrer hastighet. Vi må da få ned hastigheten på enheten uten at satelliten endrer orientering. Det kan vi oppnå ved å benytte andre pådragsorganer (f.eks. trustere eller magnetspoler) for å gi et moment motsatt av det som oppstår når vi reduserer hastigheten på enheten.
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 4 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Tirsdag 18.01.2005,
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy
+ *6.2/(1, 1$59,. Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 4 KONTINUASJONSEKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy Tid: Tirsdag 07.05.2002, kl: 09:00-12:00 Tillatte
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Torsdag 14.1.24,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Fredag 21.10.2005, kl: 09:00-12:00
DetaljerEKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122
Avdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 5 EKSAMEN Styring av romfartøy Fagkode: STE 6122 Tid: Fredag 16.02.2001, kl: 09:00-14:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator,
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Tid: Fredag 15.12.2006, kl: 09:00-12:00
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN Tirsdag 07.05.2002 STE 6159 Styring av romfartøy Løsningsforslag
+ *6.2/(1, 1$59,. Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet RT KONTINUASJONSEKSAMEN Tirsdag 7.5.22 STE 6159 Styring av romfartøy Løsningsforslag 2SSJDYH (%) D) Kvaternioner benyttes
DetaljerEKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy
+ *6.2/(1, 1$59,. Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Sivilingeniørstudiet RT Side 1 av 4 EKSAMEN STE 6159 Styring av romfartøy Tid: Fredag 08.02.2002, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy. Kontinuasjonseksamen
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet Studieretning for romteknologi Side 1 av 4 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6251 Styring av romfartøy Kontinuasjonseksamen Tid:
DetaljerAvdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT. Løsningsforslag til eksamen i STE6122 Styring av romfartøy Fredag 16.02.2001
Avdeling for teknologi Sivilingeniørstudiet RT Løsningsforslag til eksamen i STE6122 Styring av romfartøy Fredag 16.02.2001 (%) ) : Med Keplarske baner mener man baner til legemer som beveger seg i et
Detaljer,QQOHGQLQJ 3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ
3-1/ )DJ 67( 6W\LQJ DY RPIDW \ / VQLQJVIRVODJ WLO YLQJ,QQOHGQLQJ Der det er angitt referanser, er det underforstått at dette er til sider, figurer, ligninger, tabeller etc., i læreboken, dersom andre referanser
DetaljerNorges Informasjonstekonlogiske Høgskole
Oppgavesettet består av 9 (ni) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF5100 Lineær algebra Side 1 av 9 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember
Detaljer,QQOHGQLQJ 3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ
3-1/ )DJ 67( 6W\ULQJ DY URPIDUW \ / VQLQJVIRUVODJ WLO YLQJ,QQOHGQLQJ Der det er angitt referanser, er det underforstått at dette er til sider, figurer, ligninger, tabeller etc., i læreboken, dersom andre
DetaljerEmne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser
Emne 10 Litt mer om matriser, noen anvendelser (Reelle) ortogonale matriser La A være en reell, kvadratisk matrise, dvs. en (n n)-matrise hvor hvert element Da vil A være ortogonal dersom: og Med menes
DetaljerKORT INTRODUKSJON TIL TENSORER
KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang
DetaljerLøsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling
Side 1 av 4 HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi MSc-studiet EL/RT LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Tid: Fredag 11.03.2005, kl: 09:00-12:00 Tillatte
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerHØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning
HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for Ingeniørutdanning EKSAMEN I Matematisk analyse og vektoralgebra, FOA150 KLASSE : Alle DATO : 11. august 006 TID: : Kl. 0900-100 (4 timer) ANTALL OPPGAVER : 5 VARIGHET ANTALL
DetaljerLøsningsforslag til øving 3
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003 Elektromagnetisme Vår 2009 Løsningsforslag til øving 3 Oppgave a) C V = E dl = 0 dersom dl E b) B På samme måte som et legeme med null starthastighet faller i gravitasjonsfeltet
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerLøsningsforslag eksamen INF3480 vår 2011
Løsningsforslag eksamen INF3480 vår 0 Oppgave a) A - Arbeidsrommet er en kule med radius L 3 + L 4. B - Alle rotasjonsaksene er paralelle, roboten beveger seg bare i et plan, dvs. null volum. C - Arbeidsrommet
DetaljerSTE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 3 STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag Tid: Fredag 20.04.2007, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK TORSDAG 9. JUNI 2011 KL
Side av 5 EKSAMEN I EMNE TDT495 BILDETEKNIKK TORSDAG 9. JUNI 0 KL. 09.00 3.00 Oppgavestillere: Richard Blake Torbjørn Hallgren Kontakt under eksamen: Richard Blake tlf. 93683/96 0 905 Torbjørn Hallgren
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE Njål Gulbrandsen / Ole Meyer /
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: 21.2.2017 Klokkeslett: 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Fire A4-sider (to dobbeltsidige
DetaljerØving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)
Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen
DetaljerKrefter, Newtons lover, dreiemoment
Krefter, Newtons lover, dreiemoment Tor Nordam 13. september 2007 Krefter er vektorer En ting som beveger seg har en hastighet. Hastighet er en vektor, som vi vanligvis skriver v. Hastighetsvektoren har
DetaljerForelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling
Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn
DetaljerEksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 95 21 81 38 Eksamensdato: 7. august 2017 Eksamenstid (fra til):
DetaljerTMA4105 Matematikk 2 vår 2013
TMA4105 Matematikk vår 013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavene er fra læreboka Merk: I løsningene til alle oppgavene fra seksjon
DetaljerFYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014
FYS-MEK 1110 Løsningsforslag Eksamen Vår 2014 Oppgave 1 (4 poeng) Forklar hvorfor Charles Blondin tok med seg en lang og fleksibel stang når han balanserte på stram line over Niagara fossen i 1859. Han
DetaljerNewtons lover i én dimensjon
Newtons lover i én dimensjon 3.01.018 snuble-gruppe i dag, kl.16:15-18:00, Origo FYS-MEK 1110 3.01.018 1 Hva er kraft? Vi har en intuitivt idé om hva kraft er. Vi kan kvantifisere en kraft med elongasjon
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003
DetaljerKompleks eksponentialform. Eulers inverse formler. Eulers formel. Polar til kartesisk. Kartesisk til polar. Det komplekse signalet
Komplekse tall Vi definerer det komplekse tallet z C. Komplekse eksponentialer og fasorer Det komplekse planet Kartesisk og polar form Komplekse eksponentiale signaler Roterende fasor Addisjon av fasorer
DetaljerLøsningsforslag til øving 4
1 FY100/TFY4160 Bølgefysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 01. Løsningsforslag til øving 4 Oppgave 1 a) D = D 0 [ cos (kx ωt) + sin (kx ωt) ] 1/ = D 0 for alle x og t. Med andre ord, vi har overalt
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Fys-mek1110 våren 2010
Side av Løsningsforslag Eksamen i Fys-mek våren Oppgave (Denne oppgaven teller dobbelt) Ole og Mari vil prøve om lengdekontraksjon virkelig finner sted. Mari setter seg i sitt romskip og kjører forbi Ole,
DetaljerKinematikk i to og tre dimensjoner
Kinematikk i to og tre dimensjoner 2.2.217 Innleveringsfrist oblig 1: Mandag, 6.eb. kl.14 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Mulig å levere som gruppe (i Devilry, N 3) Bruk gjerne Piazza
DetaljerEKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet
DetaljerFjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd med dempningskoeffisient b til en harmonisk oscillator.
Oppgave 1 a) Ei ideell fjær har fjærkonstant k = 2.60 10 3 [N/m]. Finn hvilken kraft en må bruke for å trykke sammen denne fjæra 0.15 [m]. Fjæra i a) kobles sammen med massen m = 100 [kg] og et dempeledd
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 1000
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2
DetaljerAnvendt Robotteknikk Konte Sommer FASIT EKSAMEN HARIS JASAREVIC
2019 Anvendt Robotteknikk Konte Sommer 2019 - FASIT EKSAMEN HARIS JASAREVIC Innhold Oppgaver... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 3 Oppgave 3... 3 Oppgave 4... 3 Oppgave 5... 3 Oppgave 6... 4 Oppgave 7...
DetaljerLøsningsforslag Fys-mek1110 V2012
Løsningsforslag Fys-mek1110 V01 Side 1 av 11 Oppgave 1 a) Et hjul ruller uten å skli bortover en flat, horisontal vei. Hjulet holder konstant hastighet. Tegn et frilegemediagram for hjulet. b) En lastebil
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK1110 Eksamensdag: Onsdag 6. juni 2012 Tid for eksamen: Kl. 0900-1300 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark
DetaljerAnvendt Robotteknikk Konte Sommer 2019 EKSAMEN HARIS JASAREVIC
2019 Anvendt Robotteknikk Konte Sommer 2019 EKSAMEN HARIS JASAREVIC Innhold Oppgaver... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 2 Oppgave 3... 2 Oppgave 4... 2 Oppgave 5... 3 Oppgave 6... 4 Oppgave 7... 5 Oppgave
DetaljerEKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER (TMA4212)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Faglig kontakt under eksamen: Navn: Brynjulf Owren (964) EKSAMEN I NUMERISK LØSNING AV DIFFERENSIALLIGNINGER MED DIFFERANSEMETODER
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Dato: Fredag 01. mars 2013. Tid: Kl 09:00 13:00. Administrasjonsbygget B154
side 1 av 6 sider FAKULTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOLOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: Fredag 01. mars 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget B154 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerPunktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen Q ligger i punktet ( 3, 0) [mm].
Oppgave 1 Finn løsningen til følgende 1.ordens differensialligninger: a) y = x e y, y(0) = 0 b) dy dt + a y = b, a og b er konstanter. Oppgave 2 Punktladningen Q ligger i punktet (3, 0) [mm] og punktladningen
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i MA000, Brukerkurs i matematikk B 9. mai 01 Oppgave 1 a) Et plan i rommet har ligning
DetaljerEKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk
Side 1 av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4.juni 2015 Emneansvarlig: Lars Sydnes
DetaljerLøsningsskisser eksamen R
R 9.. Løsningsskisser eksamen R 9.. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x sin u, u x g x cosu cosx ) Kjerneregel: h x u, u sin x h x u cosx sin x cosx
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Oppgavesettet er på 5 sider inklusiv forside Kontaktperson under eksamen: Stian Normann Anfinsen Telefon:
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-1001 Mekanikk Dato: Torsdag 4. desember 2014 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Fire A4-sider (to dobbeltsidige ark) med egne notater. Kalkulator
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 1100 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 11 desember 2008. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 UNIVERSITETET I OSO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: mars 017 Tid for eksamen: 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: Tirsdag, 3. juni 2014 Tid for eksamen: kl. 9:00 13:00 Oppgavesettet omfatter 6 oppgaver på 4 sider
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Onsdag 9 mai 9 Tid for eksamen: 4:3 8:3 Oppgavesettet er på 7 sider Vedlegg: Tillatte
DetaljerNorges Informasjonstekonlogiske Høgskole
Oppgavesettet består av 10 (ti) sider. Norges Informasjonstekonlogiske Høgskole RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 10 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 11.desember
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TFY 4102 FYSIKK
BOKMÅL NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt under eksamen: Magnus Borstad Lilledahl Telefon: 73591873 (kontor) 92851014 (mobil) KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE
DetaljerTDT4195 Bildeteknikk
TDT495 Bildeteknikk Grafikk Vår 29 Forelesning 5 Jo Skjermo Jo.skjermo@idi.ntnu.no Department of Computer And Information Science Jo Skjermo, TDT423 Visualisering 2 TDT495 Forrige gang Attributter til
DetaljerEksamen i Klassisk feltteori, fag TFY 4270 Onsdag 26. mai 2004 Løsninger
Eksamen i Klassisk feltteori, fag TFY 470 Onsdag 6. mai 004 Løsninger 1a) Sammenhengen mellom koordinattiden t og egentiden τ er at Den relativistiske impulsen er Hamiltonfunksjonen er Siden har vi at
DetaljerEksamen, høsten 13 i Matematikk 3 Løsningsforslag
Eksamen, høsten 3 i Matematikk 3 Løsningsforslag Oppgave. a) Fra ligningen x 5 + y 3 kan vi lese ut store og lille halvakse a 5 og b 3. Fokus til senter avstanden er da gitt ved c a b 5 3 5 9 6 4. ermed
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF5009 MATEMATIKK 3 Bokmål Man
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Mandag. desember Oppgave a) Karakteristisk polynom er + = ;
DetaljerNewtons lover i én dimensjon
Newtons lover i én dimensjon.01.014 Interessert å være studentrepresentant for YS-MEK kurset? ta kontakt med meg. YS-MEK 1110.01.014 1 Bok på bordet Gravitasjon virker på boken om den ligger på bordet
DetaljerEksamen i MIK130, Systemidentifikasjon
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK30, Systemidentifikasjon Dato: Fredag 4. desember 2007 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: ingen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 0 Eksamensdag: 3 juni 205 Tid for eksamen: 4:30 8:30 (4 timer) Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg: Formelark Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF4380 - Introduksjon til Robotteknologi Eksamensdag: 31 mai, 2017 Tid for eksamen: 14:30, 4 timer Oppgavesettet er på 7 sider
DetaljerEKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling
HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 4 EKSAMEN STE 6219 Digital signalbehandling Tid: Tirsdag 07.03.2006, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 av 4 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK111 Eksamensdag: Mandag 22. mars 21 Tid for eksamen: Kl. 15-18 Oppgavesettet er på 4 sider + formelark Tillatte
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerKinematikk i to og tre dimensjoner
Kinematikk i to og tre dimensjoner 4.2.216 Innleveringsfrist oblig 1: Tirsdag, 9.eb. kl.18 Innlevering kun via: https://devilry.ifi.uio.no/ Devilry åpnes snart. YS-MEK 111 4.2.216 1 v [m/s] [m] Eksempel:
DetaljerCorioliskraften. Forsøk på å forstå et eksotisk fenomen Arnt Inge Vistnes, 27. mars 2006
1 Corioliskraften Forsøk på å forstå et eksotisk fenomen Arnt Inge Vistnes, 27. mars 2006 Fiktive krefter I FYS-MEK/F1110 lærer vi om hvorfor det kan være praktisk å innføre fiktive krefter i visse sammenhenger.
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til
DetaljerImpuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover.
Impuls, bevegelsesmengde, energi. Bevaringslover. Kathrin Flisnes 19. september 2007 Bevegelsesmengde ( massefart ) Når et legeme har masse og hastighet, viser det seg fornuftig å definere legemets bevegelsesmengde
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 Først en kommentar. I læreboka møter man kjeglesnitt på standardform, som ellipser x
DetaljerLøsningsforslag til øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.
Lørdagsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 27. Veiledning: 29. september kl 12:15 15:. Løsningsforslag til øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Oppgave 1 a) C. Elektrisk
DetaljerLøsningsforslag MAT102 - v Jon Eivind Vatne
Løsningsforslag MAT02 - v203 - Jon Eivind Vatne. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen A = ( ) 4 2. 3 Svar: Fra den karakteristiske ligningen A λi 2 = λ 2 + 3λ + 2 = 0 får vi egenverdiene
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Adm.bygget, rom B154 2 ark med egne notater (4 sider) Godkjent kalkulator Rottman. Matematisk formelsamling
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Dato: 5.12.2018 FYS-1001 Mekanikk Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Adm.bygget, rom B154 2 ark med egne notater (4
DetaljerNewtons lover i én dimensjon
Newtons lover i én dimensjon 6.01.017 YS-MEK 1110 6.01.017 1 Hva er kraft? Vi har en intuitivt idé om hva kraft er. Vi kan kvantifisere en kraft med elongasjon av en fjær. YS-MEK 1110 6.01.017 Bok på bordet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:
DetaljerLO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
DetaljerFYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1
FYS1120 Elektromagnetisme, Ukesoppgavesett 1 22. august 2016 I FYS1120-undervisningen legg vi mer vekt på matematikk og numeriske metoder enn det oppgavene i læreboka gjør. Det gjelder også oppgavene som
Detaljer16 Ortogonal diagonalisering
Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen
DetaljerRepetisjon
Repetisjon 18.05.017 Eksamensverksted: Mandag, 9.5., kl. 1 16, Origo Onsdag, 31.5., kl. 1 16, Origo FYS-MEK 1110 18.05.017 1 Lorentz transformasjon ( ut) y z y z u t c t 1 u 1 c transformasjon tilbake:
Detaljerdg = ( g P0 u)ds = ( ) = 0
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2, øving 8, vår 2011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
DetaljerEKSAMEN I MA0002 Brukerkurs B i matematikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Faglig kontakt under eksamen: Achenef Tesfahun (9 84 97 5) EKSAMEN I MA2 Brukerkurs B i matematikk Lørdag 322 Tid:
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 014 Løsningsforslag Eksamen august Løsning: Oppgave 1 1 0 3 A 7, 3 4 1 x 10 A y 3 z På grunn
DetaljerEKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1
EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
vx [m/s] vy [m/s] Side UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK Eksamensdag: 3 mars 8 Tid for eksamen: 9: : (3 timer) Oppgavesettet er på 3 sider Vedlegg: Formelark
DetaljerLøsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen i MA0002, Brukerkurs i matematikk B Oppgave 1 En parametrisk linje L og et plan P (i rommet)
DetaljerForelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk
Forelesningsnotat, lørdagsverksted i fysikk Kristian Etienne Einarsrud 1 Vektorer, grunnleggende matematikk og bevegelse 1.1 Introduksjon Fysikk er en vitenskap som har som mål å beskrive verden rundt
DetaljerStivt legemers dynamikk
Stivt legemers dynamikk.4.4 FYS-MEK.4.4 Forelesning Tempoet i forelesningene er: Presentasjonene er klare og bra strukturert. Jeg ønsker mer bruk av tavlen og mindre bruk av powerpoint. 6 35 5 5 3 4 3
DetaljerFagnr: FIOIA I - Dato: Antall oppgaver: 2 : Antall vedlegg: 3 - - -
;ag: Fysikk i-gruppe: Maskin! EkSarnensoppgav-en I består av ~- - Tillatte hjelpemidler: Fagnr: FIOIA A Faglig veileder: FO lo' Johan - Hansteen I - - - - Dato: Eksamenstidt 19. August 00 Fra - til: 09.00-1.00
Detaljery (t) = cos t x (π) = 0 y (π) = 1. w (t) = w x (t)x (t) + w y (t)y (t)
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 013 Løsningsforslag Notasjon og merknader En vektor boken skriver som ai + bj + ck, vil vi ofte skrive som (a, b, c), og tilsvarende
DetaljerTFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Test 6.
TFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Test 6. Oppgave 1 Figuren viser re like staver som utsettes for samme ytre kraft F, men med ulike angrepspunkt. Hva kan du da si om absoluttverdien A i til akselerasjonen
DetaljerNORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER
NORMALFORDELINGER, KOVARIANSMATRISER OG ELLIPSOIDER SIE 3080 STOKASTISKE OG ADAPTIVE SYSTEMER Oddvar Hallingstad 0. februar 00 Vi skal her utlede noen nyttige formler for arbeidet med kovariansmatriser
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MEK 11 Feltteori og vektoranalyse. Eksamensdag: Torsdag 1 desember 29. Tid for eksamen: 14:3 17:3. Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerMA-132 Geometri Torsdag 4. desember 2008 kl Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator.
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-1 Geometri Torsdag 4. desember 008 kl. 9.00-14.00 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler. Kalkulator. Bokmål Oppgave 1 Gitt et linjestykke.
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
Detaljer